ใบความรู้ท่ี 2.1.1 30203 บทที่ 2 เรื่อง · PDF fileใบงานที่ 2.1 วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม

1

ใบความรท 2.1.1 วชาคณตศาสตรเพมเตม ค 30203 บทท 2 เรอง วงกลมหนงหนวย

ค ำชแจง ใหนกเรยนศกษาเนอหาและท ากจกรรมเพมเตมตามทก าหนด เปนกลม (15 นาท)

(1) วงกลมหนงหนวย ในระบบแกนพกดฉาก เปนวงกลมทมจดศนยกลางทจด (0,0) จดก าเนด รศมยาว 1 หนวย

และมความสมพนธวา 2 2( , ) | 1{ }x y R R x y

จากรป เมอก าหนดจ านวนจรง (ทตา) ให แลวระยะจากจด (1,0) ไปตามความยาว สวนโคงของวงกลมหนงหนวย ใหยาว | | หนวย จะถงจด (x , y) ซงอยบน วงกลมหนงหนวย และมขอตกลงดงน - ถา > 0 จะวดสวนโคงจากจด (1,0) ไปในทศทางทวนเขมนาฬกา - ถา < 0 จะวดสวนโคงจากจด (1,0) ไปในทศทางตามเขมนาฬกา - ถา = 0 แลว จดปลายสวนโคง คอจด (1,0) ตวอยางท 1 จงหาวา จดปลายสวนโคง หนวยทก าหนดใหจะตกอยบนสวนโคง ในควอดรนดใด ของวงกลมหนงหนวย

(1) เมอ 19

3

(2) เมอ 59

6

วธท า 19

3

6

3 3

วธท า 59

6

11 11

86 6

ตอบ จดปลายสวนโคง อยในควอดรนดท 1 ตอบ จดปลายสวนโคง อยในควอดรนดท 4

< 0

> 0

O

( x , y )

Y

X O

( x , y )

Y

X (1 , 0 ) (1 , 0 )

2


ค ำชแจง ใหนกเรยนศกษาเนอหาและท ากจกรรมเพมเตมตามทก าหนด เปนกลม (20 นาท) (2) การแบงความยาวสวนโคง ของวงกลมหนงหนวย

ความยาว 1 รอบ 2 ความยาวครงรอบ ความยาว 14

ของรอบ 2

ความยาว 32

ของรอบ 3

2


6 รอบ

3


8 ของรอบ

4

ขอตกลง คาของ x คอ คาของฟงกชนโคไซน เขยนแทนดวย y = cos คาของ y คอ คาของฟงกชนไซน เขยนแทนดวย y = sin

3

3

2

X

Y

(1 ,0 )

O X

Y

(1 ,0 )

O X

Y

(1 ,0 )

O

(0 , -1)

(0, 1) 2

X

Y

2 (1 ,0 )

O X

Y

(1 ,0 )

O X

Y

(1 ,0 )

O (-1 ,0 )

4

3


ค ำชแจง ใหนกเรยนศกษาเนอหาและท ากจกรรมเพมเตมตามทก าหนด เปนกลม (15 นาท) ขอสงเกต เกยวกบความยาวสวนโคงและวงกลมหนงหนวย 1) ถาความยาวสวนโคง หนวยทก าหนดให ยาวมากกวา 1 รอบ ( 2 ) ความยาว ทมากกวานนกจะวนกลบมาเรมตนวดทจด (1,0) เปนรอบตอไปเรอย ๆ และจดสนสด กจะตกอยทจดใดจดหนงบนสวนโคงของวงกลมหนงหนวย นนเอง ดงนน ถา ยาวมากกวา 1 รอบ แลว 2 ; , 0 2n n I

2) วงกลมหนงหนวย มจดศนยกลางอยทจดก าเนด เปนกราฟของความสมพนธ

2 2( , ) | 1{ }x y R R x y จะเหนวา 1 1 , 1 1x y ดงนน คาของฟงกชนไซน และ โคไซน จะเปนจ านวนจรง ตงแต - 1 ถง 1 นนคอ เรนจ ของฟงกชนทงสองคอ เซตของจ านวนจรง ตงแต –1 ถง 1 โดเมน ของฟงกชนทงสองคอ เซตของจ านวนจรง

3) จากสมการวงกลมหนงหนวย 2 2 1x y แทนคาดวย x = cos , y = sin

จะไดความสมพนธในรปของฟงกชนใหมวา 2 2(cos ) (sin ) 1

หรอเขยนตามความนยม ไดวา 2 2cos sin 1

72

3 3 3

72

3 3 3

(1 , 0 ) X

Y

(1 , 0 ) X

Y

4

เอกสารฝกหดท 2.1.1 วชาคณตศาสตรเพมเตม ค 30203 บทท 2 เรอง ฟงกชนไซนและโคไซน

ค าชแจง ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวาง เกยวกบการวดความยาวสวนโคง ความยาวสวนโคง ทก าหนด ใหใน วงกลมหนงหนวย

ถาความยาวเกน 1 รอบ ใหแจกแจงอยในรป

2n

เมอตดความยาวครบรอบออกแลว จะเหลอ =

จดปลายสวนโคง จะตกอยในควอด รนตใด หรอจดใด

2

- - จด ( 0 , 1 )

2

3

2

3

2

2

2

6

3

4

4

3

11

6

15

2

29

3

41

3

67

4

5

ใบกจกรรมท 2.1.1 วชาคณตศาสตรเพมเตม ( ค 30203 ) บทท 2 เรอง ฟงกชนไซนและโคไซน

ค ำชแจง ใหนกเรยนท ากจกรรมทก าหนดใหเปนกลม พรอมกบน าเสนอผลงาน (20 นาท )

ใหนกเรยน แบงวงกลมหนงหนวย ใน 1 รอบ ออกเปน 4 , 6 , 8 , 12 สวน พรอมระบทจดปลายของแตละสวนโคงวา เปนจดปลายสวนโคงทยาวเทาไร

X

Y

6

ใบงานท 2.1 วชาคณตศาสตรเพมเตม ( ค 30203 ) บทท 2 เรอง ฟงกชนไซนและโคไซน


(1) จงแสดงวธหา จดปลายสวนโคง หนวยทก าหนดใหวา จะตกอยบนสวนโคง ในควอดรนดใด ของวงกลมหนงหนวย

1.1) เมอ 33

4

1.2) เมอ 57

3

วธท า …………………………………………… วธท า ………………………………………………

……………………………………………………….. ………………………………………………………..

……………………………………………………….. ………………………………………………………..

……………………………………………………….. ………………………………………………………..

1.3) เมอ 87

6

1.4) เมอ 101

3

วธท า …………………………………………… วธท า ………………………………………………

……………………………………………………….. ………………………………………………………..

……………………………………………………….. ………………………………………………………..

……………………………………………………….. ………………………………………………………..

1.5) เมอ 17

6

1.6) เมอ 21

4

วธท า …………………………………………… วธท า ………………………………………………

……………………………………………………….. ………………………………………………………..

……………………………………………………….. ………………………………………………………..

……………………………………………………….. ………………………………………………………..

1.7) เมอ 29

3

1.8) เมอ 38

4

วธท า …………………………………………… วธท า ………………………………………………

……………………………………………………….. ………………………………………………………..

……………………………………………………….. ………………………………………………………..

……………………………………………………….. ………………………………………………………..

7

ใบงานท 2.2 วชาคณตศาสตรเพมเตม ( ค 30203 ) บทท 2 เรอง ฟงกชนไซนและโคไซน

1. จดปลายของความยาวสวนโคง 3 ควรอยทใด …………………………..…………. 2. จดปลายของความยาวสวนโคง 6 ควรอยทใด …………………………..………….

3. จดปลายของความยาวสวนโคง 5

2

ควรอยทใด …………………………..………….


4

ควรอยทใด …………………………..………….


3

ควรอยทใด …………………………..………….


6

ควรอยทใด …………………………..………….


2 ควรอยทใด …………………………..………….


6

ควรอยทใด …………………………..………….


4

ควรอยทใด …………………………..………….


6

ควรอยทใด …………………………..………….

8

แบบทดสอบรายจดประสงค (กอนเรยน) รายวชา คณตศาสตรเพมเตม (ค 30203) บทท 2 เรอง ฟงกชนตรโกณมตและการประยกต

ค ำสง ใหนกเรยนเลอกกากบาท ( x ) เพยงขอละ 1 ตวเลอก ลงในกระดาษค าตอบ

(1) จดปลายของความยาวสวนโคง 4

บนวงกลมหนงหนวย จะตกอยในควอดรนตใด

ก. ควอดรนตท 1 ข. ควอดรนตท 2 ค. ควอดรนตท 3 ง. ควอดรนตท 4

(2) ขอใดคอคาของ 2sin

3

ก. 1

2 ข. 3

2 ค. 3

2 ง.

2

3

(3) ขอใดคอคาของ 5cos

6

ก. 1

2 ข. 3

2 ค. 3

2 ง.

1

2

(4) ขอใดคอคาของ tan( 150 )

ก. 3 ข. 3

2 ค. 1

3 ง.

1

3

(5) ขอใดคอคาของ sin120 cos210 tan180 cot90

ก. 3

2 ข. 3

4 ค. 4

3 ง. ไมมขอใดถก

(6) )x90sin( 0 มคาเทากบขอใด ก. sin x ข. cos x ค. - sin x ง. - cos x

(7) 00 15sin75sin มคาเทากบขอใด

ก. 2

3 ข. 2

2 ค. 4

6 ง. 2

6

9

(8) ถา 2

1Acos เมอ 90 0<A<180 0 แลว cos 2A จะเทากบขอใด

ก. -2

1 ข. 2

1 ค. -1 ง. 2

3

(9) ขอใดคอคาของ )2

3(sin 1

ก. 6

ข. 4

ค. 3

ง. 2

(9) ขอใดคอคาของ 1 1cos ( )

2

ก. 5

6

ข. 3

4

ค. 3

ง. 2

3

(10) ขอใดคอเซตค าตอบของสมการ 01xsin2 2 เมอ ],0[x

ก. }4

3,

4{

ข. }3

2,

3{

ค. }6

5,

6{

ง. ไมมขอถก

(11) ก าหนด ABC มดาน a = 33 , A = 30 0 , C = 120 0 แลว b จะยาวเทาไร ก. 33 ข. 24 ค. 9 ง. 12

(12) ชายคนหนงขบรถจากจด ก. ลงไปทางทศใตเปนระยะทาง 6 ก.ม. ตอจากนนขบรถตอไป ในทศ 210 0 ถงจด เปนระยะทาง 10 ก.ม. จงหาระยะหางระหวางจด ก. และจด ข. ก. 8 ก.ม. ข. 12 ก.ม. ค. 14 ก.ม. ง. 16 ก.ม.

10

ใบความรท 2.2.1 วชาคณตศาสตรเพมเตม ค 30203 บทท 2 เรอง คาของฟงกชนไซนและโคไซน

ค าชแจง ใหนกเรยนศกษาเนอหาทก าหนดใหตอไปนเปนกลม ( เวลา 15 นาท )

1) คาของฟงกชนไซนและโคไซน บนพกดจดปลายของแกนพกดฉาก

- เมอ 0 จะมจดปลายอยทจด (1,0) ดงนน cos 0 1 และ sin 0 0

- เมอ 2

จะมจดปลายอยทจด (0,1)

ดงนน cos 0 sin 12 2

- เมอ จะมจดปลายอยทจด (-1,0) ดงนน cos 1 sin 0

- เมอ 3

2

จะมจดปลายอยทจด (0,-1)

ดงนน 3 3cos 0 sin 1

2 2

- เมอ 2 จะมจดปลายอยทจด (1,0) ดงนน cos2 1 sin2 0 ตวอยาง จงหาคาของฟงกชนตรโกณมตของจ านวนจรง ตอไปน

(1) 5sin

2

……………………………………………………………………………….……..….……….

(2) sin ( )2

……………………………………………..………….……….…….…………….………

(3) sin 5 …………………………………..……………………………………………………………..

(4) 5cos

2

………………………………………………..………….………….…..…………..………..

(5) cos( 8 ) ……………….…………………………………………………………………..………..

(6) 3cos ( )

2

………………………….……..………………………………………………………….

y

(0,1)

(-1,0) (1,0)

(0,-1)

x 0 , 2

2

3

2

และ

และ

และ

และ

11



2) คาของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนทจดปลาย 4

จากรป สวนโคง AP = สวนโคง PB จะท าให | AP | = | PB |

2 2 2 2( 1) ( 1)x y x y 2 2 2 2( 1) ( 1)x y x y 2 2 2 22 1 2 1x x y x y y x y แตสมการวงกลมหนงหนวยคอ 2 2 1x y

จะไดวา 2 2 1x x หรอ 22 1x

ดงนน 1

2x และ 1

2y

แสดงวา 1cos

4 2

และ 1

sin4 2

ตวอยาง จงหาคาของฟงกชนตรโกณมตของจ านวนจรง ตอไปน

(1) 3

4sin

…………………………………… 3

4cos

………………………..…….……..

(2) 5

4sin

……………………………………

5

4cos

……..…………....……..….………

(3) 7

4sin

……………………………………

7

4cos

…………………..….………….…

(4) 9

4sin

……………………………………

9

4cos

…………………..…….……….…

(5) (4

sin )

………………………………… (4

cos )

………………..….……………

(6) 3(

4sin )

……………………………….

3(

4cos )

………………….……………

4

y

B(0,1)

(-1,0) A (1,0)

(0,-1)

x 0 , 2

2

3

2

P (x , y)

12




จากรป สวนโคง AP = 6

ดงนน สวนโคง PB = 3

ใหจด C เปนจดสะทอนของจด P โดยมแกน X เปน แกนสะทอน ท าให จด C มพกดเปน (x ,- y)

และสวนโคง PC = 3

ดวย

ดงนน คอรด PC = คอรด PB

2 2 2[ ( )] ( 1)y y x y 2 2 24 2 1y x y y 24 2 2 0y y (2 1)( 1) 0y y จะไดวา 2 1 0 , 1 0y y

1; 1

2y y


(1) 5

6sin

…………………………………… 5

6cos

………………………..…….……..

(2) 7

6sin

……………………………………

7

6cos

……..…………....……..….………

(3) 11

6sin

……………………………………

11

6cos

…………………..….………….…

(4) 5(

6sin )

…………….……………………

5(

6cos )

…….…………..….……………

(5) 7(

6sin )

………………………………….

7(

6cos )

…………………….……………

เปนไปไมได

6

y

B(0,1)

(-1,0) A (1,0)

(0,-1)

x

2

P (x , y)

C (x ,- y)

ดงนน 1sin

6 2

และ 3

cos6 2

13




จากรป สวนโคง AP = 3

ใหจด C เปนจดสะทอนของจด P โดยมแกน Y เปน แกนสะทอน ท าให จด C มพกดเปน (-x , y)

และสวนโคง PC = 3

ดวย

ดงนน คอรด AP = คอรด PC

2 2 2( 1) [ ( )]x y x x 2 2 22 1 4x y x x 22 1 0x x (2 1)( 1) 0x x

จะไดวา 1; 1

2x x

3

2y


(1) 2

3sin

…………………………………… 2

3cos

…………………………..…….……..

(2) 43

sin …………………………………… 4

3cos

……..……………...……..….………

(3) 53

sin …………………………………… 5

3cos

……………………..….………….…

(4) 73

sin …………………………………… 7

3cos

……………………..…….……….…

(5) (3

sin ) ………………………………… (

3cos )

……………….…..….……………

(6) (23

sin ) ………………………………. (

23

cos ) ………………….……….………

3

y

B(0,1)

(-1,0) A (1,0)

(0,-1)

x

P (x , y) C (-x , y)

เปนไปไมได

ดงนน 3sin

3 2

และ 1

cos3 2

14



5) คาของฟงกชนไซนและโคไซนของจ านวนจรงใด ๆ

5.1 คาของฟงกชนไซนและโคไซนของจ านวนจรง จะไดวา sin ( ) sin และ cos( ) cos

5.2 คาของฟงกชนไซนและโคไซนของจ านวนจรง ทมากกวา 1 รอบ ( 2 ) จะไดวา sin sin (2 ) sinn

s s(2 ) sco co n co

5.3 คาของฟงกชนไซนและโคไซนของจ านวนจรง ทมจดปลายตกอยในควอดรนตท 2

จะไดวา sin sin ( ) sin เมอ 02

s s( ) sco co co เมอ 02

5.4 คาของฟงกชนไซนและโคไซนของจ านวนจรง ทมจดปลายตกอยในควอดรนตท 3

จะไดวา sin sin ( ) sin เมอ 02

s s( ) sco co co เมอ 02

5.5 คาของฟงกชนไซนและโคไซนของจ านวนจรง ทมจดปลายตกอยในควอดรนตท 4 จะไดวา sin sin(2 ) sinn

s s(2 ) sco co n co


(1) 19cos cos(6 )

3 3

(2) 27 3

sin sin (6 )4 4

……………………………………………………………. …………………………………………………………..

……………………………………………………………. …………………………………………………………..

……………………………………………………………. …………………………………………………………..

15

ใบกจกรรมท 2.2

วชาคณตศาสตรเพมเตม ( ค 30203 ) บทท 2 เรอง คาของฟงกชนไซนและโคไซน

ค ำชแจง จงระบคาของฟงกชนไซนและโคไซนของจ านวนจรงใด ๆ ทก าหนดใหลงในวงกลมหนงหนวย โดยเขยนในรปของคอนดบ และบอกต าแหนงความยาวสวนโคงแตละจด ใหถกตอง

Y

X

16

ใบกจกรรมท 2.2


ค ำชแจง จงหาคาของฟงกชนตรโกณมตของจ านวนจรง และบอกสตรทน ามาใชดวย ตอไปน

1.1 29( )

4cos

………………………………….………… เหตผล……………………………

= …………………………………….……… เหตผล……………………………

= ………………………………….………… เหตผล……………………………

1.2 35( )

6sin

……………………………………..…….… เหตผล……………………………

= …………………………………….……… เหตผล……………………………

= …………………………………….……… เหตผล……………………………

1.3 553

sin ( ) …………………..………………….……… เหตผล……………………………

= ……………………………………….…..… เหตผล……………………………

= ……………………………………………… เหตผล……………………………

1.4 672

( )cos …………………..…………….…………… เหตผล……………………………

= …………………………………..………… เหตผล……………………………

= …………………………………..………… เหตผล……………………………

1.5 71

4cos

…………………..…………………….………… เหตผล……………………………

= ………………………………………..………… เหตผล……………………………

= …………………………………………..……… เหตผล……………………………

1.6 883

sin …………………..…………………….………… เหตผล……………………………

= ………………………………………..………… เหตผล……………………………

= …………………………………………..……… เหตผล……………………………

1.7 776

( )cos ……………………………………..…….… เหตผล……………………………

= ……………………………………..……… เหตผล……………………………

= ……………………………………..……… เหตผล……………………………

17

ใบกจกรรมท 2.2.1



(1) จงหาคาของฟงกชนไซนและโคไซน ทต าแหนงของจดปลายสวนโคง ตอไปน

1.1 เมอ 4

3 จะได

4

3cos ...........……………………………………………..........

และ

4

3sin ............………………………………………………........

1.2 เมอ 4

5 จะได …………………………………………………………………………..

และ …………………………………………………………………………..

1.3 เมอ 4

7 จะได …………………………………………………………………………..

และ …………………………………………………………………………..

1.4 เมอ 4

15 จะได …………………………………………………………………………..

และ …………………………………………………………….……………..

1.5 เมอ 4

35 จะได …………………………………………………………………………..

และ …………………………………………………………….……………..

1.6 เมอ 4

5 จะได …………………………………………………………….……………..

และ …………………………………………………………………………..

1.7 เมอ 35

4

จะได …………………………………………………………………………..

และ …………………………………………………………………………..

1.8 เมอ 4

55 จะได …………………………………………………………………………..

และ …………………………………………………………………………..

18



ชอนกเรยน ..................………….....................................ชน.....…….........เลขท........…...... กลมท .....….....


(1) จงหาคาของฟงกชนไซนและโคไซน ทต าแหนงของจดปลายสวนโคง หนวย ตอไปน

1.1 เมอ 6

5 จะได

6

5cos .........................................................……....................

และ

6

5sin .........................................................…….....................

1.2 เมอ 6

7 จะได ………………………………………………………….………………..

และ …………………………………………………………………………..

1.3 เมอ 6

11 จะได …………………………………………………….……………………..

และ …………………………………………………………………………..

1.4 เมอ 6

17 จะได ……………………………………………………….…………………..

และ …………………………………………………………………………..

1.5 เมอ 6

35 จะได ……………………………………………………………..……………..

และ …………………………………………………………………………..

1.6 เมอ 6

5 จะได ………………………………………………………….………………..

และ …………………………………………………………………………..

1.7 เมอ 35

6

จะได ……………………………………………………………….…………..

และ …………………………………………………………………………..

1.8 เมอ 6

55 จะได …………………………………………………………………………..

และ …………………………………………………………………………..

19





1.1 เมอ 3

2 จะได

3

2cos .........................................................……...................

และ

3

2sin .........................................................……....................

1.2 เมอ 3

4 จะได …………………………………………………………………………..

และ …………………………………………………………………………..

1.3 เมอ 3

5 จะได …………………………………………………………………………..

และ …………………………………………………………………………..

1.4 เมอ 3

16 จะได …………………………………………………………………………..

และ …………………………………………………………………………..

1.5 เมอ 3

35 จะได …………………………………………………………………………..

และ …………………………………………………………………………..

1.6 เมอ 3

85 จะได ………………………………………………………………………….

และ …………………………………………………………………………..

1.7 เมอ 3

155 จะได ………………………………………………………………………….

และ ………………………………………………………………………….

1.8 เมอ 212

3

จะได ………………………………………………………………………….

และ ………………………………………………………………………….

20





1.1 29cos ( )

4

…………………………………………………………………

1.2 29sin ( )

6

………………………………………….………………………

1.3 35sin ( )

3

…………………..……………………………………………..

1.4 37cos( )

2

…………………..……………………………………………

1.5 23cos

4

…………………..………………………………………………..

1.6 38sin

3

…………………..……………………………………………

1.7 6

sin( ) ………………………………… 6

sin( ) ……………………..……….

1.8 23

sin( ) ……………………………… 23

cos( ) ……..…………....……….

1.9 74

sin( ) ……………………………… 74

cos( ) …………………...………

1.10 (43

sin ) …………….………………… (

43

cos ) ….…………..….…………

1.11 (56

sin ) ………………………………. (

56

cos ) ………………………………

1.12 ( 34

sin ) ………………………………. ( 3

4cos )

………………………………

1.13 (54

sin ) ………………………………. (

54

cos ) ………………………………

21

ใบงานท 2.2 วชาคณตศาสตรเพมเตม ( ค 30203 ) บทท 2 เรอง คาของฟงกชนไซนและโคไซน

ค าสง ใหนกเรยนแสดงวธท า / เขยนค าตอบทถกตอง ลงในชองวางทก าหนดให

(1) จดปลายของความยาวสวนโคงตอไปน ตกอยในควอดรนตใด ในวงกลมหนงหนวย

............ ............. ตกอยใน เมอตกอยใน เมอ 3

73)4

3

13)1

............ ............. ตกอยใน เมอตกอยใน เมอ 5

78)5

6

47)2

............ ............ ตกอยใน เมอตกอยใน เมอ10

87)6

4

119)3

(2) จงหาโคออรดเนต ของจดปลายสวนโคงของจ านวนจรงหรอมมทก าหนดให ตอไปน

1) เมอ = 25

3

…………..……… 5) เมอ = 74

3

…………..………

2) เมอ = 73

4

…………..……… 6) เมอ = 95

4

…………..………

3) เมอ = 106

6

…………..……… 7) เมอ = 149

6

…………..………

4) เมอ = 215

2

…………..……… 8) เมอ = 456

3

…………..………

(3) จงหาคาของฟงกชนไซนและโคไซน จากขอตอไปน

1) 61 87sin ( ).cos

3 6

………..……………………………………………………………….

= ………..……………………………………………………………….

2) 11 19sin cos

3 4

…………………..………………………………………………………

= ………..…………………………………………………………………

3) 47 43cos ( ) sin ( )

2 6

………………………………………………………………

= ………..…………………………………………………….

= ………..…………………………………………………….

22

ใบความรท 2.3.1 วชาคณตศาสตร ( ค 30203 ) บทท 2 เรอง ฟงกชนตรโกณมตอน ๆ

ค ำชแจง ใหนกเรยนศกษาเนอหาทก าหนดให เปนกลม ( 30 นาท )

ฟงกชนตรโกณมตอน ๆ นอกจากจะมฟงกชนไซนและโคไซนแลว ยงมอก 4 ฟงกชน คอ 1) ฟงกชนแทนเจนต (tangent) เขยนแทนดวย tan 2) ฟงกชนเชกแคนต (secant) เขยนแทนดวย sec 3) ฟงกชนโคเซกแคนต (cosecant) เขยนแทนดวย cosec หรอ csc 4) ฟงกชนโคแทนเจนต (cotangent) เขยนแทนดวย cot หรอ ctn

นยาม เมอ คอ จ านวนจรงใด ๆ แลว

sintan ; cos 0

cos

1

sec ; cos 0cos

st ; sin 0

sin

coco

1

cos ; sin 0sin

ec

ความสมพนธเพมเตมของฟงกชนตรโกณมตทง 4 ฟงกชน

1cot

tan

1

tancot

2 21 tan sec 2 21 cot csc

โดเมนและ เรนจของฟงกชนทง 4 ฟงกชน เปนดงน

1) โดเมนของฟงกชน tan และ sec คอ (2 1){ | , }

2

nR x R x n I

2) โดเมนของฟงกชน cot และ cosec คอ { | , }R x R x n n I 3) เรนจของฟงกชน tan และ cot คอ R 4) เรนจของฟงกชน sec และ cosec คอ { | 1 1}R x R x

23

เอกสารฝกหดท 2.3.1 วชาคณตศาสตรเพมเตม ค 30203 บทท 2 เรอง ฟงกชนไซนและโคไซน

ค าชแจง ใหนกเรยนในกลม ชวยกนเตมค าตอบลงในชองวาง ทก าหนดใหถกตอง

ก าหนด จ านวนจรง

คาของ

sin

คาของ

cos

คาของ

tan

คาของ

csc

คาของ

sec

คาของ

cot

0

2

3

2

3

2

3

4

3

5

3

4

3

4

5

4

7

4

6

5

6

7

6

24

เอกสารฝกทกษะท 2 วชาคณตศาสตรเพมเตม ค 30203 บทท 2 เรอง ฟงกชนไซนและโคไซน

จงหาคาของขอตอไปน

(1) 5 3sin cos

4 4

………………………………………………………………….…………

……………………………………………………………….……………

(2) 11 7n( ) csc

6 6 ta

………………………………………………………………….…………

……………………………………………………………….……………

…………………………………………………………………….………

(3) 8 21s c csc

3 6e

………………………………………………………………….…………

………………………………………………………………….…………

………………………………………………………………….…………

(4) 33 27csc tan

3 4

………………………..……………………………………………………

………………………………………………………………….…………

……………………………………………………………….……………

(5) 35 51sec( ) csc( )

4 6

…………………………..…………………………………….………

…………………………………………………………………….………

…………………………………………………………………….………

(6) 2 217 32cot tan

6 3

……………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………

25

ใบกจกรรมท 2.3.2 วชาคณตศาสตรเพมเตม ( ค 30203 ) บท ท 2 เรอง ฟงกชนตรโกณมตอน ๆ


(1) จงหาคาของขอตอไปน

1.1 5 3sin cos

4 4

……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………….…………………

1.2 11 7n csc

6 6ta

…………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………….…………………

1.3 8 21s c csc

3 6e

…………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………….…………………

1.4 33 27csc tan

3 4

…………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………….…………………

……………………………………………………………………………………….…………………

1.5 35 51sec csc

4 6

…………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………….…………………

……………………………………………………………………………………….…………………

1.6 2 217 32cot tan

6 3

…………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………….…………………

……………………………………………………………………………………….…………………

26

ใบงานท 2.3 วชาคณตศาสตรเพมเตม ( ค 30203 ) บทท 2 เรอง ฟงกชนตรโกณมตอน ๆ


(1) จงหาคาของขอตอไปน

1.1 3 3 2 2sin csc cos sec

4 4 3 3

……………………………………………………………………………………….…………………

……………………………………………………………………………………….…………………

1.2 5 3 7n csc cos sin

6 6 4 4ta

…………………………………………………………

……………………………………………………………………………………….…………………

……………………………………………………………………………………….…………………

1.3 5 3 2 11sin s c cot csc

4 4 3 6e

……………………………………………………………………………………….…………………

……………………………………………………………………………………….…………………

1.4 13 13 15 21cos csc tan cot

3 6 4 4

……………………………………………………………………………………….…………………

……………………………………………………………………………………….…………………

1.5 33 29 52 61sec csc cos sin

4 4 3 6

……………………………………………………………………………………….…………………

……………………………………………………………………………………….…………………

1.6 2 2 2 24 17 25 22sin cot cos tan

3 4 6 3

……………………………………………………………………………………….…………………

……………………………………………………………………………………….…………………

27

ใบความรท 2.4.1 วชาคณตศาสตร ( ค 30203) บทท 2 เรอง ฟงกชนตรโกณมตของมม

ค ำชแจง ใหนกเรยนศกษาเนอหาทก าหนดให เปนกลม

(1) มมและการวดมม - มมเกดจาก สวนของเสนตรงของเสนทแยกออกจากกน สวนของเสนตรง 2 เสน นน เสนหนงเรยกวา ดานเรมตนของมม อกเสนหนงเรยกวา ดานสนสดของมม - การวดมม วดได 2 แบบ คอ แบบทวนเขมนาฬกา (ก าหนดใหคาของมมเปน +) และการวดแบบตามเขมนาฬกา (ก าหนดคาของมมเปน - ) - หนวยของมม ม 2 แบบ คอ

- หนวยของมมทเปนองศา ( ) โดยถอวา มมทเกด จากการหมนสวนของเสน ตรงไปครบหนงรอบ มขนาดเทากบ 360 องศา และแบงหนวยองศาออกเปน

หนวยยอย คอ ลปดา /( ) และ ฟลปดา //( ) โดยท / / //1 60 , 1 60 - หนวยของมมทเปนเรเดยน (radian) คอ มมทจดศนยกลางของวงกลมซงรอง รบดวยสวนโคงของวงกลมทยาวเทากบรศมของวงกลมวงนน จะถอวามขนาด เทากบ 1 เรเดยน - เนองจากความยาวเสนรอบวงของวกลมทมรศมยาว r หนวย ยาว 2 r หนวย ดงนน มมทจดศนยกลางของวงกลม ซงรองรบดวยสวนโคงทยาว 2 r หนวย

จงมขนาดเทากบ 22

r

r

เรเดยน

- การเปรยบเทยบมม ทง 2 แบบ 360 องศา = 2 เรเดยน

1 องศา = 180

เรเดยน 0.01745 เรเดยน

1 เรเดยน = 180

องศา /57 18

ตวอยาง จงเปลยน 12

เรเดยน เปน องศา และเปลยน 75 องศา เปน เรเดยน

วธท า 1

2 เรเดยน = /1 180 1

57 182 2 75 องศา = 75 75 0.01745

180

/28 39 51.30875

12

28

ใบความรท 2.4.2 วชาคณตศาสตร ( ค 30203 ) บทท 2 เรอง ฟงกชนตรโกณมตของมม


(2) ฟงกชนตรโกณมตของมม - เมอจดยอดมมของมม ๆ หนงอยทจด ( 0 , 0 ) ดานเรมตนทาบแกน x ทางบวก จะเรยกมมนนวา มมในต าแหนงมาตรฐาน - สวนโคงของวงกลมหนงหนวย ทรองรบมมทจดศนยกลางขนาด เรเดยน จงยาวเทากบ หนวย - เมอก าหนดมมขนาด เรเดยนใหหนงมม แลวจดสนสดของดานสนสดของมม จะเปนจดเดยวกนกบ จดปลายสวนโคงทยาว หนวย ดวย - ไมวาจะนยามฟงกชนตรโกณมตของมมหรอความยาวสวนโคง ของวงกลมหนงหนวย ทรองรบมมนน คาของฟงกชนตรโกณมตของจ านวนเหลานน จงมคา เทากน

ตวอยาง จงหาคาของฟงกชนตรโกณมตของมม ตอไปน

(1) sin 60 sin3

(2) cos 135 cos(180 45 )

3

2 cos 45 cos

4

2

2

(3) tan ( 210 ) ………………………………. (4) sec( 405 ) ……………………………….

= ……….……………………………………….… = ……….……………………………………….…

(x , y)

y

(1,0) x

O

(x , -y)

y

(1,0) x

O

> 0 < 0

29

ใบความรท 2.4.3 วชาคณตศาสตร ( ค 30203 ) บทท 2 เรอง ฟงกชนตรโกณมตของมม


(3) ฟงกชนตรโกณมตของมมของรปสามเหลยมมมฉาก - รปสามเหลยมมมฉากทสรางขน บนวงกลมหนงหนงหนวย และมจดยอดมม อยทจด (0 , 0) มขนาดเทากบ เรเดยน หรอ องศา จะไดวา

sin A = sin (ความยาวสวนโคง FD) = DE

cos A = cos (ความยาวสวนโคง FD) = AE เนองจาก AED ACB

จะไดวา DE BC AE AC

และAD AB AD AB

แต AD = 1

ดงนน BC a

DEAB c

และ AC b

AEAB c

นนคอ ความยาวของดานตรงขามมม A

sinความยาวของดานตรงขามมมฉาก

A

ความยาวของดานประชดมม A

sความยาวของดานตรงขามมมฉาก

co A

ความยาวของดานตรงขามมม A

tanความยาวของดานประชดมม A

A

ตวอยาง ก าหนด มมฉาก ABC โดยม มม C เปนมมฉาก ดาน AC ยาว 4 หนวย และ มม A = 30 องศา จงหา ความยาวดาน AB และ BC

วธท า สรางรปประกอบ เนองจาก cos 30b

c และ tan 30

a

b

ดงนน cos30

bc tan 30a b

4 8

3 3

2

34 ( )

3

4.618 2.309

(1,0) X

Y

A C

D

E F

B

A C

B

30

a c

4

30



(1) จงเปลยนมมเรเดยนตอไปน เปนมมองศา 1.1 2 เรเดยน = …………………………………………………..……………………………..

1.2 1

3 เรเดยน = …………………………………………………..……………………………..

1.3 1

4 เรเดยน = …………………………………………………..……………………………..

1.4 2

3 เรเดยน = …………………………………………………..……………………………..

1.5 3

4

เรเดยน = …………………………………………………..……………………………..

1.6 17

6

เรเดยน = …………………………………………………..……………………………..

1.7 22

5

เรเดยน = …………………………………………………..……………………………..

(2) จงเปลยนมมองศา ตอไปน เปนมมเรเดยน 2.1 15 องศา = …………………………………………………..…………………………….. 2.2 75 องศา = …………………………………………………..…………………………….. 2.3 105 องศา = …………………………………………………..…………………………….. 2.4 120 องศา = …………………………………………………..…………………………….. 2.5 135 องศา = …………………………………………………..…………………………….. 2.6 150 องศา = …………………………………………………..…………………………….. 2.7 210 องศา = …………………………………………………..…………………………….. 2.8 225 องศา = …………………………………………………..…………………………….. 2.9 240 องศา = …………………………………………………..…………………………….. 2.10 300 องศา = …………………………………………………..…………………………….. 2.11 315 องศา = …………………………………………………..…………………………….. 2.12 330 องศา = …………………………………………………..……………………………..

31

ใบกจกรรมท 2.4.2 วชาคณตศาสตรเพมเตม ( ค 30203 ) บท ท 2 เรอง ฟงกชนตรโกณมตอน ๆ ชอนกเรยน .......................................…………................ชน.......…........เลขท............... กลมท ............


(1) จงหาคาของฟงกชนตรโกณมตของมม ตอไปน

1.1 sin 135 ………………………….….. 1.2 cos 120 ……………………………..

= ……….……………………….…….……… = ……….…………………………………….

1.3 tan 150 ………………….…………… 1.4 sec 225 …………………..………….

= ……….……………………….………….… = ……….…………………………………….

= ……….……………………….………….… = ……….…………………………………….

1.5 csc 240 ………………….………….. 1.6 cot 300 ………………………………

= ……….……………………….………….… = ……….…………………………………….

= ……….……………………….………….… = ……….…………………………………….

1.7 sin ( 210 ) ………………………….. 1.8 cos( 315 ) …………………………

= ……….……………………….………….… = ……….…………………………………….

= ……….……………………….………….… = ……….…………………………………….

1.9 tan( 450 ) ………………….……… 1.10 sec( 240 ) …………………..…….

= ……….……………………….………….… = ……….…………………………………….

= ……….……………………….………….… = ……….…………………………………….

1.11 csc( 480 ) ………………….……… 1.12 cot ( 510 ) …………………………

= ……….……………………….………….… = ……….…………………………………….

= ……….……………………….………….… = ……….…………………………………….

32



(1) จงหาความยาวของดานทเหลอของสามเหลยมมมฉาก ABC เมอก าหนด มมและ ดานบางดานมาให จากขอตอไปน 1.1 มมม C เปนมมฉาก มม A = 45 องศา และดาน AC ยาว 3 หนวย วธท า ……….…………………………………….……….……………………………………………….…….

……….…………………………………….……….……………………………………………………………….

……….…………………………………….……….……………………………………………………………….

……….…………………………………….……….……………………………………………………………….

……….…………………………………….……….……………………………………………………………….

……….…………………………………….……….………………………………………………………………. 1.2 มมม C เปนมมฉาก มม A = 60 องศา และดาน AB ยาว 8 หนวย วธท า ……….…………………………………….……….……………………………………………….…….

……….…………………………………….……….……………………………………………………………….

……….…………………………………….……….……………………………………………………………….

……….…………………………………….……….……………………………………………………………….

……….…………………………………….……….……………………………………………………………….

……….…………………………………….……….……………………………………………………………….

(2) ก าหนดให 3cos , 0 90

5 จงหา sin และ tan

วธท า ……….…………………………………….……….……………………………………………….…….

……….…………………………………….……….……………………………………………………………….

……….…………………………………….……….……………………………………………………………….

……….…………………………………….……….……………………………………………………………….

……….…………………………………….……….……………………………………………………………….

……….…………………………………….……….……………………………………………………………….

33

ใบงานท 2.4 วชาคณตศาสตรเพมเตม ( ค 30203 ) บทท 2 เรอง ฟงกชนตรโกณมตอน ๆ


(1) จงหาคาของฟงกชนตรโกณมตทกฟงกชนของมม 850 องศา วธท า ……….…………………………………….……….……………………………………………….…….

……….…………………………………….……….……………………………………………………………….

……….…………………………………….……….……………………………………………………………….

……….…………………………………….……….……………………………………………………………….

……….…………………………………….……….……………………………………………………………….

……….…………………………………….……….……………………………………………………………….

……….…………………………………….……….……………………………………………………………….

(2) สามเหลยมมมฉาก ABC มมม C เปนมมฉาก ดาน AC = 1 ดาน AB = 3 จงหามมและดานทเหลอ วธท า ……….…………………………………….……….……………………………………………….…….

……….…………………………………….……….……………………………………………………………….

……….…………………………………….……….……………………………………………………………….

……….…………………………………….……….……………………………………………………………….

……….…………………………………….……….……………………………………………………………….

……….…………………………………….……….……………………………………………………………….

(3) ก าหนดให tan 2 , 0 90A A จงหา คาของฟงกชนตรโกณมตของมม A วธท า ……….…………………………………….……….……………………………………………….…….

……….…………………………………….……….……………………………………………………………….

……….…………………………………….……….……………………………………………………………….

……….…………………………………….……….……………………………………………………………….

……….…………………………………….……….……………………………………………………………….

……….…………………………………….……….……………………………………………………………….

34

ใบความรท 2.5.1

วชาคณตศาสตรเพมเตม (ค 30203) บทท 2 เรอง การใชตารางคาฟงกชนตรโกณมต ค ำชแจง ใหนกเรยนศกษาเนอหาทก าหนดให เปนกลม ( 15 นาท )

การใชตารางคาฟงกชนตรโกณมต จากหวขอทกลาวมาแลว ไดทราบคาของฟงกชนตรโกณมตของจ านวนจรงหรอมม

บางมมมาบางแลว และทราบดวยวา ไมวาจะก าหนดจ านวนจรง ( หรอมม ) ใด ๆ ทอยในโดเมนของฟงกชนตรโกณมตนนมาให จะสามารถหาคาของฟงกชนตรโกณมตของจ านวนจรงหรอมมนนไดเสมอ ส าหรบคาฟงกชนตรโกณมตจากตาราง เปนคาทหาจากจ านวนจรง หรอมมตงแต

0 ถง 2

หรอ 00 ถง 900 ถามมหรอจ านวนจรงทมากกวาน ใหใชวธการหาคาฟงกชนทเปน

จดสมมาตรของมมหรอจ านวนจรงตงแต 00 ถง 900 หรอ 0 ถง 2

ตวอยางตารางคาฟงกชนตรโกณมต

Degree Radians Sine tangent cotangent cosine 27๐ 00/ 0.4712 .4540 .5095 1.9626 .8910 63๐ 00/ 1.0996 10/ 0.4741 .4566 .5132 1.9486 .8897 50/ 1.0966 20/ 0.4771 .4592 .5169 1.9347 .8884 40/ 1.0937 30/ 0.4800 .4617 .5206 1.9210 .8870 30/ 1.0908 40/ 0.4829 .4643 .5243 1.9074 .8857 20/ 1.0879 50/ 0.4858 .4669 .5280 1.8940 .8843 10/ 1.0850 28๐ 00/ 0.4887 .4695 .5317 1.8807 .8829 62๐ 00/ 1.0821 10/ 0.4916 .4720 .5354 1.8676 .8816 50/ 1.0792 20/ 0.4945 .4746 .5392 1.8546 .8802 40/ 1.0763 30/ 0.4974 .4772 .5430 1.8418 .8788 30/ 1.0734 40/ 0.5003 .4797 .5467 1.8291 .8774 20/ 1.0705 50/ 0.5032 .4823 .5505 1.8165 .8760 10/ 1.0676

cosine cotangent tangent Sine Radians Degree

35


วชาคณตศาสตรเพมเตม (ค 30203) บทท 2 เรอง การใชตารางคาฟงกชนตรโกณมต คาฟงกชนตรโกณมตจากตาราง เปนคาทหาจากมมหรอจ านวนจรงตงแต 00 ถง 900

หรอ 0 ถง 2

ถามมหรอจ านวนจรงทมากกวาน ใหใชวธการหาคาฟงกชนทเปนจดสมมาตร

ของมมหรอจ านวนจรงตงแต 00 ถง 900 หรอ 0 ถง 2

ตวอยางท 1 จงใชคาของฟงกชนตรโกณมตจากตาราง มาหาคาของฟงกชนตอไปน

(1) cos 125 (2) sin 226

วธท า cos 125 cos(180 55 ) วธท า sin 226 sin (180 46 )

cos 55 sin 46 เปดตาราง จะได 0.5736 เปดตารางจะได

(3) tan ( 306 ) (4) /sin 100 20

วธท า tan ( 306 ) tan 306 วธท า / /sin 100 20 sin (180 79 40 )

tan (360 54 ) /sin 79 40 ( tan 54 ) 1.3764 0.9838

ตวอยางท 2 จงใชคาของฟงกชนตรโกณมตจากตาราง มาหาคาของฟงกชนตอไปน

(1) /cos 77 44 (2) /sin 32 28 วธท า หาโดยวธเทยบสดสวน ดงน วธท า หาโดยวธเทยบสดสวน ดงน

44

0.0171 60

x 28

0.0147 60

x

x = 0.0125 x = 0.0069

ดงนน /cos 77 44 = 0.2250 - 0.0125 ดงนน /sin 32 28 = 0.5299 + 0.0069 = 0.2125 = 0.5368

/cos 77 44

/cos 77 00

/cos 78 00

0.2250

0.2079

+ 44/

+ 60/

- x - 0.0171

+ x /sin 32 28

/sin 32 00

/sin 33 00

+ 28/

+ 60/ + 0.0147

0.5299

0.5446

36

เอกสารฝกหดท 2.5.1

วชาคณตศาสตรเพมเตม (ค 30203) บทท 2 เรอง การใชตารางคาฟงกชนตรโกณมต

ค าสง ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวาง ใหถกตอง

(1) จงใชคาจากตารางคาฟงกชนตรโกณมต ตอบค าถามตอไปน

1.1 'cos 11 10 =……………………… 1.7 sin 0.5091 =…………..…….……..…

1.2 'sin 16 20 =………………….…… 1.8 sin 1.1868 =…………..…….…..……

1.3 'cos 32 30 =……………………… 1.9 cos 0.0785 =…………..……….……

1.4 'sin 40 50 =………………….…… 1.10 cos 1.4515 =…………..……..………

1.5 'tan 31 20 =……………….……… 1.11 tan 0.1338 =…………..……..……..

1.6 'cot 44 40 =…………………….… 1.12 cot 0.1658 =…………..……..………

(2) จงใชคาจากตารางคาฟงกชนตรโกณมต ในการประยกต ตอบค าถามตอไปน

2.1 'cos 135 20 =……………………… 2.5 'sin 98 50 =…………..…….………

=…………………………………………… =…………..………………………..………

=…………………………………………… =…………..………………………..………

2.2 'cos 241 30 =……………………… 2.6 'tan 120 50 =…………..…….…….

=…………………………………………… =…………..………………………..………

=…………………………………………… =…………..………………………..………

2.3 's 131 40in =……………………… 2.7 'tan 248 30 =…………..…….……

=…………………………………………… =…………..………………………..………

=…………………………………………… =…………..………………………..………

2.4 'sin278 10 =………………….…… 2.8 'cot 134 20 =…………..……..…….

=…………………………………………… =…………..………………………..………

=…………………………………………… =…………..………………………..………

37



ค ำชแจง ใหนกเรยนท ากจกรรมทก าหนดใหเปนกลม พรอมกบน าเสนอผลงาน (20 นาท)

(1) จงหาคาของฟงกชนตอไปน โดยใชตาราง 1.1 '2031cos =…………….…………..…. 1.2 '5048sin =……………..…….……… 1.3 '5073tan =…………….………….….. 1.4 '30148sin =…………….…………… 1.5 '10330cos =…………….……….…… 1.6 '40448tan =…………….……….…. 1.7 )2062(cos ' =…………….…………. 1.8 )5084(sin ' =…………….……….… 1.9 cos 0.3840=…………….………………. 1.10 tan 4.3546 =……………….….….…..

(2) จงหาคาของ เมอ 0 90 เมอก าหนดคาของฟงกชนดงน 2.1 cos 0.9194 ……….….…………… 2.2 sin 0.8732 ……………….……… 2.3 cos 0.7660 ……….….…………… 2.4 tan 3.4124 ………..….….……… 2.5 cos 0.8631 …………………..……. 2.6 sin 0.3090 ……………….……… 2.7 tan 0.5280 ……………….….……. 2.8 tan 1.0913 ……………….….…… 2.9 cos 0.5592 ……………….………. 2.10 sin 0.1190 ……………….…….…

(3) จงหาคาของฟงกชนตอไปน โดยใชตาราง 3.1 '2442cos =…………….……..……… 3.2 '4578sin =……………….……………

……………………………………………….………… …………………………….……………………………

……………………………………………….………… …………………………….……………………………

……………………………………………….………… …………………………….……………………………

……………………………………………….………… …………………………….……………………………

……………………………………………….………… …………………………….……………………………

……………………………………………….………… …………………………….……………………………

……………………………………………….………… …………………………….……………………………

……………………………………………….………… …………………………….……………………………

38

ใบงานท 2.5



(1) จงหาคาของฟงกชนตรโกณมตตอไปน โดยใชตาราง 1.1 '3028sin .............….......……......... 1.2 '20100sin ..........................…........ 1.3 '1066tan ............................……… 1.4 '50136cos ............................……. 1.5 '4044cos .……............................. 1.6 '30243tan ............................…….

(2) จงหาคามม A เมอ 1800 A เมอก าหนดคาของฟงกชนตรโกณมตมาให 2.1 cos 0.9872A 2.2 sin 0.9520A .....................................….......................... ...............................................…................ 2.3 tan 0.5206A 2.4 sin 0.4540A .....................................….......................... ...............................................…................ 2.5 cos 0.8760A 2.6 tan 0.6830A .....................................….......................... ...............................................…................

(3) จงหาคาของฟงกชนตรโกณมตตอไปน โดยอาศยคาจาตาราง 3.1 '2436cos

วธท า .....................................................................….........................……………..............................

.....................................................................................….........................……………..............................

.....................................................................................….........................……………..............................

.....................................................................................….........................……………..............................

.....................................................................................….........................……………..............................

3.2 '3348tan

วธท า .....................................................................….........................……………..............................

.....................................................................................….........................……………..............................

.....................................................................................….........................……………..............................

.....................................................................................….........................……………..............................

39

ใบความรท 2.7.1 วชาคณตศาสตร ( ค 30203 )

บทท 2 เรอง ฟงกชนตรโกณมตของผลบวกและผลตางของจ านวนจรงหรอมม ค าชแจง ใหนกเรยนศกษาเนอหาและท ากจกรรมทก าหนดให เปนกลม ( 15 นาท )

(1) การหาความสมพนธของ cos( )A B และ cos( )A B

จากรป ก าหนดวงกลมหนงหนวยบนระนาบพกดฉาก และให

2 1,P P A P P B

ดงนน 3 1 2

P P P P A B และจะไดวา

3 1 2| | | |P P P P

3 3 2 1 2 1

2 2 2 2( 1) ( ) ( ) ( )x y x x y y

…………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………..

ดงนน cos( ) cos cos sin sinA B A B A B

ถาลองน าคาของ cos( )A B ไปหาคาของ cos( )A B จะไดดงน

cos( )A B cos[ ( )]A B

……………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………..

สรปเปนสตรไดวา cos( ) cos cos sin sinA B A B A B

cos( ) cos cos sin sinA B A B A B

P(1,0)

X

Y

P1(x1,y1) P2(x2,y2) P3(x3,y3)

40

ใบความรท 2.7.2 วชาคณตศาสตร ( ค 30203 )

บทท 2 เรอง ฟงกชนตรโกณมตของผลบวกและผลตางของจ านวนจรงหรอมม ค าชแจง ใหนกเรยนศกษาเนอหาและท ากจกรรมทก าหนดให เปนกลม ( 20 นาท )

(2) การหาความสมพนธของ sin ( )A B และ sin ( )A B

เนองจาก sin ( ) cos[ ( )]2

A B A B

cos[( ) ]2

A B

= ……………………………………………….……………………………. = ……………………………………………….……………………………. = ……………………………………………….……………………………. ดงนน sin( ) sin cos s sinA B A B co A B

ในลกษณะเดยวกน จะไดวา sin( ) sin cos s sinA B A B co A B

(3) การหาความสมพนธของ )BAtan( และ )BAtan(

)BAtan( = = ……………………………….……………………..……….

= ……………………………….…………………..………….

= ……………………………….…………………..………….

= ……………………………….…………………..………….

= ……………………………….…………………..………….

ดงนน tan tan

tan ( )1 tan tan

A BA B

A B

ในลกษณะเดยวกน จะไดวา tan tan

tan ( )1 tan tan

A BA B

A B

sin ( )

cos( )

A B

A B

41


วชาคณตศาสตรเพมเตม (ค 30203) บทท 2 เรอง ฟงกชนตรโกณมตของผลบวกและผลตางของจ านวนจรงหรอมม

จงเตมค าตอบลงในชองวางตอไปน ใหถกตอง

(1) มมทมหนวยเปนองศา ทหาคาฟงกชนตรโกณมตไดงาย เชน ………………......................…………..

2) มมทมหนวยเปนเรเดยน ทหาคาฟงกชนตรโกณมตไดงาย เชน ....................…………….………...…

(3) จงแยกมมทก าหนดให ใหอยในรปผลบวก หรอผลตางของมม 2 มม ทสามารถหาคาของ ฟงกชนตรโกณมตไดงาย โดยใชมมในขอ (1) หรอ ขอ (2)

ก าหนดมมทจะหาคาของฟงกชนตรโกณมต

แยกมมใหอยในรปผลตางของมม ทหาคาฟงกชนตรโกณมตไดงาย

แยกมมใหอยในรปผลบวกของมม ทหาคาฟงกชนตรโกณมตไดงาย

15 45 30 –

75 – 45 30

105

135

165

390

435

12

5

12

7

12

42

ใบงานท 2.8.1


จงหาคาของฟงกชนตอไปน ในรปแบบของ ( )cos A B และ ( )cos A B

1) 15cos = ………….………….…………….…… 2) 165cos =…………………………...………….

……………………………….……………………. …………………..……………………………….

……………………………….……………………. …………………..……………………………….

……………………………….……………………. …………………..……………………………….

3) ( 105 )cos = …………………………...……. 4) 17

12cos

=…...…………………………………

……………………………….……………………. …………………..……………………………….

……………………………….……………………. …………………..……………………………….

……………………………….……………………. …………………..……………………………….

……………………………….……………………. …………………..……………………………….

5) ให

Bcos,Asin โดยท 0 A 90 , 90 B 180 จงหา

5.1 cos( )A B =…………………………………………………………………………….

=…………………………………………………….………………………

=…………………………………………………….………………………

=…………………………………………………….……………………… 5.2 cos( )A B =…………………………………………………………………………….

=…………………………………………………….………………………

=…………………………………………………….………………………

=…………………………………………………….………………………

43



จงหาคาของฟงกชนตอไปน ในรปแบบของ ( A B)sin และ ( A B)sin

1) 15sin = ………….………….…………….…… 2) 165sin =…………………………...………….

……………………………….……………………. …………………..……………………………….

……………………………….……………………. …………………..……………………………….

……………………………….……………………. …………………..……………………………….

……………………………….……………………. …………………..……………………………….

3) ( 105 )sin = …………………………...……. 4) 11

12sin

=…...…………………………………

……………………………….……………………. …………………..……………………………….

……………………………….……………………. …………………..……………………………….

……………………………….……………………. …………………..……………………………….

……………………………….……………………. …………………..……………………………….

5) ให 5

4Bcos,

5

3Asin โดยท A , B

จงหา (A B) (A B)sin , sin

5.1 ( )sin A B =……………………………………………………….……

=…………………………………………………….………

=…………………………………………………….………

=…………………………………………………….……… 5.2 ( )sin A B =………………………………………………………….…

=…………………………………………………….………

=…………………………………………………….………

=…………………………………………………….………

44



จงหาคาของฟงกชนตอไปน ในรปแบบของ ( )tan A B และ ( )tan A B

1) 105tan = ………….………….………………… 2) 195 )tan( =…………………………...…..…

……………………………….……………………. …………………..………………………………

……………………………….……………………. …………………..………………………………

……………………………….……………………. …………………..………………………………

3) 1112

tan = …………………………...……. 4) 17

12( )tan

=…...……………………………

……………………………….……………………. …………………..…………………….……….

……………………………….……………………. …………………..…………………………….

……………………………….……………………. …………………..…………………………….

5) ให 5

4Bcos,

5

3Asin โดยท A , B

จงหา (A B) (A B)tan , tan

5.1 ( )tan A B =……………………………………………………….……

=…………………………………………………….………

=…………………………………………………….………

=…………………………………………………….……… 5.2 ( )tan A B =………………………………………………………….…

=…………………………………………………….………

=…………………………………………………….………

=…………………………………………………….………

45

ใบงานท 2.9 บทท 2 เรอง ฟงกชนตรโกณมตของผลบวกและผลตางของจ านวนจรงหรอมม

ใหนกเรยนชวยกนเตมค าตอบลงในชองวาง ใหถกตอง

(1) เนองจาก ( )sin A B …………………………………………………… - - - - - - - - - ( 1 )

( )sin A B ………………………………..…………………… - - - - - - - - - - ( 2 ) น ำ (1) + (2) จะได

( )sin A B ( )sin A B [.....................................................] + [.....................................................]

= .................................................................................................. ...................

= .....................................................................................................................

สรปไดวา ( )sin A B ( )sin A B .................................................................. และน ำ (1) – (2) จะได

( )sin A B ( )sin A B [.....................................................] – [.....................................................]

= .....................................................................................................................

= ................................................................. ....................................................

สรปไดวำ ( )sin A B ( )sin A B ..................................................................

(2) เนองจาก ( )cos A B …………………………………………………… - - - - - - - - - ( 1 )

( )cos A B ………………………………..…………………… - - - - - - - - - - ( 2 )

น า (1) + (2) จะได

( )cos A B ( )cos A B [.....................................................] + [.....................................................]

= .....................................................................................................................

= .....................................................................................................................

สรปไดวา ( )cos A B ( )cos A B .................................................................

และน ำ (1) – (2) จะได

( )cos A B ( )cos A B [.....................................................] – [.....................................................]

= .....................................................................................................................

= ............................................................................................................. ........ สรปไดวำ ( )cos A B ( )cos A B ..................................................................

46

ใบความรท 2.10 ใหนกเรยนรวมกนแสดงวธการหาความสมพนธของฟงกชนไซนและโคไซน ลงในชองวางตอไปน

(1) จงแสดงวา 2 2

sin sin 2 cos sin

วธท า เนองจาก ( A B)sin sin (A B) ......................................................... (1) ถาให A B ---------------- (2) และ A B ---------------(3) (2) + (3) จะไดวา .............................................................. หรอ ...................................................

(2) – (3) จะไดวา .............................................................. หรอ ....................................................

แทนคา A และ B ลงใน (1)

จาก (1) ( A B)sin sin (A B) ..........................................................

จะไดวา .............................................. ......................................................... *********


cos cos 2 cos cos

วธท า เนองจาก ( A B)cos cos (A B) ......................................................... (1) ถาให A B ---------------- (2) และ A B ---------------(3) (2) + (3) จะไดวา .............................................................. หรอ ...................................................

(2) – (3) จะไดวา .............................................................. หรอ ....................................................

แทนคา A และ B ลงใน (1)

จาก (1) ( A B)cos cos (A B) ..........................................................

จะไดวา .............................................. ......................................................... *********


cos cos 2sin sin

วธท า เนองจาก ( A B)cos cos (A B) ......................................................... (1) ถาให A B ---------------- (2) และ A B ---------------(3) (2) + (3) จะไดวา .............................................................. หรอ ...................................................

(2) – (3) จะไดวา .............................................................. หรอ .................................................

แทนคา A และ B ลงใน (1)จาก (1) ( A B)cos cos(A B) .........................................

จะไดวา .......................................... .................................................. *********

47

ใบงาน



1.1) 6sin 75 cos15 =..................………........... 1.2) 4cos15 cos105 ...........................…..........

..........................................………….................. ........………..…......................................................

..........................................………….................. ........………..…......................................................

..........................................………….................. ........………..…......................................................

..........................................………….................. ........………..…......................................................

1.3) 6 165 435sin sin =...........…....................... 1.4) 8cos225 sin 255 ...................................

..........................................………….................. ........………..…......................................................

..........................................………….................. ........………..…......................................................

..........................................………….................. ........………..…......................................................

..........................................………….................. ........………..…......................................................

..........................................………….................. ........………..…......................................................


(1) 165 255sin sin .......….......................... (2) 375 795sin sin ...................................

......................................………….......... ........................... ............……….........................................................

......................................………….......... ........................... ............……….........................................................

......................................………….......... ........................... ............……….........................................................

......................................………….......... ........................... ............……….........................................................

(3) 345 285cos cos .......................…......... (4) 75 195cos cos .....................................

......................................………….......... ........................... ............……….........................................................

......................................………….......... ........................... ............……….........................................................

......................................………….......... ........................... ............……….........................................................

......................................………….......... ........................... ............……….........................................................

48

ใบกจกรรม วชาคณตศาสตร ( ค 42201 )

บทท 2 เรอง ฟงกชนตรโกณมตของผลบวกและผลตางของจ านวนจรงหรอมม

ค าชแจง ใหนกเรยนท ากจกรรมทก าหนดใหเปนกลม พรอมกบน าเสนอผลงาน (30 นาท )

(1) ให 4

3Atan จงหาคาของ sin2A cos2A และ tan2A เมอ 90๐ <A< 180๐

วธท า …………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………….………………………………………………………………………

……………………………………………….………………………………………………………………………

……………………………………………….………………………………………………………………………

……………………………………………….………………………………………………………………………

(2) ให 5

4Asin จงหาคาของ sin3A cos3A และ tan3A เมอ 0 < A < 90๐

วธท า …………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………….………………………………………………………………………

……………………………………………….………………………………………………………………………

……………………………………………….………………………………………………………………………

……………………………………………….………………………………………………………………………

(3) ให 2

2Acos จงหาคาของ

2sin

A , 2

cosA และ

2tan

A เมอ 90๐<A<180๐

2.1 2

sinA =......................................…………………………….......................................................

……………………………………………….………………………………………………………………………

2.2 2

cosA =......................................…………………………….......................................................

……………………………………………….………………………………………………………………………

2.3 2

tanA =......................................…………………………….......................................................

……………………………………………….………………………………………………………………………

49

ใบงานท 2.7.1 บทท 2 เรอง ฟงกชนตรโกณมตของผลบวกและผลตางของจ านวนจรงหรอมม


จงหาคาของฟงกชนตอไปน โดยอาศย ฟงกชนตรโกณมตของมมหรอจ านวนจรง BA

1) cos 255 ๐ =.………………….…………….. 2) sin ( -375 ๐ ) =…………………………………… =……………….………..……………………… =…………………………...……………………

=……………….………..…………..…………… =………………………..………….……………

=……………….………..………………….…… =………………………..…….…………………

3) 12

7cos

=………………………………….. 4) )12

17tan(

=…………………………….………..

=……………….………..……………….……… =…………………………...……………………

=……………….………..……………………… =…………………………...……………………

=……………….………..……………….……… =…………………………...……………………

5) cos (- 435๐ )=……..…..……..…………… 6) )12

29cos(

=..………………….………………..

=……………….………..……………………… =…………………………...……………………

=……………….………..……………………… =…………………………...……………………

=……………….………..……………………… =…………………………...……………………

7) ให sin cos ( )tan

7

25

5

13 2

3

2 และ โดยท 0 จงหา ,

...………………………………………..……………………………………………………………………………

...……………………………………………………..………………………………………………………………

...……………………………………………………..………………………………………………………………

...……………………………………………………..………………………………………………………………

...……………………………………………………..………………………………………………………………

...……………………………………………………..………………………………………………………………

...……………………………………………………..………………………………………………………………

50

ใบงาน บทท 2 เรอง ฟงกชนตรโกณมตของผลบวกและผลตางของจ านวนจรงหรอมม


(1) 4sin 75๐ sin15๐ =………………….…….. (2) 6cos15๐ sin165๐ =……………….………..

=……………….………..……………….……… =………………………..…………………….……

=……………….………..……………….……… =………………………..…………………….……

=……………….………..……………….……… =………………………..…………………….……

(3) cos255๐ cos15๐ =………………….……. (4) -4sin105๐ sin75๐ =…………………………

=……………….………..……………….……… =………………………..…………………….……

=……………….………..……………….……… =………………………..…………………….……

=……………….………..………………….…… =………………………..………………….………

(5) 3sin255๐ cos435๐ =…………………….. (6) -3cos255๐ sin435๐ =……………..………

=……………….………..……………….….…… =………………………..…………………………

=……………….………..…………………..…… =………………………..…………………………

=……………….………..………………..……… =………………………..…………………………

(7) ให cos A = 18090,5

3 A จงหา sin , cos , tan ของมม 2A , 3A ,

2

A

วธท า ………………..…………………………………………………………………………..……………..…

…………..……………..…………………………………………………………………………..……………..…

…………..……………..…………………………………………………………………………..……………..…

…………..……………..…………………………………………………………………………..……………..…

…………..……………..…………………………………………………………………………..……………..…

…………..……………..…………………………………………………………………………..……………..…

…………..……………..…………………………………………………………………………..……………..…

…………..……………..…………………………………………………………………………..……………..…

……………………………………………………………………………………………………………………….

51

ใบความร 2.11 วชาคณตศาสตรเพมเตม (ค 30203) บทท 2 เรอง อนเวอรสของฟงกชนตรโกณมต

นยาม 1. ฟงกชน arcsine คอ เซตของคอนดบ (x,y) โดยท x = sin y และโดเมน

คอ [ , ]2 2

y

นยมเขยนแทนดวย y = arcsin x หรอ 1siny x

2. ฟงกชน arccosine คอเซตของคอนดบ (x,y) โดยท x = cos y และโดเมน

คอ [0, ]y นยมเขยนแทนดวย y = arccos x หรอ 1sy co x 3. ฟงกชน arctan คอ เซตของคอนดบ (x,y) โดยท x = tan y และโดเมน

คอ ( , )2 2

y

นยมเขยนแทนดวย y = arctan x หรอ 1ny ta x

ขอควรทราบ 1. อนเวอรสของฟงกชน จะเปนฟงกชน กตอเมอ ฟงกชนเดมเปนฟงกชน 1 -1 2. เนองจากฟงกชนตรโกณมตไมเปนฟงกชน 1 -1 ดงนนอนเวอรสของฟงกชนตรโกณมต จงไมเปนฟงกชน

คณสมบตทส าคญของฟงกชนอนเวอรส

1) x)x(sinsináÅÐx)xsin(sin 11 2) x)x(coscosáÅÐx)xcos(cos 11 3) x)x(tantanáÅÐx)xtan(tan 11 4) x)x(csccscáÅÐx)xcsc(csc 11 5) x)x(secsecáÅÐx)xsec(sec 11 6) x)x(cotcotáÅÐx)xcot(cot 11 ตวอยางท 1 จงหาคาของฟงกชนอนเวอรส จากขอตอไปน

(1) 1 1sin

2y (2) 1 2

s2

y co

กตอเมอ 1sin

2y กตอเมอ 2

cos2

y

แต 1sin

6 2

แต 2

cos4 2

ดงนน 6

y

ดงนน 4

y

52

(3) 1 3sin ( )

2y (4) 1tan ( 1)y

กตอเมอ 3sin

2y กตอเมอ tan 1y

แต 3sin ( )

3 2

แต tan ( ) 1

4

ดงนน 3

y

ดงนน 4

y

ตวอยางท 2 จงหาคาของฟงกชนอนเวอรส จากขอตอไปน

(1) 1 2sin (sin )

2

(2) 1cos[sin ( 1)]

ให 1 2sin

2A ให 1sin ( 1) A

จะไดวา 2sin

2A จะไดวา 1 sin A

ดงนน 4

A

ดงนน 2

A

แทนคา 1 2sin (sin )

2

sin4

แทนคา 1cos[sin ( 1)] cos( )

2

2

2 0

(3) 1 1sin[2cos ( )]

2

(4) 1tan (2tan 3 )

ให 1 1cos ( )

2B ให 1tan 3 B

จะไดวา 1cos

2B จะไดวา 3 tan B

ดงนน 2

3B

ดงนน

3B

แทนคา 1 1sin[2cos ( )]

2

2

sin 2( )3

แทนคา 1tan (2tan 3 ) tan 2( )

3

4sin

3

2

tan3

3

2 3

53

ใบกจกรรมท

วชาคณตศาสตรเพมเตม (ค 30203) บทท 2 เรอง อนเวอรสของฟงกชนตรโกณมต


จงหาคาของฟงกชนอนเวอรส ของฟงกชนตรโกณมตตอไปน

1) 1sin 1 2) 2

1cos 1

.........................................………………...................... ...............................................………………..................

.........................................………………...................... ...............................................………………..................

.........................................………………...................... ...............................................………………..................

.........................................………………...................... ...............................................………………..................

3) )1(tan 1 4) 1tan 3

.........................................………………...................... ...............................................………………..................

.........................................………………...................... ...............................................………………..................

.........................................………………...................... ...............................................………………..................

.........................................………………...................... ...............................................………………..................

5) 1 2cos

2

6) 1 1sin ( )

2

.........................................………………...................... ...............................................………………..................

.........................................………………...................... ...............................................………………..................

.........................................………………...................... ...............................................………………..................

.........................................………………...................... ...............................................………………..................

7) )2

3(sin 1 8) )

2

2(cos 1

.........................................………………...................... ...............................................………………..................

.........................................………………...................... ...............................................………………..................

.........................................………………...................... ...............................................………………..................

.........................................………………...................... ...............................................………………..................

54




จงหาคาของฟงกชนอนเวอรส ของฟงกชนตรโกณมตตอไปน

1) )]2

1(sin[sin 1 =............………................. 2) )]1(cos[cos 1 =.................……….........…

.........................................………………...................... ...............................................……………….................

3) 1 1cos(tan )

3

=.................………........…. 4) 1sin[cos 1] =.................……….........……..

.........................................………………...................... ...............................................……………….................

.........................................………………...................... ...............................................……………….................

7) 1 1sin [ cos ]

2 =................................……. 8) )]

3

2[sin(cos 1

=.................………........

.........................................………………...................... ...............................................……………….................

.........................................………………...................... ...............................................……………….................

9) ]3tan2sin[ 1 =.............…….......…........ 10) )]1(sin2cos[ 1 =.................………...........

.........................................………………...................... ...............................................……………….................

.........................................………………...................... ...............................................……………….................

.........................................………………...................... ...............................................……………….................

11) ]3

1cos

2

1sin[sin 11 12) )

3

1(sin

2

1cos 11

.........................................………………...................... ...............................................……………….................

.........................................………………...................... ...............................................……………….................

.........................................………………...................... ...............................................……………….................

.........................................………………...................... ...............................................……………….................

.........................................………………...................... ...............................................……………….................

.........................................………………...................... ...............................................……………….................

.........................................………………...................... ...............................................……………….................

55




จงหาคาของฟงกชนอนเวอรสของฟงกชนตรโกณมต ตอไปน

1) 2

3sin 1 =…………………..………………… 2) )

2

1(cos 1 =………………….………….…….

.........................................………………...................... ...............................................……………….................

3) 3tan 1 =……………………………………..… 4) ]3

[sinsin 1 =………………………………….

.........................................………………...................... ...............................................……………….................

.........................................………………...................... ...............................................……………….................

7) 2 1 1sin [cos ]

2

=…………………………….… 8) ]4

3[coscos 1 =……….………..……………

.........................................………………...................... ...............................................……………….................

.........................................………………...................... ...............................................……………….................

.........................................………………...................... ...............................................……………….................

9) 1 2cos[2sin ]

2

=……..………………….. 10) 1 7cos [sin ]

6

=…………..…….……………

.........................................………………...................... ...............................................……………….................

.........................................………………...................... ...............................................……………….................

.........................................………………...................... ...............................................……………….................

.........................................………………...................... ...............................................……………….................

11) 1 1sin[3sin ]

2

=………………………….… 12) ])1(cos2

1[tan 1 =…………………….…..…

.........................................………………...................... ...............................................……………….................

.........................................………………...................... ...............................................……………….................

.........................................………………...................... ...............................................……………….................

.........................................………………...................... ...............................................……………….................

56


วชาคณตศาสตรเพมเตม (ค 42201) บทท 2 เรอง เอกลกษณและสมการตรโกณมต


(1) เอกลกษณตรโกณมต คอ รปแบบของสมการตรโกณมต ทเปนจรงทกคาของมมหรอ จ านวนจรงทปรากฏในฟงกชนนน หลกในการพสจนเอกลกษณ 1. พสจนขางใดขางหนงใหตรงกบอกขางหนง ( ใหเลอกเอาดานทซบซอนมาพสจน )

2. ควรจดทกฟงกชน ใหมาอยในรปของ sin หรอ cos กอน

3. น าเอกลกษณทพสจนไวแลวมาเลอกใช

4. อาศยหลกการแยกตวประกอบ เชน น2- ล2 = (น-ล)(น+ล)

น3- ล3 = (น-ล)(น2+นล+ล2) น3+ ล3 = (น+ล)(น2-นล+ล2)

5. เอกลกษณพนฐาน ทน ามาชวยอางองในการพสจนเอกลกษณ คอ

1) 2 2sin cos 1 หรอ 2 2sin 1 cos

2) 2 21 tan sec หรอ 2 2tan sec 1

3) 2 21 cot csc หรอ 2 2cot csc 1

4) 1cot

tan

หรอ 1

tancot

5) sin( ) sin หรอ cos( ) cos 6) cos( ) cos cos sin sinA B A B A B 7) sin( ) sin cos cos sinA B A B A B 8) sin 2 2sin cosA A A

9) 2 2cos 2 cos sinA A A

10) 2 2cos 2 2cos 1 1 2sinA A A

57




(2) สมการตรโกณมต คอ สมการทมฟงกชนตรโกณมตปรากฏอย และจะเปนจรงส าหรบ บางคาของมมหรอจ านวนจรงทอยในโดเมนของฟงกชนนน ซงมค าตอบอย 2 แบบ คอ

1) ค าตอบเฉพาะ หมายถง ค าตอบของสมการภายใตเอกภพสมพทธทมขอบเขตจ ากด 2) ค าตอบทวไป หมายถง ค าตอบของสมการภายใตเอกภพสมพทธ R หรอ สมการ ทไมไดก าหนดเอกภพสมพทธมาให

ค าตอบทวไปของสมการตรโกณมต จะก าหนดเอกภพสมพทธ เปน R จากสตร ถาให คอ มมหรอจ านวนจรงทตองการหาในสมการตรโกณมต

และให คอ ค าตอบทเลกทสดทเปนบวกของสมการ และ n I แลว จะไดวา

1. ค าตอบทวไปของฟงกชน sin และ cosec คอ ( 1)nn 2. ค าตอบทวไปของฟงกชน cos และ sec คอ 2n 3. ค าตอบทวไปของฟงกชน tan และ cot คอ n

เนองจาก ฟงกชนตรโกณมต ไมเปนฟงกชน 1 – 1 คาของฟงกชนตรโกณมตของมมหรอ จ านวนจรงใด ๆ อาจจะซ ากนได ดงนน การหาค าตอบของสมการตรโกณมต ถาโจทยไมไดก าหนดวาค าตอบอยในชวงใดชวงหนง แลว ค าตอบทควรตอบ ค าตอบในรปทวไป

58

เอกสารฝกทกษะ

ค ำชแจง จงพสจนเอกลกษณของฟงกชนตรโกณมต ตอไปน 1) csc cos cot วธท า ..............................……………….................... ..................................... [ เหตผล.................................. ]

.........................................………………................ ........................................... [ เหตผล.................................. ]

.........................................………………............. .............................................. [ เหตผล.................................. ]

.........................................………………........................................................... [ เหตผล.................................. ]

2) 2 21 tan ( ) sec วธท า ..............................……………….................... ..................................... [ เหตผล.................................. ]

.........................................………………................ ........................................... [ เหตผล.................................. ]

.........................................………………............. .............................................. [ เหตผล.................................. ]

.........................................………………............ ............................................... [ เหตผล.................................. ]

3) cos ( tan cot ) csc วธท า ..............................……………….................... ..................................... [ เหตผล.................................. ]

.........................................………………................ ........................................... [ เหตผล.................................. ]

.........................................………………............. .............................................. [ เหตผล.................................. ]

.........................................………………........................................................... [ เหตผล.................................. ]

4) 2 2tan cot cos sin วธท า ..............................……………….................... ..................................... [ เหตผล.................................. ]

.........................................………………................ ........................................... [ เหตผล.................................. ]

.........................................………………............. .............................................. [ เหตผล.................................. ]

.........................................………………............ ............................................... [ เหตผล.................................. ]

5) 2(sec 1) (sec 1) tan วธท า ..............................……………….................... ..................................... [ เหตผล.................................. ]

.........................................………………................ ........................................... [ เหตผล.................................. ]

.........................................………………............. .............................................. [ เหตผล.................................. ]

.........................................………………............ ............................................... [ เหตผล.................................. ]

59

เอกสารฝกทกษะ

จงพสจนเอกลกษณของฟงกชนตรโกณมต ตอไปน

1) 2

1

cos1 sin

sin

วธท า ..............................……………….................... ..................................... [ เหตผล.................................. ]

.........................................………………................ ........................................... [ เหตผล.................................. ]

.........................................……………….. ......................................................... [ เหตผล.................................. ]

.........................................………………............ ............................................... [ เหตผล.................................. ]

2) cot 2cot 2 tan วธท า ..............................……………….................... ..................................... [ เหตผล.................................. ]

.........................................………………................ ........................................... [ เหตผล.................................. ]

.........................................………………............. .............................................. [ เหตผล.................................. ]

.........................................………………........................................................... [ เหตผล.................................. ]

.........................................………………............ ............................................... [ เหตผล.................................. ]

3) 2 2

2sin cos coscot

1 sin sin cos

วธท า ..............................……………….................... ..................................... [ เหตผล.................................. ]

.........................................………………................ ........................................... [ เหตผล.................................. ]

.........................................………………............. .............................................. [ เหตผล.................................. ]

.........................................………………........................................................... [ เหตผล.................................. ]

.........................................………………............ ............................................... [ เหตผล.................................. ]

4) sin 2tan

1 cos 2

วธท า ..............................……………….................... ..................................... [ เหตผล.................................. ]

.........................................………………............. .............................................. [ เหตผล.................................. ]

.........................................………………............. .............................................. [ เหตผล.................................. ]

.........................................………………............ ............................................... [ เหตผล.................................. ]

.........................................………………............ ............................................... [ เหตผล.................................. ]

60

ใบกจกรรม


ค ำชแจง ใหนกเรยนท ากจกรรมทก าหนดใหเปนกลม พรอมกบน าเสนอผลงาน (25 นาท ) จงพสจนเอกลกษณตอไปน

(1) AsecAtan1 22 (2) 1AcscAcosAtan 222

................................................………..…................. .....................……………..............................................

................................................………..…................. .....................……………..............................................

................................................………..…................. .....................……………..............................................

................................................………..…................. .....................……………..............................................

(3) AAA 2sin1)sin(cos 2 (4) AAA 2sin1)cos(sin 2

................................................………..…................. .....................……………..............................................

................................................………..…................. .....................……………..............................................

................................................………..…................. .....................……………..............................................

................................................………..…................. .....................……………..............................................

(5) AAAA 222 cscsec)cot(tan (6) 12

cos2cos 2 A

A

................................................………..…................. .....................……………..............................................

................................................………..…................. .....................……………..............................................

................................................………..…................. .....................……………..............................................

................................................………..…................. .....................……………..............................................

(7) xsin

xcos1

xcos1

xsin

(8) xsinxcosxcosxsinxcosxsin 33

................................................………..…................. .....................……………..............................................

................................................………..…................. .....................……………..............................................

................................................………..…................. .....................……………..............................................

................................................………..…................. .....................……………..............................................

................................................………..…................. .....................……………..............................................

................................................………..…................. .....................……………..............................................

61

ใบกจกรรม



จงแกสมการตรโกณมตตอไปน

1) 3sin2 เมอ 0

..…………………………………………………..………………………………………………………………….

..…………………………………………………..…………………………………………………………………….

..…………………………………………………..………………………………………………………………….

..…………………………………………………..…………………………………………………………………….

..…………………………………………………..…………………………………………………………………….

..…………………………………………………..…………………………………………………………………….

2) coscos 2 เมอ 1800

..…………………………………………………..………………………………………………………………….

..…………………………………………………..…………………………………………………………………….

..…………………………………………………..…………………………………………………………………….

..…………………………………………………..………………………………………………………………….

..…………………………………………………..…………………………………………………………………….

..…………………………………………………..…………………………………………………………………….

3) 01sincos2 2 เมอ ][ 2,0

..…………………………………………………..………………………………………………………………….

..…………………………………………………..…………………………………………………………………….

..…………………………………………………..…………………………………………………………………….

..…………………………………………………..………………………………………………………………….

..…………………………………………………..…………………………………………………………………….

..…………………………………………………..…………………………………………………………………….

..…………………………………………………..…………………………………………………………………….

62

ใบความรท 2.13 วชาคณตศาสตรเพมเตม ( ค 30203 ) บทท 2 เรอง กฏของไซนและโคไซน

ค ำชแจง ใหนกเรยนศกษาเนอหาและปฏบตกจกรรมทก าหนดให พรอมรายงาน ( 15 นาท )

(1) กฏของโคไซน เปนกฎทกลาวถงความสมพนธระหวางดานและมมของรปสามเหลยม ใด ๆ ถาก าหนดดาน 2 ดานและมมระหวางดานทงสองมาให สามารถใชกฎของโคไซน หาความยาวดานและมมทเหลอได หรอ ถาก าหนดดานทงสามดานมาให สามารถใช กฎของโคไซนหามมทงสามของสามเหลยมใด ๆ ได กฎของโคไซน ในรปสามเหลยม ABC ใด ๆ ถา a ,b , c เปนความยาวของดานตรง ขามมม A , B และ C ตามล าดบ จะได

1) 2 2 2 2 cosa b c bc A

2) 2 2 2 2 cosb a c ac B

3) 2 2 2 2 cosc a b ab C

การหากฎของโคไซน ( ในกรณทมม A อยในต าแหนงมาตรฐาน )

ก าหนด ABC ทสรางบนระนาบแกนพกดฉากและมพกดตาง ๆ ตามรป

หาความยาว a หรอ | BC | จากรป จะไดวา

2 2| | ( cos ) ( sin 0)a BC b A c b A 2 2 2 2 2cos 2 cos sina b A bc A c b A 2 2 2 2 2(cos sin ) 2 cosa b A A c bc A 2 2 2 2 cosa b c bc A

X

Y

A(0,0) B(c,0)

C(bcosA , bsinA)

c

b a

C (bcosA , bsinA)

a b

c A(0,0) B(c,0)

Y

X

63


วชาคณตศาสตรเพมเตม ( ค 30203 ) บทท 2 เรอง กฏของไซนและโคไซน ค ำชแจง ใหนกเรยนศกษาเนอหาและปฏบตกจกรรมทก าหนดให พรอมรายงาน ( 15 นาท ) (2) กฏของไซน เปนกฎทกลาวถงความสมพนธระหวาง ดานและมมของรปสามเหลยม ใด ๆ เมอ ก าหนดมม 2 มม และดานทอยระหวางมมทงสองมาให สามารถใชกฎของ ไซน หามมและดานทเหลอ รวมทงใชหาพนทของสามเหลยมรปนนได

กฏของไซน ในรปสามเหลยม ABC ใด ๆ ถา a ,b , c เปนความยาวของดานตรง ขามมม A , B และ C ตามล าดบ จะได

sin sin sinA B C

a b c หรอ

sin sin sin

a b c

A B C

การหากฏของไซน

ก าหนด ABC ทสรางบนระนาบแกนพกดฉากและมพกดตาง ๆ ตามรป

จากรป sin sin 90 1A

และจะไดวา sin bB

a และ sin c

Ca

หรอ sin 1B

b a และ sin 1C

c a

sin sinB A

b a และ sin sinC A

c a

ดงนน จงสรปไดวา sin sin sinA B C

a b c หรอ

sin sin sin

a b c

A B C

การหาพนทสามเหลยมใด ๆ โดยใชกฎของไซน (กรณมม A อยในต าแหนงมาตรฐาน)

พนทของรปสามเหลยม ABC 1 สง ความยาวของฐาน2

1

( sin ) ( )2

b A c

1sin

2bc A

ถามม B และ C อยในต าแหนงมาตรฐาน จะไดสตรวา

พนทของรปสามเหลยม ABC 1 1sin sin

2 2ac B ab C

X

Y

A(0,0) B(c,0)

C ( 0,b )

c

b a

64


วชาคณตศาสตรเพมเตม ( ค 30203 ) บทท 2 เรอง กฏของโคไซน


(1) จงหาความยาวดาน a เมอ b = 2 , c = 2 และ A = 45๐

………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………..

(2) จงหาความยาวดาน c เมอ a = 8 , b =10 และ C = 120๐

………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………..

(3) จงหาขนาดของมม B เมอ a = 3 , b = 4 และ c = 5

………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………..

(4) จงหาขนาดของมมทง 3 เมอ a = 8 , b = 6 และ c = 6

………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………..

65


วชาคณตศาสตรเพมเตม ( 30203 ) บทท 2 เรอง กฏของไซน


(1) ก าหนด ABC จงหา ดาน a และ b เมอ c = 2 , A = 60 ๐ และ B= 45๐

………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………..

(2) ก าหนด ABC จงหาดานและมมทเหลอ เมอ 23c,32b,60C

………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………..

(3) จงหาพนท ABC เมอก าหนดให 12c,14a,60B

………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………..

(4) จงหาพนท ABC เมอก าหนดให 8c,6b,4a

………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………..

66


วชาคณตศาสตรเพมเตม ( ค 30203 ) บทท 2 เรอง กฏของไซนและโคไซน


(1) จงหา a ถา b = 20 , c =30 , A = 60๐

..…………………………………………………………………………………………………………..………….

..…………………………………………………………………………………………………………..………….

..…………………………………………………………………………………………………………..………….

(2) จงหา B ถา a = 25 ,b = 75 , c= 60

..…………………………………………………………………………………………………………..………….

..…………………………………………………………………………………………………………..………….

..…………………………………………………………………………………………………………..………….

(3) จงหา b เมอ C = 45๐, B = 60๐ , c = 6

..…………………………………………………………………………………………………………..………….

..…………………………………………………………………………………………………………..………….

..…………………………………………………………………………………………………………..………….

4) จงหา b , c เมอ B = 105๐, C = 60๐ , a = 4

..…………………………………………………………………………………………………………..………….

..…………………………………………………………………………………………………………..………….

..…………………………………………………………………………………………………………..………….

5) จงหาพนท ABC เมอก าหนดสงตอไปนมาให

5.1) 60 , 3 , 5A b c 5.2) 105 , 3 1 , 2 2B a c

..…………………………………………………………………………………………………………..………….

..…………………………………………………………………………………………………………..………….

..……………………….…………………………………………………………………………………..…………

67

ใบความรท 2.14

วชาคณตศาสตรเพมเตม ( ค 30203 ) บทท 2 เรอง การหาระยะทางและความสง

ค าชแจง ใหนกเรยนศกษาเนอหาและปฏบตกจกรรมทก าหนดให พรอมรายงาน ( 30 นาท )

ระยะทางและความสง ในการวดระยะทางและความสงของสงใดกตาม บางครงจะใชเครองมอส าหรบ วดโดยตรงไมได เชน การวดความสงของภเขา หรอการวดระยะระหวางสถานทสองแหงทม เนนเขากนกลาง เปนตน ปญหาจากการวดเชนน จ าเปนตองใชความรเรองฟงกชนตรโกณมต กฏของไซนและโคไซน ความรเกยวกบมมกม มมเงย มาชวยในการหาค าตอบ มมเงย เกดจาก เสนระดบสายตากบแนวมอง เมอวตถทมองอยสงกวาระดบสายตา มมกม เกดจาก เสนระดบสายตากบแนวมอง เมอวตถทมองอยต ากวาระดบสายตา วตถ เสนระดบสายตา เสนระดบสายตา

ใหนกเรยนชวยกน สรางรป และใชกฏของไซนและโคไซน มาแกโจทยทก าหนดใหตอไปน (1) ชายคนหนงเดนทางออกจากจดเรมตน ไปในทศ 120 องศา เปนระยะทาง 10 ก.ม. แลวเดนทางตอไปในทศตะวนออก เปนระยะทาง 12 กโลเมตร จงหาวา จดสดทาย ทเขาอยน เขาอยหางจากจดเรมตน เทาไร และ อยในทศทางใดของจดเรมตน วธท า …............................................................................................................ ............. ............................................................................................................................. ........... ......................................................................................................... ............................... ............................................................................................................................. ........... ........................................................................................................................................ ............................................................................................................................. ...........

วตถ มมเงย

มมกม

68

ใบกจกรรมท 2.14.1 วชาคณตศาสตรเพมเตม ( ค 30203 ) บทท 2 เรอง ระยะทางและความสง


จงใชกฏของไซน มาแกโจทยปญหาเกยวกบระยะทาง และความสง ตอไปน

(1) ณ จดหนงบนพนราบ ชายคนหนงมองเหนหลอดไฟกระพบบนเสาสงโทรศพท เปนมมเงย 30 องศา เมอเขาเดนตรงเขาไปหาเสานนเปนระยะ 50 เมตร แลวมองดหลอดไฟกระพบ เหนเปนมมเงย 60 องศา จงหาวา เสาสงโทรศพทนสงเทาไร

วธท า ..........................…………………….........................................................................................................

..........................…………………….........................................................................................................

..........................…………………….........................................................................................................

..........................…………………….........................................................................................................

..........................…………………….........................................................................................................

..........................…………………….........................................................................................................

..........................…………………….........................................................................................................

..........................……………………................................................................................ .........................

(2) เสาธงตนหนงถกพายพดหก ยอดเสาหกคางงอลงมาจดพนท ามมกมกบพนราบ 45 องศา ปลายยอดเสาอยหางจากโคนเสา 30 ฟต จงหาวา เสาธงนสงเทาไร

วธท า ..........................……………………......................................................................................................... ..........................…………………….........................................................................................................

..........................…………………….........................................................................................................

..........................…………………….........................................................................................................

..........................…………………….........................................................................................................

..........................…………………….........................................................................................................

..........................…………………….........................................................................................................

..........................…………………….........................................................................................................

69

ใบงานท 2.14.2 วชาคณตศาสตรเพมเตม ( ค 30203) บทท 2 เรอง การหาระยะทางและความสง

ค าสง ใหนกเรยนแสดงวธท า / หาค าตอบทถกตอง ลงในชองวางทก าหนดใหแตละขอ

1) สมชายสง 175 ซม. ยนอย ณ จดหนง พบวา เมอเขามองไปยงยอดเขาลกหนง จะมองเหน เปนมมเงย 15๐ แตถาเขาเดนตามแนวพนราบเขาไปหาเขาลกนนเปนระยะ 1 ก.ม. แลว มองขนไปบนยอดเขาทเดมอก พบวาเปนมมเงย 60๐ จงหาความสงของเขาลกน วธท า ..........................…………………….........................................................................................................

..........................…………………….........................................................................................................

..........................…………………….........................................................................................................

..........................……………………..................................................................................... ....................

..........................…………………….........................................................................................................

2) ก. และ ข. ยนอยบนพนราบหางกน 50 เมตร และยนอยในแนวเดยวกนกบตกหลงหนง ถา ก. และ ข. มองไปบนยอดตกทจดเดยวกน พบวาเปนมมเงย 45๐ และ 30๐ ตาม ล าดบ จงหาวา ทงสองคน ยนอยหางจากตกคนละเทาไร

วธท า ..........................……………………................................................................................. ........................

..........................…………………….........................................................................................................

..........................…………………….........................................................................................................

..........................…………………….........................................................................................................

..........................……………………......................................................................................................... 3) นาย A ยนอยบนประภาคารสง 80 เมตรจากระดบน าทะเล มองเหนเรอ 2 ล าในทะเล ซง อยในแนวเดยวกนกบประภาคาร พบวาเปนมมกม 60๐ และ 45๐ ตามล าดบ จงหาระยะ หางระหวางเรอทงสองล า

วธท า ..........................…………………….........................................................................................................

..........................…………………….........................................................................................................

..........................…………………….........................................................................................................

..........................……………………........................................................................................................ . ..........................…………………….........................................................................................................

70

แบบทดสอบรายจดประสงค (หลงเรยน) รายวชา คณตศาสตรเพมเตม (ค30203) บทท 2 เรอง ฟงกชนตรโกณมตและการประยกต

ค ำสง ใหนกเรยนเลอกกากบาท ( x ) เพยงขอละ 1 ตวเลอก ลงในกระดาษค าตอบ

(1) จดปลายของความยาวสวนโคง 11

4

บนวงกลมหนงหนวย จะตกอยในควอดรนตใด

ก. ควอดรนตท 1 ข. ควอดรนตท 2 ค. ควอดรนตท 3 ง. ควอดรนตท 4

(2) ขอใดคอคาของ 4sin

3

ก. 1

2 ข. 3

2 ค. 3

2 ง.

2

3

(3) ขอใดคอคาของ 19cos

6

ก. 1

2 ข. 3

2 ค. 3

2 ง.

1

2

(4) ขอใดคอคาของ tan( 300 )

ก. 3 ข. 3

2 ค. 1

3 ง.

1

3

(5) ขอใดคอคาของ sin120 tan210 cos180 cot90

ก. 3

2 ข. 3

2 ค. 1

2 ง.

1

2

(6) )x90sin( 0 มคาเทากบขอใด ก. sin x ข. cos x ค. - sin x ง. - cos x

(7) 00 15sin75sin มคาเทากบขอใด

ก. 2

3 ข. 2

2 ค. 4

6 ง. 2

6

71

(8) ถา 2

1Acos เมอ 90 0<A<180 0 แลว sin 2A จะเทากบขอใด

ก. -2

1 ข. 2

1 ค. 2

3 ง. 2

3

(9) ขอใดคอคาของ 1 1sin ( )

2

ก. 6

ข. 3

ค.

4

ง. 3

(9) ขอใดคอคาของ 1 1sin[cos ( )]

2

ก. 2

3 ข. 2

3 ค. 1

2 ง. 1

2

(10) ขอใดคอเซตค าตอบของสมการ 01xsin2 2 เมอ ],0[x

ก. }3

2,

3{

ข. }4

3,

4{

ค. }6

5,

6{

ง. ไมมขอถก

(11) ก าหนด ABC มดาน a = 33 , A = 30 0 , C = 120 0 แลว b จะยาวเทาไร ก. 33 ข. 24 ค. 9 ง. 12

(12) ชายคนหนงขบรถจากจด ก. ลงไปทางทศใตเปนระยะทาง 6 ก.ม. ตอจากนนขบรถตอไป ในทศ 210 0 ถงจด เปนระยะทาง 10 ก.ม. จงหาระยะหางระหวางจด ก. และจด ข. ก. 8 ก.ม. ข. 12 ก.ม. ค. 14 ก.ม. ง. 16 ก.ม.

Documents

ใบความรู้ท่ี 2.1.1 30203 บทที่ 2 เรื่อง · PDF fileใบงานที่ 2.1 วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม