Upload
-
View
1.598
Download
2
Embed Size (px)
DESCRIPTION
ครูขวัญแก้ว มีเหมือน โรงเรียนเฉลิมพระเกียรติสมเด็จพระศรีนครินทร์ กาญจนบุรี
Citation preview
แบบฝกเสรมทกษะคณตศาสตรแบบฝกเสรมทกษะคณตศาสตร
ชดท ชดท 11
เมทรกซและการด าเนนการของเมทรกซเมทรกซและการด าเนนการของเมทรกซ
เรองท เรองท 11
เมทรกซและสญลกษณของเมทรกซเมทรกซและสญลกษณของเมทรกซ
2
1. เมทรกซและสญลกษณของเมทรกซ
ผลการเรยนรทคาดหวง มความคดรวบยอดเกยวกบเมทรกซและการด าเนนการของเมทรกซ จดประสงคการเรยนร : นกเรยนสามารถ
1. บอกมตของเมทรกซและต าแหนงของสมาชกใดๆ ได 2. หาค าตอบสมาชกของเมทรกซทอยในต าแหนงทก าหนดให และเมทรกซในรปทวไปได 3. มคณธรรม จรยธรรม และคณลกษณะอนพงประสงค
ศกษาจดประสงค และเนอหากอนดกวา
3
1. เมทรกซและสญลกษณของเมทรกซ
1.1 ความหมายของเมทรกซ
ใหนกเรยนพจารณาตารางจ านวนเงนทนกเรยนชน ม.4/1 โรงเรยนเฉลมพระเกยรตสมเดจพระศรนครนทร กาญจนบร ใชจายใน 1 วน จ านวน 3 คน ดงน
ชอนกเรยน คารถประจ าทาง คาอาหาร คาขนม
แซม 16 25 10 ใหม 26 20 5 อฟ 0 20 15
ถาเราตดขอความบนสดและซายสดออกเหลอเฉพาะตวเลข แลวปดลอมดวยเครองหมาย
วงเลบ จะเรยกรปแบบ
15 20 0
5 20 26
10 25 16
นในวชาคณตศาสตรเรยกวา เมทรกซ และเรยก
จ านวนแตละจ านวนในเมทรกซวา สมาชกของเมทรกซ ดงนน ถามกลมของจ านวนซงถกเขยนเรยงเปนแถว แถวละเทาๆกน และถกลอมรอบดวยวงเลบ [ ] เราเรยกสญลกษณดงกลาววา เมทรกซ เชน
0 4 1-
3 2 1 ;
5
4-
9
;
7 0
2 6;
9- 5 0 6-
6- 10 5- 6- ; 9 10 11
จ านวนแตละจ านวนภายในวงเลบ [ ] เรยกวา สมาชกของเมทรกซ
4
1.2 สญลกษณและมตของเมทรกซ
โดยทวไปนยมใชอกษรภาษาองกฤษตวใหญแทนเมทรกซ เชน A, B, C, … และ ใชอกษร a, b, c, … แทนสมาชกของเมทรกซ
หลก 1 หลก 2 หลก 3 เชน A = 0 4 1 แถว 1
A เปนเมทรกซทม 1 แถว ม 3 หลก เปนเมทรกซ 1×3 เมทรกซ ดงนนเมทรกซ A มมต 1×3
สมาชกของเมทรกซทเรยงกนอยตามแนวนอน เรยกวาสมาชกทอยในแถว(row) ของ เมทรกซ เมทรกซแตละเมทรกซจะมกแถวกได
สมาชกของเมทรกซทเรยงกนอยตามแนวดง(แนวตง) เรยกวาสมาชกทอยในหลก(column) ของเมทรกซ เมทรกซแตละเมทรกซจะมกหลกกได
ตวอยางท 2 จงบอกมตของเมทรกซในแตละขอตอไปน
ขอ เมทรกซ จ านวนแถว จ านวนหลก จ านวนแถว×จ านวนหลก มตของเมทรกซ
1
4
1
1
1 × 1
1×1
2
2- 1-
5 2
4 1
3 2 3 × 2 3 × 2
3
4
6
2
3 1 3 × 1 3 × 1
4
9 0 4 1
1
4
1 × 4
1 × 4
5
ขอ เมทรกซ จ านวนแถว จ านวนหลก จ านวนแถว×จ านวนหลก มตของเมทรกซ
5
7 0
2 6
2
2
2 × 2
2×2
6
0 4 1-
3 2 1
2
3
2 × 3
2 × 3
7
15 20 0
5 20 26
10 25 16
3
3
3 × 3
3 × 3
8
1m
21
11
a
a
a
2m
22
12
a
a
a
...
...
...
mn
n2
n1
a
a
a
m
n
m × n
m × n
สรป
ถา A เปนเมทรกซทม m แถว และม n หลก จะเรยก A วามมต m × n
6
1.3 รปทวไปของเมทรกซ
เพอใหทราบวาสมาชกแตละตวอยในต าแหนงแถวทเทาใด และหลกทเทาใด เราจะใช ij
วางไวตรงมมลางขวามอของสมาชกตวนน เชน ถาเขยนวา aij ท าใหเราทราบวา สมาชกตวนอยในต าแหนงแถวท i และหลกท j ของเมทรกซ A เชน
ตวอยางท 3 ก าหนดให A =
3 2 7
0 4 1 เปนเมทรกซ 2×3 เมทรกซ ดงนน A มมต 2×3
จะไดวา a11 แทนสมาชกทอยในต าแหนงแถวท 1 และหลกท 1 แทนดวย a11 = 1 a12 แทนสมาชกทอยในต าแหนงแถวท 1 และหลกท 2 แทนดวย a12 = 4 a13 แทนสมาชกทอยในต าแหนงแถวท 1 และหลกท 3 แทนดวย a13 = 0 a21 แทนสมาชกทอยในต าแหนงแถวท 2 และหลกท 1 แทนดวย a21 = 7 a22 แทนสมาชกทอยในต าแหนงแถวท 2 และหลกท 2 แทนดวย a22 = 2 a23 แทนสมาชกทอยในต าแหนงแถวท 2 และหลกท 3 แทนดวย a23 = 3
ตวอยางท 4 ก าหนดให A =
1 6 0 9
4 2- 8 5 จงหา
(1) A เปนเมทรกซทมมต 2 × 4 (2) a11 แทนสมาชกทอยในต าแหนงแถวท 1 และหลกท 1 แทนดวย a11 = 5 a12 แทนสมาชกทอยในต าแหนงแถวท 1 และหลกท 2 แทนดวย a12 = 8 a13 แทนสมาชกทอยในต าแหนงแถวท 1 และหลกท 3 แทนดวย a13 = -2 a14 แทนสมาชกทอยในต าแหนงแถวท 1 และหลกท 4 แทนดวย a14 = 4 a21 แทนสมาชกทอยในต าแหนงแถวท 2 และหลกท 1 แทนดวย a21 = 9 a22 แทนสมาชกทอยในต าแหนงแถวท 2 และหลกท 2 แทนดวย a22 = 0 a23 แทนสมาชกทอยในต าแหนงแถวท 2 และหลกท 3 แทนดวย a23 = 6 a24 แทนสมาชกทอยในต าแหนงแถวท 2 และหลกท 4 แทนดวย a24 = 1 (3) a11 + a23 - [2a14 + a23] = 5 + 6 – [( 2 × 4 ) + 6 ] = 11 - 14 = - 3
7
ตวอยางท 5 จงเตมขอความใหสมบรณและถกตอง
ขอ เมทรกซ มต สญลกษณในรปการแจกแจงสมาชก สญลกษณรปทวไป
1
A =
2- 1-
5 2
4 1
3 × 2
A =
3231
2221
12 11
a a
a a
a a
A = [ a ij ] 23
2
B =
1 6 0 9
4 2- 8 5
2 × 4
B =
2423 22 21
14 13 12 11
b bbb
bbb b
B = [ b ij ]42
3
C =
3
5
1
3 × 1
C =
31
21
11
c
c
c
C = [c ij ] 13
ตวอยางท 6 ก าหนดให B =
5- 1- 3- 7
1 6 0 9
4 2- 8 5
จงตอบค าถามตอไปน
(1) B เปนเมทรกซทมมต 3 × 4 (2) สมาชกในแถวท 2 คอ 9, 0, 6, 1 (3) สมาชกในหลกท 3 คอ -2, 6, -1 (4) 3a21 + 2a23 - [a14 + 2a34] = 3(9) + 2(6) – [ 4+ 2(-5) ] = 27+12 - [ - 6 ] = 39 + 6 = 45
ตวอยางท 7 ก าหนดให A =
333231
232221
1312 11
a a a
a a a
a a a
จงเขยนเมทรกซ A โดยใช a ij เปน
ตวแทนของสมาชก วธท า A เปนเมทรกซทมต 3 × 3 ดงนน A = [ a ij ] 33 ตอบ
8
ตวอยางท 8 จงเขยนเมทรกซ A = [ a ij ] 32 และก าหนดวา i + j เปนเลขคแลว aij = 0 และถา i + j เปนเลขคแลว aij = -1 วธท า A = [ a ij ] 32 เปนเมทรกซทม 2 แถวและม 3 หลก
ดงนน A =
2322 21
1312 11
a aa
a aa
จาก a11 จะได i = 1 และ j = 1 แลว i+j = 1+1 = 2 เปนเลขค ดงนน a11 = -1 จาก a12 จะได i = 1 และ j = 2 แลว i+j = 1+2 = 3 เปนเลขค ดงนน a12 = 0 จาก a13 จะได i = 1 และ j = 3 แลว i+j = 1+3 = 4 เปนเลขค ดงนน a13 = -1 จาก a21 จะได i = 2 และ j = 1 แลว i+j = 2+1 = 3 เปนเลขค ดงนน a21 = 0 จาก a22 จะได i = 2 และ j = 2 แลว i+j = 2+2 = 4 เปนเลขค ดงนน a22 = -1 จาก a23 จะได i = 2 และ j = 3 แลว i+j = 2+3 = 5 เปนเลขค ดงนน a23 = 0
ดงนน A =
0 1- 0
1- 0 1- ตอบ
ตวอยางท 9 จงเขยนเมทรกซ A แบบแจกแจงสมาชกจากเงอนไข - 2 เมอ i < j ถา A = [aij] 34 โดยท aij = 0 เมอ i = j 2 เมอ i > j
วธท า จะได A =
4342 41
333231
2322 21
1312 11
a a a
a a a
a aa
a aa
จาก a11 จะได i = 1 และ j = 1 แลว i = j ดงนน a11 = 0 จาก a12 จะได i = 1 และ j = 2 แลว i < j ดงนน a12 = -2 จาก a13 จะได i = 1 และ j = 3 แลว i < j ดงนน a13 = -2 จาก a21 จะได i = 2 และ j = 1 แลว i > j ดงนน a21 = 2 จาก a22 จะได i = 2 และ j = 2 แลว i = j ดงนน a22 = 0 จาก a23 จะได i = 2 และ j = 3 แลว i < j ดงนน a23 = -2 จาก a31 จะได i = 3 และ j = 1 แลว i > j ดงนน a31 = 2
9
จาก a32 จะได i = 3 และ j = 2 แลว i > j ดงนน a32 = 2 จาก a33 จะได i = 3 และ j = 3 แลว i = j ดงนน a33 = 0 จาก a41 จะได i = 4 และ j = 1 แลว i > j ดงนน a41 = 2 จาก a42 จะได i = 4 และ j = 2 แลว i > j ดงนน a42 = 2 จาก a43 จะได i = 4 และ j = 3 แลว i > j ดงนน a43 = 2
ดงนน A =
2 2 2
0 2 2
2- 0 2
2- 2- 0
ตอบ
ตวอยางท 10 จงเขยนเมทรกซ B แบบแจกแจงสมาชก ถา B = [bij] 32 โดยท bij = 2i + j2
วธท า จาก B = [bij] 32 โดยท bij = 2i + j2 ดงนน B =
2322 21
1312 11
b bb
b bb
จาก b11 จะได i = 1 และ j = 1 แลว b11 = 21 + 12 = 2+1 = 3 จาก b12 จะได i = 1 และ j = 2 แลว b12 = 21 + 22 = 2+4 = 6 จาก b13 จะได i = 1 และ j = 3 แลว b13 = 21 + 32 = 2+9 = 11 จาก b21 จะได i = 2 และ j = 1 แลว b21 = 22 + 12 = 4+1 = 5 จาก b22 จะได i = 2 และ j = 2 แลว b22 = 22 + 22 = 2+2 = 4 จาก b23 จะได i = 2 และ j = 3 แลว b23 = 22 + 32 = 4+9 = 13
ดงนน B =
13 4 5
11 6 3 ตอบ
ศกษาตวอยางกอนนะครบ
แลวคอยท าแบบฝก
10
บทนยามเมทรกซและสญลกษณของเมทรกซ
บทนยาม เมทรกซ คอ ชดของจ านวน mn ตว 1n,m ซงเขยนเรยงกน m แถว n หลก
ภายในเครองหมายวงเลบ ในรปแบบ
แถวท 1 แถวท 2
┆ แถวท m หลกท 1 หลกท 2 ... หลกท n
เรยก aij วาเปนสมาชก (entry) ในแถวท i และหลกท j ของเมทรกซ
หรอเรยกวา เปนสมาชกในต าแหนงท ij ของเมทรกซ เมอ i = 1, 2, … , m และ j = 1, 2, … , n เรยก เมทรกซทม m แถว และ n หลก วาเปน m × n เมทรกซ (อานวา เอม คณ เอน เมทรกซ ) และเรยก m × n วาเปนมตของเมทรกซ ศกษาตวอยางแลว ท าแบบฝก ดวยความมนใจนะครบ
1m
21
11
a
a
a
2m
22
12
a
a
a
...
...
...
mn
n2
n1
a
a
a
11
แบบฝกหด
เรองท 1 เมทรกซและสญลกษณของเมทรกซ
ตอนท 1
ค าชแจง จงเตมค าตอบในชองวางใหถกตอง คะแนนเตม 5 คะแนน
1. ก าหนดให
A =
1 5 3 7
4 2 0 1 - จงเตมค าตอบลงในชองวางใหถกตอง
(1) A เปนเมทรกซทมมต มต …… 4
(2) a11 = -1 , a12 = 0 , a13 = ……. , a14 = 4
a21 = ……. , a22 = ……. , a23 = 5 , a24 = …….
(3) a11 + a23 = ………………. = 4
(4) 2a24 - 3a11 + a14 = ……................................………………. = 9
(5) 3(a11- a12+ 3a21) - (2a14 + a23) = ………………………………………………...
2. ก าหนดให B =
2- 1-
5 2
4 1
จงเตมค าตอบลงในชองวางใหถกตอง
(1) B เปนเมทรกซทมมต ….. …..
(2) b11 = ……. , b12 = 4 , b21 = -1 , b22 = 5 , b31 = ……. , b32= - 2
(3) 3b11 - 2b32 = ………………………………….
12
3. ก าหนดให A = [aij] 43 จงเขยนเมทกซ A ในรปแจกแจงสมาชก
วธท า จากโจทยจะได A เปนเมทรกซทม 3 แถว และม 4 หลก ดงนนสมาชกของ A ไดแก a11 , a12 , a13 , a14 , a21 , a22 , a23 , a24 , a 31 , a 32 , a 33 , a 34
A =
343331
24232221
141211
a a ..... a
a a a a
a ..... a a
ตอบ
4. ก าหนดให B =
2221
1211
b b
b b จงเขยนเมทรกซ B โดยใช bij เปนตวแทนของสมาชก
วธท า B เปนเมทกซทมมต 2 2 ดงนน B = ……………………………. ตอบ 5. จงเขยนเมทรกซทก าหนดใหแบบแจกแจงสมาชกจากเงอนไขตอไปน
(1) ถา A = [aij] 32 และก าหนดวา i + j เปนเลขคแลว aij = 3 และถา i + j เปนเลขคแลว aij = 4 วธท า A = [ a ij ] 32 เปนเมทรกซทม 2 แถวและม 3 หลก
ดงนน A =
2322 21
1312 11
a aa
a aa
จาก a11 จะได i = 1 และ j = 1 แลว i+j = 1+1 = 2 เปนเลขค ดงนน a11 = 4 จาก a12 จะได i = 1 และ j = 2 แลว i+j = 1+2 = 3 เปนเลขค ดงนน a12 = 3 จาก a13 ……………………………………………………………………………… จาก a21 จะได i = 2 และ j = 1 แลว i+j = 2+1 = 3 เปนเลขค ดงนน a21 = 3 จาก a22 จะได i = 2 และ j = 2 แลว i+j = 2+2 = 4 เปนเลขค ดงนน a22 = 4 จาก a23 จะได ………………………………………………………………………..
A =
232221
131211
a a a
a a a = ………………………….. ตอบ
13
(2) ถา B = [bij] 33 โดยท bij = 3i – j2
วธท า จาก B = [bij] 33 โดยท bij = 3i – j2 ดงนน B =
333231
232221
131211
b b b
b b b
b b b
จาก b11 จะได i = 1 และ j = 1 แลว b11 = 31 – 12 = 3 – 1 = 2 จาก b12 จะได i = 1 และ j = 2 แลว b12 = 31 – 22 = 3 – 4 = -1 จาก b13 จะได ………………………………………………………... จาก b21 จะได i = 2 และ j = 1 แลว b21 = 32 – 12 = 9 – 1 = 8 จาก b22 จะได ……………………………………………………….. จาก b23 จะได i = 2 และ j = 3 แลว b23 = 32 – 32 = 9 – 9 = 0 จาก b31 จะได ………………………………………………………... จาก b32 จะได i = 3 และ j = 2 แลว b32 = 33 – 22 = 27 – 4 = 23 จาก b33 จะได i = 3 และ j = 3 แลว b33 = 33 – 32 = 27 – 9 = 18
B =
333231
232221
131211
b b b
b b b
b b b
= ………………………….. ตอบ
2 เมอ i < j
(3) ถา A = [aij] 44 โดยท aij = 0 เมอ i = j -2 เมอ i > j
วธท า จะได A =
444342 41
34333231
242322 21
141312 11
a a a a
a a a a
a a aa
a a aa
จาก a11 จะได i = 1 และ j = 1 แลว i = j ดงนน a11 = 0 จาก a12 จะได ………………………………………………………. จาก a13 จะได i = 1 และ j = 3 แลว i < j ดงนน a13 = 2 จาก a14 จะได i = 1 และ j = 4 แลว i < j ดงนน a14 = 2 จาก a21 จะได ……………………………………………………… จาก a22 จะได ………………………………………………………
14
จาก a23 จะได …………………………………………………….. จาก a24 จะได i = 2 และ j = 4 แลว i < j ดงนน a24 = 2 จาก a31 จะได ……………………………………………………… จาก a32 จะได i = 3 และ j = 2 แลว i > j ดงนน a32 = -2 จาก a33 จะได ……………………………………………………… จาก a34 จะได i = 3 และ j = 4 แลว i < j ดงนน a34 = 2 จาก a41 จะได i = 4 และ j = 1 แลว i > j ดงนน a41 = -2 จาก a42 จะได ……………………………………………………… จาก a43 จะได i = 4 และ j = 3 แลว i > j ดงนน a43 = -2 จาก a44 จะได i = 4 และ j = 4 แลว i = j ดงนน a44 = 0
ดงนน A =
44434241
34333231
24232221
14131211
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
= ………………………………….. ตอบ
สนกจงเลยคะ ท าตอนท 2 ตอเลยนะคะ
15
ตอนท 2 ค าชแจง จงเตมค าตอบลงในชองวางใหถกตอง คะแนนเตม 5 คะแนน
1. ก าหนดให A =
3
2
1
, B = [0 -1 -3] และ C =
0
2
3
1 จงหา
(1) a11 + b13 = 1 + (-3) = …….
(2) 2a31 - b12 + c22 = ………………….……………. = 10
(3) (a21 + 3b11) × c21 = ……………………… = ………….. 2. จงหาจ านวนสมาชกของเมทรกซในแตละขอ
(1) [ aij] 23
ตอบ 2 × 3 = 6 ตว (2) [ bij] 52
ตอบ ……………………… (3) [ cij] 14
ตอบ ……………………… (4) [ dij] nm
ตอบ m n ตว
16
3. ก าหนดให A = [aij] 51 จงเขยนเมทกซ A ในรปแจกแจงสมาชก
วธท า จากโจทยจะได A เปนเมทรกซทม 1 แถวและม 5 หลก ดงนนสมาชกของ A ไดแก a11 , a12 , a13 , a14 , a15
A = ………………………………… ตอบ 4. จงเขยนเมทรกซแบบแจกแจงสมาชกจากเงอนไขตอไปน
(1) ถา A = [aij] 21 โดยท aij = i + j
วธท า A = [aij] 21 เปนเมทรกซทม 1 แถวและม 2 หลก
ดงนน A = 12 11 aa จาก a11 จะได i = 1 และ j = 1 แลว a11 = 1 + 1 = 2 จาก a12 จะได …………………………………………………………..
A = ……………… = ………………….. ตอบ
(2) ถา B = [bij] 22 โดยท bij = 0 เมอ i = j 1 เมอ i j
วธท า จาก B = [bij] 22 ดงนน B =
2221
1211
b b
b b
จาก b11 จะได i = 1 และ j = 1 แลว i = j ดงนน b11 = 0 จาก b12 จะได …………………………………………………………. จาก b21 จะได i = 2 และ j = 1 แลว i j ดงนน b21 = 1 จาก b22 จะได ………………………………………………………….
B = ………………… = …………………… ตอบ
17
(3) ถา C = [cij] 14 โดยท c ij = i – 2j
วธท า จาก C = [cij] 14 ดงนน C =
41
31
21
11
c
c
c
c
จาก c11 จะได i = 1 และ j = 1 แลว c11 = 1 – 2(1) = 1 – 2 = -1 จาก c21 จะได …………………………………………………………………………….. จาก c31 จะได i = 3 และ j = 1 แลว c31 = ………… = …………. = …… จาก c41 จะได i = 4 และ j = 1 แลว c41 = ………… = …………. = 2
C =
41
31
21
11
c
c
c
c
=
2
.......
.......
.......
ตอบ
5. ก าหนดให C =
0
0
1
0
1
0
1
0
0
จงตอบค าถามตอไปน
(1) C เปนเมทรกซทมมต ………………. (2) สมาชกในแถวท 1 คอ 1 , …….. , ……. (3) สมาชกในหลกท 3 คอ ……………………. (4) ถา i = j แลว cij = ………… (5) ถา i j แลว c ij = …………
จบแลว ขอบคณคะ
18
เฉลยแบบฝกเสรมทกษะคณตศาสตรชดท 1 เมทรกซและการด าเนนการของเมทรกซ
เฉลยแบบฝกหดเรองท 1 เมทรกซและสญลกษณของเมทรกซ
ตอนท 1 1.
(1) 2 4 (2) , 1- a11 , 0 a12 , 2 a13 4 a14 , , 7 a21 , 3 a22 , 5 a23 1 a24 (3) 4 (4) 9 (5) 60
2. (1) 3 2 (2) , 1 b11 , 4 b12 , 2 b21 , 5 b22 , 1- b31 2- b32 (3) 7 (4) 5 (5) -18
3. A =
34333231
24232221
14131211
a a a a
a a a a
a a a a
4. B = [bij]22
5.
(1) A =
232221
131211
a a a
a a a =
3 4 3
4 3 4
(2) B =
333231
232221
131211
b b b
b b b
b b b
=
18 5 26
0 5 8
6- 1- 2
19
(3) A =
44434241
34333231
24232221
14131211
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
=
0 2- 2- 2-
2 0 2- 2-
2 2 0 2-
2 2 2 0
ตอนท 2 1. (1) a11 + b13 = 1+(-3) = -2
(2) 2a31 - b12 + c22 = 2(3) – (-1) +3 = 6 +1+3 = 10
(3) (a21 + 3b11) × c21 = ( 2+ 3(0) ) 0 = 0
2. (1) 6 ตว (2) 10 ตว (3) 4 ตว (4) mn ตว 3.
(1) A = 1211 a a = 21 11 = 3 2
(2) B =
2221
1211
b b
b b =
0 1
1 0
(3) C =
41
31
21
11
c
c
c
c
=
2(1) - 4
2(1) - 3
2(1) - 2
2(1) - 1
=
2
1
0
1-
4. (1) 3 3 (2) 1, 0, 0 (3) 0, 0, 1 (4) 1 (5) 0
“”””””””””””””””””””””””””””””””””””””” แลวเจอกนชด 2 นะคะ เรอง การเทากนของเมทรกซ