중학수학 3 -2 - viewpds.jihak.co.krviewpds.jihak.co.kr/tbbf/%ED%92%8D%EC%82%B0%EC%9E... · 중학수학 3 -2 정답과해설 풍산자-도비라(해설) 2016.2.23 11:31 AM 페이지3

-2중학수학 3

정답과해설

풍산자-도비라(해설) 2016.2.23 11:31 AM 페이지3 mac02 T

2 정답과 해설

진도북

대푯값01

Ⅰ-1｜대푯값과산포도

1대푯값

개념다지기 본문 8쪽

Ⅰ통계

1 20

=16, x+60=80 ∴x=20

2 평균：44 kg, 중앙값：43 kg, 최빈값：40 kg

변량은총6개이므로평균은

= =44(kg)

또, 점수를작은값부터크기순으로나열하면

38, 40, 40, 46, 48, 52

중앙값은세번째와네번째점수의평균이므로

=43(kg)

최빈값은가장많이나타나는값이므로40 kg이다.

40+4611122

264116

40+46+38+52+40+481111111111136

15+x+13+18+141111111115

따라서4, a, b, c, 13의평균은

= = =7

16.5

학생22명의턱걸이횟수의중앙값은11{=:™2™:}번째와

12{=:™2™:+1}번째학생의턱걸이횟수의평균이므로

a= =8.5

최빈값은도수가가장클때의횟수이므로

b=8

∴a+b=8.5+8=16.5

15

쪽지시험점수의중앙값은7{= }번째오는값이므로

a=8

최빈값은도수가가장클때의점수이므로

b=7

∴a+b=8+7=15

7

x를제외한7개의변량을작은값부터크기순으로나열하면

3, 6, 6, 9, 9, 10, 12

이때중앙값이8이므로x는6과9사이에위치한다. 즉

3, 6, 6, x, 9, 9, 10, 12

x를포함한전체변량의개수가 8이고, 중앙값은 4번째변량 x와

5번째변량9의평균이므로

=8, x+9=16 ∴x=7

평균：8.1, 중앙값：7.5

x를제외한9개의변량을작은값부터크기순으로나열하면

5, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 11, 13

최빈값이7이므로

x=7

10개의변량을작은값부터크기순으로나열하면

5, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 11, 13

따라서평균은

= =8.1

또, 중앙값은 5{=:¡2º:}번째와 6{=:¡2º:+1}번째변량의평균이

므로

=7.57+81132

811310

5+6+7+7+7+8+8+9+11+13113111111111111110

유제 3

x+91132

핵심 3

13+11112

유제 2

8+915512

핵심 2

35125

4+18+13111115

4+a+b+c+131112121125

⑤

x, y, z의평균이5이므로

=5 ∴x+y+z=15

따라서3x-2, 3y-2, 3z-2의평균은

= = =:£3ª:=13

--11 ②

2a+1, 2b+1, 2c+1, 2d+1의평균이7이므로

= =7

∴a+b+c+d=12

따라서a, b, c, d의평균은

= =3

--22 ③

a, b, c의평균이6이므로

=6 ∴a+b+c=18a+b+c111243

유제 1

12124

a+b+c+d111212554

2(a+b+c+d)+4111212511144

(2a+1)+(2b+1)+(2c+1)+(2d+1)1111111111111111124

유제 1

3_15-6111133

3(x+y+z)-611111113

(3x-2)+(3y-2)+(3z-2)11111111111113

x+y+z111223

핵심 1

핵심문제익히기 본문 9쪽

11번째횟수

턱걸이횟수(회)

학생수(명)

6

2

7

3

8

6

9

5

10

3

11

2

12

1

12번째횟수

11명

7번째점수6명

점수(점)

학생수(명)

6

1

7

5

8

2

9

3

10

2

(01~10)627(진도)해설1 2015.4.24 8:28 AM 페이지2 mac02 T

Ⅰ.통계 3

진도북

06 변량은총10개이므로

a= =;1&0);=7

변량을작은값부터크기순으로나열하면

3, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 10

이므로b= =7, c=7

∴a-b+c=7-7+7=7

07 8개의변량의평균이4이므로

=4

=4, x+26=32

∴x=6

따라서주어진자료를작은값부터크기순으로나열하면

1, 2, 3, 3, 5, 6, 6, 6

이므로중앙값은

=4

08 (평균)= =

(중앙값)=

평균과중앙값이같으므로

= , x+50=3(x+12)

x+50=3x+36, 2x=14

∴x=7

09 9개의변량의평균이5이므로

=5

=5, a+b+31=45

∴a+b=14 yy㉠b-a=6 yy㉡

㉠, ㉡을연립하여풀면a=4, b=10

변량을작은값부터크기순으로나열하면

1, 2, 3, 4, 4, 6, 7, 8, 10

따라서중앙값은4, 최빈값도4이므로구하는곱은

4_4=16

10 x를제외한변량이모두다르므로최빈값이존재하려면 x의

값이나머지변량중하나와같아야하고, 이때최빈값은x가

되어야한다. 평균과최빈값이같으므로

=x

=x, x+225=6x, 5x=225

∴x=45

x+2251251256

52+x+38+40+50+4512511111111126

a+b+3112555525159

1+2+4+a+6+8+3+b+712555525115111111119

x+12125555252

x+50125555256

x+12125555252

x+50125555256

3+7+x+12+13+15125555111111116

3+51255552

x+2612522558

2+6+3+5+6+3+1+x125211111111128

7+712522

7+6+8+3+7+9+8+5+7+101252111111111111110

본문 10~11쪽실력굳히기

01 ③ 02 ③ 03 ① 04 5m+1 05 ②

06 ③ 07 ② 08 7 09 ① 10 ③ 11 0.5점

12 90점 13 c<b<a

01 (평균)=

(평균)=;1^0);=6(시간)

02 a, b, c의평균이11이므로

=11

∴a+b+c=33

따라서9, a, b, c, 18의평균은

=

= =;;§5º;;=12

03 a, b, c, d, e의평균이8이므로

=8

∴a+b+c+d+e=40

따라서a+2, b+2, c+2, d+2, e+2의평균은

= =

= =10

| 다른풀이 | a, b, c, d, e의평균이8이므로

a+2, b+2, c+2, d+2, e+2의평균은

8+2=10

04 a, b, c, d, e, f의평균이m이므로

=m

∴a+b+c+d+e+f=6m

5a+1, 5b+1, 5c-1, 5d-1, 5e+2, 5f+4의평균은

=

=

=5m+1

05 A반의과학시험성적의총합은 64_30=1920(점)

B반의과학시험성적의총합은 64_25=1600(점)

따라서A반과B반학생전체의과학시험성적의평균은

= =64(점)3520115555

1920+16001112125530+25

5_6m+61251116

5(a+b+c+d+e+f)+612511111111125556

(5a+1)+(5b+1)+(5c-1)+(5d-1)+(5e+2)+(5f+4)125111111111111111111111246

a+b+c+d+e+f12511111116

50125

40+1011155

(a+b+c+d+e)+10111255111211345

(a+2)+(b+2)+(c+2)+(d+2)+(e+2)11125511121111111111115

a+b+c+d+e11125511125

27+33111555

27+a+b+c111255115

9+a+b+c+1811125511125

a+b+c1112553

1+8+5+6+9+14+3+2+5+711111111111111110

(01~10)627(진도)해설1 2015.4.24 8:28 AM 페이지3 mac02 T

4 정답과 해설

11 전체학생이20명이므로

1+x+7+y+4=20

∴x+y=8 yy㉠평균이8.5점이므로

=8.5

=8.5, 7x+9y+102=170

∴7x+9y=68 yy㉡㉠, ㉡을연립하여풀면x=2, y=6

주어진표를다시쓰면

위의표에서변량이모두 20개이므로중앙값은점수를작은

값부터크기순으로나열하였을때, 10번째점수인 8점과 11

번째점수인9점의평균이다. 따라서중앙값은

=8.5(점)

또, 도수가가장큰변량은8점이므로최빈값은8점이다.

따라서중앙값과최빈값의차는 8.5-8=0.5(점)

12 1회부터 4회까지의영어점수를각각x¡점, x™점, x£점, x¢점

이라고하면

=80

x¡+x™+x£+x¢+75=400

∴x¡+x™+x£+x¢=325 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

5회의실제영어점수를x∞점이라고하면

=80+3

=83, x∞+325=415 ∴x∞=90

따라서5회의시험에서받은실제영어점수는90점이다.

₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

13 주어진막대그래프의자료를표로정리하면

a=

a=;2&0#;=3.65 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

중앙값은전체학생 20명의점수를작은값부터크기순으로

나열하였을때, 10번째점수인 3점과 11번째점수인 4점의

평균이므로

b= =3.5 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷3+412522

1_1+2_3+3_6+4_4+5_4+6_2125111111111111111120

x∞+325125115

x¡+x™+x£+x¢+x∞125111111555555

x¡+x™+x£+x¢+751251111115555255

8+9125252

7x+9y+10212511125220

6_1+7x+8_7+9y+10_412511111111121120

산포도와표준편차02

2산포도


1 73점

편차의총합은0이므로

-3+5+x+(-1)+2=0

x+3=0 ∴x=-3

이때(편차)=(변량)-(평균)에서

-3=(사회점수)-76

따라서사회점수는

-3+76=73(점)

2 점

(평균)= =;;ª6§;;=16(점)이므로

(분산)= =;;¢6º;;=;;™3º;;

∴(표준편차)=Æ…;;™3º;;= = (점)2'∂1511253

2'511'3

(-1)¤ +(-5)¤ +2¤ +0¤ +3¤ +1¤11111111111551116

15+11+18+16+19+1711111111111556

2'∂15112255225555553

분산：7, 표준편차：'7회

(평균)= =;;§6º;;=10(회)

분산은편차의제곱의평균이므로

(분산)= =;;¢6™;;=7

(표준편차)='7(회)

분산: , 표준편차: 개

평균이6개이므로

= =6 ∴x=4

분산은편차의제곱의평균이므로

(분산)= =;;¡7™;;

(표준편차)=Æ…;;¡7™;;= = (개)2'∂211157

2'3115'7

1¤ +2¤ +(-1)¤ +0¤ +(-2)¤ +(-1)¤ +1¤1155551111111111111117

38+x1155557

7+8+5+6+x+5+7111112211155557

2'∂211122552255557

1211227

유제 1

4¤ +(-4)¤ +(-2)¤ +2¤ +1¤ +(-1)¤11111221115555111111556

14+6+8+12+11+9111112211155556

핵심 1


점수(̀점)

학생수(̀명)

1

1

2

3

3

6

4

4

5

4

6

2

합계

20

채점기준단계 비율

1회부터 4회까지의영어점수의총합구하기 50̀%

5회의실제영어점수구하기 50̀%

❶

❷

점수(점)

학생수(명)

6

1

7

2

8

7

9

6

10

4

합계

20

10번째점수 11번째점수

1+2+7=10(명)

도수가가장큰변량은3점이므로최빈값은

c=3 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

∴ c<b<a ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❹


a의값구하기

b의값구하기

c의값구하기

a, b, c의대소비교하기

30̀%

30̀%

30̀%

10̀%

❶

❷

❸

❹

(01~10)627(진도)해설1 2015.4.24 8:28 AM 페이지4 mac02 T

Ⅰ.통계 5

진도북

도수분포표에서의평균과분산, 표준편차03


1 ⑴풀이참조　⑵ 53 kg ⑶ 86 ⑷ '∂86 kg

⑴

⑵(평균)= = =53(kg)

⑶(분산)= = =86

⑶(표준편차)='∂86(kg)

2 분산：5.6, 표준편차：'∂5.6회

(평균)= = =7(회)

(분산)= = =5.6

(표준편차)='∂5.6(회)

1681130

64+24+0+32+48111111111530

2101130

12+30+63+72+3311111111155530

172011220

648+320+32+7201121111115520

106011220

70+225+440+3251111551111220

평균: 9, 분산: 400

a, b, c, d의평균이5이므로

=5

∴a+b+c+d=20

a, b, c, d의표준편차가10이므로

(분산)=

(분산)=10¤ =100 yy㉠따라서2a-1, 2b-1, 2c-1, 2d-1의평균은

= = =9

또한2a-1, 2b-1, 2c-1, 2d-1의분산은

=

=4_100 (∵㉠)

=400

4{(a-5)¤ +(b-5)¤ +(c-5)¤ +(d-5)¤ }11111111521111111114

(2a-1-9)¤ +(2b-1-9)¤ +(2c-1-9)¤ +(2d-1-9)¤111111115211111111111111554

2_20-41111554

2(a+b+c+d)-411111111524

(2a-1)+(2b-1)+(2c-1)+(2d-1)111111115111111112555554

(a-5)¤ +(b-5)¤ +(c-5)¤ +(d-5)¤11111111511111111254

a+b+c+d1111555555554

유제 3317

8, x, 12, 10, y의평균이11이므로

=11

x+y+30=55 ∴x+y=25 yy㉠표준편차가2이므로분산은

=2¤

9+(x-11)¤ +1+1+(y-11)¤ =20

(x-11)¤ +(y-11)¤ =9

x¤ +y¤ -22(x+y)+242=9

x¤ +y¤ -22(x+y)=-233

㉠에서x+y=25이므로

x¤ +y¤ -22_25=-233 ∴x¤ +y¤ =317

①

편차의총합이0이므로

x+3+(-5)+y+(-3)=0

∴x+y=5 yy㉠분산이28이므로

=28, x¤ +y¤ +43=140

∴x¤ +y¤ =97 yy㉡(x+y)¤ =x¤ +y¤ +2xy이므로

5¤ =97+2xy (∵㉠, ㉡)

∴xy=-36

평균: 3m+2, 표준편차: 3s

a, b, c, d, e의평균이m이므로 =m

∴a+b+c+d+e=5m

a, b, c, d, e의표준편차가 s이므로분산은

=s¤

3a+2, 3b+2, 3c+2, 3d+2, 3e+2의평균은

= = =3m+2

3a+2, 3b+2, 3c+2, 3d+2, 3e+2의분산은

;5!; {(3a+2-3m-2)¤ +(3b+2-3m-2)¤

+(3c+2-3m-2)¤ +(3d+2-3m-2)¤

+(3e+2-3m-2)¤ }

=;5!; {(3a-3m)¤ +(3b-3m)¤ +(3c-3m)¤

+(3d-3m)¤ +(3e-3m)¤ }

=;5(; {(a-m)¤ +(b-m)¤ +(c-m)¤ +(d-m)¤ +(e-m)¤ }

=;5(;_5s¤ =9s¤

따라서3a+2, 3b+2, 3c+2, 3d+2, 3e+2의표준편차는

"ç9s¤ =3s

3_5m+1011111555

3(a+b+c+d+e)+101111111111555

(3a+2)+(3b+2)+(3c+2)+(3d+2)+(3e+2)111111111111111111125115

(a-m)¤ +(b-m)¤ +(c-m)¤ +(d-m)¤ +(e-m)¤111111111111111111125115

a+b+c+d+e11111115

핵심 3

x¤ +3¤ +(-5)¤ +y¤ +(-3)¤111111151111155

유제 2

(8-11)¤ +(x-11)¤ +(12-11)¤ +(10-11)¤ +(y-11)¤111111111111111125111115

8+x+12+10+y1111111155

핵심 2

몸무게(kg)

30이상~40미만

40이상~50이상

50이상~60이상

60이상~70이상

계급값

35

45

55

65

도수

2

5

8

5

편차

-18

-8

2

12

(편차)¤ _(도수)

648

320

32

720

(계급값)_(도수)

70

225

440

325

횟수(̀회)

2이상~ 4미만

4이상~ 6이상

6이상~ 8이상

8이상~10이상

10이상~12이상

계급값

3

5

7

9

11

도수

4

6

9

8

3

편차

-4

-2

0

2

4

(편차)¤ _(도수)

64

24

0

32

48


12

30

63

72

33

(01~10)627(진도)해설1 2015.4.24 8:28 AM 페이지5 mac02 T

6 정답과 해설

120

(평균)= =35(개)

∴(분산)= =120

2'∂19점

(평균)= =73(점)

(분산)= =76

∴(표준편차)='∂76=2'∂19(점)

'∂3.4시간

주어진히스토그램을이용하여도수분포표를만들면

(평균)=;1$0);=4(시간)

(분산)=;1#0$;=3.4

∴(표준편차)='∂3.4(시간)

11시간

주어진히스토그램을이용하여도수분포표를만들면

유제 2

핵심 2

7601110

7301110

유제 1

2400155120

7001120

핵심 1


개수(̀개)

10이상~20미만

20이상~30이상

30이상~40이상

40이상~50이상

50이상~60이상

합계

계급값

15

25

35

45

55

도수

1

6

8

2

3

20

편차

-20

-10

0

10

20

(편차)¤ _(도수)

400

600

0

200

1200

2400


15

150

280

90

165

700

성적(점)

50이상~60미만

60이상~70이상

70이상~80이상

80이상~90이상

합계

계급값

55

65

75

85

도수

1

2

5

2

10

편차

-18

-8

2

12

(편차)¤ _(도수)

324

128

20

288

760


55

130

375

170

730

독서시간(̀시간)

0이상~2미만

2이상~4이상

4이상~6이상

6이상~8이상

합계

계급값

1

3

5

7

도수

2

2

5

1

10

편차

-3

-1

1

3

(편차)¤ _(도수)

18

2

5

9

34


2

6

25

7

40

봉사시간`̀(시간)

0이상~10미만

10이상~20이상

20이상~30이상

30이상~40이상

40이상~50이상

합계

계급값

5

15

25

35

45

도수

3

6

6

4

1

20

편차

-17

-7

3

13

23

(편차)¤ _(도수)

867

294

54

676

529

2420


15

90

150

140

45

440

(평균)=;;¢2¢0º;;=22(시간)

(분산)=;:@2$0@:);=121

∴(표준편차)='∂121=11(시간)

①

표준편차는자료가평균을중심으로흩어진정도를나타낸다.

이때자료들이흩어진정도가클수록표준편차가크다.

①자료의흩어진정도가가장크다. 즉, 자료의분포상태가가장

고르지않으므로표준편차가가장크다.

| 다른풀이 |자료의평균을구하면각각

①14 ②14 ③7.5

④111 ⑤0.5

이므로자료의편차는각각다음과같다.

①-12, -5, 36, -4, -12, -3

②-1, 1, -1, 1, -1, 1

③-0.5, 1.5, 0.5, 2.5, -1.5, -2.5

④ 0, 0, 0, 0, 0, 0

⑤ 0.5, -0.5, 0.5, -0.5, 0.5, -0.5

D반, A반

성적이가장좋은반은평균이가장높은반이고성적이가장고

른반은표준편차가가장작은반이다. 평균이가장높은반은 91

점인D반이고표준편차가가장작은반은

A반: 2.5='∂6.25

B반: 3'2='∂18

C반: 2'3='∂12

D반: 4='∂16

이므로A반이다.

유제 3

핵심 3


01 ③ 02 ② 03 ① 04 ④ 05 8 06 ③

07 ④ 08 ② 09 D 10 ③ 11 영어, 국어

12 6 13 2'2 æ

01 ㄴ. (편차)=(변량)-(평균)ㄹ. 편차의제곱의평균은분산이다.

따라서옳은것은ㄱ, ㄷ, ㅁ이다.

02 재민이의수학성적의편차를x점이라고하면편차의총합은

0이므로

-4+x+(-3)+5+4=0, x+2=0

∴x=-2

(편차)=(변량)-(평균)이므로

-2=(재민이의수학성적)-73

따라서재민이의수학성적은

-2+73=71(점)

(01~10)627(진도)해설1 2015.4.24 8:28 AM 페이지6 mac02 T

Ⅰ.통계 7

진도북

03 모든변량에대한편차의총합이 0이므로표에서

(편차)_(도수)의총합이 0이어야한다.

편차가-2인변량의도수를x라고하면

(-6)_1+(-4)_2+(-2)_x+0_4+2_10=0

-2x+6=0 ∴x=3

04 편차의총합은0이므로

-5+6+(-1)+x+2=0, x+2=0

∴x=-2

∴(분산)=

∴(분산)=;;¶5º;;=14

05 a, b, c, d, e의평균이5이므로

=5

∴a+b+c+d+e=25

2a+1, 2b+1, 2c+1, 2d+1, 2e+1의평균은

= = =11

a, b, c, d, e의분산이2이므로

=2

yy㉠따라서2a+1, 2b+1, 2c+1, 2d+1, 2e+1의분산은

=

=

=4_2 (∵㉠)

=8

06 a, b, c의평균이4이므로 =4

∴a+b+c=12

a, b, c의표준편차가2이므로

=2¤

(a-4)¤ +(b-4)¤ +(c-4)¤ =12

a¤ +b¤ +c¤ -8(a+b+c)+48=12

a¤ +b¤ +c¤ -8_12+48=12

∴a¤ +b¤ +c¤ =60

07 연속하는네자연수를n, n+1, n+2, n+3이라고하면

(평균)=

(평균)= =n+;2#;4n+6111

4

n+(n+1)+(n+2)+(n+3)111111111111124

(a-4)¤ +(b-4)¤ +(c-4)¤1551211111111123

a+b+c1551213

4{(a-5)¤ +(b-5)¤ +(c-5)¤ +(d-5)¤ +(e-5)¤ }15511111111111111111111555

(2a-10)¤ +(2b-10)¤ +(2c-10)¤ +(2d-10)¤ +(2e-10)¤155111111111111111111115525

(2a+1-11)¤ +(2b+1-11)¤ +(2c+1-11)¤ +(2d+1-11)¤ +(2e+1-11)¤1551111111111111111111112555

(a-5)¤ +(b-5)¤ +(c-5)¤ +(d-5)¤ +(e-5)¤155111111111111111111125

2_25+51551115

2(a+b+c+d+e)+512511111551115

(2a+1)+(2b+1)+(2c+1)+(2d+1)+(2e+1)125111115511111111111111555

a+b+c+d+e12511111555

(-5)¤ +6¤ +(-1)¤ +(-2)¤ +2¤1111111111111155

따라서편차가-;2#;, -;2!;, ;2!;, ;2#;이므로

(분산)=;4!;[{-;2#;}¤ +{-;2!;} ¤ +{;2!;}¤ +{;2#;}¤ ]=;4%;

∴(표준편차)=Æ;4%;=

08

(평균)=;;™3¢0º;;=8(점)

∴(분산)=;3#0^;=;5^;=1.2

09 수면시간이가장규칙적인학생은수면시간의표준편차가가장작은학생이므로D이다.

10 1부터 10까지의자연수들의평균과 101부터 110까지의자

연수들의평균은다르지만두자료의수들이흩어져있는정

도는같으므로표준편차는같다.

∴a=c

또, 1부터 20까지의짝수들은위의두자료의수들보다더넓

게흩어져있으므로표준편차가더크다.

∴a=c<b

11 국어성적의히스토그램을이용하여도수분포표를만들면

국어성적의평균과분산은

(평균)=;;§1™0º;;=62(점), (분산)=;;•1¡0º;;=81

또, 영어성적의히스토그램을이용하여도수분포표를만들면

영어성적의평균과분산은

(평균)=;;¶1º0º;;=70(점), (분산)=;:!1)0%:);=105

따라서성적이더좋은과목은평균이더높은영어이고, 성

적이더고른과목은분산이더작은국어이다.

'51252

점수(̀점)

40이상~50미만

50이상~60이상

60이상~70이상

70이상~80이상

합계

계급값

45

55

65

75

도수

1

3

4

2

10

편차

-17

-7

3

13

(편차)¤ _(도수)

289

147

36

338

810


45

165

260

150

620

점수(̀점)

50이상~60미만

60이상~70이상

70이상~80이상

80이상~90이상

합계

계급값

55

65

75

85

도수

2

3

3

2

10

편차

-15

-5

5

15

(편차)¤ _(도수)

450

75

75

450

1050


110

195

225

170

700

점수(̀점)

6

7

8

9

10

합계

도수

3

6

12

6

3

30

편차

-2

-1

0

1

2

(편차)¤ _(도수)

12

6

0

6

12

36

(점수)_(도수)

18

42

96

54

30

240

(01~10)627(진도)해설1 2015.4.24 8:28 AM 페이지7 mac02 T

8 정답과 해설

12 (평균)= =2

x+y+3=10

∴x+y=7 yy㉠₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

(분산)=

(분산)=9.2

25+(x-2)¤ +4+(y-2)¤ =46

x¤ +y¤ -4(x+y)=9

x¤ +y¤ -4_7=9 (∵㉠)

∴x¤ +y¤ =37 yy㉡₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

이때(x+y)¤ =x¤ +y¤ +2xy이므로

7¤ =37+2xy (∵㉠, ㉡)

∴xy=6 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

13 a+4+3+7+11+3=30이므로

a=2 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

각계급의계급값은각각 21æ, 23æ, 25æ, 27æ, 29æ,

31æ이고, 평균이27æ이므로

(분산)=;3¡0; {(21-27)¤ _2+(23-27)¤ _4+(25-27)¤ _3

(분산)=+(27-27)¤ _7+(29-27)¤ _11+(31-27)¤ _3}

(분산)=;3¡0; {(-6)¤ _2+(-4)¤ _4+(-2)¤ _3

+0¤ _7+2¤ _11+4¤ _3}

(분산)=8 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

∴(표준편차)='8=2'2(æ) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

(-3-2)¤ +(x-2)¤ +(2-2)¤ +(4-2)¤ +(y-2)¤1251111111111111115511235

-3+x+2+4+y12511111125


평균을이용하여 x, y에관한식세우기 30̀%

분산을이용하여 x¤ +y¤에관한식세우기 40̀%

xy의값구하기 30̀%

❶

❷

❸

본문 18~20쪽학교시험미리보기

01 ④ 02 평균: 29회, 중앙값: 29회, 최빈값: 29회 03 ⑤

04 ④ 05 ④ 06 ⑤ 07 ③ 08 ② 09

10 ⑤ 11 ① 12 1권 13 ③ 14 5.6 15 ②

16 평균：14개, 중앙값：14.5개, 최빈값：15개 17 남학생

18 '∂1.2 kg 19 '∂14

2'ƒ119115537

01 ④편차의절댓값이작을수록변량은평균에가깝다.


a의값구하기 20̀%

분산구하기 50̀%

표준편차구하기 30̀%

❶

❷

❸

02 주어진변량을작은값부터크기순으로나열하면12, 16, 22, 26, 29, 29, 35, 38, 40, 43이므로

(평균)=

(평균)=;;™1ª0º;;=29(회)

(중앙값)= =29(회)

최빈값은29가2번있으므로29회이다.

03 주어진7개의변량의평균이1이므로

=1

∴x+y=7

최빈값이1이므로x, y중적어도하나의값은1이고

x<y, x+y=7이므로

x=1, y=6

∴y-x=6-1=5

04 4개의변량a, b, c, d의평균이m이므로

=m ∴a+b+c+d=4m

따라서변량a-4, b+7, c+5, d+8의평균은

= =

=m+4

05 2a-3, 2b-3, 2c-3, 2d-3의평균이9이므로

=9

=9

-3=9

a+b+c+d-6=18

∴a+b+c+d=24

따라서a, b, c, d의평균은

=;;™4¢;;=6

06 먼저4개의사과상자의평균을구하면

(편차)=(변량)-(평균)이므로B상자에서

-0.2=7.6-(평균)

∴(평균)=7.6+0.2=7.8(kg)

4개의사과상자의평균이7.8 kg이므로

C상자에서z=8.1-7.8=0.3

또, 편차의총합은0이므로

y+(-0.2)+0.3+(-1.0)=0 ∴y=0.9

A상자에서0.9=x-7.8 ∴x=8.7

∴x-y-z=8.7-0.9-0.3=7.5

a+b+c+d11211224

a+b+c+d11211222

2(a+b+c+d)-1211211121114

(2a-3)+(2b-3)+(2c-3)+(2d-3)112111211111111111254

4m+1612511554

a+b+c+d+16125111255114

(a-4)+(b+7)+(c+5)+(d+8)111111111115251112554

a+b+c+d1251112554

1+(-4)+x+3+y+7+(-7)111111112125111257

29+2911212

12+16+22+26+29+29+35+38+40+4311111125111111121251112510

(01~10)627(진도)해설1 2015.4.24 8:28 AM 페이지8 mac02 T

Ⅰ.통계 9

진도북

07 (평균)= = =50(kg)

따라서분산은

=;;¢5º;;=8

이므로(표준편차)='8=2'2(kg)

08 주어진변량을작은값부터크기순으로나열하면1, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 7, 9, 10이므로

①중앙값은 =4.5

②최빈값이없는경우는모든변량의도수가모두같은경우

이다. 주어진자료의최빈값은각각2개씩있는4, 5이다.

③(평균)= =5

④크기순으로나열한각변량의편차는

-4, -3, -2, -1, -1, 0, 0, 2, 4, 5이므로

(분산)=;1¡0; {(-4)¤ +(-3)¤ +(-2)¤ +(-1)¤

+(-1)¤ +0¤ +0¤ +2¤ +4¤ +5fi }

(분산)=;1&0^;=7.6

④따라서표준편차는'∂7.6이다.

⑤④에서평균에대한각변량들의편차의제곱의합은 76

이다.

09 평균이3이므로

= =3

∴a+b=4 yy㉠a, b를제외한나머지변량을작은값부터크기순으로나열

하면

-2, 1, 5, 6, 7

7개의변량의중앙값이 4이므로 a, b를포함한모든변량을

작은값부터크기순으로나열하였을때 4번째변량이 4가되

어야한다.

즉, a, b 중한수는 4 이하이고다른한수는 4이어야하며,

a>b이므로a=4

a=4이므로㉠에서4+b=4 ∴b=0

따라서1, 4, -2, 0, 7, 6, 5의분산은

=;;§7•;;

∴(표준편차)=Æ…;;§7•;;=

10 (평균)=

(평균)= =a6a1556

(a-4)+(a+2)+(a+1)+(a-2)+(a+4)+(a-1)111111111111111111125556

2'∂1191125557

(1-3)¤ +(4-3)¤ +(-2-3)¤ +(0-3)¤ +(7-3)¤ +(6-3)¤ +(5-3)¤11212551111111111111111112557

a+b+1711212557

1+a+(-2)+b+7+6+5112111111111557

1+2+3+4+4+5+5+7+9+10112111111111111210

4+51122

(54-50)¤ +(52-50)¤ +(48-50)¤ +(46-50)¤ +(50-50)¤111111111111111111111552355

250115

54+52+48+46+50112112211115

(편차)=(변량)-(평균)에서 주어진변량의편차는차례대로

-4, 2, 1, -2, 4, -1이므로

(분산)=

(분산)=;;¢6™;;=7

11 x¡, x™, x£, x¢, x∞의평균이4이므로

=4 yy㉠

x¡, x™, x£, x¢, x∞의표준편차가2, 즉분산이2¤ =4이므로

=4

yy㉡2x¡-1, 2x™-1, 2x£-1, 2x¢-1, 2x∞-1의평균은

=

=2_ -1

=2_4-1 (∵㉠)

=7

따라서2x¡-1, 2x™-1, 2x£-1, 2x¢-1, 2x∞-1의분산은

=

=4_

=4_4 (∵㉡)

=16

따라서구하는표준편차는'∂16=4

12 (평균)= =;2$0);=2(권)

주어진변량의편차는차례대로-2, -1, 0, 1, 2이므로

(분산)=

(분산)=;2@0);=1

따라서구하는표준편차는'1=1(권)이다.

13 도수의총합이10명이므로

2+x+4+2+1=10 ∴x=1

∴(평균)=

∴(평균)= =34(분)

(분산)=

(분산)= =149

∴(표준편차)='∂149 (분)

149011310

(-19)¤ _2+(-9)¤ _1+1¤ _4+11¤ _2+21¤ _11111112511111112125511123510

3401110

15_2+25_1+35_4+45_2+55_1111111251111111212552510

(-2)¤ _1+(-1)¤ _5+0¤ _9+1¤ _3+2¤ _2112111111111115555511111520

0_1+1_5+2_9+3_3+4_2112111111111115555520

{(x¡-4)¤ +(x™-4)¤ +y+(x∞-4)¤ }11111111111111115

4(x¡-4)¤ +4(x™-4)¤ +y+4(x∞-4)¤111111111111111115

(2x¡-1-7)¤ +(2x™-1-7)¤ +y+(2x∞-1-7)¤111111111111111111111255

x¡+x™+x£+x¢+x∞1111111115

2(x¡+x™+x£+x¢+x∞)-5111111111112555

(2x¡-1)+(2x™-1)+(2x£-1)+(2x¢-1)+(2x∞-1)111111112551111111111111555

(x¡-4)¤ +(x™-4)¤ +(x£-4)¤ +(x¢-4)¤ +(x∞-4)¤111111112551111111111155125

x¡+x™+x£+x¢+x∞111111112555

(-4)¤ +2¤ +1¤ +(-2)¤ +4¤ +(-1)¤15511111111111111256

(01~10)627(진도)해설1 2015.4.24 8:28 AM 페이지9 mac02 T

10 정답과 해설

14 도수의총합이20이므로

2+5+a+3+b=20

∴a+b=10 yy㉠

=6

∴3a+5b=36 yy㉡㉠, ㉡을연립하여풀면

a=7, b=3

∴(분산)=

∴(분산)=5.6

15 각자료의평균을구하면①4 ②4 ③4 ④4 ⑤3

이고표준편차가가장큰것은변량들이평균으로부터흩어

진정도가가장심한것이므로②이다.

16 1단계 주어진변량을작은값부터크기순으로나열하면

11, 12, 13, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 16이므로

(평균)=

(평균)= =14(개)

2단계 도수의 총합이 10명이므로 중앙값은 5번째의 값인

14와6번째의값인15의평균이다.

∴(중앙값)= =14.5(개)

3단계 기록이 15개일때의도수가 4로가장높으므로최빈

값은15개이다.

17 1단계 남학생점수의평균은

=;;¡2™0º;;=6(점)

남학생의각계급의편차는-3, -1, 1, 3이므로남

학생점수의분산은

=;2^0);=3

2단계 여학생점수의평균은

=;;¡2™0º;;=6(점)

여학생의각계급의편차는-3, -1, 1, 3이므로여

학생점수의분산은

=;;¡2º0•;;=5.4

3단계 분산이작을수록분포가더고르므로남학생의점수

분포가더고르다.

(-3)¤ _5+(-1)¤ _6+1¤ _3+3¤ _6152551111111155555551111120

3_5+5_6+7_3+9_61525511111111555555520

(-3)¤ _3+(-1)¤ _6+1¤ _9+3¤ _2152551111111155555551111120

3_3+5_6+7_9+9_21525511111111555555520

14+15152555555552

1401555510

11_1+12_1+13_1+14_2+15_4+16_111255511111111111211310

(-4)¤ _2+(-2)¤ _5+0¤ _7+2¤ _3+4¤ _31121111111111111111420

2_2+4_5+6_a+8_3+10_b1121111111111112520

18 주어진히스토그램을이용하여도수분포표를만들면

(평균)=;1#0%;=3.5(kg) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

(분산)=;1!0@;=1.2 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

따라서구하는표준편차는 '∂1.2kg이다. ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

19 a, 3, b, 6, c, 6의평균이4이므로

=4

a+b+c+15=24

∴a+b+c=9 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

a, 3, b, 6, c, 6의표준편차가3, 즉분산이3¤ =9이므로

=9

=9

a¤ +b¤ +c¤ -8(a+b+c)+57=54

a+b+c=9이므로

a¤ +b¤ +c¤ -8_9+57=54

∴a¤ +b¤ +c¤ =69 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

따라서a, b, c의평균이

=;3(;=3

이므로a, b, c의분산은

(분산)=

(분산)=

(분산)=

(분산)=14

따라서구하는표준편차는'∂14이다. ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

69-6_9+27111111553

a¤ +b¤ +c¤ -6(a+b+c)+2711111111215511253

(a-3)¤ +(b-3)¤ +(c-3)¤11111111215511253

a+b+c111555553

(a-4)¤ +(b-4)¤ +(c-4)¤ +911111111215511255156

(a-4)¤ +(3-4)¤ +(b-4)¤ +(6-4)¤ +(c-4)¤ +(6-4)¤11111111211111111111126

a+3+b+6+c+61111111126

무게(kg)

1이상~2미만

2이상~3이상

3이상~4이상

4이상~5이상

5이상~6이상

합계

계급값

1.5

2.5

3.5

4.5

5.5

도수

1

2

4

2

1

10

편차

-2

-1

0

1

2

(편차)¤ _(도수)

4

2

0

2

4

12


1.5

5

14

9

5.5

35


평균구하기 40̀%

분산구하기 40̀%

표준편차구하기 20̀%

❶

❷

❸


a+b+c의값구하기 20̀%

a¤ +b¤ +c¤의값구하기 30̀%

a, b, c의표준편차구하기 50̀%

❶

❷

❸

(01~10)627(진도)해설1 2015.4.24 8:28 AM 페이지10 mac02 T

Ⅱ.피타고라스 정리 11

진도북

피타고라스정리04

Ⅱ-1｜피타고라스정리

1피타고라스정리


Ⅱ 피타고라스정리

1 ⑴ 5 ⑵ 8 ⑶ 12 ⑷ 1

⑴ x="√4¤ +3¤ ='∂25=5

⑵ x="√10¤ -6¤ ='∂64=8

⑶ x="√13¤ -5¤ ='∂144=12

⑷ x=øπ('5)¤ -2¤ ='1=1

2 ⑴ x=4, y=3 ⑵ x=3'2, y=7

⑴△ADC에서x="√5¤ -3¤ ='∂16=4

⑴△ABC에서y+3=øπ(2'∂13)¤ -4¤ ='∂36=6 ∴y=3

⑵△ADC에서x="√3¤ +3¤ ='∂18=3'2

⑴△ABD에서y-3="√5¤ -3¤ ='∂16=4 ∴y=7피타고라스정리의설명05

개념다지기 본문 24~25쪽

1 6 cm¤

□BFGC=□ADEB+□ACHI이므로

25=□ADEB+9 ∴□ADEB=16(cm¤ )

따라서AB”=4 cm, AC”=3 cm이므로

△ABC=;2!;_4_3=6(cm¤ )

2 ⑴ 144 cm¤ ⑵ 80 cm¤

⑴△GAD™△ABC이므로AD”=BC”=4 cm

따라서CD”=8+4=12(cm)이므로

□CDEF=12_12=144(cm¤ )

⑵△ABC에서AB”="√8¤ +4¤ =4'5(cm)

□AGHB는한변의길이가4'5 cm인정사각형이므로

□AGHB=4'5_4'5=80(cm¤ )

3 ⑴ 2 cm ⑵ 4 cm¤

⑴ EA”=AB”=2'5 cm

△EAH에서EH”=øπ(2'5)¤ -2¤ =4(cm)

△AHE™△EGD이므로EG”=AH”=2 cm

∴GH”=EH”-EG”=4-2=2(cm)

⑵□CFGH는한변의길이가2 cm인정사각형이므로

□CFGH=2_2=4(cm¤ )

4 ;;§2∞;; cm¤

△ABE™△ECD이므로

BE”=CD”=7 cm, EC”=AB”=4 cm

∴AE”=ED”="√7¤ +4¤ ='∂65(cm)

△AED는∠AED=90˘인직각이등변삼각형이므로

△AED=;2!;_'∂65_'∂65=;;§2∞;;(cm¤ )

⑴ '∂66 ⑵ 8

⑴△ACD에서AC”="√3¤ +5¤ ='∂34

△ABC에서x=øπ10¤ -('ß34)¤ ='∂66

⑵ (x+2)¤ =x¤ +(x-2)¤

x¤ +4x+4=x¤ +x¤ -4x+4

x¤ -8x=0, x(x-8)=0

∴x=0또는x=8

x-2>0에서x>2이므로x=8

⑴ 3 ⑵ ;;¢8¡;;

⑴△ABC에서BC”="√13¤ -12¤ =5

△BCD에서x="√5¤ -4¤ =3

⑵ (x+3)¤ =7¤ +(x-1)¤

x¤ +6x+9=x¤ -2x+50, 8x=41 ∴x=;;¢8¡;;

⑤

AC”="√3¤ +3¤ =3'2

AD”=øπ(3'2)¤ +3¤ =3'3

AE”=øπ(3'3)¤ +3¤ =6

AF”="√6¤ +3¤ =3'5

∴AG”=øπ(3'5)¤ +3¤ =3'6

④

AB”=x cm라고하면

AC”='2x cm, AD”='3x cm,

AE”=2x cm, AF”='5x cm

따라서AF”=20 cm이므로'5x=20에서

x=4'5

유제 2

핵심 2

유제 1

핵심 1

⑴ 2'2 ⑵ 17

⑴오른쪽그림과같이BD”를그으면

△ABD에서BD”="√2¤ +3¤ ='1å3

△BCD에서

x=øπ('1å3)¤ -('5)¤

='8=2'2

⑵오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서

변 BC에내린수선의발을 H라고

하면△ABH에서

AH”="√10¤ -6¤ =8

△BCD에서DC”=AH”=8이므로

x="√(6+9)¤ +8¤ =17

13

오른쪽그림과같이BD”를그으면

△ABD에서 BD”="√12¤ +9¤ =15

이므로△BCD에서

B’C’=øπ15¤ -(2'1å4)¤ =13

15 2Â14°

13

12

9A

B C

D

유제 3

A

B CH

D

10

96

x

Â13°

Â5

x2

3A

B C

D

핵심 3


(11~29)627(진도)해설2 2015.4.24 8:29 AM 페이지11 mac02 T

12 정답과 해설

직각삼각형의판별06


1 ㄱ, ㄹ

ㄱ. ('3)¤ =1¤ +('2)¤이므로직각삼각형이다.

ㄴ. ('ß14)¤ +2¤ +3¤이므로직각삼각형이아니다.

ㄷ. 4¤ +('6)¤ +('ß11)¤이므로직각삼각형이아니다.

ㄹ. ('ß34)¤ =3¤ +5¤이므로직각삼각형이다.

ㅁ. 8¤ +5¤ +6¤이므로직각삼각형이아니다.

ㅂ. 9¤ +6¤ +7¤이므로직각삼각형이아니다.

③

EA”∥DB”이므로△ABE=△ACE ( ①)

△EAB와△CAF에서

EA”=CA”, AB”=AF”, ∠EAB=∠CAF

∴△EAB™△CAF (SAS합동) ( ②)

AF”∥CM”이므로

△CAF=△LAF=;2!;□AFML=△LFM ( ④, ⑤)

따라서△ABE와넓이가같지않은것은③이다.

②

①△ABH와△GBC에서

AB”=GB”, BH”=BC”, ∠ABH=∠GBC

∴△ABH™△GBC (SAS합동)

∴AH”=GC”

②△ABE™△AFC (SAS합동)

③ IA”∥HB”이므로△BHC=△ABH

△ABH™△GBC이므로△BHC=△GBC

⑤ CM”∥BG”이므로

△GBC=△LGB=;2!;□LMGB

∴△ABH=△GBC=;2!;□LMGB

32 cm¤

△BFL=;2!;□BFML=;2!;□ADEB

△BFL=;2!;_8¤ =32(cm¤ )

18 cm¤

△AGC=△LGC=;2!;□LMGC=;2!;□ACHI

=;2!;_36=18(cm¤ )

289 cm¤

CG”=CD”-GD”=23-8=15(cm)이므로△GFC에서

GF”="√8¤ +15¤ =17(cm)

따라서□EFGH는한변의길이가17 cm인정사각형이므로

□EFGH=17¤ =289(cm¤ )

81

□GBAE는정사각형이고넓이가45이므로

EG”=GB”=BA”=AE”='∂45=3'5

△ABC에서

BC”=øπ(3'5)¤ -3¤ =6

∴HC”=3+6=9

따라서□FHCD는한변의길이가9인정사각형이므로

□FHCD=9¤ =81

16 cm¤

AE”=B’F’=CG”=DH”=4 cm이므로△AHD에서

AH”=øπ(4'5)¤ -4¤ =8(cm)

∴EH”=AH”-AE”=8-4=4(cm)

따라서□EFGH는한변의길이가4 cm인정사각형이므로

□EFGH=4¤ =16(cm¤ )

핵심 4

유제 3

핵심 3

유제 2

핵심 2

유제 1

핵심 1

169 cm¤

□CFGH는정사각형이고넓이가49 cm¤이므로

CF”=7 cm

∴BC”=BF”+CF”=5+7=12(cm)

△ABC에서

AC”=BF”=5 cm이므로

AB”="√5¤ +12¤ =13(cm)

∴□ABDE=13¤ =169(cm¤ )

(8'5-16)cm

AE”=BF”=CG”=DH”=4 cm이므로△ABE에서

BE”="√6¤ -4¤ =2'5(cm)

∴EF”=BE”-BF”=2'5-4(cm)

따라서□EFGH는한변의길이가 (2'5-4)cm인정사각형이

므로구하는둘레의길이는

4_(2'5-4)=8'5-16(cm)

4 cm

□ABCD는정사각형이고넓이가5 cm¤이므로

AB”='5 cm

△ABE에서

BE”=øπ('5)¤ -1¤ =2(cm)

BF”=AE”=1 cm이므로

EF”=BE”-BF”=2-1=1(cm)

따라서□EFGH는한변의길이가 1 cm인정사각형이므로구

하는둘레의길이는

4_1=4(cm)

40 cm¤

AB”=EC”=4 cm, BE”=CD”=8 cm

∴ EA”=DE”="√4¤ +8¤ =4'5(cm)

따라서△AED는∠AED=90˘인직각이등변삼각형이므로

△AED=;2!;_4'5_4'5=40(cm¤ )

'∂178 cm

△ABD™△CEB이므로

BC”=DA”=5 cm, AB”=CE”=8 cm

∴BD”=EB”="√5¤ +8¤ ='∂89(cm)

따라서△DBE는∠DBE=90˘인직각이등변삼각형이므로

DE”=øπ('∂89)¤ +('∂89)¤ ='∂178(cm)

유제 6

핵심 6

유제 5

핵심 5

유제 4핵심문제익히기 본문 26~27쪽

(11~29)627(진도)해설2 2015.4.24 8:29 AM 페이지12 mac02 T


진도북

2 3'ß13

9¤ +6¤ =x¤ , 즉x¤ =117이어야하므로

x='∂117=3'ß13

3 12

가장긴변의길이는x+3이므로

(x+3)¤ =x¤ +(x-3)¤

x¤ +6x+9=x¤ +x¤ -6x+9

x¤ -12x=0, x(x-12)=0

∴x=0또는x=12


①, ⑤

① ('ß41)¤ =4¤ +5¤

② ('ß10)¤ +2¤ +3¤

③ 14¤ +5¤ +12¤

④ ('ß15)¤ +('6)¤ +(2'2)¤

⑤ 15¤ =9¤ +12¤

따라서직각삼각형인것은①, ⑤이다.

④

ㄱ. 4¤ +2¤ +3¤

ㄴ. ('ß10)¤ =3¤ +1¤

ㄷ. 9¤ +6¤ +8¤

ㄹ. 25¤ =7¤ +24¤

따라서직각삼각형인것은ㄴ, ㄹ이다.

9

∠B=90˘가되어야하므로

(x+8)¤ =(x-1)¤ +(x+6)¤

x¤ +16x+64=x¤ -2x+1+x¤ +12x+36

x¤ -6x-27=0, (x+3)(x-9)=0

∴x=-3또는x=9


①

가장긴변의길이가x+8이므로

(x+8)¤ =x¤ +(x+7)¤

x¤ +16x+64=x¤ +x¤ +14x+49

x¤ -2x-15=0, (x+3)(x-5)=0

∴x=-3또는x=5

x>0이므로x=5

'ß10, 2'2

⁄가장긴변의길이가x cm일때

x¤ =1¤ +3¤ =10

∴x='∂10 (∵x>0)

¤가장긴변의길이가3 cm일때

3¤ =1¤ +x¤ , x¤ =8

∴x=2'2 (∵x>0)

⁄, ¤에서x='∂10, x=2'2

핵심 3

유제 2

핵심 2

유제 1

핵심 1

13, '∂119

⁄가장긴변의길이가x cm일때

x¤ =5¤ +12¤ =169 ∴x=13 (∵x>0)


12¤ =5¤ +x¤ , x¤ =119 ∴x='∂119 (∵x>0)

⁄, ¤에서x=13, x='∂119

유제 3



01 '∂41 02 ③ 03 2'∂14 cm 04 ④ 05 ③

06 ⑤ 07 7 08 ③ 09 ④ 10 (6+3'3) cm¤

11 2'5, 2'∂17, 4'3 12 3'∂10 cm 13 2'∂41, 6

01 △ADC가직각삼각형이므로

DC”="√5¤ -4¤ =3

BD”+DC”=8이므로BD”=8-3=5

△ABD가직각삼각형이므로

x="√5¤ +4¤ ='ß41

02 가장긴변의길이가x+2이므로

(x+2)¤ =x¤ +(x-7)¤

x¤ +4x+4=x¤ +x¤ -14x+49

x¤ -18x+45=0, (x-3)(x-15)=0

∴x=3또는x=15


따라서구하는빗변의길이는

x+2=15+2=17

03 점G가직각삼각형ABC의무게중심이므로

AG” : GD”=2 : 1

∴AD”=3GD”=3_1.5=4.5(cm)

점D는직각삼각형ABC의빗변의중점이므로직각삼각형

ABC의외심이다.

즉, AD”=BD”=DC”이므로

BC”=2BD”=2_4.5=9(cm)

따라서△ABC에서

AB”="√9¤ -5¤ =2'∂14(cm)

04 오른쪽그림과같이선분BD를그

으면△ABD에서

BD”="√6¤ +8¤ =10(cm)

따라서△BCD에서

x=øπ10¤ -5¤ =5'3

05 BE”=BD”="√2¤ +2¤ =2'2(cm)

BG”=BF”=øπ(2'2)¤ +2¤ =2'3(cm)

BI”=BH”=øπ(2'3)¤ +2¤ =4(cm)

BK”=BJ”="√4¤ +2¤ =2'5(cm)

∴EK”=BK”-BE”=2'5-2'2(cm)

A

B

C

D

x`cm5`cm

8`cm 6`cm

(11~29)627(진도)해설2 2015.4.24 8:29 AM 페이지13 mac02 T

14 정답과 해설

06 오른쪽그림과같이꼭짓점 A에

서변 BC에내린수선의발을 E

라 하고 AD”=EC”=x cm라고

하면△ABE에서

10¤ =(10-x)¤ +8¤

100=100-20x+x¤ +64

x¤ -20x+64=0

(x-4)(x-16)=0

∴x=4또는x=16

x>0, 10-x>0에서0<x<10이므로x=4

따라서사다리꼴ABCD의넓이는

;2!;_(4+10)_8=56(cm ¤ )

07 오른쪽그림과같이보조선을그으면

AB”=13-7=6(cm)

△ABC에서

BC”="√10¤ -6¤ =8(cm)

∴x=15-BC”=15-8=7

08 □ADEB에서△ABE=△ADE ( ②)

또, △EBC와△ABF에서

BE”=BA”, BC”=BF”, ∠EBC=∠ABF

이므로

△EBC™△ABF (SAS합동)

∴△ABE=△EBC=△ABF=△BFL( ①, ④, ⑤)

09 △ABE™△BCF™△CDG™△DAH (SAS합동)

① BF”=AE”=2 cm

② CF”=AH”="√3¤ -2¤ ='5(cm)

③△BCF=;2!;_'5_2='5(cm¤ )

④ FG”=CF”-CG”='5-2(cm)

⑤□EFGH=FG” ¤ =('5-2)¤ =9-4'5(cm¤ )

10 △ABC™△DEB이므로

BC”=EB”, CA”=BD”=3 cm

△CBE는∠CBE=90˘인직각이등변삼각형이므로

△CBE=;2!;_BC” ¤ =6

∴BC”='∂12=2'3(cm)

따라서△ABC와△DEB에서

AB”=DE”=øπ(2'3)¤ -3¤ ='3(cm)이므로

□ADEC=;2!;_(3+'3 )_(3+'3 )

=6+3'3(cm¤ )

11 2'5='2å0, 2'∂13='∂52, 2'∂17='∂68, 3'2='∂18, 4'3='∂48

이때 (2'5 )¤ +(4'3 )¤ =(2'∂17)¤이므로 직각삼각형의 세

변의길이가될수있는세수는2'5, 2'∂17, 4'3이다.

15`cm

7`cm

x`cm10`cm

13`cm

A

BC

A

B CE

D

8`cm

{10-x}`cm

10`cm

x`cm 12 △AEH™△BFE™△CGF™△DHG (SAS합동)이므로

HE”=EF”=FG”=GH”

또, ∠EHG=∠HGF=∠GFE=∠FEH=90˘이므로

□EFGH는정사각형이다. ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

△AEH에서AH”=9-6=3(cm)이므로

EH”="√6¤ +3¤ =3'5(cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

△HEF는직각이등변삼각형이므로

HF”=øπ(3'5)¤ +(3'5 )¤ =3'∂10(cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

13 ⁄가장긴변의길이가x cm일때

x¤ =8¤ +10¤ =164이고, x>0이므로

x='∂164=2'∂41 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶


10¤ =x¤ +8¤에서x¤ =36이고, x>0이므로

x='∂36=6 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

따라서직각삼각형이되도록하는 x의값은 2'4å1 또는 6이

다. ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩ ❸


가장긴변의길이가 x cm일때 x의값구하기 40̀%

가장긴변의길이가 10 cm일때 x의값구하기 40̀%

직각삼각형이되도록하는 x의값구하기 20̀%

❶

❷

❸

삼각형의변과각사이의관계07

2피타고라스정리와도형


1 10, 2, 18, 10¤ , 2'∂41, 18

2 ⑴예각삼각형 ⑵둔각삼각형 ⑶직각삼각형

⑴ 6¤ <5¤ +5¤ ➔예각삼각형

⑵ 5¤ >('5)¤ +(2'3 )¤ ➔둔각삼각형

⑶ 13¤ =5¤ +12¤ ➔직각삼각형

3<x<15

삼각형의세변의길이사이의관계에서

12-9<x<12+9 ∴3<x<21 yy㉠∠C<90˘이므로x¤ <9¤ +12¤ , x¤ <225

x>0이므로0<x<15 yy㉡㉠, ㉡에의하여3<x<15

핵심 1



□EFGH가정사각형임을보이기 40̀%

EH”의길이구하기 30̀%

HF”의길이구하기 30̀%

❶

❷

❸

(11~29)627(진도)해설2 2015.4.24 8:29 AM 페이지14 mac02 T


진도북

7<x<17


15-8<x<15+8 ∴7<x<23 yy㉠∠A<90˘이므로x¤ <15¤ +8¤ , x¤ <289

x>0이므로0<x<17 yy㉡㉠, ㉡에의하여7<x<17

17<a<23


15-8<a<15+8 ∴7<a<23 yy㉠a가가장긴변의길이이므로a>15 yy㉡주어진삼각형이둔각삼각형이므로

a¤ >8¤ +15¤ , a¤ >289

∴a>17 (∵a>0) yy㉢㉠, ㉡, ㉢에의하여17<a<23

3개


8-5<x<8+5 ∴3<x<13 yy㉠가장긴변의길이가8이므로0<x<8 yy㉡주어진삼각형이둔각삼각형이므로

8¤ >5¤ +x¤ , x¤ <39

∴0<x<'∂39 (∵x>0) yy㉢㉠, ㉡, ㉢에의하여3<x<'∂39

이때 6<'∂39<7이므로구하는자연수 x의개수는 4, 5, 6의 3개

이다.

④

① 4¤ >2¤ +3¤ ➔둔각삼각형

② 11¤ >6¤ +9¤ ➔둔각삼각형

③ 6¤ =(3'3)¤ +3¤ ➔직각삼각형

④ ('∂21)¤ <('∂10)¤ +(2'3)¤ ➔예각삼각형

⑤ 4¤ =('∂15)¤ +1¤ ➔직각삼각형

따라서예각삼각형인것은④이다.

ㄴ, ㄷ, ㅁ

ㄱ. 7¤ <4¤ +6¤ ➔예각삼각형

ㄴ. 15¤ >9¤ +10¤ ➔둔각삼각형

ㄷ. 13¤ >4¤ +12¤ ➔둔각삼각형

ㄹ. ('∂15)¤ <('6)¤ +(2'3)¤ ➔예각삼각형

ㅁ. 3¤ >('2)¤ +2¤ ➔둔각삼각형

ㅂ. ('3)¤ =1¤ +('2)¤ ➔직각삼각형

따라서둔각삼각형인것은ㄴ, ㄷ, ㅁ이다.

유제 3

핵심 3

유제 2

핵심 2

유제 1

피타고라스정리와직각삼각형의성질08


1 ⑴ 8 ⑵ 4'5

⑴ BD”_CD”=AD” ¤이므로2_CD”=4¤

∴CD”=8

⑵ AC”¤ =DC”_BC”이므로AC”¤ =8(8+2)=80

∴AC”='∂80=4'5 (∵AC”>0)

2 4.8

△ABC에서BC”="√6¤ +8¤ =10

AB”_AC”=BC”_AD”이므로

8_6=10_AD” ∴AD”=4.8

3 65

DE”¤ +BC”¤ =BE”¤ +CD” ¤ =4¤ +7¤ =65

피타고라스정리와사각형의성질09


1 61

AB” ¤ +CD” ¤ =AD” ¤ +BC”¤이므로

6¤ +5¤ =AD” ¤+B’C”¤ ∴AD” ¤ +BC”¤ =61

2'3

AB” ¤ =BD”_BC”이므로x¤ =1_4=4

∴x=2 (∵x>0)

AD” ¤ =BD”_CD”이므로y¤ =1_3=3

∴y='3 (∵y>0)

∴xy=2_'3=2'3

AB” ¤ =BD”_BC”이므로x¤ =2_5=10

∴x='∂10 (∵x>0)

AC”¤ =CD”_CB”이므로y¤ =3_5=15

∴y='∂15 (∵y>0)

∴ ;]{;= = =

:£5§: cm

△ABC에서AB”="√15¤ -12¤ =9(cm)

AB”_AC”=AH”_BC”이므로

9_12=AH”_15 ∴AH”=;;£5§;;(cm)

;;¡1™7º;; cm

△ABC에서AB”="‘17¤ -8¤ =15(cm)

AB”_AC”=AD”_BC”이므로

15_8=AD”_17 ∴AD”=;;¡1™7º;;(cm)

7

BE”¤ +CD”¤ =DE”¤ +BC”¤이므로

5¤ +6¤ =(2'3)¤ +BC”¤ , BC”¤ =49

∴BC”=7 (∵BC”>0)

'∂19 cm

B’E’ ¤ +CD” ¤ =DE” ¤ +B’C’ ¤이므로

6¤ +8¤ =DE” ¤ +9¤ , DE” ¤ =19

∴DE”='∂19(cm) (∵DE”>0)

유제 3

핵심 3

유제 2

핵심 2

'6123

'212'3

'∂1011'∂15

'61122553

유제 1

핵심 1


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16 정답과 해설

2 5

AB”¤ +CD” ¤ =AD” ¤ +BC”¤이므로

4¤ +(3'2)¤ =AD” ¤ +3¤ , AD” ¤ =25

∴AD”=5 (∵AD”>0)

3 '∂13

AP”¤ +CP” ¤ =BP”¤ +DP” ¤이므로

5¤ +2¤ =4¤ +DP”¤ , DP”¤ =13

∴DP”='∂13 (∵DP”>0)

직각삼각형과원10


1 45 cm¤

P+Q=R이므로

P+30=75 ∴P=45(cm¤ )

2 ;;™2∞;;p cm¤

P+Q=(BC”를지름으로하는반원의넓이)

=;2!;_p_5¤

=;;™2∞;;p(cm ¤ )

3 36 cm¤

(색칠한부분의넓이)=△ABC

=;2!;_12_6=36(cm¤ )

6 cm¤

AB” ¤ +CD” ¤ =AD” ¤ +BC”¤이므로

('∂13)¤ +(2'5)¤ =(2'2)¤ +BC”¤ , BC”¤ =25

∴BC”=5(cm) (∵BC”>0)

△BOC에서CO”="√5¤ -3¤ =4(cm)

∴△BOC=;2!;_3_4=6(cm ¤ )

2'6 cm

AB” ¤ +CD” ¤ =AD” ¤ +BC”¤이므로

5¤ +CD” ¤ =(2'∂10)¤ +7¤ , CD”¤ =64

∴CD”=8(cm) (∵CD”>0)

△COD에서DO”=øπ8¤ -(2'∂10)¤ =2'6(cm)

9


CP” ¤ -DP” ¤ =BP”¤ -AP”¤ =5¤ -4¤ =9

65


BP”¤ +DP” ¤ =4¤ +7¤ =65

⑴ 6-x ⑵ ;4(;

⑴ BE”=x이므로AE”=AB”-BE”=6-x

⑵△EBD에서BE”=x이고

DE”=AE”=6-x

BD”=;2!;BC”=;2!;_6=3

이므로x¤ +3¤ =(6-x)¤ , x¤ +9=x¤ -12x+36

12x=27 ∴x=;4(;

;3%; cm

AE”=AD”=5 cm이므로△ABE에서

BE”="√5¤ -3¤ =4(cm)

∴EC”=5-4=1(cm)

EF”=x cm라고하면DF”=x cm이므로

FC”=(3-x) cm

따라서△ECF에서

x¤ =(3-x)¤ +1¤ , x¤ =x¤ -6x+9+1

6x=10 ∴x=;3%;

유제 3

핵심 3

유제 2

핵심 2

유제 1

핵심 1


4'∂22

(BC”를지름으로하는반원의넓이)

=(AB”를지름으로하는반원의넓이)

+(AC”를지름으로하는반원의넓이)

=28p+16p=44pBC”=x라고하면

;2!;_p_{;2{;}¤ =44p, =44, x¤ =352

∴x=4'∂22 (∵x>0)

36p cm¤

S¡+S™=S£이므로

S¡+S™+S£=S£+S£=2S£=2_{;2!;_p_6¤ }

S¡+S™+S£=36p(cm¤ )

54 cm¤

△ABC에서AB”="√15¤ -9¤ =12(cm)

∴(색칠한부분의넓이)=△ABC

=;2!;_9_12=54(cm ¤ )

56 cm¤

(색칠한부분의넓이)=△ABC+△ABC=2△ABC

(색칠한부분의넓이)=2_{;2!;_8_7}=56(cm ¤ )

50(p-'3) cm¤

(색칠한부분의넓이)=(B’C’를지름으로하는반원의넓이)

-△ABC

이므로△ABC에서AB”="√20¤ -10¤ =10'3(cm)

∴(색칠한부분의넓이)=;2!;_p_{:™2º:}2-;2!;_10'3_10

=50p-50'3

=50(p-'3)(cm¤ )

핵심 3

유제 2

핵심 2

유제 1

x¤158

핵심 1


(11~29)627(진도)해설2 2015.4.24 8:29 AM 페이지16 mac02 T


진도북

07 △AOD에서AD”="√5¤ +5¤ =5'2

AB”¤ +CD” ¤ =AD” ¤ +BC”¤이므로

7¤ +10¤ =(5'2)¤ +BC”¤ , BC” ¤ =99

∴BC”=3'∂11 (∵BC”>0)

08 AB”=DC”=ED”=3 cm

∠FDB=∠DBC (엇각),

∠DBC=∠FBD (접은각)에서

△FBD는이등변삼각형이므로

BF”=FD”

∴△ABF™△EDF (RHS합동)

EF”=x cm라고하면AF”=EF”=x cm이므로

DF”=(4-x) cm

따라서△EDF에서

(4-x)¤ =x¤ +3¤ , x¤ -8x+16=x¤ +9

8x-7=0 ∴x=;8&;

09 AB”, AC”를각각지름으로하는반원의넓이의합은 BC”를

지름으로하는반원의넓이와같으므로AC”를지름으로하는

반원의넓이는

7p-3p=4p

따라서 ;2!;_p_{ }¤ =4p이므로

AC”=4'2

10 □ABCD에서대각선AC를그으면

(색칠한부분의넓이)

=S¡+S™+S£+S¢

=△ABC+△ADC

=□ABCD=7_5=35

11 색칠한부분의넓이는△ABC의넓이와같으므로

△ABC=;2!;_12_AC”=54

∴AC”=9(cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

△ABC에서BC”="√12¤ +9¤ =15(cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

또, AB”_AC”=AH”_BC”이므로

12_9=AH”_15

∴AH”=;;£5§;;(cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

12 AP”¤+CP”¤=B’P’ ¤+DP”¤이므로

AP”¤+7¤ =4¤ +6¤

∴AP”='3 (∵AP”>0) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

△ABP에서 AB”¤ =AP”¤ +BP” ¤이므로

∠APB=90˘ ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

DA

CB

5

7S¡

S¢

S£

S™

AC”112

A

B C

D

EF

4`cm

3`cm


AC”의길이구하기 35̀%

B’C’의길이구하기 30̀%

AH”의길이구하기 35̀%

❶

❷

❸


01 ④ 02 7, 8 03 ⑤ 04 :¡5§: 05 ① 06 ②

07 ④ 08 ② 09 ⑤ 10 35 11 ;;£5§;; cm

12 2'3

01 ④ (4'2)¤ >"1Ω5¤ +3¤이므로

∠B>90˘인둔각삼각형

02 x>6이므로삼각형의세변의길이사이의관계에서

6<x<6+3

∴6<x<9 yy㉠∠B의대변은CA”=x이고∠B>90˘이어야하므로

x¤ >3¤ +6¤ , x¤ >45 ∴x>3'5 yy㉡㉠, ㉡에의하여3'5<x<9

따라서3'5='4å5이고6<'4å5<7이므로

정수x의값은7, 8이다.

03 △ABH에서BH”="√10¤ -8¤ =6(cm)

AB”¤ =BH”_BC”이므로10¤ =6_BC”

∴BC”=;;∞3º;;(cm)

AB”_AC”=AH”_BC”이므로10_AC”=8_;;∞3º;;

∴AC”=;;¢3º;;(cm)

04 AC”="√12¤ +16¤ =20이고

AB”_BC”=BD”_AC”이므로

12_16=y_20 ∴y=:¢5•:

B’C’ ¤=CD”_CA”이므로

16¤ =x_20 ∴x=:§5¢:

∴x-y=:§5¢:-:¢5•:=:¡5§:

05 △ABC에서BC”="√6¤ +8¤ =10

DE”¤ +BC”¤ =BE” ¤ +CD” ¤이므로

CD” ¤ -DE”¤ =BC”¤ -BE”¤ =10¤ -7¤ =51

06 △ABC에서삼각형의두변의중점을연결한선분의성질에

의하여

DE”=;2!; BC”=;2!;_10=5(cm)

∴BE”¤ +CD” ¤ =DE”¤ +BC”¤ =5¤ +10¤ =125

{;2%;p-4} cm¤

△ABC에서B’C’="√2¤ +4¤ ='∂20=2'5 (cm)

∴(색칠한부분의넓이)=;2!;_p_{ } 2-;2!;_2_4

=;2%;p-4(cm¤ )

2'51242

유제 3

(11~29)627(진도)해설2 2015.4.24 8:29 AM 페이지17 mac02 T

18 정답과 해설

∴△ABP=;2!;_AP”_BP”

=;2!;_'3_4=2'3 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

AO”=;2!;AC”=;2!;_3'5= (cm)

△ABO에서BO”=æ≠6¤ +{ }¤ = (cm)

∴BD”=2BO”=2_ =3'∂21(cm)

07 △BCE에서BE”="√4¤ +3¤ =5(cm)

DE”=4-3=1(cm)

△BCEª△FDE(AA닮음)이므로

CE” : DE”=BE” : FE”

3 : 1=5 : FE”, 3FE”=5

∴FE”=;3%;(cm)

08 △ABC에서BC”=øπ6¤ +(6'3)¤ =12

점M은직각삼각형ABC의빗변인BC”의중점이므로

△ABC의외심이다.

∴AM”=BM”=CM”=;2!;BC”=;2!;_12=6

∴MG”=;3!;AM”=;3!;_6=2

09 △ABF™△EBC (SAS합동) ( ③)

DC”∥EB”이므로△EBC=△EBA ( ④)

□ABED는정사각형이므로△EBA=△EAD ( ①)

BF”∥AM”이므로△ABF=△LBF ( ⑤)

10 정사각형EFGH의넓이가34 cm¤이므로

EF”='∂34 cm

△AFE™△BGF™△CHG™△DEH(RHS합동)이고,

△AEF에서AE”=øπ('ß34)¤ -3¤ =5(cm)이므로

AE”=BF”=CG”=DH”=5 cm

따라서□ABCD는한변의길이가 3+5=8(cm)인정사

각형이므로

□ABCD=8¤ =64(cm¤ )

11 ①△APD와△DSC에서

AD”=DC”=4 cm, AP”=DS”=2 cm,

∠APD=∠DSC=90˘이므로

△APD™△DSC (RHS합동)

②△APD에서PD”="√4¤ -2¤ =2'3(cm)

③△APD=;2!;_AP”_PD”=;2!;_2_2'3=2'3(cm¤ )

④ PQ”=QR”=RS”=SP”=(2'3-2)cm이므로

□PQRS는한변의길이가(2'3-2)cm인정사각형이다.

⑤□PQRS=(2'3-2)¤ =16-8'3(cm¤ )

따라서옳지않은것은⑤이다.

12 △ABD™△CAE (̀RHA합동)

이므로 AD”=CE”=3 cm

△ABD에서

AB”="√4¤ +3¤ =5(cm)

따라서△ABC에서BC”="√5¤ +5¤ =5'2(cm)

D EA

CB

l3`cm

4`cm

3'∂21115552

3'∂21115552

3'5112

3'5112


01 ① 02 ② 03 ③ 04 ④ 05 ② 06 ⑤

07 ;3%; cm 08 ② 09 ② 10 ⑤ 11 ⑤ 12 ③

13 ④ 14 ③ 15 2'5 16 ② 17 ① 18 ①

19 3 : 1 : 4 20 (8+4'2 )cm 21 1

22 cm 23 17 : 2 24 10<x<2'∂343'3155252


AP”의길이구하기 30̀%

∠APB=90˘임을알기 40̀%

△ABP의넓이구하기 30̀%

❶

❷

❸

01 △ABD에서BD”="√5¤ -3¤ =4(cm)

∴x=BC”-BD”=6-4=2

따라서△ADC에서y="√3¤ +2¤ ='∂13

∴x¤ +y¤ =2¤ +('1å3)¤ =17

02 BD”=x cm라고하면BC”=(x+6)cm이므로

△ABC에서

AB” ¤ =10¤ -(x+6)¤ =64-12x-x¤ yy㉠△ABD에서

AB” ¤ =(2'∂10)¤ -x¤ =40-x¤ yy㉡㉠, ㉡에서64-12x-x¤ =40-x¤ , 12x=24

∴x=2

03 AB”=BC”=x cm라고하면

AC”="√x¤ +x¤ ='2x, AD”=øπ('2x)¤ +x¤ ='3x,

AE”=øπ('3x)¤ +x¤ =2x, AF”=øπ(2x)¤ +x¤ ='5x,

AG”=øπ('5x)¤ +x¤ ='6x=6'3

∴x=3'2

04 △OB'A에서OB'”="√3¤ +3¤ =3'2(cm)

△OC'B에서OC'”=øπ(3'2)¤ +3¤ =3'3(cm)

△OD'C에서OD'”=øπ(3'3)¤ +3¤ =6 (cm)

∴OD”=OD'”=6(cm)

05 □ABCD=25 cm¤이므로AB”=BC”=5 cm

□ECGH=64 cm¤이므로CG”=8 cm

∴BG”=5+8=13(cm)

△ABG에서AG”="√5¤ +13¤ ='∂194(cm)

06 △ABC에서AC”="√9¤ -6¤ =3'5(cm)

평행사변형의두대각선은서로다른것을이등분하므로

(11~29)627(진도)해설2 2015.4.24 8:29 AM 페이지18 mac02 T


진도북

13 ㄱ. a¤ <b¤ +c¤이면∠A<90˘이다.

ㄷ. a¤ <b¤ +c¤이면∠A<90˘이지만∠B 또는∠C는둔각

일 수도 있으므로 △ABC를 예각삼각형이라고 할 수

없다.

ㄹ. a¤ +b¤ <c¤이면∠C>90˘이므로∠A<90˘이다.

ㅁ. a¤ -b¤ >c¤이면a¤ >b¤ +c¤에서∠A>90˘이므로

△ABC는둔각삼각형이다.

따라서옳은것은ㄴ, ㄹ, ㅁ이다.

14 △ABC에서BC”="√4¤ +8¤ =4'5

삼각형의두변의중점을연결한선분의성질에의하여

DE”=;2!;BC”=;2!;_4'5=2'5

∴BE”¤ +CD” ¤ =DE”¤ +BC”¤

=(2'5)¤ +(4'5)¤ =100

15 직선y=-2x+10의x절편은5, y절편은10이므로

OA”=5, OB”=10

△AOB는직각삼각형이므로

AB”="√5¤ +10¤ =5'5

△AOB에서OA”_OB”=AB”_OH”이므로

5_10=5'5_OH” ∴OH”=2'5

16 주어진등변사다리꼴의두대각선이서로직교하므로AB”¤ +CD” ¤ =AD”¤ +BC”¤

AB”=CD”이므로

2CD”¤=5¤ +10¤ , CD”¤=:;!2@:%;

∴CD”= (cm) (∵CD”>0)

17 AP”¤ +CP” ¤ =BP”¤ +DP” ¤이므로

3¤ +CP” ¤ =4¤ +6¤ , CP”¤ =43

∴CP”='4å3 (∵CP”>0)

따라서△PBC에서

BC”=øπ4¤ +('4å3)¤ ='5å9

18 DE”=AD”=17 cm이므로△DEC에서

EC”="√17¤ -8¤ =15(cm)

∴BE”=BC”-EC”=17-15=2(cm)

EF”=x cm라고하면AF”=x cm, BF”=(8-x)cm

따라서△FBE에서

x¤ =(8-x)¤ +2¤ , x¤ =64-16x+x¤ +4

16x=68 ∴x=:¡4¶;;

19 S¡=;2!;_p_{ } ¤ =6p

S™=;2!;_p_{;2$;} ¤ =2p

S£=S¡+S™=6p+2p=8p∴S¡ : S™ : S£=6p : 2p : 8p=3 : 1 : 4

4'3112

5'∂101122

20 AB”=AC”=x cm라고하면

(색칠한부분의넓이)=△ABC=;2!;_x¤ =8

x¤ =16 ∴x=4 (∵x>0)

△ABC에서BC”="√4¤ +4¤ =4'2(cm)

따라서△ABC의둘레의길이는

4+4+4'2=8+4'2(cm)

21 1단계 두대각선이직교하므로

AB”¤ +CD” ¤ =AD” ¤ +BC”¤ , 4¤ +5¤ =AD” ¤ +6¤

AD”¤ =5 ∴AD”='5 (∵AD”>0)

2단계 △AOD에서OD”=øπ('5)¤ -2¤ =1

3단계 △AOD=;2!;_1_2=1

22 1단계 △ABC에서BC”=øπ6¤ +(6'3)¤ =12(cm)

AB”_AC”=AE”_BC”이므로

6_6'3=AE”_12 ∴AE”=3'3(cm)

2단계 △ABC에서AC”¤ =CE”_CB”이므로

(6'3)¤ =CE”_12 ∴CE”=9(cm)

DC”=;2!;BC”=;2!;_12=6(cm)이므로

DE”=CE”-DC”=9-6=3(cm)

3단계 점D는직각삼각형ABC의빗변의중점이므로

△ABC의외심이다.

∴AD”=BD”=DC”=6(cm)

△AED에서AE”_DE”=EF”_AD”이므로

3'3_3=EF”_6 ∴EF”= (cm)

23 직각삼각형ADH에서

AD”="√5¤ +3¤ ='∂34(cm)이므로

□ABCD=('∂34)¤ =34(cm¤ ) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

EH”=5-3=2(cm)이므로

□EFGH=2¤ =4(cm¤ ) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

따라서□ABCD :□EFGH=34 : 4=17 : 2 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

24 삼각형의세변의길이사이의관계에서10-6<x<10+6 ∴4<x<16 yy㉠ ₩₩₩₩❶

가장긴변의길이가x cm이므로예각삼각형이되려면

x¤ <6¤ +10¤ , x¤ <136

그런데x>10이므로10<x<2'∂34 yy㉡　 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

㉠, ㉡에의하여10<x<2'∂34 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

3'3112


□ABCD의넓이구하기 40̀%

□EFGH의넓이구하기 40̀%

□ABCD와□EFGH의넓이의비구하기 20̀%

❶

❷

❸


삼각형의세변의길이사이의관계이용하기 40̀%

삼각형의각의크기에대한변의길이의관계이용하기 40̀%

x의값의범위구하기 20̀%

❶

❷

❸

(11~29)627(진도)해설2 2015.4.24 8:29 AM 페이지19 mac02 T

20 정답과 해설

직사각형의대각선의길이11

Ⅱ-2｜피타고라스정리의활용

1평면도형에의활용


1 ⑴ '8å9 cm ⑵ 6'2 cm

⑴주어진직사각형의대각선의길이를 l이라고하면

l="√8¤ +5¤ ='8å9(cm)

⑵주어진정사각형의대각선의길이를 l이라고하면

l="√6¤ +6¤ =6'2(cm)

2 ⑴ 5 ⑵ 10'2

⑴ x="√13¤ -12¤ =5

⑵ '2x=20 ∴x=10'2

3 120 cm¤

가로의길이를x cm라고하면

x="√17¤ -8¤ =15

따라서구하는넓이는

8_15=120(cm¤ )


정삼각형의높이와넓이12


1 h= cm, S= cm¤

h= _5= (cm)

S= _5¤ = (cm¤ )

2 ⑴ 2'2å1 cm ⑵ 2'6 cm

⑴BH”=CH”=;2!; B’C’=;2!;_8=4(cm)

따라서△ABH에서

AH”="√10¤ -4¤ =2'2å1(cm)

⑵BH”=x cm라고 하면 CH”=(6-x)cm이므로 두 직각삼

각형ABH, ACH에서

AH”¤ =7¤ -x¤ =5¤ -(6-x)¤

49-x¤ =25-36+12x-x¤

12x=60 ∴x=5


AH”="√7¤ -5¤ ='2å4=2'6(cm)

25'311254

'3124

5'31152

'3122

25'3111122334

5'31111552


10'3 cm

가로의길이를 3a cm (a>0)라고하면세로의길이는 2a cm이

므로

"√(3a)¤ +(2a)¤ ='3å9

13a¤ =39, a¤ =3 ∴a='3 (∵a>0)

따라서가로, 세로의길이가각각 3'3 cm, 2'3 cm이므로직사

각형의둘레의길이는

2_(3'3+2'3)=10'3 (cm)

3'1å0 cm

가로의길이를 a cm (a>0)라고하면세로의길이는 3a cm이

므로

"√a¤ +(3a)¤ =10

10a¤ =100, a¤ =10 ∴a='1å0 (∵a>0)

따라서세로의길이는3a=3'1å0(cm)

72 cm¤

원의지름이 12 cm이므로원에내접하는정사각형ABCD의대

각선의길이가12 cm이다.

정사각형의한변의길이를x cm라고하면

'2x=12 ∴x=6'2

∴□ABCD=(6'2)¤ =72(cm ¤ )

4p cm¤

정사각형의한변의길이를x cm라고하면

'2x=4'2 ∴x=4

따라서주어진정사각형에내접하는원의지름이 4 cm이므로구

하는원의넓이는

p_2¤ =4p(cm¤ )

유제 2

핵심 2

유제 1

핵심 1

:¡1™7º: cm

직사각형ABCD의대각선의길이는

"√8¤ +15¤ =17(cm)

직각삼각형ABD에서AB”_AD”=AH”_BD”이므로

8_15=AH”_17 ∴AH”=:¡1™7º:(cm)

:£5§: cm

직사각형ABCD의대각선의길이가15 cm이므로

AD”="√15¤ -9¤ =12(cm)

직각삼각형BCD에서BC”_CD”=CH”_BD”이므로

12_9=CH”_15 ∴CH”=:£5§:(cm)

유제 3

핵심 3

6 cm

정삼각형의한변의길이를a cm라고하면넓이는

a¤ =12'3, a¤ =48 ∴a=4'3 (∵a>0)

따라서구하는높이는

_4'3=6(cm)

③

정삼각형의한변의길이를a cm라고하면높이는

a=3'3 ∴a=6

따라서구하는둘레의길이는6_3=18(cm)

'3122

유제 1

'3122

'3124

핵심 1

(11~29)627(진도)해설2 2015.4.24 8:29 AM 페이지20 mac02 T


진도북

2'3 cm

정육각형은합동인정삼각형 6개로나누어지므로정육각형의한

변의길이를a cm라고하면

6_ a¤ =18'3, a¤ =12

∴a=2'3 (∵a>0)

6'3 cm

오른쪽그림과같이AC”를그어BD”와의

교점을E라고하면

AB”=BC”이고∠B=60˘이므로

△ABC는한변의길이가 6 cm인정삼

각형이다.

∴BE”= _6=3'3 (cm)

따라서대각선BD의길이는

BD”=2BE”=2_3'3=6'3 (cm)

48 cm¤

△ABC는 이등변삼각형이므로 오른쪽

그림과같이꼭짓점 A에서변 BC에내

린수선의발을H라고하면

BH”=CH”=;2!;_12=6(cm)

AH”="√10¤ -6¤ =8(cm)

따라서△ABC의넓이는

;2!;_12_8=48(cm¤ )

--11 4'3 cm

오른쪽그림과같이꼭짓점A에서변

BC에내린수선의발을H라고하자.

BH”=x cm라고하면

CH”=(12-x)cm이므로두직각삼

각형ABH, ACH에서

AH”¤ =(4'7)¤ -x¤ =8¤ -(12-x)¤

112-x¤ =64-144+24x-x¤

24x=192

∴x=8

∴AH”="√(4'7)¤ -8¤ =4'3(cm)

--22 9 cm¤

오른쪽그림과같이꼭짓점A에서변

BC에내린수선의발을H라고하자.

BH”=x cm라고하면`

CH”=(6-x)cm이므로두직각삼각

형ABH, ACH에서

AH”¤ =('1å3)¤ -x¤ =5¤ -(6-x)¤

13-x¤ =25-36+12x-x¤

12x=24

∴x=2

따라서AH”="√('∂13)¤ -2¤ =3(cm)이므로

△ABC=;2!;_6_3=9(cm ¤ )

A

B CH6`cm {6-x}`cm

x`cm

5`cmÂ13°`cm

유제 3

A

B CH

8`cm4Â7`cm

x`cm{12-x}cm

유제 3

A

B CH6`cm

10`cm 10`cm

핵심 3

'3122

A

B

C

D60æ

E

6`cm

유제 2

'3124

핵심 2

25 cm¤

AB” : AC”=1 : '2에서AB” : 10=1 : '2

'2_AB”=10 ∴AB”=5'2(cm)

BC”=AB”=5'2 cm이므로

△ABC=;2!;_5'2_5'2=25(cm ¤ )

(16+8'2) cm

AB” : BC”=1 : '2에서8 : BC”=1 : '2

∴BC”=8'2(cm)

AC”=AB”=8 cm이므로△ABC의둘레의길이는

8+8+8'2=16+8'2(cm)

12+12'3

AB” : BC”=1 : 2에서AB” : 8'3=1 : 2

2AB”=8'3 ∴AB”=4'3

AC” : BC”='3 : 2에서AC” : 8'3='3 : 2

2AC”=24 ∴AC”=12


4'3+12+8'3=12+12'3

6'3 cm¤

AB” : AC”=1 : '3에서AB” : 6=1 : '3

'3_AB”=6 ∴AB”=2'3(cm)

∴△ABC=;2!;_2'3_6=6'3(cm¤ )

6'2

△ABC에서AC” : AB”='3 : 2

x : 4='3 : 2, 2x=4'3 ∴x=2'3

△ACD에서CD” : AC”=1 : '2

y : 2'3=1 : '2, '2y=2'3 ∴y='6

∴xy=2'3_'6=2'1å8=6'2

'3

△ABC에서AC” : AB”=1 : '2

x : 3'2=1 : '2, '2x=3'2 ∴x=3

유제 3

핵심 3

유제 2

핵심 2

유제 1

핵심 1


특수한직각삼각형의세변의길이의비13


1 ⑴ 1, 7'2, 7, 7 ⑵ 2, 4, 1, 2'3

⑴ 7 : x= : '2 ∴x=

: y=1 : 1 ∴y=

⑵ 2 : x=1 : ∴x=

2 : y= : '3 ∴y=

2 ⑴ x=3, y=3'3 ⑵ x=2'2, y=2'2

⑴ x : 6=1 : 2, 2x=6 ∴x=3

y : 6='3 : 2, 2y=6'3 ∴y=3'3

⑵ x : 4=1 : '2, '2x=4 ∴x=2'2

y : 4=1 : '2, '2y=4 ∴y=2'2

2'31

42

77

7'21

(11~29)627(진도)해설2 2015.4.24 8:29 AM 페이지21 mac02 T

22 정답과 해설



01 ② 02 2'6å5 cm 03 7 cm 04 3'3 cm¤

05 ① 06 ⑤ 07 ② 08 ④

09 3'2å1 cm 10 4'6 cm 11 ② 12 '4å1

13 2'3å7 cm 14 '5

10

PQ”="√(6-a)¤ √+(2-a)¤ =4'5이므로

2a¤ -16a+40=80, a¤ -8a-20=0

(a-10)(a+2)=0

∴a=10또는a=-2

그런데점P는제1̀사분면위의점이므로a>0

∴a=10

3, 11

AB”="√(5-2)¤ + √(7-a)¤ =5이므로

a¤ -14a+58=25, a¤ -14a+33=0

(a-3)(a-11)=0

∴a=3또는a=11

⑤

①BC”="√(-1-4)¤ √+(3-4)¤ ='2å6

②AB”="√(4-2)¤ √+(4-1)¤ ='1å3

CA”="√{2-(-1)}¤ √+(1-3)¤ ='1å3

∴AB”=CA”

③('2å6)¤ =('1å3)¤ +('1å3)¤ , 즉 BC”¤ =AB”¤ +CA”¤이므로

∠A=90˘

핵심 2

유제 1

핵심 1

④②, ③에서△ABC는직각이등변삼각형이다.

⑤△ABC=;2!;_AB”_CA”=;2!;_'1å3_'1å3=:¡2£:

10

AB”="√{1-(-3)}¤ √+(2-0)¤ =2'5

BC”="√(3-1)¤ √+(-2-2)¤ =2'5

CA”="√√(-3-3)¤ √+{(0-(-2)}¤ =2'1å0

∴AB”=BC”

또, (2'1å0)¤ =(2'5)¤ +(2'5)¤ , 즉CA”¤ =AB”¤ +BC” ¤이므로

△ABC는∠B=90˘인직각이등변삼각형이다.

∴△ABC=;2!;_AB”_BC”=;2!;_2'5_2'5=10

5

y=x¤ -6x+13=(x-3)¤ +4

따라서꼭짓점A의좌표는A(3, 4)이므로

OA”="√3¤ +4¤ =5

3'5

y=-x¤ +4x-1=-(x-2)¤ +3이므로A(2, 3)

y=x¤ +2x-2=(x+1)¤ -3이므로B(-1, -3)

∴AB”="√(-1-2)¤ +( √-3-3)¤ =3'5

유제 3

핵심 3

유제 2

01 가로, 세로의길이를각각'3a, a (a>0)라고하면

øπ('3a)¤ +a¤ =8'3

2a=8'3 ∴a=4'3

∴AD”='3_4'3=12

02 정사각형ABCD의한변의길이를a cm라고하면

'2a=8'2 ∴a=8

정사각형GCEF의한변의길이를b cm라고하면

'2b=6'2 ∴b=6

따라서 BE”=8+6=14(cm)이므로△ABE에서

AE”="√8¤ +14¤ =2'∂65(cm)

03 BD”는직사각형ABCD의대각선이므로

BD”="√20¤ +15¤ =25(cm)

직각삼각형ABD에서AB” ¤ =BE”_BD”이므로

15¤ =BE”_25 ∴BE”=9(cm)

직각삼각형BCD에서CD” ¤ =DF”_BD”이므로

15¤ =DF”_25 ∴DF”=9(cm)

∴EF”=BD”-BE”-DF”=25-9-9=7(cm)

좌표평면위의두점사이의거리14


1 ⑴ '2å9 ⑵ '2

⑴ "√5¤ +2¤ ='2å9

⑵ "√1¤ +(-1)¤ ='2

2 '3å4

AB”="√(-2-1)¤ √+(-3-2)¤ ='3å4

3 ⑴풀이참조 ⑵ AB”=3'1å0, BC”='5, CA”='6å5

⑶∠C>90˘인둔각삼각형

⑴

⑵ AB”="√(0-3)¤ + √(-5-4)¤ =3'1å0

BC”="√(2-0)¤ + √(-4+5)¤ ='5

CA”="√(3-2)¤ + √{4-(-4)}¤ ='6å5

⑶ AB” ¤ >BC” ¤ +CA” ¤이므로 △ABC는 ∠C>90˘인 둔각삼

각형이다.

x

y

O-2-2

-4

-4 2

2

4

4

A{3,`4}

C{2,`-4}B{0,`-5}

△ACD에서AD” : AC”=1 : '3

y : 3=1 : '3, '3y=3 ∴y='3

∴ ;]{;= ='3312'3

(11~29)627(진도)해설2 2015.4.24 8:29 AM 페이지22 mac02 T


진도북

04 정삼각형ABC의한변의길이를a cm라고하면

△ABC= a¤ =4'3, a¤ =16

∴a=4 (∵a>0)

따라서AD”= _4=2'3(cm)이므로

△ADE= _(2'3)¤ =3'3(cm ¤ )

05 오른쪽 그림과 같이 보조선을 그으면△AOF는한변의길이가 6 cm인정

삼각형이므로 점 O에서 AF”에 내린

수선의발을H라고하면

OH”= _6=3'3(cm)

따라서구하는원의넓이는

p_(3'3)¤ =27p(cm¤ )

06 오른쪽그림에서∠DAC=∠BAC (접은각),

∠DAC=∠ACB (엇각)이므로

∠BAC=∠ACB

또, △ABC에서

∠BAC+∠ACB=120˘이므로

∠BAC=∠ACB=;2!;_120˘=60˘

따라서△ABC는정삼각형이므로한변의길이를 a cm라

고하면

a=9 ∴a=6'3

∴△ABC= a¤ = _(6'3)¤ =27'3(cm ¤ )

07 △ABC는이등변삼각형이므로

오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 B

에서 AC”에 내린 수선의 발을

H라고하면

AH”=CH”=3 cm

△ABH에서

BH”="√8¤ -3¤ ='5å5(cm)

따라서△ABC=;2!;_6_'5å5=3'5å5(cm ¤ )이므로

□ABCD=2_△ABC=6'5å5(cm ¤ )

08 오른쪽그림과같이꼭짓점A에서

BC”에내린수선의발을H,

CH”=x cm라고하면

BH”=(4-x)cm이므로

AH”¤ =2¤ -x¤ =3¤ -(4-x)¤

4-x¤ =-7+8x-x¤ , 8x=11 ∴x=:¡8¡:

△ACH에서AH”=Æ…2¤ -{:¡8¡:}¤ = (cm)이므로3'1å51128

A

B CH

4`cm

3`cm 2`cm

x`cm{4-x}`cm

A

B

C

D

8`cm

6`cm3`cm H

'3124

'3124

'3122

H

A D

B C

60æ 9`cm

'3122

A

B

C

D

EO

FH6`cm

'3124

'3122

'3124

△ABC=;2!;_4_ = (cm ¤ )

09 △AMC에서MC” : AC””=1 : '3이므로

MC” : 9=1 : '3, '3_MC”=9

∴MC”=3'3(cm)

∴BC”=2MC”=2_3'3=6'3(cm)

따라서△ABC에서AB”="√(6'3)¤ +9¤ =3'2å1(cm)

10 △ABC에서AB” : BC”=1 : '2

6 : BC”=1 : '2 ∴BC”=6'2(cm)

△BCD에서BC” : BD”='3 : 2

6'2 : BD”='3 : 2, '3_BD”=12'2

∴BD”=4'6(cm)

11 AB”="√(-4-1)¤ √+(-5-a)¤ =13이므로

a¤ +10a+50=169, a¤ +10a-119=0

(a+17)(a-7)=0

∴a=-17또는a=7

그런데a<0이므로구하는a의값은-17이다.

12 오른쪽 그림과 같이 점 A와 x축에

대하여대칭인점을A'이라고하면

A'(2, -1)이므로

AP”+BP”

=A'P”+BP”

æA'B”

="√(6-2)¤ +(4+1)¤ ='4å1

따라서AP”+BP”의최솟값은'4å1이다.

13 BH”=x cm라고하면CH”=(14-x)cm이므로

AH”¤ =13¤ -x¤ =15¤ -(14-x)¤

169-x¤ =29+28x-x¤ , 28x=140 ∴x=5

△ABH에서AH”="√13¤ -5¤ =12(cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

점M은BC”의중점이므로

BM”=;2!;BC”=;2!;_14=7(cm)

∴HM”=BM”-BH”=7-5=2(cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

따라서△AHM에서

AM”="√12¤ +2¤ =2'3å7(cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩ ❸

14 y=2x¤ +4x-7=2(x+1)¤ -9이므로

A(-1, -9) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

y절편이-7이므로B(0, -7) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

∴AB”="√{(0-(-1)}¤ √+{-7-(-9)}¤ ='5 ₩₩₩₩❸

A'

A

B

2

1

-1

4

P 6O

y

x

3'1å51124

3'1å51128


A의좌표구하기 50̀%

B의좌표구하기 20̀%

AB”의길이구하기 30̀%

❶

❷

❸



HM”의길이구하기 30̀%

AM”의길이구하기 30̀%

❶

❷

❸

(11~29)627(진도)해설2 2015.4.28 5:40 PM 페이지23 mac02 T

24 정답과 해설

직육면체의대각선의길이15

2입체도형에의활용


1 ⑴ '6å1 cm ⑵ 3'3 cm

⑴ AG”="√4¤ +3¤ +6¤ ='6å1(cm)

⑵ AG”='3_3=3'3(cm)

2 ⑴ '2å9 cm ⑵ 4'3 cm

⑴ "√2¤ +3¤ +4¤ ='2å9(cm)

⑵ '3_4=4'3(cm)

3 5 cm

직육면체의높이를x cm라고하면

(대각선의길이)="√2¤ +4¤ +x¤ =3'5이므로

20+x¤ =45, x¤ =25

∴x=5 (∵x>0)

2'6 cm

DG”='2_6=6'2(cm)

AG”='3_6=6'3(cm)

△ADG는∠ADG=90˘인직각삼각형이므로

AD”_DG”=DP”_AG”

6_6'2=DP”_6'3

∴DP”=2'6(cm)

유제 3

2'1å3 cm¤

GH”=x cm라고하면

"√6¤ +x¤ +4¤ =2'1å4이므로

x¤ =4 ∴x=2 (∵x>0)

이때BG”="√6¤ +4¤ =2'1å3(cm)이므로

△ABG=;2!;_2'1å3_2=2'1å3(cm¤ )

'4å1 cm¤

DH”=x cm라고하면

"√5¤ +4¤ +x¤ =3'5이므로

x¤ =4 ∴x=2 (∵x>0)

이때FH”="√5¤ +4¤ ='4å1(cm)이므로

△DFH=;2!;_'4å1_2='4å1(cm¤ )

24'2 cm¤

정육면체의한모서리의길이를a cm라고하면

'3a=12 ∴a=4'3

EG”='2_4'3=4'6(cm)이므로

△CEG=;2!;_4'6_4'3=24'2(cm¤ )

6'2 cm

정육면체의한모서리의길이를a cm라고하면

'3a=6'3 ∴a=6

∴FH”='2_6=6'2(cm)

2'3 cm

EG”="√3¤ +3¤ =3'2(cm)

AG”="√3¤ +3¤ +6¤ =3'6(cm)

△AEG는∠AEG=90˘인직각삼각형이므로

AE”_EG”=EP”_AG”

6_3'2=EP”_3'6

∴EP”=2'3(cm)

핵심 3

유제 2

핵심 2

유제 1

핵심 1


정사면체, 정사각뿔의높이와부피16


1 ⑴ 4'3 cm ⑵ cm ⑶ cm

⑷ 16'3 cm¤ ⑸ cm‹

⑴ DM”은한변의길이가 8 cm인정삼각형BCD의높이이므

로

DM”= _8=4'3(cm)

⑵점H는정삼각형BCD의무게중심이므로

DH”=;3@;DM”=;3@;_4'3= (cm)

⑶△ADH에서

AH”=æ≠8¤ -{ }¤ = (cm)

⑷△BCD= _8¤ =16'3(cm¤ )

⑸ (부피)= _8‹ = (cm ‹ )

2 ⑴ 4'2 cm ⑵ 2'2 cm ⑶ '∂17 cm

⑷ 16 cm¤ ⑸ cm‹

⑴□ABCD는한변의길이가4 cm인정사각형이므로

BD”='2_4=4'2(cm)

⑵ BH”=;2!;BD”=;2!;_4'2=2'2(cm)

⑶△OBH에서

OH”="√5¤ -(2'2)¤ ='1å7(cm)

⑷□ABCD=4_4=16(cm ¤ )

⑸ (부피)=;3!;_16_'1å7= (cm ‹ )16'1å7111

3

16'1å7111111333

128'21113

'21212

'3124

8'6113

8'3113

8'3113

'3122

128'2111111333

8'61111553

8'31111553


;8(; cm‹

정사면체의한모서리의길이를a cm라고하면

a='3 ∴a=

∴(부피)= _{ }‹ =;8(;(cm ‹ )3'2112

'21212

3'2112

'6123

핵심 1

(11~29)627(진도)해설2 2015.4.24 8:29 AM 페이지24 mac02 T


진도북

높이: 2'6 cm, 부피: 18'2 cm‹

주어진 전개도로 만들 수 있는 입체도형은 한 모서리의 길이가

6 cm인정사면체이므로이정사면체의높이와부피는

(높이)= _6=2'6(cm)

(부피)= _6‹ =18'2(cm ‹ )

24'2 cm¤

D’M”= _12=6'3(cm)

점H는정삼각형BCD의무게중심이므로

DH”=;3@;DM”=;3@;_6'3=4'3(cm)

AH”= _12=4'6(cm)

∴△AHD=;2!;_4'3_4'6=24'2(cm¤ )

cm¤

D’M”= _4=2'3(cm)

점H는정삼각형BCD의무게중심이므로

MH”=;3!;DM”=;3!;_2'3= (cm)

AH”= _4= (cm)

∴△AMH=;2!;_ _ = (cm ¤ )

cm‹

AC”=8'2 cm이므로AH”=;2!;AC”=;2!;_8'2=4'2(cm)

△OAH에서OH”="√8¤ -(4'2)¤ =4'2(cm)

∴(부피)=;3!;_8¤ _4'2= (cm ‹ )

2'1å4 cm¤

AC”=4'2 cm이므로

CH”=;2!;AC”=;2!;_4'2=2'2(cm)

△OCH에서OH”="√6¤ -(2'2)¤ =2'7(cm)

∴△OHC=;2!;_2'2_2'7=2'1å4(cm ¤ )

유제 3

256'21113

256'2111111333

핵심 3

4'2113

4'6113

2'3113

4'6113

'6123

2'3113

'3122

4'21111553

유제 2

'6123

'3122

핵심 2

'21212

'6123

유제 1 2 ⑴ 4 cm ⑵ 32p cm‹

⑴ (반지름의길이)="√(2'1å3)¤ -6¤ =4(cm)

⑵ (부피)=;3!;_p_4¤ _6=32p(cm‹ )

3 ⑴ 2'3 cm ⑵ 12p cm¤

⑴ (반지름의길이)="√4¤ -2¤ =2'3(cm)

⑵ (넓이)=p_(2'3)¤ =12p(cm ¤ )

원뿔의높이와부피17


1 ⑴ 2'3 cm ⑵ p cm‹

⑴ (높이)="√4¤ -2¤ =2'3(cm)

⑵ (부피)=;3!;_p_2¤ _2'3= p(cm‹ )8'3113

8'31111443

p cm‹

BO” : AB”=1 : 2이므로BO” : 8=1 : 2

2BO”=8 ∴BO”=4(cm)

또, AO” : AB”='3 : 2이므로

AO” : 8='3 : 2, 2AO”=8'3

∴AO”=4'3(cm)

∴(부피)=;3!;_p_4¤ _4'3= p(cm‹ )

6 cm

밑면의둘레의길이가16p`cm이므로2p_BO”=16p ∴BO”=8(cm)

따라서△ABO에서

AO”="√10¤ -8¤ =6(cm)

p cm‹

밑면의반지름의길이를 r cm라고하면밑면의둘레의길이와부

채꼴의호의길이가같으므로

2pr=2p_12_ ∴ r=5

오른쪽그림에서원뿔의높이는

"√12¤ -5¤ ='∂119(cm)

∴(부피)=;3!;_p_5¤ _'∂119

= p(cm‹ )

높이: 6'2 cm, 부피: 18'2p`cm‹

밑면의반지름의길이를 r cm라고하면밑면의둘레의길이와부

채꼴의호의길이가같으므로

2pr=2p_9_ ∴ r=3

오른쪽그림에서원뿔의높이는

"√9¤ -3¤ ='7å2=6'2(cm)

따라서원뿔의부피는

;3!;_p_3¤ _6'2=18'2p (cm‹ )

27p cm¤

잘린단면인원의반지름의길이를 r cm라고하면

r="√6¤ -3¤ =3'3

따라서원의넓이는p_(3'3)¤ =27p(cm ¤ )

핵심 3

9`cm

3`cm

120˘113360˘

유제 2

25'∂11911123

12`cm

5`cm

150˘113360˘

25'∂11911111122333

핵심 2

유제 1

64'31123

64'3111122553

핵심 1


(11~29)627(진도)해설2 2015.4.24 8:29 AM 페이지25 mac02 T

26 정답과 해설

9'2 cm

오른쪽그림에서구하는최단거리는

FH”="√9¤ +(3+3+3)¤

=9'2(cm)

5'5 cm

오른쪽그림에서구하는최단거

리는

A’D'”="√(4+4+2)¤ +5¤

=5'5(cm)

9'5p cm

밑면의둘레의길이는

2p_9=18p(cm)

옆면의 전개도는 오른쪽 그림과 같

으므로구하는최단거리는

AB'”="√(18p)¤ +(9p)¤ =9'5p(cm)

2'1å3p cm

구하는 실의 길이의 최솟값은 오른쪽

그림에서A’B'”의길이와같다.

A’A'”의길이는밑면의둘레의길이와

같으므로

A’A'”=2p_3=6p(cm)

∴AB'”="√(6p)¤ +(4p)¤ =2'1å3p(cm)

B

A

B'

A'6π`cm

4π`cm

유제 2

B'

A'

B

A18π`cm

9π`cm

핵심 2

A

D D'E F

B A'4`cm 4`cm 2`cm

5`cm

C

유제 1

3`cm

3`cm

3`cm

9`cm

E

A

B

F G

C

D

H

핵심 1


입체도형에서의최단거리18


1 2 cm, 4 cm, 6 cm, 6, 6'2

구하는최단거리는

AG”="√(2+4)¤ +6¤ =øπ ¤ +6¤ = (cm)

2 3'5 cm

오른쪽 그림에서 구하는 최단 거

리는

AG”="√(3+3)¤ +3¤

=3'5(cm)

D

A B

C

F

G

3`cm

3`cm 3`cm

6'26

16'2 cm

원뿔의 전개도에서 부채꼴의 중심각의

크기를x˘라고하면

2p_16_ =2p_4

∴x=90

따라서오른쪽그림에서△ABB'는직

각삼각형이므로구하는최단거리는

B’B'”="√16¤ +16¤ =16'2(cm)

12 cm

구하는실의길이의최솟값은오른쪽그림

에서A’A'”의길이와같다.

이때 부채꼴의 중심각의 크기를 x˘라고

하면

2p_12_ =2p_2

∴x=60

따라서△OAA'은한변의길이가12 cm인정삼각형이므로

A’A'”=12 cm

x11360

O

A A'

12`cm

2`cm

xæ

유제 3

x11360

A

B B'

16`cm

4`cm

xæ

핵심 3


01 ③ 02 cm 03 ② 04 ⑤ 05 ④

06 ⑤ 07 320p`cm‹ 08 8 cm 09 ④ 10 ①

11 4'5 cm 12 :™2¶: cm¤ 13 6 cm

5'2112

01 B’F’=x cm라고하면

BH”="√4¤ +3¤ +x¤ =6(cm)

25+x¤ =36, x¤ =11 ∴x='1å1

02 EG”를그으면

EG”="√3¤ +4¤ =5(cm)

AG”="√3¤ +4¤ +5¤ =5'2(cm)

△AEG는∠AEG=90˘인직각삼각형이므로

AE”_EG”=EP”_AG”

5_5=EP”_5'2

∴EP”= (cm)

03 정육면체의한모서리의길이를a cm라고하면

'3a=6'2 ∴a=2'6

(구의지름)=(정육면체의한모서리의길이)

=2'6 cm

따라서구의반지름의길이는 ;2!;_2'6='6(cm)이므로구

의부피는

;3$;p_('6)‹ =8'6p(cm‹ )

5'2112

12 cm

오른쪽그림과같이잘린단면과구의중심

사이의거리를d cm라고하면

d="√13¤ -5¤ =12 13`cmd`cm

5`cm유제 3

(11~29)627(진도)해설2 2015.4.24 8:29 AM 페이지26 mac02 T


진도북

04 MB”, MC”는각각한변의길이가6 cm인두정삼각형

OAB와OAC의높이이므로

MB”=MC”= _6=3'3(cm)

오른쪽그림과같이△MBC의꼭

짓점M에서밑변BC에내린수선

의발을H라고하면

MH”="√(3'3 )¤ -3¤

=3'2(cm)

∴△MBC=;2!;_6_3'2

∴△MBC=9'2(cm¤ )

05 AC”='2 cm, AH”=;;2!;AC”= (cm)

△OAH에서

OH”=æ≠x¤ -{ }¤ =Æ…x¤ -;2!;(cm)

정사각뿔의부피가 cm‹이므로

;3!;_1¤ _Æ…x¤ -;2!;= , Æ…x¤ -;2!;=

x¤ -;2!;=;4&;, x¤ =;4(;

∴x=;2#; (∵x>0)

06 AB”는전개도에서부채꼴의반지름의길이이고,

AB”="√2¤ +('5)¤ =3(cm)

전개도에서부채꼴의중심각의크기를x˘라고하면

2p_3_ =2p_2 ∴x=240

07 오른쪽그림에서원뿔의높이는"√17¤ -8¤ =15(cm)

∴(부피)=;3!;_p_8¤ _15

∴(부피)=320p(cm‹ )

08 p_AB” ¤ =48p이므로AB”=4'3(cm)(∵AB”>0)

따라서△OBA에서구의반지름의길이는

OA”=øπ(4'3)¤ +4¤ =8(cm)

09 오른쪽 그림의 전개도에서 구하는 최단

거리는

A’E'”="√3¤ +(3+3+3+3)¤

=3'1å7(cm)

3`cm

3`cm 3`cm 3`cm 3`cmA

E F G H E'

A'B C D

17`cm

8`cm

x11360

'7122

'7126

'7126

'2122

'2122

M

B CH

3Â3`cm 3Â3`cm

3`cm6`cm

'3122

10 밑면의둘레의길이는A’A'”=2p_4=8p(cm)

오른쪽 그림의 전개도에서 구

하는최단거리는

A’B"”="√(16p)¤ +(10p)¤=2'8å9p(cm)

11 오른쪽 그림의 전개도에서 부채꼴의중심각의크기를x˘라고하면

2p_8_ =2p_2

∴x=90

따라서△AMB는∠MAB=90˘인

직각삼각형이므로구하는최단거리는

B’M”="√4¤ +8¤ =4'5(cm)

12 C’M”=CN”=;2!;_6=3(cm)이므로

△CDM과△CDN에서

DM”=DN”="√6¤ +3¤ =3'5(cm)

△MCN에서

MN”="√3¤ +3¤ =3'2(cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

△DMN은오른쪽그림과같은이등

변삼각형이므로 꼭짓점 D에서 MN”

에내린수선의발을H라고하면

D’H”=æ≠(3'5)¤ -{ }¤

= (cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

∴△DMN=;2!;_3'2_

∴△DMN=:™2¶:(cm ¤ ) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

13 AC”=12'2 cm이므로

AP”=;2!;AC”

AP”=;2!;_12'2=6'2(cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

△OAP에서

OP”="√12¤ -(6'2)¤ =6'2(cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

△OAP에서AP”_OP”=PH”_OA”이므로

6'2_6'2=PH”_12

∴PH”=6(cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

9'2112

9'2112

3'2112

D

M NH

3Â5`cm 3Â5`cm

3Â2`cm

x11360

A

B B' B''

A''A'

10π`cm

8π`cm 8π`cm

A

B B'

M8`cm4`cm

2`cm

xæ


DM”, DN”과MN”의길이구하기 50̀%

△DMN의높이길이구하기 30̀%

△DMN의넓이구하기 20̀%

❶

❷

❸



OP”의길이구하기 30̀%

PH”의길이구하기 40̀%

❶

❷

❸

(11~29)627(진도)해설2 2015.4.24 8:29 AM 페이지27 mac02 T

28 정답과 해설

△ACH에서

AH” : CH”='3 : 1, x : CH”='3 : 1

'3_CH”=x

∴CH”= x(cm)

BC”=BH”+CH”이므로

6=x+ x, x=6

∴x=6_ =3(3-'3)

∴△ABC=;2!;_6_3(3-'3)

∴△ABC=9(3-'3)(cm ¤ )

06 △ADC가직각이등변삼각형이므로

AD” : AC”=1 : '2, AD” : 2=1 : '2

'2_AD”=2

∴AD”=CD”='2(cm)

△ABD에서

AD” : BD”=1 : '3, '2 : BD”=1 : '3

∴BD”='6(cm)

AD” : AB”=1 : 2, '2 : AB”=1 : 2

∴AB”=2'2(cm)


AB”+BD”+CD”+AC”=2'2+'6+'2+2

=3'2+'6+2(cm)

07 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서

BC”에내린수선의발을H라하고,

CH”=x, AH”=h라고하면

BH”=21-x이므로

△ABH에서

h¤ =20¤ -(21-x)¤

△ACH에서

h¤ =13¤ -x¤

즉, 20¤ -(21-x)¤ =13¤ -x¤이므로

42x=210 ∴x=5

따라서h="√13¤ -5¤ =12이므로

△ABC=;2!;_21_12=126

08 y=2x¤ -4x-6=2(x-1)¤ -8에서꼭짓점의좌표는

A(1, -8)

또, 2x¤ -4x-6=0에서(x+1)(x-3)=0

∴x=-1또는x=3

x축과의두교점B, C를B(-1, 0), C(3, 0)이라고하면

AB”="√(-1-1)¤ +(0+8)¤ =2'∂17

BC”=3+1=4

CA”="√(1-3)¤ +(-8-0)¤ =2'∂17


2'∂17+4+2'∂17=4+4'∂17

A

B CH21

20 13h

21-x x

31113+'3

3+'31113

'3123

'3123


01 ② 02 ③ 03 ⑤ 04 ② 05 ④ 06 ③

07 126 08 ⑤ 09 ① 10 2'5 cm 11 ⑤

12 ④ 13 ④ 14 ∠A=90˘인직각이등변삼각형

15 2'3 cm 16 9'3 cm¤ 17 192 cm‹

01 정사각형의한변의길이를a cm라고하면

AB”="√(2a)¤ +a¤ ='1å0에서'5a='1å0이므로

a='2(cm)

∴AC”="√a¤ +a¤ ='2a

='2_'2=2(cm)

02 (원의지름)=(원에내접하는정사각형의대각선의길이)=2'2(cm)

(원에외접하는정사각형의한변의길이)=(원의지름)

=2'2(cm)

∴(색칠한부분의넓이)

=(한변의길이가2'2 cm인정사각형의넓이)

-(지름이2'2 cm인원의넓이)

=(2'2)¤ -p_{ }¤

=8-2p(cm¤ )

03 BD”="√9¤ +12¤ =15(cm)

직각삼각형ABD에서

AB” ¤ =BE”_BD”, 9¤ =BE”_15

∴BE”=:™5¶:(cm)

직각삼각형BCD에서

CD” ¤ =DF”_BD”, 9¤ =DF”_15

∴DF”=:™5¶:(cm)

∴EF”=BD”-BE”-DF”

=15-:™5¶:-:™5¶:=:™5¡:(cm)

04 △ABM에서

B’M” : A’M”=1 : '2, B’M” : 3'2=1 : '2

∴B’M”=3(cm)

AB” : B’M”=1 : 1, AB” : 3=1 : 1

∴AB”=3(cm)

BC”=2B’M”=2_3=6(cm)


AC”="√3¤ +6¤ =3'5(cm)


BC”에그은수선의발을 H라하고,

AH”=x cm라고하면

△ABH에서

AH” : BH”=1 : 1

x : BH”=1 : 1

∴BH”=x(cm)

A

B CH45æ 60æ

6`cm

x`cm

2'2112

(11~29)627(진도)해설2 2015.4.24 8:29 AM 페이지28 mac02 T


진도북

3단계 CA”="√{3-(-3)}¤ +√{-3-(-5)}¤ =2'1å0

4단계 AB”=CA”이고, BC” ¤ =AB” ¤ +CA” ¤이므로 △ABC

는∠A=90˘인직각이등변삼각형이다.

15 1단계 삼각뿔 C-BGD에서밑면을△BCG로보면높이

는 CD”이므로

(삼각뿔C-BGD의부피)=;3!;_{;2!;_6_6}_6

(삼각뿔C-BGD의부피)=36(cm‹ )

2단계 △BGD는 BD”=GD”=BG”=6'2 cm인 정삼각형

이므로

△BGD= _(6'2)¤ =18'3(cm¤ )

3단계 삼각뿔 C-BGD에서밑면을△BGD로보면높이

는CI”이므로

;3!;_△BGD_CI”=36

;3!;_18'3_CI”=36

∴CI”=2'3(cm)

16 점G가△ABC의무게중심이므로AG” : AH”=2 : 3

2'3 : AH”=2 : 3, 2AH”=6'3

∴AH”=3'3(cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

정삼각형 ABC의 한 변의 길이를 a cm라고 하면 높이가

3'3 cm이므로

a=3'3 ∴a=6 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

∴△ABC= _6¤ =9'3(cm ¤ ) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

17 구의반지름의길이가8 cm이므로

OA”=OB”=8cm

OH”=AH”-OA”

=12-8=4(cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

∴BH”=øπOB”¤ -OH”¤

∴BH”="√8¤ -4¤ ='4å8=4'3 (cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

따라서 밑면인 원의 반지름의 길이가 4'3 cm, 높이가

12 cm인원뿔의부피는

;3!;_p_(4'3)¤ _12=192p(cm‹ ) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

A

B CH

12`cm

4`cm

8`cm O

'3124

'3122

'31254

09 오른쪽 그림과 같이 점 A와

CD”에대하여대칭인점을A'

이라고하면AP”+PB”의최솟

값은A'B”의길이와같다.

따라서△A'B'B에서

A'B”="√8¤ +(4+2)¤

=10(km)

10 정육면체의한모서리의길이를x cm라고하면

'̀3x=4'3 ∴x=4

△CGM에서CG”=4 cm, CM”=2 cm이므로

GM”="√4¤ +2¤ =2'5(cm)

11 AH”는정사면체의높이이므로

AH”= _6=2'6(cm)

△BCD에서

BM”= _6=3'3(cm)

점H는밑면인정삼각형BCD의무게중심이므로

MH”=;3!;BM”

=;3!;_3'3='3(cm)

∴△AMH=;2!;_MH”_AH”

=;2!;_'3_2'6=3'2(cm¤ )

12 AC”=2'2 cm, AH”=;2!;AC”=;2!;_2'2='2(cm)

직각삼각형OAH에서

OH”="√3¤ -('2)¤ ='7(cm)

따라서정사각뿔의부피는

;3!;_2¤ _'7= (cm‹ )

13 선이지나는면의전개도를그리면오른쪽그림과같으므로구하

는 최단 거리는 MN”의 길이와

같다.

정삼각형ABC에서

BH”= _4=2'3(cm)

∴BD”=2BH”=2_2'3=4'3(cm)

따라서△BCD에서삼각형의두변의중점을연결한선분의

성질에의하여

MN”=;2!;BD”

MN”=;2!;_4'3=2'3(cm)

14 1단계 AB”="√(1-3)¤ +(3+3)¤ =2'1å0

2단계 BC”="√(-3-1)¤ +(- √5-3)¤ =4'5

'31252

A

B

C

DHM N

4`cm

4`cm

4`cm

4`cm

4`cm

4'712553

'31252

'61253

2`km

2`km

8`km

4`km

2`km

B

A' B'

A

B

A

PDC



△ABC의한변의길이구하기 30̀%

△ABC의넓이구하기 30̀%

❶

❷

❸


OH”의길이구하기 20̀%

원뿔의밑면의반지름의길이구하기 40̀%

원뿔의부피구하기 40̀%

❶

❷

❸

(11~29)627(진도)해설2 2015.4.24 8:29 AM 페이지29 mac02 T

30 정답과 해설

tanA=;2!;이므로오른쪽그림과같이

∠B=90˘, AB”=2, BC”=1

인직각삼각형ABC를생각할수있다.

따라서AC”="√2¤ +1¤ ='5이므로

cosA= = =

;6%;

cosB=;3@;이므로오른쪽그림과같이

∠C=90˘, AB”=3, BC”=2

인직각삼각형ABC를생각하면

AC”="√3¤ -2¤ ='5

따라서 sinB= = ,

tanB= = 이므로

sinB_tanB= _ =;6%;

;1!3@;

직각삼각형ABC에서AC”="√12¤ +5¤ =13

△ABC와△DEC에서∠C는공통, ∠ABC=∠DEC=90˘

이므로△ABCª△DEC (AA닮음)

따라서∠A=∠x이므로

sinx=sinA= =1!3@;

;2@0&;

직각삼각형ABC에서BC”="√3¤ +4¤ =5

△ABC와△HBA에서∠B는공통, ∠CAB=∠AHB=90˘

이므로△ABCª△HBA (AA닮음)

따라서∠C=∠x이므로

sinx=sinC= =;5#;, tanx=tanC= =;4#;

∴ sinx+tanx=;5#;+;4#;=;2@0&;

;4#;

일차함수 3x-4y+8=0의그래프가 x축, y축과만나는점을각

각A, B라고하면

x=0일때, -4y+8=0 ∴y=2

y=0일때, 3x+8=0 ∴x=-;3*;

∴A{-;3*;, 0}, B(0, 2)

따라서직각삼각형AOB에서

OA”=;3*;, OB”=2

∴ tana= = =;4#;212;3*;

OB”11O’A”

핵심 5

AB”11AC”

AB”11B’C’

유제 4

BC”11AC”

핵심 4

'5122

'5123

'5122

AC”11BC”

'5123

AC”11AB”

A

B C2

3

유제 3

2'5115

212'5

AB”11AC”

C

A B2

1

2'51111555

핵심 3

④

AB”="√6¤ +8¤ =10이므로

④ tanA= =;6*;=;3$;

AB”=øπ(2'5 )¤ -2¤ =4이므로

sinA= = , tanC=;2$;=2

∴ sinA+tanC= +2=

3'5 cm

sinB= =;3@;이므로

=;3@; ∴AC”=6 (cm)

∴BC”="√9¤ -6¤ =3'5 (cm)

13

tanA= =;1∞2;이므로

=;1∞2; ∴BC”=5

∴AC”="√12¤ +5¤ =13

BC”1112

BC”11AB”

유제 2

AC”119

AC”11AB”

핵심 2

'5+1011125

'5125

'5125

21152'5

'5+1011111133445

유제 1

B’C’11AC”

핵심 1

핵심문제익히기 본문 71~72쪽

삼각비의뜻19

Ⅲ-1｜삼각비

1삼각비


Ⅲ 삼각비

1 ⑴ ;5#; ⑵ ;5$; ⑶ ;4#; ⑷ ;5$; ⑸ ;5#; ⑹ ;3$;

2 ⑴ ⑵ ;2!; ⑶ '3

BC”=øπ2¤ -('3)¤ =1

⑴ sinC= =

⑵cosC= =;2!;

⑶ tanC= ='3

3 sinA=;1∞3;, cosA=;1!3@;, tanA=;1∞2;

BC”="√13¤ -12¤ =5이므로

sinA=;1∞3;, cosA=;1!3@;, tanA=;1∞2;

AB”11BC”

BC””11AC”

'3122

AB”11AC”

'311222

(30~44)627(진도)해설3 2015.4.24 8:29 AM 페이지30 mac02 T

Ⅲ.삼각비 31

진도북직선y=-;3@;x+4가x축, y축과만나는

점을 각각 A, B라고 하면 A(6, 0),

B(0, 4)이므로

OA”=6, OB”=4

∴AB”="√6¤ +4¤ =2'1å3

∴cosa= = =

△DFH는∠DHF=90˘인직각삼각형이고

FH”="√6¤ +8¤ =10, DF”="√6¤ +8¤ +10¤ =10'2

∴cosx= = =

△BFH는∠BFH=90˘인직각삼각형이고

FH”="√5¤ +5¤ =5'2, BH”="√5¤ +5¤ +5¤ =5'3이므로

sinx= = =

cosx= = =

∴ sinx_cosx= _ ='2123

'6123

'3123

'6123

5'2115'3

FH”11BH”

'3123

5115'3

BF”11BH”

'211223

유제 6

'2122

10113410'2

FH”11DF”

'211222

핵심 6

3'1å3113413

611342'1å3

OA”11AB”

x

y

O 6

4B

Aa

-x+4y=-32

3'ƒ131111225513

유제 5따라서

AB”='5a='5_ =3, B’C’=5a=5_ =3'5

이므로

AB”-BC”=3-3'5


BC”에내린수선의발을 H라고하

면△ABH에서

cosB= =;2!;

∴BH”=1

따라서AH”="√2¤ -1¤ ='3이므로△AHC에서

sinC= =

04 ∠A+∠B=90˘이므로

∠C=180˘-(∠A+∠B)=180˘-90˘=90˘

tanA=;3@;이므로 오른쪽 그림과 같이

AC”=3, BC”=2인직각삼각형ABC를

생각하면

AB”="√3¤ +2¤ ='1å3

따라서

sinA= = , sinB= =

이므로

sinA+sinB= + =

05 일차함수 y=;5#;x+3의그래프가x축, y축과만나는점을각

각A, B라고하면A(-5, 0), B(0, 3)이므로

OA”=5, OB”=3

즉, AB”="√5¤ +3¤ ='3å4이므로

sina= , cosa=

∴cos¤ a-sin¤ a={ }¤ -{ }¤ =;1•7;

06 오른쪽그림과같`이정사각뿔의꼭짓점A에서밑면에내린수선의발

을 H라고하면점 H는MN”의중

점이므로

MH”=;2!;MN”=;2!;_6=3

AM”은한변의길이가6인정삼각형의높이이므로

AM”= _6=3'3

따라서△AMH에서AH”=øπ(3'3 )¤ -3¤ =3'2이므로

tana= = ='23'2113

AH”115MH”

'3122

A

E

B C

D

M

N

Ha

6

311'3å4

511'3å4

511'3å4

311'3å4

5'1å311213

3'1å311213

2'1å311213

3'1å311213

311'1å3

2'1å311213

211'1å3

A C

B

3

2

'3123

AH”11AC”

BH”112

A

B H C

2 3

3'5115

3'5115

본문 73쪽실력굳히기

01 ⑤ 02 ② 03 04 05 ;1•7;

06 '2 07 ;5$;

5'1å312113

'3123

01 AB”="√6¤ +8¤ =10이므로

① sinA= =;5$;

②cosA= =;5#;

③ tanA= =;3$;

④ sinB= =;5#;

⑤cosB= =;5$;

02 sinC= = 이므로AB”='5a, BC”=5a(a>0)로

놓으면직각삼각형ABC에서

(5a)¤ =('5a)¤ +6¤ , a¤ =;5(;

∴a= (∵a>0)3'5115

'5125

AB”11BC”

BC”11AB”

AC”11AB”

BC”11AC”

AC”11AB”

BC”11AB”

B

A C

8

6

(30~44)627(진도)해설3 2015.4.24 8:29 AM 페이지31 mac02 T

32 정답과 해설

07 △ABC에서BC”="√12¤ +9¤ =15 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

△ABC와△EDC에서

∠C는공통, ∠BAC=∠DEC=90˘이므로

△ABCª△EDC (AA닮음)

∴∠x=∠B ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

∴ sinx=sinB=;1!5@;=;5$; ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸


BC”의길이구하기 20̀%

∠x=∠B임을알기 60̀%

sinx의값구하기 20̀%

❶

❷

❸

특수한각의삼각비의값20


1 ⑴ 1 ⑵- ⑶ ⑷ ⑸ ;2!;

⑴cos60˘+sin30˘=;2!;+;2!;=1

⑵ sin60˘-tan 60˘= -'3=-

⑶ sin45˘_cos30˘= _ =

⑷cos45˘÷tan 45˘= ÷1=

⑸ tan 30˘_tan 60˘-cos60˘= _'3-;2!;=;2!;

2 ⑴ 60˘ ⑵ 60˘ ⑶ 30˘ ⑷ 45˘

3 ⑴ x=3'3, y=3 ⑵ x=4, y=2'2

⑴ sinC=sin60˘= = ∴x=3'3

⑴cosC=cos 60˘=;2!;= ∴y=3

⑵ sinA=sin 45˘= = ∴x=4

⑴ tanA=tan 45˘=1= ∴y=2'22'2115y

2'2115x

'2122

y16

x16

'3122

112'3

'2122

'2122

'6124

'3122

'2122

'3122

'3122

'211222

'611224

'311222

⑴ 0 ⑵ ;2&; ⑶ ;2!; ⑷-;4#;

⑴cos45˘_sin45˘-sin30˘= _ -;2!;=0

⑵ tan 60˘÷tan 30˘+cos60˘='3÷ +;2!;=;2&;

⑶(cos30˘+sin30˘)(cos 30˘-sin30˘)

={ +;2!;}{ -;2!;}={ }¤ -{;2!;}¤ =;4#;-;4!;=;2!;

⑷(sin 30˘+1)(cos60˘-1)={;2!;+1}{;2!;-1}

⑷(sin30˘+1)(cos60˘-1)=;2#;_{-;2!;}=-;4#;

①

cosx=;2!;에서∠x=60˘

tan y= 에서∠y=30˘

∴ sin(x-y)=sin(60˘-30˘)=sin 30˘=;2!;

①

tanx= 이므로∠x=30˘

sinx+1=sin 30˘+1=;2!;+1=;2#;

sinx-1=sin 30˘-1=;2!;-1=-;2!;

∴ =;2#;÷{-;2!;}=;2#;_(-2)=-3

2'6

△ABH에서 sin60˘= = ∴AH”=2'3

△AHC에서 sin45˘= = ∴AC”=2'6

3'3+3

△ABH에서 sin30˘= =;2!; ∴AH”=3

또한, cos30˘= = ∴BH”=3'3

△AHC에서 tan 45˘= =1 ∴CH”=3

∴ BC”= BH”+CH”=3'3+3

y='3x+3

(직선의기울기)=tan 60˘='3

따라서y절편이3이고기울기가'3인직선의방정식은

y='3x+3

2x-2'3y+5=0에서 y= x+

이직선이x축의양의방향과이루는각이∠a이므로

tana=(직선의기울기)='3123

5'31156

'3123

'311223

유제 4

핵심 4

311CH”

'3122

BH”116

AH”116

유제 3

'2122

2'311AC”

'3122

AH”114

핵심 3

sinx+11111sinx-1

'3123

유제 2

'3123

핵심 2

'3122

'3122

'3122

112'3

'2122

'2122

유제 1

⑴ ⑵ ;2#; ⑶ '2 ⑷ 0

⑴cos60˘_tan 30˘=;2!;_ =

⑵ tan 45˘+sin30˘=1+;2!;=;2#;

⑶cos60˘_sin45˘÷sin¤ 30˘=;2!;_ ÷{;2!;}¤

⑶cos60˘_sin45˘÷sin¤ 30˘=;2!;_ _4='2

⑷cos30˘-tan 45˘_sin60˘= -1_ =0'3122

'3122

'2122

'2122

'3126

'3123

'311226

핵심 1


2특수한각의삼각비의값

(30~44)627(진도)해설3 2015.4.24 8:29 AM 페이지32 mac02 T

Ⅲ.삼각비 33

진도북

08 △ABD에서 tan 45˘= =1 ∴BD”=2(cm)

△ABC에서 tan 30˘= = ∴BC”=2'3(cm)

∴DC”=BC”-BD”=2'3-2(cm)

09 △BCD에서 tan 30˘=;[!;= ∴x='3

△ABC에서cos45˘= = ∴y='6

∴xy='3_'6=3'2

10 ∠ACB는△ACD에서∠ACD의외각이므로

∠CAD+∠ADC=60˘

∠CAD+30˘=60˘ ∴∠CAD=30˘

즉, △ACD는이등변삼각형이므로AC”=CD”=2 cm

△ABC에서

cos 60˘= =;2!; ∴BC”=1(cm)

sin60˘= = ∴AB”='3 (cm)

∴△ABC=;2!;_BC”_AB”=;2!;_1_'3= (cm¤ )

11 △ABC에서 sin30˘= =;2!; ∴AC”=4(cm)

∠A=180˘-(∠B+∠C)=180˘-(30˘+90˘)=60˘이고

∠CAD=;2!;∠A=;2!;_60˘=30˘이므로△ACD에서

cos 30˘= = ∴AD”= (cm)

∠BAD=∠B=30˘이므로△ABD는이등변삼각형이다.

∴BD”=AD”= cm

12 (직선의기울기)=tan 30˘= 이므로직선의방정식을

y= x+b라고놓는다.

x절편이-'3이므로이직선은점(-'3, 0)을지난다.

따라서x=-'3, y=0을직선의방정식에대입하면

0= _(-'3)+b ∴b=1

즉, 직선의방정식은 y= x+1이므로구하는 y절편은 1

이다.

13 sin(2x-30˘)= 이고 sin60˘= 이므로

2∠x-30˘=60˘ ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

∴∠x=45˘ ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

∴cosx=cos 45˘= ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸'2122

'3122

'3122

'3123

'3123

'3123

'3123

8'31153

8'31153

'3122

411AD”

AC”118

'3122

'3122

AB”112

BC”112

'2122

'312y

'3123

'3123

211BC”

211BD”


01 ② 02 ①, ③ 03 -10 04 ② 05 ③

06 ④ 07 12 08 ① 09 ③ 10 ②

11 cm 12 ③ 13 14 6'7 cm'2122

8'3113

01 sin 60˘_tan 30˘-cos30˘_tan 60˘

= _ - _'3

=;2!;-;2#;=-1

02 ① sin30˘-sin45˘=;2!;- =

② sin30˘+sin60˘=;2!;+ =

③ cos60˘_cos 45˘=;2!;_ =

④ sin¤ 30˘+cos¤ 60˘={;2!;} ¤ +{;2!;}¤ =;4!;+;4!;=;2!;

⑤ tan 60˘- ='3-1÷ ='3-'3=0

따라서옳은것은①, ③이다.

03 (sin30˘-cos30˘)(sin60˘+cos60˘)

={;2!;- }{ +;2!;}

=;4!;-;4#;=-;2!;

주어진이차방정식에x=-;2!;을대입하면

a_{-;2!;}2-3_{-;2!;}+1=0

;4!;a=-;2%; ∴a=-10

04 cosx= 에서∠x=30˘

∴ sinx=sin30˘=;2!;

05 sin 45˘=cos45˘= 이므로∠x=45˘

∴ tanx=tan 45˘=1

06 sin 60˘= 이므로cos (80˘-x)=

따라서80˘-∠x=30˘이므로

∠x=80˘-30˘=50˘

07 △ABC에서 tan 60˘= ='3

∴AC”=8'3

△ACD에서cos30˘= =

∴CD”=12

'3122

CD”118'3

AC”118

'3122

'3122

'2122

'3122

'3122

'3122

'3123

tan 45˘1112tan 30˘

'2124

'2122

1+'31112

'3122

1-'21112

'2122

'3122

'3123

'3122


(2∠x-30˘)의크기구하기 50̀%

∠x의크기구하기 20̀%

cosx의값구하기 30̀%

❶

❷

❸

(30~44)627(진도)해설3 2015.4.24 8:29 AM 페이지33 mac02 T

34 정답과 해설

14 △ABC에서

sin30˘= =;2!; ∴AB”=12(cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

cos30˘= = ∴BC”=12'3(cm) ₩₩₩❷

BD”=DC”이므로

BD”=;2!;BC”=;2!;_12'3=6'3(cm)

따라서△ABD에서

AD”=øπ12¤ +(6'3 )¤ =6'7(cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

'3122

BC”1124

AB”1124




AD”의길이구하기 40̀%

❶

❷

❸

④

① cosx= =OB”

② sinx= =AB”

③ AB”∥CD”이므로∠OCD=∠y

∴ tan y=

④ cosy= =AB”

⑤ tanx= =CD”

①

BD”∥CE”이므로∠ADB=∠x

∴ sinx= =AB”AB”111

유제 1

CD”111

AB”111

111CD”

AB”111

OB”111

핵심 1


②

① ={;2!;+0}÷{;2!;+0}=;2!;_2=1

② tan 45˘-sin90˘=1-1=0

③ sin0˘_cos90˘+sin90˘_cos0˘=0_0+1_1=1

④ sin90˘_tan 0˘=1_0=0

⑤ cos90˘+cos0˘=0+1=1

따라서옳지않은것은②이다.

④

sin 0˘+cos0˘+tan 0˘=0+1+0=1

① sin45˘=

② cos30˘=

③ cos60˘=;2!;

④ tan 45˘=1

⑤ tan 90˘의값은정할수없다.

따라서주어진식과그값이같은것은④이다.

⑤

0˘<x<45˘일때, sinx<cosx<1이고 tan45˘=1이므로

sin 40˘<cos40˘<tan45˘<tan50˘

따라서작은것부터순서대로나열하면ㄷ, ㄱ, ㄴ, ㄹ

cosx<sinx<tanx

45˘<x<90˘이고

sin45˘=cos45˘= , tan 45˘=1, sin 90˘=1,

cos 90˘=0

이므로

<sinx<1, 0<cosx< , tanx>1

∴cosx<sinx<tanx

'2122

'2122

'2122

유제 3

핵심 3

'3122

'2122

유제 2

sin30˘+cos90˘11111115cos60˘+sin0˘

핵심 2

sin 39˘=0.6293, cos 42˘=0.7431, tan40˘=0.8391

0.2255

sin 52˘+cos51˘-tan 50˘=0.7880+0.6293-1.1918

=0.2255

유제 1

핵심 1


삼각비의표22


1 ⑴ 1.3603 ⑵ 1.5808

⑴ sin 65˘+cos63˘=0.9063+0.4540=1.3603

⑵ tan 64˘-cos62˘=2.0503-0.4695=1.5808

2 0.4452

cos 24˘=0.9135이므로∠x=24˘

∴ tanx=tan 24˘=0.4452

임의의예각의삼각비의값21


1 ⑴ 0.6428 ⑵ 0.7660 ⑶ 0.8391

⑴ sin40˘= =0.6428

⑵ cos40˘= =0.7660

⑶ tan 40˘= =0.8391

2 ⑴ 0 ⑵ 0

⑴ sin0˘_cos 0˘-sin 90˘_cos90˘=0_1-1_0=0

⑵ sin25˘_cos 55˘_tan 0˘=sin25˘_cos55˘_0=0

0.839111131

0.766011131

0.642811131

3임의의예각의삼각비의값

(30~44)627(진도)해설3 2015.4.24 8:29 AM 페이지34 mac02 T

Ⅲ.삼각비 35

진도북


01 ① sin40˘= = =0.64

② cos40˘= = =0.77

③ sin50˘= = =0.77

④ cos50˘= = =0.64

⑤ tan 40˘= = =0.84

따라서옳은것은⑤이다.

02 (sin45˘+cos0˘+sin30˘)_(cos60˘+sin90˘-sin45˘)

={ +1+;2!;}_{;2!;+1- }

={;2#;+ }_{;2#;- }

={;2#;}¤ -{ }¤

=;4(;-;4@;=;4&;

03 ⑤ 0˘…x…90˘인 범위에서 ∠x의 크기가 커지면 tanx의

값은0에서무한히증가한다.

따라서 tanx의최솟값은0이고최댓값은없다.

'2122

'2122

'2122

'2122

'2122

0.84111

CD”11OD”

0.64111

AB”11AO”

0.77111

OB”11AO”

0.77111

OB”11AO”

0.64111

AB”11AO”

01 ⑤ 02 ;4&; 03 ⑤ 04 ③ 05 tanA-cosA

06 ② 07 1.4391

04 0˘<x<90˘에서0<cosx<1이므로

1<cosx+1<2, -1<cosx-1<0

∴"√(cosx+1)¤ +"√(cosx-1)¤

=cosx+1-(cosx-1)

=cosx+1-cosx+1=2

05 45˘…A…90˘이고cos 45˘= , cos90˘=0, tan 45˘=1

이므로

0…cosA… , tanAæ1 ∴ tanA>cosA

또, sin45˘= , sin90˘=1이므로　　

…sinA…1 ∴ sinAæcosA

∴(주어진식)

=(tanA-cosA)-{-(cosA-sinA)}

+(sinA-cosA)

=tanA-cosA+cosA-sinA+sinA-cosA

=tanA-cosA

06 ② sin 17˘+cos65˘=0.2924+0.4226=0.7150

⑤ cosx=0.7314, tany=0.3057이면

∠x=43˘, ∠y=17˘이므로∠x-∠y=43˘-17˘=26˘

07 △AOB에서∠AOB=180˘-(51˘+90˘)=39˘ ₩₩₩₩₩₩₩₩❶

∴AB”=sin39˘=0.6293

CD”=tan39˘=0.8098 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

∴AB”+CD”=0.6293+0.8098=1.4391 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

'2122

'2122

'2122

'2122


∠AOB의크기구하기 20̀%

AB”, CD”의길이구하기 60̀%

AB”+CD”의값구하기 20̀%

❶

❷

❸


01 ④ 02 ;5&; 03 ② 04 ④ 05 ③ 06 ⑤

07 ④ 08 ⑤ 09 ⑤ 10 ④ 11 ③

12 y=x-1 13 27 14 -

15 (9+3'3)cm¤ 16 0 17 ;1!3@;

'∂13125513

01 BC”="√2¤ +4¤ =2'5이므로

sinB= = =

cosB= = =

tanB= =;2$;=2

∴ sinB_cosB_tanB= _ _2=;5$;'5125

2'5115

AC”11AB”

'5125

2112'5

AB”11BC”

2'5115

4112'5

AC”11BC”

26˘

tan 12˘=0.2126, cos14˘=0.9703이므로

∠x=12˘, ∠y=14˘

∴∠x+∠y=12˘+14˘=26˘

0.6639

tan 73˘=3.2709이므로∠x=73˘

∴ sinx-cosx=sin73˘-cos73˘

=0.9563-0.2924

=0.6639

27.856

cos 55˘= =;2”0;=0.5736 ∴x=11.472

sin55˘= =;2’0;=0.8192 ∴y=16.384

∴x+y=11.472+16.384=27.856

89.88

△ABC에서∠C=90˘-64˘=26˘이므로

cos 26˘= =/10{0;=0.8988

∴x=89.88

AC”11BC”

유제 3

BC”11AC”

AB”11AC”

핵심 3

유제 2

핵심 2

(30~44)627(진도)해설3 2015.4.24 8:29 AM 페이지35 mac02 T

36 정답과 해설

02 직사각형ABCD의대각선BD의길이는"√4¤ +3¤ =5(cm)

직각삼각형BCD에서

sinx= =;5#;, cosx= =;5$;

∴ sinx+cosx=;5#;+;5$;=;5&;

03 △DBC에서BC”="√10¤ -6¤ =8

△ABC에서AB”="√17¤ -8¤ =15

따라서△ABC에서 tanx= =;1•5;

04 cosB= =;4#;에서BC”=6(cm)이므로

AC”="√8¤ -6¤ ='ß28=2'7(cm)

∴ △ABC=;2!;_6_2'7=6'7 (cm¤ )

05 tanA=;;¡5™;;이므로오른쪽그림과같이

AB”=5, BC”=12인직각삼각형ABC를

생각하면

AC”="√5¤ +12¤ =13

∴ sinA=;1!3@;, cosA=;1∞3;

∴"√(sinA-cosA)¤ +"√(cosA-sinA)¤

=Æ…{;1!3@;-;1∞3;}¤ +Æ…{;1∞3;-;1!3@;}¤

=;1¶3;+;1¶3;=;1!3$;

06 △BCD와△BHC에서

∠B는공통, ∠BCD=∠BHC=90˘이므로

△BCDª△BHC (AA닮음)

∴∠CDH=∠x

△BCD에서BD”="√8¤ +4¤ =4'5이므로

cosx= = =

07 EG”="√a¤ +a¤ ='2a, AG”="√a¤ +a¤ +a¤ ='3a

따라서직각삼각형AEG에서

cosx= = = =

08 AM”은한변의길이가 12 cm인정

삼각형의높이이므로

AM”= _12=6'3(cm)

꼭짓점A에서밑면에내린수선의

발을H라고하면AH”는주어진정

사면체의높이이므로

AH”= _12=4'6 (cm)

따라서△AHM에서

sinx= = =2'21223

4'61226'3

AH”115AM”

'6123

'3122

A

B

C

MH

D

12`cm

x

'61253

'2125'3

'2a11'3a

EG”11AG”

'51255

4114'5

CD”11B’D’

C

A B5

12

BC”118

BC”11AB”

BC”11BD”

CD”11BD”

09 ㄱ. sin¤ 60˘+sin¤ 30˘={ }2+{;2!;}2=;4#;+;4!;=1

ㄴ. sin30˘=;2!;, cos 30˘= , tan 30˘= 이므로

;2!;= _

ㄷ. sin30˘=;2!;, cos 60˘=;2!;, tan 45˘=1이므로

;2!;+;2!;=1

ㄹ. tan 30˘= , tan 60˘='3이므로 =

따라서옳은것은ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ이다.

10 sin60˘= 이므로

3∠x+15˘=60˘ ∴∠x=15˘

∴cos2x=cos 30˘=

11 △BCD에서 tan 45˘= =1 ∴BC”=2'3

△ABC에서 tan 60˘= ='3 ∴AB”=2

12 (직선의기울기)=tan 45˘=1

직선의방정식을 y=x+b라고하면이직선이점 (3, 2)를

지나므로

2=3+b ∴b=-1

따라서구하는직선의방정식은y=x-1이다.

13 sin47˘= 이므로

AB”=OA” sin 47˘=0.7

cos47˘= 이므로

OB”=OA” cos 47˘=0.7

tan 47˘= 이므로

CD”=OD” tan47˘=1.1

∴BD”=OD”-OB”=1-0.7=0.3

따라서사다리꼴ABDC의넓이S는

S=;2!;_(AB”+CD”)_BD”

S=;2!;_(0.7+1.1)_0.3

S=0.27

∴100S=100_0.27=27

14 1단계 △ABC와△AED에서

∠A는공통, ∠ACB=∠ADE이므로

△ABCª△AED (AA닮음)

2단계 △ADE에서DE”="√2¤ +3¤ ='∂13

∠B=∠AED, ∠C=∠ADE이므로

sinB= = =2'∂13115513

211'∂13

AD”11DE”

CD”11OD”

OB”11OA”

AB”11OA”

2'311AB”

BC”112'3

'31252

'31252

112'3

112'3

112'3

'3123

'3122

'3123

'3122

'3122

(30~44)627(진도)해설3 2015.4.24 8:29 AM 페이지36 mac02 T

Ⅲ.삼각비 37

진도북

sinC= = =

3단계 ∴ sinB-sinC= - =-

15 1단계 △ADC에서

cos45˘= = =

∴CD”=3'2(cm)

2단계 △ADC에서

∠DAC=180˘-(90˘+45˘)=45˘

즉, △ADC는직각이등변삼각형이므로

AD”=CD”=3'2 cm

△ABD에서

tan 60˘= = ='3

∴BD”='6(cm)

3단계 ∴△ABC=;2!;_B’C’_AD”

∴△ABC=;2!;_('6+3'2)_3'2

∴△ABC=9+3'3 (cm¤ )

16 0˘<x<45˘일때

0<sinx< , <cosx<1

따라서 sinx<cosx이다. ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

"√(cosx-sinx)¤ -"√(sinx-cosx)¤

=(cosx-sinx)-{-(sinx-cosx)} ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

=cosx-sinx+sinx-cosx

=0 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

17 △ABC에서∠C=∠x이므로

cosx= = =

∴AC”=6'∂13 (cm)

∴AB”=øπ(6'∂13)¤ -18¤ =12(cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

△ADC는이등변삼각형이므로AD”=CD”=a cm라고하면

BD”=(18-a)cm

△ABD에서

a¤ =(18-a)¤ +12¤ , 36a=468

∴a=13(cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

∴ siny= =;1!3@; ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸AB”11AD”

3'∂131225513

1811AC”

BC”11AC”

'2122

'2122

3'211BD”

AD”11BD”

'2122

CD”116

CD”11AC”

'∂131113

3'∂13115513

2'∂13115513

3'∂13115513

311'∂13

AE”11DE”




siny의값구하기 20̀%

❶

❷

❸


sinx와 cosx의대소관계나타내기 40%

근호없애기 40%

주어진식간단히하기 20%

❶

❷

❸

삼각형의변의길이23

Ⅲ-2｜삼각비의활용

1거리구하기


1 ⑴ 8.8 ⑵ 4.7

⑴ cos 28˘= 이므로

BC”=10_cos 28˘=10_0.88=8.8

⑵ sin28˘= 이므로

AC”=10_sin28˘=10_0.47=4.7

2 2'7

△ABH에서

AH”=4 sin60˘=4_ =2'3

BH”=4cos 60˘=4_;2!;=2

HC”=BC”-BH”=6-2=4

∴AC”=øπ(2'3)¤ +4¤ =2'7

'3122

A

B CH60æ

6

4

AC””12210

BC””12210

7.05

∠A=50˘이므로

x=5 cos 50˘=5_0.64=3.2

y=5 sin 50˘=5_0.77=3.85

∴x+y=7.05

⑤

tan 37˘= 에서BC”=

36.7 m

BC”=50 tan 35˘=50_0.7=35(m)

따라서구하는건물의높이는

CD”=35+1.7=36.7(m)

22 m

△ABC에서BC”=50 sin 26˘=50_0.44=22(m)

4'6 cm

오른쪽그림과같이꼭짓점A에서BC”에

내린수선의발을H라고하면

AH”=8 sin60˘

AH”=8_ =4'3 (cm)

△ABC에서

∠C=180˘-(75˘+60˘)=45˘이므로

△AHC에서

AC”= =4'3÷ =4'6 (cm)'2122

AH”11155sin 45˘

'3122

8`cm

A

B CH60æ 45æ

75æ

핵심 3

유제 2

핵심 2

61112tan 37˘

611BC”

유제 1

핵심 1


(30~44)627(진도)해설3 2015.4.24 8:29 AM 페이지37 mac02 T

38 정답과 해설

5('3-1)

AH”=h라고하면

△ABH에서∠BAH=90˘-30˘=60˘이므로

BH”=h tan 60˘='3h

△ACH에서∠CAH=90˘-45˘=45˘이므로

CH”=h tan 45˘=h

BC”=BH”+CH”=10이므로'3h+h=('3+1)h=10

∴h=5('3-1)

핵심 1


'∂31

오른쪽그림과같이꼭짓점A에서

BC”에내린수선의발을H라고하면

AH”=4 sin30˘=4_;2!;=2

BH”=4cos 30˘=4_ =2'3

CH”=BC”-BH”=5'3-2'3=3'3

따라서△AHC에서AC”=øπ2¤ +(3'3)¤ ='∂31

'3122

30æ

A

B CH

4

5Â3

유제 3 4(3-'3)

AH”=h라고하면


BH”=h tan 45˘=h


CH”=h tan 30˘= h

BC”=BH”+CH”=8이므로

h+ h={1+ }h=8

∴h=4(3-'3)

2('3+1)

AH”=h라고하면




CH”=h tan 45˘=h

BC”=BH”-CH”=4이므로'3h-h=('3-1)h=4

∴h=2('3+1)

3'3



△ACH에서∠ACH=180˘-120˘=60˘,

∠CAH=90˘-60˘=30˘이므로

CH”=h tan 30˘= h

BC”=BH”-CH”=6이므로

'3h- h= h=6

∴h=3'3

;;™1∞3º;; m

△ACH에서∠ACH=90˘-40˘=50˘이므로

AH”=h tan 50˘=1.2h

△BCH에서∠BCH=90˘-35˘=55˘이므로

BH”=h tan 55˘=1.4h

AB”=AH”+BH”=50이므로1.2h+1.4h=2.6h=50

∴h= =;;™1∞3º;;(m)

②

AH”=h m라고하면

△AHC에서∠CAH=90˘-30˘=60˘이므로

CH”=h tan 60˘='3h

△AHB에서∠BAH=90˘-60˘=30˘이므로

BH”=h tan 30˘= h

BC”=CH”-BH”=8이므로

'3h- h= h=8

∴h=4'3 (m)

2'3125553

'3123

'3123

유제 3

501252.6

핵심 3

2'31223

'3123

'3123

유제 2

핵심 2

'3123

'3123

'3123

유제 1

삼각형의높이24


1 tan45˘, 1, tan30˘, , 1, , 6(3-'3)


BH”=h_ = _h


CH”=h_ = _h

이때BC”=BH”+CH”=12이므로

{ + }h=12

∴h=12÷ =

2 tan45˘, 1, tan30˘, , 1, , 3+'3


BH”=h_ = _h

△ACH에서∠ACH=180˘-120˘=60˘,

∠CAH=90˘-60˘=30˘이므로

CH”=h_ = _h

이때BC”=BH”-CH”=2이므로

{ - }h=2

∴h=2÷ = 3+'33-'31115

3

'31553

1

'31553

tan 30˘

1tan 45˘

'31122553

'31122553

6(3-'3)3+'31115

3

'31553

1

'315553

tan 30˘

1tan 45˘

'31122553

'31122553

(30~44)627(진도)해설3 2015.4.24 8:29 AM 페이지38 mac02 T

Ⅲ.삼각비 39

진도북


01 ① 02 ③ 03 3'2-'6 04 12'3 m

05 ③ 06 ④ 07 ② 08 ③

09 9(3-'3) 10 ② 11 50(3+'3) m

12 'ß61 cm 1341251111125

tan55˘+tan40˘

01 x=AC”=10 sin55˘=10_0.82=8.2

y=BC”=10cos55˘=10_0.57=5.7

∴x-y=8.2-5.7=2.5

02 ③ sinC= 이므로

b sinC=c=AB”

03 △ABD에서

BD”=6cos 45˘=6_ =3'2

∠BAD=90˘-45˘=45˘에서 △ABD는 직각이등변삼각

형이므로

AB”=BD”=3'2

△ABC에서

BC”=3'2 tan 30˘=3'2_ ='6

∴CD”=BD”-BC”=3'2-'6

04 AB”=12 tan 30˘=12_ =4'3 (m)

AC”= =12÷ =8'3 (m)

따라서부러지기전의전봇대의높이는

AB”+AC”=4'3+8'3=12'3 (m)

05 직각삼각형ABC에서

AB”=8 sin30˘=8_;2!;=4(cm)

BC”=8cos30˘=8_ =4'3(cm)

따라서구하는직육면체의부피는

4_4'3_6=96'3(cm ‹ )

06 오른쪽그림과같이점 C에서AB”

에 내린 수선의 발을 H라고 하면

△ACH에서

CH”=6 sin60˘=6_

CH”=3'3

AH”=6cos60˘=6_;2!;=3

∴BH”=AB”-AH”=4-3=1

따라서△BCH에서

BC”=øπ(3'3)¤ +1¤ =2'7

'3122

A

B

H

C

660æ4

'3122

'3122

1211155cos 30˘

'3123

'3123

'2122

c15b

07 △BCH에서

BH”=12cos30˘=12_ =6'3

CH”=12 sin30˘=12_;2!;=6

또, △ABC에서∠A=180˘-(30˘+105˘)=45˘이므로

△AHC에서

AH”= =;1^;=6

∴AB”=AH”+BH”=6+6'3=6(1+'3)

08 오른쪽그림과같이점 A에서 BC”


△ABH에서

BH”=40cos57˘

△ACH에서

CH”=50cos 31˘

∴BC”=BH”+CH”=40cos 57˘+50cos31˘

09 오른쪽그림과같이점 A에서 BC”


△ABH에서

∠BAH=90˘-45˘=45˘이므로

BH”=AH” tan45˘=AH”


CH”=AH” tan30˘= AH”

BC”=BH”+CH”=AH”+ AH”

BC”={1+ }AH”=6

∴AH”=3(3-'3)

∴△ABC=;2!;_BC”_AH”=;2!;_6_3(3-'3)

∴△ABC=9(3-'3)

10 AH”=h라고하면


BH”=h tan 63˘=2h

∠CAH=63˘-35˘=28˘이므로△ACH에서

CH”=h tan 28˘=0.5h

BC”=BH”-CH”=15이므로2h-0.5h=1.5h=15

∴h=10

11 CD”=h m라고하면

△CAD에서∠ACD=90˘-45˘=45˘이므로

AD”=h tan45˘=h

△CBD에서∠BCD=90˘-60˘=30˘이므로

BD”=h tan30˘= h

AB”=AD”-BD”=100이므로

h- h={1- }h=100

∴h=50(3+'3)

'3123

'3123

'3123

'3123

'3123

'3123

A

B C45æ

H6

60æ

A

B CH57æ 31æ

40`m 50`m

CH”121255tan 45˘

'3122

(30~44)627(진도)해설3 2015.4.24 8:29 AM 페이지39 mac02 T

40 정답과 해설

삼각형의넓이25

2넓이구하기


1 ⑴ ⑵

⑴△ABC=;2!;_3_2_sin60˘=;2!;_3_2_ =

⑵△ABC=;2!;_7_5_sin45˘=;2!;_7_5_ =

2 ⑴ 6 ⑵ 4

⑴△ABC=;2!;_6_4_sin(180˘-150˘)

⑴△ABC=;2!;_6_4_sin 30˘=;2!;_6_4_;2!;=6

35'215224

'2122

3'315252

'3122

35'2112255555522554

3'311225555552

⑵△ABC=;2!;_4_2'2_sin(180˘-135˘)

⑴△ABC=;2!;_4_2'2_sin 45˘

⑴△ABC=;2!;_4_2'2_ =4'2122

16 cm¤

∠B=∠C=75˘이므로∠A=180˘-(75˘+75˘)=30˘

∴△ABC=;2!;_8_8_sin30˘

∴△ABC=;2!;_8_8_;2!;=16(cm¤ )

12'3 cm¤

∠A=180˘-(35˘+25˘)=120˘이므로

△ABC=;2!;_6_8_sin(180˘-120˘)

△ABC=;2!;_6_8_sin 60˘

△ABC=;2!;_6_8_ =12'3(cm ¤ )

6 cm

;2!;_12_AC”_sin(180˘-120˘)=;2!;_12_AC”_sin 60˘

;2!;_12_AC”_sin(180˘-150˘)=;2!;_12_AC”_

;2!;_12_AC”_sin(180˘-150˘)=18'3

∴AC”=6(cm)

30˘

;2!;_7_8_sinC=28 sinC=14이므로

sinC=;2!; ∴∠C=30˘

52'3 cm¤

△ABC에서AC”=8 tan 60˘=8'3(cm)

∴□ABCD=△ABC+△ACD

=;2!;_8_8'3+;2!;_8'3_10_sin30˘

=;2!;_8_8'3+;2!;_8'3_10_;2!;

=32'3+20'3=52'3 (cm¤ )

9'3 cm¤

BD”를그으면

□ABCD=△ABD+△BCD

□ABCD=;2!;_3_3_sin(180˘-120˘)

□ABCD=+;2!;_3'3_3'3_sin60˘

□ABCD=;2!;_3_3_sin 60˘+;2!;_3'3_3'3_sin60˘

□ABCD=;2!;_3_3_ +;2!;_3'3_3'3_

□ABCD= + =9'3 (cm¤ )27'31124

9'3114

'3122

'3122

유제 3

핵심 3

유제 2

'3122

핵심 2

'3122

유제 1

핵심 1


12 오른쪽그림과같이점A에서

BC”의 연장선에 내린 수선의

발을H라고하면

∠ABH=180˘-120˘

=60˘

△ABH에서

AH”=4 sin 60˘=4_ =2'3 (cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

BH”=4cos 60˘=4_;2!;=2(cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

CH”=BC”+BH”=5+2=7(cm)

따라서△ACH에서

AC”=øπ(2'3)¤ +7¤ ='∂61(cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

13 AH”=h라고하면


BH”=h tan 55˘ ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶


CH”=h tan 40˘ ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

BC”=BH”+CH”=h tan 55˘+h tan 40˘

BC”=(tan 55˘+tan 40˘)h=4

∴h=AH”= ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸4121111125

tan 55˘+tan 40˘

'3122

A

BH C5`cm

4`cm120æ



BH”의길이구하기 30̀%

AC”의길이구하기 40̀%

❶

❷

❸


BH”의길이를 h와삼각비로나타내기 30̀%

CH”의길이를 h와삼각비로나타내기 30̀%

AH”의길이를삼각비를사용하여나타내기 40̀%

❶

❷

❸

(30~44)627(진도)해설3 2015.4.24 8:29 AM 페이지40 mac02 T

Ⅲ.삼각비 41

진도북

사각형의넓이26


1 ⑴ 6'3 ⑵ 20

⑴□ABCD=3_4_sin60˘=3_4_ =6'3

⑵□ABCD=8_5_sin(180˘-150˘)

⑵□ABCD=8_5_sin 30˘

⑵□ABCD=8_5_;2!;=20

2 ⑴ ⑵ 20'3

⑴□ABCD=;2!;_7_6_sin45˘

⑴□ABCD=;2!;_7_6_ =

⑵□ABCD=;2!;_10_8_sin(180˘-120˘)

⑴□ABCD=;2!;_10_8_sin 60˘

⑴□ABCD=;2!;_10_8_ =20'3'3122

21'212222

'2122

21'21122552255552

'3122

45˘

10_6_sinx=30'2

따라서 sinx= 이므로∠x=45˘

8

AB”_12_sin(180˘-120˘)=AB”_12_sin 60˘

AB”_12_sin(180˘-120˘)=AB”_12_ =48'3

∴AB”=8

18 cm¤

마름모는이웃하는두변의길이가같은평행사변형이므로

□ABCD=6_6_sin(180˘-150˘)

=6_6_sin 30˘

□ABCD=6_6_;2!;=18(cm¤ )

3 cm

마름모ABCD의한변의길이를x cm라고하면

x_x_sin 45˘= x¤ =

x¤ =9 ∴x=3 (∵x>0)

16'3

등변사다리꼴의두대각선의길이는서로같으므로

□ABCD=;2!;_8_8_sin(180˘-120˘)

□ABCD=;2!;_8_8_sin 60˘

□ABCD=;2!;_8_8_

□ABCD=16'3

'3122

핵심 3

9'21222

'2122

유제 2

핵심 2

'3122

유제 1

'2122

핵심 1



01 ② 02 12'3 cm¤ 03 120˘ 04 18'3 05 ①

06 ② 07 ⑤ 08 ② 09 ④ 10 ⑤

11 25'3 12 14'3 cm¤ 13 40 cm

01 △ABC=;2!;_4_5_sinC

△ABC=;2!;_4_5_;5@;

△ABC=4(cm¤ )

02 △ABH에서

BH”=6cos 60˘=6_;2!;=3(cm¤ )

∴△ABC=;2!;_AB”_BC”_sin60˘

∴△ABC=;2!;_6_(3+5)_

∴△ABC=12'3 (cm¤ )

03 ;2!;_2'6_6_sin(180˘-B)=9'2

즉, sin(180˘-B)= 이므로180˘-∠B=60˘

∴∠B=180˘-60˘=120˘

04 △GBC=;3!;△ABC이므로

(색칠한부분의넓이)=;3@;△ABC

△ABC=;2!;_12_9_sin60˘

△ABC=;2!;_12_9_

△ABC=27'3

∴(색칠한부분의넓이)=;3@;_27'3=18'3

05 OA”=OB”=8 cm에서△AOB는이등변삼각형이므로

∠AOB=180˘-(30˘+30˘)=120˘


(반원의넓이)-△AOB

=;2!;_p_8¤ -;2!;_8_8_sin(180˘-120˘)

=;2!;_p_8¤ -;2!;_8_8_

=32p-16'3(cm ¤ )

'3122

'3122

'3122

'3122

27'2

□ABCD=;2!;_12_9_sin 45˘

□ABCD=;2!;_12_9_

□ABCD=27'2

'2122

유제 3

(30~44)627(진도)해설3 2015.4.28 5:40 PM 페이지41 mac02 T

42 정답과 해설

=;2!;_2'3_4_;2!;

=2'3(cm¤ ) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

△ACD=;2!;_6_8_sin 60˘

=;2!;_6_8_ =12'3(cm¤ ) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

∴ □ABCD=△ABC+△ACD

∴ □ABCD=2'3+12'3=14'3 (cm¤ ) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

13 마름모ABCD의한변의길이를x cm라고하면

□ABCD=x_x_sin45˘= x¤ ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

마름모ABCD의넓이가50'2 cm¤이므로

x¤ =50'2, x¤ =100

∴x=10(cm) (∵x>0) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

마름모는네변의길이가모두같으므로구하는마름모

ABCD의둘레의길이는

10_4=40(cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

'2122

'2122

'3122


마름모ABCD의넓이를한변의길이x cm에관한식

으로나타내기40̀%

40̀%

20̀%

마름모ABCD의한변의길이구하기

마름모ABCD의둘레의길이구하기

❶

❷

❸

06 ∠ACD=90˘-45˘=45˘에서 △ADC는 직각이등변삼각

형이므로CD”=AD”=4이고,

AC”= =4÷ =4'2

∴□ABCD=△ABC+△ACD

∴□ABCD=;2!;_5'2_4'2_sin30˘+;2!;_4_4

∴□ABCD=;2!;_5'2_4'2_;2!;+;2!;_4_4

∴□ABCD=10+8=18

07 △ABD=;2!;□ABCD

△ABD=;2!;_10_6_sin60˘

△ABD=;2!;_10_6_ =15'3

08 △ACM=;2!;△ACD=;4!;□ABCD

△ACM=;4!;_12_9_sin(180˘-135˘)

△ACM=;4!;_12_9_ =

09 ∠DAB=∠ABH=60˘`(엇각)

따라서△ADH'에서

∠DAH'=90˘-60˘=30˘이므로

AD”= =3_

AD”=2'3(cm)

이때□ABCD는평행사변형이므로

∠BCD=∠ABH=60˘ (동위각)

BC”=AD”=2'3 cm

∴□ABCD=BC”_CD”_sin60˘

∴□ABCD=2'3_4'3_sin 60˘

□ABCD=2'3_4'3_ =12'3(cm¤ )

10 □ABCD=;2!;_12_13_sinx=78_sinx=39'3

sinx= ∴∠x=60˘

11 △BCP에서∠BPC=180˘-(52˘+68˘)=60˘이므로

□ABCD=;2!;_10_10_sin 60˘

□ABCD=;2!;_10_10_ =25'3

12 오른쪽그림과같이AC”를그어

△ABC와△ACD로나누면

△ABC=;2!;_2'3_4

_sin(180˘-150˘)

A

B

C D6`cm

8`cm

2Â3`cm

150æ

60æ

4`cm

'3122

'3122

'3122

212'3

312512cos 30˘

H'

BH C

DA3`cm

4Â3`cm

60æ60æ

30æ

27'2125522

'2122

'3122

'2122

4121255cos 45˘


01 ④ 02 ④ 03 ② 04 ① 05 ⑤ 06 ⑤

07 12'2+4'6 08 ② 09 2'3å7 cm 10 ①

11 ② 12 ③ 13 ② 14 12 cm

15 (18+2'∂21) cm 16 1000'3 m 17 27'3 cm¤

01 cos 35˘= = 이므로 x=

tan35˘= = 이므로y=8tan35˘

따라서ㄹ, ㄷ이다.

02 △ABD에서AD”=8 sin60˘=8_ =4'3

따라서△ADE에서

AE”=4'3cos 60˘=4'3_;2!;=2'3

'3122

y18

AC”1255BC”

81115cos 35˘

81x

BC”1255AB”


△ABC의넓이구하기 40̀%

△ACD의넓이구하기 40̀%

□ABCD의넓이구하기 20̀%

❶

❷

❸

(30~44)627(진도)해설3 2015.4.24 8:30 AM 페이지42 mac02 T

Ⅲ.삼각비 43

진도북

03 오른쪽그림에서∠ACD=180˘-30˘=150˘

AC”=CD”에서△ACD는이등

변삼각형이므로

∠CAD=∠CDA=;2!;_(180˘-150˘)=15˘

△ABC에서

AC”= =2÷;2!;=4

BC”=2 tan 60˘=2_'3=2'3

CD”=AC”=4이므로

BD”=CD”+BC”=4+2'3


tan 15˘= = =2-'3

04 AB”=h라고하면

△ABD에서BD”= = =h

△ABC에서BC”= = = h

CD”=BD”-BC”=2이므로

h- h=2, {1- }h=2

∴h=3+'3

∴△ACD=;2!;_2_(3+'3)

∴△ACD=3+'3

05 △ABO에서

AO”=8 sin60˘=8_ =4'3(cm)

BO”=8cos60˘=8_;2!;=4(cm)

따라서구하는원뿔의부피는

;3!;_p_4¤ _4'3= p (cm ‹ )

06 △ABC에서BC”=100cos30˘=100_ =50'3(m)

△DCB에서CD”=50'3 tan 45˘=50'3_1=50'3(m)



면△ACH에서

AH”=4 sin60˘=4_

AH”=2'3

CH”=4cos60˘=4_;2!;=2

△ABH에서x=AB”= =2'3÷ =2'6

∠BAH=90˘-45˘=45˘이므로 △ABH는 직각이등변삼

각형이다.

'2122

AH”12125sin45˘

'3122

A

B CH45æ 60æ

30æ45æ 4x

y

'3122

64'31213

'3122

'3123

'3123

'3123

h1555'3

h12512tan 60˘

h151

h12512tan 45˘

212125554+2'3

AB”1255BD”

212125cos 60˘

A

B C D60æ

30æ

15æ15æ150æ

2

∴BH”=AH”=2'3

따라서y=BH”+CH”=2'3+2이므로

xy=2'6(2'3+2)=12'2+4'6

08 △AHC에서

CH”=4'2cos 45˘=4'2_ =4(cm)

AH”=4'2 sin45˘=4'2_ =4(cm)

△ABH에서BH”="√5¤ -4¤ =3(cm)

따라서BC”=BH”+CH”=3+4=7(cm)이므로

△ABC=;2!;_7_4=14(cm¤ )

09 오른쪽그림과같이꼭짓점A에

서 BC”의연장선에내린수선의

발을H라고하면△ACH에서

AH”=AC” sin 60˘

AH”=6_ =3'3 (cm)

CH”=AC” cos 60˘=6_;2!;=3(cm)

∴BH”=BC”+CH”=8+3=11(cm)


AB”=øπBH” ¤ +AH” ¤ =øπ11¤ +(3'3)¤

AB”='ƒ148=2'3å7 (cm)

10 오른쪽그림과같이OB”를그으면

OA”=OB”=6

△AOB는이등변삼각형이므로

∠AOB=180˘-(30˘+30˘)

=120˘

∴(어두운부분의넓이)

=(부채꼴AOB의넓이)-△AOB

=p_6¤ _ -;2!;_6_6_sin(180˘-120˘)

=p_6¤ _ -;2!;_6_6_

=12p-9'3

11 오른쪽그림에서∠PAC=∠BAC (접은각),

∠PAC=∠BCA (엇각)

즉, ∠BAC=∠BCA이므로

△ABC는이등변삼각형이다.

점B에서APÍ에내린수선의발을H라고하면

∠HAB=∠ABC=30˘ (̀엇각)이므로△ABH에서

AB”= =3÷;2!;=6(cm)

∴BC”=AB”=6 cm

∴△ABC=;2!;_6_6_sin30˘

∴△ABC=;2!;_6_6_;2!;=9(cm¤ )

HB”111sin30˘

PA

B C30æ

H

3`cm 30æ

'3122

12011360

12011360

O C

B

A6

30æ120æ 6

'3122

'2122

'2122

C

A

B120æ

8`cm

6`cm

H

(30~44)627(진도)해설3 2015.4.24 8:30 AM 페이지43 mac02 T

44 정답과 해설

12 AB” : BC”=3 : 5이므로AB”=3x cm, BC”=5x cm (x>0)

라고하면

□ABCD=3x_5x_sin 45˘

□ABCD=3x_5x_

□ABCD= x¤ =30'2

x¤ =4 ∴x=2 (∵x>0)

따라서 AB”=3_2=6(cm), BC”=5_2=10(cm)이므

로평행사변형ABCD의둘레의길이는

2_(6+10)=32(cm)

13 =45˘이므로주어진그림의정팔 `

각형은두변의길이가 4 cm이고그끼

인각의크기가 45˘인이등변삼각형 8개

로나눌수있다.

따라서구하는정팔각형의넓이는

{;2!;_4_4_sin45˘}_8={;2!;_4_4_ }_8

=32'2(cm¤ )

14 1단계 OB”를빗변으로하는직각삼각형OBH를그리면

OH”=20 cos 65˘=20_0.4=8(cm)

2단계 OA”=OB”=20 cm

3단계 따라서진자의최고높이와최저높이의차는

20-8=12(cm)

15 1단계 △ACH에서

AH”=8 sin60˘=8_ =4'3(cm)

CH”=8cos60˘=8_;2!;=4(cm)

2단계 BH”=BC”-CH”=10-4=6(cm)

△ABH에서

AB”=øπ6¤ +(4'3)¤ =2'∂21(cm)

3단계 따라서△ABC의둘레의길이는

2'∂21+10+8=18+2'∂21(cm)

16 10초동안비행기가움직인거리는

AB”=200_10=2000(m) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

점 A에서 CD”에내린수선의

발을H라하고

AH”=BD”=hm라고하자.

△ACH에서 ∠CAH=30˘

이므로

CH”=h tan 30˘= h

△BCD에서∠CBD=60˘이므로

CD”=h tan60˘='3h ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

'3123

HC D

A B

30æ

30æ

60æ

60æh`m

'3122

'2122

4`cm

4`cm45æ O

360˘1238

15'215555522

'2122

AB”=HD”=CD”-CH”=2000(m)이므로

'3h- h=2000, h=2000

∴h=1000'3(m) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

17 오른쪽그림과같이AP”를그으면

△AB'P와 △ADP에서

∠AB'P=∠ADP=90˘, AP”

는공통, AB'”=AD”이므로

△AB'P™△ADP(RHS합동)

₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

∠DAB'=90˘-30˘=60˘이므로

∠PAB'=∠PAD=30˘

△AB'P에서 B'P”=AB'” tan30˘=9_ =3'3 (cm)

₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

따라서두정사각형이겹쳐지는부분의넓이는

2△AB'P=2_;2!;_AB'”_B'P”

2△AB'P=2_;2!;_9_3'3

2△AB'P=27'3 (cm¤ ) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

'3123

A B

B'

C

C'

DD'

P

9`cm

30æ30æ30æ

2'31223

'3123


△AB'P와△ADP가합동임을보이기 40̀%

B'P”의길이구하기 40̀%

겹쳐지는부분의넓이구하기 20̀%

❶

❷

❸



CH”, CD”의길이를높이 h의식으로나타내기 40̀%

비행기의높이구하기 40̀%

❶

❷

❸

(30~44)627(진도)해설3 2015.4.24 8:30 AM 페이지44 mac02 T

Ⅳ.원의 성질 45

진도북

현의수직이등분선과현의길이27

Ⅳ-1｜원과직선

1원과현


Ⅳ 원의성질

1 ⑴ 4 ⑵ 24

⑴ AB”⊥OM”이므로AM”=BM”

⑴ ∴x=;2!;_8=4

⑵△OMB에서BM”="√13¤ -5¤ =12

⑴ ∴x=2_12=24

2 ⑴ 10 ⑵ 9

⑴ OM”=ON”이므로CD”=AB” ∴x=10

⑵ AB”=CD”이므로ON”=OM” ∴x=9

--22 8'3

오른쪽그림과같이원의중심 O에서 AB”


OC”=OB”=8

OH”=CH”=;2!;OC”=4

△OBH에서BH”="√8¤ -4¤ =4'3이므로

AB”=2BH”=8'3

⑴ 8 ⑵ 65˘

⑴OM”=ON”이므로

AB”=CD” ∴x=8

⑵OM”=ON”이므로AB”=AC”, 즉△ABC는이등변삼각형이다.

∴∠B=∠C

∴∠x=;2!;(180˘-50˘)=65˘

55˘

OM”=ON”이므로AB”=AC”, 즉△ABC는이등변삼각형이다.

∴∠B=∠C

한편, □AMON에서

∠A=360˘-(90˘+110˘+90˘)=70˘

∴∠B=;2!;(180˘-70˘)=55˘

유제 3

핵심 3

A

B

O

8C H

유제 2

5

원O의반지름의길이를x라고하면

OB”=OC”=x, OH”=OC”-CH”=x-1

이므로△OBH에서

x¤ =(x-1)¤ +3¤ , x¤ =x¤ -2x+10

2x=10 ∴x=5

2'5

△OAH에서AH”="√3¤ -2¤ ='5

OH”⊥AB”이므로AH”=BH”

∴AB”=2_AH”=2'5

10

오른쪽그림과같이원을완성시켜그리고

원O의반지름의길이를 r라고하면

OA”=OC”=r, OM”=r-4

이므로△AOM에서

r¤ =(r-4)¤ +8¤ , r¤ =r¤ -8r+80

8r=80 ∴ r=10

--11 8 cm

오른쪽그림과같이원을완성시켜그리

고원의중심을O라고하면△AOM에서

OM”="√13¤ -12¤ =5 (cm)

∴CM”=OC”-OM”

=13-5

=8 (cm)

A B

C

M24`cm

O

12`cm

13`cm

유제 2

A BM

O

C

84

r

핵심 2

유제 1

핵심 1



01 ④ 02 ③ 03 ④ 04 ③ 05 ⑤ 06 ③

07 ③ 08 ② 09 ③ 10 ② 11 5

12 3'2 cm¤

01 △OAM에서

AM”="√10¤ -8¤ =6 (cm)

AM”=BM”이므로

AB”=2_AM”=12 (cm)

02 AH”=;2!;AB”=3'3이므로직각삼각형OAH에서

OA”=øπ(3'3)¤ +3¤ =6

따라서원O의반지름의길이가6이므로구하는원의넓이는

p_6¤ =36p

03 원O의반지름의길이가 10 cm이므

로

OA”=10 cm

AM”=;2!;AB”=6 (cm)

따라서△OAM에서

OM”="√10¤ -6¤ =8 (cm)

A B

C DO

M10`cm

12`cm

(45~64)627(진도)해설4 2015.4.24 8:30 AM 페이지45 mac02 T

46 정답과 해설

04 원O의반지름의길이를 r cm라고하면

OM”=(r-1) cm

AM”=;2!;AB”=2 cm이므로

△OAM에서

r¤ =(r-1)¤ +2¤ , r¤ =r¤ -2r+5

2r=5 ∴ r=;2%;

05 오른쪽 그림에서원 O의반지름의길

이를 r라고하면OD”=r-2

△OAD에서

r¤ =(r-2)¤ +4¤

r¤ =r¤ -4r+20

4r=20 ∴ r=5

따라서원의넓이는p_5¤ =25p

06 오른쪽그림과같이 AB”와 OP”의교

점을 M이라 하고, 원 O의 반지름의

길이를 r cm라고하면

AM”=;2!;AB”=9 (cm)

OM”=;2!;OP”=;2!;r (cm)

△OAM에서 r¤ ={;2!;r}¤ +9¤ , r¤ =108

∴ r=6'3 (∵ r>0)

07 OM”=ON”이므로AB”=AC”

따라서△ABC는이등변삼각형이므로

∠C=∠B=50˘

∴∠x=180˘-(50˘+50˘)=80˘

08 오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O에서

CD”에내린수선의발을H라고하면

DH”=;2!;CD”=3 (cm)

이므로△ODH에서

OH”="√5¤ -3¤ =4 (cm)

이때AB”=CD”이므로AB”, CD”는원의중심O로부터같은

거리에있다.

따라서두현AB, CD사이의거리는2OH”=8 (cm)

09 OD”=OF”이므로AB”=AC”, 즉△ABC는이등변삼각형이

다.

∴∠B=∠C

□ECFO에서∠C=360˘-(90˘+90˘+105˘)=75˘

∴∠A=180˘-(75˘+75˘)=30˘

10 OD”=OE”=OF”이므로

AB”=BC”=CA”

즉, △ABC는정삼각형이므로

△ADO에서

∠DAO=;2!;∠A=30˘

A

B C

FD

E

O

12`cm

O

A B

C DH

6`cm

5`cm

5`cm

O

A B

P

M9`cm

r`cm

A BD

O

C

42

r

C

O

A BM4`cm1`cm

r`cm

AD”=;2!;AB”=6 (cm)

∴AO”= = =4'3 (cm)

따라서원O의넓이는

p_(4'3)¤ =48p`(cm¤ )

| 다른풀이| △ABC는한변의길이가12 cm인정삼각형이므로

(높이)=AE”= _12=6'3 (cm)

점O는△ABC의무게중심이므로

AO”=;3@;AE”=;3@;_6'3=4'3 (cm)

따라서원O의넓이는48p cm ¤이다.

11 원O의반지름의길이를 r라고하면

OH”=r-8 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

AH”=;2!;AB”=;2!;_24=12이므로

△OAH에서

r¤ =(r-8)¤ +12¤

r¤ =r¤ -16r+208, 16r=208

∴r=13 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

∴OH”=13-8=5 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

12 CD”=2ND”=2_3=6 (cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

즉, AB”=CD”이므로

OM”=ON”='2 (cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

∴△OAB=;2!;_6_'2=3'2 (cm ¤ ) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

O

A B

C

H 812

r r-8

'3122

6115'3155552

61151cos30˘


CD”의길이구하기 40̀%

OM”의길이구하기 40̀%

△OAB의넓이구하기 20̀%

❶

❷

❸


OH”를원 O의반지름의길이에관한식으로나타내기 40̀%

원 O의반지름의길이구하기 40̀%

OH”의길이구하기 20̀%

❶

❷

❸

원의접선의길이28

2원과접선


1 55˘

∠OAP=90˘이므로△OAP에서

∠AOP=180˘-(90˘+35˘)=55˘

(45~64)627(진도)해설4 2015.4.24 8:30 AM 페이지46 mac02 T


진도북

2 30˘

∠OAP=∠OBP=90˘이므로□OBPA에서

∠x=360˘-(90˘+90˘+150˘)=30˘

3 '∂21

∠PAO=90˘이므로△PAO에서

PA”="√5¤ -2¤ ='∂21

∴PB”=PA”='∂21

15

OP”=8+9=17이고∠OAP=90˘이므로△OAP에서

PA”="√17¤ -8¤ =15

6 cm

PT”=x cm라고하면

OP”=(x+9) cm

∠PAO=90˘이므로△AOP에서

(x+9)¤ =12¤ +9¤ , x¤ +18x-144=0

(x-6)(x+24)=0

∴x=6 (∵x>0)

69˘

PA”=PB”이므로△PAB는이등변삼각형이다.

즉, ∠PAB=∠PBA이므로

∠PBA=;2!;_(180˘-42˘)=69˘

3 cm

∠PAO=90˘, OP”=1+4=5 (cm)이므로△PAO에서

PA”="√5¤ -4¤ =3 (cm)

∴PB”=PA”=3 (cm)

12 cm

AE”=AF”=6 (cm)

BD”=BE”, CD”=CF”이므로

BC”=BD”+CD”=BE”+CF”


AB”+AC”+BC”=AB”+AC”+BE”+CF”

=(AB”+BE”)+(AC”+CF”)

=AE”+AF”=6+6=12 (cm)

9 cm

BD”=BE”, CD”=CF”이므로

BC”=BD”+CD”=BE”+CF”

△ABC의둘레의길이가18 cm이므로

AB”+AC”+BC”=AB”+AC”+BE”+CF”


=AE”+AF”=18 (cm)

그런데AE”=AF”이므로

AE”=9 cm

유제 3

핵심 3

유제 2

핵심 2

유제 1

핵심 1

2'1å0 cm

오른쪽 그림과 같이 점 D에서 선분

BC에내린수선의발을H라고하면

CH”=5-2=3 (cm)

또, DE”=DA”, CE”=CB”이므로

CD”=CE”+DE”=BC”+AD”

=5+2=7 (cm)

따라서△CDH에서DH”="√7¤ -3¤ =2'1å0 (cm)이므로

AB”=DH”=2'1å0 (cm)

10 cm

DE”=DA”, CE”=CB”이므로

CD”=CE”+DE”=BC”+AD”=6+4=10 (cm)

유제 4

C

DE

A BO

5`cm

2`cmH

핵심 4


삼각형의내접원29


1 12

AD”=AF”, BD”=BE”, CE”=CF”이므로

AF”+BD”+CE”=;2!;_(AB”+BC”+CA”)

AF”+BD”+CE”=;2!;_(6+10+8)=12

2 13

BD”=AB”-AD”=11-4=7 ∴BE”=BD”=7

AF”=AD”=4이므로

CF”=AC”-AF”=10-4=6 ∴CE”=CF”=6

∴BC”=BE”+CE”=7+6=13

3 1

원 O의반지름의길이를 r라고하

면□ODBE는정사각형이므로

BD”=BE”=r,

AD”=AF”=3-r,

CE”=CF”=4-r

AC”=AF”+CF”에서(3-r)+(4-r)=5

2r=2 ∴ r=1

A

F

O

B CE

D

4-r

4-r

3-r

r

rr

r

3-r

r

5

AD”=AF”=x라고하면

BD”=BE”=9-x, CF”=CE”=14-x

BC”=BE”+CE”에서

(9-x)+(14-x)=13, 2x=10 ∴x=5

11

AD”=AF”=5

CE”=CF”=9-5=4, BE”=BD”=7

∴BC”=BE”+CE”=7+4=11

유제 1

핵심 1


(45~64)627(진도)해설4 2015.4.24 8:30 AM 페이지47 mac02 T

48 정답과 해설

2

△ABC에서

BC”="√6¤ +8¤ =10


AD”=AF”=r,

BD”=BE”=6-r,

CF”=CE”=8-r

이므로BC”=(6-r)+(8-r)=10

2r=4 ∴ r=2

| 다른풀이 | △ABC=;2!;_6_8=24

따라서 ;2!;r(AB”+BC”+CA”)=24에서

;2!;r(6+10+8)=24 ∴ r=2

16p

△ABC에서AC”="√10¤ +24¤ =26


BD”=BE”=r,

AD”=AF”=10-r,

CE”=CF”=24-r

이므로AC”=(10-r)+(24-r)=26

2r=8 ∴ r=4

따라서원O의넓이는p_4¤ =16p

| 다른풀이 | △ABC=;2!;_24_10=120

;2!;r(AB”+BC”+CA”)=120에서

;2!;r(10+24+26)=120

따라서 r=4이므로원O의넓이는p_4¤ =16p

60

CF”=CE”=3, BE”=BD”=15-3=12


AC”=x+3, AB”=x+12

이므로△ABC에서

(x+12)¤ =(x+3)¤ +15¤

x¤ +24x+144=x¤ +6x+234

18x=90 ∴x=5

따라서AC”=5+3=8이므로

△ABC=;2!;_15_8=60

30

BD”=BE”=2, AF”=AD”=5-2=3

CE”=CF”=x라고하면

BC”=x+2, AC”=x+3


(x+3)¤ =(x+2)¤ +5¤

x¤ +6x+9=x¤ +4x+29

2x=20 ∴x=10

따라서BC”=10+2=12이므로

△ABC=;2!;_12_5=30

유제 3

핵심 3

O

A

C

F

E

D

24-r

24-r

10-r

10-r

rB r

rr

유제 2

O

A

B C

D

E

F

8-r

6-r 8-r

r

rr

6-r r

핵심 2 원의외접사각형30


1 15

AB”+CD”=AD”+BC”이고AB”=8, CD”=7이므로

8+7=AD”+BC” ∴AD”+BC”=15

2 8

AB”+CD”=AD”+BC”이므로

7+CD”=7+8 ∴CD”=8

3 3


7+4=5+(BF”+3) ∴BF”=3

4


(2x+1)+(3x-4)=(2x-1)+(x+6)

2x=8 ∴x=4

12

AB”+CD”=BC”+AD”이므로

(AE”+3)+(CG”+5)=8+12

∴AE”+CG”=12

48 cm¤

AB”=2_3=6 (cm)


6+10=AD”+BC” ∴AD”+BC”=16 (cm)

∴□ABCD=;2!;_(AD”+BC”)_AB”

∴□ABCD=;2!;_16_6=48 (cm¤ )

115 cm¤

AB”=2_5=10 (cm)


10+13=AD”+B’C’ ∴AD”+B’C’=23 (cm)

∴□ABCD=;2!;_(AD”+BC”)_AB”

∴□ABCD=;2!;_23_10=115 (cm¤ )

12

직각삼각형EDC에서

DC”="√10¤ -6¤ =8

BC”=x라고하면AE”=x-6

□ABCE가원O에외접하므로

AE”+BC”=AB”+EC”

(x-6)+x=8+10

2x=24 ∴x=12

핵심 3

유제 2

핵심 2

유제 1

핵심 1


(45~64)627(진도)해설4 2015.4.24 8:30 AM 페이지48 mac02 T


진도북

5

AE”=x라고하면□AECD가원O에외접하므로

AE”+CD”=AD”+EC”

x+4=6+EC” ∴EC”=x-2

BE”=BC”-EC”에서BE”=6-(x-2)=8-x이므로

직각삼각형ABE에서

(8-x)¤ +4¤ =x¤

16x=80 ∴x=5

유제 3


01 ③ 02 ⑤ 03 ④ 04 ③ 05 ③ 06 ③

07 ① 08 ⑤ 09 1 10 4 11 8 12 6'3 cm

01 PA”=PB”이므로 y=8

△OAP는직각삼각형이므로

x="√6¤ +8¤ =10

∴xy=10_8=80

02 OB”=3이므로직각삼각형OBP에서

BP”="√9¤ -3¤ =6'2

∴△OBP=;2!;_6'2_3=9'2

03 △ABC에서

∠C=180˘-(40˘+50˘)=90˘

또, CF”=CE”이므로△CFE는직각이등변삼각형이다.

∴∠FEC=;2!;_(180˘-90˘)=45˘

04 △AOE에서

AE”="√13¤ -5¤ =12

∴AF”=AE”=12

BD”=BE”, CD”=CF”이므로△ABC의둘레의길이는

AB”+AC”+BC”=AB”+AC”+BD”+CD”

=AB”+AC”+BE”+CF”


=AE”+AF”=12+12=24

05 BD”=BE”=16 cm이므로

AD”=28-16=12 (cm)

△AOD는직각삼각형이고OD”=9 cm이므로

AO”="√12¤ +9¤ =15 (cm)

∴AG”=AO”-GO”=15-9=6 (cm)

06 AD”=AF”=3 cm, CF”=7-3=4 (cm)이므로

BE”=BD”=x cm라고하면

AB”=(x+3)cm, BC”=(x+4)cm

AB”+BC”+CA”=26 cm에서

(x+3)+(x+4)+7=26

2x=12 ∴x=6

07 BD”=BE”=r라고하면AF”=AD”=2, CE”=CF”=3이므로

△ABC에서

AB”=2+r, AC”=2+3=5, BC”=3+r

따라서5¤ =(2+r)¤ +(3+r)¤이므로

r¤ +5r-6=0, (r+6)(r-1)=0

∴ r=1 (∵ r>0)

08 AB”=2_5=10


10+14=AD”+16 ∴AD”=8

∴□ABCD=;2!;_(8+16)_10=120

| 다른풀이 | AB”=10이므로 AD”+B’C’=10+14=24

∴□ABCD=;2!;_24_10=120

09 IE”=IF”=x, CF”=CG”=;2!;AB”=2, DH”=DG”=2

△ABI에서BI”="√5¤ -4¤ =3

∴BC”=3+x+2=5+x yy㉠AE”=AH”=5-x이므로

AD”=5-x+2=7-x yy㉡㉠, ㉡에서AD”=BC”이므로

7-x=5+x, 2x=2 ∴x=1

10 오른쪽그림과같이점O에서선분

BC에내린수선의발을 E, 점 O'

에서선분OE에내린수선의발을

H라고하자.

원O의반지름의길이는

;2!;_18=9이므로원O'의반지름의길이를 r라고하면

△OO'H에서OO'”=9+r, OH”=9-r,

O'H”=25-9-r=16-r

이므로(9+r)¤ =(9-r)¤ +(16-r)¤

r¤ +18r+81=r¤ -18r+81+r¤ -32r+256

r¤ -68r+256=0, (r-4)(r-64)=0

∴ r=4 (∵0<r<9)

11 AD”=x라고하면

AF”=AD”=x,

BD”=BE”=8-x,

CF”=CE”=8-x

BC”=(8-x)+(8-x)=8이므로

x=4 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

PR”=PD”, QR”=QF”이므로△APQ의둘레의길이는

AP”+AQ”+PQ”=AP”+AQ”+PR”+QR”

=AP”+AQ”+PD”+QF”

=(AP”+PD”)+(AQ”+QF”)

=AD”+AF”=4+4=8 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

A

B CE

P QD F

O

R

8-x 8-x

8-x8-x

xx

A

B

D

CO'

O

H

E

18

25

r9



△APQ의둘레의길이구하기 60̀%

❶

❷

(45~64)627(진도)해설4 2015.4.24 8:30 AM 페이지49 mac02 T

50 정답과 해설

12 점 D에서 BC”에 내린 수선의 발

을H라고하면

CH”=9-3=6 (cm)

CD”=CE”+DE”

=CB”+DA”

=9+3=12 (cm)

₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

직각삼각형CDH에서

DH”="√12¤ -6¤ =6'3 (cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

∴AB”=DH”=6'3 (cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

A B

H

E

O

C

D3`cm

9`cm

9`cm

3`cm


CH”, CD”의길이구하기 60̀%

DH””의길이구하기 30̀%


❶

❷

❸

04 OH”⊥AB”이므로

AH”=BH”=;2!;AB”=;2!;_12=6

△OAH에서

OH”="√8¤ -6¤ =2'7

따라서작은원의넓이는p_(2'7)¤ =28p

05 오른쪽그림과같이원의중심 O에서

AB”에내린수선의발을M이라고하

면△OAM에서

OA”=10 cm, OM”=5 cm

이므로

AM”="√10¤ -5¤ ='ß75

=5'3 (cm)

∴AB”=2AM”=2_5'3=10'3 (cm)

∴△OAB=;2!;_AB”_OM”

∴△ABO=;2!;_10'3_5=25'3 (cm¤ )


즉, △ABC는이등변삼각형이고∠BAC=60˘이므로

∠ABC=∠ACB=60˘

따라서△ABC는한변의길이가8 cm인정삼각형이므로

△ABC의둘레의길이는

3_8=24 (cm)

07 OD”=OE”=OF”이므로AB”=BC”=CA”

즉, △ABC는한변의길이가 12'3인정삼각형이므로선분

OE의연장선은점A와만난다.

이때AE”는△ABC의높이이므로

AE”= _12'3=18

또, 정삼각형에서외심과무게중심은일치하므로점O는

△ABC의무게중심이다.

∴AO”=;3@;_18=12

08 OA”=5이므로△OAM에서

AM”="√5¤ -3¤ =4

∴AB”=2AM”=8

또, AB”=CD”이므로원의중심 O에서각현에이르는거리

도같다.

따라서점O에서CD”에내린수선의길이는3이므로

△OCD=;2!;_8_3=12

09 ②원의반지름에수직이면서원의중심이아닌반지름의끝점을접점으로갖는직선이원의접선이다.

10 ∠OAP=90˘, PO”=8+5=13이므로△OAP에서

PA”="√13¤ -5¤ =12

∴PB”=PA”=12

따라서□AOBP의둘레의길이는

5+5+12+12=34

'31552

M

O

A B

10`cm


01 ① 02 ② 03 ② 04 28p 05 25'3 cm¤

06 ③ 07 ⑤ 08 ⑤ 09 ② 10 ② 11 ⑤

12 ④ 13 33'2 cm¤ 14 ② 15 ③ 16 ⑤

17 ④ 18 5 19 ① 20 ④ 21 5 22 4

23 9p 24 2 cm

01 AB”=8+2=10이므로반원O의반지름의길이는5이다.

△OCD에서

OC”=5, OD”=5-2=3

∴CD”="√5¤ -3¤ =4

02 OD”⊥AB”이므로점D는AB”의중점이고, OE”⊥AC”이므로

점E는AC”의중점이다.

따라서△ABC에서삼각형의두변의중점을연결한선분의

성질에의하여

DE”=;2!;BC”=7

03 오른쪽그림과같이점A에서 BC”에

내린수선의발을M이라고하면

BM”=CM”=;2!;_24=12

이때 AM”은 BC”의 수직이등분선이

므로AM”의연장선은원의중심O를

지난다.

△BOM에서

OM”="√13¤ -12¤ =5

∴AM”=OA”-OM”=13-5=8

따라서△ABM에서

AB”="√12¤ +8¤ =4'∂13

O

A

B CM12

13

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진도북

11 PO”를그으면△AOP™△BOP(RHS합동)이므로

∠AOP=;2!;∠AOB

∠AOP=;2!;_120˘=60˘

△AOP에서

OA”= = =6

∴(색칠한부분의넓이)

=□APBO-(부채꼴AOB의넓이)

=2_{;2!;_6'3_6}-p_6¤ _;3!6@0);

=36'3-12p

12 AD”=AE”, CF”=CE”이므로

BD”+BF”=(BA”+AD”)+(BC”+CF”)

=(BA”+AE”)+(BC”+CE”)

=BA”+BC”+(AE”+CE”)

=BA”+BC”+AC”

=11+9+6=26

이때BD”=BF”이므로

BF”=;2!;_26=13

∴CF”=BF”-BC”=13-9=4

13 오른쪽 그림과 같이 점 C에서

DA”에내린수선의발을 F라고

하면△DFC에서

DC”=DE”+EC”

=DA”+CB”

=9+2=11 (cm)

∴CF”="√11¤ -7¤ ='∂72=6'2 (cm)

∴□ABCD=;2!;_(9+2)_6'2=33'2 (cm¤ )

14 AD”=AF”=x라고하면BE”=BD”, CE”=CF”이므로

BD”+CF”+BC”=BE”+CE”+BC”=BC”+BC”

=7+7=14


AB”+BC”+CA”=AD”+AF”+(BD”+CF”+BC”)

=2x+14=20

2x=6 ∴x=3


BD”=BE”=r, AF”=AD”=6, CF”=CE”=4이므로

AB”=6+r, BC”=4+r, AC”=6+4=10

△ABC에서

10¤ =(6+r)¤ +(4+r)¤

r¤ +10r-24=0

(r-2)(r+12)=0

∴ r=2 (∵ r>0)

따라서원O의둘레의길이는

2_p_2=4p

F

OA B

C

D

E

2`cm

9`cm

6'311'3

6'311155tan 60˘

16 BD”=BE”=2


AB”=x+2, CE”=CF”=13-x,

BC”=2+(13-x)=15-x


(x+2)¤ +(15-x)¤ =13¤

x¤ -13x+30=0

(x-3)(x-10)=0

∴x=3 (∵AB”<BC”)

따라서AB”=3+2=5, BC”=15-3=12이므로

△ABC의둘레의길이는

5+12+13=30

17 AE”=AF”=2, BF”=BG”=3, CG”=CH”=3,

DH”=DE”=4

따라서□ABCD의둘레의길이는

2_(2+3+3+4)=24

18 OG”를그으면□OFCG는정사각형이므로CG”=4


9+(4+DG”)=11+7

∴DG”=5

19 □ABCD가원O에외접하므로

AB”+CD”=AD”+BC”

12+12=8+BC” ∴BC”=16

오른쪽그림과같이두점A, D에서

BC”에내린수선의발을각각 E, F

라고하면

BE”=CF”=;2!;_(16-8)=4

이므로△ABE에서

AE”="√12¤ -4¤ =8'2

따라서원O의반지름의길이는4'2이므로원O의넓이는

p_(4'2)¤ =32p

20 BF”⊥EC”이므로△BCF에서

CF”="√10¤ -8¤ =6

AE”=EF”=x라고하면

DE”=10-x,

CE”=6+x

이므로△CDE에서

(6+x)¤ =(10-x)¤ +8¤

32x=128 ∴x=4

따라서 CE”=6+4=10, DE”=10-4=6이므로△CDE의

둘레의길이는

10+6+8=24

21 1단계 AM”=BM”=;2!;AB”=4

2단계 원을완성시켜그리고원의중심을 O, 원 O의반지

름의길이를 r라고하면

OM”=OC”-CM”=r-2

△OAM에서 r¤ =4¤ +(r-2)¤

3단계 r¤ =r¤ -4r+20, 4r=20 ∴ r=5

A

B C

DE

F8 8

x

6

x

10

10-x

A

B CE F

D

O

8

12

84

(45~64)627(진도)해설4 2015.4.24 8:30 AM 페이지51 mac02 T

52 정답과 해설

22 1단계 △ABC의둘레의길이는AE”+AF”의값과같다.

즉, (△ABC의둘레의길이)=AB”+BC”+CA”

=5+6+7=18

이므로

AE”+AF”=18

2단계 원O의외부의점A에서원O에그은두접선의길

이는같으므로 AE”=AF”

∴AE”=;2!;_18=9

3단계 BE”=AE”-AB”=9-5=4이므로

BD”=BE”=4

23 △ABC에서AB”="√17¤ -15¤ =8 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶


AD”=AF”=r

CF”=CE”=15-r, BD”=BE”=8-r

BC”=BE”+CE”=17이므로

(8-r)+(15-r)=17 ∴ r=3 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

따라서원O의넓이는p_3¤ =9p ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

24 AH”=AE”=;2!;AB”=;2!;_8=4 (cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

BF”=BE”=4 (cm)이므로

CG”=CF”=BC”-BF”=12-4=8 (cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

HI”=GI”=x cm라고하면

CI”=(8+x) cm, DI”=12-4-x=8-x (cm)

이므로△CDI에서

(8+x)¤ =(8-x)¤ +8¤

x¤ +16x+64=x¤ -16x+128

32x=64 ∴x=2

∴HI”=2 cm ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸




원 O의넓이구하기 20̀%

❶

❷

❸



CG”의길이구하기 20̀%

HI”의길이구하기 50̀%

❶

❷

❸

원주각과중심각31

Ⅳ-2｜원주각

1원주각


1 ⑴ 50˘ ⑵ 160˘

⑴∠x=;2!;∠AOB=;2!;_100˘=50˘

⑵∠x=2∠APB=2_80˘=160˘

2 ⑴∠∠x=30˘, ∠∠y=55˘ ⑵∠∠x=35˘, ∠∠y=90˘

⑴∠x=∠BDC=30˘

∠y=∠ABD=55˘

⑵ AB”는원O의지름이므로∠y=90˘

⑵△ABP에서∠x=180˘-(55˘+90˘)=35˘

40˘

∠x=;2!;_(360˘-220˘)=70˘

∠y=;2!;_220˘=110˘

∴∠y-∠x=110˘-70˘=40˘

25˘

오른쪽그림과같이OB”를그으면

∠AOB=2∠APB

=2_35˘=70˘

∴∠BOC=120˘-70˘=50˘

∴∠BQC=;2!;∠BOC

∴∠BQC=;2!;_50˘=25˘

⑴ 35˘ ⑵ 50˘

⑴오른쪽그림과같이BQ”를그으면

⑵ ∠AQB=∠APB=20˘

∠BQC=∠BRC=15˘

⑵ ∴∠x=∠AQB+∠BQC

=20˘+15˘=35˘

⑵∠PBQ=∠PAQ=25˘

△BCQ에서∠ACB는∠QCB의외각이므로

75˘=∠x+25˘

∴∠x=50˘

60˘

오른쪽그림과같이BQ”를그으면

∠AQB=∠APB=20˘

∴∠BQC=80˘-20˘=60˘

∴∠x=∠BQC=60˘

⑴ 65˘ ⑵ 55˘

⑴ AB”는원O의지름이므로∠ADB=90˘

⑵△ADB에서∠ABD=180˘-(25˘+90˘)=65˘

⑵ μAD에대한원주각의크기는같으므로

⑵ ∠x=∠ABD=65˘

⑵오른쪽그림과같이AQ”를그으면

∠AQB=90˘

∠AQR=∠APR=35˘

∴∠x=90˘-35˘=55˘

A B

PQ

R

O

35æ` x

핵심 3

QR

C

B

A

P

20æ 80æ x

유제 2

PQ

R

AB C

20æ 15æx

핵심 2

O

A

B

C

P Q

120æ35æ

유제 1

핵심 1


(45~64)627(진도)해설4 2015.4.24 8:30 AM 페이지52 mac02 T


진도북

원주각의크기와호의길이32


1 ⑴ 15˘ ⑵ 7 ⑶ 19˘

⑴ μAB=μCD이므로∠x=15˘

⑵∠APB=∠BQC이므로x=μAB=7

⑶ μAB : μCD=∠APB :∠CQD이므로

4 : 2=38˘ :∠x ∴∠x=19˘

2 35˘

∠x=∠BAC=35˘

74˘

μAD=μBC이므로∠CAB=∠ACD=37˘

△ACP에서∠CPB는∠APC의외각이므로

∠CPB=37˘+37˘=74˘

8

μAB : μCD=∠AQB :∠CPD이므로

x : 12=30˘ : 45˘ ∴x=8

60˘

μAB : μBC : μCA=∠C :∠A :∠B=2 : 4 : 3이므로

∠A=180˘_;9$;=80˘, ∠B=180˘_;9#;=60˘

∠C=180˘_;9@;=40˘

∴∠A-∠B+∠C=80˘-60˘+40˘=60˘

45˘

한원에서원주각의크기와호의길이는정비례하므로 μBC에대한원주각, 즉∠A의크기가가장작다.

∴∠A=180˘_ =180˘_;1£2;=45˘

105˘

네점A, B, C, D가한원위에있으므로

∠BAC=∠BDC=50˘

△ABE에서∠BEC는∠AEB의외각이므로

∠BEC=55˘+50˘=105˘

120˘

네점A, B, C, D가한원위에있으므로

∠PAC=∠DBP=25˘

따라서△PAC에서∠ACP=180˘-(35˘+25˘)=120˘

유제 3

핵심 3

3111235+3+4

유제 2

핵심 2

유제 1

핵심 1



01 ⑤ 02 ② 03 ⑤ 04 ② 05 ① 06 ④

07 ② 08 ③ 09 100˘ 10 ④ 11 30˘ 12 12p

13 10 cm

01 ∠y=∠AQB=52˘

∠x=2∠AQB=2_52˘=104˘

∴∠x+∠y=104˘+52˘=156˘

02 오른쪽그림과같이PB”를그으면

∠BPC=∠BQC=30˘이므로

∠APB=56˘-30˘=26˘

∴∠AOB=2∠APB

=2_26˘=52˘

03 ∠BCD=∠BAD=36˘

△BCP에서∠ABC는∠CBP의외각이므로

∠ABC=38˘+36˘=74˘

04 오른쪽 그림과 같이 OA”, OB”를

그으면□AOBP에서

∠AOB

=360˘-(90˘+90˘+50˘)

=130˘

∴∠ACB=;2!;∠AOB=;2!;_130˘=65˘

05 오른쪽그림과같이OC”를그으면

∠BOC=2∠BAC=60˘

따라서색칠한부분의넓이는

(부채꼴OBC의넓이)-△OBC

=p_6¤ _;3§6º0;-;2!;_6_6_sin60˘

=p_6¤ _;3§6º0;-;2!;_6_6_

=6p-9'3

06 오른쪽그림과같이OC”를그으면

∠BOC=2∠BAC=120˘

△OBC는OB”=OC”=12인이등변삼

각형이므로

∠OBC=∠OCB

∠OBC=;2!;_(180˘-120˘)=30˘

원의중심O에서BC”에내린수선의발을M이라고하면

BM”=CM”=OB”_cos 30˘=12_ =6'3

∴BC”=2_6'3=12'3

07 오른쪽그림과같이AC”를그으면

∠ACB=90˘

∠ACD=∠ABD=15˘이므로

∠x=90˘+15˘=105˘A O

B

C

D x

15æ

'3122

O

A

B CM

60æ

12

'3122

30æ

O

A

B C

6

A

B

C O P50æ

O

P Q

A

B

C

56æ30æ

30˘

오른쪽그림과같이CB”를그으면

∠ACB=90˘

∠ABC=∠ADC=60˘


∠BAC=180˘-(90˘+60˘)=30˘

O

A

C

D

B

60æ

유제 3

(45~64)627(진도)해설4 2015.4.24 8:30 AM 페이지53 mac02 T

54 정답과 해설

08 오른쪽그림과같이AD”를그으면

∠ADB=90˘

∠CAD=;2!;∠COD

∠CAD=;2!;_46˘=23˘

따라서△PAD에서

∠APD=180˘-(90˘+23˘)=67˘

09 μAB=μBC이므로∠BAC=∠ADB=25˘

∴∠BAD=25˘+30˘=55˘


∠x=180˘-(55˘+25˘)=100˘

10 ①∠BAC=∠BDC=40˘이므로네점A, B, C, D는한

원위에있다.

②∠ABD=∠ACD=50˘이므로네점A, B, C, D는한

원위에있다.

③△ACD에서∠CAD=180˘-(55˘+70˘)=55˘

즉, ∠CAD=∠CBD이므로네점A, B, C, D는한원

위에있다.

⑤△CED에서∠CDE=100˘-75˘=25˘

즉, ∠BAC=∠CDB이므로네점A, B, C, D는한원

위에있다.

11 AB”는원O의지름이므로 μAB에대한원주각의크기는 90˘

이다.

∴∠AEB=90˘

또, μAC=μCD=μDB이므로각각의호에대한원주각의크

기는모두같다.

∴∠CED=;3!;_90˘=30˘

12 오른쪽그림과같이원의중심O를지

나는선분BD를그으면

∠BDC=∠BAC=60˘ ₩₩₩₩₩❶

∠BCD=90˘이고, 원 O의 반지름의

길이를 r라고하면BD”=2r이므로

△BCD에서

sin60˘= = ∴ r=2'3 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷


p_(2'3)¤ =12p ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

13 △ACP에서∠CPD는∠APC의외각이므로

∠ACP=60˘-40˘=20˘ ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

한원에서호의길이는원주각의크기에정비례하므로

'3122

6122r

O

A

D

B C

60æ

60æ

6

r

A BO

C D

P

46æ


직각삼각형 BCD 만들기 40̀%



❶

❷

❸

원과사각형33

2원과사각형


1 ⑴∠∠x=100˘, ∠∠y=85˘ ⑵∠∠x=50˘, ∠∠y=100˘

⑶∠∠x=105˘, ∠∠y=100˘ ⑷∠∠x=35˘, ∠∠y=95˘

⑴∠B+∠D=180˘이므로

80˘+∠x=180˘ ∴∠x=100˘

∠A+∠C=180˘이므로

∠y+95˘=180˘ ∴∠y=85˘

⑵∠ABC+∠ADC=180˘이므로

(55˘+30˘)+(45˘+∠x)=180˘ ∴∠x=50˘

△BCD에서∠y=180˘-(30˘+50˘)=100˘

⑶∠B+∠D=180˘이므로

∠x+75˘=180˘ ∴∠x=105˘

∠y=∠DCE=100˘

⑷∠B+∠D=180˘이므로

85˘+∠y=180˘ ∴∠y=95˘

△ABC에서∠BAC=180˘-(85˘+50˘)=45˘

∠BAD=∠DCE=80˘이므로

∠x=80˘-45˘=35˘

2 ∠x=75˘, ∠y=83˘

□ABCD가원에내접하려면

∠x+105˘=180˘ ∴∠x=75˘

∠y=∠ADC=83˘

135˘

∠A+∠C=180˘이고∠A :∠C=3 : 1이므로

∠A=;4#;_180˘=135˘

40˘

∠x=∠DCE=85˘

△ABD에서∠y=180˘-(50˘+85˘)=45˘

∴∠x-∠y=85˘-45˘=40˘

ㄱ, ㄷ, ㄹ

ㄱ. ∠B+∠D=70˘+110˘=180˘

즉, 대각의크기의합이180˘이므로□ABCD는원에내접한다.

핵심 2

유제 1

핵심 1


μAB : μCD=20˘ : 40˘

μAB : 20=20˘ : 40˘

∴ μAB=10 (cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷


∠ACP의크기구하기 40̀%

μAB의길이구하기 60̀%

❶

❷

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ㄴ. △ACD에서∠D=180˘-(53˘+52˘)=75˘

∴∠B+∠D=95˘+75˘=170˘

즉, 대각의크기의합이 180˘가아니므로□ABCD는원에

내접하지않는다.

ㄷ. ∠BAC=180˘-(70˘+30˘)=80˘이므로

∠BAC=∠BDC

따라서□ABCD는원에내접한다.

ㄹ. ∠BAD=180˘-95˘=85˘=∠DCE

즉, 외각의크기와그이웃하는내각에대한대각의크기가같

으므로□ABCD는원에내접한다.

따라서원에내접하는사각형은ㄱ, ㄷ, ㄹ이다.

③, ④

등변사다리꼴과직사각형은대각의크기의합이 180˘이므로항상

원에내접한다.

∠∠x=96˘, ∠∠y=168˘

∠CFE=∠ABC=84˘

84˘+∠x=180˘이므로∠x=96˘

∠y=2∠CFE=2_84˘=168˘

93˘

∠CDE=∠AFC=180˘-∠ABC

=180˘-87˘=93˘

유제 3

핵심 3

유제 2


∠CAD=∠CED=25˘

□ABCD가원에내접하므로

∠BAD+∠BCD=180˘

(50˘+25˘)+(∠BCE+35˘)

=180˘

∴∠BCE=70˘

05 오른쪽그림과같이BD”를그으면

□ABDE는원O에내접하므로

∠BAE+∠BDE=180˘

85˘+∠BDE=180˘

∴∠BDE=95˘

따라서∠BDC=140˘-95˘=45˘

이므로

∠BOC=2∠BDC=90˘

06 ∠A+∠D=180˘이므로

∠A+120˘=180˘ ∴∠A=60˘

μAB=μAC이므로AB”=AC”

∴∠ABC=∠ACB=;2!;_(180˘-60˘)=60˘

따라서△ABC는정삼각형이므로

△ABC= _12¤ =36'3


□ABCD는원에내접하므로

∠B+∠ADC=180˘

120˘+∠ADC=180˘

∴∠ADC=60˘

□ADEF가원에외접하므로

∠F+∠ADE=180˘

∴∠F=180˘-(110˘-60˘)=130˘

08 ∠ADC=∠ABE=95˘

∴∠x=2∠ADC=2_95˘=190˘

09 □ABCD가원에내접하려면∠BAD+∠BCD=180˘ 또

는∠BCD=∠EAD이어야하므로알맞은조건은

ㄴ. ∠BAD=110˘

ㄹ. ∠EAD=∠BCD=70˘

10 □ABCF가원O에내접하므로

∠FCD=∠A=100˘

□FCDE가원O'에내접하므로

∠FED+∠FCD=180˘, ∠FED+100˘=180˘

∴∠FED=80˘

∠FEC=∠FDC=20˘이므로

∠CED=80˘-20˘=60˘

A

B

C D

E

F

120æ

110æ

'3124

O

A

B

CD

E

85æ

140æ

A

B

C

D

E

35æ

25æ50æ


01 ④ 02 ② 03 ④ 04 ③ 05 ③ 06 ③

07 ③ 08 ① 09 ② 10 ⑤ 11 100˘ 12 115˘

01 ∠A+∠C=180˘이므로

∠A+105˘=180˘ ∴∠A=75˘


∠x=180˘-(40˘+75˘)=65˘

02 △ACD는AC”=AD”인이등변삼각형이므로

∠D=;2!;_(180˘-40˘)=70˘


∠B+∠D=180˘, ∠B+70˘=180˘

∴∠B=110˘

03 □ABCD에서∠BAD+∠BCD=180˘이므로

82˘+(58˘+∠x)=180˘ ∴∠x=40˘

□ABCE에서∠BAE+∠BCE=180˘이므로

(82˘+∠y)+58˘=180˘ ∴∠y=40˘

∴∠x+∠y=40˘+40˘=80˘

| 다른풀이 | ∠x, ∠y는 μED에대한원주각이므로∠x=∠y=40˘

∴∠x+∠y=40˘+40˘=80˘

(45~64)627(진도)해설4 2015.4.24 8:30 AM 페이지55 mac02 T

56 정답과 해설

47˘

∠ACB=∠BAT'=65˘이므로

∠AOB=2∠ACB=2_65˘=130˘

△OAB는이등변삼각형이므로

∠OBA=;2!;_(180˘-130˘)=25˘

∠ABC=∠CAT=72˘

∴∠x=72˘-25˘=47˘

∠∠x=55˘, ∠∠y=83˘

∠y=∠BAT=83˘

△ABC에서∠x=180˘-(42˘+83˘)=55˘

유제 1

핵심 1

44˘

오른쪽그림과같이AD”를그으면BD”는

원O의지름이므로

∠BAD=90˘

∴∠DAC=180˘-(90˘+67˘)=23˘

또, ∠ABD=∠DAC=23˘이므로

△ABC에서

∠x=180˘-(23˘+90˘+23˘)=44˘

35˘

오른쪽그림과같이TC”를그으면

∠CTP=∠CAT=25˘

□ABTC는원O에내접하므로

∠ACT=180˘-120˘=60˘

△CTP에서삼각형의외각의성질에의하여

60˘=25˘+∠CPT ∴∠CPT=35˘

70˘

∠DCT=∠BAT=45˘

△CDT에서∠x=180˘-(65˘+45˘)=70˘

∠∠x=55˘, ∠∠y=75˘

∠x=∠DTP=∠ABT=55˘

△ABT에서∠y=180˘-(50˘+55˘)=75˘

유제 3

핵심 3

유제 2

A

CD

B

O

T

67æ

x

핵심 2

120æO

25æA

P

B C

T


접선과현이이루는각34

3접선과현이이루는각


1 ⑴∠∠x=52˘, ∠∠y=43˘ ⑵∠∠x=90˘, ∠∠y=55˘

⑴∠x=∠ACB=52˘, ∠y=∠CAT=43˘

⑵∠x=∠ABC=90˘, ∠y=∠ACB=55˘

2 ⑴∠∠x=65˘, ∠∠y=50˘ ⑵∠∠x=56˘, ∠∠y=54˘

⑴∠x=∠DTP=∠BTQ=∠BAT=65˘

∠y=∠CTQ=∠ATP=∠ABT=50˘

⑵△CDT에서∠x=∠DTP=56˘

△ABT에서∠y=∠BAT=54˘


01 ⑤ 02 ④ 03 45˘ 04 ② 05 ③ 06 ①

07 120˘

01 ∠CBT'=∠CAB=30˘

∴∠x=180˘-(85˘+30˘)=65˘

02 ∠x=∠ACB이고

μAB : μBC : μCA=∠ACB :∠BAC :∠ABC

μAB : μBC : μCA=3 : 4 : 2

이므로∠x=;9#;_180˘=60˘

03 BC”가원O의지름이므로∠BAC=90˘

□ABCD가원O에내접하므로

∠ABC=180˘-135˘=45˘

△ABC에서∠BAC=90˘이므로

∠x=∠ACB=180˘-(90˘+45˘)=45˘

04 △DEF에서∠DFE=180˘-(60˘+45˘)=75˘

BE”가원O의접선이므로∠DEB=∠DFE=75˘

BD”=BE”이므로∠BDE=∠BED=75˘

따라서△BDE에서

∠B=180˘-(75˘+75˘)=30˘

11 BC”는원O의지름이므로∠BDC=90˘

△BCD에서∠BCD=180˘-(90˘+35˘)=55˘

□ABCD에서∠BAD+∠BCD=180˘이므로

∠y+55˘=180˘ ∴∠y=125˘ ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

∠ABC=∠ADE이므로

∠x+35˘=60˘ ∴∠x=25˘ ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

∴∠y-∠x=125˘-25˘=100˘ ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

12 □BDGF가원O에내접하므로

∠CDG=∠BFG=65˘ ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

□DCEG가원O'에내접하므로

∠CEG+∠CDG=180˘, ∠CEG+65˘=180˘

∴∠CEG=115˘ ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷


∠y의크기구하기 40̀%


∠y-∠x의값구하기 20̀%

❶

❷

❸


∠CDG의크기구하기 50̀%

∠CEG의크기구하기 50̀%

❶

❷

(45~64)627(진도)해설4 2015.4.24 8:30 AM 페이지56 mac02 T


진도북


01 ① 02 ⑤ 03 ③ 04 ② 05 ① 06 ②

07 108˘ 08 25˘ 09 ④ 10 ③ 11 ⑤ 12 ④

13 ① 14 ① 15 65˘ 16 137˘ 17 26˘

18 `cm 19 64p`cm ¤'∂30112

01 ∠x=;2!;∠AOB=;2!;_160˘=80˘

∠y에대한중심각의크기는360˘-160˘=200˘이므로

∠y=;2!;_200˘=100˘

∴∠y-∠x=100˘-80˘=20˘

02 ∠ABP=∠CDP=15˘

△ABP에서∠BPD는∠BPA의외각이므로

70˘=∠x+15˘ ∴∠x=55˘

03 AE”를그으면AB”가원O의지름이므로∠AEB=90˘

∠AED=90˘-54˘=36˘이므로∠x=∠AED=36˘

04 오른쪽 그림과 같이 AD”를 그으면

AB”는원O의지름이므로

∠ADB=90˘

△ADP에서

∠DAP=180˘-(90˘+60˘)

=30˘A B

O

C D

P

60æ

∴∠COD=2∠DAC=2_30˘=60˘

05 AB”가원O의지름이므로

∠ACB=90˘

μBC=μCD이므로∠BAC=∠CBD=∠x


∠x+(∠x+30˘)+90˘=180˘

∴∠x=30˘

06 AD”를그으면

∠ADC=180˘_;1¡0;=18˘

∠DAB=180˘_;4!;=45˘

따라서△APD에서

∠APC=18˘+45˘=63˘

07 μAB : μBC : μCD : μDA=2 : 4 : 4 : 5이므로

∠x=(μADC에대한원주각)

=180˘_ =108˘

08 네점A, B, C, D가한원위에있으므로

∠ACB=∠ADB=80˘

따라서△ACP에서∠A+55˘=80˘

∴∠A=25˘

09 □ABCD가원O에내접하므로∠CDE=∠x

△FBC에서∠FCE=25˘+∠x

따라서△DCE에서

∠x+(25˘+∠x)+50˘=180˘

∴∠x=52.5˘

10 □PQCD에서∠PQB=∠x, ∠QPA=∠y

□ABQP에서∠PAB+∠PQB=180˘이므로

75˘+∠x=180˘ ∴∠x=105˘

∠QBA+∠QPA=180˘이므로

85˘+∠y=180˘ ∴∠y=95˘

∴∠x-∠y=105˘-95˘=10˘

11 오른쪽그림과같이점 B와점 E를

선분으로연결하면□BCDE와

□ABEF는원에내접하므로

∠CBE+∠D=180˘

∠ABE+∠F=180˘

∠B=∠CBE+∠ABE이므로

∠B+∠D+∠F

=(∠CBE+∠ABE)+∠D+∠F

=(∠CBE+∠D)+(∠ABE+∠F)

=180˘+180˘=360˘

AB

C

ED

F

4+511111532+4+4+5

OA B

CD

30æx

x

05 △ABD는이등변삼각형이므로

∠ABD=∠x

오른쪽그림과같이AC”를그으면

∠CAD=∠ABC=∠x

이므로△ACD에서

∠ACB=∠x+∠x=2∠x (∵∠ACD의외각)

BC”는원O의지름이므로∠BAC=90˘


90˘+∠x+2∠x=180˘ ∴∠x=30˘

06 원O'에서∠DTP=∠DCT

□ABCD는원O에내접하므로∠BAD=∠DCT

∴∠DTP=∠BAD=62˘

07 ∠ADB=∠BAT'=56˘ ❶

△ABD에서∠BAD=180˘-(56˘+64˘)=60˘ ₩₩₩₩₩₩₩₩❷


∠DCB+∠BAD=180˘, ∠DCB+60˘=180˘

∴∠DCB=120˘ ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

Tx

A

C

BO

D

x

x


∠ADB의크기구하기 30̀%

∠BAD의크기구하기 30̀%

∠DCB의크기구하기 40̀%

❶

❷

❸

(45~64)627(진도)해설4 2015.4.24 8:30 AM 페이지57 mac02 T

원에서의비례관계35


58 정답과 해설

12 ∠APB+∠ACB=180˘이므로

∠APB+116˘=180˘ ∴∠APB=64˘

따라서△APB에서

∠BAP=180˘-(58˘+64˘)=58˘

이므로

∠BPT=∠BAP=58˘

13 △ADF에서AD”=AF”이므로

∠ADF=∠AFD=;2!;_(180˘-64˘)=58˘

∠DEF=∠ADF=58˘이므로△DEF에서

∠DFE=180˘-(50˘+58˘)=72˘

14 오른쪽그림과같이PO”의연장선이

원O와만나는점을B'이라고하면

∠PAB'=90˘

∠APT=∠PBA

=∠PB'A=30˘

이므로△AB'P에서

PB'”= = =8

따라서원 O의반지름의길이는 4이므로원 O의둘레의길

이는

2_p_4=8p

15 □ABCD가원O에내접하므로

∠CDP=∠ABC=65˘

또, ∠DCP=∠DPT=50˘

따라서△CDP에서

∠CPD=180˘-(65˘+50˘)=65˘

16 1단계 □ABCD는원에내접하므로

∠ADC+∠B=180˘, ∠ADC+86˘=180˘

∴∠ADC=94˘

2단계 △ACD는이등변삼각형이므로

∠ACD=;2!;_(180˘-94˘)=43˘

3단계 □ACDE는원에내접하므로

∠AED+∠ACD=180˘, ∠AED+43˘=180˘

∴∠AED=137˘

17 1단계 μTC=μCB이므로∠CBT=∠BTC=34˘

△BCT에서

∠BCT=180˘-(34˘+34˘)=112˘

2단계 □ATCB가원에내접하므로

∠BAT+∠BCT=180˘

∠BAT+112˘=180˘

∴∠BAT=68˘

3단계 △APT에서∠BAT=∠APT+∠ATP이므로

68˘=42˘+∠ATP ∴∠ATP=26˘

∴∠ABT=∠ATP=26˘

412;2!;

4111sin 30˘

O

TP

A

BB'

4

30æ

30æ30æ

18 오른쪽그림과같이원의중심O를

지나는선분BD를그으면

∠BCD=90˘, ∠A=∠D

즉, △BCD는원O에내접하고

∠D=∠A인직각삼각형이다.

₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

tanA=tanD= = ='5이므로

CD”='5 (cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

△BCD에서

BD”=øπ5¤ +('5)¤ ='3å0 (cm)

따라서원O의반지름의길이는

;2!;BD”=;2!;_'3å0= (cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸


∠ADC+∠ABC=180˘, 120˘+∠ABC=180˘

∴∠ABC=60˘ ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

AB”가원O의지름이므로∠ACB=90˘

△ABC에서

AB”= = =16 (cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

따라서원O의반지름의길이가8 cm이므로원O의넓이는

p_8¤ =64p (cm ¤ ) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

812;2!;

BC”1113cos60˘

'3å01222

511CD”

BC”11CD”

O

A

D

B C5`cm


∠ABC의크기구하기 40̀%



❶

❷

❸

Ⅳ-3｜원주각의활용

1원과비례

1 ⑴ ;2(; ⑵ 10

⑴ 2_x=3_3 ∴x=;2(;

⑵ 8_5=x_4 ∴x=10

2 ∠∠PBC, 원주각, AA, PB”

3 ⑴ 3 ⑵ 13

⑴ 4_(4+5)=x_12 ∴x=3

⑵ 2_(2+x)=3_(3+7) ∴x=13


직각삼각형 BCD 만들기 40̀%



❶

❷

❸

(45~64)627(진도)해설4 2015.4.24 8:30 AM 페이지58 mac02 T


진도북

6

BD”=x라고하면 PA”¥PB”=PC”¥PD”이므로

(4+2)_3=2_(3+x) ∴x=6

3

PB”=x라고하면PA”¥PB”=PC”¥PD”이므로

(9-x)_x=2_(11-2)

x¤ -9x+18=0, (x-6)(x-3)=0

∴x=3 (PB”<PA”)

유제 1

핵심 1


6'5 cm

PC”=PD”=x cm라고하면x_x=5_9

x¤ =45 ∴x=3'5 (∵x>0)

∴CD”=2x=2_3'5=6'5 (cm)

23

PC”=x-8이므로

(x-8)_8=6_20 ∴x=23

3

PC”=CD”=x라고하면

x_(x+x)=2_(2+7)

2x¤ =18, x¤ =9 ∴x=3 (∵x>0)

5

PC”=x라고하면

4_(4+6)=x_(x+3)

x¤ +3x-40=0

(x+8)(x-5)=0

∴x=5 (∵x>0)

9

AO”=OB”=r라고하면AB”=2r이고

PA”¥PB”=PC”¥PD”이므로

2_(2+2r)=4_(4+6)

4+4r=40, 4r=36

∴ r=9

--11 '2 å2

CO”=PC”=x라고하면원O의지름의길이는2x이므로

x_(x+2x)=6_(6+5)

3x¤ =66, x¤ =22

∴x='2å2 (∵x>0)

유제 3

핵심 3

유제 2

핵심 2

유제 1

핵심 1


두원에서의비례관계36


1 ⑴ 3 ⑵ 4

⑴ PA”¥PB”=PC”¥PD”이므로

x_6=2_9 ∴x=3

⑵ PA”¥PB”=PC”¥PD”이므로

⑴ (8+2)_1=2_(1+x) ∴x=4

2 ⑴ 8 ⑵ 17

⑴원O에서6_(6+AB”)=7_(7+5)이므로

⑴ 6+AB”=14 ∴AB”=8

⑵원O'에서7_(7+5)=4_(4+CD”)이므로

⑴ 4+CD”=21 ∴CD”=17

3 ㄴ, ㄷ

ㄱ. 3_3+4_4이므로네점이한원위에있지않다.

ㄴ. 2_8=4_4이므로네점이한원위에있다.

ㄷ. 3_12=4_(4+5)이므로네점이한원위에있다.

4 ⑴ 9 ⑵ 10

⑴ 2_x=3_6 ∴x=9

⑵ 3_(3+5)=2_(2+x)이므로

2+x=12 ∴x=10

5 ⑴ 12 ⑵ 9

⑴ 8_9=6_x ∴x=12

⑵ 8_(8+6)=7_(7+x)이므로

7+x=16 ∴x=9

4 ⑴ 6 ⑵ :¡7§:

⑴ PD”=PC”=x이므로

⑴ x_x=4_9 ∴x=6 (∵x>0)

⑵ PD”=PC”=4이므로

⑴ 7_x=4_4 ∴x=:¡7§:

5 ⑴ 4 ⑵ 4'3

⑴ (8+x)(8-x)=6_8, x¤ =16

∴x=4 (∵x>0)

⑵ 4_8=(x-4)(x+4), x¤ =48

∴x=4'3 (∵x>0)

6 ⑴ 5 ⑵ 5

⑴ 3_(3+5)=(7-x)(7+x), x¤ =25

∴x=5 (∵x>0)

⑵ 7_(7+x)=6_(6+8), 7+x=12

∴x=5

--22 ;;¡1¡3ª;; cm

△POD는직각삼각형이고

DO”=5 cm이므로

PD”="√12¤ +5¤ =13 (cm)

따라서 PC”_13=7_(7+10)이므

로

PC”=;;¡1¡3ª;; (cm)

7`cm 5`cm

5`cm

OP B

C

A

D

유제 3

(45~64)627(진도)해설4 2015.4.24 8:30 AM 페이지59 mac02 T

60 정답과 해설


01 3 02 ⑤ 03 ③ 04 ① 05 ⑤ 06 ①

07 ④ 08 5 09 ③ 10 ③ 11 ;;™3º;; cm

12 8 13 54p cm¤

01 4_(4+2)=x_(x+5)이므로

x¤ +5x-24=0, (x+8)(x-3)=0

∴x=3 (∵x>0)


PA”=(r+3) cm, PB”=(r-3) cm이므로

(r+3)(x-3)=5_8

r¤ =49 ∴ r=7 (∵x>0)

03 PA”=7-x이므로

(7-x)(7+x)=5_(5+3)

x¤ =9 ∴x=3 (∵x>0)

04 오른쪽그림과같이 CH”의연장선을그

어원과만나는점을D라고하면 CD”는

원의지름이다.

4_4=2_DH”

∴DH”=8 (cm)

∴CD”=CH”+DH”

=2+8=10 (cm)

05 오른쪽그림과같이 PC”의연장선이

원O와만나는점을D라고하면

PB”¥PA”=PC”¥PD”

한편, △OAB는정삼각형이므로

OA”=OB”=OC”=8

따라서PB”=x라고하면

x_(x+8)=5_(5+16), x¤ +8x-105=0

(x+15)(x-7)=0 ∴x=7 (∵x>0)

06 PA”¥PB”=PC”¥PD”이므로

9_PB”=3_6 ∴PB”=2 (cm)

07 ⑤PA”¥PB”=PC”¥PD”이므로네점A, B, C, D는한원위

에있다.

따라서옳지않은것은④이다.

08 PC”=x라고하면

6_(6+4)=x(x+7)

x¤ +7x-60=0, (x-5)(x+12)=0

∴x=5 (∵x>0)

09 정문, 동물원, 식물원, 놀이동산이모두한원위에있어야하므로분수대에서정문까지의거리를x km라고하면

x_12=8_6 ∴x=4

10 ① 3_4=2_6이므로원에내접한다.

② 2_9=3_6이므로원에내접한다.

③ 5_(5+4)+4_(4+5)이므로원에내접하지않는다.

④ 3_(3+1)=2_(2+4)이므로원에내접한다.

⑤∠BAD+∠BCD=180˘이므로원에내접한다.

11 △DPC에서PD”=øπ13¤ -12¤ =5 (cm)

△BPC에서BP”=øπ20¤ -12¤ =16 (cm)


PA”_12=16_5

∴PA”=;;™3º;; (cm)

12 PA”¥PB”=PD”¥PE”이므로3_(3+9)=4_(4+DE”) ∴DE”=5 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

PB”¥PC”=PE”¥PF”이므로12_(12+BC”)=9_(9+11) ∴BC”=3 ₩₩₩₩₩₩❷

∴BC”+DE”=3+5=8 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

O

A PB

C

D

60æ 5x

8

8

8

C

HA B

D

4`cm 4`cm

2`cm11


x_(x+7)=6_(6+14)

x¤ +7x-120=0, (x-8)(x+15)=0

∴x=8 (∵x>0)

PE”¥PF”=PC”¥PD”이므로

5_(5+y)=6_(6+14)

y+5=24 ∴y=19

∴y-x=19-8=11

:™2∞:

오른쪽그림과같이 PO'”의연장선을그

어원O'과만나는점을D라고하면

원O에서PA”¥PB”=PE”¥PF”원O'에서PE”¥PF”=PC”¥PD”

즉, PA”¥PB”=PC”¥PD”이므로

7_(7+5)=3_(3+x+x)

2x=25 ∴x=:™2∞:

12

AM”=x라고하면MB”=15-x이고CM”=DM”=6이므로

x_(15-x)=6_6

x¤ -15x+36=0, (x-3)(x-12)=0

∴x=12 (∵AM”>BM”)

'1å0 cm

PA”=x cm라고하면PB”=2x cm이므로

x_2x=2_(2+8), x¤ =10

∴x='1å0 (∵x>0)

유제 3

핵심 3

O O'

P

A

B

C

D

E

F

x

x

37

5

유제 2

핵심 2

(45~64)627(진도)해설4 2015.4.24 8:30 AM 페이지60 mac02 T


진도북

4 cm

원O의반지름의길이를r cm라고하면PA”=(9-2r) cm이므로

3¤ =(9-2r)_9 ∴ r=4

따라서구하는원의반지름의길이는4 cm이다.

12


9¤ =3_(3+2r), 2r=24 ∴ r=12

①

오른쪽그림과같이세점A, B,

T를지나는원을그리면

∠ABT=∠ATP=50˘

△APT에서

∠BAT=50˘+20˘=70˘

따라서△ABT에서∠x=180˘-(50˘+70˘)=60˘

PT

BA

50æ 20æ

x50æ

핵심 2

유제 1

핵심 1


할선과접선의응용38


1 ∠∠BAQ, ∠∠CBQ, A, B, P, QP”, QA”

2 ⑴ 6 ⑵ 2

⑴ BQ” ¤ =QP”¥QA”이므로

x¤ =4_(4+5)=36 ∴x=6 (∵x>0)

⑵ AB”¥AC”=AP”¥AQ”이므로

6_4=4_(4+x) ∴x=2

3 2'∂15

AB” ¤ =AP”¥AQ”이므로

AB” ¤ =5_(5+7)=60 ∴AB”=2'∂15 (∵AB”>0)

4 10

AB”¥AC”=AH”¥AQ”이므로

8_5=4_AQ” ∴AQ”=10

4

∠BAQ=∠CAQ, ∠CBQ=∠CAQ이므로　　

∠BAQ=∠CBQ

따라서BQ”는세점A, B, P를지나는원의접선이므로

BQ” ¤ =2_(2+6)=16 ∴BQ”=4 (∵BQ”>0)

2

CQ”를그으면△ABPª△AQC이므로

AB” :AQ”=AP” :AC”

4 : (2+PQ”)=2 : 2

2+PQ”=4

∴PQ”=2

A

B P

Q

C4 2

2

유제 1

핵심 1


원의할선과접선사이의관계37


1 ⑴ 4'3 ⑵ 15

⑴ x¤ =4_(4+8)=48 ∴x=4'3 (∵x>0)

⑵ 10¤ =5_(5+x) ∴x=15

2 ⑴ 6 ⑵ 2

⑴ x=PT'”=6

⑵ 3_(3+5)=4_(4+x) ∴x=2

2할선과접선

13 PC” : CO”=2 : 3이므로

PC”=2x cm, CO”=3x cm(x>0)

라고하자.

₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶


8_(8+4)=2x_(2x+6x), x¤ =6

∴x='6 (∵x>0) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

따라서CO”=3x=3'6 (cm)이므로원O의넓이는

p_(3'6)¤ =54p (cm¤ ) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

OP DC

AB

4`cm8`cm

2x`cm 3x`cm 3x`cm


DE”의길이구하기 40̀%


BC”+DE”의값구하기 20̀%

❶

❷

❸


PC”=2x cm, CO”=3x cm로나타내기 20̀%

x의값구하기 60̀%


❶

❷

❸

8

PT”가세점A, B, T를지나는원의접선이되려면

PT”¤ =PA”¥PB”이어야하므로12¤ =x_(x+10), x¤ +10x-144=0

(x+18)(x-8)=0 ∴x=8 (∵x>0)

8

PT” ¤ =PB”¥PC”=PA”¥PD”이므로

x¤ =4_(4+6+6)=64 ∴x=8 (∵ x>0)

x=3, y=3'2


x_(x+3)=2_(2+7)

x¤ +3x-18=0, (x+6)(x-3)=0

∴x=3 (∵x>0)

PT” ¤ =PC””¥PD”이므로

y¤ =2_(2+7)=18

∴y=3'2 (∵ y>0)

유제 3

핵심 3

유제 2

(45~64)627(진도)해설4 2015.4.24 8:30 AM 페이지61 mac02 T

62 정답과 해설


01 ② 02 ② 03 ③ 04 8'2 cm 05 ④

06 ③, ⑤ 07 ② 08 ⑤ 09 10'∂10 10 :¡3¢: cm

11 75'7 12 4'3 13 9 cm

01 PA”=x cm라고하면 PT” ¤ =PA”¥PB”이므로8¤ =x_(x+12)

x¤ +12x-64=0, (x-4)(x+16)=0

∴x=4 (∵x>0)

02 AD”=x cm, AE”=y cm라고하면

BT” ¤ =BD”¥BA”이므로

6¤ =4_(4+x) ∴x=5

CT” ¤ =CE”¥CA”이므로

4¤ =2_(2+y) ∴y=6

따라서AD” : AE”=5 : 6이므로

m=5, n=6 ∴m+n=11

03 △OHA에서AH”="√5¤ -3¤ =4

PT”=x라고하면PT” ¤ =PA”¥PB”이고, BH”=AH”=4이므로

x¤ =4_(4+8)=48

∴x=4'3 (∵x>0)

04 원O'에서AC” ¤ =AO”¥AB”이므로

AC” ¤ =6_12=72

∴AC”=6'2 (cm) (∵AC”>0)

△ACO'ª△ADB (AA닮음)이므로

AO'” : AB”=AC” : AD”

9 : 12=6'2 : AD”

∴AD”=8'2 (cm)

05 PT” ¤ =PA”¥PB”이므로PT” ¤ =6_(6+18)=144

∴PT”=12 (∵PT”>0)

△ATP와△TBP에서

∠ATP=∠TBP, ∠P는공통

이므로△ATPª△TBP (AA닮음)

따라서TA” : BT”=PA” : PT”이므로

10 : BT”=6 : 12 ∴BT”=20

06 ① 4¤ +2_(2+8)

② 6¤ +3_(3+3)

③ 6¤ =3_(3+9)

④ 12¤ +8_(8+4)

⑤ (3'3)¤ =3_(3+6)

따라서 PT”가△ABT의외접원의접선이될수있는것은

③, ⑤이다.

07 PA”¥PB”=PT” ¤ =PC”¥PD”이므로

4_(4+5)=3_(3+CD”)

3+CD”=12 ∴CD”=9 (cm)

08 PT” ¤ =PA”¥PB”이므로(4'3)¤ =4_(4+x) ∴x=8


4_(4+8)=3_(3+y) ∴y=13

∴y-x=13-8=5

OO'A B

DC

6`cm

4

BQ”를그으면∠ABC=∠ACB=∠BQA이므로AB”는세점

B, P, Q를지나는원의접선이다.

따라서AP”=x라고하면AB” ¤ =AP”¥AQ”이므로

(2'6)¤ =x_(x+2)

x¤ +2x-24=0, (x+6)(x-4)=0

∴x=4 (∵x>0)

16p`cm¤

μAB=μAC이므로∠ACB=∠ABC

BQ”를그으면 μAB의원주각에서∠ACB=∠AQB

즉, ∠ABC=∠AQB이므로AB”는세점B, P, Q를지나는원

의접선이다.

AP”=x cm라고하면AB” ¤ =AP”¥AQ”이므로

(2'∂10)¤ =x_(x+3)

x¤ +3x-40=0, (x+8)(x-5)=0

∴x=5 (∵x>0)

따라서AQ”=5+3=8 (cm)에서원O의반지름의길이는4 cm

이므로원O의넓이는

p_4¤ =16p (cm ¤ )

6

BQ”를그으면△ABQ와△AHC에서

∠ABQ=∠AHC=90˘

∠AQB=∠ACH(μAB에대한원주각)

따라서 △ABQª△AHC (AA 닮음)

이므로

AB” : AH”=AQ” : AC”

8 : 2=AQ” : 3

∴AQ”=12

따라서원O의반지름의길이는6이다.

100p

CQ”를그으면∠BCQ=90˘

△BCQª△BHA (AA닮음)이므로

BC” : BH”=BQ” : BA”

16 : 8=BQ” : 10 ∴BQ”=20

따라서원O의반지름의길이는10이므로원O의넓이는

p_10¤ =100p

유제 3

3

2

A

HB C

Q

O

8

핵심 3

유제 2

핵심 2

(45~64)627(진도)해설4 2015.4.24 8:30 AM 페이지62 mac02 T


진도북

09 CQ”를그으면△ABP와△AQC에서

∠BAQ=∠QAC, ∠ABP=∠AQC

∴△ABPª△AQC (AA닮음)

AB” : AQ”=AP” : AC”이므로

6 : (3+x)=3 : 4, 3(3+x)=24 ∴x=5

한편, ∠QBC=∠BAQ이므로 BQ”는세점A, B, P를지

나는원의접선이다.

따라서BQ” ¤ =QP”¥QA”이므로

y ¤ =5_(5+3)=40 ∴y=2'∂10 (∵y>0)

∴xy=5_2'∂10=10'∂10

10 AB”=AC”이므로

∠ABC=∠ACB

μAB에대하여

∠ACB=∠AQB

∴∠ABC=∠AQB

따라서AB”는세점B, P, Q를지나

는원의접선이므로

AB” ¤ =AP”¥AQ”

8¤ =6_(6+PQ”), 6PQ”=28

∴PQ”=:¡3¢: (cm)

11 △ABQ와△AHC에서

∠ABQ=∠AHC=90˘, ∠AQB=∠ACH

∴△ABQª△AHC (AA닮음)

AB” : AH”=AQ” : AC”이므로

x : 6=20 : 8 ∴x=15

△ABQ는직각삼각형이므로

y="√20¤ -15¤ =5'7

∴xy=15_5'7=75'7

12 ∠ABT=∠APT=∠ATP이므로

AP”=AT”=4 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

PT” ¤ =PA”¥PB”이므로(4'3)¤ =4_(4+AB”) ∴AB”=8 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

즉, OA”=OT”=TA”=4이므로△AOT는정삼각형이다.

∴△AOT= _4¤ =4'3 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

13 PT” ¤ =PA”¥PB”, PT'” ¤ =PA”¥PB”이므로PT”=PT'”=6 (cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

PA” : AB”=1 : 3에서 PA”=x cm라고 하면 PB”=4x cm

이므로

6¤ =x_4x, x¤ =9 ∴x=3 (∵x>0) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

∴AB”=3x=3_3=9 (cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

'315554

A

B

Q

P C

6`cm

8`cm 8`cm


01 ② 02 ④ 03 ① 04 ③ 05 ② 06 ④

07 4 08 ① 09 ⑤ 10 ② 11 ③ 12 ③

13 ④ 14 ⑤ 15 4 16 4'2 cm 17 3'5

18 16 p

01 3x_x=8_6, 3x¤ =48, x¤ =16

∴x=4 (∵x>0)

02 PC”=CD”=x cm라고하면

x_(x+x)=3_(3+21)

2x¤ =72, x¤ =36 ∴x=6 (∵x>0)

03 PA”¥PB”=PC”¥PD”이므로

4_8=(9-x)(9+x)

x¤ =49 ∴x=7 (∵x>0)

04 오른쪽그림과같이PO”의연장

선을그어원 O와만나는점을

C, D라고 하면 PC”는 점 P를

중심으로 하고 원 O에 외접하

는원의반지름이된다.

OC”=OB”=3 cm이므로원P의반지름의길이를 r cm라고

하면 PA”¥PB”=PC”¥PD”

5_(5+3)=r(r+6), r¤ +6r-40=0

(r+10)(r-4)=0 ∴ r=4 (∵r>0)

따라서구하는원의반지름의길이는4 cm이다.

05 PA”¥PB”=PE”¥PF”=PC”¥PD”이므로

3_(3+5)=4_(4+CD”)

4+CD”=6 ∴CD”=2


(5+x)(3-x)=x(3-x+4)

15-2x-x¤ =7x-x¤ , 9x=15

∴x=;3%;

07 □ABCD가원에내접하려면PA”¥PD”=PB”¥PC”이어야하므로

x(x+2)=3_(3+5), x¤ +2x-24=0

(x+6)(x-4)=0 ∴x=4 (∵x>0)

OC

D

B A P5`cm

3`cm3`cm

3`cmr`cm




△AOT의넓이구하기 30̀%

❶

❷

❸


PT”, PT'””의길이구하기 30̀%

PA”의길이구하기 50̀%


❶

❷

❸

(45~64)627(진도)해설4 2015.4.24 8:30 AM 페이지63 mac02 T

64 정답과 해설

08 PT” ¤ =PA”¥PB”이므로7¤ =5_(5+2OB”)

10OB”=24 ∴OB”=2.4 (cm)

09 PT”가접선이므로∠ATP=∠ABT

즉,∠APT=∠ATP이므로△APT는이등변삼각형이다.

따라서AP”=AT”=4이므로

PT” ¤ =PA”¥PB”=4_(4+8)=48

∴PT”=4'3 (∵PT”>0)

10 ∠ATP=90˘이므로△APT에서

AP”="√(4'3)¤ +4¤ =8 (cm)

PT” ¤ =PB”¥PA”이므로

(4'3)¤ =(8-x)_8 ∴x=2

11 원O의두현AB, CD에서PA”¥PB”=PC”¥PD”이므로

PA”_8=4_6 ∴PA”=3 (cm)

AT”=x cm라고하면 TD”는원O의접선이므로

TD” ¤ =TA”¥TB”

(2'∂15)¤ =x(x+3+8), x¤ +11x-60=0

(x+15)(x-4)=0 ∴x=4 (∵x>0)

12 PT” ¤ =PA”¥PB”이므로PT”는세점A, T, B를지나는원의

접선이다.

∠B=∠ATP=50˘이므로△BPT에서

∠ATB=180˘-(50˘+27˘+50˘)=53˘

13 PT” ¤ =PA”¥PB”=PC”¥PD”이므로

4_(4+AB”)=5_(5+4), 4AB”=29

∴AB”=;;™4ª;;(cm)

14 ① μAM에대한원주각이므로∠ABM=∠ADM

② μAM=μBM이므로∠ADM=∠BAM

③∠BAM=∠ADM, ∠AMC는공통이므로

△MACª△MDA (AA닮음)

④ AB”, DM”은주어진원의두현이므로

AC”¥BC”=MC”¥CD”

⑤∠MAC=∠MDA이므로AM”은세점A, C, D를지

나는원의접선이다.

∴AM” ¤ =MC”¥MD”

15 1단계 □ABDE에서∠AEB=∠ADB이므로

□ABDE는원에내접한다.

2단계 네점A, B, D, E를지나는원에대하여

CE”¥CA”=CD”¥CB”이므로5_(5+3)=x(x+6), x¤ +6x-40=0

(x-4)(x+10)=0

∴x=4 (∵x>0)

16 1단계 AC” ¤ =AO”¥AB”이므로

AC” ¤ =12_24=288

∴AC”=12'2 (cm)

(∵AC”>0)

2단계 CO'”, DB”를그으면

△ACO'ª△ADB (AA닮음)이므로

AC” : AD”=AO'” : AB”

12'2 : AD”=18 : 24

∴AD”=16'2 (cm)

3단계 CD”=AD”-AC”

=16'2-12'2

=4'2 (cm)

17 PT” ¤ =PB”¥PA”이므로

PT” ¤ =5_(5+15)=100

∴PT”=10 (cm) (∵PT”>0) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

△PAT와△PTB에서

∠PAT=∠PTB, ∠P는공통

∴△PATª△PTB (AA닮음)

따라서PA” : PT”=AT” : TB”이므로

20 : 10=AT” : x ∴AT”=2x (cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

∠ATB=90˘이므로△ATB에서

(2x)¤ +x¤ =15¤ , x¤ =45

∴x=3'5 (∵x>0) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

18 △ABQ와△AHC에서

∠ABQ=∠AHC=90˘, ∠BQA=∠HCA

∴△ABQª△AHC (AA닮음) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

따라서AB” : AH”=AQ” : AC”이므로

8 : 3=AQ” : 6 ∴AQ”=16 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

즉, 원O의반지름의길이가8이므로

원O의둘레의길이는

2_p_8=16p ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

OO'A B

C D

12`cm


△ABQª△AHC임을보이기 40̀%

AQ”의길이구하기 40̀%

원 O의둘레의길이구하기 20̀%

❶

❷

❸


PT”의길이구하기 30̀%

AT”의길이를 x를이용하여나타내기 40̀%


❶

❷

❸

(45~64)627(진도)해설4 2015.4.24 8:30 AM 페이지64 mac02 T

Ⅰ.통계 65

워크북

대푯값01

Ⅰ-1｜대푯값과산포도

1대푯값

본문 2~3쪽

Ⅰ통계

워크북

01 변량은총10개이므로수학성적의평균은

=;;•1¡0£;;

=81.3(점)

02 3개의변량x, y, z의평균이14이므로

=14

∴x+y+z=42 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

5개의변량 7, x, y, z, 9의총합은

7+x+y+z+9=x+y+z+16

=42+16=58 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

따라서구하는평균은

=;;∞5•;;=11.6 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

03 5개의변량a, b, c, d, e의평균이7이므로

=7

∴a+b+c+d+e=35

따라서 주어진 5개의 변량 2a-3, 2b-3, 2c-3, 2d-3,

2e-3의총합은

(2a-3)+(2b-3)+(2c-3)+(2d-3)+(2e-3)

=2(a+b+c+d+e)-3_5

=2_35-15

=55

이므로구하는평균은 ;;∞5∞;;=11

04 은주네반학생26명의영어성적의총합은

26_77=2002(점)

윤희네반학생24명의영어성적의총합은

24_72=1728(점)

a+b+c+d+e11111115

7+x+y+z+911111115

x+y+z11113

76+84+80+86+79+80+82+88+84+741111111111111111111210

즉, 은주네반과윤희네반전체의학생수는26+24=50(명)

이고영어성적의총합은 2002+1728=3730(점)이므로두

반전체학생의영어성적의평균은

;:#5&0#:);=74.6(점)

05 ①변량의값이아닌것을대푯값으로하는경우도많다.②대푯값으로는평균, 중앙값, 최빈값등이있다.

③평균은변량의총합을변량의개수로나눈값이므로자료

전체를모두사용하여구한다.

④,⑤자료의특징에따라자료의성격을가장잘드러내는

대푯값이다르다. 일반적으로는평균을대푯값으로사용

하지만자료중에극단적인값이있을때에는중앙값을,

선호도등을조사할때에는최빈값을사용하는것이자료

의성격을드러내기에더효과적이다.

따라서옳은것은②, ③이다.

06 맥박수를가장작은값부터크기순으로나타내면84, 86, 87, 88, 88, 89, 89, 90, 90, 90,

90, 91, 91, 91, 92, 92, 93, 93, 94, 95

이때변량이 20개이므로중앙값은 10번째변량 90과 11번째

변량90의평균이다.

∴a= =90

또, 90이 4번으로가장많이나타나므로최빈값은 90회, 즉

b=90이다.

∴a+b=180

07 ㄷ. 중앙값은자료의값중에극단적인값이있는경우에자료전체의특징을잘표현하는대푯값이고, 선호도조사

에주로이용되는것은최빈값이다.

ㄹ. 자료의개수가많을수록최빈값을이용하여자료전체의

특징을잘반영할수있다.

따라서옳은것은ㄱ, ㄴ이다.

08 시험을총10회보았으므로맞힌문항수의평균은

=

=8.9(개)

∴a=8.9

맞힌문항수를가장작은값부터크기순으로나열하면

7, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10

이때중앙값은5번째변량9와6번째변량9의평균이므로

=9(개)

∴b=9

또, 9가4번으로가장많이나타나므로최빈값은9개, 즉

c=9이다.

∴a<b=c

9+91122

891210

10+9+9+10+8+9+9+10+8+7111111111111111110

90+90111552

01 81.3점 02 11.6 03 ③ 04 ④ 05 ②, ③

06 180 07 ③ 08 ② 09 ③ 10 90 11 13

12 ④ 13 ② 14 62.4 kg 15 ①


x+y+z의값구하기 40̀%

5개의변량의총합구하기 20̀%

5개의변량의평균구하기 40̀%

❶

❷

❸

(65~112)627(워크)해설 2015.4.24 8:31 AM 페이지65 mac02 T

66 정답과 해설

09 총 4회의수학시험성적의평균이 86점이므로네번째수학

시험의성적을A점이라고하면

=86, 251+A=344

∴A=93

따라서네번째수학시험의성적은93점이다.

10 10개의변량a, b, c, d, e, f, g, h, i, j의평균이92이므로

=92

∴a+b+c+d+e+f+g+h+i+j=920 yy㉠₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

4개의변량a, e, i, j의평균이95이므로

=95

∴a+e+i+j=380 yy㉡₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

㉡을㉠에대입하면

380+b+c+d+f+g+h=920

∴b+c+d+f+g+h=540

따라서6개의변량b, c, d, f, g, h의평균은

=;:%6$:);=90 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

11 크기순으로나열된다섯개의변량 4, 6, 8, 9, a의중앙값은

한가운데값인8이다.

이때이자료의평균과중앙값이서로같으므로

=8, 27+a=40

∴a=13

12 x를제외한나머지 5개의변량을가장작은값부터크기순으

로나열하면

14, 30, 35, 47, 56

이때x를포함한 6개의변량의중앙값이 38이므로x는 35와

47 사이에위치한다. 즉, 6개의변량을가장작은값부터크

기순으로나열하면

14, 30, 35, x, 47, 56

중앙값은3번째변량35와4번째변량x의평균이므로

=38, 35+x=76

∴x=41

13 주어진자료의최빈값이 8이므로 x, y 중하나는반드시 8이

되어야한다.

이때x+y=19이므로

x=8, y=11또는x=11, y=8

35+x11222

4+6+8+9+a112222212515

b+c+d+f+g+h112222211116

a+e+i+j112222214

a+b+c+d+e+f+g+h+i+j1122222222151111111510

82+90+79+A1122222222154

즉, 주어진자료의 6개의변량을가장작은값부터크기순으

로나열하면

5, 6, 8, 8, 9, 11

이때중앙값은3번째변량8과4번째변량8의평균이므로

구하는중앙값은 =8이다.

14 이반학생32명의몸무게의총합은

32_55.8=1785.6(kg) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

한 학생이 전학을 오면서 이 반 학생들의 몸무게의 평균이

0.2 kg늘어났으므로33명의몸무게의평균은

55.8+0.2=56(kg)

즉, 이반학생33명의몸무게의총합은

33_56=1848(kg) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

따라서전학온학생의몸무게는

1848-1785.6=62.4(kg) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

15 재윤이를제외한나머지 11명의 50 m달리기기록의총합을

A초, 12명전체의 50 m달리기기록의실제평균을x초, 잘

못적은재윤이의50 m달리기기록을p초라고하면

(12명의기록의실제총합)=A+8

=12x

∴A=12x-8 yy㉠재윤이의기록을 p초로잘못적어계산한 12명의평균이실

제평균보다0.1초적게나왔으므로

(12명의기록의잘못구한총합)=A+p

=12(x-0.1) yy㉡㉠을㉡에대입하면12x-8+p=12(x-0.1)

12x-8+p=12x-1.2 ∴p=6.8

따라서잘못적은재윤이의50 m달리기기록은6.8초이다.

8+81122


10개의변량의총합구하기 25̀%

a, e, i, j의총합구하기 25̀%

나머지 6개의변량의평균구하기 50̀%

❶

❷

❸


32명의몸무게의총합구하기 30̀%

전학생을포함한 33명의몸무게의총합구하기 50̀%

전학온학생의몸무게구하기 20̀%

❶

❷

❸

산포도와표준편차02

2산포도

본문 4~5쪽

01 ㄹ, ㄱ, ㄷ, ㅁ, ㄴ 02 6.8 03 ①, ③ 04 개 05 ③

06 ⑤ 07 ③ 08 ④ 09 36 10 24 11 94

6'∂351127

01 (분산)= 이고, (편차)=(변량)-(평균)이므로

(평균) →(편차) →(분산)의순서로구한다.

따라서ㄹ(평균) →ㄱ(편차) →ㄷ→ㅁ→ㄴ이다.분산

02 학생E의편차를x점이라고하면편차의총합은0이므로

(-3)+2+(-1)+(-2)+x=0 ∴x=4

{(편차)¤의총합}1111121{(변량)의개수}

(65~112)627(워크)해설 2015.4.24 8:31 AM 페이지66 mac02 T

Ⅰ.통계 67

워크북

따라서다섯명의학생의영어성적의분산은

=;;£5¢;;=6.8

03 ①(편차)=(변량)-(평균)이므로변량이평균보다크면편차는양수이다.

③분산과 표준편차는 평균을 대푯값으로 이용하여 구하는

산포도이다.

04 하루동안판매된우유의개수의평균은

=;:!7@:^;=18(개)

₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

즉, 판매된우유의개수의편차는순서대로

-2, 5, -1, 2, 3, 4, -11

이므로하루동안판매된우유의개수의분산은

=;:!7*:);

₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

따라서구하는표준편차는

Æ…;:!7*:);= = (개) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

05 5개의변량32, x, 29, 21, 25의평균이25이므로

=25

107+x=125 ∴x=18

즉, 주어진변량은 32, 18, 29, 21, 25이므로편차는순서대

로7, -7, 4, -4, 0이다.

따라서다섯개의변량의분산은

=;:!5#:);=26

06 네변량4, a, b, 9의평균이7이므로

=7

13+a+b=28

∴a+b=15 yy㉠한편네변량4, a, b, 9의평균이7이므로편차는순서대로

-3, a-7, b-7, 2

이고, 분산이14이므로

=14

13+(a-7)¤ +(b-7)¤ =56

a¤ +b¤ -14(a+b)+111=56

∴a¤ +b¤ =14(a+b)-111+56

=14_15-55 (∵㉠)

=155

(-3)¤ +(a-7)¤ +(b-7)¤ +2¤112111111111114

4+a+b+91121114

7¤ +(-7)¤ +4¤ +(-4)¤ +0¤11211111125155125

32+x+29+21+25112111111255

6'∂351127

'ƒ126011237

(-2)¤ +5¤ +(-1)¤ +2¤ +3¤ +4¤ +(-11)¤1111111111112552222222222257

16+23+17+20+21+22+71111111111112557

(-3)¤ +2¤ +(-1)¤ +(-2)¤ +4¤1111111111111125

07 5개의변량2, 4, p, q, r의평균이3이므로

=3

6+p+q+r=15

∴p+q+r=9 yy㉠한편 5개의변량 2, 4, p, q, r의평균이 3이므로편차는순서

대로

-1, 1, p-3, q-3, r-3

이고, 표준편차가3이므로

=9

2+(p-3)¤ +(q-3)¤ +(r-3)¤ =45

p¤ +q¤ +r¤ -6(p+q+r)+29=45

∴p¤ +q¤ +r¤ =6(p+q+r)-29+45

=6_9+16 (∵㉠)

=70

08 세수x, y, z의평균이5이므로

=5

∴x+y+z=15 yy㉠세수x, y, z의표준편차가2이므로

=2¤

x¤ +y¤ +z¤ -10(x+y+z)+75=12

∴x¤ +y¤ +z¤ =10(x+y+z)-75+12

=10_15-63 (∵㉠)

=87 yy㉡따라서세수3x¤ +1, 3y¤ +1, 3z¤ +1의평균은

=

= (∵㉡)

=88

09 네변량a, b, c, d의평균이4이므로

=4

∴a+b+c+d=16 yy㉠네변량2a-5, 2b-5, 2c-5, 2d-5의평균은

=

= (∵㉠)

=;;¡4™;;=3 yy㉡

또, 네변량a, b, c, d의분산이9이므로

=9(a-4)¤ +(b-4)¤ +(c-4)¤ +(d-4)¤1121255555111111111111

4

2_16-2011212555554

2(a+b+c+d)-2011212551511124

(2a-5)+(2b-5)+(2c-5)+(2d-5)1121255151111111111114

a+b+c+d1121255154

3_87+311212553

3(x¤ +y¤ +z¤ )+311212111253

(3x¤ +1)+(3y¤ +1)+(3z¤ +1)112121111111121553

(x-5)¤ +(y-5)¤ +(z-5)¤112121111111123

x+y+z112123

(-1)¤ +1¤ +(p-3)¤ +(q-3)¤ +(r-3)¤11211112111111111115

2+4+p+q+r112111125


우유의개수의평균구하기 20̀`%

우유의개수의분산구하기 50̀`%

우유의개수의표준편차구하기 30̀`%

❶

❷

❸

(65~112)627(워크)해설 2015.4.24 8:31 AM 페이지67 mac02 T

68 정답과 해설

∴(a-4)¤ +(b-4)¤ +(c-4)¤ +(d-4)¤ =36

yy㉢따라서네변량 2a-5, 2b-5, 2c-5, 2d-5의평균이 3이

므로(∵㉡) 분산은

=

= (∵㉢)

=36

10 5개의변량a, 4, b, 2, c의평균이3이므로

=3, 6+a+b+c=15

∴a+b+c=9 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

2a+3, 2b+3, 2c+3의평균은

= = =9 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

또, 5개의변량a, 4, b, 2, c의표준편차가2이므로

=2¤

(a-3)¤ +(b-3)¤ +(c-3)¤ +2=20

∴(a-3)¤ +(b-3)¤ +(c-3)¤ =18 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

따라서세변량 2a+3, 2b+3, 2c+3의평균이 9이므로분

산은

=

=

= =24 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❹

11 성적을올려주기전, 은정이네반학생 40명의중간고사수

학성적을각각x¡, x™, x£, y, x¢º(점)이라고하자.평균이81점이므로

=81

∴x¡+x™+x£+y+x¢º=3240 yy㉠또, 표준편차가8점이므로

=8¤

∴(x¡-81)¤ +(x™-81)¤ +y+(x¢º-81)¤ =2560

yy㉡

(x¡-81)¤ +(x™-81)¤ +y+(x¢º-81)¤11111111151111111140

x¡+x™+x£+y+x¢º111111111540

4_181155553

4{(a-3)¤ +(b-3)¤ +(c-3)¤ }111111111111133

(2a-6)¤ +(2b-6)¤ +(2c-6)¤111111111111113

(2a+3-9)¤ +(2b+3-9)¤ +(2c+3-9)¤11111111111111111153

(a-3)¤ +1¤ +(b-3)¤ +(-1)¤ +(c-3)¤11221111111111111115

2_9+9112213

2(a+b+c)+9112211113

(2a+3)+(2b+3)+(2c+3)111111111111223

a+4+b+2+c112211115

4_3611224

4{(a-4)¤ +(b-4)¤ +(c-4)¤ +(d-4)¤ }1112125555511111111111234

(2a-8)¤ +(2b-8)¤ +(2c-8)¤ +(2d-8)¤11211125555511111111111234


평균을이용하여 a, b, c 사이의관계식구하기

2a+3, 2b+3, 2c+3의평균구하기

표준편차를이용하여 a, b, c 사이의관계식구하기

2a+3, 2b+3, 2c+3의분산구하기

25̀%

25̀%

25̀%

25̀%

❶

❷

❸

❹

도수분포표에서의평균과분산, 표준편차03 본문 5~6쪽

01 ㄱ. (편차)=(변량)-(평균)이고, 도수분포표에서는변량대신계급값을사용하므로

(편차)=(계급값)-(평균)

∴(계급값)=(평균)+(편차)

ㄷ. (분산)=

ㄹ. (표준편차) ¤ =(분산) 또는(표준편차)="√(분산)

따라서옳은것은ㄴ뿐이다.

02

따라서평균은:¢2•0º:=24(시간)

따라서분산은:™;2&0*;º:=139

{(편차) ¤_(도수)의총합}11111111125(도수의총합)

01 ㄴ 02 표는풀이참조, 24시간, 139 03 104, 2'2å6점

04 ② 05 67 06 ③ 07 C, D 08 나래 09 ㄱ, ㄴ

봉사시간(시간)

40이상~10미만

10이상~20이상

20이상~30이상

30이상~40이상

40이상~50이상

합계

도수

3

4

7

4

2

20

계급값

5

15

25

35

45


15

60

175

140

90

480

봉사시간(시간)

40이상~10미만

10이상~20이상

20이상~30이상

30이상~40이상

40이상~50이상

합계

도수

3

4

7

4

2

20

편차

-19

-9

1

11

21

(편차)¤ _(도수)

1083

324

7

484

882

2780

이때은정이네반학생 40명모두의성적을 5점씩올려주면

40명의 학생의 점수는 각각 x¡+5, x™+5, x£+5, y,x¢º+5(점)이므로평균m과표준편차 s를각각구하면

m=

m=

m= (∵㉠)

m=;:#4$0$:);=86

s¤ =

s¤ =

s¤ =;:@4%0^:); (∵㉡)

s¤ =64

∴ s='∂64=8

∴m+s=86+8=94

(x¡-81)¤ +(x™-81)¤ +y+(x¢º-81)¤111111111111111115540

(x¡+5-86)¤ +(x™+5-86)¤ +y+(x¢º+5-86)¤11111111111111111113340

3240+2001111140

(x¡+x™+x£+y+x¢º)+200111111111511125540

(x¡+5)+(x™+5)+(x£+5)+y+(x¢º+5)1111111115111111111552540

(65~112)627(워크)해설 2015.4.24 8:31 AM 페이지68 mac02 T

Ⅰ.통계 69

워크북

03

(평균)=:¡;2%0*;º:=79(점)

∴(분산)=:™;2)0*;º:=104

(표준편차)='1 ∂04=2'2å6(점)

04 주어진히스토그램을이용하여도수분포표를만들면

(평균)=:¶1∞0º:=75(점)

(분산)=:¡;1@0);º:=120

∴(표준편차)='1∂20=2'3å0(점)

05 주어진히스토그램을이용하여도수분포표를만들면다음과같다.

∴m=

m=:∞1•0º:=58 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

이때편차는순서대로-13, -3, 7, 17이므로몸무게의분

산은

=:•1¡0º:=81

∴ s='8å1=9 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

∴m+s=58+9=67 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

(-13)¤ _2+(-3)¤ _4+7¤ _3+17¤ _111111111111111111310

45_2+55_4+65_3+75_11111111111111310

06 국어성적이 60점이상 70점미만인학생수를x명이라고하

면재호네반학생이모두40명이므로

2+4+10+x+7+3+1=40

∴x=13

따라서도수분포표를만들면다음과같다.

(평균)=:™;4%0@;º:=63(점)

∴(분산)=:¶;4)0$;º:=176

07 점수가가장높은선수는평균이가장높은선수이므로평균이9.9점인C이다.

또, 점수가가장고른선수는표준편차가가장작은선수이므

로표준편차가0.2점인D이다.

08 후보들의성적의분산을차례로구하면

(가영)= =;5*;=1.6

(예리)= =:¡5º:=2

(태희)= =:¡5§:=3.2

(나래)= =;5@;=0.4

(지현)= =;5$;=0.8

따라서분산이가장작은나래의성적이가장고르므로반대

표로뽑힐학생은나래이다.

09 ㄱ. 두반전체의평균은

ㄱ. =:¡;2(5@;∞:=77(점)

ㄴ. B반의평균이 A반의평균보다높으므로 B반의성적이

A반의성적보다우수하다.

ㄷ. 편차의합은항상0이므로두반의편차의합은같다.

ㄹ. A반의표준편차가B반의표준편차보다작으므로A반의

성적이더고르다.

따라서옳은것은ㄱ, ㄴ이다.

74_10+79_1511111114510+15

(-1)¤ +(-1)¤ +1¤ +1¤111111111115

(-1)¤ +1¤111115

(-2)¤ +(-2)¤ +2¤ +2¤111111111125

(-2)¤ +(-1)¤ +1¤ +2¤1111111111255

(-2)¤ +2¤111115

참고참고참고참고참고참고

계급값

35

45

55

65

75

85

95

합계

도수

2

4

10

13

7

3

1

40


70

180

550

845

525

255

95

2520

(편차)¤ _(도수)

1568

1296

640

52

1008

1452

1024

7040

편차

-28

-18

-8

2

12

22

32

계급값

45

55

65

75

합계

도수

2

4

3

1

10


90

220

195

75

580

(편차)¤ _(도수)

338

36

147

289

810

편차

-13

-3

7

17

계급값

55

65

75

85

95

합계

도수

1

2

4

2

1

10


55

130

300

170

95

750

(편차) ¤ _(도수)

400

200

0

200

400

1200

편차

-20

-10

0

10

20

몸무게(kg)

40이상~50미만

50이상~60이상

60이상~70이상

70이상~80이상

합계

도수(̀명)

2

4

3

1

10

계급값

55

65

75

85

95

합계

도수

1

3

5

9

2

20


55

195

375

765

190

1580

(편차)¤ _(도수)

576

588

80

324

512

2080

편차

-24

-14

-4

6

16


평균m의값구하기 40̀%

표준편차 s의값구하기 40̀%

m+s의값구하기 20̀%

❶

❷

❸

(65~112)627(워크)해설 2015.4.24 8:31 AM 페이지69 mac02 T

70 정답과 해설

05 (편차)=(변량)-(평균)에서 (변량)=(편차)+(평균)이므로 학생 5명의체육실기성적의평균을 x점이라고하면각학생

의성적은다음표와같다.

ㄱ. A와B의체육실기성적의차이는

(x+2)-(x-1)=3(점)

ㄴ. 체육실기성적이가장낮은학생은편차가가장작은 C

이다.

ㄹ. 체육실기성적의분산은

ㄹ. =:¡5º:=2

ㄹ.이므로표준편차는'2점이다.

따라서옳은것은ㄴ, ㄷ, ㄹ이다.

06 10개의수중처음 6개의수를각각 x¡, x™, x£, x¢, x∞, x§이

라하고, 나머지4개의수를x¶, x•, xª, x¡º이라고하자.

x¡, x™, x£, x¢, x∞, x§의평균이8이므로

=8

∴x¡+x™+x£+x¢+x∞+x§=48

x¶, x•, xª, x¡º의평균도8이므로

=8

∴x¶+x•+xª+x¡º=32

따라서이들10개의수전체의평균은

=

=;1*0);=8

한편x¡, x™, x£, x¢, x∞, x§의분산이9이므로

=9

∴(x¡-8)¤ +(x™-8)¤ +(x£-8)¤ +y+(x§-8)¤ =54

x¶, x•, xª, x¡º의분산이14이므로

=14

∴(x¶-8)¤ +(x•-8)¤ +(xª-8)¤ +(x¡º-8)¤ =56

따라서이들10개의수전체의분산은

=

=:¡1¡0º:=11

07 5개의변량12, x, 8, y, 13의평균이11이므로

=11

x+y+33=55

∴x+y=22 yy㉠

12+x+8+y+1311111112345

54+56111210

(x¡-8)¤ +(x™-8)¤ +(x£-8)¤ +y+(x¡º-8)¤11111111111111111111310

(x¶-8)¤ +(x•-8)¤ +(xª-8)¤ +(x¡º-8)¤111111111111111111554

(x¡-8)¤ +(x™-8)¤ +(x£-8)¤ +y+(x§-8)¤1111111111111111111156

48+32111210

x¡+x™+x£+y+x¡º111111111310

x¶+x•+xª+x¡º111111124

x¡+x™+x£+x¢+x∞+x§11111111151256

2¤ +(-1)¤ +(-2)¤ +0¤ +1¤11111111111135


01 ③ 02 ④ 03 ② 04 53 05 ⑤ 06 ②

07 ② 08 ③ 09 ① 10 ① 11 10.5

12 100, 81

01 ①(평균)= =:™;5$;¢:=48.8(kg)

②,③몸무게를가장작은값부터크기순으로나열하면

47, 48, 49, 49, 51

즉, 중앙값과최빈값은모두49 kg이다.

④평균, 중앙값, 최빈값중평균이가장작다.

⑤평균, 중앙값, 최빈값의평균은

⑤ = =48.9333y(kg)

따라서옳은것은③이다.

02 ①자료㈎1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5에서

⑤ (평균)= =;1#0);=3

⑤(중앙값)= =3

②자료㈏1, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 5에서

⑤ (평균)= =;1#0);=3

⑤ (중앙값)= =3, (최빈값)=3

③자료㈐1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 300에서

⑤ (중앙값)= =3

④㈎에는 1, 2, 3, 4, 5가모두 2개씩있으므로평균또는중

앙값을대푯값으로정하는것이적절하다.

⑤㈐에는극단적인값 300이포함되어있으므로중앙값을

대푯값으로정하는것이가장적절하다.

따라서옳지않은것은④이다.

03 동호회의 여자 회원이 x명이라

고하면동호회회원전체의평

균나이가38세이므로

=38

43x+1360=1520+38x, 5x=160

∴x=32

따라서이동호회의여자회원은모두32명이다.

04 변량D의편차를x라고하면편차의총합은0이므로

(-1)+3+2+x+(-3)+(-2)=0

∴x=1

6개의변량의평균이52이고변량D의편차가1이므로

(편차)=(변량)-(평균)에서

1=D-52 ∴D=53

34_40+43_x111111140+x

3+31122

3+31122

1+2+3+3+3+3+3+3+4+511111111111111210

3+31122

1+1+2+2+3+3+4+4+5+511111111111111210

146.811243

48.8+49+4911111153

51+49+47+48+4911111111125

평균나이(세)

회원수(명)

남

34

40

여

43

x

학생

편차(점)

성적(점)

A

2

x+2

B

-1

x-1

C

-2

x-2

D

0

x

E

1

x+1

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Ⅰ.통계 71

워크북

5개의변량의편차는순서대로

1, x-11, -3, y-11, 2

이고분산이9이므로

=9

x¤ +y¤ -22(x+y)+256=45

∴x¤ +y¤ =22(x+y)-256+45

=22_22-211(∵㉠)

=273 yy㉡이때(x+y)¤ =x¤ +y¤ +2xy이므로

xy=;2!; {(x+y)¤ -(x¤ +y¤ )}

xy=;2!;(22¤ -273)(∵㉠, ㉡)

xy=105.5

08

(평균)=:¢2™0º:=21(일)

∴(분산)=:¡;2*0*;º:=94

09 주어진히스토그램을이용하여도수분포표를만들면다음과같다.

(평균)=:¡2¡0º:=5.5(시간)

(분산)=;2^0#;=3.15

∴(표준편차)='ƒ3.15(시간)

10 수면시간이가장불규칙적인경우는표준편차가가장큰경우이므로표준편차가 2.5시간으로가장큰민규의수면시간

이가장불규칙적이다.

11 두자료㈎, ㈏모두변량이 5개씩이므로각자료의중앙값은

크기순으로나열할때3번째변량이다.

각자료에서 a를제외하고가장작은값부터크기순으로나

열하면

㈎ 7, 9, 10, 16

㈏ 8, 9, 12, 15

1¤ +(x-11)¤ +(-3)¤ +(y-11)¤ +2¤111111111111111135

이때자료㈏의중앙값이 11이므로 9와 12 사이에 a가위치

하고, a=11이어야한다. ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

즉, 두자료는

㈎ 7, 9, 10, 11, 16

㈏ 8, 9, 11, 12, 15

이므로두자료㈎, ㈏를섞어가장작은값부터크기순으로

나열하면

7, 8, 9, 9, 10, 11, 11, 12, 15, 16 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

따라서두자료㈎, ㈏를섞은전체자료의중앙값은5번째,

6번째변량의평균이므로

=10.5 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

12 6개의변량a, b, c, d, e, f의평균이33이므로

=33

∴a+b+c+d+e+f=198 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

6개의변량 3a+1, 3b+1, 3c+1, 3d+1, 3e+1, 3f+1의

평균은

=

=

=:§;6);º:=100 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

한편6개의변량a, b, c, d, e, f의표준편차가3이므로

=3¤

∴(a-33)¤ +(b-33)¤ +y+(f-33)¤ =54 ₩₩₩₩₩❸

6개의변량 3a+1, 3b+1, 3c+1, 3d+1, 3e+1, 3f+1의

분산은

=

=

=

=81 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❹

9_541116

9 {(a-33)¤ +(b-33)¤ +y+(f-33)¤ }111111111111111116

(3a-99)¤ +(3b-99)¤ +y+(3f-99)¤1111111111111111156

(3a+1-100)¤ +(3b+1-100)¤ +y+(3f+1-100)¤1111111111111111111115556

(a-33)¤ +(b-33)¤ +y+(f-33)¤11111111111111116

3_198+6111116

3(a+b+c+d+e+f)+61111111111126

(3a+1)+(3b+1)+(3c+1)+y+(3f+1)111111111111111111146

a+b+c+d+e+f1111111126

10+1111132


자료㈏의중앙값을이용하여 a의값구하기

두 자료 ㈎, ㈏를 섞은 전체 자료를 크기순으로 나열

하기

두자료㈎, ㈏를섞은전체자료의중앙값구하기

40̀%

30̀%

30̀%

❶

❷

❸


평균을이용하여 a, b, y, f 사이의관계식구하기

3a+1, 3b+1, y, 3f+1의평균구하기

표준편차를이용하여 a, b, y, f 사이의관계식구하기

3a+1, 3b+1, y, 3f+1의분산구하기

20̀%

30̀%

20̀%

30̀%

❶

❷

❸

❹

계급값

2

4

6

8

합계

도수

2

5

9

4

20


4

20

54

32

110

(편차) ¤ _(도수)

24.5

11.25

2.25

25

63

편차

-3.5

-1.5

0.5

2.5

계급값

5

15

25

35

45

합계

도수

2

8

7

2

1

20


10

120

175

70

45

420

(편차) ¤ _(도수)

512

288

112

392

576

1880

편차

-16

-6

4

14

24

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72 정답과 해설

피타고라스정리04

Ⅱ-1｜피타고라스정리

1피타고라스정리

본문 9~11쪽

Ⅱ피타고라스정리

01 ⑴ '5 ⑵ '5 02 2'6 cm 03 2.6 m 04 28 cm¤

05 ②, ④ 06 ② 07 54 08 '∂37 cm

09 '∂41 cm 10 ③ 11 3(1+'5) 12 54 cm¤

13 cm 14 ④ 15 2 cm 16 6 17 8 cm

18 2'∂11 cm 19 x=2'∂13, y=5 20 ①

2'∂131133

09 △ABC에서BC”="√13¤ -5¤ ='1å4å4=12(cm)

CD”=12-8=4(cm)이므로

△ADC에서 AD”="√5¤ +4¤ ='4å1(cm)

10 △ABC에서AC”="3√¤ +2¤ ='1å3(cm)

△ACD에서AD”=øπ('1å3)¤ -1¤ ='∂12=2'3(cm)

∴x=2'3

11 △ABD에서x="√5¤ -4¤ =3

△ADC에서y="√3¤ +6¤ =3'5

∴x+y=3+3'5=3(1+'5)

12 △ABC에서 ̀BC”="1√3¤ -≈5Ω¤ =12(cm)

△BCD에서 ̀CD”="√15¤ -12¤ =9(cm)

∴△BCD=;2!;_BC”_CD”

∴△BCD=;2!;_12_9=54(cm¤ )

13 BC”="6√¤ +4¤ ='5å2

BC=2'1å3(cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

AG”의연장선과BC”의교점을M

이라고하면빗변의중점인M은

직각삼각형ABC의외심이므로

A’M”=B’M”=C’M”

A’M”=;2!;BC”='1å3 (cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

∴AG”=;3@;A’M”= (cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

14 AC”="√1¤ +1¤ ='2

AD”=øπ('2)¤+1¤ ='3

AE”=øπ('3)¤ +1¤ =2

∴AF”="√2¤ +1¤ ='5

15 □ABB'A'은정사각형이므로

AC”=A’B'”="1√¤ +1¤ ='2 (cm)

AD”=A’C'”=øπAC” ¤+CC'” ¤

AC”=øπ('2)¤ +1¤ ='3 (cm)

∴AE”=A’D'”=øπAD” ¤+D’D'” ¤

∴AE”=øπ('3)¤ +1¤ =2(cm)

16 AB”=x라고하면

AC”=øπAB” ¤ +BC” ¤ ="√x¤ +x¤ ="ç2xΩ¤ ='2x

AD”=øππAC” ¤ +CD” ¤ =øπ('2x)¤ +x¤ ="ç3x¤ ='3x

AE”=øππAD” ¤ +DE” ¤ =øπ('3x)¤ +x¤ ="ç4x¤ =2x

AE”=12이므로

2x=12 ∴x=6

2'1å31123

A

G

MB C

4`cm6`cm


BC”의길이구하기 30̀`%

AM”의길이구하기 40̀`%

AG”의길이구하기 30̀`%

❶

❷

❸

01 ⑴ x="√2¤ +1¤ ='5

⑵ x="√3¤ -2¤ ='5

02 AC”="7√¤ -5¤ ='2å4=2'6 (cm)

03 사다리의길이를xm라고하면

x="1√¤ +2ç.4¤ ='ƒ6.76="ç2.6¤ =2.6

04 △ABC가직각삼각형이므로

AC” ¤ =BC” ¤ -AB” ¤ =8¤ -6¤ =28

∴□ACDE=AC”¤ =28(cm¤ )

05 ①a+b>c

③a¤ =c¤ -b¤이므로a="c√¤ -b¤

⑤ c¤ =a¤ +b¤이므로 c="a√¤ +b¤`

06 (x+8)¤ =x¤ +12¤이므로

x¤ +16x+64=x¤ +144, 16x=80

∴ x=5

07 x+3이빗변의길이이므로

(x+3)¤ =x¤ +(x-3)¤ ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

x¤ +6x+9=x¤ +x¤ -6x+9

x¤ -12x=0, x(x-12)=0

∴x=12 (∵x>3) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

∴△ABC=;2!;_12_9=54 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

08 MÚC”="√4¤ -3¤ ='7(cm)이므로BC”=2'7 cm


AB”="√3¤ +(2'7)¤ ='3å7 (cm)


피타고라스정리를이용하여식세우기 30̀`%

x의값구하기 40̀`%

△ABC의넓이구하기 30̀`%

❶

❷

❸

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워크북

03 △EBC와△ABF에서

EB”=AB”, BC”=BF”,

∠EBC=90˘+∠ABC=∠ABF

∴△EBC™△ABF (SAS합동)

∴△EBC=△ABF=△LBF=;2!;□BFML

∴△EBC=;2!;_48=24

04 오른쪽 그림과 같이 AB”, AC”

를각각한변으로하는정사각

형을그리면

△ABD™△GBC(SAS합동)

이므로

△ABD=△GBC

△GBC와 △GBA는 밑변이

GB”로공통이고, 높이가AB”로같으므로　

△GBC=△GBA

∴△ABD=△GBC=△GBA=;2!;□GBAF

∴△KBA=;2!;_8¤ =32(cm¤ ) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

같은방법으로

△AEC=△HBC=△HAC=;2!;□ACHI

△ACE=;2!;_6¤ =18(cm¤ ) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷


△ABD+△AEC=32+18

△ABD+△AEC=50(cm¤ ) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

05 AB”='1ß0å0=10(cm)이므로

AE”=10-7=3(cm)

△AEH에서

E’H” ¤ =7¤ +3¤ =58

□EFGH는정사각형이므로

□EFGH=E’H” ¤ =58(cm¤ )

06 □EFGH는정사각형이므로EH”='4å0=2'1å0 (cm)

△AEH에서

AE”="√(2'1å0)¤ -6¤ ='4=2(cm)

∴AB”=AE”+BE”=2+6=8(cm)


4_8=32(cm)

07 □EFGH는정사각형이므로EF”='6 cm

BE”=x cm라고하면△EBF에서

x¤ +x¤ =6, x¤ =3 ∴x='3 (∵x>0)

따라서AB”=2'3 cm이므로□ABCD의넓이는

(2'3)¤ =12(cm¤ )

A

D E

C

IF

G

B

H6`cm8`cm

17 꼭짓점A에서BC”에내린수선

의발을 H라고하면△ABH

에서AH”=4 cm이므로

BH”="√5¤ -4¤ =3(cm)

∴BC”=BH”+HC”

=3+5=8(cm)

18 BD”를그으면△ABD에서

BD”="8√¤ +4¤ ='8å0=4'5(cm)

△BCD에서

CD”=øπ(4'5)¤ -6¤ ='4å4

=2'1å1(cm)

19 △BCD에서

x="4√¤ +6¤ ='5å2=2'1å3

꼭짓점A에서BC”에내린수선의

발을H라고하면△ABH에서

AH”=4 cm,

BH”=6-3=3(cm)이므로

y="3√¤ +4¤ ='2å5=5

20 꼭짓점A에서BC”에내린수선의발을

H라고하면△ABH에서

BH”=9-5=4(cm)이므로

AH”=øπ(4'1å0)¤ -4¤ ='∂144

=12(cm)

CD”=AH”=12 cm이므로

AC”, BD”를그으면

△ACD에서AC”="√5¤ +12¤ ='∂169

=13(cm)

△BCD에서BD”="√9¤ +12¤ ='∂225=15(cm)

따라서구하는두대각선의길이의차는

BD”-AC”=15-13=2(cm)

9`cm

A D

B CH

5`cm

4Â10·`cm

A D

HB C

3`cm

4`cm

6`cm

y`cm x`cm

AD

B C

8`cm

4`cm

6`cm

A D

CHB

5`cm

4`cm5`cm

피타고라스정리의설명05 본문 11~12쪽

01 5 cm 02 13 : 4 03 24 04 50 cm¤ 05 58 cm¤

06 32 cm 07 12 cm¤ 08 ① 09 8'∂29 cm

10 ⑤ 11 4('5+'∂10) 12 (4+'∂15) cm¤

01 □BFGC=□DEBA+□ACHI=15+10=25(cm¤ )

∴BC”='2å5=5(cm)

02 AC” : AB”=2 : 3이므로

S™ : S£=AC” ¤ : AB” ¤ =2¤ : 3¤ =4 : 9

S¡=S™+S£이므로

S¡ : S™=(4+9) : 4=13 : 4

| 다른풀이 | AC”=2k, AB”=3k (k>0)라고하면

BC”="√(2k)¤ +(3k)¤ ='∂13k

∴S¡ : S™=BC” ¤ : AC” ¤

=('∂13k)¤ : (2k)¤ =13 : 4


△ABD의넓이구하기

△AEC의넓이구하기

색칠한부분의넓이구하기

40̀`%

40̀`%

20̀`%

❶

❷

❸

(65~112)627(워크)해설 2015.4.24 8:31 AM 페이지73 mac02 T

74 정답과 해설

08 직각삼각형ABQ에서AQ”="5√¤-3¤=4(cm)이므로

PQ”=AQ”-AP”=4-3=1(cm)

이때□PQRS는정사각형이므로넓이는1 cm¤이다.

09 □EFGH는정사각형이므로EH”=6 cm

AH”=BE”=4 cm이므로

AE”=4+6=10(cm)

△ABE에서

AB”="√4¤ +10¤ =2'∂29 (cm)


4_2'∂29=8'∂29 (cm)

10 ① AP”=CR”='2

②△ABP에서BP”="√3¤ -('2)¤ ='7

③△ABP=;2!;_'2_'7=

④ PQ”=BP”-BQ”='7-'2

⑤□PQRS=('7-'2)¤ =7-2'∂14+2=9-2'∂14


11 △ABE™△ECD이므로

AE”=ED”, ∠BAE=∠CED

또, ∠AEB+∠BAE=90˘이므로

∠AEB+∠CED=90˘

∴∠AED=180˘-(∠AEB+∠CED)

=180˘-90˘=90˘

즉, △AED는∠AED=90˘인직각이등변삼각형이므로

AE”=ED”="√2¤ +Ω6¤ ='∂40=2'∂10 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

∴AD”=ø πAE” ¤ +ED” ¤ =øπ(2'∂10)¤ +(2'∂10)¤

∴AD='8å0=4'5 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

따라서△AED의둘레의길이는

AE”+ED”+AD”=2'1å0+2'∂10+4'5

AE”+ED”+AD””=4('5+'∂10) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

12 △ABE™△ECD이므로

AE”=ED”, BE”=CD”='3 cm

△AED는직각이등변삼각형이므로

△AED=;2!;_AE” ¤ =4

∴AE”='8=2'2(cm) (∵AE”>0)

△ABE에서

AB”=øπ(2'2)¤ -('3)¤ ='5 (cm)

따라서사다리꼴ABCD의넓이는

;2!;_(CD”+AB”)_B’C’

=;2!;_('3+'5)_('3+'5)

=4+'∂15 (cm¤ )

'∂14112


AE”, ED”의길이구하기 50̀`%

AD”의길이구하기 30̀`%

삼각형AED의둘레의길이구하기 20̀`%

❶

❷

❸

직각삼각형의판별06 본문 13쪽

01 ②, ④ 02 ③ 03 ;3*; 04 13 05 5

06 2'∂17, 2'∂15 07 15, 3'7

01 ① 2¤ +2¤ +2¤이므로직각삼각형이아니다.

② 3¤ +('7)¤ =4¤이므로직각삼각형이다.

③ ('∂10)¤ +2¤ +4¤이므로직각삼각형이아니다.

④ 3¤ +3¤ =(3'2)¤이므로직각삼각형이다.

⑤ 2¤ +3¤ +4¤이므로직각삼각형이아니다.

따라서직각삼각형인것은②, ④이다.

02 ㄱ. 3¤ +3¤ +4¤이므로직각삼각형이아니다.

ㄴ. ('6)¤ +('7)¤ =('∂13)¤이므로직각삼각형이다.

ㄷ. 4¤ +2¤ =(2'5)¤이므로직각삼각형이다.

ㄹ. 8¤ +11¤ +15¤이므로직각삼각형이아니다.

따라서직각삼각형인것은ㄴ, ㄷ이다.

03 ∠C가직각이려면

(x+3)¤ =5¤ +x¤ , x¤ +6x+9=25+x¤

6x=16 ∴x=;3*;

04 x>5이므로가장긴변의길이는x이다.

따라서x¤ =(x-1)¤ +5¤이므로

x¤ =x¤ -2x+1+25, 2x=26 ∴x=13

05 가장긴변의길이가 n+8이므로

n¤ +(n+7)¤ =(n+8)¤ ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

n¤ +n¤ +14n+49=n¤ +16n+64

n¤ -2n-15=0, (n-5)(n+3)=0

∴n=5또는n=-3 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

그런데n>0이므로n=5 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸


x¤ =2¤ +8¤ =68 ∴x=2'1å7 (∵x>0)


8¤ =x¤ +2¤ , x¤ =60 ∴x=2'1å5 (∵x>0)

⁄, ¤에서x=2'1å7, x=2'1å5


x¤ =9¤ +12¤ =225 ∴x=15 (∵x>0)


12¤ =9¤ +x¤ , x¤ =63 ∴x=3'7 (∵x>0)

⁄, ¤에서x=15, x=3'7


직각삼각형이되기위한조건을이용하여식세우기 40̀`%

n에관한이차방정식풀기 40̀`%

n의값구하기 20̀`%

❶

❷

❸

(65~112)627(워크)해설 2015.4.24 8:31 AM 페이지74 mac02 T


워크북

¤ 0<x<12일때

12¤ >5¤ +x¤ , x¤ <119

∴x<'∂119

그런데x>12-5에서x>7이므로

7<x<'∂119 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

07 ① 2¤ +3¤ <4¤이므로둔각삼각형이다.

② 3¤ +4¤ =5¤이므로직각삼각형이다.

③ ('2)¤ +('3)¤ <('6)¤이므로둔각삼각형이다.

④ ('5)¤ +('6)¤ >3¤이므로예각삼각형이다.

⑤ 4¤ +('1å0)¤ <6¤이므로둔각삼각형이다.

따라서예각삼각형인것은④이다.

08 예각삼각형➔(5, 6, 7), (1, 2, 2), (2, 4, 3'2)

직각삼각형➔(1, 1, '2), (6, 8, 10), (1, '3, 2),

(12, 16, 20), (8, 15, 17)

둔각삼각형➔(1, 2, '6)

따라서둔각삼각형인것은1개이다.

01 삼각형의세변의길이사이의관계에서8-6<x<8+6

∴2<x<14 yy㉠∠A가예각이므로

x¤ <8¤ +6¤에서x¤ <100

그런데x>0이므로0<x<10 yy㉡㉠, ㉡에의하여2<x<10

따라서가능한자연수x의값은3, 4, 5, 6, 7, 8, 9이다.


∴5<x<15 yy㉠∠A가예각이고가장긴변의길이가x이므로

x¤ <5¤ +10¤에서x¤ <125

그런데x>10이므로10<x<5'5 yy㉡㉠, ㉡에의하여10<x<5'5

03 `가장긴변의길이가x+4이므로

(x+4)¤ <6¤ +(x+2)¤

x¤ +8x+16<x¤ +4x+40

4x<24 ∴ 2<x<6 (∵ x>2)


∴ 3<x<21 yy㉠∠C>90˘이므로

x¤ >9¤ +12¤ , x¤ >225

그런데x>0이므로x>15 yy㉡㉠, ㉡에의하여15<x<21

05 삼각형의세변의길이사이의관계에서10-8<a<10+8

∴ 2<a<18 yy㉠∠C>90˘이고, 가장긴변의길이가10 cm이므로

a¤ +8¤ <10¤ , a¤ <36

그런데a>0이므로0<a<6 yy㉡㉠, ㉡에의하여2<a<6

06 ⁄ xæ12일때

x¤ >5¤ +12¤ , x¤ >169

∴x>13

그런데x<5+12에서x<17이므로

13<x<17 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

피타고라스정리와직각삼각형의성질08 본문 15쪽

01 8'5 02 ④ 03 :¡5§: 04 '3 cm 05 cm

06 112 07 ④ 08 ③

4'51233

01 AB” ¤ =BH”_BC”이므로6¤ =x_9 ∴x=4

△ABH에서y="√6¤ -4¤ =2'5

∴xy=4_2'5=8'5

02 BC”="√(4'3)¤ +4¤ ='∂64=8(cm)

AC” ¤ =CH”_CB”이므로

4¤ =CH”_8 ∴CH”=2(cm)

03 점M은직각삼각형ABC의외심이므로

AM”=BM”=CM”

∴AM”=;2!;BC”=;2!;_(8+2)=5 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

△ABC에서AH” ¤ =BH”_CH”이므로

AH” ¤ =8_2=16 ∴AH”=4 (∵AH”>0) ₩₩₩₩❷

△AMH에서AH” ¤ =AQ”_AM”이므로

4¤ =x_5

∴x=:¡5§: ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

삼각형의변과각사이의관계07 본문 14쪽

01 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 02 10<x<5'5 03 2<x<6

04 15<x<21 05 2<a<6

06 13<x<17 또는 7<x<'ƒ119 07 ④ 08 1개

2피타고라스정리와도형


xæ12일때, x의값의범위구하기 50̀`%

0<x<12일때, x의값의범위구하기 50̀`%

❶

❷


AM”의길이구하기 30̀`%

AH”의길이구하기 30̀`%


❶

❷

❸

(65~112)627(워크)해설 2015.4.24 8:31 AM 페이지75 mac02 T

76 정답과 해설

04 BC”="√2¤ +(2'3)¤ =4(cm)

AB”_AC”=BC”_AH”이므로

2_2'3=4_AH”

∴ AH”='3(cm)

05 AC”="√6¤ -4¤ =2'5(cm)

AB”_AC”=BC”_AD”이므로

4_2'5=6_AD”

∴ AD”= (cm)

06 BE” ¤¤ +CD” ¤¤ =BC” ¤¤ +DE” ¤¤

=10¤ +(2'3)¤

=100+12=112

07 DE” ¤¤ +BC” ¤¤ =BE” ¤¤ +CD” ¤¤이므로

4¤ +BC” ¤¤ =7¤ +5¤ , BC” ¤¤ =58

∴ BC”='∂58(cm) (∵BC”>0)

08 AB”="√6¤ +8¤ =10

AB” ¤¤ +DE” ¤¤ =AD” ¤¤ +BE” ¤¤이므로

AD” ¤¤ -DE” ¤¤ =AB” ¤¤ -BE” ¤¤

=10¤ -8¤ =36

4'51233

05 AP” ¤ +CP” ¤ =BP” ¤ +DP” ¤이므로

AP” ¤ +6¤ =BP” ¤ +7¤

∴AP” ¤ -BP” ¤ =49-36=13

06 CE”=x cm라고하면MÚE”=AE”=(9-x) cm

△EMC에서4¤ +x¤ =(9-x)¤

16+x¤ =81-18x+x¤ , 18x=65

∴x=;1^8%;

07 AP”=AD”=10이므로△ABP에서

BP”="√10¤ -8¤ =6

∴PC”=BC”-BP”=10-6=4

PQ”=x라고하면DQ”=x이므로⋯ ⋯

QC”=8-x

△QPC에서

4¤ +(8-x)¤ =x¤ , 16+64-16x+x¤ =x¤

16x=80 ∴x=5

08 ∠FBD=∠DBC (접은각)

=∠FDB (엇각)

이므로FB”=FD”

이때AD”=BC”=BE”이므로

AF”=EF”

FD”=x라고하면

EF”=AF”=12-x ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

또, ED”=CD”=9이므로△EFD에서

(12-x)¤ +9¤ =x¤ ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

144-24x+x¤ +81=x¤

24x=225 ∴ x=:¶8∞: ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

C

A

E

FD

B12

9

피타고라스정리와사각형의성질09 본문 16쪽

01 x=4, y=4'5 02 2'6 cm 03 '7 cm¤

04 ④ 05 ④ 06 ;1^8%; cm 07 5 08 :¶8∞:

01 △AOD가직각삼각형이므로

x="√5¤ -3¤ =4

AB”¤ +CD”¤ =AD”¤ +BC”¤이므로

y¤ +(3'5)¤ =5¤ +10¤ , y¤ =80

∴y=4'5 (∵y>0)

02 △ABO에서AB”="√2¤ +2¤ =2'2(cm)

AB” ¤ +CD” ¤ =AD” ¤ +BC” ¤이므로

(2'2)¤ +5¤ =AD” ¤ +3¤ , AD” ¤ =24

∴AD”=2'6(cm) (∵AD”>0)

03 `AB”¤ +CD”¤ =AD”¤ +BC”¤이므로

5¤ +CD”¤ =('5)¤ +6¤ , CD”¤ =16

∴CD”=4(cm) (∵CD”>0)

△OCD에서OC”="√4¤ -('2)¤ ='∂14(cm)

∴△OCD=;2!;_'2_'∂14='7(cm¤ )

04 AP” ¤ +CP” ¤ =BP” ¤ +DP” ¤이므로

5¤ +3¤ =4¤ +DP” ¤ , DP” ¤ =18

∴DP”=3'2 (∵DP”>0)


FD”=x라하고 EF”의길이를 x의식으로나타내기 40̀`%

△EFD에서 x에관한식세우기 30̀`%


❶

❷

❸

직각삼각형과원10 본문 17쪽

01 ⑤ 02 12 cm 03 8p cm¤ 04 20p cm¤

05 30 cm¤ 06 ⑴풀이참조⑵ 60 cm¤

07 {:™2∞:p-24} cm¤ 08 {;2(;p-9} cm¤

01 △ABC가직각삼각형이므로

P+Q=R ∴ R=10p+8p=18p

02 AB”가지름인반원의넓이는

50p-32p=18p(cm¤ )

따라서이반원의반지름의길이를 r cm라고하면

;2!;_pr¤ =18p, r¤ =36 ∴ r=6 (∵ r>0)

∴ AB”=2r=12(cm)

(65~112)627(워크)해설 2015.4.24 8:31 AM 페이지76 mac02 T


워크북

03 (두반원의넓이의합)=(AB”를지름으로하는반원의넓이)

=;2!;_p_4¤ =8p(cm¤ )

| 다른풀이 |

(두반원의넓이의합)=;2“;_{;2!; BC”}¤ +;2“;_{;2!; AC”}¤

(두반원의넓이의합)=;8“;(BC” ¤+AC” ¤ )

(두반원의넓이의합)=;8“;AB” ¤

(두반원의넓이의합)=;8“;_64=8p(cm¤ )

04 AB”=2BP”=8 cm, AC”=2AR”=4 cm이므로

BC”="√8¤ +4¤ =4'5(cm)

세반원의넓이의합은 BC”를지름으로하는반원의넓이의

2배와같으므로

2_[;2!;_p_(2'5)¤ ]=20p(cm¤ )

05 (색칠한부분의넓이)=△ABC+△ABC=2△ABC

(색칠한부분의넓이)=2_{;2!;_6_5}=30(cm¤ )

06 ⑴ AC”=2b, BC”=2a, AB”=2c라고하면

4b¤ +4a¤ =4c¤ ∴b¤ +a¤ =c¤ yy㉠따라서색칠한부분의넓이는

△ABC+(중간반원의넓이)+(작은반원의넓이)

-(큰반원의넓이)

=;2!;_2a_2b+;2“;b¤ +;2“;a¤ -;2“;c¤

=2ab (∵㉠)

=△ABC ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

⑵ AC”="√17¤ -8¤ ='2∂25=15(cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷


∴(색칠한부분의넓이)=;2!;_8_15=60(cm¤ ) ₩₩₩₩❸

07 △ABC에서AB”="√10¤ -8¤ =6(cm)

∴(색칠한부분의넓이)=;2!;p_5¤ -;2!;_6_8

=:™2∞:p-24(cm¤ )

08 AB”=AC”=x cm라고하면

△ABC에서6¤ =x¤ +x¤

x¤ =18 ∴ x=3'2 (∵ x>0)

∴(색칠한부분의넓이)=;2!;p_3¤ -;2!;_3'2_3'2

=;2(;p-9(cm¤ )


색칠한부분의넓이가△ABC의넓이와같음을설명

하기60̀`%

AC”의길이구하기 20̀`%

색칠한부분의넓이구하기 20̀`%

❶

❷

❸

01 빗변의길이가x+5이므로

(x+5)¤ =12¤ +(x-3)¤

x¤ +10x+25=144+x¤ -6x+9

16x=128

∴x=8

02 오른쪽그림과같이 AG”의연장선

이BC”와만나는점을D라고하면

AD”=3_;2#;=;2(;(cm)

이때점D는직각삼각형ABC의

외심이므로AD”=BD”=CD”

∴BC”=2AD”=2_;2(;=9(cm)

따라서△ABC에서AB”="√9¤ -5¤ =2'∂14(cm)

03 OA”=OC”=x cm라고하면 OD”=(x-2) cm이므로

△CDO에서x¤ =(x-2)¤ +4¤

x¤ =x¤ -4x+4+16, 4x=20

∴x=5

04 AB”=x cm라고하면

AC”="√x¤ +x¤ ='2x(cm)

AD”="√('2x)¤ +x¤ ='3x(cm)

AE”="√('3x)¤ +x¤ =2x(cm)

즉, 2x=4에서x=2이므로AB”=2 cm이다.

05 꼭짓점A에서BC”에내린수선의발을H라고하면

BH”=;2!;_(9-5)=2

△ABH에서AH”="√4¤ -2¤ =2'3

따라서등변사다리꼴ABCD의넓이는　

;2!;_(5+9)_2'3=14'3

06 △AGC≡△HBC(SAS합동)이므로

△ACH=△HBC=△AGC=△LGC=△LMG

∴□ACHI=2△ACH=2△HBC=2△AGC

=2△LGC=2△LMG

=□LMGC

07 AH” ¤ =EH” ¤ -AE” ¤ =40-36=4이므로

AH”='4=2(cm) (∵AH”>0)

08 ⑤ a¤ <b¤ +c¤이면∠A<90˘이다. 그러나△ABC는∠B와

∠C의크기의크기에따라직각삼각형이나둔각삼각형이

될수도있으므로반드시예각삼각형이라고는할수없다.

B CG

A

D

5`cm3`cm


01 ④ 02 ② 03 ② 04 2 cm 05 14'3 06 ④

07 2 cm 08 ⑤ 09 8'3 10 15 11 '∂14 12 5'2

13 14 14 6 15 3'∂13 cm

(65~112)627(워크)해설 2015.4.24 8:31 AM 페이지77 mac02 T

78 정답과 해설

09 △ABD에서

BD”="√4¤ -2¤ =2'3

AB” ¤ =AD”_AC”이므로

4¤ =2_AC” ∴AC”=8

∴△ABC=;2!;_8_2'3=8'3

10 △DBE에서DE”="√1¤ +('2)¤ ='3

삼각형의두변의중점을연결한선분의성질에의하여

AC”=2DE”=2'3

∴AE” ¤ +CD” ¤ =AC” ¤ +DE” ¤ =(2'3)¤ +('3)¤ =15

11 AB” ¤ +CD” ¤ =AD” ¤ +BC” ¤이므로

3¤ +5¤ =AD” ¤ +4¤ , AD” ¤ =18

∴AD”=3'2 (∵AD”>0)

△AOD에서OD”="√(3'2)¤ -2¤ ='∂14

∴△AOD=;2!;_'∂14_2='∂14

12 △PCD에서DP”="√6¤ -5¤ ='∂11

AP” ¤ +CP” ¤ =BP” ¤ +DP” ¤이므로

6¤ +5¤ =BP” ¤ +('∂11)¤ , BP” ¤ =50

∴BP”=5'2 (∵BP”>0)

13 △ABC에서AC”=øπ('∂65)¤ -4¤ =7


∴(색칠한부분의넓이)=;2!;_4_7=14

14 △BCP에서CP”="√15¤ -12¤ =9

∴DP”=12-9=3 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

△BCP와△QDP에서

∠BPC=∠QPD(맞꼭지각), ∠BCP=∠QDP=90˘

이므로△BCPª△QDP (AA닮음) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

따라서CP” : DP”=BC” : QD”이므로

9 : 3=12 : QD”, 9QD”=36

∴ QD”=4 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

∴△DPQ=;2!;_4_3=6 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❹

15 △ABP에서

BP”="√13¤ -12¤ ='∂25=5(cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

AP”=CP”이므로BC”=5+13=18(cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

△ABC에서

AC”="√12¤ +18¤ ='∂468=6'∂13(cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

∴ AQ”=;2!;AC”=3'1å3(cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❹


DP”의길이구하기

△BCPª△QDP임을알기

QD”의길이구하기

△DPQ의넓이구하기

20̀`%

30̀`%

30̀`%

20̀`%

❶

❷

❸

❹

직사각형의대각선의길이11 본문 20쪽

01 8 cm 02 ② 03 56 04 5'6 cm 05 4'2 cm

06 16p`cm¤ 07 ;1̂3); cm 08 :∞5¢:

01 OB”를그으면OB”=10 cm이므로

△OAB에서AB”="√10¤ -6¤ =8(cm)

02 AB”=a cm라고하면AD”=2a cm이므로

a¤ +(2a)¤ =5¤ , 5a¤ =25, a¤ =5

∴a='5 (∵a>0)

따라서직사각형의둘레의길이는

2_('5+2'5)=6'5(cm)

03 "√x¤ +(x+4)¤ =20 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

양변을제곱하면2x¤ +8x+16=400

x¤ +4x-192=0, (x-12)(x+16)=0

x>0이므로x=12 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

따라서가로의길이는12, 세로의길이는16이므로

(둘레의길이)=2_(12+16)=56 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

04 정사각형의한변의길이를x cm라고하면

x= =5'3

따라서정사각형의대각선의길이는

5'3_'2=5'6(cm)

05 원의지름이 8 cm이므로정사각형의한

변의길이를x cm라고하면오른쪽그림

에서

8="√x¤ +x¤

2x¤ =64, x¤ =32

∴x='3å2=4'2 (∵x>0)

8`cmx`cm

x`cm

20'311254

Ⅱ-2｜피타고라스정리의활용

1평면도형에의활용


BP”의길이구하기

BC”의길이구하기

AC”의길이구하기

AQ”의길이구하기

30̀`%

20̀`%

30̀`%

20̀`%

❶

❷

❸

❹


대각선의길이를구하는식세우기 30̀`%


직사각형의둘레의길이구하기 30̀`%

❶

❷

❸

(65~112)627(워크)해설 2015.4.24 8:31 AM 페이지78 mac02 T


워크북

05 ∠B=180˘-120˘=60˘이므로

△ABC는정삼각형이다.

BO”=;2!;BD”=2'3 (cm)이므로

_AC”=2'3

∴AC”=4(cm)

따라서마름모ABCD의넓이는

;2!;_AC”_BD”=;2!;_4_4'3=8'3(cm¤ )

06 꼭짓점A에서BC”에내린수선의

발을 H라고 하면 BH”=3 cm이

므로

AH”="√4¤ -3¤ ='7(cm)

∴△ABC=;2!;_6_'7=3'7(cm¤ )

07 BH”=x cm라고하면CH”=(8-x) cm ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

△ABH에서AH” ¤ =7¤ -x¤ yy㉠△ACH에서AH” ¤ =5¤ -(8-x)¤ yy㉡㉠, ㉡`에서　

7¤ -x¤ =5¤ -(8-x)¤ ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

49-x¤ =25-64+16x-x¤

16x=88

∴x=:¡2¡: ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

∴AH”=æ≠7¤ -{ }¤ = (cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❹

08 BH””=x cm라고하면

CH””=(14-x) cm

△ABH에서©©

AH” ¤ =13¤ -x¤ `̀̀yy㉠△ACH에서

AH” ¤ =15¤ -(14-x)¤ `

yy㉡㉠, ㉡에서

13¤ -x¤ =15¤ -(14-x)¤

169-x¤ =225-196+28x-x¤

28x=140 ∴x=5

∴AH”="√13¤ -5¤ ='1å4å4=12(cm)


;2!;_BC”_AH”=;2!;_14_12=84(cm¤ )

BH

C

A

15`cm13`cm

{14-x}`cmx`cm

5'3112

11122

B H C

A

4`cm

6`cm

4`cm

'3122

2Â3`cmB DO

C

A 120æ60æ

06 정사각형의한변의길이를x cm라고하면

'2x=8'2 ∴x=8

따라서주어진정사각형에내접하는원의지름이 8 cm이므

로구하는원의넓이는

p_4¤ =16p(cm¤ )

07 BD”="√5¤ +12¤ ='∂169=13(cm)

직각삼각형ABD에서

AB”_AD”=AH”_BD”

이므로

5_12=AH”_13

∴AH”=;1^3);(cm)

08 △ABD에서x="√10¤ -8¤ =6

AB”_AD”=AH”_BD”이므로

6_8=y_10 ∴y=:™5¢:

∴x+y=6+:™5¢:=:∞5¢:

정삼각형의높이와넓이12 본문 21쪽

01 4'3 cm 02 3'3 cm¤ 03 ③

04 cm¤ 05 8'3 cm¤ 06 3'7 cm¤

07 cm 08 ③5'312532

3'312538

01 정삼각형의한변의길이를a cm라고하면

(넓이)= a¤ =12'3이므로

a¤ =48 ∴a='4å8=4'3 (∵a>0)

02 AD”= _4=2'3(cm)

∴△ADE= _(2'3)¤ =3'3(cm¤ )

03 정삼각형B의한변의길이가8 cm이므로B의높이는

_8=4'3(cm)

정삼각형 B의높이는정삼각형A의한변의길이와같으므

로A의높이는

_4'3=6(cm)

04 구하는넓이는한변의길이가0.5=;2!;(cm)인정삼각형6개

의넓이의합과같으므로©©

6_[ _{;2!;}2 ]=6_ = (cm¤ )3'3118

'31216

'3124

'3122

'3122

'3124

'3122

'3124


BH”, CH”의길이를한문자의식으로나타내기

AH”의길이를이용하여식세우기

BH”(또는 CH”)의길이구하기

AH”의길이구하기

20̀`%

30̀`%

20̀`%

30̀`%

❶

❷

❸

❹

(65~112)627(워크)해설 2015.4.24 8:31 AM 페이지79 mac02 T

80 정답과 해설

특수한직각삼각형의세변의길이의비13 본문 22쪽

01 ② 02 24'2 cm¤ 03 2'3 04

05 x=6, y=6'3, z=3'6 06 '2+'6

07 (3+3'2+3'3) cm

08 AB”=4'6 cm, BC”=(2'6+6'2) cm

15'31122

01 △ABC에서

AB” : 2='2 : 1 ∴AB”=2'2(cm)

△DBA에서

BD” : 2'2='2 : 1 ∴BD”=4(cm)

02 꼭짓점A에서BC”에내린수선의발을H라고하면△ABH

에서

6 : AH”='2 : 1

∴AH”=3'2(cm)

따라서평행사변형ABCD의넓이는

8_3'2=24'2(cm¤ )

03 △BCD에서

CD” : 12=1 : 2 ∴CD”=6

△ADC에서∠A=60˘이므로

AD” : 6=1 : '3 ∴AD”=2'3

04 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에

서 BC”의 연장선에 내린 수선의

발을 H라고 하면 △ACH에서

∠ACH=60˘이므로

6 : AH”=2 : '3

∴AH”=3'3

따라서삼각형 ABC의넓이는

;2!;_5_3'3=

05 △ABC에서

x : 12=1 : 2 ∴x=6

y : 12='3 : 2 ∴y=6'3

△ACD에서z : y=1 : '2이므로

z : 6'3=1 : '2 ∴z=3'6

06 △ABH에서2 : BH”='2 : 1 ∴BH”='2

∴AH”=BH”='2

△ACH에서'2 : CH”=1 : '3 ∴CH”='6

∴BC”=BH”+CH”='2+'6

07 △ABD에서

AB” : 3=1 : '3 ∴AB”='3(cm)

'3 : AD”=1 : 2 ∴AD”=2'3(cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

△BCD에서　

3 : BC”=1 : '2 ∴BC”=3'2(cm)

CD”=BD”=3 cm ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

15'31122

B C

A

120æ

5

6

H

좌표평면위의두점사이의거리14 본문 23쪽

01 2'∂13 02 ④, ⑤ 03 0, -1 04 '∂34

05 ∠C>90˘인둔각삼각형 06 ㄱ, ㄷ 07 4'∂17

08 ⑤

01 AB”’’’="√(-1-3)¤ +(-2-ç4)¤

AB”’’’="√(-4)¤ +(-6)¤ ='∂52=2'∂13

02 PQ”="√(2-1)¤ +(m-3)¤ ='2이므로

m¤ -6m+10=2, m¤ -6m+8=0

(m-2)(m-4)=0 ∴m=2또는m=4

03 AB”="√(a-3)¤ +(a+4)¤ =5이므로

a¤ -6a+9+a¤ +8a+16=25, 2a¤ +2a=0

a(a+1)=0 ∴a=0또는a=-1

04 오른쪽그림과같이점B와x축에

대하여대칭인점을 B'이라고하

면B'(4, -2)이고

AP”+BP”=AP”+B'P”

æAB'”

따라서AP”+BP”의최솟값은

A’B'”

="√(4-1)¤ +(-2-3)¤

='∂34

x

y

O 1 4

2

-2

3

P

A{1,`3}B{4,`2}

B'{4,`-2}

∴(□ABCD의둘레의길이)

=AB”+BC”+CD”+DA”

='3+3'2+3+2'3

=3+3'2+3'3(cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

08 `꼭짓점 A에서 BC”에내린수선의

발을H라고하면

∠HAC=45˘, ∠HAB=30˘

△AHC에서

AH” : 12=1 : '2

∴AH”=6'2 (cm)

CH”=AH”=6'2 cm

△ABH에서

AB” : 6'2=2 : '3 ∴AB”=4'6 (cm)

BH” : 6'2=1 : '3 ∴BH”=2'6(cm)

∴BC”=BH”+CH”=2'6+6'2(cm)

B C

A

45æH

45æ30æ

12`cm


AB”, AD”의길이구하기 40̀`%

BC”, CD”의길이구하기 40̀`%

□ABCD의둘레의길이구하기 20̀`%

❶

❷

❸

(65~112)627(워크)해설 2015.4.24 8:31 AM 페이지80 mac02 T


워크북

03 AB”=GH”=2 cm

BG”="√3¤ +4¤='∂25=5(cm)

AG”="√3¤+2¤+4¤='∂29(cm)

∴(△ABG의둘레의길이)=2+5+'∂29

=7+'∂ß29(cm)


'3a=3이므로a='3

∴(부피)='3_'3_'3=3'3(cm‹ )


'3a=6이므로a=2'3 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

∴EG”=2'3_'2=2'6(cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

∴△AEG=;2!;_2'6_2'3

∴△AEG=6'2(cm¤ ) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

06 한모서리의길이가6 cm인정육면체의대각선의길이는

DF”="√6¤ +6¤ +6¤ =6'3(cm)

또, 한변의길이가6 cm인정사각형의대각선의길이는

HF”="√6¤ +6¤ =6'2(cm)

한편△DHF에서

DH”_HF”=DF”_H’M”

이므로

6_6'2=6'3_H’M”

∴H’M”=2'6(cm)

07 BD”=BG”=GD”=4'2 cm이므로

△BGD= _(4'2)¤ =8'3(cm¤ )'3124

정사면체, 정사각뿔의높이와부피16 본문 25쪽

01 cm‹ 02 ④ 03 4'2 04 3'2 cm¤

05 ② 06 높이:̀ 2'7 cm, 부피:̀ 96'7 cm‹

07 8'∂34 cm¤ 08 144 cm‹

16'21123

01 정사면체의한모서리의길이를x cm라고하면

x¤ =4'3, x¤ =16 ∴x=4 (∵x>0)

∴(부피)= _4‹ = (cm‹ )

02 정사면체의한모서리의길이를a cm라고하면

a=2'2 ∴a=2'3'6123

16'21123

'21212

'3124


정육면체의한모서리의길이구하기 40̀`%

EG”의길이구하기 30̀`%

△AEG의넓이구하기 30̀`%

❶

❷

❸

05 AB”="√(-2-3)¤ +(1-0)¤ ='2å6

BC”="√(-1+2)¤ +(2-1)¤ ='2

CA”="√(-1-3)¤ +(2-0)¤ ='2å0=2'5

즉, AB” ¤ >BC” ¤ +CA” ¤이므로△ABC는∠C>90˘인둔각

삼각형이다.

06 세점A(1, 5), B(-2, 1), C(2, -2)에대하여

ㄱ, ㄹ. AB”="(√-2√-1√)¤ +√(1- ç5)¤ ='2å5=5

ㄱ. BC”="√(2√+2)¤ +(-2-1)¤ ='2å5=5

ㄱ. CA”="√(1-2)¤ +(5+2)¤ ='5å0=5'2

ㄱ. 즉, △ABC는 AB”=BC”인이등변삼각형이다.

ㄴ, ㄷ. AB” ¤ +BC” ¤ =AC” ¤이므로 △ABC는 ∠B=90˘인

직각삼각형이다.

따라서옳은것은ㄱ, ㄷ이다.

07 y=-x¤ +8x-9=-(x-4)¤ +7이므로꼭짓점 P의좌표

는P(4,7)이고,y축과의교점Q의좌표는Q(0,-9)이다.

∴PQ”="√(0-4)¤ +(-9-7)¤

='∂272

=4'1å7

08 이차함수 y=x¤ -2x+2의 그래프와 직선 y=3x-2의 두

교점의x좌표는x¤ -2x+2=3x-2에서

x¤ -5x+4=0

(x-1)(x-4)=0

∴x=1또는x=4

따라서A(1, 1), B(4, 10)또는A(4, 10), B(1, 1)이므

로

AB”="√(4-1)¤ +(10-1)¤

='∂90=3'∂10

01 GH”=x cm라고하면AG”="2√¤ +x√¤ +1¤ =3(cm)이므로

5+x¤ =9, x¤ =4

∴x=2 (∵x>0)

02 오른쪽 그림과 같이 점 M을

기준으로 입체도형을 반으로

잘라생각하면직육면체

MPBC-RQFG에서

QF”=4 cm

∴MÚF”="4√¤ +4√¤ +2¤ ='3å6=6(cm)

8`cm4`cm

2`cmB

F

D

H

P

Q R

M

G

C

E

A

직육면체의대각선의길이15 본문 24쪽

01 2 cm 02 ③ 03 (7+'∂29) cm 04 3'3 cm‹

05 6'2 cm¤ 06 2'6 cm 07 ⑤

2입체도형에의활용

(65~112)627(워크)해설 2015.4.24 8:31 AM 페이지81 mac02 T

82 정답과 해설

∴(부피)= _(2'3)‹ =2'6(cm‹ )

03 △BCD의높이를 h라고하면점 H는△BCD의무게중심

이므로

DH”=;3@; h

∴h=;2#;DH”=;2#;_4=6

이때정삼각형BCD의한변의길이를a라고하면

h= a이므로

a=6 ∴a=4'3

따라서정사면체의높이는

AH”= a= _4'3=4'2

04 DM”= _6=3'3(cm)

점H는△BCD의무게중심이므로

MH”=;3!;DM”=;3!;_3'3='3(cm)

AH”= _6=2'6(cm)

∴△AMH=;2!;_'3_2'6=3'2(cm¤ )

05 A’M”, MD”는각각한변의길이가 4 cm인정삼각형의높이

이므로

A’M”=MD”= _4=2'3(cm)

즉, △AMD가이등변삼각형이고,

DN”=AN”이므로

DA”⊥MN”

따라서△MDN에서

MN”=øπ(2'3)¤ -2¤

=2'2(cm)

06 꼭짓점 V에서밑면에내린수선

의발을H라고하면

AC”=12'2 cm이므로

AH”=;2!;AC”=6'2(cm)

정사각뿔의높이는△VAH에서

VH”=øπ10¤ -(6'2)¤

=2'7(cm)

∴(부피)=;3!;_12¤ _2'7=96'7(cm‹ )

07 DB”=8'2 cm이므로

DH”=;2!;DB”=4'2(cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

B

C

A

V

12`cm

12`cm

10`cm

DH

M

ND A

2Â3`cm 2Â3`cm

4`cm

'3122

'6123

'3122

'6123

'6123

'3122

'3122

'21212

원뿔의높이와부피17 본문 26쪽

01 12 cm 02 p cm‹ 03 72'3p cm‹ 04 ④

05 128p cm‹ 06 12 cm 07 ③

100'61113

01 밑면의반지름의길이를 r cm라고하면

2pr=10p ∴ r=5

따라서원뿔의높이는

"√13¤ -5¤ =12(cm)

02 생기는입체도형은원뿔이고AC”="√11¤ -5¤ =4'6 (cm)

∴(부피)=;3!;_p_5¤ _4'6= p(cm‹ )

03 △ABO에서 AB” : AO”=2 : '3이므로

AO”= =6'3(cm)

AB” : BO”=2 : 1이므로

BO”=:¡2™:=6(cm)

∴(부피)=;3!;_p_6¤ _6'3=72'3p(cm‹ )

04 밑면의반지름의길이를 r cm라고하면

2pr=6p에서 r=3

∴(높이)="5√¤ -3¤

=4(cm)

5`cm

3`cm

12'31122

100'61113

즉, △VDH에서

VH”=øπ10¤ -(4'2)¤ =2'∂17(cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

∴△VDB=;2!;_8'2_2'∂17

∴△VDB=8'∂34(cm¤ ) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

08 주어진 전개도로 만들어지는 입체도형은오른쪽그림과같은사각뿔

이고

BD”="1ç2√¤ +6¤ ='1∂80

=6'5(cm)

이므로BH”=;2!;BD”=3'5(cm)

△VBH에서

VH”="√9¤ -(3'5)¤ ='3å6=6(cm)

∴(부피)=;3!;_(12_6)_6=144(cm‹ )

B

D

C

AH

V9`cm

6`cm12`cm


DH”의길이구하기 40̀`%

VH”의길이구하기 30̀`%

△VDB의넓이구하기 30̀`%

❶

❷

❸

(65~112)627(워크)해설 2015.4.24 8:31 AM 페이지82 mac02 T


워크북

AD'”="√(4+5+3)¤ +3¤

AD'”='∂153=3'1å7(cm)

04 구하는최단거리는오른쪽전개도에서AB'”의길이와같다.

AA'”=(밑면의둘레의길이)

=2p_6

=12p(cm)

△AA'B'에서

A’B'”="(√12p)√¤ +(√8p)¤="2√08p¤ =4'1å3p(cm)

05 구하는가장짧은실의길이는옆면의전개도를 2개이어붙

인다음그림에서AB'”의길이와같다.

AA'”=2_(밑면의둘레의길이)

=2_(2p_4)=16p(cm)

△AA'B'에서

A’B'”="(√16p)¤√ +(√4p)¤="√272p¤ =4'1å7p(cm)

06 구하는최단거리는오른쪽전개도에서 BB'”의 길이와 같다. 이

때 호의길이는밑면인원의둘

레의길이와같으므로

μ BB'=4p cm

부채꼴의중심각의크기를x˘라고하면

2p_8_;36{0;=4p

∴x=90

따라서구하는최단거리는△ABB'에서

BB”'”=8'2 cm

07 구하는 최단 거리는 오른쪽 전개도에서B’M”의길이와같다.

이때호의길이는밑면인원의둘

레의길이와같으므로

μ BB'=10p cm ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

부채꼴의중심각의크기를x˘라고하면　

2p_20_;36{0;=10p ∴x=90 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

따라서△ABM은직각삼각형이므로구하는최단거리는

B’M”="√10¤ +20¤ ='5∂00

B’M”=10'5(cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

xæ

A

M

B'B

20`cm10`cm

A

B B'

8`cm xæ

A

B

A'

B'

8π`cm 8π`cm

4π`cm

A

B

A'

B'

12π`cm

8π`cm


부채꼴의호의길이구하기 30̀`%

부채꼴의중심각의크기구하기 40̀`%

최단거리구하기 30̀`%

❶

❷

❸

05 부채꼴의호의길이는

2p_10_;3@6*0*;=16p(cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

밑면의반지름의길이를 r cm라고하면

2pr=16p이므로r=8 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

∴(높이)="√10¤ -8¤

=6(cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

따라서원뿔의부피는

;3!;_p_8¤ _6=128p(cm‹ ) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❹

06 수박의중심에서잘린단면까지의거리를x cm라고하면

x="√15¤ -9¤ ='1∂44=12

07 단면인원의반지름의길이는"9√¤ -5¤ ='5å6=2'1å4(cm)

∴(원의넓이)=p_(2'1å4)¤ =56p(cm¤ )

9`cm

15`cmx`cm

8`cm

6`cm10`cm


부채꼴의호의길이구하기

밑면의반지름의길이구하기

원뿔의높이구하기

원뿔의부피구하기

30̀`%

20̀`%

30̀`%

20̀`%

❶

❷

❸

❹

입체도형에서의최단거리18 본문 27쪽

01 '∂29 cm 02 '∂170 cm 03 3'∂17 cm 04 4'∂13p cm

05 4'∂17p cm 06 ⑤ 07 10'5 cm

01 구하는 최단 거리는 오른쪽 전개도에서AG”의길이와같으므

로△ABG에서

AG”="√(4+1)¤ +2¤

='2å9 (cm)

02 구하는최단거리는오른쪽전개도에서AH”의길이와같으므로△AEH에서

AH”="(√4+3√+4)√¤ +7¤

='1∂70 (cm)

03 △ABC에서BC”="√3¤ +4¤ ='2å5=5(cm)

구하는최단거리는오른

쪽전개도에서AD'”의길

이와 같으므로 △ADD'

에서F D'

A A'C

E

B

D

5`cm4`cm 3`cm

3`cm

C

G

A

H

F

E

D

B4`cm

3`cm

4`cm

7`cm

C G

A HD

B

2`cm

4`cm1`cm

(65~112)627(워크)해설 2015.4.24 8:31 AM 페이지83 mac02 T

84 정답과 해설

01 가로의길이를3x cm, 세로의길이를4x cm라고하면

30="√(3x)¤ +(4x)¤ =5x

∴x=6

따라서가로의길이는3_6=18(cm), 세로의길이는

4_6=24(cm)이므로

(둘레의길이)=2_(18+24)=84(cm)

02 BD”는직사각형ABCD의대각선이므로

BD”="√6¤ +8¤ =10(cm)

직각삼각형ABD에서AB” ¤ =BP”_BD”이므로

6¤ =BP”_10 ∴BP”=:¡5•:(cm)

이때△ABP™△CDQ(RHA합동)이므로

DQ”=BP”=:¡5•: cm

∴PQ”=BD”-BP”-DQ”

∴PQ”=10-:¡5•:-:¡5•:=:¡5¢:(cm)

03 정삼각형ABC의한변의길이를a라고하면

△ABC=△PAB+△PBC+△PCA이므로

a¤ =;2!;_a_PD”+;2!;_a_PE”+;2!;_a_PF”

=;2A;_(PD”+PE”+PF”)

=;2A;_4

=2a

'3a¤ -8a=0, '3a{a- }=0

그런데 a>0이므로 a= =

∴AB”=

04 오른쪽그림과같이꼭짓점 A에서 BC”

에내린수선의발을 D라고하면

△ABC는이등변삼각형이므로

BD”=;2!;BC”=4(cm)

△ABD에서

AD”="√10¤ -4¤

=2'∂21(cm)

△ABC=;2!;_8_2'∂21=;2!;_10_BH”이므로

8`cmB

H

D C

A

10`cm

8'3113

8'3113

812'3

812'3

'3124

8'∂21=5_BH” ∴BH”= (cm)

05 △ABD에서∠ABD=30˘+15˘=45˘이므로

AB” : BD”='2 : 1

AB” : 6='2 : 1 ∴AB”=6'2(cm)

△ABC에서AC” :AB”=1 : '3

AC” : 6'2=1 : '3 ∴AC”=2'6(cm)

06 "√(a+ √3-√a)¤ √+(√a- √3+ça)¤ ='∂10이므로

4a¤ -12a+8=0

a¤ -3a+2=0, (a-1)(a-2)=0

∴a=1또는a=2

07 오른쪽 그림과 같이 점 B와

CD”에대하여대칭인점을B'

이라고 하면 AP”+BP”의 최

솟값은AB'”의길이와같다.

따라서△AA'B'에서

AB'”="√9¤ +12¤

=15(cm)

08 △DMQ에서MÚQ”="√3¤ +3¤ =3'2(cm)

△AEN에서AN”="√3¤ +6¤ =3'5(cm)

△AMN에서MÚN”="√3¤ +≈(3'5)¤ =3'6(cm)

∴□MNPQ=3'2_3'6=18'3(cm¤ )

09 정사면체의한모서리의길이를a cm라고하면

a‹ =18'2에서a‹ =216 ∴a=6

따라서정사면체의높이는

a= _6=2'6(cm)

10 오른쪽그림에서AC”="√6¤ +≈6¤ =6'2(cm)

이므로HC”=3'2(cm)

△VHC에서

VC”="√4¤ +(3'2)¤

='∂34 (cm)

△VBC는이등변삼각형이므로꼭짓점V에서BC”에내린

수선의발을H'라고하면

V’’H'”=øπ('3å4)¤ -3¤ ='∂25=5(cm)

∴△VBC=;2!;_6_5=15(cm¤ )

∴(옆넓이)=4_15=60(cm¤ )

11 오른쪽그림의△ABH에서

A’H”="1ç3√¤ -5¤ ='1∂44

=12(cm)

△OBP™△OBH (RHS합동)이므로

BP”=BH”=5 cm

구의반지름의길이를x cm라고하면

13`cm

5`cm

O

A

HB

Px`cm

B

DH H'

C

A

V

6`cm6`cm

4`cm

'6123

'6123

'21212

B

DP

C

A

B'A'

4`cm 5`cm

12`cm

8'∂2111255

본문28~29쪽학교시험미리보기

01 ⑤ 02 :¡5¢: cm 03 04 ④ 05 ①

06 ④, ⑤ 07 ③ 08 18'3 cm¤ 09 ④ 10 ④

11 :¡3º: cm 12 2'1å3 cm 13 2'∂274

14 6'3 cm 15 24'7p cm‹

8'3113

(65~112)627(워크)해설 2015.4.24 8:31 AM 페이지84 mac02 T

Ⅲ.삼각비 85

워크북

삼각비의뜻19

Ⅲ-1｜삼각비

1삼각비

본문 30~32쪽

Ⅲ 삼각비

01 ⑤ 02 ② 03 ② 04 ③ 05 8 06 ④

07 4'5 08 ② 09 10 ⑤ 11 12 ①

13 ① 14 ① 15 -4, 2, 4, 2, ;2!; 16 ④

17 ① 18 ④ 19 5

'∂10125510

10'21255253

01 BC”="√3¤ -1¤ ='8=2'2이므로

① sinA= ② sinB=;3!;

③ cosA=;3!; ④ cosB=

⑤ tanA=2'2


02 cosA=;cB;

① sinA=;cA; ② sinB=;cB;

③ cosB=;cA; ④ tanA=;bA;

⑤ tanB=;aB;

따라서cosA와같은값을갖는삼각비는② sinB이다.

03 AC”=øπ('5)¤ +2¤ ='9=3이므로

sinA=;3@;, tanC=

∴ sinA_tanC=;3@;_ =

04 sinB= = =;4#;이므로

BC”=8(cm)

∴AB”="√8¤ -6¤ ='∂28=2'7(cm)

05 cosC= =;4};=;2!;이므로

y=2 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

∴x=AB”="√4¤ -2¤ ='∂12=2'3 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

∴'3x+y='3_2'3+2=6+2=8 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

BC”1255AC”

61255BC”

AC”1255BC”

'5123

'5122

'5122

2'2113

2'2113


y의값구하기 40̀%


'3x+y의값구하기 20̀%

❶

❷

❸

△APO에서

x¤ +(13-5)¤ =(12-x)¤

x¤ +64=144-24x+x¤ , 24x=80

∴x=:¡3º:

12 구하는최단거리는오른쪽전개도에서 AG”의 길이와 같으므로

△AEG에서

AG”="√(4+2)¤ +4¤

=2'1å3(cm)

13 △ABC에서

AC”="√13¤ -5¤ ='∂144=12

꼭짓점A에서출발하여

BE”와 CF”를 차례로 지나

꼭짓점D까지갈때지나는

면의전개도는오른쪽그림

과같다.

따라서구하는최단거리는△ADD'에서

A’D'”="√(13+5+12)¤ +14¤ ='1∂09å6=2'∂274

14 정삼각형의외심은무게중심과일치하므로오른쪽그림에서BO”의길이는

△ABC의높이의 ;3@;이다.

∴(높이)=6_;2#;=9(cm) ₩₩₩₩₩❶

이때△ABC의한변의길이를a cm

라고하면

a=9 ∴a=6'3 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

15 (부채꼴의호의길이)=2p_8_;4#;=12p(cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

밑면인원의반지름의길이를 r cm라고하면

2pr=12p ∴ r=6 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

모선의길이가8 cm이므로

(높이)="8√¤ -6¤ ='∂28=2'7(cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

∴(부피)=;3!;_p_6¤ _2'7

∴(부피)=24'7p(cm‹ ) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❹

'3122

B C

A

O

6`cm

A B

E

C

D

A'

D'F

14

13 125

4`cm

4`cm

2`cmA

E F G

CB


부채꼴의호의길이구하기

밑면인원의반지름의길이구하기

원뿔의높이구하기

원뿔의부피구하기

30̀`%

20̀`%

30̀`%

20̀`%

❶

❷

❸

❹


정삼각형의높이구하기 60̀`%

정삼각형의한변의길이구하기 40̀`%

❶

❷

(65~112)627(워크)해설 2015.4.24 8:31 AM 페이지85 mac02 T

86 정답과 해설

06 tanB= =1이므로AB”=AC”

이때BC”=12이므로

BC”=øπAB” ¤ +AC” ¤ =øπ2AB” ¤ ='2_AB”=12

∴AB”=AC”= =6'2

∴AB”+AC”=12'2

07 cosA= = =;3@;이므로AC”=4

∴BC”="√6¤ -4¤ ='∂20=2'5

따라서직각삼각형ABC의넓이는

;2!;_BC”_AC”=;2!;_2'5_4=4'5

08 sinB= 이므로 오른쪽 그림과

같이∠A=90˘, BC”=7, AC”=2'6

인직각삼각형ABC를생각할수있

다. 이때

AB”=øπ7¤ -(2'6)¤ ='∂25=5

∴cosB=;7%;

09 cosA=;3!;이므로오른쪽그림과같이

∠B=90˘, AB”=1, AC”=3인직각삼각형

ABC를생각할수있다. ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

∴BC”="√3¤ -1¤ ='8

=2'2

따라서직각삼각형ABC에서

sinA= , cosC= ,

tanA=2'2 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

∴ sinA+cosC+tanA= + +2'2

∴ sinA+cosC+tanA= ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

10 tanB=;1•5;이므로 오른쪽 그림과

같이 ∠C=90˘, AC”=8, BC”=15

인 직각삼각형 ABC를 생각할 수

있다.

이때AB”="√15¤ +8¤ ='∂289=17이므로

① sinB=;1•7; ② cosB=;1!7%;

③ sinA=;1!7%; ④ cosA=;1•7;

⑤ tanA=;;¡8∞;;


A

B C

8

15

10'2125253

2'212553

2'212553

2'212553

2'212553

A B

C

1

3

C

B A

72Â6

2'612557

AC”12556

AC”1255AB”

1212'2

AC”1255AB”


조건을만족시키는직각삼각형만들기 30̀%

sinA, cosC, tanA의값각각구하기 각20̀%

sinA+cosC+tanA의값구하기 10̀%

❶

❷

❸

11 △ABC와△ADE에서

∠C=∠AED=90˘, ∠A는공통이므로

△ABCª△ADE (AA닮음)

∴∠ABC=∠ADE=∠x

이때 tanB= = =3이므로AC”=6

∴AB”="√6¤ +2¤ ='∂40=2'∂10

∴cosx=cosB= =


BC”="√8¤ +6¤ ='∂100=10

△ABC와△EBD에서

∠A=∠BED=90˘, ∠B는공통이므로

△ABCª△EBD (AA닮음)

∴∠C=∠BDE=∠x

따라서 sinx=sinC=;1•0;=;5$;이고

cosx=cosC=;1§0;=;5#;이므로

sinx-cosx=;5$;-;5#;=;5!;


BC”="√6¤ +4¤ ='∂52=2'∂13

△ABC와△HBA에서

∠BAC=∠BHA=90˘, ∠B는공통이므로

△ABCª△HBA (AA닮음)

∴∠C=∠BAH=∠x

같은방법으로△ABCª△HAC (AA닮음)이므로

∠B=∠CAH=∠y

따라서 sinx=sinC= = 이고

cosy=cosB= = 이므로

sinx+cosy= + =

14 직각삼각형ABC에서AB”=4, BC”=AD”=8이므로

AC”="√4¤ +8¤ ='∂80=4'5

△ABC와△DEA에서

∠ABC=∠DEA=90˘, ∠ACB=∠DAE (엇각)이므로

△ABCª△DEA (AA닮음)

∴∠CAB=∠ADE=∠x

따라서 sinx= = 이고

cosx= = 이므로

sinx-cosx= - ='51555

'51555

2'5115

'51555

41154'5

2'5115

81154'5

4'∂131255213

2'∂131255213

2'∂131255213

2'∂131255213

4125522'∂13

2'∂131255213

4125522'∂13

'∂10125510

2125522'∂10

AC”12552

AC”1255BC”

(65~112)627(워크)해설 2015.4.24 8:31 AM 페이지86 mac02 T

Ⅲ.삼각비 87

워크북

따라서x¤ +y¤ ={ }¤ +{ }¤ =;3!;+;2!;=;6%;이므로

6(x¤ +y¤ )=6_;6%;=5 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

'21552

'31553




6(x¤ +y¤ )의값구하기 20̀%

❶

❷

❸

특수한각의삼각비의값20

2특수한각의삼각비의값

본문 33~34쪽

01 ④ 02 ③ 03 '3-2 04 ② 05 ① 06 3'3

07 ⑤ 08 ③ 09 4('3+1) 10 ③ 11 ④

12 ①

01 ㄱ. sin45˘+cos45˘= + ='2

ㄴ. sin30˘-tan 45˘=;2!;-1=-;2!;

ㄷ. sin60˘_cos30˘= _ =;4#;

ㄹ. cos 60˘÷tan60˘=;2!;÷'3=

따라서옳은것은ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

02 2 sin60˘-'2cos 45˘+tan 30˘

=2_ -'2_ +

= -1

03 (분자)=tan 45˘_sin30˘-cos 30˘

(분자)=1_;2!;- =

(분모)=cos60˘+tan 60˘_cos60˘

(분자)=;2!;+'3_;2!;=

∴

= ÷

= =

= ='3-2

04 이차방정식2x¤ -3x+1=0에서

(2x-1)(x-1)=0

4-2'3515511-2

(1-'3)¤15511555551-3

1-'3155121+'3

1+'3155122

1-'3155122

tan 45˘_sin30˘-cos 30˘1551111111111cos60˘+tan 60˘_cos 60˘

1+'3155122

1-'3155122

'31552

4'3155253

'31553

'21552

'31552

'31556

'31552

'31552

'21552

'21552

15 직선 x-2y+4=0이 x축, y축과만나는점을각각A, B라

고하면

A( , 0), B(0, )

따라서직각삼각형AOB에서OA”= , OB”=

∴ tana= =;4@;=

16 오른쪽그림과같이직선2x-3y-6=0이 x축, y축과만나

는점을각각A, B라고하면

∠OAB=∠a (맞꼭지각)이고

A(3, 0), B(0, -2)

∴OA”=3, OB”=2

따라서AB”="√3¤ +2¤ ='∂13이므로

sina+cosa= + =

17 오른쪽그림과같이직선3x-2y+12=0이 x축, y축과만나


A(-4, 0), B(0, 6)

∴OA”=4, OB”=6


∠B=∠a이므로

tana= =;6$;=;3@;

18 △AEG는∠AEG=90˘인직각삼각형이고

AE”=DH”=4 cm

EG”="√3¤ +5¤ ='∂34(cm)

AG”=øπ4¤ +('∂34)¤ ='∂50=5'2(cm)

따라서직각삼각형AEG에서

sinx= = = ,

cosx= = =

∴ sinx+cosx=

19 △DFH는∠DHF=90˘인직각삼각형이고

DH”=6, FH”=6'2, DF”=6'3

즉, 직각삼각형DFH에서

x=sin(∠DFH)= = = ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

또, △BFG는∠BFG=90˘인직각삼각형이고

BF”=FG”=6, BG”=6'2

즉, 직각삼각형BFG에서

y=sin(∠BGF)= = = ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷'21552

6116'2

BF”11BG”

'31553

6116'3

DH”11DF”

2'2+'∂171111255

'∂17115

'∂34115'2

EG”11AG”

2'2115

4115'2

AE”11AG”

OA”11OB”

a

3x-2y+12=0

6

xO

y

A

B

-4

5'∂1311213

311'∂13

211'∂13

a3

-2

2x-3y-6=0

xO

y

B

A

;2!;OB”11OA”

24

2-4

(65~112)627(워크)해설 2015.4.24 8:31 AM 페이지87 mac02 T

88 정답과 해설

∴x=;2!;또는x=1

그런데이이차방정식의두근이 sinA, tanB이므로

sinA=;2!;, tanB=1 (∵ sinA<tanB)

0˘<A<90˘, 0˘<B<90˘에서∠A=30˘, ∠B=45˘

∴∠B-∠A=15˘

05 △ABD에서

sin45˘= =

∴AD”=8_ =4'2

△ACD에서 sin30˘= =;2!;

∴AC”=4'2_2=8'2

06 △ABC에서 tan 30˘= = 이므로

BC”=3_ =3'3 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

△BCD에서 tan 45˘= =1이므로

CD”=3'3 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

07 △BCD에서 sin60˘= =

∴BD”=4_ =2'3

△ABD에서 sin45˘= =

∴AD”=2'3_ ='6

08 △ABC에서

sin 30˘= =;2!; ∴BC”=12_;2!;=6

cos30˘= = ∴AB”=12_ =6'3

이때점D가변AB의중점이므로

BD”=;2!;AB”=3'3

따라서△BCD에서

CD”=øπ6¤ +(3'3)¤ ='∂63=3'7

09 △ADC에서 sin60˘= = 이므로

AD”=4 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

△ABC에서 sin30˘= =;2!;이므로2'3155555AB”

'31552

2'3155555AD”

'31552

'31552

AB”15555512

BC”15555512

'21552

'21552

AD”1555552'3

'31552

'31552

BD”1555554

3'3155555CD”

3155'3

'31553

3155555BC”

4'2155555AC”

'21552

'21552

AD”1555558




❶

❷

AB”=2'3_2=4'3 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

∴AB”+AD”=4'3+4=4('3+1) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

10 일차방정식3x-3y+6=0에서

3y=3x+6 ∴y=x+2

따라서일차방정식의그래프의기울기가 1이고, ∠a는이직

선이x축의양의방향과이루는각의크기이므로

tana=1

11 3x-'3y+12=0에서y='3x+4'3

이직선이x축의양의방향과이루는예각의크기를∠a라고

하면0˘<a<90˘이고

tana=(직선의기울기)='3 ∴∠a=60˘

12 주어진직선의기울기는 tan 30˘= 이므로직선의방정

식을y= x+b로놓고x='3, y=2를대입하면

2= _'3+b ∴b=1

따라서구하는직선의방정식은

y= x+1 ∴x-'3y+'3=0'31553

'31553

'31553

'31553

임의의예각의삼각비의값21

3임의의예각의삼각비의값

본문 35쪽

01 ②, ④ 02 2.6786 03 ② 04 ⑤ 05 30˘

06 ⑤ 07 tanx-cosx

01 OA”=OD”=1, ∠OAB=∠b이므로

① sina= =AB” ② sin b= =OB”

③ cosa= =OB” ④ cos b= =AB”

⑤ tana= =CD”

02 ∠OAB=180˘-(90˘+61˘)=29˘이므로

cos29˘= =AB”=0.8746

tan 61˘= =CD”=1.8040

∴cos29˘+tan 61˘=2.6786

03 사각형ABDC에서∠OBA=∠ODC=90˘이므로

AB”∥CD”

CD”155555OC”

AB”155555OA”

CD”155555OD”

AB”155555OA”

OB”155555OA”

OB”155555OA”

AB”155555OA”


AD”의길이구하기

AB”의길이구하기

AB”+AD”의값구하기

40̀%

40̀%

20̀%

❶

❷

❸

(65~112)627(워크)해설 2015.4.28 5:42 PM 페이지88 mac02 T

Ⅲ.삼각비 89

워크북

02 ∠x=15˘이므로

sin(x-2˘)_cos4x+tan 3x-cosx

=sin(15˘-2˘)_cos(4_15˘)+tan(3_15˘)-cos15˘

=sin13˘_cos60˘+tan 45˘-cos15˘

=0.2250_;2!;+1-0.9659=0.1466

03 sin43˘=0.6820이므로∠x=43˘

cos 42˘=0.7431이므로∠y=42˘

∴∠x+∠y=43˘+42˘=85˘

04 sin85˘=0.9962에서∠x=85˘이므로

cosx=cos85˘=0.0872

tan 87˘=19.0811에서∠y=87˘이므로

siny=sin87˘=0.9986

cos 84˘=0.1045에서∠z=84˘이므로

tan z=tan 84˘=9.5144

∴cosx-siny+tan z=0.0872-0.9986+9.5144

=8.603

05 직각삼각형 ABC에서 ∠C=180˘-(90˘+27˘)=63˘이므

로

sin 63˘= = =0.8910

∴AB”=100_0.8910=89.1

cos 63˘= = =0.4540

∴BC”=100_0.4540=45.4

∴AB”+BC”=89.1+45.4=134.5

06 직각삼각형ABC에서∠C=180˘-(90˘+40˘)=50˘ ₩₩❶

sin 50˘= =;1”0;=0.7660

∴x=10_0.7660=7.66

cos 50˘= =;1’0;=0.6428

∴y=10_0.6428=6.428 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

∴x-y=7.66-6.428=1.232 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

AC”155555BC”

AB”155555BC”

BC”155555100

BC”155555AC”

AB”155555100

AB”155555AC”


∠C의크기구하기 20̀%

x, y의값구하기 각30̀%

x-y의값구하기 20̀%

❶

❷

❸


01 ⑤ 02 ④ 03 ④ 04 ④ 05 ② 06 ①, ⑤

07 9 08 ③ 09 ④ 10 ⑤ 11 ③ 12 ;;™7¢;;

13 27

즉, 사각형ABDC는사다리꼴이고OA”=OD”=1이므로

sin42˘= =AB”=0.7

cos42˘= =OB”=0.7

tan 42˘= =CD”=0.9

BD”=OD”-OB”=1-0.7=0.3

∴□ABDC=;2!;_(AB”+CD”)_BD”

∴□ABDC=;2!;_(0.7+0.9)_0.3=0.24

04 cos 0˘+sin90˘-cos60˘_sin0˘+2_tan 0˘

=1+1-;2!;_0+2_0=2

05 sin90˘_tan 2x-cos0˘_tan 30˘= 에서

1_tan 2x-1_ =

∴ tan 2x='3 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

이때0˘…x<45˘에서0˘…2x<90˘ ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

따라서2∠x=60˘이므로∠x=30˘ ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

06 ① tan 0˘=0 ② cos15˘<cos 0˘=1

③ sin33˘<sin90˘=1 ④ sin78˘<sin90˘=1

⑤ tan 50˘>tan 45˘=1

따라서가장큰것은⑤ tan 50˘이다.

07 45˘<x<90˘에서 <sinx<1, tanx>1이므로

sinx<tanx ∴ sinx-tanx<0

또, <sinx<1, 0<cosx< 이므로

cosx<sinx ∴cosx-sinx<0

∴øπ(sinx-tanx)¤ +øπ(cosx-sinx)¤

=-(sinx-tanx)-(cosx-sinx)

=-sinx+tanx-cosx+sinx

=tanx-cosx

'21552

'21552

'21552

2'31555553

'31553

2'31555553

CD”155555OD”

OB”155555OA”

AB”155555OA”


주어진식간단히하기 40̀%

2∠x의범위구하기 20̀%


❶

❷

❸

삼각비의표22 본문 36쪽

01 1.9153 02 0.1466 03 85˘ 04 8.603

05 134.5 06 1.232

01 sin29˘+cos26˘+tan 28˘

=0.4848+0.8988+0.5317=1.9153

(65~112)627(워크)해설 2015.4.24 8:31 AM 페이지89 mac02 T

90 정답과 해설

01 AB” : AC””=2 : 1이므로AB”=2a, AC”=a (a>0)라고하면

BC”="√(2a)¤ +a¤ ="ç5a¤ ='5a

①, ④ sinB=cosC= = = =

②, ③ sinC=cosB= = = =

⑤ tanC= = =2


02 △ABCª△CBDª△CDE

ª△DBE (AA닮음)

이므로오른쪽그림에서

∠BAC=∠BCD=∠DCE

=∠BDE=∠x

ㄱ. △ABC에서 =sinx

ㄴ. △DBE에서 =sinx

ㄷ. △CBD에서 =cosx

ㄹ. △CDE에서 =sinx

따라서 sinx를나타내는것은ㄱ, ㄴ, ㄹ이다.

03 오른쪽그림과같이직선4x-3y+12=0이 x축, y축과 만나


A(-3, 0), B(0, 4)이므로

AB”="√3¤ +4¤ =5


① sina=;5$; ② cosa=;5#;

③ sin b=;5#; ④ cosb=;5$;

⑤ tana=;3$;, tanb=;4#;이므로 tana+tan b

따라서옳은것은④이다.

04 △CEG는∠CGE=90˘인직각삼각형이고

CG”=4, EG”="√4¤ +6¤ =2'∂13,

CE”="√4¤ +6¤ +4¤ =2'∂17

따라서 sinx= = = 이고

cosy= = = 이므로

sinx+cos y= + =

05 2 sin60˘+'3cos45˘_tan 0˘+sin90˘+tan 60˘

=2_ +'3_ _0+1+'3=2'3+1'21552

'31552

4'∂171555555517

2'∂171555555517

2'∂171555555517

2'∂171555555517

4155555552'∂17

CG”155555CE”

2'∂171555555517

4155555552'∂17

CG”155555CE”

xO

y4

-34x-3y+12=0

B

A

b

a

DE”155555CD”

CD”155555BC”

BE”155555BD”

BC”155555AB”

A

B

D

E Cx

x

x

2a155a

AB”155555AC”

2'51555555

2155'5

2a155555'5a

AB”155555BC”

'51555

1155'5

a155555'5a

AC”155555BC”

06 ① = ÷;2!;='3

② sin30˘+cos 60˘+tan 45˘=;2!;+;2!;+1=2

③ tan 60˘_sin30˘-cos 30˘='3_;2!;- =0

④ sin90˘+cos 0˘+tan 45˘=1+1+1=3

⑤ cos45˘_sin45˘-cos60˘_sin90˘

⑤= _ -;2!;_1=;2!;-;2!;=0

따라서옳은것은①, ⑤이다.

07 △ACD에서cos 30˘= =

∴AC”=12_ =6'3

△ABC에서cos 30˘= =

∴AB”=6'3_ =9

08 △ABD에서 tan 60˘= ='3

∴AB”=2'3

이때∠ACB=45˘이므로BC”=AB”=2'3

∴CD”=BC”-BD”=2'3-2

따라서삼각형ADC에서 CD”를밑변으로생각하면높이는

AB”이므로구하는넓이는

△ADC=;2!;_CD”_AB”

△ADC=;2!;_(2'3-2)_2'3=6-2'3

09 ①,⑤ OA”=OE”=(사분원의반지름의길이)=1이므로

∴A(0, 1), E(1, 0)

② BC”=sin37˘, OC”=cos37˘이므로

∴B(cos 37˘, sin37˘)

③두점B, C의x좌표는같으므로C(cos 37˘, 0)

④ DE”=tan37˘이므로D(1, tan 37˘)

따라서옳은것은④이다.

10 0˘<x<45˘일때, 0<sinx< , <cosx<1

따라서 sinx<cosx이므로

|sinx-cosx|+øπ(cosx-sinx)¤

=-(sinx-cosx)+(cosx-sinx)

=-sinx+cosx+cosx-sinx

=2(cosx-sinx)

11 cosB= = =0.3090이므로∠B=72˘30.9155555100

BC”155555AB”

'21552

'21552

AB”1555552

'31552

'31552

AB”1555556'3

'31552

'31552

AC”15555512

'21552

'21552

'31552

'31552

cos30˘15511sin30˘

(65~112)627(워크)해설 2015.4.24 8:31 AM 페이지90 mac02 T

Ⅲ.삼각비 91

워크북

02 x= = =;;£7º;; ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

y= = =10 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

∴7x+y=7_;;£7º;;+10=40 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

03 직각삼각형BCD에서

BC”=4cos 40˘=4_0.8=3.2

CD”=4 sin 40˘=4_0.6=2.4

따라서직육면체의부피는

BC”_CD”_BF”=3.2_2.4_5=38.4

04 AC”=10 tan42˘=10_0.90=9(m)

05 AB”=20 tan33˘=20_0.6=12(m)

AC”= = =25(m)

따라서나무의높이는

AB”+AC”=12+25=37(m)

06 BC”=DE”=10 m이므로△ABC에서

AC”=BC” tan 47˘=10_1.07=10.7(m)

이때CE”=BD”=1.6 m이므로이건물의높이는

AC”+CE”=10.7+1.6=12.3(m)

07 오른쪽그림과같이점B에서OA”에

내린수선의발을 H라고하면구하

는높이는AH”의길이이다.

이때OB”=OA”=50 cm이므로

△OBH에서

OH”=OB” cos60˘=50_;2!;=25(cm)

∴AH”=OA”-OH”=50-25=25(cm)

08 점P에서QR”에내린수선의발을H라고하면

PH”=300 m이므로△PHQ에서

QH”=PH” tan 30˘

QH=300_ =100'3(m) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

또, △PRH에서

RH”=PH” tan 45˘

=300_1=300(m) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

따라서건물B의높이는

QH”+RH”=100'3+300=100(3+'3)(m) ₩₩₩₩₩❸

'31553

BH

O

A

60æ50`cm

50`cm

20155550.8

2015555155cos 33˘

91550.9

91551255sin 65˘

91552.1

91551255tan65˘


QH”의길이구하기 40̀%

RH”의길이구하기 40̀%

건물 B의높이구하기 20̀%

❶

❷

❸




7x+y의값구하기 20̀%

❶

❷

❸

12 sinA=;1!3@;이므로오른쪽그림과같이

∠B=90˘, AC”=13, BC”=12인 직각삼각

형ABC를생각할수있다. ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

∴AB”="√13¤ -12¤ ='∂25=5

즉, 직각삼각형ABC에서

cosA=;1∞3;, tanA=;;¡5™;; ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

∴ =

= =;1@3$;÷;1¶3;

=;1@3$;_:¡7£:=;;™7¢;; ₩₩₩₩❸

13 △BCD에서

tan 60˘= ='3 ∴BC”=6'3 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

△ABC에서

sin 45˘= = ∴AB”=3'6

cos45˘= = ∴AC”=3'6 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

따라서삼각형ABC의넓이는

;2!;_AB”_AC”=;2!;_3'6_3'6=27 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

'21552

AC”1555556'3

'21552

AB”1555556'3

BC”1555556

;1@3$;155555;1¶3;

;1∞3;_;;¡5™;;+;1!3@;1555551111255;1!3@;-;1∞3;

cosA_tanA+sinA15555511111111sinA-cosA

A B

C

1213


조건을만족시키는직각삼각형만들기 30̀%

cosA, tanA의값구하기 각20̀%

주어진식의값구하기 30̀%

❶

❷

❸



AB”, AC”의길이구하기 각20̀%

삼각형ABC의넓이구하기 30̀%

❶

❷

❸

삼각형의변의길이23

Ⅲ-2｜삼각비의활용

1거리구하기

본문 39~40쪽

01 ①, ④ 02 40 03 ③ 04 ④ 05 ③ 06 ②

07 ③ 08 100(3+'3) m 09 ③ 10 ② 11 ④

12 ③

01 ∠A=90˘-35˘=55˘이므로

AB”=4 sin35˘=4cos 55˘

BC”=4cos35˘=4 sin55˘

(65~112)627(워크)해설 2015.4.24 8:31 AM 페이지91 mac02 T

92 정답과 해설


BC”에내린수선의발을H라고하

면△ACH에서

AH”=AC” sin30˘

AH=6_;2!;=3

CH”=AC” cos 30˘=6_ =3'3

∴BH”=BC”-CH”=4'3-3'3='3

따라서직각삼각형ABH에서

AB”=øπAH” ¤ +BH” ¤

=øπ3¤ +('3)¤ ='∂12=2'3



면△ABH에서

AH”=AB” sin60˘

AH=4_ =2'3

BH”=AB” cos60˘=4_;2!;=2

∴CH”=BC”-BH”=6-2=4

따라서직각삼각형ACH에서

AC”=øπAH” ¤ +CH” ¤

AC=øπ(2'3)¤ +4¤ ='∂28=2'7

11 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 C에서

AB”에내린수선의발을 H라고하

면직각삼각형BCH에서

CH”=BC” sin45˘

CH=8_ =4'2

이때∠CAH=180˘-(45˘+75˘)=60˘이므로직각삼각형

ACH에서

AC”= =4'2÷ =


BC”의연장선에내린수선의발을

H라고하면

∠ABH=180˘-135˘=45˘이므

로△ABH에서

AH”=AB” sin45˘

AH=6'2_ =6

BH”=AB” cos45˘=6'2_ =6

∴CH”=BC”+BH”=4+6=10

따라서직각삼각형ACH에서

AC”=øπAH” ¤ +CH” ¤

AC="√6¤ +10¤ ='∂136=2'∂34

'21552

'21552

A

BH C45æ

135æ

4

6Â2

8'61555553

'31552

CH”1555551sin60˘

'21552

A

B C

H

45æ 75æ

60æ

8

'31552

A

B CH

D

60æ

6

4

'31552

A

B CH

6

30æ

4Â3

삼각형의높이24 본문 41쪽

01 ② 02 3(3-'3) 03 4('3+1)

04 4(3+'3) 05 ⑤ 06 10'3 m

01 △ABH에서BH”=AH” tanx

△ACH에서CH”=AH” tan y

이때BC”=BH”+CH”이므로

a=AH” tanx+AH” tan y

=AH”(tanx+tan y)

∴AH”=

따라서옳은것은②이다.

02 △ABH에서∠BAH=45˘이므로

BH”=AH” tan45˘=AH” ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

△ACH에서∠CAH=30˘이므로

CH”=AH” tan 30˘= _AH” ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷


6=AH”+ _AH”= _AH”

∴AH”= =3(3-'3) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

03 AH”=h라고하면△ACH에서

∠ACH=∠CAH=45˘이므로

CH”=AH” tan 45˘=h

△ABH에서∠BAH=60˘이므로

BH”=AH” tan60˘='3h

이때BC”=BH”-CH”이므로

8='3h-h=('3-1)h

∴h= =4('3+1)


BC”의 연장선에 내린 수선의 발을

H라고하면∠ABH=60˘

AH”=h라고하면


CH”=AH” tan 45˘=h


BH”=AH” tan 30˘= h

이때BC”=CH”-BH”이므로

4=h- h= h3-'311255

3'31553

'31553

A

B CH 4

45æ120æ

h

60æ

45æ

30æ

8551515'3-1

A

B HC8

30æ 135æ

60æ

45æ

45æ

h

181113+'3

3+'31551253

'31553

'31553

a11111255tanx+tan y


BH”를AH”의식으로나타내기 40̀%

CH”를AH”의식으로나타내기 40̀%


❶

❷

❸

(65~112)627(워크)해설 2015.4.24 8:31 AM 페이지92 mac02 T

Ⅲ.삼각비 93

워크북

04 △ABC=;2!;_AB”_AC”_sin(180˘-A)

△ABD=;2!;_5_11_ = (cm¤ )

그런데AD”가∠BAC의이등분선이므로

∠BAD=∠CAD=60˘

△ABD=;2!;_AB”_AD”_sin 60˘

△ABD=;2!;_5_AD”_

△ABD= _AD”(cm¤ )

△ACD=;2!;_AC”_AD”_sin60˘

△ABD=;2!;_11_AD”_

△ABD= _AD”(cm¤ )

이때△ABC=△ABD+△ACD이므로

= _AD”+ _AD”=4'3_AD”

∴AD”=;1%6%;(cm)

05 △ABC=;2!;_AB”_AC”_sinA

△ABC=;2!;_AB”_6_ =12'2(cm¤ )

따라서 AB”=12'2이므로AB”=8 cm

06 △ABC=;2!;_AB”_BC”_sinB

△ABC=;2!;_9_6_sinB

△ABC=27 sinB(cm¤ ) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

이때△ABC의넓이가 cm¤이므로

27 sinB= ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

따라서 sinB= 이고, △ABC가예각삼각형이므로

∠B=60˘ ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

07 90˘<C<180˘이므로

△ABC=;2!;_AC”_BC”_sin(180˘-C)

△ABC=;2!;_10_7_sin(180˘-C)

△ABC=35 sin(180˘-C)= (cm¤ )

즉, sin(180˘-C)= 이고0˘<180˘-C<90˘이므로

180˘-∠C=45˘ ∴∠C=135˘

'21552

35'211552

'31552

27'3155555252

27'3155555252

3'21555552

'21552

11'355515524

5'35551554

55'31255554

11'355515524

'31552

5'35551554

'31552

55'31255554

'31552


△ABC의넓이를B를사용하여나타내기 40̀%

sinB에대한식세우기 20̀%

∠B의크기구하기 40̀%

❶

❷

❸

삼각형의넓이25

2넓이구하기

본문 42~43쪽

01 ② 02 ④ 03 ① 04 ③ 05 ⑤ 06 60˘

07 135˘ 08 6 cm 09 39 10 54'3 cm¤

01 △ABC=;2!;_AB”_BC”_sinB

△ABC=;2!;_4_7_ =7'3(cm¤ )

02 △ABC=;2!;_AB”_BC”_sin(180˘-B)

△ABC=;2!;_8_9_ =18'3(cm¤ )

03 △ABC=;2!;_AC”_BC”_sinC

△ABC=;2!;_9_10_ = (cm¤ )

이때점G는△ABC의무게중심이므로

△GAB=;3!;△ABC=;3!;_ = (cm¤ )15'3155152

45'3155152

45'3155152

'31552

'31552

'31552

∴h= =2(3+'3)


;2!;_BC”_AH”=;2!;_4_2(3+'3)=4(3+'3)

05 오른쪽그림과같이꼭짓점A

에서 BC”에내린수선의발을

H라고하면구하는동상의높

이는AH”의길이와같다.


BH”=AH” tan60˘='3_AH”


CH”=AH” tan 45˘=AH”_1=AH”


40='3_AH”+AH”, 40=('3+1)_AH”

∴AH”= =20('3-1)(m)

06 빌딩의높이를 AB”=h m라고하자.

△APB에서∠PAB=60˘이므로

PB”=AB” tan 60˘='3h(m)

△AQB에서∠QAB=30˘이므로

QB”=AB” tan 30˘= h(m)

이때PQ”=PB”-QB”이므로

20='3h- h= h

∴h= =10'3(m)601555552'3

2'31555553

'31553

'31553

40155155'3+1

A

B C30æ 45æ

45æ60æ

40`m H

1211555553-'3

(65~112)627(워크)해설 2015.4.24 8:31 AM 페이지93 mac02 T

94 정답과 해설

08 ∠B=180˘-(40˘+20˘)=120˘ ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

∴△ABC=;2!;_AB”_BC”_sin(180˘-B)

∴△ABC=;2!;_AB”_12_sin60˘

∴△ABC=3'3_AB”=18'3(cm¤ ) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

∴AB”=6(cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

09 △BCD에서BD”="√8¤ +6¤ =10이므로

△ABD=;2!;_6_10_sin30˘=15

△BCD=;2!;_8_6=24

∴□ABCD=15+24=39

10 오른쪽그림과같이정육각형의가장긴세 대각선에 의해 정육각형은 한 변의

길이가 6 cm인정삼각형 6개로나누어

진다. 이때정삼각형의한내각의크기

는60˘이고, sin 60˘= 이므로

(정삼각형한개의넓이)

=;2!;_6_6_ =9'3(cm¤ )

따라서정육각형의넓이는

6_(정삼각형한개의넓이)=6_9'3=54'3(cm¤ )

'31552

'31552

6`cm

6`cm

60æ



△ABC의넓이를이용하여AB”에대한식세우기 50̀%


❶

❷

❸

사각형의넓이26 본문 43~44쪽

01 ② 02 ⑤ 03 ④ 04 ① 05 8'6 cm

06 ③ 07 ④ 08 ④ 09 ④

01 ∠B=180˘-120˘=60˘이므로

□ABCD=AB”_BC”_sin 60˘

□ABCD=4_5_ =10'3(cm¤ )

02 BC”=AD”=x cm라고하면

□ABCD=AB”_AD”_sin 45˘

□ABCD=6_x_ =3'2x=24'2(cm¤ )

∴x=8(cm)

03 △AMC=;2!;△ABC=;2!;_;2!;□ABCD

△AMC=;4!;□ABCD=;4!;_AD”_CD”_sin 60˘

△AMC=;4!;_8_9_ =9'3(cm¤ )'31552

'21552

'31552

04 □ABCD=AD”_CD”_sin 45˘

□ABCD=4_4_ =8'2(cm¤ )

05 마름모ABCD의한변의길이를x cm라고하면

□ABCD=AB”_AD”_sin(180˘-150˘)

□ABCD=x_x_;2!;=;2!;x¤ (cm¤ ) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

그런데마름모ABCD의넓이가12 cm¤이므로

;2!;x¤ =12, x¤ =24

∴x='∂24=2'6 (∵x>0) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

따라서마름모ABCD의둘레의길이는

4x=4_2'6=8'6(cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

06 □ABCD=;2!;_AC”_BD”_sin45˘=;2!;_AC”_12_

□ABCD=3'2_AC”=30'2(cm¤ )

∴AC”=10(cm)

07 등변사다리꼴의두대각선의길이는서로같으므로

□ABCD=;2!;_AC”_AC”_sin90˘

□ABCD=;2!;AC” ¤ =32(cm¤ )

AC” ¤ =64 ∴AC”=8(cm) (∵AC”>0)

08 두대각선이이루는예각의크기를∠a라고하면

□ABCD=;2!;_AC”_BD”_sina

□ABCD=;2!;_8_6_sina=12'3 (cm¤ )

따라서 sina= 이고0˘<a<90˘이므로

∠a=60˘

09 직각삼각형ADH에서

AD”= =6÷

AD=6'2 (cm)

직각삼각형DCH'에서

CD”= =8÷ =8'2 (cm)

겹쳐진부분인□ABCD는평행사변형이므로

□ABCD=AD”_CD”_sin45˘

□ABCD=6'2_8'2_ =48'2 (cm¤ )'21552

'215552

8155125sin 45˘

'215552

6155125sin 45˘

6`cm

C H'

A D

H

B 45æ 45æ

45æ45æ

'31552

'21552

'21552


마름모ABCD의넓이를식으로나타내기 40̀%

마름모ABCD의한변의길이구하기 40̀%

마름모ABCD의둘레의길이구하기 20̀%

❶

❷

❸

(65~112)627(워크)해설 2015.4.24 8:31 AM 페이지94 mac02 T

Ⅲ.삼각비 95

워크북

07 ∠BAD=∠CAD=∠x라고하면

△ABD=;2!;_AB”_AD”_sinx

△ABD=;2!;_6_AD”_sinx

△ABD=3AD” sinx=18(cm¤ )

∴AD” sinx=6

△ACD=;2!;_AC”_AD”_sinx

△ABD=;2!;_9_AD”_sinx

△ABD=;2(;_AD” sinx

△ABD=;2(;_6=27(cm¤ )

∴△ABC=△ABD+△ACD

=18+27=45(cm¤ )

| 다른풀이 | AD”가∠A의이등분선이므로

BD” : CD”=AB” : AC”=6 : 9=2 : 3

이때△ABD의밑변을BD”, △ACD의밑변을CD”라고하

면두삼각형의높이가같으므로

△ABD :△ACD=BD” : CD”=2 : 3

∴△ACD=18_;2#;=27(cm¤ )

∴△ABC=△ABD+△ACD

=18+27=45(cm¤ )

08 △ABC에서

AB”=BC” cos60˘=12_;2!;=6

AC”=BC” sin60˘=12_ =6'3

∴□ABCD

=△ABC+△ACD

=;2!;_AB”_AC”+;2!;_AC”_CD”_sin30˘

=;2!;_6_6'3+;2!;_6'3_8_;2!;

=18'3+12'3=30'3

09 ∠OBC=30˘이므로∠ABC=60˘

이때OE” : ED”=1 : 2이므로

△AED=;3@;△OAD

△AED=;3@;_;4!;□ABCD

△AED=;6!;□ABCD

△AED=;6!;_ABÚ”_BC”_sin60˘

△AED=;6!;_8_8_ = (cm¤ )

10 ∠AOB :∠BOC=1 : 2이므로

∠AOB=180˘_ =60˘11515

1+2

16'3155555553

'31552

'31552


01 ④ 02 ⑤ 03 20'6 m 04 ⑤

05 30('3-1) m 06 ④ 07 ③ 08 ② 09 ①

10 18'3 cm¤ 11 100(3'2-'6) m

12 12(4p-3'3) cm¤

01 AC”=BC” cos28˘=10_0.88=8.8(cm)

02 AB”=DE”=100 m이므로△ABC에서

BC”=AB” tan 64˘=100_2.05=205(m)

이때BE”=1.8 m이므로이건물의높이는

BC”+BE”=205+1.8=206.8(m)

03 △BCD에서

BC”=CD” sin45˘=120_ =60'2(m)

따라서△ACB에서산의높이는

AB”=BC” tan 30˘=60'2_ =20'6(m)

04 △ADC에서DC”= =2

AD”= =2÷ =2'2

△ABD에서∠ABD=∠BAD=22.5˘이므로

BD”=AD”=2'2

∴ tan22.5˘= =

∴ tan22.5˘= ='2-1

05 △ABC에서∠CAB=60˘이므로

BC”=AB” tan60˘='3_AB”

△ABD에서∠DAB=45˘이므로

BD”=AB” tan45˘=AB”_1=AB”

이때CD”=BC”+BD”이므로

60='3_AB”+AB”

('3+1)_AB”=60

∴AB”= =30('3-1)(m)

06 지면으로부터기구까지의높이는CD”의길이와같다.

△ACD에서∠ADC=58˘이므로

AC”=CD” tan 58˘

△BCD에서∠BDC=33˘이므로

BC”=CD” tan 33˘

이때AB”=AC”-BC”이므로

100=CD” tan 58˘-CD” tan 33˘

=CD” (tan 58˘-tan33˘)

∴CD”= (m)10015521511115

tan 58˘-tan 33˘

6015512'3+1

1111'2+1

211122'2+2

AC”11BC”

'21552

AC”1113sin 45˘

AC”1113tan45˘

'31553

'21552

(65~112)627(워크)해설 2015.4.24 8:31 AM 페이지95 mac02 T

96 정답과 해설

∴□ABCD=;2!;_AC”_BD”_sin60˘

□ABCD=;2!;_9_8_

□ABCD=18'3(cm¤ )

11 오른쪽그림과같이점 C에서 AB”

에내린수선의발을 H, AC”의길

이를xm라고하자.

△ACH에서

AH”=xcos45˘= x (m)

₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

CH”=x sin45˘= x (m)이므로△BCH에서

BH”= = CH”

BH= _ x= x (m) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

이때AB”=AH”+BH”이므로

200= x+ x, x=200

∴x= =100(3'2-'6)

따라서두지점A, C사이의거리는100(3'2-'6)m이다.₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

12 △OAB에서OA”=OB”이므로∠OBA=∠OAB=30˘

∴∠AOB=180˘-(30˘+30˘)=120˘ ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

원의반지름의길이가12 cm이므로부채꼴OAB의넓이는

p_12¤ _;3!6@0);=48p(cm¤ ) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

또, △OAB의넓이는

;2!;_OA”_OB”_sin(180˘-120˘)

=;2!;_12_12_sin60˘

=72_ =36'3(cm¤ ) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

따라서색칠한활꼴의넓이는

(부채꼴OAB의넓이)-△OAB

=48p-36'3

=12(4p-3'3)(cm¤ ) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❹

'31552

1200155112553'2+'6

3'2+'615511256

'61556

'21552

'61556

'21552

'31553

'31553

CH”15511tan 60˘

'21552

'21552

C

A B45æ 60æ

200`m

x`m

H

'31552


∠AOB의크기구하기

부채꼴 OAB의넓이구하기

△OAB의넓이구하기

활꼴의넓이구하기

20̀%

20̀%

40̀%

20̀%

❶

❷

❸

❹


AH”의길이를AC”의길이로나타내기

BH”의길이를AC”의길이로나타내기

두지점A, C 사이의거리구하기

40̀%

40̀%

20̀%

❶

❷

❸

현의수직이등분선과현의길이27

Ⅳ-1｜원과직선

1원과현

본문 47~48쪽

Ⅳ 원의성질

01 ③ 02 8'2 cm 03 24 cm 04 ④

05 12 cm 06 :™6∞: cm 07 '∂30 cm

08 :¡3¶: cm 09 10 cm 10 9 cm

11 8'3 cm 12 4'3 cm 13 4'3 cm¤

14 ④ 15 70˘ 16 36'3 cm¤

01 점O에서AB”에내린수선의발을M이라고하면△OMB는

직각삼각형이므로

MB”="5√¤ -3¤ =4(cm)

원의중심에서현에내린수선은그현을이등분하므로

x=2_4=8

02 오른쪽그림의△OMB에서

B’M”="√6¤ -2¤ ='3å2

=4'2(cm)

∴AB”=2B’M”

=8'2(cm)

03 오른쪽그림의△OAM에서

OA”=15 cm, O’M”=9 cm

이므로

AM”="1√5√¤ -9¤ =12(cm)

∴AB”=2A’M”=24(cm)

04 OM”=CM”=6 cm

AB”⊥OC”이므로AM”=BM”="1√2¤ -6¤ =6'3 (cm)

∴AB”=2AM”=12'3(cm)

05 MÚN”=MÚC”+CN”=;2!;AC”+;2!; CB”

=;2!;(AC”+CB”)=;2!;AB”

=;2!;_24=12(cm)


BD”=AD”=4 cm이고, OB”=OC”=r cm이므로

△ODB에서

r¤ =(r-3)¤ +4¤ , r¤=r¤ -6r+9+16

6r=25 ∴ r=:™6∞:

A BM

O15`cm 9`cm

A B

O

M

6`cm2`cm

(65~112)627(워크)해설 2015.4.24 8:31 AM 페이지96 mac02 T


워크북

r¤ ={;2R;}2 +6¤ , ;4#;r¤ =36

r¤ =48 ∴ r=4'3 (∵ r>0)



면△OAM에서

OA”=4 cm, OM”=2 cm

이므로

AM”="√4¤ -2¤ ='ß12

=2'3(cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

∴AB”=2AM”=2_2'3=4'3(cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

∴△OAB=;2!;_AB”_OM”

∴△ABO=;2!;_4'3_2=4'3(cm¤ ) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸


따라서△ABC는이등변삼각형이므로

∠x=;2!;(180˘-40˘)=70˘

15 □BHOM에서

∠B=360˘-(125˘+90˘+90˘)=55˘

OM”=ON”이므로AB”=AC”

∴∠C=∠B=55˘

∴∠A=180˘-(55˘+55˘)=70˘

16 OL”=O’M”=O’N”이므로 AB”=BC”=CA”

즉, △ABC는정삼각형이다.

이때CA”=2CN”=2_6=12(cm)

따라서삼각형ABC는한변의길이가 12 cm인정삼각형이

므로넓이는

_12¤ =36'3(cm¤ )'31254

M

O

A B

4`cm

원의접선의길이28

2원과접선

본문 49쪽

01 6 cm 02 ② 03 7 cm 04 3'2å1 05 24 cm 06 5 cm

07 ④ 08 40 cm¤

01 ∠OAP=90˘이므로

∠POA=180˘-(90˘+45˘)=45˘

따라서△OPA는직각이등변삼각형이므로

OA”=PA”=6 cm


AM”의길이구하기 50̀%


△OAB의넓이구하기 20̀%

❶

❷

❸

07 AD”=CD”="√5¤ -2¤ ='∂21(cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

BD”=OB”-OD”=5-2=3(cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

∴AB”=øπAD”¤ +BD”¤

∴AB”="√('∂21)¤ +3¤ ='∂30(cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

08 오른쪽 그림에서 CM”은 AB”의 수직

이등분선이므로원의중심을지난다.

∴A’M”=:¡2º:=5(cm)

원의반지름의길이를 r cm라고하면

OM”=(r-3) cm이므로

△AOM에서

r¤ =(r-3)¤ +5¤ , r¤ =r¤ -6r+9+25

6r=34 ∴r=:¡3¶:

09 오른쪽그림에서 C’M”은 AB”의수직

이등분선이므로 C’M”의연장선은원

의중심을지난다.

∴AM”=:¡2™:=6(cm)

OA”=r cm라고하면

O’M”=(r-2) cm이므로

△AOM에서

(r-2)¤ +6¤ =r¤ , r¤ -4r+4+36=r¤

4r=40 ∴ r=10

10 오른쪽그림에서CM”은AB”의수직

이등분선이므로 C’M”의연장선은원

의중심을지난다.

AM”=:£2º:=15(cm)이므로

△AOM에서

OM”="√17¤ -15¤ =8(cm)

∴CM”=OC”-OM”=17-8=9(cm)

11 `오른쪽그림과같이원의중심 O에서


면O’M”=MÚC”=4 cm이므로

△OAM에서

A’M”="√8√¤ -4¤ =4'3(cm)

∴AB”=2A’M”=8'3(cm)



면 B’M”=:¡2™:=6(cm)

원의 반지름의 길이를 r cm라고 하

면O’M”=;2R; cm이므로△OBM에서

O

A

M

B6`cm

O

C

A BM

C

MA B

O17`cm

15`cm

C

M

A

B

O

r`cm

C

MA B3`cm

r`cmO

5`cm


AD”의길이구하기 30%

BD”의길이구하기 30%

AB”의길이구하기 40%

❶

❷

❸

(65~112)627(워크)해설 2015.4.24 8:31 AM 페이지97 mac02 T

98 정답과 해설

02 PT”가원O의접선이므로∠PTO=90˘이다.

즉, PT”="6√¤ -3¤ =3'3(cm)

∴△OPT=;2!;_3'3_3

= (cm¤ )

03 PA”=PB”이므로

∠PAB=∠PBA= =60˘

즉, △PAB는정삼각형이므로AB”=7 cm

04 P’B’=PA”=øπPO” ¤ π-πOA” ¤

PB”="√(6+√9)√¤ ç-6¤ ='∂189=3'2å1

05 AD”, AF”, B’C’가원O의접선이므로

BD”=BE”=3 cm,

AD”=AF”=9+3=12(cm)

CE”=CF” ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

∴(△ABC의둘레의길이)=AB”+BC”+AC”

∴(△ABC의둘레의길이)=AB”+BE”+CE”+AC”

∴(△ABC의둘레의길이)=AB”+BD”+CF”+AC”

∴(△ABC의둘레의길이)=AD”+AF”=2AD”

∴(△ABC의둘레의길이)=2_12

∴(△ABC의둘레의길이)=24(cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

06 AF”=AD”=8 cm이므로

CF”=CE”=8-6=2(cm)

BD”=BE”=8-5=3(cm)

∴BC”=BE”+CE”=3+2=5(cm)



하면△DFC에서

DC”=DE”+EC”

=D’A”+CB”

=5+4=9(cm)

∴CF”="9√¤ -1¤ ='8å0=4'5(cm)

∴AB”=CF”=4'5 cm



하면△DFC에서

DC”=DE”+EC”

=DA”+CB”

=8+2=10(cm)

∴CF”="1√0¤ -≈6Ω¤ ='∂64=8(cm)

∴□ABCD=;2!;_(8+2)_8=40(cm¤ )

F

OA B

C

D

E

2`cm

8`cm

5`cm 4`cm

OA B

D

FC

E

180˘-60˘1115552352

9'3112


BD”=BE”, AD”=AF”, CE”=CF”임을알기

△ABC의둘레의길이구하기

50̀%

50̀%

❶

❷

삼각형의내접원29 본문 50쪽

01 13 cm 02 ③ 03 ;2%; cm 04 (6-p) cm¤

05 9p`cm¤ 06 ④ 07 24`cm¤

01 CE”=CD”=14-8=6(cm)

BF”=BD”=8 cm이므로

AE”=AF”=15-8=7(cm)

∴AC”=AE”+CE”=7+6=13(cm)

02 AD”=AF”=2 cm, CF”=CE”=6-2=4(cm)이므로

BE”=BD”=x cm라고하면

AB”=(x+2) cm, BC”=(x+4) cm

AB”+BC”+CA”=24 cm에서

(x+2)+(x+4)+6=24

2x=12 ∴x=6

03 AD”=AF”=x cm라고하면

BD”=BE”=(6-x) cm, CF”=CE”=(8-x) cm

BC”=BE”+CE”이므로

(6-x)+(8-x)=9, 2x=5

∴x=;2%;

04 오른쪽 그림과 같이 내접원과세변의접점을 D, E, F

라하고, 내접원의반지름의

길이를 r cm라고하면

□OECF는정사각형이므로

CE”=CF”=r cm

AD”=AF”=(3-r) cm

BD”=BE”=(4-r) cm

AD”+BD”=AB”이므로

(3-r)+(4-r)="√3¤ +≈4Ω¤

7-2r=5 ∴ r=1


△ABC-(원O의넓이)

=;2!;_4_3-p_1¤ =6-p(cm¤ )

05 OD”=r cm라고하면

AD”=AF”=r cm이므로

AB”=(r+5) cm

AC”=(r+12) cm


(r+5)¤ +(r+12)¤ =17¤

2r¤ +34r-120=0, r¤ +17r-60=0

(r+20)(r-3)=0 ∴ r=3 (∵ r>0)

∴(원O의넓이)=9p(cm¤ )

A

B CO

E

FD

5`cm

r`cm

12`cm

O F

A

D

EB C

{3-r}cm

{4-r}cm

{4-r}cm

{3-r}cm

r`cm

r`cm

(65~112)627(워크)해설 2015.4.24 8:31 AM 페이지98 mac02 T


워크북

05 △DIC에서DI”="√5¤ +12¤ =13(cm)

FI”=EI”=x cm라고하면

DH”=DE”=(13-x) cm

AH”=BF”=6 cm이므로

AD”=6+(13-x)=19-x(cm)

BC”=6+x+5=11+x(cm)

따라서AD”=BC”에서

19-x=11+x, 2x=8 ∴x=4

06 AH”=BF”=AE”=3 cm이므로

DH”=CF”=9-3=6(cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

PG”=PH”=x cm라고하면

PC”=(6+x) cm, PD”=(6-x) cm

△PCD에서6¤ +(6-x)¤ =(6+x)¤ ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

24x=36 ∴x=;2#; ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

∴PD”=6-;2#;=;2(;(cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❹


01 ① 02 :¡1§6ª:p 03 128˘ 04 ③ 05 ②

06 24pcm¤ 07 ⑤ 08 10cm 09 12cm 10 ④

11 9 cm 12 ;5(; cm 13 4 cm

01 AM”=BM”이므로AB”⊥OC”

OA”=x cm라고하면O’M”=(x-3) cm

이므로△OAM에서

x¤ =4¤ +(x-3)¤

6x=25 ∴x=:™6∞:

02 구하는원의중심을 O, 반지름의길

이를 r라고하면

OH”=r-2, BH”=3, OB”=r

이므로△OBH에서

(r-2)¤ +3¤ =r¤

4r=13 ∴ r=:¡4£:

따라서구하는원의넓이는

p_{:¡4£:}¤ =:¡1§6ª:p

03 O’M”=ON”이므로AB”=AC”

따라서△ABC는AB”=AC”인이등변삼각형이므로

OHA B

3

r

2


DH”, CF”의길이구하기

PG”=PH”=x cm로놓고피타고라스정리이용하기

x의값구하기

PD”의길이구하기

20̀%

40̀%

20̀%

20̀%

❶

❷

❸

❹

06 BD”=BF”=x cm라고하면

AB”=(x+6) cm, BC”=(x+3) cm

△ABC에서 (x+3)¤ +9¤ =(x+6)¤ , 6x=54

∴ x=9

따라서BC”=9+3=12(cm)이므로

△ABC=;2!;_12_9=54(cm¤ )

07 BD”=BE”=x cm라고하면오

른쪽그림의△ABC에서

(x+2)¤ +(12-x)¤ =10¤₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

x¤ -10x+24=0

(x-4)(x-6)=0

∴x=4또는x=6 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

즉, AC”=8 cm, BC”=6 cm 또는AC”=6 cm, BC”=8 cm

이므로

△ABC=;2!;_8_6=24(cm¤ ) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

A

B C

D

E

FO

{10-x}cm{10-x}cm

x`cm

x`cm 2`cm2`cm


BD”=BE”=x cm로놓고피타고라스정리이용하기

x의값구하기

△ABC의넓이구하기

40̀%

30̀%

30̀%

❶

❷

❸

원의외접사각형30 본문 51쪽

01 5 cm 02 ② 03 76 cm¤ 04 72 cm¤

05 4 cm 06 ;2(; cm

01 원O가□ABCD의내접원이므로

5+9=8+CD”

∴CD”=14-8=6(cm)

∴CE”=6-1=5(cm)

02 △DBC가직각삼각형이므로

BC”="√10√¤ çΩ-6¤ ='ß∂å64 =8(cm)

원O가□ABCD의내접원이므로□ABCD에서

AB”+CD”=AD”+BC”, AB”+6=5+8

∴AB”=13-6=7(cm)


AD”+BC”=AB”+CD”=11+8=19(cm)

∴□ABCD=;2!;_19_8=76(cm¤ )


AD”+BC”=AB”+CD”=18(cm)

∴□ABCD=;2!;_18_8=72(cm¤ )

(65~112)627(워크)해설 2015.4.24 8:31 AM 페이지99 mac02 T

100 정답과 해설

∠B=∠C=;2!;_(180˘-76˘)=52˘

□OMBH에서

∠MOH=360˘-(90˘+90˘+52˘)=128˘

04 큰 원의 반지름의 길이를 R cm, 작은

원의 반지름의 길이를 r cm라고 하면

색칠한부분의넓이는

(pR¤ -pr¤ ) cm¤

그런데오른쪽그림에서

"√R¤ -r¤ =3이므로구하는넓이는

pR¤ -pr¤ =p(R¤ -r¤ )

pR¤ -pr¤ =9p(cm¤ )

05 OT”=x cm라고하면 OP”=(x+4) cm

∠OTP=90˘이므로△OPT에서

(x+4)¤ =6¤ +x¤ , 8x=20 ∴x=;2%;

06 ∠AOB=360˘-(90˘+60˘+90˘)=120˘

이므로색칠한부채꼴의중심각의크기는

360˘-120˘=240˘


p_6¤ _;3@6$0);=24p(cm¤ )

07 ① AE”=AB”=4 cm

② AD”=AE”+ED”=AB”+DC”

=4+9=13(cm)

③점A에서CD”에내린수선의

발을H라고하면

△DAH에서

D’H”=9-4=5(cm)이므로

AH”="√13¤ -5¤

='∂144=12(cm)

∴BC”=AH”=12 cm

④△ABO와△AEO에서

∠B=∠AEO=90˘, AO”는공통, BO”=EO”이므로

△ABO™△AEO (RHS합동)

∴∠AOB=∠AOE

마찬가지로△DOC™△DOE이므로

∠DOC=∠DOE

∴∠AOD=∠AOE+∠DOE

∴∠AOD=;2!;∠BOE+;2!;∠COE

∴∠AOD=;2!;(∠BOE+∠COE)=90˘

⑤ OC”=6 cm, CD”=9 cm이므로

OC” : CD”+1 : '3 ∴∠DOC+60˘


08 AD”=3x cm, BD”=2x cm(x>0)라고하면 CF”=CE”에서

14-3x=12-2x ∴x=2

따라서AD”=6 cm, BD”=4 cm이므로

AB”=AD”+BD”=6+4=10(cm)

O

A

B C

9`cm4`cm

D

EH

A B6`cm

O

r`cmR`cm

09 CE”=CF”=x cm라고하면

AC”=(2+x) cm, BC”=(3+x) cm

△ABC에서

5¤ +(2+x)¤ =(3+x)¤

25+4+4x+x¤ =9+6x+x¤

2x=20 ∴x=10

∴AC”=2+10=12(cm)

10 `점C와접점E를이으면CE”=4이므로△BCE에서

BE”="√5¤ -4¤ =3

또, EF”=DF”=5-x이므로

BF”=BE”+EF”=3+(5-x)=8-x

△ABF에서x¤ +4¤ =(8-x)¤

16x=48⋯ ⋯∴x=3

11 AB”=3a cm, CD”=5a cm(a>0)라고하면


3a+5a=14+10

8a=24⋯ ⋯∴a=3

∴AB”=3_3=9(cm)

| 다른풀이 | AB”+CD”=AD”+BC”=14+10=24(cm)

∴AB”=24_ =9(cm)

12 AE”=BE”=;2^;=3(cm)

AH”=AE”, BF”=BE”이므로

DH”=CF”=8-3=5(cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

HI”=x cm라고하면

ID”=(5-x) cm

IC”=(x+5) cm ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

이므로 △ICD에서

6¤ +(5-x)¤ =(5+x)¤

36+25-10x+x¤ =25+10x+x¤ , 20x=36

∴x=;5(;

∴HI”=;5(; cm ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

13 △APB에서

AB”="√10¤ -8¤ ='∂36=6(cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

△APB의둘레의길이가 10+8+6=24(cm)이므로

PD”=;2!;_24=12(cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

∴BD”=12-8=4(cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

31153+5


DH”의길이구하기

ID”, IC”의길이를HIÚ의길이에관한식으로나타내기

HI”의길이구하기

30̀%

40̀%

30̀%

❶

❷

❸


AB”의길이구하기

PD”의길이구하기

BD”의길이구하기

30̀%

50̀%

20̀%

❶

❷

❸

(65~112)627(워크)해설 2015.4.24 8:31 AM 페이지100 mac02 T


워크북


∠BAD=180˘-(42˘+90˘)=48˘

10 CD”를그으면AC”가지름이므로

∠ADC=90˘

∴∠BDC=90˘-15˘=75˘ ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

따라서∠BOC=2∠BDC=150˘이므로 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

μBC=12p_;3!6%0);=5p(cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

원주각의크기와호의길이32 본문 55~56쪽

01 30˘ 02 ① 03 30˘ 04 144˘ 05 90˘ 06 45˘

07 30˘ 08 35˘ 09 ⑤ 10 35˘

01 ∠AQP는 μAP에대한원주각, ∠PAB는 μPB에대한원주각이므로

∠AQP=∠PAB=30˘

02 AC”를그으면

∠ACB=180˘_;5!;=36˘

∠CAD=180˘_;9!;=20˘

따라서△APC에서

∠APB=36˘+20˘=56˘

03 μAB :`μCD=∠ADB :∠CAD=3 : 1

∠ADB+∠CAD=∠AEB=60˘이므로

∠ADB=60˘_;4#;=45˘

∠CAD=60˘_;4!;=15˘

∠CBD=∠CAD=15˘이므로△DBF에서

∠F=∠ADB-∠CBD

=45˘-15˘=30˘

04 ∠A :∠B :∠C=μBC : μCA : μAB=5 : 3 : 2이므로

∠A+∠B=180˘_;1∞0;+180˘_;1£0;

∠A+∠B=90˘+54˘=144˘

05 μAB : μBC : μCD :`μDA=2 : 3 : 3 : 4이므로

∠x=(μBAD에대한원주각)

∠x=180˘_ =90˘2+4155511512

2+3+3+4


∠BDC의크기구하기 30̀%

∠BOC의크기구하기 30̀%

호 BC의길이구하기 40̀%

❶

❷

❸

원주각과중심각31

Ⅳ-2｜원주각

1원주각

본문 54~55쪽

01 105˘ 02 ② 03 ⑤ 04 84˘ 05 ③ 06 ⑤

07 70˘ 08 ⑤ 09 48˘ 10 5p cm

01 ∠x=;2!;_(360˘-150˘)=105˘

02 ∠AOB=2∠APB=2_70˘=140˘

△OAB에서 OA”=OB”이므로

∠OAB=;2!;_(180˘-140˘)=20˘

03 ∠AOB=2∠AEB=2_30˘=60˘이므로

∠BOC=150˘-60˘=90˘

∴∠BDC=;2!;_90˘=45˘

04 오른쪽그림과같이QB”를그으면

∠x=∠AQB+∠CQB

=∠APB+∠CRB

=54˘+30˘=84˘

05 ∠BAC=∠x이므로△PAB에서

∠x+45˘=85˘

∴∠x=85˘-45˘=40˘

06 △BCP에서

∠ABC=20˘+40˘=60˘

∴∠ADC=∠ABC=60˘

07 △DFB에서∠ADB=60˘-50˘=10˘ ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

μAB에대한원주각이므로

∠ACB=∠ADB=10˘ ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

따라서△EBC에서

∠DEC=60˘+10˘=70˘ ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

08 오른쪽그림과같이EB”를그으면

μBC에대한원주각이므로∠CEB=∠CDB=40˘

반원에대한원주각이므로

∠AEB=90˘

∴∠AEC=90˘-40˘=50˘

09 μμAD에대한원주각이므로∠ABD=∠ACD=42˘

반원에대한원주각이므로∠ADB=90˘

OA B

C

DE

40æ

40æ

54æ

30æx

AB

CP

Q R


∠ADB의크기구하기 30̀%

∠ACB의크기구하기 30̀%

∠DEC의크기구하기 40̀%

❶

❷

❸

(65~112)627(워크)해설 2015.4.24 8:31 AM 페이지101 mac02 T


06 ∠B는 μDE에대한원주각이므로

∠B=180˘_

∠B=180˘_;1¡2;=15˘ ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

∠E는 μBC에대한원주각이고, μBC=2μDE이므로

∠E=2_15˘=30˘ ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

∴∠B+∠E=15˘+30˘=45˘ ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

| 다른풀이 | ∠E=180˘_ =30˘

07 ∠ABP=30˘이므로∠ACD=∠ABP=30˘

08 ∠x=∠B=30˘

∠y=∠C=95˘-30˘=65˘

∴∠y-∠x=65˘-30˘=35˘

09 ①∠BAC+∠BDC이므로네점A, B, C, D는한원위

에있지않다.

②∠ADB+∠ACB이므로네점A, B, C, D는한원위

에있지않다.

③∠CAD+∠CBD이므로네점A, B, C, D는한원위

에있지않다.

④△ABC에서∠BAC=180˘-(100˘+35˘)=45˘

따라서∠BAC+∠BDC이므로네점A, B, C, D는한

원위에있지않다.

⑤△ACD에서∠CAD=180˘-(40˘+75˘)=65˘

따라서∠CBD=∠CAD이므로네점A, B, C, D는한

원위에있다.

따라서네점A, B, C, D가한원위에있는것은⑤이다.

10 ∠BAC=∠BDC=50˘이므로네점A, B, C, D는한원

위에있다.

∴∠ADB=∠ACB=35˘

2111555555555113+2+3+1+3

1111555555555113+2+3+1+3



∠E의크기구하기 40̀%

∠B+∠E의값구하기 20̀%

❶

❷

❸

원과사각형33

2원과사각형

본문 57~58쪽

01 ⑴∠x=60˘, ∠y=120˘ ⑵∠x=105˘, ∠y=65˘02 100˘

03 85˘ 04 110˘ 05 80˘ 06 ② 07 ④ 08 100˘

09 10˘ 10 ③, ④ 11 ∠x=35˘, ∠y=50˘

12 풀이참조 13 95˘ 14 86˘ 15 105˘

01 ⑴∠x=;2!;_120˘=60˘

∠y=180˘-60˘=120˘

⑵∠x=180˘-75˘=105˘

∠y=∠BAD=180˘-115˘=65˘

02 ∠A+∠C=180˘이므로

∠A=180˘_ =100˘

03 ∠BAD=180˘-(40˘+45˘)=95˘

∠BAD+∠BCD=180˘이므로

∠BCD=180˘-95˘=85˘

| 다른 풀이 | 오른쪽그림과같이 AC”를

그으면

∠BCA=∠BAQ=45˘

∠DCA=∠DAP=40˘

∴∠DCB=40˘+45˘=85˘

04 ∠ACB=90˘이므로

∠ABC=90˘-20˘=70˘


∠ADC=180˘-70˘=110˘

05 △APB에서

115˘=35˘+∠ABP ∴∠ABP=80˘

∠ABP=∠D이므로∠D=80˘

06 ∠ABC=∠ADE=105˘이므로　

∠ABD=105˘-50˘=55˘

∴∠ACD=∠ABD=55˘

07 AD”를그으면□ABCD에서

∠BAD+∠C=180˘

이므로∠BAD=180˘-125˘=55˘

∴∠DAF=110˘-55˘

=55˘

□ADEF에서 ∠DAF+∠E=180˘

이므로

∠E=180˘-55˘=125˘

08 BD”를그으면□ABDE에서

∠BDE=180˘-110˘

∠BDE=70˘ ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

∴∠BDC=120˘-70˘

=50˘ ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

∴∠BOC=2∠BDC

=2_50˘=100˘ ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

09 ∠x=∠D=102˘,∠y=180˘-88˘=92˘

∴∠x-∠y=102˘-92˘=10˘

O

A

B

C

D

E110æ

120æ

O

A

B

C D

E

F110æ

125æ

O

P QA

B

C

D

45æ40æ

51555255+4


∠BDE의크기구하기 40̀%

∠BDC의크기구하기 20̀%

∠BOC의크기구하기 40̀%

❶

❷

❸

(65~112)627(워크)해설 2015.4.24 8:31 AM 페이지102 mac02 T


워크북

03 오른쪽그림과같이점C를정하면

∠ACB=∠BAT=74˘

∴∠AOB=2∠ACB

=2_74˘

=148˘

04 ∠x=∠CBE=80˘

∠y=∠PAB=;2!;_(180˘-50˘)=65˘ (∵PA”=PB”)

∴∠x-∠y=80˘-65˘=15˘

05 ∠ADF=∠AFD=∠DEF=60˘이므로

∠A=180˘-(60˘+60˘)=60˘

∠BDE=∠BED=∠DFE=70˘이므로

∠B=180˘-(70˘+70˘)=40˘

∠CEF=∠CFE=∠EDF=50˘이므로

∠C=180˘-(50˘+50˘)=80˘

06 ⑴∠A=∠BPT'=65˘ ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

⑵∠ABP=∠APT=45˘ ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

OP”를그으면∠OPT'=90˘, OP”=OB”이므로

∠OBP=∠OPB=90˘-65˘=25˘ ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

∴∠ABO=45˘-25˘=20˘ ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❹

07 □ABCD가원에내접하므로

∠DAB=180˘-120˘=60˘

∠DBA=∠DAT=70˘이므로△ABD에서

∠ADB=180˘-(60˘+70˘)

=180˘-130˘=50˘


∠BAD=180˘-127˘=53˘

AD”가원O의지름이므로

∠ABD=90˘

∴∠ADB=180˘-(90˘+53˘)=37˘

이때TB Í는원O의접선이므로

∠x=∠ADB=37˘

09 오른쪽그림과같이 BA”를그으면접선

과현이이루는각의성질에의해

∠ABC=∠CAT=75˘

∠BAC는 반원에대한원주각이므로

∠BAC=90˘

△ACB에서∠y=90˘-75˘=15˘

∠BAP=∠BCA=15˘이므로

△ABP에서∠x=75˘-15˘=60˘

∴∠x-∠y=60˘-15˘=45˘

O

A TPB

C

75æ75æ

x

y

O

A

C

B

T74æ

74æ


∠A의크기구하기

∠ABP의크기구하기

∠OBP의크기구하기

∠ABO의크기구하기

30̀%

30̀%

30̀%

10̀%

❶

❷

❸

❹

10 ①∠A+∠C=170˘+180˘

②∠B+∠D=164˘+180˘

③△ABC에서∠B=180˘-(46˘+24˘)=110˘이므로　

∠B+∠D=180˘

④∠BAD=85˘, ∠BCD=95˘이므로　

∠BAD+∠BCD=180˘

⑤∠ABC=100˘, ∠ADC=60˘이므로　

∠ABC+∠ADC=160˘+180˘

따라서□ABCD가원에내접하는것은③, ④이다.

11 ∠BAC=∠BDC=65˘이므로□ABCD는원에내접한다.

∴∠x=∠ACB=35˘

또한, ∠BAD+∠BCD=180˘이고,

∠ACD=∠ABD=30˘

이므로(65˘+∠y)+(35˘+30˘)=180˘

∴∠y=50˘

12 ⑴∠ADF+∠AEF=90˘+90˘=180˘이므로

□ADFE는원에내접한다. ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

⑵∠BDC=∠BEC=90˘이므로□DBCE는원에내접한

다. ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

13 큰원에서∠APQ=∠C=85˘

작은원에서

∠x=180˘-∠APQ=180˘-85˘=95˘

14 ∠EGH=∠EFD=∠ACD=180˘-∠ABD

=180˘-94˘=86˘

15 PQ”를그으면∠BQP=;2!;_210˘=105˘

∴∠D=∠BQP=105˘

접선과현이이루는각34

3접선과현이이루는각

본문 59~60쪽

01 80˘ 02 ③ 03 148˘ 04 15˘

05 ∠A=60˘, ∠B=40, ∠C=80˘ 06 ⑴ 65˘ ⑵ 20˘

07 50˘ 08 ① 09 ④ 10 4'3 cm 11 70˘

12 ∠x=85˘, ∠y=50˘ 13 ③ 14 105˘

01 ∠BAT=∠BCA=60˘이므로

∠x=180˘-(60˘+40˘)=80˘

02 ∠ABC=∠CAT=70˘

△ABC에서∠CAB=90˘이므로

∠C=90˘-70˘=20˘


□ADFE가원에내접함을설명하기 50̀%

□DBCE가 원에내접함을설명하기 50̀%

❶

❷

(65~112)627(워크)해설 2015.4.24 8:31 AM 페이지103 mac02 T


01 ∠AOB=2∠APB=2_60˘=120˘이므로

(부채꼴OAB의넓이)=p_6¤ _;3!6@0);=12p

02 AD”를그으면∠ADB=90˘이므로

∠ADC=90˘-66˘=24˘

∴∠ABC=∠ADC=24˘

03 BD”를그으면BC”가지름이므로

∠BDC=90˘

△EBD에서

∠E+∠EBD=90˘

∴∠EBD=90˘-48˘=42˘

∴∠AOD=2∠ABD OB C

A

E

D

48æ

10 ∠ACB=90˘이므로

∠ABC=90˘-30˘=60˘

∠BCP=∠BAC=30˘이므로

∠BPC=60˘-30˘=30˘

∴BP”=BC”=3_

∴BP”=2'3(cm)

∴AB”=2BC”=4'3(cm)

11 ∠BPT'=50˘, ∠CPT'=60˘

∴∠CPD=180˘-(∠BPT'+∠CPT')

=180˘-(50˘+60˘)

=70˘

12 큰원에서∠x=∠A=85˘

큰원에서∠TPC=∠B=50˘이므로작은원에서

∠y=∠TPC=50˘

13 □ABCD가원O'에내접하므로

∠ABP=∠ADC=72˘

직선PT가원O의접선이므로

∠APT=∠ABP=72˘

14 AC”와 AD”가각각두원O, O'의

접선이므로

∠DAB=∠ACB=a,

∠CAB=∠ADB=b

로놓으면□ADBC에서

(a+b)+b+150˘+a=360˘

2(a+b)=210˘⋯ ⋯∴a+b=105˘

∴∠DAC=a+b=105˘

A

C

BD

O O'

150æ

a

a b

b

2155'3

O30æ

30æ60æ

3`cm3`cm

A

B

CP


01 ④ 02 ② 03 84˘ 04 20˘ 05 ④ 06 35˘

07 69˘ 08 61˘ 09 ⑤ 10 ④ 11 65˘ 12 80˘

13 75˘ 14 13p

=2∠EBD

=2_42˘=84˘

04 BC”를그으면 μAC=μCD이므로∠ABC=∠CAD=35˘

∠ACB=90˘이므로△ABC에서

∠CAB+∠CBA=90˘

35˘+∠DAB+35˘=90˘

∴∠DAB=90˘-70˘=20˘

05 μAB는원의둘레의길이의 ;4!;이므로

∠ACB=180˘_;4!;=45˘

μCD는원의둘레의길이의 ;6!;이므로

∠DBC=180˘_;6!;=30˘

따라서△PBC에서

∠APB=∠ACB+∠DBC

=45˘+30˘=75˘

06 ® BAE에대한원주각이므로

∠BCE=∠BDE=60˘

△BCF에서

∠x=25˘+60˘=85˘

□ABDE가원O에내접하므로

∠y=180˘-60˘=120˘

∴∠y-∠x=120˘-85˘=35˘

07 □ABCD가원에내접하므로

∠FAB=∠x

△EBC에서

∠EBF=∠BEC+∠BCE

=20˘+∠x

따라서△AFB에서

22˘+∠x+(20˘+∠x)=180˘

2∠x=138˘ ∴∠x=69˘

08 OD”를그으면

∠ADC=∠ADO+∠CDO

=∠DAO+∠DCO

=29˘+32˘=61˘


∠CBE=∠ADC

=61˘

09 CE”를그으면□ABCE가원O에내

접하므로

∠AEC=180˘-105˘=75˘

∠CED=;2!;∠COD

∠CED=;2!;_100˘=50˘

∴∠E=∠AEC+∠CED=75˘+50˘=125˘

O

A

C D

B E105æ100æ

O

E

A C

B

D

29æ

29æ 32æ

32æ

OA B

CD

35æ 35æ

(65~112)627(워크)해설 2015.4.24 8:31 AM 페이지104 mac02 T


워크북

원에서의비례관계35

Ⅳ-3｜원주각의활용

1원과비례

본문 63~65쪽

01 9 02 ④ 03 16 cm 04 ② 05 2'3 cm

06 ③ 07 15p cm 08 12 09 9 cm 10 ④

11 '∂154 cm 12 100p 13 6 cm 14 3 15 4

16 6 cm 17 ④ 18 12 19 ;;¡5¢;; cm

01 6_3=2_x, 2x=18 ∴x=9

02 x_2x=9_8, 2x¤ =72, x¤ =36

∴x=6 (∵x>0)

03 AM”=BM”=x cm라고하면

x¤ =16_4=64 ∴x=8 (∵x>0)

∴AB”=2_8=16(cm)

04 PD”=x라고하면PC”=11-x이므로

4_6=x_(11-x), x¤ -11x+24=0

(x-3)(x-8)=0 ∴x=3또는x=8

그런데PC”>PD”이므로PD”=3

05 2_6=PC”_PD”이고PC”=PD”이므로

PC”¤ =12

∴PC”=2'3(cm)(∵PC”>0)

06 AP”=4-x, PB”=4+x이므로

3_4=(4-x)(4+x), 12=16-x¤ , x¤ =4

∴x=2 (∵x>0)

07 6_6=12_PD”에서PD”=3 cm

원에서현의수직이등분선은그원의중심을지나므로CD”는

원의지름이고, CD”=12+3=15(cm)

따라서원의반지름의길이는 ;;¡2∞;; cm이므로원의둘레의길

이는

2p_;;¡2∞;;=15p(cm)

08 AB”⊥CD”이므로PA”=PB”=4 cm

△PAC에서

PC”="√5¤ -4¤ =3(cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶


4_4=3_y ∴y=;;¡3§;; ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

△PDB에서

x=æ≠4¤ +{;;¡3§;;} ¤ =;;™3º;; ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

10 오른쪽그림에서∠D=∠PQB

∠D=180˘-70˘

∠D=110˘

11 BD”=BE”이므로

∠BDE=∠BED=;2!;_(180˘-30˘)=75˘

∴∠DFE=∠BDE=75˘

따라서△DEF에서

∠DEF=180˘-(40˘+75˘)=65˘

12 AB”를그으면

∠ABC=∠CAT=50˘

μAC=μBC이므로∠BAC=∠ABC=50˘


∠C=180˘-2_50˘=80˘

13 AD”를그으면

∠Q=∠ADC ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

△PAD에서

∠P+∠ADC=∠BAD ₩₩₩₩₩❷

∴∠P+∠Q

∴=∠P+∠ADC

∴=∠BAD

∴=∠BAQ+∠QAD

=∠BAQ+∠QCD

=30˘+45˘

=75˘ ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

14 오른쪽그림과같이BO”의연장선이원

O와만나는점을D라고하면

∠ADB=∠ACB=∠x ₩₩₩₩❶

BD”가원O의지름이므로

∠BAD=90˘

△ABD에서

tanx= = =;2#; ∴AD”=4 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

∴BD”="√4¤ +6¤ =2'∂13 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

따라서원 O의반지름의길이는 '∂13이므로원 O의넓이는

13p이다. ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❹

611AD”

AB”11AD”

O

BT

A

C

D

x

6

xx

A

P

C

DB

Q

45æ30æ

A T

B

C

50æ

50æ

O O'A

B

C

DP

Q

70æ

85æ


지름 BD에대하여∠ADB=∠x임을알기

AD”의길이구하기

BD”의길이구하기

원 O의넓이구하기

40̀%

30̀%

20̀%

10̀%

❶

❷

❸

❹


∠Q=∠ADC임을알기 30̀%

∠P+∠ADC=∠BAD임을알기 20̀%

∠P+∠Q의값구하기 50̀%

❶

❷

❸

(65~112)627(워크)해설 2015.4.24 8:31 AM 페이지105 mac02 T


∴x+y=;;™3º;;+;;¡3§;;=12 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❹

09 3_(3+AB”)=4_(4+5)

3+AB”=12 ∴AB”=9(cm)

10 PC”=CD”=x라고하면

x_(x+x)=2_(2+7)

2x¤ =18, x¤ =9

∴x=3 (∵x>0)

11 PO ”=x cm라고하면

6_(6+9)=(x-8)(x+8)

90=x¤ -64, x¤ =154

∴x='∂154 (∵x>0)

12 원O의반지름의길이를 r라고하면PB”=10+2r이므로

10_(10+2r)=12_(12+13)

100+20r=300 ∴ r=10

따라서원의넓이는p_10¤ =100p

13 오른쪽그림과같이원 O의반지

름의길이를 r cm라고하면

PC”=(9-r) cm

PD”=(9+r) cm

이므로

(9-r)(9+r)=5_9

81-r¤ =45, r¤ =36

∴ r=6 (∵ r>0)

14 PA” : PC”=4 : 3이므로PA”=4x, PC”=3x(x>0)라고하

면

4x(4x+2)=3x(3x+5)

16x¤ +8x=9x¤ +15x, 7x¤ -7x=0

x(x-1)=0 ∴x=1 (∵x>0)

∴PC”=3x=3

15 QA”¥QB”=QE”¥QF”이므로QA”_3=2_6 ∴QA”=4 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶


5_(5+4+3)=x(x+11) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

x¤ +11x-60=0, (x+15)(x-4)=0

∴x=4 (∵x>0) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

DCO

AB

P5`cm

9`cm

4`cm

r`cm


PC”의길이구하기

y의값구하기

x의값구하기

x+y의값구하기

30̀%

30̀%

30̀%

10̀%

❶

❷

❸

❹

16 OP”=x cm라고하면 PB”=(x+4)+x=2x+4(cm)이고

PC”=PD”이므로

4(2x+4)=8_8, 8x=48

∴x=6

17 오른쪽그림과같이원O의반지름

의길이를 r cm라고하면

2_(2+2r)=3_(3+9)

4r=32 ∴ r=8

18 OP”=x라고하면

x_(x+2x)=12_9

3x¤ =108, x¤ =36 ∴x=6 (∵x>0)

∴OC”=2x=12

19 직각삼각형DPO에서PO”="√10¤ -6¤ =8(cm)

AO”=6 cm이므로 PA”=8-6=2(cm)

따라서PC”_10=2_14이므로

PC”=;;¡5¢;; (cm)

OA

D

BC

P3`cm

2`cm

9`cm

r`cm

두원에서의비례관계36 본문 65~66쪽

01 3 cm 02 6 03 4 : 3 04 ;4#; 05 16 06 ;;™5§;;

07 2 08 ⑴ ;;£5§;; ⑵ 7 09 7 10 16 cm

11 ③, ⑤


8_PB”=4_6 ∴PB”=3(cm)

02 PC”¥PD”=PE”¥PF”=PA”¥PB”이므로

(3+1)_2=1_(2+DB”)

8=2+DB” ∴DB”=6

03 CP”=x cm, PB”=y cm라고하면

PA”¥PB”=PE”¥PF”=PC”¥PD”이므로

(8+x)y=x(y+6), 8y=6x

∴x : y=8 : 6=4 : 3

04 OC”=8-6=2, BO'”=8-4=4이므로 CP”=x라고하면

PA”=4+2+x=6+x, PB”=4-2-x=2-x, ₩

PD”=12-x ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶


(6+x)(2-x)=x(12-x) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

12-4x-x¤ =12x-x¤

16x=12 ∴x=;4#; ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸


QA”의길이구하기 40̀%

x를이용하여식세우기 30̀%


❶

❷

❸

(65~112)627(워크)해설 2015.4.24 8:31 AM 페이지106 mac02 T


워크북

원의할선과접선사이의관계37

2할선과접선

본문 67~69쪽

01 9 cm 02 ③ 03 2'∂14 cm 04 '∂30 cm

05 3.6 cm06 3'3 cm 07 ③ 08 ;2#; 09 ③

10 ;2%; cm 11 2 12 '3 13 14 28˘

15 10 cm 16 ② 17 8 cm 18 4'2 cm 19 11

20 5 cm 21 7p cm 22 ③ 23 5 cm

16'21123

01 AB”=x cm라고하면

6¤ =3_(3+x), x+3=12

∴x=9

02 원O의반지름의길이를x cm라고하면

8¤ =4_(4+2x), 16=4+2x

∴x=6

03 PA”=9-5=4(cm)이므로

PT”¤=4_(9+5)=56

∴PT”=2'∂14 (cm) (∵PT”>0)

04 CD”¥TD”=AD”¥BD”이므로

6_2=AD”_4 ∴AD”=3(cm)

PT”¤ =PA”¥PB”이므로PT”¤ =3_(3+3+4)=30

∴PT”='∂30(cm) (∵PT”>0)

05 △PTB에서TB”=2_4=8(cm)이므로

PB”="√6¤ +8¤ =10(cm)

PA”=x cm라고하면

6¤ =x_10 ∴x=3.6

06 ∠ATP=∠TBA=∠APT이므로△APT에서

PA”=AT”=3 cm

PT”¤ =PA”¥PB”이므로PT”¤ =3_(3+6)=27

∴PT”=3'3(cm) (∵PT”>0)

07 원의외부에있는한점에서그원에그은두접선의길이는같으므로

PQ”=PT”=6 cm

PT”¤ =PA”¥PB”이므로6¤ =PA”_(6+3), 9PA”=36

∴PA”=4(cm)

08 BT”는접선, BA”는할선이므로

9¤ =6_(6+x) ∴x=;;¡2∞;; ₩̀₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

CT”는접선, CA”는할선이므로

6¤ =3_(3+y) ∴y=9 `₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷


4_(4+5)=2_(2+x)

2x=32 ∴x=16

06 AP”=x라고하면큰원에서

x(x+9)=4_(4+5)

x¤ +9x-36=0, (x-3)(x+12)=0

∴x=3 (∵x>0) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

CD”=y라고하면작은원에서

5_(5+y)=4_(4+5)

5y=11 ∴y=;;¡5¡;; ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

∴AP”+CD”=x+y=3+;;¡5¡;;=;;™5§;; ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

07 PC”=x라고하면

3_(3+5)=x(x+5+5)

x¤ +10x-24=0, (x-2)(x+12)=0

∴x=2 (∵x>0)

08 ⑴ PA”¥PC”=PB”¥PD”가성립해야하므로

⑴ 6_6=5_x ∴x=;;£5§;;

⑵ PA”¥PD”=PB”¥PC”가성립해야하므로⑴ 6_(6+4)=5_(5+x)

5x=35 ∴x=7

09 PA”¥PB”=PC”¥PD”가성립해야하므로

5_8=(x+3)(x-3)

x¤ =49 ∴x=7 (∵x>3)

10 AP”=x cm라고하면BP”=(20-x) cm

CP”=DP”=8 cm이고PA”¥PB”=PC”¥PD”가성립해야하므로

x(20-x)=8_8, x¤ -20x+64=0

(x-4)(x-16)=0 ∴x=4또는x=16

그런데AP”>BP”이므로x=16

∴AP”=16(cm)

11 ① 2_(2+4)+3_(3+5)

② 3_5+6_2

③∠BAC=∠BDC

④∠BAD+∠BCD=100˘+100˘=200˘+180˘

⑤ 4_6=8_3

따라서원에내접하는것은③, ⑤이다.




AP”+CD”의값구하기 20̀%

❶

❷

❸


CP”=x로놓고PA”, PB”, PD”를x의식으로나타내기 40̀%

원에서의비례관계를이용하여 x에관한식세우기 30̀%

CP”의길이구하기 30̀%

❶

❷

❸

(65~112)627(워크)해설 2015.4.24 8:31 AM 페이지107 mac02 T


∴y-x=9-;;¡2∞;;=;2#; `₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

09 ∠PTA=∠B=30˘이므로

PA”=;2!;_6=3(cm)

PT”¤ =PA”¥PB”이므로6¤ =3_(3+AB”)

3+AB”=12

∴AB”=9(cm)

10 PT”¤ =PA”¥PB”이므로PT”¤ =2_(2+6)=16

∴PT”=4(cm) (∵PT”>0)

△PTA와△PBT에서

∠PTA=∠PBT, ∠P는공통

∴△PTAª△PBT (AA닮음)

따라서AT” : 5=2 : 4이므로AT”=;2%; (cm)

11 △OBQ에서

BQ”="√5¤ -3¤ =4

∴AQ”=BQ”=4

PA”=x라고하면PT”¤ =PA”¥PB”이므로(2'5)¤ =x_(x+8)

x¤ +8x-20=0, (x+10)(x-2)=0

∴x=2 (∵x>0)

12 ∠APT=∠ABT=∠ATP이므로

PA”=AT”=2 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

PT”¤ =PA”¥PB”이므로(2'3)¤ =2_(2+AB”), 2AB”=8

∴AB”=4 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

∴OA”=OT”=2

따라서△OAT는한변의길이가 2인정삼각형이므로구하

는넓이는

_2¤ ='3 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

13 PT”¤ =PA”¥PB”이므로PT”¤ =4_8=32

∴PT”=4'2 (∵PT”>0)

'3124

O

6`cm T

A

B

P

30æ

30æ




y-x의값구하기 20̀%

❶

❷

❸


PA”의길이구하기 30̀%


△OAT의넓이구하기 40̀%

❶

❷

❸

오른쪽 그림과 같이 점 T에서

PB”에 내린 수선의 발을 H라

고하면△PTH와△POT에

서

∠P는공통

∠PHT=∠PTO=90˘

∴△PTHª△POT (AA닮음)

PT” : PO”=TH” : OT”이므로

4'2 : 6=T’H” : 2

∴T’H”= =

∴△PBT=;2!;_8_

∴△PBT=

14 PT”¤ =PA”¥PB”이므로PT”는세점A, B, T를지나는원의

접선이다.

∴∠ATP=∠ABT=∠x

△PBT에서

34˘+(∠x+90˘)+∠x=180˘

2∠x=56˘ ∴∠x=28˘

15 ∠B=∠ATP이므로 PT”는 세

점A, B, T를지나는원의접선

이다.


12¤ =8_(8+x)

18=8+x

∴x=10

16 ∠ATP=∠B이므로 PT”는 세

점A, B, T를지나는원의접선

이고, ∠P=∠ATP이므로

PA”=AT”=4 cm


6¤ =4_(4+x)

9=4+x

∴x=5

17 원O에서8¤ =P’A”¥PB”원O'에서P’T'” ¤ =P’A”¥PB”따라서 P’T'” ¤ =64이므로

P’T'””=8(cm) (∵PT'”>0)

18 원O에서PA”¥PB”=PC”¥PD” yy㉠원O'에서PT”¤ =PC”¥PD”” yy㉡㉠, ㉡`에서

PT”¤ =PA”¥PB”=4_(4+4)=32

∴PT”=4'2(cm) (∵ PT”>0)

19 원O'에서 PT” ¤ =PC”¥PD”이므로

4`cm

6`cm T

A

B

P

8`cm

12`cm T

A

B

P

16'211523

4'21153

4'21153

8'21156

O

T

AH BP

4 2

22

4Â2

(65~112)627(워크)해설 2015.4.24 8:31 AM 페이지108 mac02 T


워크북

02 △ABD와△AEC에서

∠BAD=∠EAC

μAB에대하여∠BDA=∠ECA

∴△ABDª△AEC (̀AA닮음)

AB” : AE”=AD” : AC”이므로

6 : 3=(3+DE”) : 4

6_4=3_(3+DE”)

∴DE”=5


∠ABC=∠ACB

μAB에대하여

∠ACB=∠AQB

∴∠ABC=∠AQB

따라서AB”는세점B, P, Q를지나


AB” ¤ =AP”¥AQ”

6¤ =5_(5+PQ”), 5PQ”=11

∴PQ”=:¡5¡:(cm)


∠ABC=∠ACB

μAB에대하여

∠ACB=∠AEB

∴∠ABC=∠AEB

따라서AB”는세점B, D, E를지나


AB”¤ =AD”¥AE”

(3'6)¤ =6_(6+DE”)

6DE”=18

∴DE”=3(cm)

따라서원O의지름은 6+3=9(cm)이므로원O의둘레의

길이는

p_9=9p(cm)

05 △ABD와△AHC에서

∠ABD=∠AHC=90˘

∠ADB=∠ACH (원주각)

∴△ABDª△AHC

(AA닮음)

AB” : AH”=AD” : AC”이므로

10 : AH”=12 : 8

∴AH”=:™3º: (cm)

06 △ABH와△ADC에서

∠AHB=∠ACD=90˘

∠ABH=∠ADC(원주각)

∴△ABHª△ADC

(AA닮음) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

O

A

B

D

H C

6`cm5`cm

3`cm

O

A

B

D

H C

10`cm 8`cm

O

A

B

E

D C

3Â6`cm

6`cm

A

B

Q

P C

5`cm

6`cm 6`cm

y¤ =3_(3+9)=36

∴y=6 (∵y>0) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

원O에서 PT” ¤ =PA”¥PB”이므로6¤ =4_(4+x), 4x=20

∴x=5 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

∴x+y=5+6=11 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

20 P̀A”=x cm라고하자.

작은원에서PT”¤ =x(x+7)

큰원에서PT”¤ =4_15=60

즉, x(x+7)=60이므로x¤ +7x-60=0

(x+12)(x-5)=0 ∴x=5 (∵x>0)

21 원O'의반지름의길이를 r cm라고하자.

원O에서PT”¤ =3_(3+3)=18

원O'에서PT”¤ =2_(2+2r)

즉, 2_(2+2r)=18이므로

2+2r=9 ∴ r=;2&;

따라서원O'의둘레의길이는

2_p_;2&;=7p(cm)

22 PT” ¤ =P’T'” ¤ =2_8=16

∴PT”=PT'”=4(cm) (∵PT”>0, PT'”>0)

∴T’T”'’=P’T”+P’T”'’=8(cm)

23 원O에서PT” ¤ =PA”¥PB”, 원O'에서P’T'” ¤ =PA”¥PB”이므로PT” ¤ =P’T'” ¤

∴PT”=P’T'”=;2!;_20=10(cm)

PA”=x cm라고하면10¤ =x(x+15)이므로

x¤ +15x-100=0, (x+20)(x-5)=0

∴x=5 (∵x>0)




x+y의값구하기 20̀%

❶

❷

❸

할선과접선의응용38 본문 70쪽

01 3'3 02 ③ 03 :¡5¡: cm 04 9p`cm 05 :™3º: cm

06 25p cm¤

01 μQC에대하여∠QBC=∠QAC

따라서 ∠QBC=∠QAB이므로 BQ”

는세점A, B, P를지나는원의접선

이다.

x¤ =3_(3+6)=27

∴x=3'3(∵x>0)

A

B P

Q

C

6

x 3

(65~112)627(워크)해설 2015.4.24 8:31 AM 페이지109 mac02 T


AB” : AD”=AH” : AC”이므로

5 : AD”=3 : 6

∴AD”=10(cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

따라서원O의반지름의길이는5 cm이므로원O의넓이는

p_5¤ =25p(cm¤ ) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸


△ABHª△ADC임을알기 40̀%



❶

❷

❸

01 오른쪽그림에서CP”=DP”이므로

CP”=x cm라고하면

x¤ =3_12=36

∴x=6 (∵x>0)

02 CD”=x cm라고하면 PD”=2x cm이므로

4_20=x_2x, 2x¤ =80

∴x=2'∂10 (∵x>0)

03 PB”=x cm라고하면


(8+4)x=4(x+6)

12x=4x+24 ∴x=3

04 △ABP에서

AP”="√10¤ -6¤ ='∂64

AP”=8(cm)

이므로 PC”=x cm라고하면

6_4=8_x ∴x=3

∴AC”=8+3=11(cm)

05 ∠PAB=∠BCD이므로 오른쪽

그림과같이□ABCD는한원위

에있다.

PB”=x cm라고하면

x(x+5)=4_6

x¤ +5x-24=0

(x+8)(x-3)=0

∴x=3 (∵x>0)

PB C

D

A

4`cm

2`cm

5`cmx`cm

A

C

B DP

10`cm

6`cm 4`cm

x`cm

OP

A B

D

C

3`cm 12`cm

x`cm


01 ③ 02 ② 03 3 cm 04 ③ 05 ③ 06 ②

07 :§9¢:p 08 :¡5§: cm 09 10'2 cm 10 ②

11 ⑤ 12 6'3 cm 13 6+2'5

06 QA”¥QB”=QT”¥QC”이므로QA”_4=8_2

∴QA”=4(cm)

PA”=x cm라고하면 PT”¤ =PA”¥PB”이므로(4'3)¤ =x(x+8)

x¤ +8x-48=0

(x+12)(x-4)=0

∴x=4 (∵x>0)


PT” ¤ =PA”¥PB”이므로5¤ =3_(3+2r)

25=9+6r

∴r=;3*;


p_{;3*;} ¤ =:§9¢:p

08 △BPA에서∠PAB=90˘이므로

PB”="√3¤ +4¤ =5(cm)

PA”가원O의접선이므로PA” ¤ =PC”¥PB”3¤ =PC”_5

∴PC”=;5(;(cm)

∴BC”=PB”-PC”=5-;5(;=:¡5§:(cm)

09 PT” ¤ =PT'” ¤ =5_10=50

∴PT”=PT'”='∂50=5'2(cm) (∵PT”>0, PT'”>0)

∴PT”+PT'”=10'2(cm)

10 μAM=μBM이므로∠MBA=∠MAB

μBM에대하여∠MAB=∠MQB

∴∠MBA=∠MQB

따라서B’M”은세점B, P, Q를지

나는원의접선이므로

BM” ¤ =MP”¥MQ”

BM” ¤ =2_(2+3)=10

∴BM”='∂10 (∵BM”>0)

11 접선과현이이루는각의크기에의해∠TAC=∠ADC

또, ∠TAC=∠ACB (∵ 엇각)이므

로

∠ACB=∠ADC

따라서AC”는세점D, B, C를지나


AC” ¤ =AB”¥AD”

AC” ¤ =6_9=54

∴AC”=3'6(cm) (∵AC”>0)

B C

D

A T

6`cm

3`cm

A

M B

Q

P

3

2

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워크북

12 OT”=x cm라고하면

PT”='3x cm

PT” ¤ =PA”¥PB”이므로('3x)¤ =6_(6+2x) ₩₩❶

3x¤ =36+12x

x¤ -4x-12=0, (x-6)(x+2)=0

∴x=6 (∵x>0) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

∴PT”='3x='3_6=6'3(cm) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

13 직선TH가원O의접선이므로

∠BAT=∠BTH

또, AB”가원O의지름이므로∠ATB=90˘

∴△ABTª△TBH (AA닮음) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❶

AB” : TB”=BT” : BH”이므로

9 : x=x : 4, x¤ =9_4=36

∴x=6 (∵x>0) ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❷

△BTH가직각삼각형이므로

y="6√¤ -4¤ =2'5 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❸

∴x+y=6+2'5 ₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩₩❹

P

A

B

T30æ

6`cm

O

x`cm

Â3x`cm


OT”=x cm로놓고 x에관한식세우기 50̀%


PT”의길이구하기 20̀%

❶

❷

❸


△ABTª△TBH임을알기

x의값구하기

y의값구하기

x+y의값구하기

30̀%

30̀%

30̀%

10̀%

❶

❷

❸

❹

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중학수학 3 -2 - viewpds.jihak.co.krviewpds.jihak.co.kr/tbbf/%ED%92%8D%EC%82%B0%EC%9E... · 중학수학 3 -2 정답과해설 풍산자-도비라(해설) 2016.2.23 11:31 AM 페이지3