-תנע זוויתי-

תנע זוויתי

:מילות מפתח

Torque Inertia( ,(מומנט כוח , ) , מהירות זוויתית (מומנט התמד , תנע זוויתי

.תאוצה זוויתית

2, ממחושבתגלגלת, מערכת למדידת תנע זוויתי, ממשק, מחשב :הציוד הדרוש

).שחורה(ת פלטה מלבנית מתכתי, משקולות, מחזיק משקולות מפלסטיק, דיסקים

:מטרות הניסוי

.תאוצה זוויתיתולהכיר מושגים הקשורים לתנועה סיבובית •

.לבחון את שימור התנע הזוויתי בהתנגשות פלסטית •

.קינטית סיבובית וקינטית העתקהבגלגולי אנרגיה גרביטציונית •

תיאוריה תיאוריה .1 .1

תנע זוויתי 11.

יחסית לנקודה התנע הזוויתי של חלקיק בעל תנע קווי PO כ מוגדר-

= ×L r P )1(

rO התנע . )1איור (מקום החלקיק לא כאשר המכוון מנקודה רהווקטו הוא

של כל הזוויתיים התנעיםסכום וקטורי שלהזוויתי של מערכת של חלקיקים הוא

.החלקיקים

התנע הסיבובי של חלקיק נקודתי : 1איור

התנע וקטור , במהירות זוויתית קבועכאשר גוף קשיח מסתובב סביב ציר

הינו בכוון ציר הסיבובהזוויתי

ω

L Iω= )2(

x

y

z

o

P

r

-77-

-תנע זוויתי-

Iכאשר . הוא מומנט ההתמד של הגוף יחסית לציר הסיבוב

חלקיק ייתכן רק אם של הקוויבדומה לחוק השני של ניוטון הקובע כי שינוי התנע

של גוף ייתכן רק אם פועל עליו בזמן כך גם שינוי התנע הזוויתי , יופועל כוח על

י"נתון עוהקשר מומנט כוח חיצוני

τ ddt

= L )3(

τכאשר . מומנטי הכוח החיצוניים הפועלים על הגוף הוא סכום

. חיצוניים התנע הזוויתי הכולל נשמר כוחמערכת אשר לא פועלים עליה מומנטיב

פירושו של דבר שהתנע הזוויתי שומר הן על גודלו והן על ותנע זוויתי הוא וקטור

ה בתוכו סביבון אשר מסתובב במהירות גבוהמכיל סקופירו'מצפן ג: לדוגמא. כוונו

.ושומר על כוונו וכך משמש כמצפן

ה מומנט התמד21.

F=ma קובע כי יש צורך בכוח על מנת לשנות את מהירותו החוק השני של ניוטון

כלומר ככל שמסת הגוף גדולה , מסת הגוף היא למעשה ההתמד של הגוף. של גוף

אופן ב. יותר הגוף יתמיד בתנועתו ודרוש כוח גדול יותר כדי לשנות את מהירותו

כאשר גוף קשיח מסתובב סביב ציר מסוים יש לגוף נטייה להמשיך בתנועתו , דומה

של המסה כלומר ככל שמומנט יהמומנט ההתמד של הגוף הוא האנלוג, הסיבובית

ההתמד גדול יותר יש צורך במומנט כוח גדול יותר על מנת לשנות את מהירות

עה סיבובית של גוף קשיח בעל החוק השני של ניוטון עבור תנו. הסיבוב של הגוף

Iτ, הואτאשר מופעל עליו מומנט כוח I מומנט התמד α=

iir

iii rm 2

2r d

α היא כאשר

כאשר נתון אוסף של : את מומנט ההתמד מחשבים באופן הבא .התאוצה הזוויתית

מומנט ההתמד ) (הנמצאים במרחקים שונים מציר הסיבוב ) m(מסות נקודתיות

:י"מוגדר ע

∑=I ) 4(

m , i את הגוף לאלמנטי מסה קטנים כאשר הגוף הנתון איננו נקודתי ניתן לחלק

r מרחקו של כל אלמנט מסה מציר הסיבוב הואש i :יהיהמומנט ההתמד ו

I = ∫ m )5(

.במיקומו ובכוונו של ציר הסיבובבנוסף למסה גם מומנט ההתמד תלוי

: של מומנטי התמדהמספר דוגמאות מכיל 2 איור

-78-

-תנע זוויתי-

2 21 2

2 2 2 2 2 2 21 1

12 12

1 1 1 1

3 3 2 2 ( ) ( ) R R 22

5ML ML M a b Ma M MR MR M++ R

.ציר הסיבוב משורטט בקו מקוקו, מספר גופים התמד של י מומנט:2יור א

ר סיבוב העובר דרך מרכז נוח לחשב את מומנט ההתמד של גוף עבור צי, לרוב

מקבילה אלא בציר אחרכאשר ציר הסיבוב אינו עובר דרך מרכז המסה . המסה

נוכל להיעזר במשפט שטיינר לחישוב מומנט , לציר העובר דרך מרכז המסה

:ההתמד

2.. MhI mc +I = )6(

M h כאשר ו העובר דרך מרכז המסה לציר האחר בין הצירההסטה המרחק הוא

מומנט ההתמד של גוף קשיח , כלומר, מומנט התמד הוא גודל אדיטיבי .מסת הגוף

כאשר כל (הבנוי משני חלקים הוא סכום מומנטי ההתמד של כל אחד מהחלקים

).המומנטים מחושבים יחסית לאותו ציר

מערכת המדידה1.3

יה עם הכוחות שפועלים עלהניסיונית את המערכת סכמאטיבאופן מתאר 3איור

.בזמן שהמערכת מסתובבת

טי של המערכת עם הכוחות הפועלים עליה תיאור סכימ:3איור

r1-ה רדיוס גלגלת ההאצ

I- מומנט התמד של הדיסקה . עבור צילנדר 0.5MR2ששווה ל

Tr x1= מומנט כוח =τ

-79-

-תנע זוויתי-

בהזנחת מומנט נכתוב את משוואות המתארות את התנועה הקווית והזוויתית

:ההתמד של הגלגלת החכמה

mg T ma− =

1 1I

)7(

Trτ α= = )8(

: קווית והזוויתיתהקשר בין התאוצה ה

1a r= 1α )9(

ניתן לחלץ את התאוצה הזוויתית של הדיסקה וגם כן את התאוצה על ידי הצבה

.הקווית של המסה

1 1g mrT m α= −

1

)10(

21 1 1mgr mr Iτ α α− =

12

1 1 1 mg r I m r α

= )11(

12 α⋅ = ⋅ + ⋅ ( )

11 1

21

mgrmgr

I mrα = ≈

+

21mr

)13( I

קטן ביחס למומנט את הקירוב מכיוון שהביטוי בצע ניתן ל)13 (בנוסחה

.I ההתמד של הדיסקה

שאלות הכנה4.1

העובר במרכז המסה שלו וניצב אליו סביב ציר, מומנט ההתמד של מוט דקיק. 1

21: הוא3

I ML= .חשב את מומנט ההתמד של אותו , תוך שימוש במשפט שטיינר

. מוט סביב ציר העובר בקצה המוט וניצב לו

L/4חשב את מומנט ההתמד העובר ב. ב . מאחד הקצוות -

משני דסקות אחת בסיסית באחד משלבי הניסוי המערכת המסתובבת מורכבת . 2

את מומנט ההתמד של חשב. מונחת עליה ולהם מרכז משותףסקה נוספתודי

.המערכת המסתובבת

. ω1 =10 rad/secסקה הבסיסית מסתובבת במהירות זוויתית יהדנניח כי . 3

אם ). כתוצאה מכוח חיכוך(והטבעת נדבקת לדיסקה מייד , עליהטבעת מפילים

:לשני הגופים יש מרכז משותף חשב

?)זוויתיתנע , אנרגיה קינטית, תנע קווי(אילו חוקי שימור מתקיימים .א. חשב את המהירות הזוויתית של המערכת .ב

. בהתנגשותרחשב את כמות החום המכסימלית שיכולה להיווצ .ג

-80-

-תנע זוויתי-

נתונים שני גלילים בעלי רדיוס ומסה זהה אחד הגלילים מלא והשני חלול דק . 4

דופן שנהם מתגלגלים מאותה נקודה התחלתית וממצב מנוחה לאורך מישור

!נמק? ור מהירותו של מי מהם תהיה גבוהה יותרבהגיעם לתחתית המיש .משופע

הניסוימהלך .2

התאוצה הזוויתית של הגוף תלויה בארבעה , כוח גורם לגוף להסתובבר שאכ

:גורמים

.הגודל של הכוח .1 .כיוון הפעולה של הכוח .2

.הנקודה על הגוף שעליה פועל הכוח .3 .מומנט ההתמד של הגוף .4

:הניסוי שלנו מחולק לשלשה חלקים

תאוצהל עיל מארבעת הגורמים שנזכרו לאחד של כל הכמותיתתרומה בדיקת ה12.

על המוט כך בסיסית ההדיסקהשים את . 4באיור בנה את המערכת המתוארת .1

. שגלגלות ההאצה למעלה

תבסיסידיסקה

גלגלת חכמה

מחזיק משקולות

. המערכת הניסיונית:4איור

. זנתושים את הפלס על הדיסקה וודא שהיא אופקית ומא .2

smart pulley .מערכת המדידהלממשק ) .3 (חבר את הגלגלת החכמה

-81-

-תנע זוויתי-

.ניסוימתאים לממשק התיאור חלון ה :5איור

smart pulley .מערכת המדידהלממשק ) .4 (חבר את הגלגלת החכמה

smart pulley setup 5. פר מרשימת החיישנים לכניסה מס -בחלון ה - גרור את ה

).5איור (מדידה בממשק ה1

ל מנת לפתוח את חלוןלחץ לחיצה כפולה על הגלגלת החכמה ע .6

sensor properties ) הגלגלת : עקרון הפעולה של הגלגלת החכמה). 6איור ראה

, בין הזרועות של השער). 6ראה איור (מותקנת בין הזרועות של שער אופטי

. רווחים10 שביניהם זרועות 10הגלגלת עשויה . אדומהמשודרת קרן אינפרא

אדומה קרן האינפרא, של השער האופטיכאשר הגלגלת מסתובבת בין הזרועות

5שולח השער האופטי מתח של , בשעה שהקרן חסומה. לסרוגיןנגלית ונחסמת

נדלקת נורית , כאשר הקרן חסומה. המתח לאפסיורד, תיכאשר הקרן נגל. וולט

.מ במדויק" ס15היקף הגלגלת הוא . הבקרה של השער האופטי

measurement 7. 1 :הנמדדים ובחר את הגדלים ( Angular positionלחץ על

(rad)Angular acceleration (rad/s^2) Angular velocity (rad/s) . ,3 ( , 2 (

Spoke Angle Spacing constant 8. לחץ על ובחר באופציה והמחשב יבחר את

SETUP Value . -ה סגור את חלון ה. ) זרועות10לגלגלת יש ( מעלות36 ל

-82-

-תנע זוויתי-

. החכמההגלגלת חלון הגדרת :6איור

ולפף הקטנה גלגלות ההאצה ל הראשוןקשור אותו בקצה, חוט באורך כמטרחק .9

.האותו סביב

מעל הגלגלת החכמה ניצב לרדיוס גלגלת ההאצה ועובר לוודא שהחוט הקשור .10

.מקביל לשולחן הניסוישהוא גםודא ו, בנקודת ההשקהגלגלת ההאצה

50 gr 11. . מסה של עליו והעמסבקצה השני של החוט קשור מחזיק משקולות

start 12. . ומייד לחץ על תוך סיבוב הדיסקה מעט תן לה לרדת,סהעזוב את המ

stop .רצפה שהמסה פוגעת ב .13 לפני לחץ על

. גרם150 גרם ו 100 של נוספות עבור שתי מסות12 ו 11, 10 חזור על .14

.סותשלושת המב בינוני עם הגלגלת בעלת הרדיוס ה12 ו11, 10 ,9 חזור על .15

.שלושת המסותב עם הגלגלת בעלת הרדיוס הגדול 12 ו11, 10 ,9 חזור על .16

-83-

-תנע זוויתי-

ניתוח תוצאות. 3

I של )עם השגיאות ( והכנס את הנתוניםטבלה הדומה לטבלה במחברתך בנה

: העזר בשלבים הבאיםהניסויים שלך לתוכה

י שיפוע גרף המהירות הזוויתית והכנס את "מצא את התאוצה הזוויתית שנמדדה ע

התאוצה הזוויתית הנמדדת הינה התאוצה הזוויתית של : שים לב.הערכים לטבלה

. הגלגלת החכמה

קשר אתה צריך להשתמש ב העיקריתויתית של הדיסקהולחישוב התאוצה הז .א

ת ההאצה שווה וגלגל אחת מכלויתית של ו התאוצה הז.14הנתון במשוואה

לתאוצה הזוויתית של הדיסקה ולכן התאוצה של הדיסקה נתונה במשוואה

הבאהrα

1α )14( =

1r

r αהוא התאוצה הזוויתית של הדיסקה ושל גלגלת ההאצה , 1כאשר רדיוס גלגלת 1

r,ההאצה α ניתן . בהתאמה הם התאוצה הזוויתית והרדיוס של הגלגלת החכמהו

rלמצוא את הנתונים המדויקים של II r rעבור , פרק שנמצאת בסוף ה י טבלה " ע 1 ו

Iחשב את . השתמש ברדיוס הקטן r α1 והכנס את הערכים של α1, rלטבלה .-1 ו

(10) י משוואה "חשב את המתיחות ע . טבלהלאת התוצאות והוסף .ב

הראה שבעזרת גרף של .גmT

1

, α mכפונקציה של ) א קבוע הו ניתן 1כאשר (

את ). מספיק להראות זאת בשביל אחת המסות (r1למצוא את הרדיוס

(10) הקשר בין הגדלים ניתן למצוא בנוסחה

α .ד כפונקציה של רדיוס גלגלת ) ( הדיסקהה הזוויתית שלתאוצהבנה גרף של

gm תוצאות המדידה של עבור, ההאצה חזור על התהליך גם עבור .=50

gm . חשב את מומנט ההתמד)13 (בעזרת נוסחה. =100

הדיסקה כפונקציה של הכוח הפועל עליהה הזוויתית שלתאוצהבנה גרף של .ה

חזור על התהליך גם עבור רדיוס האצה .הקטןעבור רדיוס גלגלת האצה

.ב את מומנט ההתמד חש)13 (בעזרת נוסחה. בינוני

לתוצאה ) גרפים4כ "סה(' וה' השווה את התוצאות שקיבלת בסעיפים ד .ו

.הידוע לפי הוראות היצרן

-84-

-תנע זוויתי-

התאוצה

הזוויתית של יסקה הד

התאוצה הזוויתית של

גלגלת ה החכמה

רדיוס גלגלת ה חכמהה

רדיוס גלגלת ההאצה

המתיחות בחוט

משקל המסה

T(N) mg(N) 2 r(cm) r1(cm)

α(rad/sec2) α1(rad/sec )

I :יכוז של תוצאות המדידה של הניסויר טבלה

מומנט אורך רוחב התמד

רדיוס)מ"ס(

רדיוס חיצוני

מסה רדיוס)'גר(

גוף)מ"ס( בתוך החריץ

2( מ-ג"ק( )מ"ס( )מ"ס()מ"ס(

7.50 x 10-3 R1= - - - 991 דיסקה בסיסית

12.7-

7.22 x 10-3 R2= - - - 894 דיסקהנוספת

12.7-

18.6 x 10-7 גלגלת חכמה

-2.38r= 2.54r= - --

r =- - - - - גלגלות האצה

1.51r =21r =2.51

-

2.98 x 10-322.2 - - - 690 לוח מתכתי

5.1

2.64 x 10-3- 5.4 6.4 701 טבעתמתכתית

-

II: טבלא נתונים עבור הציוד שהשתמשתם בניסוי

-85-

-תנע זוויתי-

רוטציונית ואנרגיה גרביטציוניתשימור 1.3

במערכת שלנו ישנו גלגול אנרגיה מאנרגיה פוטנציאלית גרביטציונית לאנרגיה

.קינטית רוטציונית ואנרגיה קינטית של העתקה

E E p כאשר p = mghהשינוי באנרגיה הפוטנציאלית הגרביטציונית נתון בביטוי

h g m-מסת הגוף- - תאוצת הנפילה החופשית ו , , הוא השינוי באנרגיה פוטנציאלית

.הפרש הגבהים

2האנרגיה הקינטית של העתקה נתונה בביטוי

21 mVkt =E E , כאשרkT היא

V ,האנרגיה הקינטית של העתקה m-מסת הגוף ו - . מהירות הגוף

ה בביטוי האנרגיה הקינטית הרוטציונית נתונ2

121 ωIkR =

gm 50

E E , כאשרkR היא

ω, האנרגיה הקינטית הרוטציונית I- המהירות הזוויתית של -1 מומנט התמד ו

.הדיסקה

עבור ( מהפרק הקודם 1-12 סעיפיםחזור על .בפרויקט חדש) =

MKS(: נגדיר כמה גדלים בתוכנה) שים לב שהיחידות הם

calculate ,חלון ב בחר :ל"ורשום את המשוואה הנ

. h =- r*z .א

h- כאשר .בין המצב העכשווי של המסה והמצב ההתחלתיהגובה הפרש: r -רדיוס הגלגלת החכמה .

z-זוית הסיבוב של הגלגלת החכמה . constant r acceptוהזן אותו כ - לחץ על הלשונית לצדו של . נתון לפי הלחץ

. IIבטבלה

data measurement z .בחר ב- - והגדר אותו כ לחץ על הלשונית לצדו של

Angular position.

h accept. . כעת מוגדר המשתנה החדש לחץ

new calculate :הכנס את המשוואה. .ב - ובחר ב להגדרת משתנה חדש לחץ

E p = mgh

E-כאשר השינוי באנרגיה הפוטנציאלית: pm-המסה של הגוף g -תאוצת הנפיל החופשית .

constant– g mקבע את ו כ . והזן את הנתונים

h data measurement- hשהגדרת מקודם . את הגדר כ ובחר את המשתנה

-86-

-תנע זוויתי-

V=rw הגדר משתנה חדש .ג :

Vw ; המהירות הקווית של המסה- הגלגלת ירות הזוויתית שלה המ- כאשר

.ת החכמה רדיוס הגלגל- r, החכמה

r Angular velocity data measurement wהזן כ - את . - כ ובחר הגדר את

constantכמו מקודם .

2: הגדר משתנה חדש .ד

21 mVEkt =

E-כאשר . האנרגיה הקינטית של העתקה עבור המסה היורדתkT

mV data measurement V constant. כ ובחר את המשתנה - הגדר את - כ ו

: משתנה חדשהגדר .ה1

1rwrw =

r ωהוא המהירות הזוויתית של הדיסקה ושל גלגלת ההאצה , 1 כאשר רדיוס 1

r,גלגלת ההאצה ω הם המהירות הזוויתית והרדיוס של הגלגלת החכמה ו

. בהתאמה

data measurement w constant r1 rכ ובחר - ואת , - כ Angularהגדר את ו

velocity.

: ה חדשהגדר משתנ .ו2

121 ωIEkR =

pkTkR EEEEtotal

E האנרגיה הקינטית . ( האנרגיה הקינטית הרוטציונית של הדיסקה-kRכאשר

).הרוטציונית של הגלגלת החכמה זניחה

w1 constant Iואת , )לפי הנתונים של היצרן ( - כ - כ dataהגדר את

measurementw1. ובחר את המשתנה

= .ז + + : הגדר משתנה חדש

EkREkR data measurement. כ ובחר את המשתנה - הגדר את

EkTEkT data measurement. כ ובחר את המשתנה - הגדר את

EpEp data measurement. כ ובחר את המשתנה - הגדר את

-87-

-תנע זוויתי-

ניתוח תוצאות. 4

E בחן ). בגרף אחד (זמןהכפונקציה של kT צייר את העקומות של האנרגיה .א

תואמת ...) פרבולי, יליניאר, קבוע (אם צורתם קבע קבלו ואת העקומות שהת

.אוריהיאת הת

E E E , ו .ב kR kT :צייר את העקומות של האנרגיות p אותה בזמן הכפונקציה של

אם צורתם קבע בחן את העקומות המתקבלות ו. )בגרף אחד (מערכת צירים

.אוריהיתואמת את הת...) פרבולי, יליניאר, קבוע(

בשני סוגיה קינטית בין האנרגיה הגרביטציונית והכ"סהבנה גרף של .ג

.)E (ונקציה של זמןפכ total

חוק שימור (אנרגיות צריך להיות אפסה סכום ובהעדר חיכוך יאידיאלבמצב .ד

לפי התוצאות שהתקבלו בגרף . בניסוי זה הזנחנו את החיכוך.)האנרגיה

.נים להזנחהבחן אם אכן הפסדי האנרגיה בחיכוך קטנים ואכן נית, מסעיף ג

התנגשויות עם גוף מסתובב 4.1

על , בצורה אנכית, כשמפילים. 2 יש תנע זוויתי הנתון במשוואה גוף שמסתובבל

אין שום מומנט כוח שפועל על המערכת , את הדיסקה הנוספת, דיסקת הבסיס

ולכן מתקיים חוק ). חוץ ממומנט כוח חיכך עם הציר(המסתובבת בכיוון הסיבוב

: זוויתישימור תנע

i fL L= )15(

L Lכאשר - מסמן את התנע הזוויתי לפני התנגשות וf i מסמן את התנע הזוויתי

.אחרי התנגשות

i iI fIω = fω )16(

Iו - ω iכאשר i מסמנים את מומנט ההתמד והמהירות הזוויתית של הגוף המסתובב

ωf - וI, אמהלפני התנגשות בהת f מסמנים את מומנט ההתמד והמהירות הזוויתית

.של הגוף המסתובב אחרי התנגשות בהתאמה

שים את הדיסקה העיקרית על המוט כך . 7בנה את המערכת המתוארת באיור .1

שהיקפה יהיה וחבר את הגלגלת החכמה כך , שגלגלות ההאצה פונות למטה

גורם לגלגלת בסיסיתקה הוכל סיבוב לדיס, הבסיסיתבמגע עם הדיסקה

.החכמה להסתובב

-88-

-תנע זוויתי-

. מהפרק הקודם2-7 חזור על הסעיפים .2

דיסקה בסיסית

גלגלת חכמה

.ת מערכת הניסוי בהתנגשויו:7איור

start את פל שניות ה5- לאחר כ לחץ על , בידהבסיסיתסובב את הגלגלת .3

.stop שניות לחץ על 5 כ ולאחרהבסיס ת על דיסקנוספתה סקהיהד

רגע הדיסקה כפונקציה של זמן וחשב אותה הצג את המהירות הזוויתית של .4

. אחרי ההתנגשות ידיע מגההתנגשות ור לפני

חשב את מומנט ההתמד של המערכת המסתובבת לפני הפלת הגוף ולאחר .5

.הפלתו

.תךתשובהסבר את , בדוק אם התנע הזוויתי נשמר .6

בדוק . לפני ההתנגשות ואחריה) אנרגיה רוטציונית(סך האנרגיה את חשב .7

כדי לסובב את הדיסקה : רמז(הסבר את תשובתך , האנרגיה נשמרתהאם

בדוק מה היחס בין האנרגיות לפני ואחרי ) . הנוספת מופעל עליה כוח כלשהו

לא לפי תוצאות . באופן תיאורטי(ההתנגשות כאשר יש שימור תנע זוויתי

.השווה לתוצאת הניסוי). הניסוי

-89-