О построении цены производных инструментов.

Илья Гихман

6077 Ivy Woods Court Mason, OH 45040, USA Ph. 513-573-9348 Email: ilyagikhman@yahoo.com

Абстракт. Основная теоретическая проблема связанная с производными инструментами – это определение их цены. Цель этой статьи показать несостоятельность основной концепции цены опциона [1], которая фактически послужила началом развития новой науки. В настоящий момент накоплен обширный практический опыт указывающий на существенные расхождения между теоретическими предсказаниями и рыночной ценой производных инструментов. Следует также отметить, что на практике достаточно трудно установить источник этого несоответствия. Воможно, расхождение теории и практики связано с исходным математическим предположением о стохастическом характере внутреннего инструмента или, воможно, расхождение связано с некорректным пониманием цены производного инструмента. В работах [4,5] представлен критический анализ основных положений теории Блэка Шоулса. В этой статье фактически те же замечания представлны в более формальной форме.

I. Kонцепция Black-Scholes.

В работе [1] рассмотрен вопрос о построении цены Европейского опциона. Эта работа заложила начало исследований в области построения цены производных инструментов. Основой метода является стратегия известная как совершенное хеджирование. Совершенное хеджирование – это динамическая безрисковая стратегия. Суть стратегии состоит в изменеии числа базисных акций в каждый момент времени в портфеле, состоящем из некоторого количества базисных акций и одного короткого контракта на опцион. Применяя эту стратегию инвестор имеет возможность избежать арбитража. Арбитраж, в его классическом понимании – это стратегия, которая позволяет получить положительную прибыль начиная с нулевого капитала. Для определённости будем называть базисный инструмент опциона акцией, хотя в качестве базисного инструмента может быть выбрана произвольная рыночная сущнсть такая как произвольная процентная ставка или даже температура в случае погодых деривативов.

Обозначим S ( t ) цену акции в момент времени t ≥ 0. Поскольку цена акции в будующие моменты времени неизвестна обычно предпологается, что цена акции является случайным процессом S ( t ) = S ( t , ), зависящим от сценария рынка . Степень достоверности этого предположения – достаточно сложная проблема.

1

Европейским опционом на покупку акции называется контракт, дающий покупателю право покупки базисной акции за фиксированную цену К в некоторый финальный момент времени Т. Цена К и момент времени Т известны в начальный момент времени t = 0, когда опцион предлагается для продажи на рынке. По определению цена контракта в будующий момент Т равна S ( T , ) - K для сценария { : S ( T , ) > K }. Если { : S ( T , ) ≤ K }, то цена контракта равна 0. Действительно, владелец права на покупку опциона воспользуется своим правом ‘не покупать’ акцию поскольку цена акции на рынке меньше, чем у продавца опциона. Таким образом, цена контракта в момент Т может быть представлена в виде

[ S ( T , ) - K ] { S ( T , ) > K }

Основная проблема деривативов это определение цены инструмента в произвольный момент времени t [ 0 , T ). Вначале дадим определение цены опциона.В [1] цена опциона находится с помощью конструкции, которая исключает возможность арбитража. Предположим, что в некоторый начальный момент времени t инвестор берёт у банка кредит под безрисковую процентную ставку r. Рассмотрим портфель, содержащий один короткий опцион и некоторую порцию акций связанных с опцион. Было показано, что порция акций может быть выбрана таким образом что динамика портфеля становится безрискавой [1], [6]. В этом случае, доходность портфеля совпадает с доходностью облигации, гарантирующей безрисковую процентную ставку r. Следовательно, в момент времени T владелец портфеля имеет возможность возвратить банку выданный кредит с учётом безрискованной процентной ставки. Таким образом начиная с нуля в момент t -0 покупатель опциона возвращается в нуль в момент времени T. Портфель используемый в этой конструкции реализует cовершенное хеджирование. Цена опциона т.о. совпадает с ценой порции акций в указанном портфеле. Современное обсуждение вопросов связанных с хеджированием, включющих залог (collateral) дано в [2].

Пусть случайный процесс S ( t , ) задан на произвольном полном вероятностном пространстве { Ω , F , P }. Предположим, что S ( t , ) является решение стохастического дифференциального уравнения

d S ( t ) = S ( t ) d t + σ S ( t ) d w ( t ) (1.1)

В финансах пространство { Ω , F , P } вместе с заданным на нём случайным просессом S ( t , ) называют реальным миром или пространством в отличие от риск нейтрального пространства { Ω , F , Q } которое определяется как пространство на котором случайный процесс S ( t , ) имеет распределения совпадающие с распределениями случайного процесса S r ( t , )

d S r ( t ) = r S r ( t ) d t + σ S r ( t ) d w ( t ) (1.1′)

на { Ω , F , P }. Нужно отметить, что концепция риск нейтрального пространства достаточно противоречива сама по себе. Действительно, принимая во внимание вероятностное представление решения задачи об определении цены опциона отметим следующий факт, что цена базисной акции, которая вначале определяется как решение уравнения (1.1) в результате построений заменяется на решение уравнения (1.1). Таким образом возникает правило, согласно которому теоретическая цена опциона независит от среднего ожидаемого реального роста цены акции.

2

Иными словами имея короткую позицию на опцион с = - 5 и длинную позицию на опцион с = 3 с некоторой малой σ инвестор будет чаще получать, чем терять деньги. В настоящее время вычисление цены любого блока деривативов, включая кредитные начинается с утверждения, что динамика базисного инструмента рассматривается на риск нейтральном пространстве. Чтобы придать этой конструкции большей убедительности случайный процесс (1.1), который изначально определён на { Ω , F , P } рассматривают на { Ω , F , Q }. Это выглядит странным поскольку независимо от того существуют ли опционы или нет как это было до их появления на рынке в 70-ые S ( t , ) рассматривается на исходном вероятностном пространстве, а в связи с опционами этот же случайный процесс необходимо расположить на { Ω , F , Q }.

Пусть C ( t , S ( t )) обозначает цену опциона на продажу в момент времени t. Предполагая, что неслучайная функция C ( t , x ) достаточно гладкая и применяя формулу Ито замечаем что

d C ( t , S ( t ) ) = [

∂ C ( t , S ( t ) )∂ t +

σ 2 S 2( t )2

∂ 2 C ( t , S ( t ) )∂ S 2

] d t +

∂ C ( t , S ( t ) )∂ S d S ( t ) (1.2)

Рассмотрим портфель цена которого в момент t имеет вид

Π ( t , S ( t ) ) = − C ( t , S ( t ) ) +

∂ C ( t , S ( t ) )∂ S S ( t ) (1.3)

В дальнейшем наш вывод следует современному построению цены опциона [6]. Блэк и Шоулс предположили, что инфинитезимальное изменение цены портфеля представляется с помощью формулы

d Π ( t , S ( t ) ) = − d C ( t , S ( t ) ) +

∂ C ( t , S ( t ) )∂ S d S ( t ) (1.4)

Подставляя (1.1) и (1.2) в (1.4) находим что

d Π ( t , S ( t ) ) = – [

∂ C ( t , S ( t ) )∂ t +

12

∂ 2 C ( t , S ( t ) )∂ S 2

σ 2 S 2 ( t ) ] d t (1.5)

Равенство (1.5) показывает, что инфинитезимальное изменение цены портфеля не содержит компонент риска с множителем d w ( t ). Для того чтобы избежать возможность арбитража в момент времени t [ 0 , T ) необходимо и достаточно предположить что

d Π ( t , S ( t ) ) = r Π ( t , S ( t ) ) d t (1.6)

С учётом соотношений (1.3) , (1.5) уравнение (1.6) принимает вид

∂ C ( t , S ( t ) )∂ t +

12

∂ 2 C ( t , S ( t ) )∂ S 2

σ 2 S 2 ( t ) = r [ C –

∂ C ( t , S ( t ) )∂ S S ( t ) ]

3

Допустим, что в области t [ 0 , T ) существует единственное решение задачи Коши

∂ f ( t , x )∂ t + r x

∂ f ( t , x )∂ x +

σ 2 x 2

2∂2 f ( t , x )

∂ x 2 = r f

с граничным условием

f ( T , x ) = max { x – K , 0 }

Тогда опцион на покупку C ( t , S ) является решением уравнения Блэка Шоулса

∂ C ( t , S )∂ t + r S

∂ C ( t , S )∂ S +

σ 2 S 2

2∂ 2 C ( t , S )

∂ S 2 = r C ( t , S ) (1.7)

C ( T , S ) = max { S – K , 0 }

Решение уравнения Блэка Шоулса допускает вероятностное представление

С ( t , x ) = exp – r ( T – t ) E max { S r ( T ; t , x ) – K , 0 }

где S r ( T ; t , x ) есть решение уравнения (1.1′) с начальным условием S r ( t ; t , x ) = x. Можно отметить, что цена опциона определяемая уравнением Блэка Шоулса управляется акцией S r ( t ).

Основное замечание к выводу уравнения Блэка Шоулса относится к формальному несоответствию формул (1.3) и (1.4). Действительно, при переходе от формулы (1.3) к формуле (1.4) потеряно

ненулевое слагаемое S ( t ) d

∂ C ( t , S ( t ) )∂ S . Стандартный аргумент используемый в качестве

неформального подтверждения правоты обычно служит утверждение, что число акций в портфеле (1.3)

N ( t , S ( t ) ) =

∂ C ( t , S ( t ) )∂ S

в любой момент времени t является постоянным числом в течении инфинитезимального периода времени. С математической точки зрения это утверждение не имеет смысла. Нетрудно непосредственно убедится взяв явное решение уравнения (1.7) , что дифференциал портфеля (1.3) не совпадает с выражением (1.4). На ошибку при вычислении дифференциала при выводе уравнения Блэка Шоулса указывалось также в работе [3]. Чтобы разрешить проблему в рамках Блэка Шоулса модели в [3] было предложено заменить вычислении полного дифференциала в (1.4) на его часть названную ‘доход’ (gain) определяемый, как правая часть равенства (1.4). Однако в этом случае нельзя утверждать что в отсутствии риска локальное изменения ‘дохода’ должно быть пропорциональным безрисковой процентной ставке.

4

Можно попытаться реализовать идею Блэка Шоулса более аккуратно, чем это было предложенно авторами в [1]. Формируя портфель в соответствии с (1.3) в момент времени t = 0 и используя (1.4) заметим, что цена портфеля в любой момент времени t [ 0 , T ] выражается формулой

Р ( t , S ( t ) ) = Π ( 0, S ( 0 ) ) − ∫0

t

d C ( v , S ( v ) ) + ∫0

t

N ( v , S ( v ) ) d S ( v ) (1.8)

Тогда

Р ( t , S ( t ) ) = − C ( t , S ( t ) ) + N ( 0 , S ( 0 ) )

∂ C ( 0 , S ( 0 ) )∂ S S ( 0 ) + (1.8′)

+ ∫0

t∂ C ( v , S ( v ) )

∂ S S ( v ) d v + ∫0

t∂ C ( v , S ( v ) )

∂ S σ S ( v ) d w ( v )

Заметим, что портфель Р ( t , S ( t ) ) строиться в полном соответствии с идеей Блэка и Шоулса однако цена портфеля Р ( t , S ( t ) ) не совпадает с ценой портфеля П ( t , S ( t ) ), который используется в построении Блэка и Шоулса

P ( t , S ( t ) ) = Π ( 0, S ( 0 ) ) − ∫0

t

d C ( v , S ( v ) ) + ∫0

t

N ( v , S ( v ) ) d S ( v ) Π ( t , S ( t ))

Нетрудно видеть, что функция Р ( t , S ( t ) ), заданная формулой (1.8) соответствует методологии предложенной Блэком и Шоулсом. Аналогично (1.5) находим

d P ( t , S ( t ) ) = [

∂ C ( t , S ( t ) )∂ t

+S 2 ( t ) σ 2

2∂ 2 C ( t , S ( t ) )

∂ S 2 ] d t (1.9)

Полный дифференциал цены портфеля Р ( t , S ( t ) ) является безрискованной функцией и следовательно, для того чтобы исключить возможность арбитража функция Р ( t , S ( t ) ) должна удовлетворять уравнению (1.6). С учётом равенств (1.9), (1.8′) уравнение для определения опциона на продажу может быть записано в виде

∂ C ( t , S ( t ) )∂ t

+S 2 ( t ) σ 2

2∂ 2 C ( t , S ( t ) )

∂ S 2 = r [

∂ C ( 0 , S ( 0 ) )∂ S S ( 0 ) – C ( t , S ( t ) ) +

(1.10)

+ ∫0

t∂ C ( v , S ( v ) )

∂ S S ( v ) d v + ∫0

t∂ C ( v , S ( v ) )

∂ S σ S ( v ) d w ( v ) ]

5

Трудно ожидать что решение уравнение (1.10) может оказаться полезным для вычисления цены опциона.

II. Альтернативный подход.

Для того чтобы предложить альтернативный метод необходимо сначала переосмыслить понятие цены опциона. Под рыночной ценой ценной бумаги мы понимаем цену, которая в равной степени удовлетворяет как покупателя так и продавца . Применительно к опциону мы полагаем, что патель сталкивается с проблемой купить ли акцию или купить опцион на эту акцию. В соответствии с этим мы называем две инвестиционные стратегии равными в момент времени t , если они обещают равное инфинитезимальное изменение ставки инвестицонного капитала в данные стратегии в течении короткого интервала времени [ t , t + Δ t ]. Две инвестионные стратегии равны на [ 0 , T ] , если они равны в каждый момент времени t на указанном промежутке времени. Предположим, что цена акции S ( t ) , t [ 0 , T ] удовлетворяет уравнению (1.1). Тогда относительное изменение ставки капитала инвестицонного в акцию или в опцион на промежутке времени [ t , T ] определяется

S ( T ) − S ( t )S ( t ) ,

C ( T , S ( T ) ; T , K ) − C ( t , S ( t ) ; T , K )C ( t , S ( t ) ; T , K )

Здесь, C ( t , S ( t ) ; T , K ) обозначает цену опциона на продажу в момент времени t; Т – момент окончания жизни опциона; K – договорная страйк-цена опциона.

Понятие равенства инвестиционных стратегий исключает возможность арбитража для любого сценария рынка . Используя понятие равенства для цен акции и её опциона можно записать уравнение

S ( T )S ( t ) { S ( T ) > K } =

C ( T , S ( T ) ; T , K )C ( t , S ( t ) ; T , K ) (2.1)

Здесь, 0 t T и C ( T , X ; T , K ) = max { X - K , 0 }. Решение уравнения (2.1) является случайной функцией C ( t , S ( t ) , ω ) для которой относительное изменение цены равно соответствующему изменению цены базисной акции для сценариев ω { ω : S ( T , ) > K } и C ( t , S ( t ) ; ω ) = 0 для каждого сценария ω { ω : S ( T ) ≤ K }. Другими словами, если заранее известно, что для фиксированного выполняется условие { S ( T , ) > K }, то покупка опциона или соответствующей базисной акции имеют одинаковую ценность. В противоположном случае, когда { ω : S ( T ) ≤ K } цена опциона равна 0, т.к. никто не станет покупать опцион, если цена базисной акции в момент T не превосходит K. Принимая во внимание, что цена опциона определена для каждого сценария будем называть её рыночной, зависящей от сценария ценой опциона в момент времени t. В отличие от случайной рыночной цены опциона определим спот-цену c ( t , S ( t )) в момент времени t. Эта цена представляет собою неслучайное число, которое является результатом согласия между покупателем опциона и её продавцом. Полагая S ( t ) = x и обозначая c ( t, x ) спот-цену опциона определим рыночный риск покупателя опциона как

6

P { c ( 0 , x ) > C ( t , x ; T , K ) }

Риск покупателя опциона измеряется вероятностью события, что покупатель платит больше, чем это подразумевается рынком. Смысл термина ‘платит больше’ состоит в том, что дешевле в момент t купить акцию, чем её опцион. Аналогично, рыночный риск продавца опциона может быть определён как

P { c ( 0 , x ) < C ( t , x ; T , K ) }

Эта вероятность представляет собою величину шанса, что продавец опциона продаёт опцион дешевле, чем это подразумевается рыночным сценарием. Заметим, что для сценариев Ω K = { ω : S ( T , ω ) ≤ K } относительное изменение инвестиционного капитала акции равен x – 1 S ( T , ω ) > 0. В то же время относительное изменение инвестиционного капитала в опцион равен 0. Таким образом, для сценария Ω \ Ω K = { ω : S ( T , ω ) > K } спот-цена опциона может быть интерпретирована как компенсация за риск потерь, связанного со сценариями Ω K . Эта компенсация является привилегией купить акцию опциона за K для сценариев Ω \ Ω K .

Рассмотрим пространственную дискретную модель аппроксимирующую модель (2.1). Рассмотрим дискретную аппроксимацию cлучайной величины S ( T ) в виде

∑j = 1

n

S j { S ( T ) [ S j – 1 , S j ) }

где 0 = S 0 < S 1 … < S n < + и обозначим p j = P ( ω j ) = P { S ( T ) [ S j – 1 , S j ) }. Заметим, что для некоторого j величина p j может быть как угодно близка к 1. Для того чтобы исключить возможность арбитража для каждого сценария ω j положим

S j

x=

S j − K

C ( t , x ; ω j ) , если S j > K

и

C ( t , x ; ω j ) = 0 , если S j ≤ K

Рыночная цена опциона на продажу в момент t [ 0 , T ) допускает дискретную по пространственной переменной аппроксимацию

C ( t , x ; ω j ) = ∑j = 1

n xS j ( S j - K ) { S ( T ) [ S j – 1 , S j ) }

Рассмотрим теперь обратную задачу, когда цена опциона c = c ( t , x ) > 0 известна. Можн, в частности, предположить, что c ( t , x ) совпадает с ценой определяемой решением уравнения Блэка – Шоулса. Несмотря на любые ценные свойства спот-цены , такие как на пример исключительное хеджирование любая цена c ( t , x ) включает в себя рыночный риск. Пусть

7

c ( t , x ) обозначает спот-цену опциона. Тогда относительное изменение инвестированного в опцион капитала за период [ t , T ] составляет

c – 1 ( t , x ) [ S ( T ; t , x ) – K ] ( S ( T ; t , x ) > K )

Из этой формулы видно, что произвольная спот-цена опциона автоматически включает в себя рыночный риск. Таким образом, цена опциона имеет две компоненты. Это спот-цена и риск, который в случае покупателя опциона определяется как

P { c ( 0 , x ) > C ( t , x ; T , K ) }

Отметим, что современная терия деривативов этот факт не замечают. В частности, цена опциона в теории Блэка – Шоулса, которую обычно связывают с исключительным хеджированием, полностью игнорирует существование рыночный риска. С другой стороны рыночный риск это риск покупателя-продавца является фактором который формирует спот-цену c ( t , x ). Вычислим цену акции Y = Y ( T ) , Y > K в момент T которая подразумевается ценой с = c ( t , x ). Для сценария ω ( • ) = S ( • , ω ) для которого ω ( T ) = { S ( T , ω ) = Y } из (2.1) следует уравнение

Yx =

Y − Kc

Решение этого уравнения представляет собою цену акции подразумеваемую ценой опциона с = c ( t , x ) > 0

Y =

K xx − c

Пусть цена акции описывается решением уравнения (1.1). Тогда, для произвольного x > 0 и для любого T > t цена акции представляет собою случайную, положительную с вероятностью 1 функцию S ( T ) = S ( T ; t , x ). Решение уравнения (2.1) может быть записано в виде

C ( t , x ; T , K ; ω ) =

xS ( T ; t , x ) [ S ( T ; t , x ) - K ] χ { S ( T ; t , x ) > K } (2.2)

Функцию C ( t , x ; ω ) = C ( t , x ; T , K ) мы называем рыночной ценой опциона на продажу в момент времени t. Для произвольного сценария рынка ω = ω ( l ) , l [ t , T ] существует единственное значение цены акции S ( T , ω ) в момент времени T а также единственное значение цены опциона C ( t , x ; ω ). Допустим, для примера, что спот-цена опциона c = c ( t , x ) в момент времени t представляет собою несмещённую оценку рыночной ценой опциона

c ( t , x ) = E

xS ( T ; t , x ) [ S ( T ; t , x ) - K ] χ { S ( T ; t , x ) > K } (2.3)

8

Использование несмещённая оценка рыночной цены в качестве цены на покупку предполагает определённую стабильность динамики акции. Возможно также и другое определение цены c ( t , x ). Например, спот-цена на покупку может быть решением проблемы равенства риска и вознаграждения, подразумеваемого этим риском, т.е.

E C ( t , x ; ω ) χ { C ( t , x ; ω ) > c ( t , x ) } = E C ( t , x ; ω ) χ { C ( t , x ; ω ) < c ( t , x ) }

Это уравнение может быть переписано в более простом виде

E C ( t , x ; ω ) χ { C ( t , x ; ω ) > c ( t , x ) } = 0.5 E C ( t , x ; ω )

Более общая форма, иллюстрирующая эту идею определения цены на продажу c ( t , x ) это существование некоторой рыночной функции = ( t , x ; T ) ( 0 , 1 ) для которой

E C ( t , x ; ω ) χ { C ( t , x ; ω ) > c } = E C ( t , x ; ω ) (2.4)

Предположим, что спот-цена опциона в момент времени t = 0 определяется формулой (2.3) и рассмотрим вопрос о вычислении цена опциона в будущие момент времени. Определим случайный процесс c ( t ) = c 0 , x ( t ; ω ) , t > 0 полагая

x – 1 c ( t ) = E { S – 1 ( T ; 0 , x ) [ S ( T ; 0 , x ) - K ] χ { S ( T ; 0 , x ) > K }} | F [ 0 , t ] } =

= [ E S – 1 ( T ; t , y ) [ S ( T ; t , y ) - K ] χ { S ( T ; t , y ) > K } ] y = S ( t ; 0 , x ) = (2.5)

= [ y – 1 c ( t , y ) ] y = S ( t ; 0 , x ) = ∫K

+ ∞v − K

v p ( t , y ; T , v ) d v | y = S ( t ; 0 , x )

где p ( t , y ; T , v ) обозначает плотность распределения случайной величины S ( T ; t , y ). Случайный процесс S ( * ; t , y ) являющийся решением уравнения (1.1) может быть представлен в виде

S ( T ; t , y ) = y exp { ( μ -

σ 2

2 ) ( T - t ) + σ [ w ( T ) - w ( t ) ] }

Таким образом

p ( t , y ; T , v ) =

dd v P { S ( T ; t , y ) < v } =

dd v P { σ [ w ( T ) – w ( t ) ] < h }

где

h =

1v { ln

vy - ( μ -

σ 2

2 ) ( T - t ) }

Тогда

9

p ( t , y ; T , v ) =

1

√ 2 π σ 2 v 2 ( T − t ) exp -

lnvy

− ( μ − σ 2

2) ( T − t )

2 σ 2 ( T − t )

Полагая q ( t , y ) = y – 1 c ( t , y ) замечаем, что

q ( t , y ) = E S – 1 ( T ; t , y ) [ S ( T ; t , y ) - K ] χ { S ( T ; t , y ) > K }

Здесь, q ( t , y ) = q ( T ; t , y ) , t [ 0 , T ). Функция q ( t , y ), определённая в области

( t , y ) [ 0 , T ) ( 0 , + ) является решением задачи

∂ q ( t , y )∂ t + μ y

∂ q ( t , y )∂ y +

12 σ 2 y 2

∂ 2 q ( t , y )∂ y 2

= 0 (2.6)

с обратным во времени граничным условием

q ( T , y ) = y – 1 ( y - K ) ( y > K ) (2.6′)

Предположим, что q ( t , y ) – достаточно гладкая функция. Тогда

q ( t - t , y ) - q ( t , y ) = q ( t , S ( t ; t - t , y ) ) - q ( t , y ) =

= q y¿

( t , y ) [ S ( t ; t - t , y ) - y ] +

12 q y y

¿ /¿ ¿ ( t , y ) [ S ( t ; t - t , y ) - y ] 2 + o ( t , ω )

Здесь, lim

Δ t → 0E | o ( t , ω ) | 2 = 0. Разделив обе части этого равенства на t и переходя к пределу когда t стремится к 0 убеждаемся, что функция q ( t , y ) является решением уравнения (2.6). Принимая во внимание равенство

x – 1 c ( t ) = q ( t , y ) | y = S ( t ; 0 , x ) =

c ( t , y )y

| y = S ( t ; 0 , x )

и гладкость функции q ( t , y ) с помощью формулы Ито убеждаемся что

d q ( t , S ( t ) ) = [

∂ q ( t , S ( t ) )∂ t + μ S ( t )

∂ q ( t , S ( t ) )∂ y +

12 σ 2 S 2 ( t )

∂2 q ( t , S ( t ) )∂ y2

] d t +

+ σ S ( t )

∂ q ( t , S ( t ) )∂ y d w ( t )

Учитывая равенство (2.6) замечаем, что выражение стоящее в квадратных скобках обращается в 0 и следовательно

10

c ( t , y )y

| y = S ( t ; 0 , x ) =

c ( 0 , x )x +

∫0

t

σ S ( u ; 0 , x )

∂ q ( u , S ( u ; 0 , x ) )∂ y d w ( u ) =

=

c ( 0 , x )x +

∫0

t

σ [ y

∂∂ y

c ( u , z )y ] z = S ( u ; 0 , x ) d w ( u ) | y = S ( t ; 0 , x )

и, следовательно, динамика процесса (2.5) определяется формулой

c ( t , ) = x

c ( t , y )y

| y = S ( t ; 0 , x )

11

References.

1. Black, F., Scholes, M. The Pricing of Options and Corporate Liabilities. The Journal of Political Economy, May 1973.

2. D. Brigo, C. Buescu, A. Pallavicini, Q. Liu, Illustrating a problem in the self-financing condition in two 2010-2011 papers on funding, collateral and discounting. 2012, http://ssrn.com/abstract=2103121.

3. Carr, P. Frequently Asked Questions in Option Pricing Theory. 2002, http://www.math.nyu.edu/research/carrp/papers/pdf/faq2.pdf

4. Gikhman, Il.I. On Black- Scholes Equation. J. Applied Finance (4), 2004, p. 47-74;

http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=500303.5. Gikhman, Il.I. Alternative Derivatives Pricing: Formal Approach, LAP Lambert Academic

Publishing 2010, p.164; http://papers.ssrn.com/sol3/cf_dev/AbsByAuth.cfm?per_id=3656396. J. Hull, Options, futures, and other derivatives. Pearson Prentice Hall, 7ed, 2009

12