物理システム工学科３年次「物性工学概論」

第３回　金はなぜ金ぴかか？ー金属の光学的性質ー

物理システム工学科量子機能工学分野佐藤勝昭

講義内容• 金属の色：金、銀、銅、鉄、白金• ３原色：加法混色と減法混色 /CIE 色度図• ヒトが色を認識する仕組み• 自由電子のプラズマ運動• 誘電率と屈折率・消光係数• 負の誘電率の意味するところ

金属の色：金、銀、銅、鉄、白金

金銀銀 銅

鉄白金

こがねしろがね あかがね

くろがね

三原色• 光の 3原色（加法混色 ）• 各色の強さを変えて混ぜ合わせると，いろいろな色の光になる。赤い光，緑の光，青い光を同じ強さで混ぜ合わせると， 白い光になる。

• 色の 3原色 （減法混色）• 各色を混ぜ合わせると，いろいろな色ができる。マゼンタ・シアン・イエローを同じ割合で混ぜると 黒になる。

http://www.shokabo.co.jp/sp_opt/spectrum/color3/color3.htm

赤 (red)緑 (green)青 (blue)

マゼンタ (red)シアン (blue)イエロー (yellow)

CIE 色度図• 色を表す（表色）ためには， 一般に３つの数値が必要であるが，明るさの情報を犠牲にして２つの数値で色を表し，２次元の図に表現したものを， 色度図という． • 実際には感覚的な３原色 RGB だ

けでは表せない色もあるので、機械による測色、表色、目の波長感度特性を詳しく調べて数値化した “表色上の３原色”である３刺激値 XYZ を使う。その３刺激値 XYZ にもとづいて，上記のような考え方にしたがい，２つの数値 (x , y ) を使って xy 座標空間で色を表したものを， xy 色度図と呼ぶ。

http://www.shokabo.co.jp/sp_opt/spectrum/color3/color3.htm

ある温度で光っている（熱放射・黒体輻射している）物体の色を測定して，温度と色の関係を色度図上に描くことができます．この曲線は黒体輻射の色軌跡と呼びます．なお，一般の光源は黒体輻射をしているわけではないので，色軌跡の上のある色で光っている光源の温度が，その点に対応する温度になっているとは限りません．そのため，色から決まる温度を色温度といいます

ヒトはどのように色を認識するか

なぜ３原色で表せるか。それは人間の色を感じる細胞が 3種類あるからである。これらの細胞は錐体（すいたい）と呼ばれ，三種の錐体の送り出す信号の強さの違いによりさまざまな色を感じることができる。

色を感じる

光を感じる

RGB 感度曲線と XYZ 等色曲線

• RGB感度曲線• 人間の眼や RGB 感度曲線は，あくまでも特徴的な波長（赤緑青）で一つのピークをもつ曲線になります．人間の眼では，主に感度領域の中央（緑色の光）で明るさを捉え，感度領域の両端（青や赤）で色合いを決めているのです

• XYZ等色曲線• 一方， XYZ 表色系は RGB では再現できない色をも表現するシステムなので，

XYZ 表色系などにおける３色の“感度”曲線は，たとえば赤が 2 山のピークをもつなど少し変わった形になっています．

XYZ 等色曲線と金属の色３刺激値

金銀銅の分光反射率

金銀銅の反射スペクトル波長表示 エネルギー表示

nm

124010602.110nm10998.210626.6

CmsmsJeV

msmsJssJJ

199

8341-

-11-

echE

chhE

貴金属の選択反射の原因 • 光は電磁波の一種である。つまりテレビやラジオの電波と同じように電界と磁界が振動しながら伝わっていく。• 金属中に光がはいると金属中に振動電界ができる。この電界を受けて自由電子が加速され集団的に動く。• 電子はマイナスの電荷を持っているので、電位の高い方に引き寄せられる。その結果電位の高い方にマイナスの電荷がたまり、電位の低い側にプラスの電荷がたまって、電気分極が起きる。• 外から金属に光の電界が進入しようとすると、逆向きの電気分極が生じて電界を遮蔽してしまって光は金属中に入れないことを示す。光が入れないということは、いいかえれば、光が全部反射されてしまうということを意味する。

電子分極の古典電子論(1)　自由電子

• 電子の位置を u 、有効質量を m* 、散乱の緩和時間を τ とすると、自由電子に対する運動方程式は、

• ここで、 E 、 u にｅ -iωt の形を仮定し、自由電子による分極 Pf ＝ -Nfqu の式に代入し、 D ＝ ε0εrE ＝ ε0E＋ Pf の式を使うことにより、

qEdtdum

dtudm

**

2

2

iim

qN pfr

11

1

1*

12

2

20

2

自由電子による電子分極+ +

+ +

+ + +

+ + +

+ +

+ +

+ + +

+ + +

+ +

+ +

+ + +

+ + +

+ +

+ +

+ + +

+ + +

+ -

E電界の印加により電子と核の相対位置が変化し、逆向きの分極を生じる

P ＋－

D=ε0E+P

ドルーデの式

• 誘電率の実数部は　　　　　　　　において 0 を横切る。• 負の誘電率をもつと、光は中に入り込めず、強い反射が起きる。

22

2

22

2

1

11

pr

pr

22 1 p

02 * mqN fp

束縛電子系の電子分極+ +

+ +

+ + +

+ + +

+ +

+ +

+ + +

+ + +

+ +

+ +

+ + +

+ + +

+ +

+ +

+ + +

+ + +

P ＋－

+ -

E

電子分極の古典電子論(2)　束縛電子

• 束縛電子についての運動方程式は、電子の位置をｕ，有効質量をｍ * 、緩和時間 τ とすると，

• ｍ *d2 ｕ /dt2 ＋ ( ｍ */τ)d ｕ /dt ＋ｍ *ω02 ｕ＝ q Ｅ

　 • で与えられる。これより束縛電子による電気分

極Ｐ b を求め、比誘電率を求めると、

• εr ＝ 1 － ωb2/(ω2 ＋ iω/τ － ω0

2)

• ここに ωb2 ＝Ｎ bq2/ ｍ *ε0 　である。

ローレンツの分散式• この式の実数部と虚数部は、それぞれ• εr' ＝１－ ωb

2(ω2-ω02)/{(ω2-ω0

2)2+(ω/τ)2}

• εr" ＝ ωb2(ω/τ)/{(ω2-ω0

2)2+(ω/τ)2} 　

となる。これはいわゆるローレンツの分散式である。

光学定数：屈折率と消光係数• 連続媒質中を x 方向に進む光の電界ベクトル Eは

　で表される。ここに n は屈折率と κ は消光係数である。 n とを併せて光学定数という。

• N ＝ n ＋ i を複素屈折率とよぶ。 • Maxwell 方程式に代入することにより、 N2 ＝ εr を得る。　　　従って (n+i)2= εr’+i εr” 　実数部同士、虚数部同士を等し

いとおいて• εr’ ＝ n2 － κ2 　 εr” ＝ 2nκ を得る。

xcnti

cx

cinitiE expexpexp

負の誘電率と反射率 • 空気中から複素屈折率 N の媒体への垂直に入射

した光の電界に対する振幅反射率は r=(N-1)/ (N+1) で与えられる。

• もし、比誘電率 r が負の実数であったとし、 r =-a(a は正の数 ) とすると、 N=r

1/2=ia1/2 であるから、 r= ( ia1/2-1)/( ia1/2+1) である。光強度の反射率 R は電界の絶対値の２乗に比例するので R=|r|2=(a+1)/(a+1)=1 、即ち 100% となる。

貴金属の誘電率スペクトル

復習してほしいこと• 自由電子に対する運動方程式を解いて、電界 E を加

えたときの電子変位 u を求め、 P=nqu を使って分極 P を計算し、 D=0P+E 、 D= r0E から r に対する式 (Drude の式 ) を求めよ。

• Maxwell の方程式を解いて r ＝ N2 を導け。ただし、rot rot E=-2E+( ・ E)E および・ E=0 を考慮せよ。

予習の勧め• シリコンのバンド構造について量子物性工学配付資料 2001,5.25 に基づいて

(http://www.tuat.ac.jp/~katsuaki/r010525p.pdf)–原子の寄り集まりと電子のバンドの項を読んでおいてください。– k空間の考え方を修得してください。