第五模块　微分方程及应用 第五模块　微分方程及应用

第四节　二阶常系数线性微分方程第四节　二阶常系数线性微分方程

一 自由项 f (x) 为多项式 Pn(x).

设二阶常系数线性非齐次方程为y + py + qy = Pn(x),

其中 Pn(x) 为 x 的 n 次多项式 .

),(* xQxy nk

当原方程 ⑥ 中 y

项的系数 q 0 时， k 取 0 ；当 q = 0 ，但 p 0 时，k 取 1 ；当 p = 0 ， q = 0 时， k 取 2.

⑥

因为方程中 p 、 q 均为常数且多项式的导数仍为多项式， 所以可设 ⑥ 式的特解为

其中 Qn(x) 与 Pn(x) 是同次多项式，

例 5 　求方程 y - 2y + y = x2 的一个特解 .

解　因为自由项 f (x) = x2 是 x 的二次多项式，

,2* CBxAxy

则,2* BAxy ,2* Ay

代入原方程后，有

.)22()4( 22 xCBAxBAAx

且 y 的系数 q = 1 0 ，取 k = 0 .所以设特解为

比较两端 x 同次幂的系数，有

.022

,04

,1

CBA

BA

A

解得A = 1 ， B = 4 ， C = 6.

故所求特解为

.642* xxy

例 6 　求方程 y + y = x3 – x + 1 的一个特解 .　　解　因为自由项 f (x) = x3 – x + 1 是一个 x 的

三次多项式，

).(* 23 DCxBxAxxy

则 ,234* 23 DCxBxAxy

,2612* 2 CBxAxy 代入原方程后，有

)2()26()312(4 23 DCxCBxBAAx .13 xx

且 y 的系数 q = 0 ， p = 1 0 ，取 k = 1.

所以设方程的特解为

比较两端 x 同次幂的系数：

.12

,126

,0312

,14

DC

CB

BA

A

解得.4,

2

5,1,

4

1 DCBA

故所求特解为

.42

5

4

1 23*

xxxxy

二 自由项 f (x) 为 Aex 型设二阶常系数线性非齐次方程为

y + py + qy = Aex ，其中 ， A 均为常数 .　　由于 p ， q 为常数，且指数函数的导数仍为指数函数，

其中 B 为待定常数，.e* xkBxy

当 不是 ⑦ 式所对应的线性齐次方程的特征方程 r2 + pr + q = 0 的根时，取 k = 0 ；当 是其特征方程单根时，取 k = 1 ； 当 是其特征方程重根时，取 k = 2.

⑦

因此，我们可以设 ⑦ 的特解

例 7 　求方程 y + y + y = 2e2x 的通解 .

　　解　 = 2 它不是特征方程 r2 + r + 1 = 0 的根，取 k = 0 ，

,e2* xBy

则 ,e2* 2 xBy

,e4* 2 xBy

代入方程，得

故原方程的特解为.e

7

2* 2 xy

所以，设特解为

.B7

2

例 8 　求方程 y + 2y - 3y = ex 的特解 .

　　解　 = 1 是特征方程 r2 + 2r - 3 = 0 的单根，取 k = 1 ，

,e* xBxy 则

,ee* xx BxBy

,ee2* xx BxBy

代入方程，得 故原方程的特解为

.e4

1* xxy

所以，设特解为

,41B

三 自由项 f (x) 为 ex (Acos x + Bsin x)

型设二阶常系数线性非齐次方程为y + py + qy = ex (Acos x + Bsin x) ，

其中 ， A ， B 均为常数 .　　由于 p ， q 为常数，且指数函数的各阶导数仍为指数函数， 正弦函数与余弦函数的导数也总是余弦函数与正弦函数， 因此 , 我们可以设 ⑧有特解

⑧

).sincos(e* xDxCxy xk 其中 C ， D 为待定常数 . 取 k = 0 ，是根时，取 k = 1 ，代入 ⑧ 式，求得 C 及 D.

当 + i 不是 ⑧ 式所对应的齐次方程的特征方程的根时，

例 9 　求方程 y + 3y - y = ex cos 2x 的一个特解 .　　解　自自自 f (x) = ex cos 2x 为 ex(Acosx + Bsin

x) 型的函数，

),2sin2cos(e* xDxCy x

则],2sin)2(2cos)2[(e* xCDxDCy x

].2sin)34(2cos)34[(e* xDCxCDy x

自 +i =

1 + 2i ，它不是对应的常系数线性齐次方程的特征方程 r2 + 3r – 1 = 0 的根，取 k = 0 ，所以设特解为

代入原方程，得.2cos2sin)10(2cos)10( xxCDxCD

比较两端 cos 2x 与 sin 2x 的系数，得

.010

,110

CD

CD

解此方程组，得

.101

10,

101

1

DC

故所求特解为

. 2sin101

102cos

101

1e*

xxy x

例 10 　求方程 y + y = sin x 的一个特解 .

　　解　自自自 f (x)= sin x 为 ex(Acosx + Bsinx)

型的函数，自 =0 ， = 1 ，

).sincos(* xDxCxy 则

),sincos(sincos* xCxDxxDxCy

).sincos(sin2cos2* xDxCxxCxDy

代入原方程，得.sincos2sin2 xxDxC

自 +i =i 是特征方程 r2 + 1 = 0 的根，取 k = 1 ，所以，设特解为

比较两端 sinx 与 cosx 的系数，得

.02

1 DC ，

故原方程的特解为

.cos2

1* xxy

而对应齐次方程 y + y = 0 的通解为

Y = C1cosx + C2sinx.

故原方程的通解为

.sincoscos2

121

* xCxCxxYyy

例 11 　方程 y + 4y = x +1 + sinx 的通解 .

　　解　自自自 f (x)= x +1 + sinx 可以看成 f1 (x)= x +1

和 f2 (x)= sin x 之和，y + 4y = x +1 ，

y + 4y = sin x .和

⑨

⑩

方程 ⑨ 的特解易求得，

,sin*2 xAy 设方程 ⑩ 的特解为

,cos*2 xAy

.sin*2 xAy

,4

1

4

1*1 xy的特解 .

所以分别求方程

代入⑩，得3Asin x = sin x.

.3

1A

所以

.sin3

1*2 xy

得原方程的特解

.sin3

1

4

1

4

1*2

*1

* xxyyy

　　原方程所对应的线性齐次方程为 y + 4y = 0 ，其通解为

Y = C1cos 2x + C2sin 2x ，

故原方程的通解为

.2sin2cossin3

1

4

1

4

121

* xCxCxxYyy