1

第十五章薄板的振动问题

2

一 .工程中常见的震动方式

纵向振动

* 横向振动

§15-1 无阻尼自由振动

3

二 .振动问题的特征

振动问题的解不是唯一的惯性力参与平衡

4

三 .振动问题讨论常用符号

动挠度 静挠度 瞬时从平衡位置量得的挠度

初挠度 初速度

, ,tw x y t

,ew x y

t ew w w

0w

0v

5

惯性力 /单位面积 频率 (第m阶 ) 弧度 /秒

振型 (第m阶 )

工程频率 Hz

2

ti

wq t m

t

m ,mW x y

mf

6

四 .微分方程

4

4

4

224 4

2 2

2

2

, ,

, , ,

0

e

t t i

t e t i

t ett t

e

D w x y q x y

D w x y q q x y t q

D w w q q

w wwD w q m D w q m

t t

w

t

7

无阻尼强迫震动微分方程

(15-27)无阻尼自由振动微分方程

(15-1)

24

2 t

wD w m q

t

24

20

wD w m

t

8

关于振动方程的说明

1. (15-1)与 (15-27) 区别在于 ，前者为自由振动，求之得稳态振幅；后者为强迫震动，它的解为齐次解加特解，其齐次解即为 (15-1)的解，

而特解与惯性力 有关；2. (15-1)与 (15-27)本质是平衡，是

横向振动中瞬时的横向平衡；

0tq

tq

9

3. 在 (15-1)与 (15-27)求解中，更为关注频率与振型，两者是相匹配的，例如一阶频率

对应一阶振型 ；4. 忽略转动惯性力的影响；5. 阻尼比 ，阻尼对

的影响很小。

1 1W

0 , ,W w

10

五 .微分方程 (15-1)的解

(15-2)

特点：每一点挠度是由无数个简谐振动叠加 而成，其频率为 ；

每一时刻 t挠度是由无数个振型叠加而成，

取决于初始条 件， 的值。

1

cos sin ,M

mm m m mm

w A t B t W x y

mmW

,m mA B0 00t v w

11

六 .振型方程

取

代入振动微分方程 (15-1)

得振型方程

令

cos sinw A t B t W

4 2 0D W w mW 2

4 mr

D

4 4 0W r W

12

七 .振型方程解法

1. ** 正解法（圆板）2. ** 逆法（矩形）3. * 半逆法（矩形）4. 跌加法（圆、矩形）5. 差分法6. 有限元法7. ** 变分法（各种）

13

§15-6 用能量法求板的自然频率

14

一 . Raylei法

三要素：1. 选取满足板的几何边界条件（位移边

条）并与实际振型相接近的 ；2. 为计算能量方便，假定薄板上 q=0，即

薄板的 ，则 t=0， w=0；3. 薄板在震动中能量守恒，即 ；

15

最大

16

存在 存在

动能

17

二 . Ritz法（改进的 Raylei法）

1. 设 可以含有多个待定系数；2.可以求基频，也可以求高阶频率；3.用的是变分原理；

18

三 . 圆板的 Raylei法和 Ritz法计算公式

振形函数 （ 15-21）各种边界

（ 15-22）周边夹支

最大型变势能 （ 15-24）轴对称 各种边界 （ 15-25）轴对称

周边夹支

19

（ 15-23）非轴对称

最大动能 （ 15-26）轴对称

20

§15-7 用能量法 求 算例

21

算例1.周边夹支矩形板，用 Raylei法

2.周边简支矩形板，用 Ritz法

3.周边夹支圆板，用 Raylei法

22

§15-8 强迫振动（无阻尼）

23

一 . 动力载荷

简谐动挠力1.周期性： 波浪力

24

2.非周期性（随机）爆炸载荷

地震作用

25

二 . 无阻尼强迫振动运动方程

（ qt即单位面积上的动挠力）

26

三 .方程的解

取决于自由振动动力特征

取决于动力问题初始条件 特解取决于

27

四 . 特解的确定

令

用分离变量法，将所设带入 (15-27) 令其满足，得到关于 的方程

(g)，即为定 的方程。

28

算例 周期性简谐动载荷作用于薄板

1. 首先求解自由振动的2. 求特解3. 求全解 =齐次解 +特解 应用初始条件定 得到动态振幅

4. 讨论 共振现象 扰 设计控制： 扰

29

第十五章 薄板的振动问题小结

30

1.掌握无阻尼自用振动和强迫振动微分方 程 (15-1) (15-27)；

2. 求解无阻尼自由振动的方法两类：

解析法 能量法（两种 R法的差异）；

31

3. 自由振动关注： 及其对应的 ，特别是 （基频）

强迫振动关注：动态振幅，共振的设计控制。

4.影响薄板动力特性 （即 ， ）的关连因素：质

量，几何尺寸，约束，刚度

32

几种约束梁的 单位：梁的种类 一端固支

另一端自由

两端简支 一端固支另一端简支

两端固支

图示

3.515 9.870 15.40 22.37

33

几种板的 单位：

序 1 2 3 4 5

图示

9.87 19.72 23.65 28.90 8.996

出处 §15-3 §15-2 §15-3 习题15-2

§15-7

34

5. 当有集中质量作用时，用能量法，要把对动能的贡献考虑进去。