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第三章 直线与平面、 平面 与平面的相对位置. 内 容 提 要. §3-1 直线与平面平行 • 平面与平面平行. §3-2 直线与平面相交 • 平面与平面相交. §3-3 直线与平面垂直 • 两平面垂直. §3-4 点、线、面综合题举例. 本章重点讨论的三个问题： 1 、在投影图上如何绘制及判断直线与平面和平面与平面的平行问题。 2 、如果直线与平面和平面与平面不平行，在投影图上如何求其交点或交线。 3 、在投影图上如何绘制及判断直线与平面和平面与平面的垂直问题。. - PowerPoint PPT Presentation
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第三章 直线与平面、 平面
与平面的相对位置
§3-1 直线与平面平行 • 平面与平面平行
§3-2 直线与平面相交 • 平面与平面相交
§3-3 直线与平面垂直 • 两平面垂直
内 容 提 要
§3-4 点、线、面综合题举例
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本章重点讨论的三个问题：
1 、在投影图上如何绘制及判断直线与平面和平面与平面的平行问题。2 、如果直线与平面和平面与平面不平行，在投影图上如何求其交点或交线。3 、在投影图上如何绘制及判断直线与平面和平面与平面的垂直问题。
A
B
C
EF
a
b
c
e
f
D
d
1 、直线与平面平行 若一直线平行于某平面上的任一直线，则该直线与平面平行。
据此可以解决 :
1. 作直线平行于已知平面2. 作平面平行于已知直线3. 判断直线是否与平面平行
一 平行问题
例 3-1 试过点 N 作水平线 MN 平行于 ΔABC 平面
分析作图
b’
a
b
c
n
a’
c’
n’
X O
1. 在 ΔABC平面上任作一水平线 BD
2. 过点 N 作直线 MN 平行与直线 BD
d
m
m’d’
直线 MN 即为所求
例 3-2 试过点 A 作平面 ΔABC 平行于直线 MN
分析
作图
1. 作直线 AC MN∥
2. 过点 A 任作直线 AB
ΔABC 即为所求
b’
c
c’
b
m
m’n’
n
a
X O
a'
例 3-3 试判断直线 EF 是否平行于平面 ΔABC
b’
a
bc
e
a’
c’e’
X O
分析作图
1. 在 ΔABC 平面上任作一辅助线 CD,且使 c’d’ e’f’∥( 或 cd ef)∥
2. 求出 ΔABC 上的 CD 直线的另一投影 cd( 或 c’d’)
因 ef 不平行 cd 故EF 不平行于 ΔABC
f
f’
d ’
d
2 、平面与平面平行
若一平面内两相交直线对应平行于另一平面上的相交两直线，则这两平面相互平行。
据此可以解决 :
1. 作平面平行于已知平面
2. 判断两平面是否平行A
B C
A1
B1C1P
Q
例 3-4 试作 ΔEFG ΔABC∥ 平面
e’
b’
a
b
c
e
a’
c’
X O
f
f’
g
分析作图1. 在 ΔABC 内作
直线 AM EF,∥MN FG(am∥
ef,mn fg)∥ ∥
2. 求出 AM ,MN的正面投影
m
n
m’
n’
3. 过 f’ 作 e’f’a’m’∥ 、 f’g’∥
m’n’, 则 ΔEFG即为所求
g’
例 3-5 判断 ΔEFG 与 ΔABC 平面是否平行
g
fa
b
c e
g’b’
c’
e’
f’
a’X O
分析
例 3-6 判断两平面是否平行
d f
g
ec
b
a
a’
f’
g’d’b’
c’
e’
h’
h
分析
例 3-7 判断两平面是否平行
dfe
cb
a
a’
f ’
d’
b’c’
e’
A
B
C
G
H
E
F
e
f
a
c
b
h
若两平行平面同时垂直于同一投影面 , 则它们在该平面上的积聚性投影必然相互平行 , 且反映两平行平面之间的真实距离。
面面平行的特殊情况
e
f
a
c
b
h
g
h’
f’
g’
e’b’
a’
c’
直线与平面相交 , 必有一个交点 , 它是直线与平面的共有点。
平面与平面相交 , 必有一条交线 , 它是两平面的共有线。
求解交线的方法 :
1. 作出交线上的两个共有点 2. 作出交线上的一个共有点及交线的方向求作交点或交线的过程 :
1. 求出交点或交线的投影2. 判别可见性
二 相交问题
一、利用积聚性求交点和交线
1. 一般位置直线与特殊位置平面相交
§3-2 直线与平面相交 两平 面相交
A
B
C
a
b
c
F
E
K
f
e
k
b’
a’
c’
b
a
c
e’
f’
e
f
b’
a’
c’
b
a
c
e’
f’
e
f
k
k’
作图步骤 1. 利用积聚性求出 K点水平投影 k 2. 利用点在线上的投影特性求出 K点正面投影 k ’
3. 判别可见性
1
2
1’(2’)
y1 ＞ y2, 即点Ⅰ在点Ⅱ前方， EK 正面投影可见
1
2
1’(2’)
a’
b’
c’
b
a
c
e’
f’
e
f
k
k’
作图步骤 1. 利用积聚性求出 K 点水平投影 k 2. 利用点在线上的投影特性求出 K点正面投影 k ’
3. 判别可见性
y1 ＞ y2, 即点Ⅰ在点Ⅱ前方，EK 正面投影可见
一、利用积聚性求交点和交线
1. 一般位置直线与特殊位置平面相交2. 特殊位置直线与一般位置平面相交
§3-2 直线与平面相交 两平 面相交
a’
b’
c’
b
a
c
e’(f’)
e
f
k
k’
d’
d
分析 EF 在正面的投影有积聚性，故交点 K的正面投影必与 EF 的正面投影重合，利用面上取点的方法可求出交点 K 的水平投影
作图
k
a’
b’
c’
a
c
e’(f’)
e
f
k’
d’
d
一、利用积聚性求交点和交线
1. 一般位置直线与特殊位置平面相交2. 特殊位置直线与一般位置平面相交3. 特殊位置平面与一般位置平面相交
§3-2 直线与平面相交 两平 面相交
k
l
a’
b’
c’
b
a
c
e’
f’
e
fd
d’
k’
l’
V
XO
A
B
C
E
D
F
c
a
b
e
fd
作图步骤 1. 利用积聚性求出 KL 的水平投影 kl 2. 利用点在线上的投影特性求出 K 点正面投影 k ’ ， l’
3. 判别可见性
k
l
K
L
1
2
1’(2’)
k
l
a’
b’
c’
b
a
c
e’
f’
e
fd
d’
k’l’
一、利用积聚性求交点和交线1. 一般位置直线与特殊位置平面相交2. 特殊位置直线与一般位置平面相交3. 特殊位置平面与一般位置平面相交
二、利用辅助平面求交点和交线 一般位置直线与一般位置平面相交
§3-2 直线与平面相交 两平 面相交
E
D
M
N
d
d’
a
b
f
e
b’
a’
e’
f’B
A
M
m
n
n’
m’
k’
k
作图判别可见性
1
1’
Z1 ＞ ZM, AK 的水平投影 ak 可见
2’(3’)
2
YⅡ＞ YⅢ, AK 的正面投影 a’k’ 不可见
3
d
d’
a
b
f
e
b’
a’
e’
f’E
D
M
N
B
A
M
m
n
n’
m’
k’
k
作图判别可见性
1
1’
Z1 ＞ ZM, AK 的水平投影 ak 可见
2’(3’)
2
YⅡ＞ YⅢ, AK 的正面投影 a’k’不可见
3
一、利用积聚性求交点和交线
1. 一般位置直线与特殊位置平面相交2. 特殊位置直线与一般位置平面相交3. 特殊位置平面与一般位置平面相交
二、利用辅助平面求交点和交线 一般位置直线与一般位置平面相交
§3-2 直线与平面相交 两平 面相交
d
f
g
e
c
b
a
a’f’
g’d’
b’
c’
e’
1’
2’
2
3’
3
h’
h
例 3-8 求作两平面的交线并判断可见性
§3-3 直线与平面垂直 • 两平 面垂直一、直线与平面垂直
若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一切直线。
据此可以解决 :
1. 作直线垂直平面或平面垂直直线2. 判断线面是否垂直
作 图 举 例 :
若一直线的水平投影垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则直线必垂直于该平面。
若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。
k’
l’
k
l
h
a’
ca
c’
例 3-9 平面由 Δ BDF 给定，试过定点 K 作平面的法线。h’
返回
K
C
F
D
BA
1. 在△ BDF 上作正平线 DC 和水平线AB2. 作 k’h’ d’c’; ⊥kh ab ⊥
H
e’ f’
e
f
1. DC 为正平线 , 判断m’n’ 是否垂直d’c’
2. 在平面内作水平线EF , 判断 mn是否垂直 ef
直线 MN 不垂直给定平面
例 3-10 平面由两平行线 AB 、 CD 给定，试判断直线 MN 是否垂直于定平面。
例题 3-11 试过定点 S 作一平面垂直于已知直线 EF 。
e’s’
OX
e
f
f’
s
S
F
E
N
M
过 S 点分别作正平线 SN 、水平线 SM, 使 水平 SN E⊥
F SM EF⊥
n’
n
m
m’
§3-3 直线与平面垂直 • 两平 面垂直一、直线与平面垂直二、平面与平面垂直
若一直线垂直于定平面则包含该直线的所有平面都垂直于该平面。据此可以解决 :
1. 作平面垂直平面2. 判断面面是否垂直实质问题是作垂直面
例 3-12 平面由 Δ BDF 给定，试过定点 K 作平面垂直 Δ BDF 。
h
a’
ca
h’
c’
m’
m
例 3-13 判断 Δ DEF 、 Δ GHK 是否与 Δ ABC 垂直。
g
h
c
a
b f
de
k’h’
g’
f’
e’
d’
c’
b’
a’
m’
h
m
Δ DEF ⊥Δ ABC Δ GHK⊥Δ ABC
画法几何问题，归纳起来大体分为定位问题和度量问题两大类。
（ 2 ） 空间分析
轨迹分析法 逆推法
（ 4 ） 解答分析
（ 3 ） 投影作图
（ 1 ） 题意分析 分析有哪些几何条件，有无几何元素在空间处于特殊位置，明确求解的几何元素或几何量。
§3-4 点线面综合题举例
E
F
例题 3-14 过点 K 作直线 KS 平行于三角形 ABC并与直线 EF 相交。
e’
c’
b’
a’
k’
f’
e
af
k
c
b
S
A
C
B
K
(1) 过 K 作平面平行三角形 ABC(2) 求出 EF 与辅助平面的交点S
s
s’
(3) 连 KS 即为所求
空间分析
例题 3-14 过点 K 作直线 KS 平行于三角形ABC 并与直线 EF 相交。
e’
c’
b’
a’
k’
f’
e
af
k
c
b
A
CB
E
F
M
N
K
S
( 这里给出另一种解法的空间分析 , 具体作图读者自己完成 .)
1. 求出两平面的交线 MN
2. 过 K 作 KS 平行 MN
空间分析
例 3-15 求交叉两直线 AB 和 CD 的公垂线 MN 。
d
c
b
a
a’d’
b’
c’
B
A
EM
NK
DC
作图步骤1. 包含 CD 作一平面 Q 与 AB平行2. 过 A 作 AK 垂直平面 , 求出垂足 K3. 过 K 作 KM 平行 AB 交 CD于 M4. 过 M 作 MN 平行 AK 交 AB于 N
空间分析
