八年级 下册

19.3 梯形在数学的天地里，重要的不是我们知道什么而是我们怎么知道什么的。

　　　　　 　—毕达哥拉斯

情境导入 引入新课

生活中处处有数学

欣赏图片 有你熟悉的图形吗？它们有什么特点？

梯形定义：

一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

上底

下底

腰 腰高

阅读教材 106 页，自学梯形的上底，下底，腰和高的概念．并知道两类特殊的梯形：等腰梯形，直角梯形．

自学感悟：

● 夹在两底之间的垂线段叫做梯形的高．

● 平行的两边叫做梯形的底( 其中较短的底叫做上底，较长的底叫做下底 .)● 不平行的两边叫做腰

梯形

两条腰相等

一条腰和底垂直

A

B C

D

等腰梯形

A D

CB

直角梯形

A

B C

D

等腰梯形的性质：等腰梯形是 图形 .轴对称

等腰梯形的对角线相等 .等腰梯形在同一底上的两个角相等 .

已知：梯形 ABCD ， AD∥BC ， AB=CD

动手操作 探究性质

观察等腰梯形 ABCD ，猜想它可能具有哪些特殊性质，能证明你的猜想吗？

B

A D

C

如图，在等腰梯形 ABCD中， AD∥BC,AB=DC，说明：∠ B＝∠ C

理由：过点 D 作 DE∥AB交 BC于点 E

∵ DE AB∥ ∴∠1＝∠ B.

又 ∵ AD∥BC ∴四边形 ABED为平行四边形 . ∴ AB＝ DE 又∵ AB=DC ∴ DC＝DE ∴∠1＝∠ C ∴∠B ∠＝ C

1

平移一腰是梯形常用的辅助线。

等腰梯形同一底边上的两个角相等 .

E

理论验证

A

B

D

CE F

证明：过 A ， D 分别作 AE⊥BC ，DF⊥BC ，垂足分别为点 E ， F 。

又∵ AD 　∥　 BC ，∴ 四边形 AEFD 是平行四边形 　∴ AE ＝ DF

　又∵ AB ＝ DC

　∴∆ ABE≌∆DCF (HL) 　∴∠ B= C∠ 。

　证明方法2

∵ AE BC⊥ ， DF B⊥C

∴ AE 　∥　 DF

如图，在等腰梯形 ABCD中， AD∥BC,AB=DC ，说明：∠ B∠＝ C

过上底两端点作高也是梯形常用的辅助线 .

A

B

D

C

O

等腰梯形的性质 2 　

等腰梯形的两条对角线相等。已知：在梯形 ABCD 中， AD 　 BC ，AB ＝ CD ，求证： BD ＝ AC

∥

∴∠ABC= DCB∠

证明：在梯形 ABCD 中，∵AB ＝ CD ，

又∵ BC=CB

∴△ABC DCB.≌△　∴ BD ＝ AC.

例 1 ：如图，延长等腰梯形 ABCD 腰 BA与 CD ，相交于点 E ，求证∆ EBC 和∆ EAD是等腰三角形。

证明：∵四边形 ABCD 是等腰梯形，

∴∠ B= C∠ 。∴∆EBC 是等腰三角形。

∵AD BC∥ ，∴∠1 ＝∠ B ，∠ 2 ＝∠ C，∴∠1 ＝∠ 2 。∴∆EAD 是等腰三角形。

D

CB

A

E

1 2

1. 判断题： （抢答） （ 1 ）一组对边平行的四边形是梯形 ( ) （ 2 ）等腰梯形的两个底角相等 . ( 　 ) （ 3 ）等腰梯形的对角线相等 . ( ) （ 4 ）等腰梯形的一组对边相等且平行 . ( )

小试牛刀：

2 ．已知等腰梯形的周长 25cm ，上、下底分别 为 7cm 、 8cm ，则腰长为 _____cm ．A.3cm B.4cm C.5cm D. 6cm

3. 如图 , 梯形 ABCD 中 ,AD∥BC,∠A=90,∠D=150° ， CD=8cm ，则 AB= ．

A

B

D

CE

×

×

×√

C

A.3cm B.4cm C.5cm D. 6cmB

3 、如图，在等腰梯形 ABCD 中， AD=4, BC=10, 高 DF=4 ， 则 CF= ， DC= .

A

B C

D

F

课堂提升

2 、等腰梯形的锐角为 60° ，两底长分别为 3cm 和 8cm ，则它的腰长为 .

A

BC

D

1 ．等腰梯形中一个锐角为 70° ，则另外三个角分别为 ____ ， ____ ， ____ ．70° 110° 110°

5cm

3 5

60 °

3cm

3cm5cm

1 、已知：如图，四边形 ABCD是等腰梯形， AD=BC，AD=5 ， CD=2 ， AB=8 ，求梯形 ABCD的面积．

D

A B

C

F

2 、已知：如图，等腰梯形 ABCD， AD∥BC，对角线 AC⊥BD， AD=3cm， BC=7cm． 求梯形的面积．

E

A

B C

D

E F

扩展延伸

边

角

对角线

对称性

一组对边平行，另一组对边不平行但相等；

在同一底上的两个内角相等

等腰梯形的两条对角线相等 .

等腰梯形是轴对称图形，上下底中点所在的直线是对称轴

１．梯形，直角梯形，等腰梯形的定义

　２ 等腰梯形的性质

．

颗粒归仓　总结收获

方法比知识更重要

1. 解决梯形问题的基本思路和方法：通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为平 行四边形和三角形的问题来解决。

2. 常画的辅助线有以下几种：

作业 :P109 习题 1,2

课后巩固