由一个佯谬看涡旋电流的存在 PB05013007 田鸿翔

指导老师 万树德

一、问题的提出在《费恩曼物理学讲义》上看到这样一个问题 。构想如下装置

对装置的描述 塑料盘薄而圆，轴承光滑，即能使圆盘良好转动。与转轴同心放置一个短螺线管形状的线圈，由装在盘上的小电池组供电，使得线圈里有恒定电流 I 存在。 靠近盘的边缘等距分布若干带等量电荷的金属小球，小球相互之间以及与线圈之间均由与盘同样材料的塑料绝缘。各个部分均完全固定。由于某种突然的原因或是事先设定，电流被中断但是没有受到外界的干扰。

电流中断后圆盘的运动情况怎样？应用以前的知识可以得到两种不同的结论：

（一） 只要有持续电流流经线圈，必然有与转轴平行的磁通量穿过线圈；当突然断电后，该磁通量瞬时趋向零，所以必然会产生一个感应电场，该电场围绕轴环绕成圆周。因此边缘的小球会受到一个与圆盘相切的力，并且由于所有小球带电量相同，故一定有一个净力矩作用在盘上。转轴良好，所以圆盘开始转动。

（二） 根据角动量守恒原理，这一装置在初始时的角动量为零，并且外力的作用为零，故其应该保持角动量不变，即断电后不会发生转动。

转还是不转？这是一个问题！

二、分析 实际是不会有两种不同的结论的 。这便产生了一个佯谬。那么哪一种才是正确的？ 问题的解答不会依赖一些非本质的东西，比如电池放置位置的影响。我们可以尽可能把条件理想化来思考这一问题。

先看第二种论述：角动量守恒？其中的关键是外力的作用是否真的为零。重力、支持力、摩擦力 ( 已经忽略 ) ，这些力的作用显而易见，装置一开始处于静止状态，合外力为零；此后的作用也不会发生变化。还有别的什么作用？

感应电场 ！

设想一下麦克斯韦当年分析电磁感应的思路。在这一现象中，产生感生电动势的非静电力到底是什么？导体没有运动，那么其中的载流子也没有发生宏观的运动，所以不会是洛仑兹力。也不会是磁场力。那么还会有什么力呢？和我们现在的情形颇有几分相似！麦克斯韦提出了一个天才的假设：变化的磁场在其附近会激发出一个新的电场――涡旋电场。

事实上，在上述佯谬中，得到第二个结论的前提便是忽略了涡旋场的真实存在。考虑了涡旋电场的作用，“矛盾”就没有了。 确认圆盘必定会旋转后，可以在理想状况下作一简单计算。

三、简单计算 给出如下初始条件： 导体球均匀且对称分布（ 2k 个），质量为 m ，所带电量均为 Q ； 初始时电流为恒定的 I ； 圆盘及小球绕轴转动的转动惯量为 J ：线圈与电池的质量忽略不记，圆盘质量为 M ，半径为 R ，则装置绕轴的转动惯量为

222 )221(2

21 RkmMkmRMRJ

对于涡旋电场：

设线圈单位长度匝数为 n ，为简单起见，粗略认为中心磁感应强度等同于长直螺线管的中心磁感应强度，且忽略边缘的不均匀

dStBdlE

S

..L

旋

0B nI

如果经过的时间电流减小为零 ,则可以计算出环绕圆盘，经过小球的涡旋电场强度（小球半径不计）0 .

2nI SER t

系统受到的合力矩。由于球是对称分布，故作用在其上的电场力形成 k 对力偶。

由动量矩定理

JM

kEqRREqkkMM 220

为系统的角加速度在一段时间 T内不考虑摩擦及空气阻力， 有圆盘的角速度 T 给出确定的数值后便可利用上面几式计算出圆盘在一段时间内的运动状况。

四、总结 涡旋电场是真实存在的。与此同时物理学上真正的佯谬其实是不存在的，如费恩曼所说：“至少我们相信自然界只按一种方式行动。因此在物理学中佯谬只是我们本身理解上的混乱。” 至于计算，只是一个近似的分析。实际上，真实有这么一个装置的话，产生的电场对带电小球的作用未必能克服摩擦而使圆盘转动。

五、拓展与联想 若把问题中的装置换成一个单一的带电球，则涡旋电场的产生就不能再依赖自身的电流变化。这时附加一个涡旋电场。则球体在电场的作用下还会转动吗？我想答案应该是肯定的。 于是联想到地球的自转

地球自传的原因是什么呢？到目前为止，众说纷纭，有一种说法是太阳系形成时的星云有角动量，地球转动的角动量即是它的一部分。我猜测这也可能是电磁力的作用。有关资料表明，地球本身是带电的，那么它的转动是否是受到某个涡旋电场的作用？当然，这个电场应该是地球自身的磁场与宇宙中其它变化的磁场共同产生的。由于地表潮汐等的影响，使得转动得以匀速进行下去。会是这样吗？

谢谢！再祝大家新年快乐！