立体の生成方法境界表現、ＣＳＧ表現、スイープ表現

立体の表現方法 (1)

• 境界表現 (B-rep(Boundary Representation))

• ＣＳＧ表現 (Constructive Solid Geometry Representation)

• スイープ表現 (Sweep Representation) f1: v1, v2, v3, v4, v5, v6 S: Sweep(f1, dir: (0, 0, -1), length: 4)

立体の表現方法 (2)

境界表現（１）境界表現とは，頂点・稜線・面と，これらの相互関係を表すデータによって立体データを表現するものである．

境界表現（２）境界表現によるデータは，以下の２種類のデータにより構成される．

幾何データ：座標，方程式の係数などのような数値データトポロジーデータ：頂点・稜線・面間の関係を表すデータ幾何データ

トポロジーデータ

ウィングドエッジデータ構造（１）境界表現の一実現例

ウィングドエッジデータとは，立体を稜線の集まりであると定義し，各稜線について，他の稜線・頂点・面との関係を保持するトポロジーデータ構造である．

各稜線につき一つのウィングドエッジデータを生成

ウィングドエッジデータ構造（２）

V1

V2E2

E3

E1

E4E

F1

F2

各稜線につき一つのウィングドエッジデータを生成

V1 V2

E1 E2

E4 E3

F1 F2

E

ウィングドエッジデータ構造（３）V1 V2E1 E3E2 E4F1 F2

E

V1 V2E1 E3E2 E4F1 F2

E

V1 V2E1 E3E2 E4F1 F2

E

V1 V2E1 E3E2 E4F1 F2

E

V1 V2E1 E3E2 E4F1 F2

E

稜線の数だけウィングドエッジデータを生成

V1 V2

E1 E2

E4 E3

F1 F2

E

内部と外部の判定点Ｐ (x0,y0,z0) が，多面体の中に存在するかを調べる．面 F1 のどちら側に点 P が存在するかを調べる．

V1

V2V3

V4E1

E2E3

E4

E5E6

F1 F2F3

F4

点Ｐ (x0,y0,z0)

以上のような処理を，各面について調べる．全ての面について，点 Pは各面の実体側にあると判断された場合，点 Pは立体中に存在するものとする．

ＣＳＧ表現 (Constructive Solid Geometry)

ＣＳＧ表現とは，立体を３次元空間における点の集合ととらえ，集合演算を基本に立体をモデル化する方法である．

＋

CSG 表現の集合演算A B

A∩B A － B

B － AA B ∪ または A ＋ B

ＣＳＧ表現の例（１）例えば，下図の立体Ｓは，Ａ＋Ｂ( Ａ : 直方体 Ｂ : 円柱 ) で表される．

立体Ｓ

＝ ＋

Ａ : 直方体 Ｂ : 円柱

ＣＳＧ表現の例（２） 30,120,110),,( zyxzyx

200,3),,( 22 xzyzyx

点集合Ａ 0:

点集合Ｂ0:

z

x

y

o 11

123

xy

z

o3

20

ＣＳＧ表現の例（３）

xy

z

o3

20

z

x

y

o 11

123

z

x

y

o

変換行列Ｔ a

変換行列Ｔb

プリミティブの例

内部と外部の判定（１）例えば，点 P(x0,y0,z0) が，下図に示す立体の中に存在するかを調べる．

z

x

y

o

点 P(x0,y0,z0)

内部と外部の判定（ 2 ）この場合，点 P の同次座標　 P'(wx0,wy0,wz0,w)を考え， P' Ｔ a

-1 が集合Ａ 0 中に存在するか？P' Ｔ b

-1 が集合Ｂ 0 中に存在するか？ を調べる．

形状ＳはＡとＢの和集合なので，上記のいずれかが満たされれば，点 P は形状Ｓ中に存在するものとする．

z

x

y

o

xy

z

o3

20

xo

z

y

点 P(x0,y0,z0)

境界表現とＣＳＧ表現の比較境界表現の利点

形状の幾何データが数値で与えられているので，形状の表示，シミュレーションに，形状データをそのまま流用できる．面・稜線・頂点がデータとして別個に管理されているため，形状以外の情報を，面・稜線・頂点に関連付けやすい．

CSGの利点形状の定義が明確．

スイープ表現• 平面図形を一定方向に移動したときの軌跡で立体を表現• 局所変形との組み合わせで，様々な形状を表現可能• 平行移動スイープ，回転移動スイープ