第第 66 　时　时 几何动态问题的解法

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第 6 　课时 几何动态问题的解法

知 识 归 纳

考 点 例 析

基 础 训 练

能 力 训 练

点动、线动、图形动构成的问题称为几何动态问题．这类问题的特征是以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点、多种解题思想于一题，它综合性强，能力要求高．它的特点是：问题背景是特殊图形 ( 或函数图象 ) ，把握好一般与特殊的关系；在分析过程中，要特别关注图形的特性 ( 特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置 ) ．近几年来动点问题一直是中考的热点，主要考查探究运动中一些特殊图形 ( 等腰三角形、直角三角形、平行四边形、梯形 ) 的性质或面积的最大值．解题策略是：把握运动规律，寻找运动中的特殊位置，在“动”中求“静”，在“静”中探索“动”的一般规律 .

考查点运动的问题 (2011 广东 ) 如图，抛物线 与 y

轴交于 A 点，过点 A 的直线与抛物线交于另一点 B. 过点 B作 BC⊥x 轴，垂足为点 C(3,0) ．

(1) 求直线 AB 的函数关系式；(2) 动点 P 在线段 OC 上从原点 O 出发以每秒一个单位

的速度向 C 移动，过点 P 作 PN⊥x 轴，交直线 AB 于点 M ，交抛物线于点 N. 设点 P 移动的时间为 t 秒， MN 的长度为 s个单位，求 s 与 t 的函数关系式，并写出 t 的取值范围；

(3) 设在 (2) 的条件下 ( 不考虑点P 与点 O 、点 C 的重合的情况 ) ，连接 CM 、 BN. 当 t 为何值时，四边形BCMN 为平行四边形？问对于所求的 t值，平行四边形 BCMN 是否为菱形？请说明理由．分析： (1) 先求出 A 、 B 两点坐标，再利用待定系数法求出直线 AB 的函数关系式； (2) 由于点 M 、 N 的横坐标为已知 t ，利用函数关系式可求出它们的纵坐标，利用数形结合思想可知点 M 、 N 到 x 轴的距离．从而建立函数关系； (3) 因为 MN BC∥ ，所以要使四边形 BCMN 为平行四边形，就必须满足 MN ＝ BC ，利用等量关系建立方程，从而解决问题．

点评：动点问题往往会把匀速运动相联系，本题是以抛物线为背景，把点的纵坐标 ( 或横坐标 ) 与点到 x 轴 ( 或 y轴 ) 的距离联系起来．注意数形结合．

如图，在△ ABC 中，∠ B ＝ 90° ， AB＝ 6 cm ， BC ＝ 8 cm ，点 P 从点 A 出发沿AB 边向点 B 以 1 cm/s 的速度移动，点 Q 从点B 出发沿 BC 边向点 C 以 2 cm/s 的速度移动．如果 P 、 Q 分别从 A 、 B 同时出发，则经过________ 秒时， PQ 有最小值，并且这个最小值为 ________ ．

考查图形运动的问题 如图 1 ，在 Rt△ABC 中，∠ A ＝ 90° ， AB ＝

AC ， BC ＝ 4 ，另有一等腰梯形 DEFG(GF∥DE) 的底边DE 与 BC 重合，两腰分别落在 AB ， AC 上，且 G ， F 分别是 AB ， AC 的中点．

(1) 求等腰梯形 DEFG 的面积．(2) 固定△ ABC ，将等腰梯形 DEFG 以每秒 1 个单位的速度沿 BC 方向向右运动，直到点 D 与点 C 重合时停止．设运动时间为 x 秒，运动后的等腰梯形为 DEF′G′( 如图 2) ．在运动过程中，四边形 BDG′G 能否是菱形？若能，请求出此时 x 的值；若不能，请说明理由．

(3) 设在运动过程中△ ABC 与等腰梯形 DEFG 重叠部分的面积为 y ，求 y 与 x 的函数关系式．

分析： (1) 作 AM⊥BC 于 M ，交 GF 于 N. 易求出等腰梯形的面积为 6 ； (2) 由于在运动过程中，四边形 BDG′G 都为平行四边形，只要满足 BD ＝ BG ＝ AB ＝ 2 时，它就是菱形； (3) 在运动过程中，重叠部分的图形有两种形状．先是等腰梯形．后是等腰直角三角形．因此要进行分类．

点评：图形运动往往把两图形在运动过程重叠部分的面积相结合，此时要观察重叠部分图形的形状是否会发生改变，若会发生改变．找出运动的位置．再进行分类解决．

一、选择题1 ．如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝ 4 ， BC ＝ 4 ，

点 E 是折线段 A － D － C 上的一动点 ( 点 E 与 A 不重合 ) ，点 P 是点 A 关于 BE 的对称点．在点 E 运动的过程中，使△ PCB 为等腰三角形的点 E 的位置共有 ( 　 　 )

A ． 2 个 B ． 3 个　　C ． 4 个　　 D ． 5 个

C

2 ．如图，在钝角△ ABC 中， AB ＝ 6 cm ， AC ＝ 12 cm 动点 D 从 点 A 出发到点 B 止，动点 E 从点 C 出发到点 A 止．点 D 运动的速度为 1 cm/s ，点 E 运动的速度为 2 cm/s. 如果两点同时运动，那么当以点 A ， D ， E 为顶点的三角形与△ ABC 相似时，运动的时间是 ( 　 　 )

A ． 3 秒或 4.8 秒 B ． 3 秒C ． 4.5 秒 D ． 4.5 秒或 4.8 秒

A

3 ．在矩形 ABCD 中， AB ＝ 4 ， BC ＝ 6 ，当直角三角板 MPN 的直角顶点 P 在 BC 边上移动时，直角边 MP始终经过点 A ，设直角三角板的另一直角边 PN 与 CD 相交于点 Q.BP ＝ x ， CQ ＝ y ，那么 y 与 x 之间的函数图象大致是 ( 　 　 )

D

二、填空题4 ．如图 1 ，⊙ O 半径为 5 ，弦 AB 长为 8 ，点 P 为

弦 AB 上一动点，连接 OP ，则线段 OP 的最小长度是______ ．

5 ．如图 2 ，∠ ACB ＝ 60° ，半径为 1 cm 的⊙ O 切BC 于点 C ，若将⊙ O 在 CB 上向右滚动，则当滚动到⊙ O与 CA 也相切时，圆心 O 移动的水平距离是 ____cm.

3

6 ．如图 a ，正方形 ABCD 的边长为 8 ， M 在 DC 上，且 DM ＝ 2 ， N 是 AC 上的一个动点，则 DN ＋ MN 的最小值是 ________ ．

7 ．如图 b ，在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，四边形 OABC 是矩形，点 A ， C 的坐标分别为A(10,0) ， C(0,4) ，点 D 是 OA 的中点，点 P 在 BC 边上运动，当△ ODP 是腰长为 5 的等腰三角形时，点 P 的坐标为_________________ ．

10

(2,4) 或 (3,4) 或 (8,4)

8 ．如图，△ ABC 是等腰直角三角形，∠ A ＝ 90° ，点 P 、 Q 分别是 AB ， AC 上的一动点，且满足 BP ＝ AQ ， D 是 BC 的中点．

(1) 求证△ PDQ 是等腰直角三角形；(2) 当点 P 运动到什么位置时，四边形

APDQ 是正方形，并说明理由．

解析： (1) 证明：连接 AD.

∵△ABC 是等腰直角三角形， D 是 BC 的中点，∴ AD⊥BC ， AD ＝ BD ＝ DC ，∠DAQ ＝∠ B.

∵BP ＝ AQ ，∴△BPD≌△AQD(SAS) ．∴ PD ＝ QD ，∠ BDP ＝∠ ADQ.

∵∠BDP ＋∠ ADP ＝ 90° ，∴∠ADQ ＋∠ ADP ＝∠ PDQ ＝ 90°.

∴△PDQ 为等腰直角三角形．

9 ．如图，在△ ABC 中，∠ C ＝ 90° ， AC ＝4 ， BC ＝ 3. 半径为 1 的圆的圆心 P 以 1 个单位 /s 的速度由点 A 沿 AC 方向在 AC 上移动，设移动时间为 t( 单位：s) ．

(S1) 当 t 为何值时，⊙ P 与 AB 相切；(2) 作 PD⊥AC 交 AB 于点 D ，如果⊙ P 和线段 BC

交于点 E ，证明当 t ＝ s 时，四边形 PDBE 为平行四边形．

10. 如图所示，菱形 ABCD 的边长为 6 厘米，∠ B ＝60°. 从初始时刻开始，点 P 、 Q 同时从 A 点出发，点 P 以 1厘米 / 秒的速度沿 A→C→B 的方向运动，点 Q 以 2 厘米 / 秒的速度沿 A→B→C→D 的方向运动，当点 Q 运动到 D 点时， P 、 Q 两点同时停止运动，设 P 、 Q 运动的时间为 x 秒时，△ APQ 与△ ABC 重叠部分的面积为 y 平方厘米 ( 这里规定：点和线段是面积为 0 的三角形 ) ，解答下列问题：

(1) 点 P 、 Q 从出发到相遇所用时间是 ____ 秒；(2) 点 P 、 Q 从开始运动到停止的过 程中，当△ APQ 是等边三角形时 x 的值 是 ____ 秒；(3) 求 y 与 x 之间的函数关系式．