探索问题主要考查学生探究、发现、总结问题的能力 , 主要

包括规律探索问题、动态探索问题、结论探索问题和存在性

探索问题 .

(1) 规律探索问题通常考查数的变化规律，然后用代数式表

示这一规律，或者根据规律求出相应的数值 . 解题时，要通过

观察、猜想、验证等步骤，应使所得到的规律具有普遍性，

只有这样才能应用与解题 .

(2) 动态探索问题通常与几何图形有关，给出相应的背景，

设置一个动态的元素，在此基础上，探索其中的位置关系或

数量关系，解题时应化动为静 .

(3) 结论探索问题，通常给出相应的条件，然后探索未知的

结论 . 解题时，首先结合已知条件，大胆猜想，然后经过推理

论证，最后作出正确的判断，切忌想当然的确定结论 .

(4) 存在性探索问题是运用几何计算进行探索的综合型问题，

要注意相关的条件 , 可以先假设结论成立，然后通过计算求相

应的值，再作存在性的判断 .

规律探索问题

规律探索问题是指由几个具体结论通过类比、猜想、推理等

一系列的数学思维过程，来探求一般性结论的问题，解决这

类问题的一般思路是通过对所给的具体的结论进行全面、细

致的观察、分析、比较，从中发现其变化的规律，并猜想出

一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以运用 .

【例 1 】 (2010· 铁岭中考 ) 有一组数： … , 请观

察它们的构成规律，用你发现的规律写出第 n(n 为正整数 )

个数为 _______.

1 3 5 7 9, , , , ,

2 5 10 17 26

【思路点拨】

【自主解答】经观察发现，分子是连续的奇数，即 2n-1, 分

母是序数的平方加 1，即 n2+1 ，因此第 n个数为

答案：

2

2n 1.

n 1

2

2n 1

n 1

1.(2010· 湛江中考 ) 观察算式： 31 ＝ 3 ， 32 ＝ 9 ， 33 ＝ 2

7 ， 34 ＝ 81 ， 35 ＝ 243 ， 36 ＝ 729 ， 37 ＝ 2 187 ， 38 ＝

6 561 ，… … . 通过观察，用你所发现的规律确定 32 002 的个

位数字是 ( )

(A)3 (B)9 (C)7 (D)1

【解析】选 B.经观察可知， 3n 的个位数字按照 3、 9、 7、

1； 3、 9、 7、 1； 3、 9、 7、 1…的规律循环，而 2 00

2÷4=

500……2，因此 32 002 的个位数字是 9.

2.(2011· 山西中考 ) 如图是用相同长度的小棒摆成的一组有

规律的图案，图案 (1) 需要 4 根棒，图案 (2) 需要 10 根小棒

……，按此规律摆下去，第 n 个图案需要小棒 _____ 根 ( 用

含有 n 的代数式表示 ).

【解析】本题考查的是规律探索题目，可以结合图形从不同

方向研究其变化规律 .如从第二个图形开始，图案都是由两

层构成，上面的层数共有 4n个小棒，下面小菱形个数比上面

少一个，每个小菱形只需再加 2根小棒，即下层共需 2(n-1)

根，所以第 n个图案需要 4n+2(n-1), 即 (6n-2) 根小棒 .

答案： (6n-2)

3.(2011· 成都中考 ) 设

则 S=______( 用含 n 的代数式表示，其中 n 为正整数 ).

1 22 2 2 2

3 n 1 222 2 2

n

1 1 1 1 S 1 ,S 1 ,

1 2 2 31 1 1 1

S 1 , ,S 1 S S S3 4 n n 1

S ,

，设

【解析】通过探索规律可得

答案：

22

n n

2 2

n n 1 S , S

n n 1

n n 1 3 7 13 n n 1S

n n 1 2 6 12 n n 1

1 1 1 11 1 1 1

2 6 12 n n 1

1 1 1 11 n

2 6 12 n n 1

1 1 1 1 1 1 1 1n 1 n 1 .

2 2 3 3 4 n n 1 n 1

［ ］所以

，所以

1n 1

(n 1)

动态探索问题

动态探索问题的特点是：以几何图形为背景，讨论某个元素

的运动变化，探索其中隐含的规律，如线段关系、角度大小、

面积关系、函数关系等 .在解决动态问题时，要抓住不变的

量，找出其中的规律 ,同时还应该考虑到，当动态元素去某

一位置时，“动”则变为“静”，从而化动为静 .

【例 2 】 (2010· 泰安中考 ) 如图，△ ABC 是等腰直角三角

形，∠ A=90° ，点 P 、 Q 分别是 AB 、 AC 上的一动点，且

满足 BP=AQ ， D 是 BC 的中点 .

(1) 求证：△ PDQ 是等腰直角三角形；

(2) 当点 P 运动到什么位置时，四边形 APDQ 是正方形，并

说明理由 .

【思路点拨】 (1) 利用三角形全等证明 PD=QD 和∠ PDQ=90°.

(2) 结合正方形的判定方法以及题目的已知条件，探索当点 P

运动到何处时，满足正方形的条件 .

【自主解答】 (1) 连接 AD.

∵△ABC 是等腰直角三角形， D是 BC 的中点 ,

∴AD⊥BC ， AD=BD=DC ，∠ DAQ=∠B.

又∵ BP=AQ,∴△BPD≌△AQD.

∴PD=QD ，∠ BDP=∠ADQ.

∵∠BDP+∠ADP=90°,

∴∠ADQ+∠ADP=∠PDQ=90°.

∴△PDQ 为等腰直角三角形 .

(2) 当 P点运动到 AB 的中点时，四边形 APDQ 是正方形 ,

由 (1) 知△ ABD 为等腰直角三角形 ,

当 P为 AB 的中点时， DP⊥AB ，即∠ APD=90°.

又∵∠ BAC=90° ，∠ PDQ=90°,

∴四边形 APDQ 为矩形 .

又∵ DP=AP= AB,

∴四边形 APDQ 为正方形 .

1

2

4.(2011· 益阳中考 ) 如图，小红居住的小区内有一条笔直的

小路，小路的正中间有一路灯，晚上小红由 A 处径直走到 B

处，她在灯光照射下的影长 l与行走的路程 s 之间的变化关系

用图象刻画出来，大致图象是 ( )

【解析】选 C.小红由 A处径直走到 B处，她在灯光照射下的

影长 l先变短再变长，只有选项 C符合这一变化过程 .

5.(2010·河南中考 ) 如图，在梯形 ABCD 中， AD∥BC ， E

是 BC 的

中点， AD=5 ， BC=12 ， CD= ，∠ C=45° ，点 P 是 BC

边上一动

点，设 PB 的长为 x.

(1) 当 x的值为 ______ 时，以点 P 、 A 、 D 、 E为顶点的

四边形为直角梯形；

(2) 当 x的值为 ______ 时，以点 P 、 A 、 D 、 E为顶点的

四边形为平行四边形；

4 2

(3) 点 P 在 BC 边上运动的过程中，以 P 、 A 、 D 、 E为顶

点的四边形能否构成菱形？试说明理由 .

【解析】 (1)3 或 8 (2)1 或 11

(3) 能 ,理由如下 :由 (2) 知，当 BP=11 时，以点 P、 A、 D、

E为顶点的四边形是平行四边形 ,

∴EP=AD=5.

过 D作 DF⊥BC于 F，∵∠ C=45°,CD= ,

∴DF=FC=4 ，

∴EF=EC-FC=6-4=2,

∴FP=EP-EF=5-2=3 ，

∴DP=

4 2

2 2 2 2FP DF 3 4 5.

∴EP=DP,故此时平行四边形 PDAE 是菱形 .

即以点 P、 A、 D、 E为顶点的四边形是菱形 .

结论探索问题

结论探索问题主要是指根据条件，结合已学的相关知识、数

学思想方法，通过归纳分析逐步得出结论，或通过观察、试

验、猜想、论证等方法求解 .这类问题的解决特别强调数形

结合思想的运用 .

【例 3 】 (2010·蚌埠中考 ) 已知如图 1,⊙O过点 D(3 ， 4),

点 H与点 D 关于 x轴对称，过 H作⊙O的切线交 x轴于点 A.

(1) 求 sin∠HAO的值；

(2) 如图 2 ，设⊙O与 x 轴正半轴交点为 P ，点 E、 F是线

段OP 上的动点 ( 与点 P不重合 ) ，连接并延长 DE、 DF 交

⊙O于点 B 、 C ，直线 BC交 x轴于点 G，若△ DEF是以 E

F为底的等腰三角形，试探索 sin∠CGO的大小怎样变化，请

说明理由 .

【思路点拨】 (1) 连接 OH, 过点 H 作 HP⊥y 轴于点 P，构造

直角三角形，利用勾股定理求出线段的长，然后利用等角，

求出 sin∠HAO的值 .

(2) 过点 D作 DM⊥EF 于 M，并延长 DM 交⊙ O于 N，连接 ON，

交 BC于 T，利用等腰三角形的性质以及圆的轴对称性，证明

∠ CGO =∠MNO，而 sin∠MNO的值不变 .

【自主解答】 (1) 如图所示：连接 OH, 过点 H 作 HP⊥y 轴于点

P，则根据题意可知 OP=4,PH=3, 则 OH=5.

∵AH为⊙ O的切线 ,∴OH⊥AH.

又∵∠ AOP=90°,∴∠HAO=∠HOP.

因此 sin∠HAO=sin∠HOP=3

.5

(2) 当 E、 F两点在 OP 上运动时 (与点 P不重合 )， sin∠CG

O的值不变 .

过点 D作 DM⊥EF 于 M，并延长 DM 交⊙ O于 N，

连接 ON，交 BC于点 T.

因为△ DEF为等腰三角形， DM⊥EF，

所以 DN平分∠ BDC,

所以 所以 OT⊥BC，

所以∠ CGO+∠GOT=∠GOT+∠MNO=90°,

BN CN ，

所以∠ CGO =∠MNO,

所以 sin∠CGO =sin∠MNO=

即当 E、 F两点在 OP 上运动时 (与点 P不重合 )， sin∠CGO

的值不变 .

OM 3.

ON 5

6.(2010·青海中考 ) 观察探究，完成证明和填空 .

如图，四边形 ABCD 中，点 E、 F、 G、 H分别是边 AB 、

BC 、 CD 、 DA 的中点，顺次连接E、 F、 G、 H，得到的

四边形 EFGH叫中点四边形 .

(1) 求证：四边形 EFGH是平行四边形；

(2) 如图，当四边形 ABCD 变成等腰梯形时，它的中点四边形

是菱形，请你探究并填空：

当四边形 ABCD 变成平行四边形时，它的中点四边形是 ____

_ ；

当四边形 ABCD 变成矩形时，它的中点四边形是 _________

__ ；

当四边形 ABCD 变成菱形时，它的中点四边形是 _________

__ ；

当四边形 ABCD 变成正方形时，它的中点四边形是 ________

_ ；

(3) 根据以上观察探究，请你总结中点四边形的形状是由原四

边形的什么决定的？

【解析】 (1) 连接 BD.

∵E、 H分别是 AB、 AD 的中点，

∴EH是△ ABD 的中位线 ,

∴EH ＝ BD ，且 EH∥BD.

同理得 FG ＝ BD ，且 FG∥BD.

∴EH ＝ FG，且 EH∥FG.

∴四边形 EFGH是平行四边形 .

(2)填空依次为平行四边形，菱形，矩形，正方形 .

(3) 中点四边形的形状是由原四边形的对角线的关系来决定的 .

1

2 1

2

7.(2011·菏泽中考 )我市一家电子计算器专卖店每只进价 1

3 元，售价 20 元，多买优惠；凡是一次买 10 只以上的，每

多买 1 只，所买的全部计算器每只就降低 0.10 元，例如，某

人买 20 只计算器，于是每只降价 0.10×(20-10)=1( 元 ) ，

因此，所买的全部 20 只计算器都按照每只 19 元计算，但是

最低价为每只 16 元 .

(1) 求一次至少买多少只，才能以最低价购买 ?

(2) 写出该专卖店当一次销售 x( 只 ) ，所获利润 y( 元 ) 与 x

( 只 ) 之间的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围 ;

(3)若店主一次卖的只数在 10至 50 只之间，问一次卖多少只

获得的利润最大？其最大利润为多少？

【解析】 (1)设一次购买 x只，才能以最低价购买，则有：

0.1(x-10)=20-16 ，解这个方程得 x=50;

答：一次至少买 50 只，才能以最低价购买 .

(2)y=

2

20x 13x 7x(0 x 10)

120 13 0.1 x 10 x x 8x(10 x 50)

1016x 13x 3x(x 50)

＜

［ ］ ＜ ＜

(3)将 y= +8x 配方得 y= (x-40)2+160 ，

所以店主一次卖 40 只时可获得最高利润，最高利润为 160 元 .

(也可用公式法求得 )

21x

10 1

10

存在性探索问题

存在性探索问题是指满足某种条件的事物是否存在的问题，

这类题目的一般解题规律是：假设存在→推理论证→得出结

论 .若能推导出合理的结论，就作出“存在” 的判断，若推

导出不合理的结论，或与已知、已证相矛盾的结论，则作出

“不存在”的判断 .

【例 4 】 (2010·陕西中考 ) 如图，在平面直角坐标系中，

抛物线过 A(-1,0) ， B(3,0),C(0 ， -1) 三点 .

(1) 求该抛物线的表达式；

(2) 点 Q 在 y 轴上，点 P 在抛物线上，要使 Q 、 P 、 A 、 B

为顶点的四边形是平行四边形 , 求所有满足条件的点 P 的坐标 .

【思路点拨】

【自主解答】 (1)设该抛物线的表达式为 y=ax2+bx+c,

根据题意，将 A 、 B、 C三点的坐标代入

得

解得

∴所求抛物线的表达式为

a b c 0

9a 3b c 0,

c 1

1a

32

b .3

c 1

21 2y x x 1.

3 3

(2)

①AB 为边时，只要 PQ∥AB且 PQ=AB=4 即可 .

又知点 Q在 y 轴上，

∴点 P的横坐标为 4或 -4 ，这时符合条件的点 P有两个，分

别记为 P1,P2.

而当 x=4 时， y= ；当 x=-4 时， y=7 ，此时

P1(4 ， ),P2(-4,7).

5

35

3

②当 AB为对角线时，只要线段 PQ与线段 AB互相平分即可 ,

又知点 Q在 y 轴上，且线段 AB中点的横坐标为 1,

∴点 P的横坐标为 2，这时符合条件的 P只有一个记为 P3.

而当 x=2 时 ,y=-1 ，此时 P3(2 ， -1).

综上，满足条件的点 P的坐标为 (4， ) 或 (-4,7) 或

(2 ， -1).

5

3

8.(2010·南通中考 ) 在平面直角坐标系 xOy中，已知点

P(2 ， 2) ，点 Q 在 y 轴上，△ PQO是等腰三角形，则满足

条件的点 Q共有 ( )

(A)5 个 (B)4 个 (C)3 个 (D)2 个

【解析】选 B.以 OP 为底边时， Q点的坐标是 (0， 2) ，以 O

P 为腰

时， Q点的坐标是 (0， 4) 或 (0 ， ) 或 (0 ， ).

2 2 2 2

9.(2011· 江津中考 )A 、 B两所学校在一条东西走向公路的

同旁，以公路所在直线为 x 轴建立如图所示的平面直角坐标

系，且点 A 的坐标是 (2 ， 2) ，点 B 的坐标是 (7 ， 3).

(1) 一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点 C ，

使 C 点到 A 、 B两校的距离相等，如果有，请用尺规作图找

出该点，保留作图痕迹，不求该点坐标 .

(2)若在公路边建一游乐场 P ，使游乐场到两校距离之和最小，

通过作图在图中找出建游乐场 P 的位置，并求出它的坐标 .

【解析】 (1)存在满足条件的点 C.作线段 AB的垂直平分线 M

N 与 x轴交于点 C，点 C即为所求 .如图所示：

(2)作点 A关于 x轴对称的点

A′(2 ， -2) ，连接 A′B ，与

x轴的交点即为所求的点 P.设

A′B 所在直线的解析式为：

y=kx+b,把 A′(2 ， -2) ， B(7 ， 3) 分别代入得：

所以 y=x-4.

当 y=0 时， x=4, 所以交点 P的坐标为 (4， 0).

7k b 3 k 1

2k b 2 b 4

，解得： ，