第第 88 章 离散章 离散 LTILTI 系统系统 ZZ 域分域分析析

8.2 8.2 利用利用 zz 变换解差分方变换解差分方程程

8.1 z8.1 z 变换变换

8.3 8.3 系统函数 系统函数

8.1 Z8.1 Z 变换变换

8.1.2 Z8.1.2 Z 变换的性质变换的性质

8.1.1 Z8.1.1 Z 变换的定义变换的定义

8.1.3 8.1.3 求求 ZZ 反变换反变换

8.1.1 Z8.1.1 Z 变换的定义变换的定义

• ZZ 变换的定义变换的定义

• ZZ 变换的收敛域变换的收敛域

• 常用常用 ZZ 变换变换

0

0

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

(

( ) ( )

) ( )

( ) ( )

当 是因果序列，即有

则：

即它的双边 变换与单边 变换等价

定义离散信号序列 的 变换为：

称为单边 变换

n n

n n

n

n

n

n

x n x n x n u n

x n u n z x n u n z

Z Z

X z x n z

X

x n Z

Zz x n z

• ZZ 变换的定义变换的定义

1 2 3

1

1

2 10

3 10

1. ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ),

( ) ( ) 1,

1( ) , 0

1

1( ) , | | 1

1 1

例

求 变换

解：

任意

N

n

n

NNn

n

n

n

x n n x n R n x n u n

Z

X z n z z

zX z z z

z

zX z z z

z z

( ) n

n

Z z

x n z

变换的收敛域是 平面上的区域，

满足条件：

• ZZ 变换的收敛域变换的收敛域

1 2

1

1

2 10

1. ( ) ( ), ( ) ( )

( ) ( ) 1,

1( ) , 0

1

如例

求 变换

解：

任意

N

n

n

NNn

n

x n n x n R n

Z

X z n z z

zX z z z

z

NR n( )

n

1

0 1 2 N-1

…1 2 11

N

N

R n

z z z

( )

...

对于有限长序列，收敛域为有限 z 平面

21

2

1

)()( nnnznxzXn

nn

n

]Re[z

]Im[zj

若 n10 , 级数含 z 的正幂项，去除 |z|=若 n2 0, 级数含 z 的负幂项，去除 z=0

. ( )( 0)例2 求信号 的 变换na u n a Z

左边序列左边序列 例 3 ： ( ) - (- - )nx n a u n 1

,z

z az a

右边序列右边序列

0

1 2

1

: ( )

1 / /

1 | / | 1 | | | |

1 /

解

，

n n n

na u n a z

z a z a

zz a z a

z az a

×a

极点

圆外收敛

圆内收敛

]Re[z

]Im[zj

×a

极点

]Re[z

]Im[zj

)(nuan 的 ROC 的 ROC- (- - )na u n 1az || az ||

)()( nuanx n

,z

z az a

( ) - (- - )nx n a u n 1

,z

z az a

XX((zz)) 与收敛域一起，才与与收敛域一起，才与 xx((nn)) 一一对应。一一对应。

0

1

(( ) (( )) )n

nn

n

n

nx n zX x x zz n nz

圆内收敛圆内收敛圆外收敛圆外收敛

两个单边序列必须有公共收敛域

对于双边序列，收敛域为 Rx1<|z|< Rx2

]Im[zj

]Re[z2xR

1xR

例 4 ： 1 11

3 2

n n

x n u n u n

( ) - ( ) - (- - )

12

121 13 2

z z

z z

×× -1/3 1/2 Re[z]

jIm[z]

1 13 2

( )z z

X zz z

1 1

3 2z

例 5 ：n n

x n u n u n1 1

( ) ( ) - - (- - 1)2 3

Z 变换不存在。

z 变换的收敛域分为以下几种情况：

1 全平面收敛2 圆外收敛3 圆内收敛

4 环状收敛 双边序列

右边序列

左边序列

有限长序列

×]Re[z

]Im[zj

]Re[z

]Im[zj

×

n

nznxzX )(

××Re[z]

jIm[z]

| |6. ( ) 1/ 3 ( ) nx n X z例 ,求 及收敛域

| | -( ) 1/ 3 1/ 3 ( ) 1/ 3 (- -1)

8 / 3( )

3 1/ 3 ( 3)( 1/ 3)

1/ 3 | | 3

n n nx n u n u n

z z zX z

z z z z

z

解：

收敛条件：

ZZ 变换的收敛域特点：变换的收敛域特点：

• ZZ 变换的收敛域是变换的收敛域是 zz 平面以原点为圆心平面以原点为圆心的圆环的圆环

• 在收敛域的圆形边界上有在收敛域的圆形边界上有 XX((zz)) 的极点的极点

• 收敛域不含收敛域不含 XX((zz) ) 的任何极点的任何极点

• 根据信号类型确定收敛域与边界的关系根据信号类型确定收敛域与边界的关系

•

常用常用ZZ

变换变换

8.1.2 Z8.1.2 Z 变换的性质变换的性质

• 线性线性• 共轭共轭• 时移时移 (( 双边双边 ,, 单边单边 ))

• 时域翻转时域翻转 (( 仅双边仅双边 ))

• ZZ 域尺度域尺度

• zz 域微分域微分• 序列卷积序列卷积 (( 仅双边仅双边 ))

• 初值定理初值定理 (( 仅因果仅因果 ))

• 终值定理终值定理 (( 仅因果仅因果 ))

• ParsevalParseval 定理定理

( ) ( ) ( ) ( ) ax n by n aX z bY z

• 线性线性

*( ) *( *)x n X z

• 共轭共轭

n

n

x n x n z* * -

n

n

x n z

*-*

X z* *

• 时移时移(1) 双边 Z 变换的时移特性

0

x n X z

x n n

0 0n

n

x n n x n n z

0n m

m

z x m z

0m n

m

x m z

? 0nz X z

0n n m 令

0 ( )nz X z

解：

例 1. ( ) ( 1)x n u n

求 Z变换

1

1( )

1u n

z

( 1)u n

例 2. ( )n m 的 ZT, 0m

解：1

1z

11

1

1z

z

( )n m 解： 1mz mz

( 2)x n

0 1 2 n3 4 5 6

( )x n

2 1 0 n1 2 3 4

( 2)x n

n1 22 1 0 4 3

(0) (1)x x、 ( 2) ( 1)x x 、

x n u n X z( ) ( ) ( )（ 2 ）单边 Z 变换的时移特性

左移

1

2 1

( 1) ( ) ( ) ( 1)

( 2) ( ) ( ) ( 1) ( 2)

x n u n z X z x

x n u n z X z z x x

x n u n zX z zx

x n u n z X z z x zx2 2

( 1) ( ) ( ) (0)

( 2) ( ) ( ) (0) (1)

右移

x n u n X z( ) ( ) ( )

x n u n zX z zx( 1) ( ) ( ) (0)

x n u n zX z( 1) ( 1) ( )

x n u n n zX z( 1) ( ) ( 1) ( )

x n u n x n zX z( 1) ( ) (0) ( 1) ( )

x n X z r z r x n1 2 , 若 ， 则 ？

• 时域翻转时域翻转 (( 仅适用于双边 ZT))

2 1

1 1 1,X z

z r r

n

n

x n x n z:解

)1

(z

X

1 m

m

x mz

x n X z r z r1 2 若 ，

x n X zz r r2 1

1 1 1,

则

0 2 4 6 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

-8 -6 -4 -2 00

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1( )

2

n

u n

2 ( )n u n

0.5

z

z

1

1 0.5z

]Re[z

]Im[zj

×2

×0.5 ]Re[z

]Im[zj

-

-1 -1

- -1-1

-

3. ( )-

(- -1)

( )-

1 ( -1)

- -1

(- -1)- 1-

(- -1) - ,| | 1/1- -1/

右移

反转

线性

例 已知

求 的 变换

解：

n

n

n

n

n

n

za u n

z a

a u n Z

za u n

z az

a u n zz a z a

za u n

z a azaz z

a u n z aaz z a

( ) ( )n za x n X

a

• ZZ 域尺度域尺度

( ) ( )

n n n

n

a x n a x n z

( ) / ( / )

n

n

x n z a X z a

1

1

14. ( ) 1

1

1 ( )

1

例

n

u n zz

a u n a zaz

x n X z

• zz 域微分域微分对 X(z) 求导

: ( ) n

n

X z x n z

解

( ) n

n

d dX z x n z

dz dz

( ) n

n

dz X z nx n z

dz

1( ) n

n

n x n z

? dX znx n z

dz

zX)(nx

)(nuan )1( nuan

)(1 nunan )1(1 nunan

az

z

2)( az

z

dX znx n z

dz

:| |ROC z a :| |ROC z a

例例 55

( ) ( ) ( ) ( ) x n y n X z Y z

• 序列卷积序列卷积 (( 仅适用于双边 ZT))

16. , ( ) ( ) ( 1)

* ( )

例

求

n nx n u n h n a u n a u n

x n h n

( )1

zX z

z

解：

az

zz

az

z

az

zzH

1)( 1

1z

az

az

zzHzXzY

)()()( az

)()]([)( 1 nuazYZny n

( ) ( ) ( )

(0 /)

(0) lim

( )

( )

的分子存在 阶次 分母阶次

z

x n x n u

X z

n

x

x X z

• 初值定理初值定理

...)2()1()0()( 21

0

zxzxxznxzXn

n证：

)0(lim xzXz

z 时为零

zx n X z x

z z2 ( ) ( ) , (0)

2

例7：已知 为因果信号， 求 。

z z

zx X z

z z2 (0) lim ( ) lim 0

2

解：

1

/(

( ) ( ) ( )

( )

( ) lim( 1) ( )

1) ( )

的极点 位圆内存 都在单在

z

x n x n u n

z

Xx

x X

z

z

z

• 终值定理终值定理

8.1.3 8.1.3 求求 ZZ 反变换 反变换

• 留数法留数法• 长除法长除法• 部分分式法部分分式法

21

( )x n

n-1 0 1 2-2

例 1 ：X z z z z2 ( ) -2 2 1, ROC : 0 求 x(n) 。

n

nznxzX )(

2 1 2( 2) ( 1) (0) (1) (2)x z x z x x z x z

(2)x ( 1)x (0)x

1( ) 2,1,0, 2x n 答案：

(( 幂级数展开法幂级数展开法 ))• 长除法长除法

1

2 1 2

-1-1 -2

-1 2 3

2 3

2 3 4

3

0.5 0.52. ( )( 1.5 0.5) 1 1.5 0.5

0.5: : 1-1.5 0.5

0.5 0.75 0.25

0.75 0.25

0.75 1.125 0.375

0.875

例 ，求其 反变换

解 长除法

z zX z Zz z z z

zz z

z z z

z z

z z z

z

-1 2 3 4

4

-1 2 3 4

1

0.5 0.75 0.875 0.9375

- 0.375

( ) 0.5 0.75 0.875 0.9375

( ) 0.5 0.75 0.875 0.9375

， ， ， ，

z z z z

z

X z z z z z

x n

特别强调：求反变化要特别注意收敛域

当收敛域为 |z|>|a| 时，为右边序列；当收敛域为 |z|<|a| 时，为左边序列。

zX)(nx

:| |ROC z a :| |ROC z a

)(nuan )1( nuan

az

z

• 部分分式法部分分式法

zX)(nx

:| |ROC z a :| |ROC z a

)(nuan )1( nuan

az

z

( )( )

z X zX z

z a z z a

1

( )X z

z将 化为部分分式，然后查表求反变换

2

2

4 23. ( ) ( )3 2

:

( ) 4 2 4 2 ( 1)( 2)( 3 2)

31 2 1 2

( ) 1 2 3

( ) ( ) [ 2( 1) 3( 2

1

) ] ( )

2

n n

zX z x nz z

X z z zz z zz z zz

z z z

X z

x

z zz z

n n u n

例 ，求因果序列

解

zX z x n

z z24 ( ) , ( )

2例 ：已知 求

z zX z

z zz z2 ( )

( 1)( 2)2

解：

1 13 3

1 2

z z

z z

(1) :| | 2ROC z n nx n u n u n1 1

( ) - (-1) ( ) 2 ( )3 3

(2) :| | 1ROC z n nx n u n u n1 1

( ) (-1) (- -1) 2 (- -1)3 3

(3) :1 | | 2ROC z n nx n u n u n1 1

( ) - (-1) ( ) 2 (- -1)3 3

作业：作业：8.1-1(1)(2)(4)(6)(7)(10)8.1-1(1)(2)(4)(6)(7)(10)

8.1-3(1)8.1-3(1)

8.1-4(1)(2)8.1-4(1)(2)

8.1-58.1-5

8.1-6(2)(3)8.1-6(2)(3)

8.1-78.1-7

离散离散 LTILTI 系统系统 ZZ 域分域分析析

8.2 8.2 利用利用 zz 变换解差分方变换解差分方程程

1

2 1

( ) ( )

1 ( ) ( 1)

2 ( ) ( 1) ( 2)

( ) ( ) ( ) m

z

y n u n Y z

y n u n z Y z y

y n u n z Y z z y y

x n x n u n x n m z X z

对差分方程进行单边 变换，利用时移公式

( ) ( 1) 2 ( 2) ( ) 2 ( 2),

1 ( 1) 2, ( 2) , ( ) ( ),

2

y n y n y n x n x n

y y x n u n

例1. 系统

初始状态 输入

求系统的零输入响应和零状态响应。

1 2 1

2

1 2 2

1

( ) ( ) ( 1) 2 ( ) ( 1) ( 2)

( ) 2 ( )

1 2 ( ) 1 2 ( )

( 1) 2[ ( 1)

Y z z Y z y z Y z z y y

X z z X z

z z Y z z X z

y z y y

解：

( 2)]

1 2

2 1

2 1

1

2

2

2

12

1 2 ( )

1 2 ( ) ( 1) 2[ ( 1) ( 2)]

1 2 ( ) ( )

1 2

2

( 1) 2[ ( 1) ( 2)]

1 2

( 4)

2 1

y

z z Y z

z X z

z y

y z y y

zY z X z

z z

z z

z z z

y

z z

z z

z

零状态响应

零状态响应

零输入响应

2 2z

零输入响应

3 1 ( ) 2

2 1 2 1 2

3 1 ( ) ( 1) 2(2) ( )

2 2

3 1 ( ) 1 4 2 ,

21 2

( 1) 2(2

02 2

)n n

n n

n n

z z zY z

z z z

y n

z

u n

z

y

z

z

n n

零输入响应

零输入响

零状态响应

应零状态响应

( 2) - ( 1) - 2 ( ) ( 2) 2 ( ),

1 (-1) 2, (-2) - , ( ) ( ),

2

y n y n y n x n x n

y y x n u n

例2. 系统

初始状态 输入

求系统的零输入响应和零状态响应。

( 2) - ( 1) - 2 ( ) ( 2) 2 ( )

( ) ( 1) 2 ( 2) ( ) 2 ( 2)

y n y n y n x n x n

y n y n y n x n x n

解：

作业：作业：

8.2-1(1)8.2-1(1)

8.2-28.2-2

8.3.1 8.3.1 系统函数系统函数8.3.2 8.3.2 系统的稳定性与因果系统的稳定性与因果

性性

8.3 8.3 系统函数 系统函数

1. 系统函数 G(z) 的定义：

8.3.1 8.3.1 系统函数系统函数

2. G(z) 是系统单位样值响应的 Z 变换

LTILTI 系统系统LTILTI 系统系统x(n) yzs(n)

( )( ) :

( ) zsY z

G zX z

( ) ( )* ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )

zs zs

zs

y n x n h n Y z X z h n

Y zG z h n H z

X z

Z

Z

对方程求零初始状态下的 Z 变换

3. 由系统的差分方程求 H(z)

y n y n y n x n

H z h n

( ) 0.6 ( 1) 0.16 ( 2) 5 ( ),

( ) ( ).

例1：系统求系统函数 和单位样值响应

zs zs zs

zs

y n y n y n x n

Y z z Y z z Y z X z

Y zH z

X z z z

1 2

1 2

( ) 0.6 ( 1) 0.16 ( 2) 5 ( )

( ) 0.6 ( ) 0.16 ( ) 5 ( )

( ) 5( )

( ) 1 0.6 0.16

解：

H zz z1 2

5( )

1 0.6 0.16

2

2

5

0.6 0.16

z

z z

25

0.2 0.8

z

z z

4

0.2 0.8

z z

z z

n nh n h n u n( ) ( ) ( 0.2) 4(0.8) ( ) 若 因果，则

4. H(z) 的零点与极点

H zz z

z

z z

z

z z

1 2

2

2

2

5( )

1 0.6 0.16

5

0.6 0.16

5

( 0.2)( 0.8)

续前例

××-0.2 0.8 Re z

Imj z

0

稳定性的定义：输入有界，输出必有界因果性的定义：有输入之后，才有响应

1. 系统稳定性与因果性定义同连续 LTI 系统

零状态响应

2. 稳定的充分必要条件是： H(z) 收敛域包含无穷远 单位样值响应 h(n) 是绝对可和 ( )

n

h n

8.3.2 8.3.2 系统的稳定性与因果性系统的稳定性与因果性

0,0)( nnh

因果的充分必要条件： H(z) 收敛域包含无穷远

zH z

z z

2

25

12

例 ： ，分析系统的稳定性和因果性。

解：两个一阶极点： p1=2, p2=1/2

(1) ROC 为 |z|>2

(2) ROC 为 |z|<1/2

(3) ROC 为 1/2<|z|<2

因果

非因果

非因果

非稳定

非稳定

稳定

作业：作业：

8.3-18.3-18.3-28.3-28.3-48.3-4求求 H(z)H(z) 并分析系统的因果性与稳定性并分析系统的因果性与稳定性 ))