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4.1.5 边界条件的引入
网格划分和边界条件
• 网格划分： 点中心 块中心
• 边界条件：
1 函数值(Dirichilet)
2 导数值(Newman)
3导数值与函数值的关系(Robin)
第1类边界条件
• 点中心：
直接转移
• 块中心：
直接外推 (一阶精度)
插值
(二阶精度)
1 BT T
1 BT T
1 23 2 BT T T
第2第3类边界条件
• 在处理边界条件时，通常约定通过边界流入系统的热流值为正，流出为负。
B
B
dTq
dx
B
B
dTq
dx
+ +
第2第3类边界条件
• 点中心情况：边界值待求，需按给定的边界条件及方程在边界节点上的离散形式建立代数方程
• 块中心情况：边界上无节点
(1) 补充边界节点法
(2) 附加源项法
以下均以“一维稳态问题”的左边界为例进行说明
1. 点中心网格(左边界)
点中心法、外节点法、A法
(1) 采用有限差分方法
B
B
dTq
dx
2 0
2B
T Tq
x
2 1 012
20
( )C P
T T TS S T
x
1 2( ) ( )P B C B BS x T T S x qx x
1 2 BT T qx x
一阶精度
开拓网格二阶精度
为消去T0，利用一维稳态有源导热方程在边界节点‘1’的差分离散式：
第2类边界条件
第3类边界条件(点中心左边界)
B
B
dTq
dx
1 2( ) ( )P B C B BS x T T S x qx x
1 2 BT T qx x
一阶精度
开拓网格二阶精度
( )B f Bq h T T
1 2 fh T T hTx x
1 2( ) ( )P B C B fS x h T T S x hTx x
(2) 采用控制容积平衡法
2 1
e
T T T
x x
内热源作用左右边界热流
右边界热流：
2. 块中心网格(左边界)
块中心法、内节点法，B法
(1) 补充边界节点法(2) 附加源项法
(1) 补充边界节点
1 ( ) 0C P B
e w
T TS S T x
x x
1( ), B B
e wb
T TT T q
x x x
( ) 0Bx 零控制体
控制容积平衡法离散
内热源作用
• 第3类边界条件
1B B
b b
T T qx x
1B f
b b
h T T hTx x
( )B f Bq h T T
(1) 补充边界节点有限差分法：需要开拓半个网格
0 1( )2
B
B b
dTq T T
dx x
1 0 2BT T T 为消掉T0，假设
1B B
b b
T T qx x
得到
第3类边界条件 ( )B f Bq h T T 1B f
b b
h T T hTx x
得到
(2) 附加源项法
离散方程在节点1
上的表达式：1 1 2 2 B Ba T a T a T b
1 1 2 2 1( ) ( )B B Ba a T a T a T T b
1 1( ) ( )B B B B
B b
Tq T T a T T
x x
1 2B Pa a a S x
i. 控制容积积分法
消去 TB 和 aB
最终结果热流表现为源项
__ __
1 1 2 2a T a T b
__ __
2 1 2, , P C Ba a a S x b S x qx
附加源项
第3类边界条件
1 1( ) ( ) ( )B f B B B B
b
q h T T T T a T Tx
1
1
f
B
b
T Tq
h x
消去TB
1 1 2 2a T a T b
2 1 2
1, ,
1 1
f
P C
b b
Ta a a S x b S x
x h x h x
(ii) 采用有限差分法
• 开拓半个网格，节点0
1 1 2 2 0 0a T a T a T b
0 1( )2
B
B b
dTq T T
dx x
1 1 2 2 0 1
2 bB
xa T a T a q T b
边界处理方式总结
1. 虚构节点
边界上，或外扩半个控制容积
2. 建立离散方程
差分，容积
3. 带入边界条件
三类，函数值、导数值关系等
4. 消去虚构节点
边界处的差分方程，附加源项
4.1.6 离散方程的非线性性质处理
• 非线性：当导热系数依赖于求解函数温度T
时，则离散代数方程的系数也是温度T的函数，方程具有非线性性质。
系数迭代更新法
• 最简单的线化迭代求解方法:
(1) 给出节点温度的试探值作为迭代初值；
(2) 用迭代初值计算离散方程中系数值，固定系数，将方程线化；
(3) 求解线化的代数方程组，得到新温度值；
(4) 用新温度值替代迭代初值，返回至步骤2，重复其计算过程，一次次更新系数，一次次线化并求解方程，直到迭代收敛。
建立控制方程、确定初始与边界条件
流 程 图
（稳态情况）解域离散、方程离散
初边条件离散
给出节点初始温度值
计算系数，固定，线化代数方程
求解离散的线化的代数方程组
解的分析
解收敛否？
Yes
No
以新温度值替代老温度值
建立控制方程、确定初始与边界条件
流 程 图
（非稳态情况）解域离散、方程离散
初边条件离散
给出节点初始温度值
计算系数，固定，线化代数方程
求解离散的线化的代数方程组
进入下一时层求解
解收敛否？
Yes
No
以新温度值替代老温度值
4.1.7 线化代数方程组的三对角阵算法（TDMA，追赶法）
建立控制方程、确定初始与边界条件流 程 图
解域离散、方程离散初边条件离散
给出节点初始温度值
计算系数，固定，线化代数方程
求解离散的线化的代数方程组
进入下一时层求解
解收敛否？
Yes
No
以新温度值替代老温度值
1、直接解法TDMA
2、迭代解法留待多维情况再介绍
一维扩散方程离散格式
某节点： P P E E W Wa T a T a T b
1 1 , 1,2, -1, i i i i i i iaT bT cT d i N N
1 1 1
2 2 2 2
1 1 1
N N N
N N
b c T
a b c T
a b c
a b
1
2
1 1
N N
N N
d
d
T d
T d
矩阵形式：
三对角 矩阵
1 0a
0Nc
TDMA，追赶法Tri-Diagonal Matrix Algorithm
• 消元过程（追）：
自前向后，从第二行开始，利用前一行方程中两个未知量间关系，把本行中第一个非零元素消除，使原来的三元方程变为二元方程。当消元进行到最后一行时，其二元方程化为一元，于是，最后一个未知量之值立即得到。
• 回代过程（赶）：
从倒数第二行开始，自后向前逐个进行回代，由消元过程得到的二元方程解出其它未知值
消元过程
• i=1时：
• i=2时：
• 令i-1行
• i 行
1 11 2 1 2 1
1 1
c dT T PT Q
b b
2 2 2 12 3 2 3 2
2 1 2 2 1 2
c d a QT T PT Q
a P b a P b
1 1 1i i i iT P T Q 1 1 1i i i i i i i i i ibT cT d a P T aQ
11 1
1 1
i i i ii i i i i
i i i i i i
c d a QT T PT Q
a P b a P b
1 1i i i i i i iaT bT cT d
递推公式
• 第1行
• 第N行
1
1 1
, i i i ii i
i i i i i i
c d a QP Q
a P b a P b
1 11 1
1 1
, c d
P Qb b
1
1
0, N N NN N N
N N N
d a QP Q T
a P b
正是所求的未知数
回代过程
11 1
1 1
i i i ii i i i i
i i i i i i
c d a QT T PT Q
a P b a P b
1
1
0, N N NN N N
N N N
d a QP Q T
a P b
从Tn开始，逐个回代：
编程实现方法
1
1 1
, i i i ii i
i i i i i i
c d a QP Q
a P b a P b
1 1 1i i i iT P T Q
1
1
0, N N NN N N
N N N
d a QP Q T
a P b
1 11 1
1 1
, c d
P Qb b
消元：
回代：
TDMA方法的扩展
