排列： b c d ，

43

3!

P ，

44 343 3 3!

PC C 記為，即。

ba

c

ba

d

ca

d

cb

d 排列： bcd ，

一、一般組合 1. 一般組

合：從 a ,b ,c ,d 4 本不同的書一次任取 3 本成為一組，則取出的順序 a ,b ,c 與 b ,a ,c 視為相同的組合，即集合 {a ,b ,c }={b ,a ,c } ，

所以， 4 相異物任取 3 個為一組的方法數共

組組合合 3! 3! 種排種排

列法列法排列： abc ，

排列： abd ，

排列： acd ，

因為集合是不論元素順序。

cba 。

cab ，

bca ，

bac ，

acb ，

dba 。

dab ，

bda ，

bad ，

adb ，

dca 。

dac ，

cda ，

cad ，

adc ，

dcb 。

dbc ，

cdb ，

cbd ，

bdc ，

To be continued To be continued

!knP

k ，

!k

knk

nn P

C Ck

記為，即。4

4 22 2!

PC 例：

2!

4 36

，

7

47 4

4!

PC 7 6 5 4

4!35

，

8

38 3

3!

PC

3!

8 7 656

。

!k

nkn

k

Pk n C 特別地，當，

!

( 1) ( 1 ( ) 2 1

( 1

)

) 2

n k

k n

n k

k

n n

( !

!

)! nk

n

k

。

(1) ! nk kn kC P ， 0(2) 1 1n n

nC C ，。注意：

同理， n 相異物任取 k 個為一組的方法數共

44 4 33 3 3!

PC C ，即。4 相異物任取 3 個為一組的方法

數共

( 1)

!

( 1)n n k

k

n

本段結束本段結束

123(1) C 所求

12 11 10

3!

1232) 3!( C 所求

12 11 10

33!

!

103

52(1)

3 2

C C 男

所求女

510 1032235

(23

)2 2 3

CC CC

女男所求

男女

2. 範例：一籃球隊有 12 人，求下列各方法數：(1) 選出 3 人打掃更衣室。 (2) 選一名隊長，一名副隊長，一名總

務。解

：

= 120 10 + 45 10 = 1650 。

= 120 10 = 1200 。

馬上練習：由 10 名男生， 5 名女生中，選出一個 5 人小組，求下列方法數： (1) 選出 3 名男生 2 名女生。 (2) 男女至少各 2 人。

Ans ： (1) 1200 (2) 1650 。

解：

= 220 。

= 1320 。Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !

＃＃

n kn nkC C 。

10310

7C C因此可知，

nn

knkC C 恆有。

97C 9

2 36C ；

291C 2

31 220C 。

3. 餘組合：

從 10 本不同的書中取出 7 本時，

即選 7 本與捨棄 3 本是同一回事，

故 0 k n 時，

例：

同時也會留下 3 本書，

To be continued To be continued 範例範例

031

(10 3)!3 7!

1

!

0!

3!

10!C

170

(10 7)

1

!

0!

7! 3!

0

7

!

!

1C

且 ==

18 184 2 10(1) ?n

nC C C ，求

1 1: : 1: 2 : 3n n nk k kC C C n k 若，求與之值。

112

10 0nC C故所求

1

1

2: 1:(2)

: 32 :

nk

nk

nk

nk C

C

C

C

1

13

2

2 nk

nk

nk

nk C

C C

C

!

( 1)! ( 1) !

!2

!( )!

! !3

( 1)! ( 1)2

! ) !( !

n

k n k

n

k

n

k n

kk n kn

n

k

1

( 1)

2

2

( )

3

( 1)

k

n k k

n k

3 1

2 5 3

n k

n k

5

14

k

n

。

範例： (2) 已知 n 及 k 為正整數，且 n

> k ，

n = 2 或 12 。

解： (1) 4 = n+2

或 4 + (n+2) = 18又 n

10 ，122 66C 。

Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !

26C所求

2!

6 515

。

192 2!C

兄弟坐進空隙隙

故選 2出空

所求

47C所求 7 6 5 4

2435

。

放進 (○○○○○) 的 6 個空隙，

放進 (○○○○○○) 的 7 個空隙，

4. 範例： (1) 自來水公司預計於下週一至下週日的 7 天中，選擇 2 天停水，若要求停水 2 天不相連，求其方

法數。(2) 兄弟兩人在排成一列的 20 個空位中，選坐不相鄰的兩個坐位有幾種方法 ?(3) 10 間相連的教室，選彼此不相鄰的 4 間教室放置蒸飯箱，共有多少種方法 ?

(2) 兄弟坐進 18 個空位的 19 個空隙，

解： (1) 令 ○：有水，停水 2 天不

相連

= 19 18 = 342 。

(3) 令 ○：無蒸飯箱，蒸飯箱不

相連

：停水，

：有蒸飯箱。


103C

3!

10 9 8120

。

38C所求

3!

8 7 656

。

83 3 2

(3)C

甲乙坐進空隙選出

所求3空隙

放進 (○○○○○○○) 的 8 個空隙，

馬上練習：一列火車從第一車到第十車共十節車廂，求下列方法數： (1) 指定其中三節車廂准許

吸煙

(3) 承 (2) ，甲乙二人在可吸煙的不同車廂。

Ans ： (1) 120 。 (2) 56 。 (3) 336

解： (1) 從 10 節中廂選出 3 節的方法數

(2) 承 (1) ，若可吸煙的車廂不相銜接。

= 56 6 = 336 。

(2) 令 ○：禁煙，吸煙不相連

：可吸煙，

＃＃

102

42

1C C

4點共線所 4點共線所在直線決定任2點決定一的線直直線

103

43C C

4點任3點決定一共線所決定的

2n nC

扣任2點決定直邊一除線

( 1) ( 3)

2 2

nn

n n n 條。

5. 範例：若平面上有 10 個相異點，其中 4 點共線，此外，任三點皆不共線，則： (1) 過其中至少 2 點的直線有幾

條 ?

注意：凸 n 邊形的對角線數

=116 。

(2) 所求 = ( 任 3 點決定的 )

解： (1) 所求 =( 任 2 點決定一直線 )

= 45 6 + 1 = 40 。

(2) 取 3 點可作成三角形者有幾個 ? +(4 點共線所在

直線 )(4 點共線所決定的

直線 )

(4 點共線所決定的 )


A1

A2

A3LA4

3152 2

1

LL(1)

C C

直線3上點所求

任2點決定一直線所決定的直線42 1

MM

C

直線4上點所決定的直線

33

153

43

ML

C C C

3上點所決定的上任3點決定一 4點所決定的

A1

A2

A3

A4 A5 A6

L

M

三點也在過 A1 的另一直線上，其餘任三點皆不共線，

馬上練習：若平面上有 15 個相異點，其中 A1,A2,A3 三點共線， A4,A5,A6

則： (1) 過其中至少 2 點的直線有幾條 ? (2) 取 3 點可作成三角形者有幾個 ?

Ans ： (1) 98 (2) 450 。

= 455 1 4 = 450 。

解：

(2) 所求 = ( 任 3 點決定的 )

= 1053+16+1 = 98 。

(4 點共線所決定的 )

＃＃

8 42 2C C

左右上下

6. 範例：如圖，每個小方格均為正方形，

解：矩形：

= 168 個。

正方形： 11 有 2

2 有3

3 有正方形共有 21 + 12 + 5 = 38

個。

7 3 = 21 個。

6 2 = 12 個。

5 1 = 5 個。

求矩形與正方形各有多少個 ?


4 42 2

32

52 2

32

5

CBA AB C

C CCC C C

組組組組組組

4 4 41 2 1

3 3 31 12 1 2

5 5 51

C CBA A( A(( BCB

C C CC CC C C C

上下底) 上下底)上下底)

A

B

C

馬上練習：右圖由三組平行線所構成，求平行四邊形與梯形各有多

少個 ?Ans ：平行四邊形 108 個，梯方形 270 個。

解：平行四邊形：

= 120 + 90 + 60 = 270 個。

梯形：

= 30 + 60 + 18 = 108 個。

＃＃

3 2 1 41 1 1 1

A A A A

C C C C

上方下方左方右方

2 3 3 21 1 1 1

B B B B

C C C C

上方下方左方右方

2 2 1 21 1 1 1

A A AB B B, B,A, ,

C C C C 上方下方左方右方

B

A

7. 範例：如圖，至少包含 A 或 B 兩點之一的長方形共有幾個 ?

解：所求 = ( 含 A )

= 24 + 36 8

= 52 。

( 同時含 A 與 B )

+ (含 B )

＃＃

8. 範例：從「 aaabbcd 」七個字母中，求依下列方式的方法數： (1) 任取三個的組合數 (2) 任取三個的排列

數。解：字母有四

類：d 有 1

個。c 有 1

個，b 有 2

個，a 有 3

個，種類組合數排列數

合計：合計：

三同 ( 如aaa)

二同一異 ( 如aab)

三異 ( 如abc)

11 1C 1

1

3!1

3!C

2 31 1 6

C C

二同一異

2 31 1 3!

182!

C C

二同一異

43 4C 4

3 3! 24C

43 個

11 個


馬上練習：從「 aaaabbbccc 」十個字母中，求依下列方式的方法數： (1) 任取四個的組合數 (2) 任取四個的排列

數。Ans ： (1) 13 (2) 79 。解：字母有三

類：c 有 3

個。b 有 3

個，a 有 4

個，種類組合數排列數

合計：合計：

四同 ( 如aaaa)

三同一異 ( 如aaab)

二同二同 ( 如aabb)

二同二異 ( 如aabc)

11 1C 1

1

4!1

4!C

3 21 1 6

C C

三同一異

3 21 1 4!

243!

C C

三同一異

32 3C 3

2

4!18

2!2!C

3 21 2 3

C C

二同二異

3 21 2 4!

362!

C C

二同二異

79 個

13 個＃＃

54

54)

51

5 4(

C C 男選男

所求女選4女

8 61 11

52

5

2

1

!(2

2)

3 4

C C CC

所求

第人第人1對恰恰對= 120+10 = 1

30 。

= 5 + 5 = 10 。

9. 範例：從 5 對夫婦中選出 4 人，求下列方法數：

(1) 4 人皆為相同性別。 (2) 至少有一對是夫婦。

解：

10 5 44 4 2

(2) 210 80 13010 4 4

C C

另解。

人選人人皆不是夫婦

5 81 2(2) 140

AB BAC C

ab ba

恰兩對多算與。

注意：


6 52 1C C

6男選2男選一天排2男

所求

女女男

男男男男男

女女

馬上練習： 6 男 4 女共 10 名學生，分別輪流擔任本週 5 天的值日生，若每天 2 名值日生且每日至少須有 1 名男

生，求本週值日生安排的方法數。

解：五天中必有一天是 2 男，

= 43200 。

4!4! 44餘男排 4餘天女排 4餘天

餘四天均為 1 男 1 女，

Ans ： (1) 10 (2) 130 。

＃＃

83(1) C 所求

61

4(2)

C

6點取1點求

數所

徑作直角直

328

(3)C

3點取2點

所求點數作鈍角頂

10. 範例：正八邊形的八個頂點，任取三個頂點，

(1) 任意三角形 (2) 直角三角形 (3) 鈍角三角形 (4) 銳角三角形

可作下列三角形各有多少個 ?

解：

= 56 。

= 24 。

= 56 24 24 = 8 。

(4) 所求 = 全直角鈍角

= 24 。

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8


103(1) C 所求

81

5(2)

C

8點取1點求

數所

徑作直角直

4210

(3)C

4點取2點

所求頂點作鈍角數

馬上練習：正十邊形的十個頂點，任取三個頂點，可作下列三角形各有多少個 ?

= 40 。

= 120 。

解：

(1) 任意三角形 (2) 直角三角形 (3) 鈍角三角形 (4) 銳角三角形Ans ： (1) 120 (2) 40 (3) 60 (4)

20 。

= 60 。

= 120 40 60 = 20 。

(4) 所求 = 全直角鈍角

A1A2

A3

A5A6

A8

A9

A10

A4

A7

A1A2

A3

A5A6

A8

A9

A10

A4

A7＃＃

4nC 個交點。

注意：若凸 n 邊形的對角線沒有三線共點，則：

(1) 此凸 n 邊形的所有對角線最多

( 因兩對角線交於一點 )

( 見附錄四 )

3 4 5 64 5n n n nC C C C 。

(2) 此凸 n 邊形的邊與對角線可圍出的個數

＃＃

75 21C 有種。

12

4!6

!1

2!

有種。

12. 範例：用 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 等七個數寫出一個五位數 n ，

使 n=a104+b103+c102+d10+e ，其中 a, b, c, d ,e 皆相異，

且 a <b< c 且 c>d>e ，則 n 共可寫出多少個 ?

解：先從 1~7 之中選出五個數字填入 a ~ e ，

故所求 = 21 6 = 126 種。

而滿足 a < b < c 且 c > d > e ，

其中 b , a 由左至右填入；

即 c > > > > ，

d , e 由左至右填入，

＃＃

33

52

61(11, 3,2

)C CC

分( )三堆

32 356

1

2(

,3,12)

CC C 分( )三堆

1 1 1 給甲給乙給丙

32 356

1

2(

,3,13)

CC C 分( )三堆


二、分組與分堆1. 範例：將 6 本不同的書，依下列分法，各有幾種

方法 ?

= 606 = 360 。

= 60 。

= 6101 = 60 。

解：

(1) 依 1、 2、 3 分成三堆。 (2) 依 1 本給甲、 2 本給乙、 3 本給丙。

(3) 依 1、 2、 3 本隨意分給甲、乙、丙。


44

73

92(12, 4,3

)C CC

分( )三堆

43 479

2

3(

,4,22)

CC C 分( )三堆


43 479

2

3(

,4,23)

CC C 分( )三堆


馬上練習：將 9 本不同的書，依下列分法，各有幾種方法 ?(1) 依 2、 3、 4 分成三堆。 (2) 依 2 本給甲、 3 本給乙、 4

本給丙。(3) 依 2、 3、 4 本隨意分給甲、乙、

丙。

= 12606 = 7560 。

= 1260 。

= 36351 = 1260 。

解：

Ans ： (1)1260 (2)1260 (3)7560 。

＃＃

6 4 22 2 26 2 2 2

3!

C C C 相異物依，，共平有分成三堆種方法。

n mk分成同理，堆若個相異物可平，每堆個，

a b c d e f

a b c de f

a bc d e f

a bc d e f

a b c de f

a bc de f

2. 相同數目的分堆：將 a,b,c,d,e f 六本不同的書平分成三堆 ( 即依 2 ， 2 ， 2 的數

目 ) 。

!

n n m mm m mC C C

k

則共有種方法。

對應同一種 ( a b ， c d ， e f ) 分堆方式。


6 4 22 2 2(1)2,2,

1

23!C C C

分( 三堆)三堆數目相同

115 6 1 15

3! 。

6 4 22 2 2(2)2,2,2

13!C C C

分( )三堆三堆數目相同

123 給 C給B給A

6 2 14 1 1

12!

1,1(3)

4,

C C C

分二堆( )三堆數目相同

115 2 1 15

2! 。

6 2 14 1 1

12!

1,1(4)

4,

C C C


121 給 C給B給A

6 2 14 1 1

12!

1,1(5)

4,

C C C


123 給 C給B給A

= 30 。

3. 範例：將 6 本不同的書，依下列分法，各有幾種方法 ?

= 90 。

= 90 。

(1) 平分成三堆。 (2) 平分給 A 、 B 、 C三人。(3) 依 4 本、 1 本、 1 本分成三堆。 (4) 依 4 本給 A 、 1 本給 B 、 1 本給

C 。 (5) 依 4 本、 1 本、 1 本隨意分給 A 、 B 、C 。

解：


6 3 2 13 1 1 1

13!

1,1,1

4!

3,

C C C C

給四個人分( )四堆數目相堆同三

6 4 2 12 2 1 1

4!

, 2

12!

12!

,2 12 ,1 ,11,2

C C C C

給四個人分( )四堆 ( ) 數目相 ( )同二同堆數目相二堆

馬上練習：有 6 件不同禮物分給四人，求每人至少得 1 件的方法數。Ans ： 15

60 。解： 6 件先分數目： (3,1,1,1) 、 (2,2,1,

1) 。

= 480 。

= 1080 。＃＃

5 41 4(1)

1,4

C C 分( )二堆

1

ABC給

6 4 22 2 2(2)2,2,2

13!C C C


3 2 1

A B C

給給給

6 4 22 2 2(3)2,2,2

13!C C C


3 2 1

甲組乙組丙組

3 2 1

A B C

給給給

= 540 。

= 5 。

= 90 。

解：


4. 範例： (1) 將 8 人平分成兩組，其中 A 、 B 、 C 三人必在同一組，有幾種

方法 ?(2) 將 9 人平分成三組，其中 A 、 B 、 C 三人必不在同一組，有幾種

方法 ?(3) 將 9 人平分成甲、乙、丙三組，其中 A 、 B 、 C 三人必不在同一組的方

法數 ?

7 52 5(1)

2,5

C C 分( )二堆

1

ABC給

9 6 33 3 3(2)3,3,3

13!C C C


3 2 1

A B C

給給給

9 6 33 3 3(3),3,3

13!C C C

分( 三堆3 )三堆數目相同

3 2 1

甲組乙組丙組

3 2 1

A B C

給給給

= 10080 。

= 1680 。

= 21 。

Ans ： (1) 21 (2) 1680

(3) 10080 。解

：

＃＃

有幾種方法 ?

馬上練習： (1) 將 10 人平分成兩組，其中 A 、 B 、 C 三人必在同一組，

必不在同一組，有幾種方法 ?(2) 將 12 人平分成三組，其中 A 、 B 、 C

三人(3) 將 12 人平分成甲、乙、丙三

組，其中 A 、 B 、 C 三人必不在同一組的方法數 ?

72 21C 。

73 35C 。

8 73 2(3) C Ca的組合數中，含的有種，

8 7 7323 CCC 故全部組合數

三、巴斯卡定理

1. 範例：從 { a, b, c, d, e, f, g, h }8 個字母中，一次取出 3 個字母，則

(1) 含 a 的有幾種組合 ? (2) 不含 a 的有幾種組合 ? (3) 全部有幾種組合 ?

解： (1) 所求即為 {b , c , d , e , f , g , h } 7 個字母中，

(2) 所求即為 {b , c , d , e , f , g , h } 7 個字母中，

一次取出 2 個的組合數

一次取出 3 個的組合數

73Ca不含的有種，

= 21 + 35 = 56 。＃＃

1 11

n n nk k kC C C 。

107C組合數為。

107C 則在的組合數中

96A C的組合數中為在其， 9

7A C的組合不在為中數其，

97

07

96

1( ) ( )C A C A C 因不含此含。

11 1( ( ))k

n n nk kAC C C A 不含恆有合數含組。

233

3C C 43C ； 919

312C C 20

3C ；0

129

121CC 13 13

10 3C C 。例

：

2. 巴斯卡定理：從 10 本中選取 7

本的設 A 為 10 本不同的書之一，

故 1 k n 時，

可分為兩種： A 在其中與 A 不在其中。


巴斯卡三角形： 2 2 2

0 1 22! 1! 0!C C C

3 3 3 30 1 2 33! 2! 1! 0!C C C C

4 4 4 4 40 1 2 3 44! 3! 2! 1! 0!C C C C C

5 5 5 5 5 50 1 2 3 4 55! 4! 3! 2! 1! 0!C C C C C C

係數： 1， 2， 1

2 錯排的方法數 = 2!1 1!2 + 0!1

3 錯排的方法數 = 3!1 2!3 + 1!3 0!1

係數： 1， 5， 10， 10， 5， 1

5 錯排的方法數 = 44 = 5!1 4!5 + 3!10 2!10 + 1!5 0!1

係數： 1， 4 ， 6 ， 4， 1

係數： 1， 3， 3， 1

4 錯排的方法數 = 9 = 4!1 3!4 + 2!6 1!4 + 0!1


12 129 10(1) ?C C 求 2 3 4 20

2 2 2 2(2) ?C C C C 求

12 1209 1(1) CC 13

10C 133 286C 。

2 3 4 202 2 22(2) C C CC

2033

3 42 2 2C CC C

202

4 4 193 2 2 CC C C

22

203

0C C

213 1330C 。

3. 範例：

解：


馬上練習：有 10 個房間，第一間有 1 人，第二間有 2 人，…，

第十間有 10 人，共 55 人，從這 55 人中任選 2 人，

此 2 人不在同一房間有幾種選法 ? Ans ： 13

20 。55 3 4 102 2 2

222( )C C CC C

55 3 42 2

1023 2

3( )C C C CC

55 4 4 1092 3 2 2 2( )C C C C C

55 102 3

102( )C C C

55 112 3C C

解：所求 = 全 ( 2 人在同一間房 )

= 1320 。＃＃

2 3 4 100 1 2 8(1) ?C C C C 5 6 7 15

2 2 2 2(2) ?C C C C

2 3 4 101 2 80(1) C C CC

1030

3 41 2 8C CC C

4 92

1081 7

4C C CC

18

107

0C C 118 165C 。

5 6 7 152 2 2 2

5 53 3(2) ( )C C C CC C 所求

5 16 72 2

53 22

5( ) 10C C C CC

16 6 7 143 2 2

522( ) 10C C C C C

152315 0( 1)CC 16

3 10 550C 。

解：

4. 範例：


馬上練習：編號 3 ， 4 ，…， 20 的袋子中，分別有相異球 3 ， 4 ，…， 20 個球，今任選一

袋，且從 k 號袋中取 k1 個球， k = 3 ， 4 ，…，20 ，

問共有幾種取法 ?

Ans ： 207 。3 4 5 20

2 3 4 19C C C C 所求

3 4 5 202 3 4

3 311 19( )C CC C C C

4 4 5 192 3 4 18

2019 3( )C C C CC

2118 9

0 20 3CC

21 2119 23 3C C

解：

＃＃= 2

07 。

1 . 重複組合 3

2 3C 記為。

32 6H 記為。

32H 重複組合數，

35H 重複組合數，

23 6H 非負整數解個數。

從 a 、 b 、 c ， 3 類取 2 個 ( 不重複 ) 有 3 種： ab 、 bc 、ac ，從 a 、 b 、 c ， 3 類取 2 個 ( 可重複 ) 有 6 種： ab 、 bc 、 ac 、 aa 、 bb 、

cc ，令 x1 、 x2 、 x3 分別表 a 、 b 、 c 的個數，則：

同理， 3 類取 5 個的

即為 x1 + x2 + x3 = 2 的非負整數解個數。

3 類取 2 個的

即為 x1 + x2 + x3 = 5 的非負整數解個數。

共 6 種，即 x1 + x2 + x3 = 2 的

x1 + x2 + x3 = 2 的非負整數解如下： ab 1 1 0

bc 0 1 1ac 1 0 1aa 2 0 0bb 0 2 0cc 0 0 2

To be continuedTo be continued ：非負整數解求法。：非負整數解求法。

5!

!21

2!

7所得的排列數，

方程式 x1+x2+x3=5 的非負整數解 ( 0 或正整數 ) ，

2. 非負整數解：

可表成 5 個「」與 2 個「 + 」的排列，如下所示：

而「++ 」

05

0

分堆3 種排列

++(5, 0 ,0)

++(0, 5, 0)

++(0, 0,

5)

14

06 種排列 ++

(4, 1, 0)++

(4, 0, 1)++

(1, 4, 0)

++(0, 1, 4)

++(0, 4, 1)

++(1, 0, 4)…

To be continuedTo be continued ：：「 ++ 」之 21 種排列

05

0

分堆3 種排列

++(5, 0 ,0)

++(0, 5, 0)

++(0, 0,

5)

23

06 種排列

++(3, 2, 0)

++(3, 0, 2)

++(2, 3, 0)

++(0, 2, 3)

++(0, 3, 2)

++(2, 0, 3)

13

13 種排列

++(3, 1, 1)

++(1, 3, 1)

++(1, 1, 3)

22

13 種排列

++(2, 2, 1)

++(2, 1, 2)

++(1, 2, 2)

14

06 種排列 ++

(4, 1, 0)++

(4, 0, 1)++

(1, 4, 0)

++(0, 1, 4)

++(0, 4, 1)

++(1, 0, 4)

To be continued To be continued

75 5!2!

7!21C 。

107 7 3!!

10!120C 。

1n kkC 。

35H 以表示，

3 35 55 5 5

( 1) 13H C C 則47HnkH

由上可知： x1 + x2 + x3 = 5 的非負整數解個數即為「 ++ 」的排

列數其中， xn 的個數 n =

3 ，而「 + 」的個數 = 「 xn 的個數」 1同理， x1 + x2 + x3 + x4 = 7 的非負整數解

個數即為「 +++ 」排列數

「」的個數 = 5 ， = 31 =

2 。

x1+x2+…+xn = k 的非負整數解個數即為 k 個「」與 n1 個「 + 」排

列數

x1+x2+…+xn = k 的非負整數解個數

x1+x2+x3+x4 = 7 的非負整數解個數

通常我們將 x1+x2+x3=5 的非負整數解個數 7

5C 。17

74 1

70C C 。

nk 其中可大於。

1n kkC ，

To be continued To be continued 符號練習符號練習

47H(1) x1+x2+x3+x4 = 7 的非負整數解

個數

7 174

710 120C C 。

符號練習：

35H(2) x1+x2+x3 = 5 的非負整數解

個數5 1

53

57 21C C 。

42H(3) x1+x2+x3+x4 = 2 的非負整數解

個數2 1

24

25 10C C 。

52H(4) x1+x2+x3+x4+x5 = 2 的非負整數解

個數2 1

25

26 15C C 。

44H(5) x1+x2+x3+x4 = 4 的非負整數解

個數

4 144

47 35C C 。


36(1) H 所求 8

3 56C 。

43H 所求 6

3 20C 。

解：

3. 範例： (1) 求 x1+x2+x3+x4+x5+x6 = 3 的非負整數解個數。

(4) 同時擲 2 粒相同的骰子有幾種可能的結果?

(3) 將 5 個蘋果，分給 3 個人，有幾種方法 ?

(2) 所求為從 4 種茶，取 3 杯即 x1 + x2 + x3 + x4 = 3 的非負整數解

個數( 其中 x1 ：紅茶杯數， x2 ：綠茶杯數， x3 ：青茶杯數， x4 ：烏龍茶杯數 )

求外帶三杯的選法有幾種 ?

(2) 某茶飲店賣：紅茶、綠茶、青茶、烏龍茶，

例： (2 , 1 , 0 , 0) 紅茶 2 杯，綠茶 1 杯。

To be continued To be continued (3) (4 ) (3) (4 )

36(1) H 所求 8

3 56C 。43H 所求 6

3 20C 。

35H 所求 7

5 21C 。

62H 所求 7

2 21C 。

nkH重複組合數，

解：

(1) 求 x1+x2+x3+x4+x5+x6 = 3 的非負整數解個數。

(4) 同時擲 2 粒相同的骰子有幾種可能的結果?

(3) 將 5 個蘋果，分給 3 個人，有幾種方法 ?

根據題意必可表成 x1 + x2 + … + xn = k 。

注意： n 類取 k 個的

(2) 所求為從 4 種茶，取 3 杯

(3) 所求為從 3 人身上，取出 5 個蘋果 (4) 所求為從 6 種點數，取 2 次的方法

數，即 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 2 的非負整數解個數( 例： x1 表 1 點出現的

次數 )

求外帶三杯的選法有幾種 ?

(2) 某茶飲店賣：紅茶、綠茶、青茶、烏龍茶，


64H 所求 4

9 126C 。

37H 所求 9

7 36C 。

184H 所求 21

3 1330C 。

35H 所求 7

5 21C 。

馬上練習： (1) 同時擲 4 粒相同的骰子有幾種可能的結果 ?

(2) 將 7 個梨，分給 3 個人，有幾種方法 ?

解： (1) 6 種點數，取 4 次

Ans ： (1) 126 (2) 36 (3) 1330 (4) 21 。

(3) 候選人 4 名，選舉人 18 名，求無記名投票有幾種結果 ?

(4) 有 5 人猜拳 (只出剪刀、石頭、布 ) ，會出現幾種結果 ?

(4) 3 種拳，取 5 次

(3) 4 種選票，取 18 張

(2) 3 個人身上，取出 7 個梨

＃＃

53(2) H 所求 5

7 21C 種。

5 23 2C C

4. 範例： (1) 將 5 顆不同的球放入 3 個不同的箱子，有幾種放法 ?

(2) 將 5 顆相同的球放入 3 個不同的箱子，有幾種放法 ?

(3) 將 5 顆相同的球放入 3 個相同的箱子，有幾種放法 ?

(4) 將 5 顆不同的球放入 3 個相同的箱子，有幾種放法 ?解： (1) 3 3 3

3 3= 243

種。

(3) 即 5 個分三堆，

(4) 依 (5, 0, 0) 、 (4, 1, 0) 、 (3, 2, 0) 、 (3, 1, 1) 、 (2, 2, 1) 數目分堆

有 (5, 0, 0) 、

共 5 種。

(2, 2, 1) ，

(3, 1, 1) 、

(3, 2, 0) 、

(4, 1, 0) 、

= 41 種。

5 14 11 C C 共

5 2 13 1 1

2!

C C C

5 3 12 2 1

2!

C C C

＃＃

36(2) H 所求 8 8

6 2 28C C 。

6 3 13 2 1

6 36 2 13 346 1 6 2

5 11

6 4 22

4 22 211

2! 2! 3

!

CC C C C C

CC C CC CC

CC

共

馬上練習： (1) 將 6 件相同物，放入 3 個相同的箱子，有幾種放法 ? (2) 將 6 件相同物，放入 3 個相異的箱子，有幾種

放法 ?(3) 將 6 件相異物，放入 3 個相異的箱子，有幾種放法 ?(4) 將 6 件相異物，放入 3 個相同的箱子，有幾種放法 ?Ans ： (1) 7 (2) 28 (3) 729 (4) 1

22 。解： (1) 即 6 個分三堆，

(4) 依 (6, 0, 0) 、 (5, 1, 0) 、 (4, 2, 0) 、 (4, 1, 1) 、

(3) 所求 = 333333

= 36 = 729 。

有 (6, 0 ,0) 、共 7

種。(2, 2,

2) ，(3, 2,

1) 、(3, 3,

0) 、(4, 1,

1) 、

(4, 2, 0) 、

(5, 1, 0) 、

(3, 3, 0) 、 (3, 2, 1) 、 (2, 2, 2) 數目分堆

= 122 種。＃＃

nkH 。

nkH 。

nkH 。

5. 非負整數解與正整數解：

(1) 從 n 類不同物品中，取出 k 件的重複組合數

方程式 x1 + x2 + … + xn= k 的「非負整數解」的個數

將 k 件相同物品分給 n 個人的方法數

To be continued To be continued 正整數解。正整數解。

3 335 2H H 。

5 557 2H H 。同理， x1 + x2 + x3 + x4 + x5= 7 的正整數解

個數

x1 + x2 + x3 = 5 的正整數解個數

x1 + x2 + x3 = 5 的正整數解個數，等於 x1 + x2 + x3 = 2 的非負整數解個數

。

x1 + x2 + x3 = 5 的正整數解如下：( 3 , 1 , 1 ) ( 1 , 1 , 1 ) + ( 2 , 0 , 0 )

( 1 , 3 , 1 ) ( 1 , 1 , 1 ) + ( 0 , 2 , 0 )

( 1 , 1 , 3 ) ( 1 , 1 , 1 ) + ( 0 , 0 , 2 )

( 2 , 2 , 1 ) ( 1 , 1 , 1 ) + ( 1 , 1 , 0 )

( 2 , 1 , 2 ) ( 1 , 1 , 1 ) + ( 1 , 0 , 1 )

( 1 , 2 , 2 ) ( 1 , 1 , 1 ) + ( 0 , 1 , 1 )正整正整

數解數解非負整非負整

數解數解

To be continued To be continued 非負整數解非負整數解 & & 正整數正整數解解

nnkH 。

nnkH 。

nnkH 。

(2) 從 n 類不同物品中，取出 k 件，

將 k 件相同物分給 n 個人 (n k) ，每個人至少得一件的方

法數

方程式 x1 + x2 + … + xn = k 的「正整數解」的個數

每類至少取一件的重複組合數

nkH 。

nkH 。

nkH 。

(1) 從 n 類不同物品中，取出 k 件的重複組合數

方程式 x1 + x2 + … + xn = k 的「非負整數解」的個數

將 k 件相同物品分給 n 個人的方法數


34H 種， 3

5H 種。3

53

4H H 所求 6 74 5 315C C 。

4 13

33H H 種。

353

1H H 所求 1 53 7 63C C 。

3 34 5H H 2 2

4 531H H C 1 1

4 532H CH

6. 範例：將 4 個梨， 5 個蘋果，分給 3 個人，依下列情形，

解： (1) 梨的分法有

(3) 每人至少 1 個梨或蘋果。蘋果的分

法有

(2) 每人先得 1 個梨，剩下的 1 個梨的分法有

(3) 所求 = 全 ( 有人沒得 )

= 全

方法各有幾個 ? (1) 每人所得不限。 (2) 每人至少 1 個梨。

( 甲沒 + 乙沒 +丙沒 )

( 甲乙均沒 + 乙丙均沒 + 甲丙均沒 )

+ ( 甲乙丙均沒 )

= 315 ( 90 3 + 0 ) = 228 。

+ 0

＃＃

37H 種， 3

8H 種。3 37 8H H 所求種 9 10

7 8 1620C C 。

437

33H H 種。

383

4H H 所求 6 104 8 675C C 。

馬上練習：將 7 個梨， 8 個蘋果，分給 3 個人，依下列情形，方法各有幾個 ? (1) 每人所得不限 (2) 每人至少 1

個梨(3) 每人至少 1 個水果 ( 1 梨或 1 蘋果 ) 。Ans ： (1) 1620 (2) 675 (3) 14

07 。解： (1) 梨的分法有

蘋果的分法有

(2) 每人先得 1 個梨，剩下的 4 個梨的分法有

3 37 8H H 2 2

7 832H H C 1 1

7 831H CH

(3) 所求 = 全 ( 有人沒得 )

= 全

( 甲沒 + 乙沒 +丙沒 )

( 甲乙均沒 + 乙丙均沒 + 甲丙均沒 )

+ ( 甲乙丙均沒 )

= 1620 ( 216 3 + 0 ) = 1407 。

+ 0

＃＃

316(1) H 所求 18 18

16 2 153C C 。

316 3(2) H 所求 3

13H 15 1513 2 105C C 。

39H故所求 11 11

9 2 55C C 。

7. 範例：方程式 x+y+z=16 ，求下列解的個數：

(1) 非負整數 (2) 正整數 (3) x>2 ， y1 ， z3 的整數解。

解：

(3) 令 x=x1

+3 ，

x1 + y1 + z1 = 9 ，

即為 (x1+3) + (y1+1) + (z1+3) = 16 的非負整數解，

則 x + y + z = 16 的所求整數解，

z=z1

+3 ，y=y1

+1 ，


馬上練習：某企業公司設有四個部門，每個部門均有經理一人，另有總經理一人管理四個部門之業務。年終時董事會發放

其餘經理每人至少一張，則共有多少種發放方法 ?

Ans ：35 。

同面額禮卷 10張給總經理及四部門經理，總經理至少取得三張，

53H故所求 7

3 35C 。

解：所求即 x + y + z + u + v = 10 之整數解，

令 x = x1 + 3 ， (x1+3) + (y1+1) + (z1+1) + (u1+1) + (v1+1) =10 的非負整數

解， x1 + y1 + z1 + u1 + v1 =

3 ，

y = y1 + 1 ，

z = z1 + 1 ，

u = u1 + 1 ，

v =v1+ 1 ，

其中 x 3 ， y 1 ， z 1 ， u 1 ， v 1 。

＃＃

59H故所求 13 13

9 4 715C C 。

55H故所求 9

5 126C 。

8. 範例：不等式 x+y+z+u 9 ，求下列解的個數：

(1) 非負整數 (2) 正整數。解： (1) x + y + z + u 9 的非負整數

解，即為 x + y + z + u + w = 9 的非負整數解，其中 w 為非負整數。

(2) 令 x = x1 + 1 ，則 x + y + z + u 9 的正整數

解，即為 (x1+1) + (y1+1) + (z1+1) + (u1+1) 9 的非負整數解， x1 + y1+ z1+ u1

5 ，即為 x1 + y1+ z1+ u1+ w = 5 的非負整數解，其中 w 為非負整數。

u = u1 + 1 ，

z = z1 + 1 ，

y =y1 + 1 ，


48

43H H 故所求

118

63C C

馬上練習：不等式 3 < x+y+z 8 的非負整數解共有幾組 ?

Ans ： 145 。

解： 3 < x+y+z 8 即為

「 x+y+z 8 的解」「 x+y+z 3 的解」，

20 55 41 16 。＃＃

416H有種，415H有種，

412H有種，

47H有種，

40H有種。

415

401

46 7

4 421H H HHH 所求

18 10191 715

1265

1 1CCC C

9. 範例：方程式 x+y+z+u2 16 的非負整數解有多少組 ?解： x + y + z + u2 16 的非負整數

解，

u=0 時，

即為 x+ y+ z+ u2 + w = 16 的非負整數解，其中 w 為非負整數。

u=4 時，

u=3 時，

u=2 時，

u=1 時，

14 15969 20 2358 6 11 6 種。Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !

4 43 6 15H C 有。

23 42 6H C 有。

23 34 15 6 90H H 故正整數解有種。

432

3 4 15 6 364 0H H 故整數解有種。

10. 範例： (1) 方程式 xyz=144 的「正整數解」共有幾組 ?

(2) 方程式 xyz=144 的「整數解」共有幾組 ?

解： (1) xyz = 144 = 24

32 4 個 2 分給 x 、 y

、 z ，2 個 3 分給 x 、 y

、 z ，

(2) 整數解 x 、 y 、 z 可分：

負正負、

正負負、

正正正、

負負正。


10 10112 11H C 種。

馬上練習：若數列 a1 , a2 , … , ak , …, a10 中每一項皆為 1 或 1，

則 a1+a2+…+ak+…+a10 之值有多少種可能 ?

解：所求即從 1 與 1 兩種數取 10 個的重複組合數，

(99學測 )

＃＃

Ans ： 11 種。

7 6 55 4 3 5 4 33 3 3 46H H H C C C 所求。

解： (1) 所求即 x + y + z + w = 5 且 x 2 之非負整數解。

11. 範例：某限量版手機款式小書包，有黑、紅、黃、藍四種顏色，大小均相同 (僅顏色有分別 ) 。朱哥想買 5 個，但黑色只剩 2 個，其他顏色的庫存量均足夠，則：

(2) 將買來的 5 個小書包，分別送給 5 個不同的女朋友，(1) 有幾種買法。

每人一個小書包，方法有幾種。

350x H 341x H 332x H

To be continued To be continued (2)(2)

5!3 3

5!

5!9 45

4!

5!9 90

3!2!

323 C

5!9 180

3!

42 2C

5!12 360

2!2!

41C

5!4 240

2!

(( 2 ) 2 )

5 同 ( 例：紅紅紅紅紅 )

4 同 1 異 ( 例：紅紅紅紅黑 )

3 同 2 同 ( 例：紅紅紅黑黑 )

3 同 2 異 ( 例：紅紅紅藍黑 )

2 同 2 同 1 異 ( 例：紅紅藍藍黑 )

2 同 3 異 ( 例：紅紅藍黃黑 )

種類

排列數

共 918918 種。

組合數

3

3 3

3 3

有黑、紅、黃、藍四種顏色，但黑色只剩 2 個

＃＃本節結束本節結束

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排列： b c d ，