43
3!
P ,
44 343 3 3!
PC C 記為 ,即 。
ba
c
ba
d
ca
d
cb
d 排列: bcd ,
一、一般組合 1. 一般組
合: 從 a ,b ,c ,d 4 本不同的書一次任取 3 本成為一組,則取出的順序 a ,b ,c 與 b ,a ,c 視為相同的組合, 即集合 {a ,b ,c }={b ,a ,c } ,
所以, 4 相異物任取 3 個為一組的方法數共
組組合合 3! 3! 種排種排
列法列法 排列: abc ,
排列: abd ,
排列: acd ,
因為集合是不論元素順序。
cba 。
cab ,
bca ,
bac ,
acb ,
dba 。
dab ,
bda ,
bad ,
adb ,
dca 。
dac ,
cda ,
cad ,
adc ,
dcb 。
dbc ,
cdb ,
cbd ,
bdc ,
To be continued To be continued
!knP
k ,
!k
knk
nn P
C Ck
記為 ,即 。4
4 22 2!
PC 例:
2!
4 36
,
7
47 4
4!
PC 7 6 5 4
4!35
,
8
38 3
3!
PC
3!
8 7 656
。
!k
nkn
k
Pk n C 特別地,當 ,
!
( 1) ( 1 ( ) 2 1
( 1
)
) 2
n k
k n
n k
k
n n
( !
!
)! nk
n
k
。
(1) ! nk kn kC P , 0(2) 1 1n n
nC C , 。注意:
同理, n 相異物任取 k 個為一組的方法數共
44 4 33 3 3!
PC C ,即 。4 相異物任取 3 個為一組的方法
數共
( 1)
!
( 1)n n k
k
n
本段結束本段結束
123(1) C 所求
12 11 10
3!
1232) 3!( C 所求
12 11 10
33!
!
103
52(1)
3 2
C C 男
所求女
510 1032235
(23
)2 2 3
CC CC
女 男 所求
男 女
2. 範例:一籃球隊有 12 人,求下列各方法數:(1) 選出 3 人打掃更衣室。 (2) 選一名隊長,一名副隊長,一名總
務。解
:
= 120 10 + 45 10 = 1650 。
= 120 10 = 1200 。
馬上練習:由 10 名男生, 5 名女生中,選出一個 5 人小組, 求下列方法數: (1) 選出 3 名男生 2 名女生。 (2) 男女至少各 2 人。
Ans : (1) 1200 (2) 1650 。
解:
= 220 。
= 1320 。Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !
##
n kn nkC C 。
10310
7C C因此可知 ,
nn
knkC C 恆有 。
97C 9
2 36C ;
291C 2
31 220C 。
3. 餘組合:
從 10 本不同的書中 取出 7 本 時,
即 選 7 本 與 捨棄 3 本 是同一回事,
故 0 k n 時,
例:
同時也會 留下 3 本 書,
To be continued To be continued 範例範例
031
(10 3)!3 7!
1
!
0!
3!
10!C
170
(10 7)
1
!
0!
7! 3!
0
7
!
!
1C
且 ==
18 184 2 10(1) ?n
nC C C ,求
1 1: : 1: 2 : 3n n nk k kC C C n k 若 ,求 與 之值。
112
10 0nC C故所求
1
1
2: 1:(2)
: 32 :
nk
nk
nk
nk C
C
C
C
1
13
2
2 nk
nk
nk
nk C
C C
C
!
( 1)! ( 1) !
!2
!( )!
! !3
( 1)! ( 1)2
! ) !( !
n
k n k
n
k
n
k n
kk n kn
n
k
1
( 1)
2
2
( )
3
( 1)
k
n k k
n k
3 1
2 5 3
n k
n k
5
14
k
n
。
範例: (2) 已知 n 及 k 為正整數,且 n
> k ,
n = 2 或 12 。
解: (1) 4 = n+2
或 4 + (n+2) = 18又 n
10 ,122 66C 。
Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !
26C所求
2!
6 515
。
192 2!C
兄弟坐進空隙隙
故選 2出 空
所求
47C所求 7 6 5 4
2435
。
放進 (○○○○○) 的 6 個空隙,
放進 (○○○○○○) 的 7 個空隙,
4. 範例: (1) 自來水公司預計於下週一至下週日的 7 天中,選擇 2 天停水, 若要求停水 2 天不相連,求其方
法數。(2) 兄弟兩人在排成一列的 20 個空位中,選坐不相鄰的兩個坐位有幾種方法 ?(3) 10 間相連的教室,選彼此不相鄰的 4 間教室放置蒸飯箱,共有多少種方法 ?
(2) 兄弟坐進 18 個空位的 19 個空隙,
解: (1) 令 ○:有水, 停水 2 天不
相連
= 19 18 = 342 。
(3) 令 ○:無蒸飯箱,蒸飯箱不
相連
:停水,
:有蒸飯箱。
Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !
103C
3!
10 9 8120
。
38C所求
3!
8 7 656
。
83 3 2
(3)C
甲乙坐進空隙選出
所求3空隙
放進 (○○○○○○○) 的 8 個空隙,
馬上練習:一列火車從第一車到第十車共十節車廂,求下列方法數: (1) 指定其中三節車廂准許
吸煙
(3) 承 (2) ,甲乙二人在可吸煙的不同車廂。
Ans : (1) 120 。 (2) 56 。 (3) 336
解: (1) 從 10 節中廂選出 3 節的方法數
(2) 承 (1) ,若可吸煙的車廂不相銜接。
= 56 6 = 336 。
(2) 令 ○:禁煙,吸煙不相連
:可吸煙,
##
102
42
1C C
4點共線所 4點共線所在直線決定任2點決定一 的 線直 直線
103
43C C
4點任3點決定一 共線所決定的
2n nC
扣任2點決定 直 邊一 除線
( 1) ( 3)
2 2
nn
n n n 條。
5. 範例:若平面上有 10 個相異點,其中 4 點共線,此外, 任三點皆不共線,則: (1) 過其中至少 2 點的直線有幾
條 ?
注意:凸 n 邊形的對角線數
=116 。
(2) 所求 = ( 任 3 點決定的 )
解: (1) 所求 =( 任 2 點決定一直線 )
= 45 6 + 1 = 40 。
(2) 取 3 點可作成三角形者有幾個 ? +(4 點共線所在
直線 )(4 點共線所決定的
直線 )
(4 點共線所決定的 )
Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !
A1
A2
A3LA4
3152 2
1
LL(1)
C C
直線3上 點所求
任2點決定一直線 所決定的直線42 1
MM
C
直線4上 點所決定的直線
33
153
43
ML
C C C
3上 點所決定的 上任3點決定一 4點所決定的
A1
A2
A3
A4 A5 A6
L
M
三點也在過 A1 的另一直線上,其餘任三點皆不共線,
馬上練習:若平面上有 15 個相異點,其中 A1,A2,A3 三點共線, A4,A5,A6
則: (1) 過其中至少 2 點的直線有幾條 ? (2) 取 3 點可作成三角形者有幾個 ?
Ans : (1) 98 (2) 450 。
= 455 1 4 = 450 。
解:
(2) 所求 = ( 任 3 點決定的 )
= 1053+16+1 = 98 。
(4 點共線所決定的 )
##
8 42 2C C
左右 上下
6. 範例:如圖,每個小方格均為正方形,
解:矩形:
= 168 個。
正方形: 11 有 2
2 有3
3 有 正方形共有 21 + 12 + 5 = 38
個。
7 3 = 21 個。
6 2 = 12 個。
5 1 = 5 個。
求矩形與正方形各有多少個 ?
Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !
4 42 2
32
52 2
32
5
CBA AB C
C CCC C C
組 組組 組組 組
4 4 41 2 1
3 3 31 12 1 2
5 5 51
C CBA A( A(( BCB
C C CC CC C C C
上下底) 上下底)上下底)
A
B
C
馬上練習:右圖由三組平行線所構成, 求平行四邊形與梯形各有多
少個 ?Ans :平行四邊形 108 個 , 梯方形 270 個。
解:平行四邊形:
= 120 + 90 + 60 = 270 個。
梯形:
= 30 + 60 + 18 = 108 個。
##
3 2 1 41 1 1 1
A A A A
C C C C
上方 下方 左方 右方
2 3 3 21 1 1 1
B B B B
C C C C
上方 下方 左方 右方
2 2 1 21 1 1 1
A A AB B B, B,A, ,
C C C C 上方 下方 左方 右方
B
A
7. 範例:如圖,至少包含 A 或 B 兩點之一的長方形共有幾個 ?
解:所求 = ( 含 A )
= 24 + 36 8
= 52 。
( 同時含 A 與 B )
+ (含 B )
##
8. 範例:從「 aaabbcd 」七個字母中,求依下列方式的方法數: (1) 任取三個的組合數 (2) 任取三個的排列
數。解:字母有四
類:d 有 1
個。c 有 1
個 ,b 有 2
個 ,a 有 3
個 , 種類 組合數 排列數
合計: 合計:
三同 ( 如aaa)
二同一異 ( 如aab)
三異 ( 如abc)
11 1C 1
1
3!1
3!C
2 31 1 6
C C
二同 一異
2 31 1 3!
182!
C C
二同 一異
43 4C 4
3 3! 24C
43 個
11 個
Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !
馬上練習:從「 aaaabbbccc 」十個字母中,求依下列方式的方法數: (1) 任取四個的組合數 (2) 任取四個的排列
數。Ans : (1) 13 (2) 79 。 解:字母有三
類:c 有 3
個。b 有 3
個 ,a 有 4
個 , 種類 組合數 排列數
合計: 合計:
四同 ( 如aaaa)
三同一異 ( 如aaab)
二同二同 ( 如aabb)
二同二異 ( 如aabc)
11 1C 1
1
4!1
4!C
3 21 1 6
C C
三同 一異
3 21 1 4!
243!
C C
三同 一異
32 3C 3
2
4!18
2!2!C
3 21 2 3
C C
二同 二異
3 21 2 4!
362!
C C
二同 二異
79 個
13 個 ##
54
54)
51
5 4(
C C 男選 男
所求女選4女
8 61 11
52
5
2
1
!(2
2)
3 4
C C CC
所求
第 人 第 人1對 恰恰 對= 120+10 = 1
30 。
= 5 + 5 = 10 。
9. 範例:從 5 對夫婦中選出 4 人,求下列方法數:
(1) 4 人皆為相同性別。 (2) 至少有一對是夫婦。
解:
10 5 44 4 2
(2) 210 80 13010 4 4
C C
另解 。
人選 人 人皆不是夫婦
5 81 2(2) 140
AB BAC C
ab ba
恰兩對多算 與 。
注意:
Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !
6 52 1C C
6男選2男 選一天排2男
所求
女 女男
男 男男男男
女 女
馬上練習: 6 男 4 女共 10 名學生,分別輪流擔任本週 5 天的值日生, 若每天 2 名值日生且每日至少須有 1 名男
生, 求本週值日生安排的方法數。
解:五天中必有一天是 2 男,
= 43200 。
4!4! 44餘 男排 4餘 天 女排 4餘 天
餘四天均為 1 男 1 女,
Ans : (1) 10 (2) 130 。
##
83(1) C 所求
61
4(2)
C
6點取1點 求
數所
徑 作直角直
328
(3)C
3點取2點
所求點數 作鈍角頂
10. 範例:正八邊形的八個頂點,任取三個頂點,
(1) 任意三角形 (2) 直角三角形 (3) 鈍角三角形 (4) 銳角三角形
可作下列三角形各有多少個 ?
解:
= 56 。
= 24 。
= 56 24 24 = 8 。
(4) 所求 = 全 直角 鈍角
= 24 。
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !
103(1) C 所求
81
5(2)
C
8點取1點 求
數所
徑 作直角直
4210
(3)C
4點取2點
所求頂點 作鈍角數
馬上練習:正十邊形的十個頂點,任取三個頂點,可作下列三角形各有多少個 ?
= 40 。
= 120 。
解:
(1) 任意三角形 (2) 直角三角形 (3) 鈍角三角形 (4) 銳角三角形Ans : (1) 120 (2) 40 (3) 60 (4)
20 。
= 60 。
= 120 40 60 = 20 。
(4) 所求 = 全 直角 鈍角
A1A2
A3
A5A6
A8
A9
A10
A4
A7
A1A2
A3
A5A6
A8
A9
A10
A4
A7##
4nC 個交點。
注意:若凸 n 邊形的對角線沒有三線共點,則:
(1) 此凸 n 邊形的所有對角線最多
( 因兩對角線交於一點 )
( 見附錄四 )
3 4 5 64 5n n n nC C C C 。
(2) 此凸 n 邊形的邊與對角線可圍出 的個數
##
75 21C 有 種。
12
4!6
!1
2!
有 種。
12. 範例:用 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 等七個數寫出一個五位數 n ,
使 n=a104+b103+c102+d10+e ,其中 a, b, c, d ,e 皆相異,
且 a <b< c 且 c>d>e ,則 n 共可寫出多少個 ?
解:先從 1~7 之中選出五個數字填入 a ~ e ,
故所求 = 21 6 = 126 種。
而滿足 a < b < c 且 c > d > e ,
其中 b , a 由左至右填入 ;
即 c > > > > ,
d , e 由左至右填入 ,
##
33
52
61(11, 3,2
)C CC
分( )三堆
32 356
1
2(
,3,12)
CC C 分( )三堆
1 1 1 給甲 給乙 給丙
32 356
1
2(
,3,13)
CC C 分( )三堆
3 2 1 給甲 給乙 給丙
二、分組與分堆1. 範例:將 6 本不同的書,依下列分法,各有幾種
方法 ?
= 606 = 360 。
= 60 。
= 6101 = 60 。
解:
(1) 依 1、 2、 3 分成三堆。 (2) 依 1 本給甲、 2 本給乙、 3 本給丙。
(3) 依 1、 2、 3 本隨意分給甲、乙、丙。
Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !
44
73
92(12, 4,3
)C CC
分( )三堆
43 479
2
3(
,4,22)
CC C 分( )三堆
1 1 1 給甲 給乙 給丙
43 479
2
3(
,4,23)
CC C 分( )三堆
3 2 1 給甲 給乙 給丙
馬上練習:將 9 本不同的書,依下列分法,各有幾種方法 ?(1) 依 2、 3、 4 分成三堆。 (2) 依 2 本給甲、 3 本給乙、 4
本給丙。(3) 依 2、 3、 4 本隨意分給甲、乙、
丙。
= 12606 = 7560 。
= 1260 。
= 36351 = 1260 。
解:
Ans : (1)1260 (2)1260 (3)7560 。
##
6 4 22 2 26 2 2 2
3!
C C C 相異物依 , , 共平 有 分成三堆 種方法。
n mk分成 同理, 堆 若 個相異物可平 ,每堆 個,
a b c d e f
a b c de f
a bc d e f
a bc d e f
a b c de f
a bc de f
2. 相同數目的分堆:將 a,b,c,d,e f 六本不同的書平分成三堆 ( 即依 2 , 2 , 2 的數
目 ) 。
!
n n m mm m mC C C
k
則共有 種方法。
對應同一種 ( a b , c d , e f ) 分堆方式。
本段結束本段結束
6 4 22 2 2(1)2,2,
1
23!C C C
分( 三堆)三堆 數目相同
115 6 1 15
3! 。
6 4 22 2 2(2)2,2,2
13!C C C
分( )三堆 三堆數目相同
123 給 C給B給A
6 2 14 1 1
12!
1,1(3)
4,
C C C
分 二堆( )三堆 數目相同
115 2 1 15
2! 。
6 2 14 1 1
12!
1,1(4)
4,
C C C
分 二堆( )三堆 數目相同
121 給 C給B給A
6 2 14 1 1
12!
1,1(5)
4,
C C C
分 二堆( )三堆 數目相同
123 給 C給B給A
= 30 。
3. 範例:將 6 本不同的書,依下列分法,各有幾種方法 ?
= 90 。
= 90 。
(1) 平分成三堆。 (2) 平分給 A 、 B 、 C三人。(3) 依 4 本、 1 本、 1 本分成三堆。 (4) 依 4 本給 A 、 1 本給 B 、 1 本給
C 。 (5) 依 4 本、 1 本、 1 本隨意分給 A 、 B 、C 。
解:
Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !
6 3 2 13 1 1 1
13!
1,1,1
4!
3,
C C C C
給四個人分( )四堆 數目相堆 同三
6 4 2 12 2 1 1
4!
, 2
12!
12!
,2 12 ,1 ,11,2
C C C C
給四個人分( )四堆 ( ) 數目相 ( )同 二 同堆數目相二堆
馬上練習:有 6 件不同禮物分給四人,求每人至少得 1 件的方法數。Ans : 15
60 。解: 6 件先分數目: (3,1,1,1) 、 (2,2,1,
1) 。
= 480 。
= 1080 。 ##
5 41 4(1)
1,4
C C 分( )二堆
1
ABC給
6 4 22 2 2(2)2,2,2
13!C C C
分( )三堆 三堆數目相同
3 2 1
A B C
給 給 給
6 4 22 2 2(3)2,2,2
13!C C C
分( )三堆 三堆數目相同
3 2 1
甲組 乙組 丙組
3 2 1
A B C
給 給 給
= 540 。
= 5 。
= 90 。
解:
Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !
4. 範例: (1) 將 8 人平分成兩組,其中 A 、 B 、 C 三人必在同一組,有幾種
方法 ?(2) 將 9 人平分成三組,其中 A 、 B 、 C 三人必不在 同一組,有幾種
方法 ?(3) 將 9 人平分成甲、乙、丙三組,其中 A 、 B 、 C 三人必不在同一組的方
法數 ?
7 52 5(1)
2,5
C C 分( )二堆
1
ABC給
9 6 33 3 3(2)3,3,3
13!C C C
分( )三堆 三堆數目相同
3 2 1
A B C
給 給 給
9 6 33 3 3(3),3,3
13!C C C
分( 三堆3 )三堆 數目相同
3 2 1
甲組 乙組 丙組
3 2 1
A B C
給 給 給
= 10080 。
= 1680 。
= 21 。
Ans : (1) 21 (2) 1680
(3) 10080 。解
:
##
有幾種方法 ?
馬上練習: (1) 將 10 人平分成兩組,其中 A 、 B 、 C 三人必在同一組,
必不在同一組,有幾種方法 ?(2) 將 12 人平分成三組,其中 A 、 B 、 C
三人(3) 將 12 人平分成甲、乙、丙三
組,其中 A 、 B 、 C 三人必不在同一組的方法數 ?
72 21C 。
73 35C 。
8 73 2(3) C Ca的組合數中,含 的有 種,
8 7 7323 CCC 故全部組合數
三、巴斯卡定理
1. 範例:從 { a, b, c, d, e, f, g, h }8 個字母中,一次取出 3 個字母,則
(1) 含 a 的有幾種組合 ? (2) 不含 a 的有幾種組合 ? (3) 全部有幾種組合 ?
解: (1) 所求即為 {b , c , d , e , f , g , h } 7 個字母中,
(2) 所求即為 {b , c , d , e , f , g , h } 7 個字母中,
一次取出 2 個的組合數
一次取出 3 個的組合數
73Ca不含 的有 種,
= 21 + 35 = 56 。 ##
1 11
n n nk k kC C C 。
107C組合數為 。
107C 則在 的組合數中
96A C的組合數中 為 在其 , 9
7A C的組合 不在 為 中 數其 ,
97
07
96
1( ) ( )C A C A C 因 不含此 含 。
11 1( ( ))k
n n nk kAC C C A 不含恆有 合數 含組 。
233
3C C 43C ; 919
312C C 20
3C ;0
129
121CC 13 13
10 3C C 。例
:
2. 巴斯卡定理:從 10 本中選取 7
本的設 A 為 10 本不同的書之一,
故 1 k n 時,
可分為兩種: A 在其中與 A 不在其中。
本段結束本段結束
巴斯卡三角形: 2 2 2
0 1 22! 1! 0!C C C
3 3 3 30 1 2 33! 2! 1! 0!C C C C
4 4 4 4 40 1 2 3 44! 3! 2! 1! 0!C C C C C
5 5 5 5 5 50 1 2 3 4 55! 4! 3! 2! 1! 0!C C C C C C
係數: 1, 2, 1
2 錯排的方法數 = 2!1 1!2 + 0!1
3 錯排的方法數 = 3!1 2!3 + 1!3 0!1
係數: 1, 5, 10, 10, 5, 1
5 錯排的方法數 = 44 = 5!1 4!5 + 3!10 2!10 + 1!5 0!1
係數: 1, 4 , 6 , 4, 1
係數: 1, 3, 3, 1
4 錯排的方法數 = 9 = 4!1 3!4 + 2!6 1!4 + 0!1
本段結束本段結束
12 129 10(1) ?C C 求 2 3 4 20
2 2 2 2(2) ?C C C C 求
12 1209 1(1) CC 13
10C 133 286C 。
2 3 4 202 2 22(2) C C CC
2033
3 42 2 2C CC C
202
4 4 193 2 2 CC C C
22
203
0C C
213 1330C 。
3. 範例:
解:
Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !
馬上練習: 有 10 個房間,第一間有 1 人,第二間有 2 人,…,
第十間有 10 人,共 55 人,從這 55 人中任選 2 人,
此 2 人不在同一房間有幾種選法 ? Ans : 13
20 。55 3 4 102 2 2
222( )C C CC C
55 3 42 2
1023 2
3( )C C C CC
55 4 4 1092 3 2 2 2( )C C C C C
55 102 3
102( )C C C
55 112 3C C
解:所求 = 全 ( 2 人在同一間房 )
= 1320 。 ##
2 3 4 100 1 2 8(1) ?C C C C 5 6 7 15
2 2 2 2(2) ?C C C C
2 3 4 101 2 80(1) C C CC
1030
3 41 2 8C CC C
4 92
1081 7
4C C CC
18
107
0C C 118 165C 。
5 6 7 152 2 2 2
5 53 3(2) ( )C C C CC C 所求
5 16 72 2
53 22
5( ) 10C C C CC
16 6 7 143 2 2
522( ) 10C C C C C
152315 0( 1)CC 16
3 10 550C 。
解:
4. 範例:
Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !
馬上練習:編號 3 , 4 ,…, 20 的袋子中,分別有相異球 3 , 4 ,…, 20 個球,今任選一
袋,且從 k 號袋中取 k1 個球, k = 3 , 4 ,…,20 ,
問共有幾種取法 ?
Ans : 207 。3 4 5 20
2 3 4 19C C C C 所求
3 4 5 202 3 4
3 311 19( )C CC C C C
4 4 5 192 3 4 18
2019 3( )C C C CC
2118 9
0 20 3CC
21 2119 23 3C C
解:
##= 2
07 。
1 . 重複組合 3
2 3C 記為 。
32 6H 記為 。
32H 重複組合數 ,
35H 重複組合數 ,
23 6H 非負整數解個數 。
從 a 、 b 、 c , 3 類取 2 個 ( 不重複 ) 有 3 種: ab 、 bc 、ac ,從 a 、 b 、 c , 3 類取 2 個 ( 可重複 ) 有 6 種: ab 、 bc 、 ac 、 aa 、 bb 、
cc ,令 x1 、 x2 、 x3 分別表 a 、 b 、 c 的個數,則:
同理, 3 類取 5 個的
即為 x1 + x2 + x3 = 2 的非負整數解個數。
3 類取 2 個的
即為 x1 + x2 + x3 = 5 的非負整數解個數。
共 6 種,即 x1 + x2 + x3 = 2 的
x1 + x2 + x3 = 2 的非負整數解如下: ab 1 1 0
bc 0 1 1ac 1 0 1aa 2 0 0bb 0 2 0cc 0 0 2
To be continuedTo be continued :非負整數解求法。:非負整數解求法。
5!
!21
2!
7所得的排列數 ,
方程式 x1+x2+x3=5 的非負整數解 ( 0 或正整數 ) ,
2. 非負整數解:
可表成 5 個「」與 2 個「 + 」的排列,如下所示:
而「++ 」
05
0
分堆3 種排列
++(5, 0 ,0)
++(0, 5, 0)
++(0, 0,
5)
14
06 種排列 ++
(4, 1, 0)++
(4, 0, 1)++
(1, 4, 0)
++(0, 1, 4)
++(0, 4, 1)
++(1, 0, 4)…
To be continuedTo be continued ::「 ++ 」之 21 種排列
05
0
分堆3 種排列
++(5, 0 ,0)
++(0, 5, 0)
++(0, 0,
5)
23
06 種排列
++(3, 2, 0)
++(3, 0, 2)
++(2, 3, 0)
++(0, 2, 3)
++(0, 3, 2)
++(2, 0, 3)
13
13 種排列
++(3, 1, 1)
++(1, 3, 1)
++(1, 1, 3)
22
13 種排列
++(2, 2, 1)
++(2, 1, 2)
++(1, 2, 2)
14
06 種排列 ++
(4, 1, 0)++
(4, 0, 1)++
(1, 4, 0)
++(0, 1, 4)
++(0, 4, 1)
++(1, 0, 4)
To be continued To be continued
75 5!2!
7!21C 。
107 7 3!!
10!120C 。
1n kkC 。
35H 以 表示,
3 35 55 5 5
( 1) 13H C C 則47HnkH
由上可知: x1 + x2 + x3 = 5 的非負整數解個數即為「 ++ 」的排
列數其中, xn 的個數 n =
3 ,而「 + 」的個數 = 「 xn 的個數」 1同理, x1 + x2 + x3 + x4 = 7 的非負整數解
個數即為「 +++ 」排列數
「 」的個數 = 5 , = 31 =
2 。
x1+x2+…+xn = k 的非負整數解個數即為 k 個「」與 n1 個「 + 」排
列數
x1+x2+…+xn = k 的非負整數解個數
x1+x2+x3+x4 = 7 的非負整數解個數
通常我們將 x1+x2+x3=5 的非負整數解個數 7
5C 。17
74 1
70C C 。
nk 其中 可大於 。
1n kkC ,
To be continued To be continued 符號練習符號練習
47H(1) x1+x2+x3+x4 = 7 的非負整數解
個數
7 174
710 120C C 。
符號練習:
35H(2) x1+x2+x3 = 5 的非負整數解
個數5 1
53
57 21C C 。
42H(3) x1+x2+x3+x4 = 2 的非負整數解
個數2 1
24
25 10C C 。
52H(4) x1+x2+x3+x4+x5 = 2 的非負整數解
個數2 1
25
26 15C C 。
44H(5) x1+x2+x3+x4 = 4 的非負整數解
個數
4 144
47 35C C 。
本段結束本段結束
36(1) H 所求 8
3 56C 。
43H 所求 6
3 20C 。
解:
3. 範例: (1) 求 x1+x2+x3+x4+x5+x6 = 3 的非負整數解個數。
(4) 同時擲 2 粒相同的骰子有幾種可能的結果?
(3) 將 5 個蘋果,分給 3 個人,有幾種方法 ?
(2) 所求為從 4 種茶,取 3 杯 即 x1 + x2 + x3 + x4 = 3 的非負整數解
個數( 其中 x1 :紅茶杯數, x2 :綠茶杯數, x3 :青茶杯數, x4 :烏龍茶杯數 )
求外帶三杯的選法有幾種 ?
(2) 某茶飲店賣:紅茶、綠茶、青茶、烏龍茶,
例: (2 , 1 , 0 , 0) 紅茶 2 杯 , 綠茶 1 杯 。
To be continued To be continued (3) (4 ) (3) (4 )
36(1) H 所求 8
3 56C 。43H 所求 6
3 20C 。
35H 所求 7
5 21C 。
62H 所求 7
2 21C 。
nkH重複組合數 ,
解:
(1) 求 x1+x2+x3+x4+x5+x6 = 3 的非負整數解個數。
(4) 同時擲 2 粒相同的骰子有幾種可能的結果?
(3) 將 5 個蘋果,分給 3 個人,有幾種方法 ?
根據題意必可表成 x1 + x2 + … + xn = k 。
注意: n 類取 k 個的
(2) 所求為從 4 種茶,取 3 杯
(3) 所求為從 3 人身上,取出 5 個蘋果 (4) 所求為從 6 種點數,取 2 次的方法
數,即 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 2 的非負整數解個數( 例: x1 表 1 點出現的
次數 )
求外帶三杯的選法有幾種 ?
(2) 某茶飲店賣:紅茶、綠茶、青茶、烏龍茶,
Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !
64H 所求 4
9 126C 。
37H 所求 9
7 36C 。
184H 所求 21
3 1330C 。
35H 所求 7
5 21C 。
馬上練習: (1) 同時擲 4 粒相同的骰子有幾種可能的結果 ?
(2) 將 7 個梨,分給 3 個人,有幾種方法 ?
解: (1) 6 種點數,取 4 次
Ans : (1) 126 (2) 36 (3) 1330 (4) 21 。
(3) 候選人 4 名,選舉人 18 名,求無記名投票有幾種結果 ?
(4) 有 5 人猜拳 (只出剪刀、石頭、布 ) ,會出現幾種結果 ?
(4) 3 種拳,取 5 次
(3) 4 種選票,取 18 張
(2) 3 個人身上,取出 7 個梨
##
53(2) H 所求 5
7 21C 種。
5 23 2C C
4. 範例: (1) 將 5 顆不同的球放入 3 個不同的箱子,有幾種放法 ?
(2) 將 5 顆相同的球放入 3 個不同的箱子,有幾種放法 ?
(3) 將 5 顆相同的球放入 3 個相同的箱子,有幾種放法 ?
(4) 將 5 顆不同的球放入 3 個相同的箱子,有幾種放法 ?解: (1) 3 3 3
3 3= 243
種。
(3) 即 5 個分三堆,
(4) 依 (5, 0, 0) 、 (4, 1, 0) 、 (3, 2, 0) 、 (3, 1, 1) 、 (2, 2, 1) 數目分堆
有 (5, 0, 0) 、
共 5 種。
(2, 2, 1) ,
(3, 1, 1) 、
(3, 2, 0) 、
(4, 1, 0) 、
= 41 種。
5 14 11 C C 共
5 2 13 1 1
2!
C C C
5 3 12 2 1
2!
C C C
##
36(2) H 所求 8 8
6 2 28C C 。
6 3 13 2 1
6 36 2 13 346 1 6 2
5 11
6 4 22
4 22 211
2! 2! 3
!
CC C C C C
CC C CC CC
CC
共
馬上練習: (1) 將 6 件相同物,放入 3 個相同的箱子,有幾種放法 ? (2) 將 6 件相同物,放入 3 個相異的箱子,有幾種
放法 ?(3) 將 6 件相異物,放入 3 個相異的箱子,有幾種放法 ?(4) 將 6 件相異物,放入 3 個相同的箱子,有幾種放法 ?Ans : (1) 7 (2) 28 (3) 729 (4) 1
22 。解: (1) 即 6 個分三堆,
(4) 依 (6, 0, 0) 、 (5, 1, 0) 、 (4, 2, 0) 、 (4, 1, 1) 、
(3) 所求 = 333333
= 36 = 729 。
有 (6, 0 ,0) 、 共 7
種。(2, 2,
2) ,(3, 2,
1) 、(3, 3,
0) 、(4, 1,
1) 、
(4, 2, 0) 、
(5, 1, 0) 、
(3, 3, 0) 、 (3, 2, 1) 、 (2, 2, 2) 數目分堆
= 122 種。 ##
nkH 。
nkH 。
nkH 。
5. 非負整數解與正整數解:
(1) 從 n 類不同物品中,取出 k 件的重複組合數
方程式 x1 + x2 + … + xn= k 的「非負整數解」的個數
將 k 件相同物品分給 n 個人的方法數
To be continued To be continued 正整數解。正整數解。
3 335 2H H 。
5 557 2H H 。同理, x1 + x2 + x3 + x4 + x5= 7 的正整數解
個數
x1 + x2 + x3 = 5 的正整數解個數
x1 + x2 + x3 = 5 的正整數解個數,等於 x1 + x2 + x3 = 2 的非負整數解個數
。
x1 + x2 + x3 = 5 的正整數解如下:( 3 , 1 , 1 ) ( 1 , 1 , 1 ) + ( 2 , 0 , 0 )
( 1 , 3 , 1 ) ( 1 , 1 , 1 ) + ( 0 , 2 , 0 )
( 1 , 1 , 3 ) ( 1 , 1 , 1 ) + ( 0 , 0 , 2 )
( 2 , 2 , 1 ) ( 1 , 1 , 1 ) + ( 1 , 1 , 0 )
( 2 , 1 , 2 ) ( 1 , 1 , 1 ) + ( 1 , 0 , 1 )
( 1 , 2 , 2 ) ( 1 , 1 , 1 ) + ( 0 , 1 , 1 )正整正整
數解數解非負整非負整
數解數解
To be continued To be continued 非負整數解 非負整數解 & & 正整數正整數解解
nnkH 。
nnkH 。
nnkH 。
(2) 從 n 類不同物品中,取出 k 件,
將 k 件相同物分給 n 個人 (n k) ,每個人至少得一件的方
法數
方程式 x1 + x2 + … + xn = k 的「正整數解」的個數
每類至少取一件的重複組合數
nkH 。
nkH 。
nkH 。
(1) 從 n 類不同物品中,取出 k 件的重複組合數
方程式 x1 + x2 + … + xn = k 的「非負整數解」的個數
將 k 件相同物品分給 n 個人的方法數
本段結束本段結束
34H 種, 3
5H 種。3
53
4H H 所求 6 74 5 315C C 。
4 13
33H H 種。
353
1H H 所求 1 53 7 63C C 。
3 34 5H H 2 2
4 531H H C 1 1
4 532H CH
6. 範例:將 4 個梨, 5 個蘋果,分給 3 個人,依下列情形,
解: (1) 梨的分法有
(3) 每人至少 1 個梨或蘋果。蘋果的分
法有
(2) 每人先得 1 個梨,剩下的 1 個梨的分法有
(3) 所求 = 全 ( 有人沒得 )
= 全
方法各有幾個 ? (1) 每人所得不限。 (2) 每人至少 1 個梨。
( 甲沒 + 乙沒 +丙沒 )
( 甲乙均沒 + 乙丙均沒 + 甲丙均沒 )
+ ( 甲乙丙均沒 )
= 315 ( 90 3 + 0 ) = 228 。
+ 0
##
37H 種, 3
8H 種。3 37 8H H 所 求 種 9 10
7 8 1620C C 。
437
33H H 種。
383
4H H 所求 6 104 8 675C C 。
馬上練習:將 7 個梨, 8 個蘋果,分給 3 個人,依下列情形,方法各有幾個 ? (1) 每人所得不限 (2) 每人至少 1
個梨(3) 每人至少 1 個水果 ( 1 梨或 1 蘋果 ) 。Ans : (1) 1620 (2) 675 (3) 14
07 。解: (1) 梨的分法有
蘋果的分法有
(2) 每人先得 1 個梨,剩下的 4 個梨的分法有
3 37 8H H 2 2
7 832H H C 1 1
7 831H CH
(3) 所求 = 全 ( 有人沒得 )
= 全
( 甲沒 + 乙沒 +丙沒 )
( 甲乙均沒 + 乙丙均沒 + 甲丙均沒 )
+ ( 甲乙丙均沒 )
= 1620 ( 216 3 + 0 ) = 1407 。
+ 0
##
316(1) H 所求 18 18
16 2 153C C 。
316 3(2) H 所求 3
13H 15 1513 2 105C C 。
39H故所求 11 11
9 2 55C C 。
7. 範例:方程式 x+y+z=16 ,求下列解的個數:
(1) 非負整數 (2) 正整數 (3) x>2 , y1 , z3 的整數解。
解:
(3) 令 x=x1
+3 ,
x1 + y1 + z1 = 9 ,
即為 (x1+3) + (y1+1) + (z1+3) = 16 的非負整數解,
則 x + y + z = 16 的所求整數解,
z=z1
+3 ,y=y1
+1 ,
Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !
馬上練習:某企業公司設有四個部門,每個部門均有經理一人,另有總經理一人管理四個部門之業務。年終時董事會發放
其餘經理每人至少一張,則共有多少種發放方法 ?
Ans :35 。
同面額禮卷 10張給總經理及四部門經理,總經理至少取得三張,
53H故所求 7
3 35C 。
解:所求即 x + y + z + u + v = 10 之整數解,
令 x = x1 + 3 , (x1+3) + (y1+1) + (z1+1) + (u1+1) + (v1+1) =10 的非負整數
解, x1 + y1 + z1 + u1 + v1 =
3 ,
y = y1 + 1 ,
z = z1 + 1 ,
u = u1 + 1 ,
v =v1+ 1 ,
其中 x 3 , y 1 , z 1 , u 1 , v 1 。
##
59H故所求 13 13
9 4 715C C 。
55H故所求 9
5 126C 。
8. 範例:不等式 x+y+z+u 9 ,求下列解的個數:
(1) 非負整數 (2) 正整數。解: (1) x + y + z + u 9 的非負整數
解,即為 x + y + z + u + w = 9 的非負整數解,其中 w 為非負整數。
(2) 令 x = x1 + 1 ,則 x + y + z + u 9 的正整數
解, 即為 (x1+1) + (y1+1) + (z1+1) + (u1+1) 9 的非負整數解, x1 + y1+ z1+ u1
5 ,即為 x1 + y1+ z1+ u1+ w = 5 的非負整數解,其中 w 為非負整數。
u = u1 + 1 ,
z = z1 + 1 ,
y =y1 + 1 ,
Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !
48
43H H 故所求
118
63C C
馬上練習:不等式 3 < x+y+z 8 的非負整數解共有幾組 ?
Ans : 145 。
解: 3 < x+y+z 8 即為
「 x+y+z 8 的解」「 x+y+z 3 的解」,
20 55 41 16 。##
416H有 種,415H有 種,
412H有 種,
47H有 種,
40H有 種。
415
401
46 7
4 421H H HHH 所求
18 10191 715
1265
1 1CCC C
9. 範例:方程式 x+y+z+u2 16 的非負整數解有多少組 ?解: x + y + z + u2 16 的非負整數
解,
u=0 時,
即為 x+ y+ z+ u2 + w = 16 的非負整數解,其中 w 為非負整數。
u=4 時,
u=3 時,
u=2 時,
u=1 時,
14 15969 20 2358 6 11 6 種。Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !
4 43 6 15H C 有 。
23 42 6H C 有 。
23 34 15 6 90H H 故正整數解有 種。
432
3 4 15 6 364 0H H 故整數解有 種。
10. 範例: (1) 方程式 xyz=144 的「正整數解」共有幾組 ?
(2) 方程式 xyz=144 的「整數解」共有幾組 ?
解: (1) xyz = 144 = 24
32 4 個 2 分給 x 、 y
、 z ,2 個 3 分給 x 、 y
、 z ,
(2) 整數解 x 、 y 、 z 可分:
負正負、
正負負、
正正正、
負負正。
Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !
10 10112 11H C 種。
馬上練習:若數列 a1 , a2 , … , ak , …, a10 中每一項皆為 1 或 1,
則 a1+a2+…+ak+…+a10 之值有多少種可能 ?
解:所求即從 1 與 1 兩種數取 10 個的重複組合數,
(99學測 )
##
Ans : 11 種 。
7 6 55 4 3 5 4 33 3 3 46H H H C C C 所 求 。
解: (1) 所求即 x + y + z + w = 5 且 x 2 之非負整數解。
11. 範例:某限量版手機款式小書包,有黑、紅、黃、藍四種顏色,大小均相同 (僅顏色有分別 ) 。朱哥想買 5 個,但黑色只剩 2 個,其他顏色的庫存量均足夠,則:
(2) 將買來的 5 個小書包,分別送給 5 個不同的女朋友,(1) 有幾種買法。
每人一個小書包,方法有幾種。
350x H 341x H 332x H
To be continued To be continued (2)(2)
5!3 3
5!
5!9 45
4!
5!9 90
3!2!
323 C
5!9 180
3!
42 2C
5!12 360
2!2!
41C
5!4 240
2!
(( 2 ) 2 )
5 同 ( 例:紅紅紅紅紅 )
4 同 1 異 ( 例:紅紅紅紅黑 )
3 同 2 同 ( 例:紅紅紅黑黑 )
3 同 2 異 ( 例:紅紅紅藍黑 )
2 同 2 同 1 異 ( 例:紅紅藍藍黑 )
2 同 3 異 ( 例:紅紅藍黃黑 )
種 類
排列數
共 918918 種。
組合數
3
3 3
3 3
有黑、紅、黃、藍四種顏色,但黑色只剩 2 個
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