901

במשולש יםמיוחד קווים

שלשובמ יםמיוחד קווים . 3

זווית החוצ 3.3

: זווית במשולש הוא קטע בעל שתי תכונות חוצה הגדרה

זווית כלשהי במשולש; הוא שייך לישר שחוצהא.

ונקודה על הצלע הנגדית.קדקוד הזווית הינןקצותיו .ב

לכל משולש יש שלושה חוצי זוויות, כולם עוברים בתוך

המשולש.

3.3.3משימת חקר

. העתיקו את השרטוט במחברת והוסיפו בו חוצי Aמסומן חוצה זווית ABCמשולש ב

אינטרקטיבית והעבירו חוצי זוויות . היעזרו בתוכנה לגיאומטריה C -ו Bזוויות

זווית. -זווית וישר-זווית, כהה-חד במשולש

.נפגשים בנקודה אחת שלושת חוצי הזוויות במשולש משפט

על חוצה זווית.עזר נוכיח משפט תחילה הוכחה

.שווה משוקי הזווית מידהכל נקודה על חוצה זווית מרוחקת ב 3 משפט

נקודה מהישר הוא אורך האנך מרחק הגדרה

מהנקודה לישר זה.

BACעל חוצה זווית Mנבחר נקודה כלשהי הוכחה

על שוקי הזווית. ML -ו MKונוריד ממנה אנכים

זווית -. הם ישריAML -ו AMKנתבונן במשולשים

אנכים( בעלי זוויות חדות שוות - ML-ו KM-)מכיוון ש

( 1 = 2 מכיוון ש- AM חוצה זווית), ויתרAM

משולשים אלה (.ז.צ.ז )עפ"י משפט חפיפה לכן משותף.

מ.ש.ל. . KM = ML -, וAML AKM חופפים:

1 2 3 4 5-1-2-3-4-5-6

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

A

B

C

1 2 3 4 5-1-2-3-4-5-6

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

A

B

C

1 2 3 4 5-1-2-3-4-5-6

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

A

B

C

1 2 3 4 5-1-2-3-4-5-6

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

A

B

C

990

במשולש יםמיוחד קווים

תוזווית המרוחקהבתוך ותנקודשל כל ה מקום גיאומטרי )הפוך( 2 משפט

.חוצה זווית הוא שווה משוקי הזווית מידהב

המרוחקת BACנקודה בתוך הזווית - Mייתה הוכחה

נוריד .AC -ו ABבמידה שווה משתי השוקיים

. AC -ו ABלשוקי הזווית ML -ו MKאנכים

,MK = ML ,AKM = ALM = 90°: פי הנתון-על

AM– יתר(; צלע משותפת(

שווים עפ"י משפט פיתגורס: AL-ו AKהניצבים

, צ(.צ.)צ לישיעפ"י משפט חפיפה שחופפים AML -ו AMKהמשולשיםלכן

. 1 = 2 ושוות הזוויות המתאימות:

מ.ש.ל. .BACהוא חוצה זווית AMהקרןכלומר,

שלושת חוצי זוויות פנימיות במשולש 3 משפט

.נפגשים בנקודה אחת

של שני חוצי את נקודת המפגש O-ב נסמן הוכחה

מנקודה , ונוריד ABCבמשולש 1BB -ו 1AAזוויות

AB ,BCלישרים OM -ו OK ,OLאת האנכים זו

בהתאמה. CA -ו

. OK = OL -ו OK =OM ,9 פי משפט-על

אפשר להסיק שנקודה 2, ולפי משפט OK = OLלכן

O 1שייכת גם לחוצה הזווית השלישיCC .

ABCלכך, כל שלושת חוצי זוויות של המשולש-אי

.Oנפגשים בנקודה

, נקודה זו היא מרכז 1.9נו בסעיף חכפי שהוכ הערה

מעגל חסום במשולש הנתון.

999

במשולש יםמיוחד קווים

אנכים אמצעיים מפגש 3.2

אמצעי של קטע הוא הישר העובר דרך אנך הגדרה

נקודת האמצע של הקטע ומאונך לו.

כל נקודה הנמצאת על אנך אמצעי מרוחקת 4משפט

. במידה שווה מקצות הקטע

, ABאנך אמצעי לקטע – mיהיה ישר הוכחה

אמצע הקטע. – O -ו

. mעל הישר Mנקודה כלשהי נבחר

.AM = MB -עלינו להוכיח ש

אז הטענה נכונה, מכיוון Oמתלכדת עם Mאם נקודה

.ABהיא אמצע הקטע O -ש

נקודות שונות. אז המשולשים M -ו Oתהיינה

OAM ו- OBM )לכן חופפים עפ"י משפט חפיפה ראשון )צ.ז.צ ,AM = BM .

הוא תיכון וגובה. MOשוקיים, שבו -הוא איפוא משולש שווה AMBהמשולש

.שוקיים גובה מתלכד עם תיכון-במשולש שווהלכן המסקנה:

ותנקודהכל מקום גיאומטרי של )הפוך( 5משפט

אנך אמצעי הוא ת במידה שווה מקצות הקטע והמרוחק

לקטע.

כלשהי המרוחקת במידה שווה נקודה Nתהיה הוכחה

.mשייכת לישר N -. נוכיח שABמקצות הקטע

ולכן של הקטע O האמצעית היא מתלכדת עם הנקודהאז ABהקטענמצאת על Nאם

.mשייכת לישר

-מכיוון ש שוקיים-הוא שווה ANB, אזי המשולשABאם היא אינה נמצאת על הקטע

AN =BNהקטע .ON הוא תיכון לבסיסAB של משולש שווה שוקיים, ולכן הוא גם

. m -שייכת ל N -, ומתלכדים m -ו ONלכן הישרים. NO ABגובה, כלומר

מ.ש.ל.

A B

C

A

B

C

O

M

L

K1

1

1a

A B

C

A

B

C

O

M

L

K1

1

1

a

m

N

A B

C

A

B

C

O

M

L

K1

1

1

a

m

992

במשולש יםמיוחד קווים

.ים במשולש נפגשים בנקודה אחתישלושת אנכים אמצע 6 משפט

, נעביר אנכים אמצעיים ABCבמשולש הוכחה

m ו- n ונסמן את נקודת המפגש שלהם ב- O.

.OB = OC -ו OB = OA, 1פי משפט -על

מרוחקת במידה O, כלומר נקודהOA = OC לכן

, 5ובהתאם למשפט , ACשווה מקצות הקטע

זה. לקטע pהיא נמצאת על אנך אמצעי

p -ו m, nששלושת אנכים אמצעיים מכאן מסיקים

.נפגשים בנקודה אחת ABCשל המשולש

נקודה זו היא ,1.2נו בסעיף חכפי שהוכ הערה

מרכז מעגל חוסם את המשולש הנתון.

)אנך אמצעי וחוצה זווית(תרגילים

ס"מ. 12 -שווה ל AMB. היקף המשולש ABנמצאת על אנך אמצעי לקטע Mנקודה .320 91.9.9

.3 -פי AB -ארוך מ AM, אם ידוע כי ABמצאו את אורך הקטע

המרוחקת באופן שווה מהיתר ,זווית נתון-ישרבנו נקודה על הניצב של משולש .329 91.9.2

ומהניצב השני.

ס"מ 3 -גדול ב PM. נתון כי אורך הקטע MKנמצאת על אנך אמצעי לקטע Pנקודה .322 91.2.9

ס"מ. 19 -שווה ל PMK, והיקף המשולש MKמאורך הקטע

PM.מצאו את אורך הקטע

שוקיים נתון, המרוחקת באופן שווה מהבסיס -שווהו נקודה על שוק של משולש מצא .323 91.2.2

.יהומהשוק השני

חותך את ACנתון, כי אנך אמצעי לצלע BCשבסיסו ABCשוקיים -במשולש שווה . 321 91.3.9

.ABC = 43 -, אם ידוע שCAM. מצאו את הזווית Mבנקודה BCהצלע

A B

CA

BC

O

M

L

K1

1

1

a

m

N

n

p

993

במשולש יםמיוחד קווים

. BC < AC :( נתוןC = 90) ABCזווית -במשולש ישר . 325 91.3.2

נמצאת במרחק השווה ו AC -ו ABבנו נקודה המרוחקת למרחקים שווים מהצלעות

. Cמקדקוד BCלאורך הניצב

חותך את ABנתון, כי אנך אמצעי לצלע ACשבסיסו ABCשוקיים -במשולש שווה .329 91.1.9

.ABP = 52 -, אם ידוע שC. מצאו את הזווית Pבנקודה AC בסיסה

ABC (AB = BC.)שוקיים -זווית ושווה-חד משולשנתון .327 91.1.2

ונמצאת במרחק השווה AC -ו ABבנו נקודה המרוחקת למרחקים שווים מהצלעות

. Cמקדקוד ACלמחצית אורך הבסיס

חותך את AСנתון, כי אנך אמצעי לצלע ABשבסיסו ABCשוקיים -במשולש שווה .328 91.5.9

.ACB = 40 -, אם ידוע שMAB. מצאו את הזווית Mבנקודה BC צלעה

( בנו נקודה המרוחקת למרחקים שווים C = 90) ABCזווית -במשולש ישר .321 91.5.2

. B -ו Aוגם למרחקים שווים מקדקודים AC -ו ABמהצלעות

חותך את ABנתון, כי אנך אמצעי לצלע AСשבסיסו ABCשוקיים -במשולש שווה .330 91.9.9

.BCA = 65 -, אם ידוע שPAС. מצאו את הזווית Pבנקודה BCהצלע

-מ בנו נקודה המרוחקת למרחקים שווים ,CDE (CD = DE) שוקיים-שווהבמשולש .339 91.9.2

CE ו- DE וגם נמצאת במרחקים שווים מהקדקודיםD ו- E.

הוא חוצה 75 ,AM -( זווית הבסיס שווה לAB = BC) ABCשוקיים -במשולש שווה .332 91.7.9

. ACלבסיס המשולש Mס"מ. מצא את המרחק מנקודה BM =90 -זווית ו

קדקוד -ABC ( Cשוקיים -מצאו מקום גיאומטרי של קדקודי משולשים שווי .333 91.7.2

שווה לקטע נתון. ABהמשולש( שבסיסם

991

במשולש יםמיוחד קווים

, 120 -שווה ל B( זווית AB = BC) ABCשוקיים -במשולש שווה .334 91.8.9

CM חוצה זווית, הואAM =91 את המרחק מנקודה וס"מ. מצא

M לישרBC.

שאין לא נקודות משותפות עם ישר זה. BCוקטע aנתונים: ישר .335 91.8.2

בסיס – BCשוקיים )-יהיה שווה ABCכזאת שמשולש Aנקודה aישר מצאו על ה

המשולש(.

יםגבה מפגש 3.3

שלושת גבהים במשולש נפגשים 7משפט

.בנקודה אחת

נעביר דרך כל קדקוד המשולש הנתון הוכחה

ABC .ישרים המקבילים לצלע ממול

C-ו A,Bשבו הנקודות ,2C2B2Aנקבל משולש

2C2B ,2A2Cהינן נקודות האמצע של הצלעות

. בהתאמה 2B2A -ו

הם מקביליות, 2ABCB -ו C2ABAנימוק: המרובעים

)כצלעות נגדיות במקבילית(; 2AB = CB -ו 2AB = CAלכן

1ССהיא נקודה אמצעית, והקטע C, כלומר, הנקודהCB 2CA =2מכאן מקבלים:

.2B2Aהוא אנך אמצעי לצלע

גם הם אנכים אמצעיים במשולש 1BB -ו 1AA -ששיקולים דומים מביאים למסקנה

2C2B2A. ששלושת הגבהים במשולש פי המשפט הקודם מסיקים איפו -עלABC

מ.ש.ל. .נפגשים בנקודה אחת

1 2 3 4 5-1-2-3-4-5-6

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

A

B

C

M?

14120

995

במשולש יםמיוחד קווים

מסקנה

הם אנכים ABCשהגבהים של המשולש מכיוון

מסיקים, כי 2C2B2Aאמצעיים של המשולש

נקודת המפגש שלהם היא מרכז המעגל החוסם

. 2C2B2Aאת המשולש

ים תיכונמפגש 3.4

)סעיף המשפטים הבאים הוכחנו בפרק הקודםאת

3..1) ;

כאן רק נחזור על ההגדרות ועל ניסוח המשפטים:

קטע אמצעי במשולש הוא הקטע המחבר את הגדרה

נקודות האמצע של שתי צלעותיו.

לאחת מקביל במשולש םאמצעי קטע 8 משפט

.מצלעותיו ושווה למחציתה של צלע זו

נפגשים במשולש תיכונים שלושת 1משפט

2:1מחלקת כל תיכון ביחס אשר בנקודה אחת

.החל מקדקוד המשולש

תכונות נוספות של תיכונים במשולש

נמצאת על תיכון המשולש Mאם נקודה .3משפט

ABC אזי שטחי המשולשיםABM ו- BCM

שווים.

שלבי ההוכחה:

שטח שווה, DBC -ו ABDלמשולשים .א

משותף. BHוגובה AD = DC -מכיוון ש

A B

C

M NAB

1

2

1

1

C

O

999

במשולש יםמיוחד קווים

.DMC -ו AMDמשולשים שווים שטחי ה נימוקהלפי אותו .ב

מ.ש.ל. CMDS - BCD= S CMB, SDAMS - DAB= S ABMS .ג

: המשפט ההפוךנכון גם

נמצאת על Mשווים, אז הנקודה CBМ -ו ABMשטחי המשולשים אם 33משפט

.ABCהמשולש תיכון

הוכחה

שטח שווה; BCM -ו ABMלמשולשים היהי

.AD = DC "ל:צ

SABM = BMAE, SBMC = BMCH,

SABM = SBMC AE = CH

עפ"י משפט חופפים DCH -ו AED משולשים

כזוויות קודקודיות, ADE = HDCזווית, -)משולשים ישריחפיפה שני )זצז(

AE = HC לכן .)AD =DС ,כלומר ,D היא אמצע הצלעAC ו- BD .מ.ש.ל.הוא תיכון

שני זוגות המשולשים שטחים שלהשווים ישייכת לשני תיכונים, אז Mאם נקודה

(CBM= S ABMS , CAM= S ABMS )למשל, בהתאם

של התיכונים נמצאת ב"מרכז הכובד" של המשולש: Mלכן מסיקים, שנקודת המפגש

שטחים )ולכן גם ACM -ו ABM ,BCMלשלושת המשולשים הנוצרים

ה"מסות"( שווים.

997

במשולש יםמיוחד קווים

אם לתלות את המשולש בחוד המחט התקועה במשולש

מסיבה . אז המשולש יישאר בשיווי המשקל Mבנקודה

הכובד מרכז –זו מכנים את נקודת המפגש של התיכונים

משולש.של

3 משימת חקר

בסיוע תוכנה מתאימה( האם מתקיימת טענה קו, באמצעות שרטוט מדויק )ידני אובד

:(משפט אוילר) הבאה

של Hלבין נקודת המפגש Oסם ומרכז מעגל חנמצא על הקטע בין Mמרכז המשולש

.OM:MH = 1:2הגבהים ומחלקת אותו ביחס של

אוילר של משולש נתון.מכונה ישר OHיש

998

במשולש יםמיוחד קווים

2משימת חקר

בסיוע תוכנה מתאימה( האם מתקיימת טענה קו, באמצעות שרטוט מדויק )ידני אובד

(:תשע הנקודותמשפט הבאה )

1, 2בסיסי הגבהים )נקודות (, 7 -ו 5, 9נקודות אמצעיות של צלעות המשולש )נקודות

( ונקודות האמצע של הקטעים שבין קדקודי המשולש לבין נקודת מפגש הגבהים 8 -ו

H נמצאות על מעגל אחד. –( 1 -ו 9, 3)נקודות

חוצה את הקטע Fרדיוס של מעגל זה שווה למחצית הרדיוס של מעגל חוסם, ומרכזו

OH.

אוילר. מכונה מעגל תשע הנקודות או מעגל Fמעגל

991

במשולש יםמיוחד קווים

3משימת חקר

מורה בגרמניה XIXבמאה , אותה גילה למעגל תשע הנקודות עוד תכונה מפליאה

למתמטיקה קרל פיירבאך:

מעגל תשע הנקודות משיק לארבעה מעגלים הקשורים במשולש הנתון:

מעגל חסום בתוך המשולש ושלושת המעגלים המשיקים להמשכי צלעות המשולש

, באמצעות שרטוט מדויק )ידני אן בסיוע תוכנה נסו )מעגלים חסומים חיצונית(.

זו.האם מתקיימת טענה לבדוק מתאימה(

4משימת חקר

XIXמאה סוף משפט יפהפה זה הוכיח ב

:רליאמריקאי מו

במשולש כלשהו, נעביר ישרים אשר מחלקים

זוויות המשולש לשלוש זוויות שוות. כל

נקודות המפגש של כל זוגי הישרים יוצרות

צלעות.-משולש שווה

נסו לאמת משפט זה באמצעות שרטוטים

מדויקים.

920

במשולש יםמיוחד קווים

תרגילים

.Oנפגשים בנקודה 1BB -ו 1AAהגבהים ABCזווית-א( במשולש חד .933 17.9

. BAC = 58° -אם נתון ש OCAמצאו את הזווית

המרוחקת מצלע Oנפגשים בנקודה 1BB -ו 1AAזווית ה-חוצי ABCבמשולש (ב

AB מצאו את שטח המשולשס"מ. 4 -ל BOC :אם נתוןBC = 10 cm.

נפגשים BC -ו ABהאנכים האמצעיים לצלעות ABCזווית-במשולש חד א( .337 17.2

. Oבנקודה

.OB = 10 cm, OAC = 30°אם נתון: ACלצלע Oנקודהמצאו את המרחק מ

והם מאונכים. Oנפגשים בנקודה 1BB -ו 1AAהתיכונים ABCבמשולשב(

.cm 1= 18 cm, BB 1AA 24 =אם נתון: AOBמצאו את שטח המשולש

.Oנפגשים בנקודה 1CC -ו 1AAהגבהים ABCזווית-א( במשולש חד .833 17.3

.OCA = 38° -אם ידוע ש OBAמצאו את הזווית

. O נפגשים בנקודה 1CC -ו 1BBהזווית -חוצי ABCבמשולשב(

אם נתון: AOC -ו BOAמצאו את יחס שטחי המשולשים

AB = 10 cm, AC = 15 cm.

נפגשים AC -ו ABהאנכים האמצעיים לצלעות ABCזווית-א( במשולש חד .331 17.1

.OA = 8 cm, OBC = 60° נתון: . Oבנקודה

.OBCמצאו את שטח המשולש

והם מאונכים. Oנפגשים בנקודה 1CC -ו 1AAהתיכונים ABCב( במשולש

.cm 1= 9 cm, CC 1AA 12 =מצאו את צלעות המשולש אם נתון:

.Oנפגשים בנקודה 1CC -ו 1BBים גבה ABCזווית-א( במשולש חד .103 17.5

.1BC = 2BC -אם ידוע ש OABמצאו את הזווית

והם מאונכים. Oנפגשים בנקודה 1CC -ו 1BBהתיכונים ABCבמשולש (ב

.cm 1= 15 cm, BB 1CC 36 =אם נתון: OAמצאו את

929

במשולש יםמיוחד קווים

נפגשים AC -ו BCהאנכים האמצעיים לצלעות ABCזווית-א( במשולש חד .319 17.9

.AB = 10 cm, BOA = 120°נתון: . Oבנקודה

.OCמצאו את הקטע

המרוחקת למרחק שווה מצלעותיו של המשולש. Oבתוך המשולש נבחרה נקודהב(

.ABO = 39°אם נתון: AOCמצאו את הזווית

שאינה שייכת מחוץ למעגל Mונקודה העובר דרך מרכז המעגל aישר ,מעגל נים:נתו .342 17.7

לישר באמצעות סרגל בלבד. Mמנקודה. בנו אנך aלישר

שאינה שייכת בתוך העיגול, Mהעובר דרך מרכז המעגל ונקודה aנתונים: מעגל, ישר .343 17.8

לישר באמצעות סרגל בלבד. Mמנקודה. בנו אנך aלישר

לשוקי הזווית. MB -ו MAהורידו אנכים Oעל חוצה זווית לא שטוחה Mמנקודה .311 .971

.ABOM -הוכיחו ש

.Aמשיקים לכל אחד משני מעגלים בעלי משיק משותף בנקודה Oשוקי הזווית .315 .975

.OAישר ההוכיחו שמרכזי המעגלים נמצאים על

. מצאו את:rורדיוס Oמשיקים למעגל שמרכזו בנקודה A שוקי הזווית .319 .979

r = 5 cm, A = 60°אם נתון OAא(

OA = 140 cm, A = 90°.אם נתון rב(

.Oנחתכים בנקודה ABCבמשולש C-ו Bחוצי זוויות חיצוניות ליד קדקודים .317 .977

.AC -ו AB,BCהיא מרכז המעגל המשיק לישרים Oהוכיחו שנקודה

. Mנחתכים בנקודה ABCבמשולש 1BB -ו 1AAחוצי זווית .831 .978

אם נתון: BCM-ו ACM מצאו את הזוויות

= AMBב( AMB = 136° (א

מצאו את: .Dבנקודה ACחותך צלע ABCבמשולש BCאנך אמצעי לצלע .311 .971

;BD = 5 cm, AC = 8.5 cmאם נתון ש: CD -ו AD א(

. AD = 3.2 cm, BD = 11.4 cmאם נתון ש: AC ב(

922

במשולש יםמיוחד קווים

על הצלע Dנחתכים בנקודה ABCבמשולש AC-ו AB האנכים האמצעיים לצלעות .350 .980

BC . א( נקודה :כיהוכיחוD היא אמצע הצלעBC; )בA = B +C .

.Eבנקודה BCחותך צלע ABCשוקיים-שווה במשולש AB אנך אמצעי לצלע .359 .989

AB-וס"מ 72 -שווה ל AECאם ידוע שהיקף המשולש ACהבסיס מצאו את

ס"מ. 81 -שווה ל

. ABבסיס משותף ABD -ו ABCשוקיים-למשולשים שווי .352 .982

.ABעובר דרך אמצע הקטע CDהוכיחו שהישר

הוא לא AMאינן שוות אזי התיכון AC-ו ABהצלעות ABCהוכיחו שאם במשולש .353 .983

גובה המשולש.

. הוכיחו Mנחתכים בנקודה ABCשוקיים-של משולש שווה ABחוצי זוויות ליד בסיס .351 .981

.ABמאונך לישר CMשהישר

.Mלשוקי צד נחתכים בנקודה 1BB -ו 1AAגבהים , ה ABCשוקיים-במשולש שווה .553 .985

.ABהוא אנך אמצעי לקטע MCהוכיחו שהישר

.בנו אנך אמצעי לקטע נתון .359 .989

פתרון

רכזם שמ AB-בעלי רדיוס השווה לקטע נתון. נשרטט שני מעגלים – ABיהיה

.2M -ו 1Mמעגלים אלה נחתכים בשתי נקודות . בהתאם B-ו Aבנקודות

הם 2BM -ו 1AM ,2AM ,1BMהקטעים

שווים בהיותם רדיוסי המעגלים.

אנך האמצעי - . הוא2M1Mנעביר ישר

1M שנקודות מכיוון , ABהמבוקש לקטע

נמצאות באותו מרחק מקצות הקטע 2M -ו

AB .ולכן שייכות לאנך אמצעי לקטע זה

A

B

M M1 2

923

במשולש יםמיוחד קווים

. ABהוא האנך האמצעי לקטע 2M1Mלכן הישר

הנמצאות בצד אחד מהישר. B-ו A ושתי נקודות aנתונים ישר .357 .987

.B -ו Aהמרוחקת לאותו מרחק מהנקודות aעל הישר Mבנו נקודה

נתונים זווית וקטע. .358 .988

ומקצות הקטע.שווה משוקי הזווית באופן מצאו נקודה בתוך הזווית המרוחקת

421

קטעים פרופורציוניים

קטעים פרופורציוניים .4

תכונות הפרופורציה 4.4

פרופורציה היא שוויון בין שני יחסים. הגדרה

:דוגמאות

הפרופורציה:תכונות

מעבר מיחס למכפלה: (א

החלפת המכנה של יחס ראשון במונה של השני: (ב

לעיקריות ש כונותת שתיפרופורציות אלה מבטאות

משולשים דומים:

יחסי הצלעות המתאימות ,משולשים דומיםב .א

.שווים

של אחד מהם חסי הצלעותי ,משולשים דומיםב .ב

.המתאימות בשנישווים ליחסי הצלעות

פעולות אלגבריות:ג(

: k -נסמן את היחסים ב :הוכחה

. נציב ביחס של סכומים: 2b= k 2, a1b= k 1a אז:

ובדומה לכך נקבל עבור ההפרשים.

שווים )פרופורציה ארוכה(:שורה של יחסים בד(

מתקיים:

3b= k 3a, 2b= k 2, a1b= k 1a : הוכחה

i = 1, 2, 3, כאשר

421

קטעים פרופורציוניים

אזי מסמנים את הצלעות מתאימות של משולשים דומים, ib -ו ia פרט, כאשרב

.a= P 3+ a 2+ a 1a ,b= P 3+ b 2+ b 1b סכומם שווה להיקף המשולש:

זה לזה מתייחסים משולשים דומים שהיקפים שלשוויון זה אומר לכן

. :שלהם מתאימות כמו צלעות

קטעים פרופורציוניים על שוקי זווית 4.4

כאשר ישרים מקבילים חותכים את שוקי הזווית

הם מקצים על כל שוק קטעים.

ישרים קטעים שמקצים (מורחב) אלסת משפט

מקבילים על שוק אחת של זווית הם

מוקצים פרופורציוניים לקטעים המתאימים ה

:על השוק השנייה

(1)

, 1OAAהמשולשים . 1OA..., המקבילים לשוק 2AB ,2BCנעביר קטעים הוכחה

2ABB ,2BCC ליד ישרים מקבילים זוויות מתאימות ) שתי זוויות לפי, ... הם דומים

1OA ,2AB ,2BC , 1וזוויות מתאימות ליד ישרים מקביליםAA ,1BB ,1CC... ,)

–מדמיון המשולשים נובע כי

מ.ש.ל. . (1) -השוויונות האחרונים זהים ל ,1C1=B2, BC1B1=A2AB… ,-מכיוון ש

.1C1= B 1B1= A 1OA … =ט נובע: פמהמש … = OA = AB = BCכאשר

: 4.1 הוכחנו בסעיף, שאותו אלסתמפשט טענה זו מכונה

דרך קצותיהם מעבירים ישרים כאשר על שוק אחת של זווית מוקצים קטעים שווים ו

.מקבילים שחותכים את השוק השנייה, אזי גם עליה מוקצים קטעים שווים

ודרך קצותיהם , aשווים שאורכם קטעים על שוק אחת של הזווית מוקצים : משימה

, 1bאת השוק השנייה של הזווית ויוצרים קטעים עוברים ישרים מקבילים שחותכים

2b ... ,

421

קטעים פרופורציוניים

: בדקו

, ... המוקצים על השוק השנייה הם שווים?1b ,2bהאם הקטעים א.

? a -או שווה ל a -, קטן מa -האם אורכם גדול מב.

... ?, 1b ,2bבמה תלוי אורך הקטעים ג.

שני ישרים כלשהם; לזווית השוקי להחליף אתאלס אפשר ת: בניסוח משפט הערה

ישרים מקבילים שחותכים שני ישרים נתונים ומקצים על אחד המשפט לא ישתנה:

. מהם קטעים שווים, מקצים קטעים שווים גם על הישר השני

אם על שוק אחת של זווית מוקצים קטעים החל מהקדקוד : הפוך מורחב אלסתמשפט

O :,OA ABBC , ,... 1ועל השוק השנייה מוקצים קטעים,OA 1B1,A 1C1B,...

הפרופורציוניים בהתאמה לקטעים על השוק הראשונה:

, ... הם מקבילים.AA 1BB, 1CC ,1אז הישרים

פי תכונת הפרופורציה הארוכה אפשר -על הוכחה

לרשום:

כלומר: .

,דומים 1OBB -ו 1OAAמסיקים שמשולשים עפ"י משפט דמיון ראשון

.CC1AA||1בדומה לכך . BB1AA||1לכן

421

קטעים פרופורציוניים

משפט תאלס הפוך

…=OA=AB=ACכאשר הקטעים המוקצים על כל שוק הם שווים:

.מקבילים 1AA ,1BB ,1CCאז הישרים 1C1=A1B1=A1OA…= -ו

תרגילים

P .411-41 519 . במשולש שבסיסוa וגובהוh חסום ריבוע כך, ששניים

–מקדקודיו נמצאים על בסיס המשולש ושניים האחרים

על שוקי המשולש. מצאו את צלע הריבוע.

P .411-41 510. ישר המקביל לצלעAB של המשולשABC מחלק את

. Cהחל מקדקוד m:nביחס ACהצלע

?BCבאיזה יחס הוא מחלק את הצלע

P .411-49 514. במשולשABC העבירו קטעDE המקביל לצלעAC , אשר קצהוכ D נמצא על

. AC : DE = 55 : 28נתון היחס .BCעל הצלע – Eוהקצה ABהצלע

.AD : BDמצאו את היחס

אפשרות שרטטו קטע וחלקו אותו לחמישה קטעים שווים באמצעות סרגל )ללא .512 2..5

( ומחוגה בלבד.מדידה

באמצעות סרגל )ללא אפשרות מדידה( ומחוגה 3:4שרטטו קטע וחלקו אותו ביחס .515 5..5

.בלבד

ובנו באמצעות סרגל ומחוגה בלבד AB ,1B1A ,2B2Aשרטטו שלושה קטעים איזשהם .115 1..5

.XY 1B1: AB = A 2B2A :המקיים תנאי: XYהקטעאת

. a ,b ,cנתונים שלושה קטעים שאורכם .511 1..5

.ax = bcהמקיים: xבאמצעות סרגל ומחוגה בלבד את הקטע שאורכו בנו

.b -ו aנתונים שני קטעים שאורכם .133 1..5

. באמצעות סרגל ומחוגה בלבד את הקטע שאורכובנו

A AA

A A A

B

B

B

B

B

1

12

2

3

3

ann-1

n-1

B

h

x

42.

קטעים פרופורציוניים

.b -ו aנתונים שני קטעים שאורכם .137 ...5

. באמצעות סרגל ומחוגה בלבד את הקטע שאורכובנו

קטעים פרופורציוניים על ישרים מקבילים 4.1

ידי הישרים -אם ישרים מקבילים נחתכים על משפט

המקבילים העוברים דרך נקודה אחת, אז על הישרים

מוקצים קטעים פרופורציוניים:

. 1B1OA -ו OABנתבונן במשולשים הוכחה

1B1AO= BAO) ניהם דומים לפי משפט דמיון ש

ליד ישירים כזוויות מתאימות 1A1BO=ABO -ו

מקבילים(.

. לכן מתקיים שוויון היחסים:

. , לכן מתקיים שוויון: 1C1OB OBC בדומה לכך,

מקבלים שוויון היחסים ביןמהשוואת שני השוויונות

על שני הישרים המקבילים: הקטעים המתאימים

מ.ש.ל.

ערהה

נמצאת O גם במקרה כאשר הנקודהזה מתקיים משפט

בין שני הישרים.

חוצה זווית פנימית במשולש 4.4

חוצה זווית במשולש מחלק את הצלע הנגדית לקטעים משפט

המשולש. הפרופורציוניים לצלעות הסמוכות של

. ABCמשולש ב Cחוצה זווית CDיהיה הוכחה

.CD :BE||CD -המקביל ל BEביר ישרנע

A

A

A

A A A

B

B

B

B

B

1 1

2

2

3

3

ann-1

n-1

B

h

x

O

C D

C D11

A

AB

B C

C 1 11

M N

P O

429

קטעים פרופורציוניים

פי תכונות הזויות שאותן יוצר ישר שחותך זוג ישרים -על

)זוויות מתאימות( ACD =AEB מקבילים,

)זוויות מתחלפות(. BCD =CBE -ו

, ACD =BCDהוא חוצה זווית: CD-מכיוון ש

המשולש , כלומר CEB =CBEמסיקים כי

BCE שוקיים-הוא שווה:BC =CE.

. :פי משפט תאלס-על

סופית: . ונקבל BCאת CEנציב במקום

מ.ש.ל.

חוצה זווית חיצונית במשולש 4.4

חותך ישר המכיל את הצלע הנגדית, ABCאם חוצה זווית חיצונית במשולש משפט

הזאת הם הפרופורציוניים לצלעות אז המרחקים מנקודת החיתוך לקצות הצלע

.המשולש הסמוכות של

הקדקוד שוקיים, חוצה זווית ליד -במשולש שווה הוכחה

הוא מקביל לצלע השלישית )בסיס( של המשולש.

חותך ישר המכיל את בכל מקרה אחר, חוצה זווית חיצונית

לקצות הצלע החיתוך נקודתמרחקים מהצלע הנגדית, ו

פרופורציוניים לצלעות הסמוכות:הנגדית

ההוכחה אינה שונה מהוכחת

)ראו שרטוט המשפט הקודם

. (משמאל

A

A

A

A A A

B

B

B

B

B

1

1

2

2

3

3

ann-1

n-1

B

h

x

O C

DC D11

a

E

A

A

A

A A A

B

B

B

B

B

1

1

2

2

3

3

ann-1

n-1

B

h

x

OC

D

C D11

a

E

A

A

A

A A A

B

B

B

B

B

1

1

2

2

3

3

ann-1

n-1

B

h

x

O

C

D

C D11

a

E

450

קטעים פרופורציוניים

מעגלב יםמיתרחיתוך 4.3

כלשהי, ונעביר דרכה ישר Mנבחר בתוך מעגל נקודה

ABהישר קטע . B -ו Aשחותך את המעגל בשתי נקודות

בתוך המעגל מכונה מיתר.

ה קטעי המיתרים העוברים דרך נקודמכפלת 4 משפט

מסוימת בתוך המעגל שווה לכל המיתרים:

AMMB קבוע שאינו תלוי בבחירת המיתר =

.CDמיתר נוסף איזשהו Mדרך הנקודהנעביר הוכחה

-מכיוון ש דומים MCB -ו MADהמשולשים

B =D ו- A =C זוויות היקפיות הנשענות על(

אתה קשת(.

משולשים נובע: המדמיון

פי תכונת -)יחסי צלעות מתאימות שווים(, לכן, על

הפרופורציה, מקבלים:

בחרנו באופן אקראי, מסיקים שמכפלת קטעי CD -ו AB מכיוון שאת המיתרים

.Mהמיתרים היא גודל קבוע עבור כל המיתרים העוברים דרך הנקודה

4 משפט

MAMB = MCMDמתקיים: נמצאת מחוץ למעגל Mכאשר הנקודה

הינן זוויות צמודות לזוויות היקפיות שוות, BMC -ו MADהזוויות הוכחה

הם דומים. MAD -ו MCB לכן גם הן שוות, והמשולשים

. MAMB = MCMDולבסוף מקבלים: מדמיון משולשים נובע:

:הפרופורציה מקבליםומתכונת

MAMB = MCMD

מ.ש.ל.

A

A

A

A A A

B

B

B

B

B

1

1

2

2

3

3

ann-1

n-1

B

h

x

O

C

D

C D11

a

E

M

A

A

A

A A A

B

B

B

B

B

1

1

2

2

3

3

ann-1

n-1

B

h

x

O

C

D

C

D11

a

E

M

454

קטעים פרופורציוניים

דוגמה: אורך של חוצה זווית במשולש 4.7

, במשולש Cמה אורכו של חוצה זווית בעיה

, AC = b -וBC = a –הזווית שוקיאם נתונות

וידוע שהוא חותך את הצלע הנגדית לקטעים

?n -ו mשאורכם

פתרון

העובר דרך פי המשפט על מכפלת קטעי המיתר -על

נקודה בתוך מעגל, אפשר לרשום:

mn = lDE = l(CE – l) = lCE – l2

)עפ"י שתי זוויות(, לכן: CDB -ו ACEנתבונן בשרטוט ונזהה שני משולשים דומים:

.מ.ש.ל n m -b = a 2l, ולבסוף: bCE = alמכאן נקבל:

על קוטר מעגלה תאנך מנקוד 4.4

משפט

על קוטר שווה לממוצע אנך מנקודה על מעגלא.

על מקצהם הוא שאותגיאומטרי של הקטעים

.הקוטר

כל מיתר המחבר את הנקודה הנתונה עם קצות ב.

הקוטר הוא ממוצע גיאומטרי של הקוטר והיטל של

מיתר זה עליו.

הוכחה

DB -ו AD, ואת הקטעיםh -ב ABעל קוטר Cמנקודה CDנסמן את האנךא.

בהתאמה. 1a -ו 1b -שהוא מקצה על הקוטר ב

, לכן אפשר לרשום פרופורציה: דומים הם ACD-ו ABCזווית-משולשים ישרי

,

מ.ש.ל. . . לכן:1b1= a 2h ממנה נובע:

M

B

C

A

a

a/2

a/2

P

Sx

x

D

1

2 D

ab

l

m n

E

452

קטעים פרופורציוניים

-ו 1a= c 2aנובע: , לכן: BCD-ו ABCמדמיון משולשיםב.

מקבלים: ACD-ו ABCמדמיון משולשיםבדומה לכך,

מ.ש.ל

ותמסקנ

: 1b= c 2b -ו 1a= c 2aנחבר את השוויונות

a2 + b2 = (a1 + b1)c = c2

כלומר, קיבלנו עוד הוכחה של משפט פיתגורס.

נחלק את השוויונות אחד בשני:

ליחס היטלי הניצבים על יתר.זווית שווה -כלומר: יחס ריבועי הניצבים במשולש ישר

משיק וחותך מנקודה אחת 4.4

התבוננו בשרטוט:

MCמחוץ למעגל עוברים עליו משיק ש Mמנקודה

.MBוחותך

MB= MA 2MC נוכיח שמתקיים:

היא משותפת לשניהם, Mדומים, מכיוון שזווית MBC -ו MACמשולשים הוכחה

עפ"י – הכלואה בתוכן ACקשת הלחצי ות וששוות )שתיהן ABC-ו ACMוזוויות

(.29עמ' –מיתר המשפט על הזווית בין משיק ל

, לכן אפשר לרשום את פרופורציית הדמיון:

מ.ש.ל. .MB= MA 2MCממנה נובע שאכן

וחותך, אז קטע המשיק בין הנקודה אם מנקודה איזושהי עוברים למעגל משיק ובכן,

הנתונה לבין נקודת ההשקה הוא ממוצע גיאומטרי בין קטעי החותך בין הנקודה לבין

. החיתוך נקודות

M

B

C

A

455

קטעים פרופורציוניים

"חתך הזהב" של קטע 4.44

מימי קדם ידועה בעיה הבאה: יש לחלק את הקטע הנתון לשני חלקים כך, שאחד מהם

יהיה ממוצע גיאומטרי בין כל הקטע והחלק השני )בעיית "חתך הזהב"(.

.פתרונה פשוט

.x -, ואת הקטע המבוקש בa -נפתור תחילה באופן אלגברי: נסמן את הקטע הנתון ב

פי הנדרש:-על

x) –(a = a 2x

נפתח סוגריים ונקבל משוואה ריבועית:

= 0 2a –+ ax 2x

פתרונה:

באופן גיאומטרי: xצורת הפתרון מרמזת כיצד לבנות

. אז היתר יהיה, -ו aזווית בעל ניצבים -נשרטט משולש ישר .א

את Aעל היתר באמצעות מחוגה שמרכזה בקדקוד נקצה .ב

.P -קטע , ונסמן את קצהו בה

ונקצה Pנפתח אותה עד לנקודה ,Bנעביר את המחוגה לקדקוד .ג

.BCהנתון על הקטע BP = xקטע שאורכו

M

B C

A

a

a/2

a/2

P

Sx

x

451

קטעים פרופורציוניים

יא הנקודה הנדרשת;ה Sנקודה .ד

הוא: ביניהם יחסהש לשני קטעים aהיא מחלקת את הקטע

כך, כדי להיפטר -, ואחרa = a 2x)– (x -)בפיתוח הביטוי השתמשנו תחילה בעובדה ש

(. -משורש במכנה, הכפלנו את מונה ומכנה השבר ב"מספר הצמוד" ל

(:פי) המכונה רציונלי -המספר שהתקבל הוא מספר אי

מספר זה מבטא יחס בסיסי שמופיע בצורות

–"ריבוע כפול" –גיאומטריות רבות, הפשוטה מהן

. 2:1מלבן עם יחס הצלעות

במלבן זה מתקיים:

למספר זה תכונות אלגבריות מופלאות:

.הוא מספר חיובי יחידי שעובר להופכי כאשר מחסירים ממנו אחת

מהביטוי האחרון נובע:

קומתי:-ימין, ונקבל ייצוגו בצורת שבר תלת אגףביטויו באת נציב במכנה במקום

, נקבל שבר עם אינסוף "קומות":אם נמשיך להציב במכנה השבר את ביטויו של

M

B

C

A

a

a/2

a/2

P

Sx

x

D

1

2

451

קטעים פרופורציוניים

:ריבועי באמצעות שורש גם ייצוגים אלגבריים קסומים למספר

בתוך השורש את ביטויו: נציב במקומו של

:אם נמשיך פעולה זו אינסוף פעמים, נקבל עוד ביטוי מופלא של

משפט צ'בה 4.44

משפט צ'בה קובע תנאים למפגש של שלושה ישרים בנקודה אחת, לכן הוא מוצא

שימוש רב בפתרון בעיות הוכחה וחישוב במשולשים ומצולעים.

בה'צמשפט

CA -ו AB ,BCעל הצלעות נתבונן בשרטוט:

-ו 1C ,1Aמסומנות נקודות ABCשל המשולש

1B .

בנקודה נפגשים 1CC -ו 1AA ,1BBם קטעיה

התנאי הבא: מתקיים רק אםו אםאחת

(1)

.P נפגשים בנקודה 1CC -ו 1AA ,1BBשהקטעים נניח הוכחה

.BCהמקביל לישר MNנעביר ישר Aדרך קדקוד

הם דומים C1BB -ו N1ABהמשולשים

הזוויות(, לכן: תיפי ש-)על

נובע: 1BCC -ו M1ACמדמיון המשולשים

A

A

B

B C

C

1

1

1

M N

P

451

קטעים פרופורציוניים

מהמשפט של קטעים פרופורציוניים על ישרים

( נובע:5מקבילים )ראו סעיף

.נכפיל את שלש הפרופורציות ונקבל את המבוקש

.קווי צ'בהמכונים 1CC -ו 1AA , BB 1הקטעים

הערה

מתקיים בעוד מקרה: כאשר הקטעים (1)השוויון

1AA ,1BB 1 -וCC פי המשפט של -מקבילים. אז, על

( 2קטעים פרופורציוניים על שוקי זווית )סעיף

מקבלים:

ומקבלים: (1)מציבים באגף שמאל של השוויון

מ.ש.ל

מפגש תיכונים :דוגמה

הם תיכונים, אזי 1BB -ו 1AA –אם שניים מקווי צ'בה

של השניים גם הוא Pשעובר דרך נקודת החיתוך CMהישר

תיכון, מכיוון שיחסי הקטעים אותם מקצה כל בהכרח

:1 -צלעות המשולש שווים ל תיכון על

, : 1 -היחס השלישי שווה לפי משפט צ'בה גם -לכן על

למעשה, זאת הוכחה נוספת למשפט התיכונים במשולש. הוא תיכון. 1CCכלומר

A

A

B

B C

C

1

1

1

M N

P O

A

A

B

B C

C

1

1

1

M N

P O