94

במשולש יםמיוחד קווים

שלשובמ יםמיוחד קווים . 2

תוזווי החוצ ..2

: זווית במשולש הוא קטע בעל שתי תכונות חוצה הגדרה

שחוצה זווית כלשהי במשולש;הוא שייך לישר א.

ונקודה על הצלע הנגדית.קדקוד הזווית הןקצותיו .ב

עוברים בתוך שלכל משולש יש שלושה חוצי זוויות,

המשולש.

2....משימת חקר

. העתיקו את Aמסומן חוצה זווית ABCמשולש ב

Bוהוסיפו בו חוצי זוויות כםמחברתלהשרטוט

. C -ו

והעבירו דינמית לגיאומטריה בתוכנה היעזרו

. זווית וישר זווית ההק, זווית חדחוצי זוויות במשולש

הזוויות נפגשים בנקודה אחת? אם שלושת חוציה

אם כן, היכן נמצאת נקודת המפגש הזו?

.נפגשים בנקודה אחת שלושת חוצי הזוויות במשולש משפט

על חוצה זווית.שעזר נוכיח משפט תחילה הוכחה

.שווה משוקי הזווית מידהכל נקודה על חוצה זווית מרוחקת ב . משפט

לישר זה.ועד נקודה מהישר הוא אורך האנך מהנקודה מרחק הגדרה

וממנה BACעל חוצה הזווית Mנקודה נבחר הוכחה

על שוקי הזווית. ML -ו MKנוריד את האנכים

,AML -ו AMKנתבונן במשולשים

בעלי ו אנכים( ML-ו KM-)כיוון ש ישרי זוויתהם

,(חוצה זווית AM -כיוון ש 1 = 2זוויות חדות שוות )

משותף. AMויתר

1 2 3 4 5-1-2-3-4-5-6

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

A

B

C

1 2 3 4 5-1-2-3-4-5-6

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

A

B

C

1 2 3 4 5-1-2-3-4-5-6

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

A

B

C

1 2 3 4 5-1-2-3-4-5-6

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

A

B

C

05

במשולש יםמיוחד קווים

, AKM AML :ז.צ.ז.משפט חפיפה על פי חופפים משולשים אלה לכן

מ.ש.ל. . KM = MLכאן נובע כי מ

הכונת עלותבמקום גיאומטרי הוא אוסף כל נקודות הגדרה

.אלתו מסוימת, ו

שמרחקן מקום גיאומטרי של כל הנקודות במישור : לדוגמה

מנקודה נתונה קבוע הוא מעגל בעל מרכז באותה הנקודה.

: כדי למצוא מקום גיאומטרי יש להוכיח קיומם של שני תנאים

;עומדת בהגדרה הנ"למקום גיאומטרי ל השייכתכל נקודה ש (א

שכל נקודה העומדת בהגדרה שייכת למקום גיאומטרי. (ב

.שני התנאים להתקיים, אחרת אין מקום גיאומטריעל

מקום גיאומטרי של כל הנקודות שמרחקן : מצאו למשל

.מנקודה נתונה קבוע

כאן אין מציבים תנאי שעל הנקודות להימצא על מישור. :שימו לב

נבדוק אם המעגל בדוגמה הנ"ל שמרכזו נקודה הוא המקום הגיאומטרי המתאים:

.א( כל נקודה עליו אכן נמצאת באותו מרחק קבוע מהמרכז

)ב( קיימות נקודות )על מעטפת כדורית שמרכזה בנקודה הנתונה, מחוץ למישור

שמקיימות את התנאי השני, אולם אינן שייכות למעגל.

לכן המעגל הנ"ל אינו המקום הגיאומטרי.

, משפט ומשפט הפוךב( הם למעשה זוג של -תנאים א( ו

שקיום אחד מהם בלבד אינו מספק.

תוזווית המרוחקהבתוך ותנקודשל כל ה מקום גיאומטרי )הפוך( 2 משפט

.חוצה זווית הוא שווה משוקי הזווית מידהב

המרוחקת BACבתוך הזווית Mנבחר נקודה הוכחה

.AC -ו ABבמידה שווה מהשוקיים

. AC -ו ABלשוקי הזווית ML -ו MKאנכים שרטטנ

,MK = ML ,AKM = ALM = 90°: הנתון על פי

AM יתר(צלע משותפת(.

05

במשולש יםמיוחד קווים

משפט פיתגורס: על פישווים AL-ו AKהניצבים

, צ(.צ.)צ לישימשפט חפיפה ש על פיחופפים AML -ו AMKהמשולשיםלכן

. 1 = 2 :שוות והזוויות המתאימות

מ.ש.ל. .BACא חוצה זווית יה AMהקרןכלומר,

.נפגשים בנקודה אחת שלושת חוצי זוויות פנימיות במשולש 3 משפט

של שני חוצי את נקודת המפגש O-ב נסמן הוכחה

מנקודה שרטט, ונABCבמשולש 1BB -ו 1AAזוויות

AB ,BCלישרים OM -ו OK ,OLאת האנכים זו

בהתאמה. CA -ו

. OK = OL -ו OK =OM ,5 משפט על פי

Oאפשר להסיק שנקודה 2, ולפי משפט OK = OLלכן

. 1CCשייכת גם לחוצה הזווית השלישי

.Oנפגשים בנקודה ABCזוויות של משולשהכל שלושת חוצי , לכך אי

אמצעי ךאנ 2.2

אמצעי של קטע הוא הישר העובר דרך אנך הגדרה

לו.נקודת האמצע של הקטע ומאונך

כל נקודה הנמצאת על אנך אמצעי מרוחקת 4משפט

. במידה שווה מקצות הקטע

אמצע O -, וABאנך אמצעי לקטע – mישר נתון:

הקטע.

. mעל הישר Mנקודה נבחר

.AM = MB :צ.ל.

A B

C

A

B

C

O

M

L

K1

1

1a

A B

C

A

B

C

O

M

L

K1

1

1

a

m

02

במשולש יםמיוחד קווים

הוכחה

.ABא אמצע הקטע וה O -, כיוון שהמשפט הוכח יאז Oמתלכדת עם Mאם נקודה

שאינן מתחכדות. M-ו Oהנקודותנבחר את

כלומר:הגדרת אנך מרכזי(, על פי) ישרי זוויתהם OBM -ו OAM משולשיםה

AOM = BOM.

על פי( ושני הניצבים האחרים שווים OMניצב אחד משותף ) בנוסף, במשולשים אלה

AO =OB: ההגדרה של אנך מרכזי

מ.ש.ל. . AM = BM לכן, חופפיםמשולשים ה ,צ.ז.צ(משפט חפיפה ראשון ) על פי

.גובה מתלכד עם תיכון שווה שוקייםבמשולש מסקנה:

ותנקודה כל של גיאומטרי מקום )הפוך( 5 משפט

אנך אמצעי הוא ת במידה שווה מקצות הקטע והמרוחק

לקטע.

המרוחקת במידה שווה Nנבחר את הנקודה הוכחה

.mשייכת לישר N -. נוכיח שABמקצות הקטע

היא מתלכדת עם יאז , ABהקטענמצאת על Nאם

.mולכן שייכת לישר ,של הקטע O האמצעית הנקודה

. AN =BN -ש כיוון שווה שוקיים ANB, אזי המשולשABאם היא אינה על הקטע

.של משולש שווה שוקיים ABהוא תיכון לבסיס ONהקטע

:הוא גם גובה, כלומר, שווה שוקייםמשולש של המשפט של תיכון לבסיס על פי

NO AB .לכן הישריםON ו- m ונקודהמתלכדים , N שייכת ל- m . .מ.ש.ל

ים במשולש יאמצעהאנכים השלושת 6 משפט

.נפגשים בנקודה אחת

במשולש n -ו mנשרטט אנכים אמצעיים הוכחה

ABC ואת נקודת המפגש שלהם נסמן ב- O.

.OB = OC -ו OB = OA, 9משפט על פי

A B

CA

BC

O

M

L

K1

1

1

a

m

N

n

p

A B

C

A

B

C

O

M

L

K1

1

1

a

m

N

05

במשולש יםמיוחד קווים

ובהתאם , ACמרוחקת במידה שווה מקצות הקטע O, כלומר נקודהOA = OC לכן

זה. לקטע pהיא נמצאת על אנך אמצעי , 0למשפט

נפגשים ABCשל המשולש p -ו m, nאמצעיים האנכים הששלושת מכאן מסיקים

.בנקודה אחת

)אנך אמצעי וחוצה זווית(תרגילים

. ABנמצאת על אנך אמצעי לקטע Mנקודה .576 54.5.5

ס"מ. מצאו את 24 הוא AMBהיקף המשולש

ארוך AM, אם ידוע כי ABאורך הקטע

.3 פי AB -מ

מהיתר ומהניצב במידה שווההמרוחקת ,זווית נתון נקודה על ניצב של משולש ישר ובנ .765 5.2.54

.השני

ס"מ 3 -גדול ב PM. נתון כי אורך הקטע MKנמצאת על אנך אמצעי לקטע Pנקודה .574 54.2.5

ס"מ. 69 הוא PMK, והיקף המשולש MKמאורך הקטע

PM.מצאו את אורך הקטע

, המרוחקת באופן שווה מהבסיס נקודה שווה שוקייםו על שוק של משולש מצא .565 54.2.2

.יהומהשוק השני

נתון, BCשבסיסו ABC שווה שוקייםבמשולש . 565 54.5.5

BCחותך את הצלע ACכי אנך אמצעי לצלע

כי, אם ידוע CAM. מצאו את הזווית Mבנקודה

ABC = 43.

. BC < AC :( נתוןC = 90) ABCזווית במשולש ישר . 625 54.5.2

AC -ו ABמהצלעות באופן שווהבנו נקודה המרוחקת

. BCשווה לאורך הניצב במרחק ה Cמקדקוד מרוחקת ו

09

במשולש יםמיוחד קווים

נתון, ACשבסיסו ABC שווה שוקייםבמשולש .565 54.9.5

AC בסיסחותך את ה ABכי אנך אמצעי לצלע

כי, אם ידוע C. מצאו את הזווית Pבנקודה

ABP = 52.

ABC (AB = BC.) שווה שוקייםו חד זווית משולשנתון .695 54.9.2

מרוחקת ו AC -ו ABמהצלעות השוו באופןבנו נקודה המרוחקת

. ACהשווה למחצית אורך הבסיס במרחק Cמקדקוד

חותך את AСנתון, כי אנך אמצעי לצלע ABשבסיסו ABC שווה שוקייםבמשולש .560 54.0.5

.ACB = 40 כי, אם ידוע MAB. מצאו את הזווית Mבנקודה BC צלעה

מהצלעות שווה מרחקהנמצאת ב( בנו נקודה C = 90) ABCזווית במשולש ישר .675 20.54.

AB ו- AC וגם מקדקודיםA ו- B .

חותך את ABנתון, כי אנך אמצעי לצלע AСשבסיסו ABC שווה שוקייםבמשולש .566 54.7.5

.BCA = 65 כי, אם ידוע PAС. מצאו את הזווית Pבנקודה BCהצלע

המרחק שווב נמצאתבנו נקודה ה ,CDE (CD = DE) שווה שוקייםבמשולש .566 54.7.2

.E -ו Dוגם מהקדקודים DE -ו CE -מ

( זווית AB = BC) ABC שוקייםשווה במשולש .564 54.6.5

-הוא חוצה זווית ו 75 ,AM -הבסיס שווה ל

BM =01 ס"מ. מצא את המרחק מנקודהM

. ACלבסיס המשולש

ABשבסיסם שווי שוקייםצאו מקום גיאומטרי של קדקודי משולשים נתון קטע. מ .655 54.6.2

. ע זהשווה לקט

00

במשולש יםמיוחד קווים

יםגבה מפגש 2.3

.גבהים במשולש נפגשים בנקודה אחת שלושה 7משפט

1BB -ו 1AA, שני הגבהים ABCבמשולש : נתון

.Oנפגשים בנקודה

עובר דרך אותה הנקודה. 1CCהגובה השלישי : צ.ל.

הוכחה

ABCנשרטט מכל קדקוד של המשולש הנתון

ישרים המקבילים לצלע ממול.

C -ו A,Bשבו הנקודות ,2C2B2Aנקבל משולש

2C2B ,2A2Cהן נקודות אמצע של הצלעות

. בהתאמה 2B2A -ו

הם 2ABCB -ו C2ABA: המרובעים נימוק

ABC)כיוון שצלעות המשולש מקביליות

(. 2C2B2Aמקבילות בהתאמה לצלעות המושלש

)כצלעות נגדיות במקבילית(. 2AB = CB -ו 2AB = CAלכן

.2B2Aאנך אמצעי לצלע 1ССהיא נקודה אמצע, והקטע C, כלומר, CB 2CA =2מכאן:

.2C2B2Aגם הם אנכים אמצעיים במשולש 1BB -ו 1AAבדומה לכך,

אם כן, ,מסיקים מרכזייםעל מפגש אנכים 7 המשפט על פי

מ.ש.ל. .נפגשים בנקודה אחת ABCששלושת הגבהים במשולש

ים תיכונקטע אמצעים ו 2.4

במשולש הוא הקטע המחבר את םקטע אמצעי הגדרה

נקודות האמצע של שתי צלעותיו.

המשפט הבא: את הוכחנו( 26)עמ' 5...בסעיף

צלעבמשולש מקביל ל םקטע אמצעי 8 משפט

.זוהצלע הושווה למחצית השלישית

07

במשולש יםמיוחד קווים

תיכון הוא קטע שקצותיו הם קדקוד ואמצע הגדרה

לכל משולש יש שלושה תיכונים. הצלע ממול.

:אתהוכחנו ( 26)עמ' 6...בסעיף

נפגשים בנקודה במשולש תיכונים שלושה 9משפט

החל מקדקוד 2:1מחלקת כל תיכון ביחס ש אחת

.המשולש

תכונות נוספות של תיכונים במשולש

שטח. תיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי 1.משפט

הוכחה

AD = DC SABD = SBDC

שטח שווה, DBC -ו ABD )למשולשים

משותף(. BHגובה הו AD = DC -כיוון ש

תרגילים

1BB -ו 1AAהגבהים ABCחד זוויתא( במשולש .655 96.5

.Oנפגשים בנקודה

.BAC = 58°-אם נתון ש OCAמצאו את הזווית

1BB -ו 1AAזווית חוצי ABCבמשולש (ב

. ABמצלע ס"מ 2המרוחקת Oנפגשים בנקודה

אם נתון: BOC מצאו את שטח המשולש

.BC = 10ס"מ

A B

C

M NAB

1

2

1

1

C

O

1 2 3 4 5-1-2-3-4-5-6

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

cd

m

n

3 6

R

S

T

M

N

A

B

CDH

06

במשולש יםמיוחד קווים

האנכים האמצעיים ABCחד זוויתבמשולש א( .562 96.2

. Oבנקודה נפגשים BC -ו ABלצלעות

אם נתון: ACלצלע Oנקודהמצאו את המרחק מ

.OB = 10 ,OAC = 30°ס"מ

נפגשים 1BB -ו 1AAהתיכונים ABCבמשולשב(

והם מאונכים. Oבנקודה

אם נתון: AOB מצאו את שטח המשולש

.1BB 24 =, ס"מ 1AA 18 = ס"מ

1CC -ו 1AAהגבהים ABCחד זוויתא( במשולש .655 96.5

.Oנפגשים בנקודה

.OCA = 38° כיאם ידוע OBAמצאו את הזווית

נפגשים 1CC -ו 1BBת וזווי חוצי ABCבמשולשב(

. O בנקודה

, AOC -ו BOAמצאו את יחס שטחי המשולשים

.AB = 10ס"מ AC = 15 , ס"מ אם נתון:

האנכים האמצעיים ABCחד זוויתא( במשולש .569 96.9

.Oנפגשים בנקודה AC -ו ABלצלעות

.OA = 8 , OBC = 60°ס"מ נתון:

.OBCמצאו את שטח המשולש

והם מאונכים. Oנפגשים בנקודה 1CC -ו 1AAהתיכונים ABCב( במשולש

.1AA 9 =ס"מ CC ,1 12 =ס"מ אם נתון: ,מצאו את צלעות המשולש

06

במשולש יםמיוחד קווים

.Oנפגשים בנקודה 1CC -ו 1BBים גבה ABCזווית א( במשולש חד .605 96.0

.1BC = 2BC כיאם ידוע OABמצאו את הזווית

והם מאונכים. Oנפגשים בנקודה 1CC -ו 1BBהתיכונים ABCבמשולש (ב

CC.1 15 =ס"מ BB ,1 36 =ס"מ אם נתון: OAמצאו את

נפגשים AC -ו BCהאנכים האמצעיים לצלעות ABCחד זוויתא( במשולש .567 96.7

.AB = 10, BOA = 120° ס"מ נתון:. Oבנקודה

.OCמצאו את הקטע

המרוחקת Oנבחרה נקודה ABC במשולש ב(

למרחק שווה מצלעותיו של המשולש.

.ABO = 39° אם נתון: ,AOCמצאו את הזווית

96.7

שרטטוט את Oעל חוצה זווית לא שטוחההנמצאת Mמנקודה .665 .69

.OMAB כיהוכיחו לשוקי הזווית. MB-ו MAהאנכים

נחתכים ABCבמשולש 1BB -ו 1AAחוצי זווית .665 .766

.Mבנקודה

אם נתון: BCM-ו ACM מצאו את הזוויות

AMB = 111ב( AMB = 136° (א

.Dבנקודה ACצלעאת חותך ABCבמשולש BCאנך אמצעי לצלע .564 .764

מצאו את:

;BD = 5ס"מ AC = 8.5 , ס"מ אם נתון: CD -ו AD א(

AD = 3.2.ס"מ BD = 11.4 , ס"מ אם נתון: AC ב(

04

במשולש יםמיוחד קווים

AC-ו AB האנכים האמצעיים לצלעות .545 .765

. BCעל הצלע Dנחתכים בנקודה ABCבמשולש

:כיהוכיחו

;BCהיא אמצע הצלע Dא( נקודה

. A = B +Cב(

שוקייםשווה במשולש AB אנך אמצעי לצלע .545 .765

ABC צלעאת חותךBC בנקודהE.

אם ידוע שהיקף ACהבסיס מצאו את

ס"מ. 01הוא AB-ס"מ ו 42הוא AECהמשולש

בסיס ABD -ו ABCשוקייםהשווי למשולשים .542 .762

. ABמשותף

.ABעובר דרך אמצע הקטע CDקטעהוכיחו שה

AC-ו ABהצלעות ABCהוכיחו שאם במשולש .545 .765

גובה המשולש. ינוא AMהתיכון ,אינן שוות

. Mנחתכים בנקודה ABCשוקייםשל משולש שווה ABבסיסהחוצי זוויות ליד .495 .769

.ABמאונך לישר CMהוכיחו שהישר

1AAגבהים , ה ABCשוקיים במשולש שווה .405 .760

.Mנחתכים בנקודה המשולשלשוקי 1BB -ו

C -ו Mהעובר דרך הנקודות הוכיחו שהישר

.ABהוא אנך אמצעי לקטע

75

במשולש יםמיוחד קווים

שבשרטוט שלושת התיכונים הוכיחו כי העשרה . 396

מחלקים את המשולש לשישה משולשים שווי שטח.

הוכחה

נקודת מפגש של שלושת כ Mנבחר את הנקודה

. ABCהתיכונים במשולש

שווים באופן 7 -ו 0, 9 -ו 5, 2 -ו 5שטחי המשולשים

הדדי, כיוון שלכל זוג המשולשים בסיס שווה וגובה

. S 5, S4= S 3, S2= S 1S =6משותף:

ABDבמשפט הקודם הוכחנו כי שטחי המשולשים

שווים, כלומר: BDC -ו

2+ S 6+ S 5= S 1+ S 4+ S 3S

נציב בשוויון האחרון את השוויונות הקודמים:

5= S 3S 1+ S 5= 2S 1+ S 32S

ים של כל ששת העל שוויון שטחגם אופן נסיק אותו ב

המשולשים.

, Mאם נתקע מחט ונתלה את המשולש בנקודה

המשולש יישאר בשיווי המשקל, לכן קוראים לנקודת

.משולש של הכובד מרכזהמפגש של תיכונים

1 2 3 4 5-1-2-3-4-5-6

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

c

d

m

n

3 6

R

S

T

M

N

A

B

CDH

M

1 2

3

4

5

6

75

במשולש יםמיוחד קווים

תשובות

ס"מ 7 . 576

ס"מ 55 . 574

565 . 43

כל נקודות המעגל נמצאות במרחק שווה ממרכז )מעגל של היעזרו בתכונות :הדרכה .562

זווית.ושל חוצה ( המעגל

565. 52

560 . 30

אנך אמצעי במשולש.של היעזרו בתכונות של חוצה זווית ו :הדרכה .567

566. 15

ס"מ 05 .564

. ACלמעט הנקודה האמצעית של הבסיס ABCאנך אמצעי לבסיס המשולש .565

סמ"ר 25ב( 32 א( .565

סמ"ר 47ב( ס"מ 0א( .562

ב( 38א( .5653

2

732,10,134 סמ"ר ב( 316 א( .569 BCACAB

ס"מ 27ב( 30 א( .560

א( . 5673

10 156ב( ס"מ

. שווה שוקיים AOBמשולש שהוכיחו תחילה : הדרכה .566

25ב( 46א( .566

AC=14.6ב( AD=3.5 , DC=5א( .564

ס"מ 4 .545

הניחו טענה נגדית, והיעזרו בה כדי להגיע לתשובה. : הדרכה .545