Was ist Physik?Was ist Physik?

Chr. Chr. GerthsenGerthsen:: Die Physik befasst sich nur mit Die Physik befasst sich nur mit den Erscheinungen der unbelebten Natur.den Erscheinungen der unbelebten Natur.

R.W. Pohl:R.W. Pohl: Die Physik ist eine Die Physik ist eine Erfahrungswissenschaft. Sie Erfahrungswissenschaft. Sie beruht auf beruht auf experimentell gefundenen Tatsachen.experimentell gefundenen Tatsachen.

W. Westphal:W. Westphal: Was Physik ist, lernt jeder in der Was Physik ist, lernt jeder in der Schule. Zusammen mit der Chemie ist sie die Schule. Zusammen mit der Chemie ist sie die Wissenschaft von der unbelebten Natur.Wissenschaft von der unbelebten Natur.

BergmannBergmann--SchSchääfer:fer: Unter Physik verstehen wir Unter Physik verstehen wir die Ordnung und die geistige, quantitative die Ordnung und die geistige, quantitative Erfassung aller Erscheinungen in der Erfassung aller Erscheinungen in der unbelebten Natur unter Zurunbelebten Natur unter Zurüückfckfüührung auf hrung auf allgemein gallgemein güültige Gesetzmltige Gesetzmäßäßigkeiten. igkeiten.

P. P. TiplerTipler:: Die Physik ist die Die Physik ist die Grundlagenwissenschaft von der unbelebten Grundlagenwissenschaft von der unbelebten Natur.Natur.

D. D. GiancoliGiancoli:: Die Physik ist die grundlegendste Die Physik ist die grundlegendste aller Wissenschaften.aller Wissenschaften.

R. R. FeynmanFeynman: Physik ist die Natur der Dinge, wie: Physik ist die Natur der Dinge, wiewir sie gegenwwir sie gegenwäärtig sehen.rtig sehen.

Grundlegende BemerkungenGrundlegende Bemerkungen

Physik ist die Lehre und die Erforschung der unbelebten Physik ist die Lehre und die Erforschung der unbelebten Natur. Dies geschieht durch Natur. Dies geschieht durch BeobachtenBeobachten, vor allen Dingen , vor allen Dingen durch durch MessenMessen..

Wenn irgendeine physikalische GrWenn irgendeine physikalische Größöße (z.B. eine Le (z.B. eine Läänge, ein nge, ein Gewicht, eine Zeit) gemessen werden soll, dann bedeutet Gewicht, eine Zeit) gemessen werden soll, dann bedeutet das, dass sie zahlenmdas, dass sie zahlenmäßäßig mit einer Maig mit einer Maßßeinheit verglichen einheit verglichen wird.wird.

Messen bedeutet AusdrMessen bedeutet Ausdrüücken einer cken einer Beobachtung in ZahlenwertenBeobachtung in Zahlenwerten

Jede physikalische GrJede physikalische Größöße ist das Produkt aus e ist das Produkt aus Zahlenwert und MaZahlenwert und Maßßeinheit.einheit.

Beispiel: LBeispiel: Läänge eines Gegenstandes. Wir wnge eines Gegenstandes. Wir wäählen als hlen als MaMaßßeinheit die Leinheit die Läänge eines Funge eines Fußßes. Sei z.B. die Les. Sei z.B. die Läänge einer nge einer Tafel 30 FuTafel 30 Fußß::

LLäänge der Tafel = 30 Funge der Tafel = 30 FußßLLäänge der Tafel = {Zahlenwert} nge der Tafel = {Zahlenwert} ·· [Ma[Maßßeinheit]einheit]

{Zahlenwert} {Zahlenwert} ·· [L[Läänge] = { } nge] = { } ·· lll, l, „„LLäängenge““, ist die , ist die DimensionDimension der Tafelabmessung der Tafelabmessung (Entfernung, Strecke). Die Dimension (Entfernung, Strecke). Die Dimension „„LLäängenge““, l, kann viele , l, kann viele MaMaßßeinheiten haben, es gibt aber nur einheiten haben, es gibt aber nur eineeine Dimension Dimension „„LLäängenge““..

Dimension der Dimension der LLäängenge = = llDimension der Dimension der ZeitZeit = = ttDimension der Dimension der Masse Masse = = mm

Manche physikalischen GrManche physikalischen Größößen, wie etwa die en, wie etwa die Geschwindigkeit, haben eine Dimension, die sich aus den Geschwindigkeit, haben eine Dimension, die sich aus den Dimensionen anderer physikalischer GrDimensionen anderer physikalischer Größößen en „„ableitenableiten““::

Wir kennen die MaWir kennen die Maßßeinheit einheit km/hkm/h ffüür die r die GeschwindigkeitGeschwindigkeit. . kmkmist eine Maist eine Maßßeinheit der Dimension einheit der Dimension LLäängenge ((ll), ), hh eine solche eine solche der Dimension der Dimension ZeitZeit ((tt).).

Die Dimension Die Dimension GeschwindigkeitGeschwindigkeit ist also:ist also:

Eine solche physikalische GrEine solche physikalische Größöße nennt man eine e nennt man eine abgeleitete abgeleitete GrGrößößee..Die LDie Läänge ist eine nge ist eine GrundgrGrundgrößöße.e.

1dim −⋅== tltlv

In der Mechanik wIn der Mechanik wäählt man als Grundgrhlt man als Grundgrößößenen

Im Im SISI--SystemSystem (Standard International) hat man sich(Standard International) hat man sichfestgelegt auf die Mafestgelegt auf die Maßßeinheiten:einheiten:

LLäänge, Masse, Zeitnge, Masse, Zeit

Meter (m), Kilogramm (kg), Sekunde (s)Meter (m), Kilogramm (kg), Sekunde (s)

Gemessen werden diese drei GrGemessen werden diese drei Größößen durch Vergleich miten durch Vergleich miteinem Standard.einem Standard.FFüür das Meter war das das so genannte r das Meter war das das so genannte „„UrmeterUrmeter““ ininParis. Seit 1960 gilt die Definition:Paris. Seit 1960 gilt die Definition:Das Meter ist das 1 650 763, 73 fache der WellenlDas Meter ist das 1 650 763, 73 fache der Wellenläänge dernge dervon Krvon Kr--86 beim 86 beim ÜÜbergang 5dbergang 5d55 -->> 2p2p1010 ausgesandtenausgesandtenStrahlung (Strahlung (orangeneorangene Spektrallinie).Spektrallinie).

Definition Definition üüber die Lichtgeschwindigkeit seit 1983: ber die Lichtgeschwindigkeit seit 1983: „„DasDasMeter ist die Wegstrecke, die das Licht im VakuumMeter ist die Wegstrecke, die das Licht im Vakuumwwäährend einer Zeit von 1/299792,458 Sekunde zurhrend einer Zeit von 1/299792,458 Sekunde zurüücklegtcklegt

Schon im Altertum war man auf eine Schon im Altertum war man auf eine man so genannten man so genannten KKöörpermarpermaßße.e.ÜÜblich waren z.B. blich waren z.B. ElleElle und und FuFußß..

Die Die Griechen Griechen üübernahmen die bernahmen die äägyptischen Lgyptischen Läängenmangenmaßße und fe und füührtenhrtendas das StadionStadion ein (Lein (Läänge, die ein genge, die ein geüübten Lbten Lääufer schnell zurufer schnell zurüücklegencklegenkann: ca. 180kann: ca. 180 m).m).

Die Die RRöömermer ffüührten zur Messung der grohrten zur Messung der großßen Entfernungen in ihremen Entfernungen in ihremStraStraßßennetz die ennetz die MeileMeile als neues Lals neues Läängenmangenmaßß hinzu.hinzu.

Karl der GroKarl der Großße vereinheitlicht in seinem Reich erstmals dase vereinheitlicht in seinem Reich erstmals dasMesswesen z.B. durch die Einheit Messwesen z.B. durch die Einheit FuFußß (mit seiner Schuhgr(mit seiner Schuhgrößöße).e).Zahlreiche willkZahlreiche willküürliche rliche ÄÄnderungen durch die Feudalherren bewirken innderungen durch die Feudalherren bewirken inder Folgezeit, dass jedes Herzogtum seine eigenen Mader Folgezeit, dass jedes Herzogtum seine eigenen Maßße hat.e hat.

Im Jahre 1101 fIm Jahre 1101 füührt Heinrich I. von England hrt Heinrich I. von England die Ldie Läängeneinheit ngeneinheit YardYard (Abstand von seiner(Abstand von seinerNasenspitze bis zum Daumen seinesNasenspitze bis zum Daumen seines

ausgestreckten Armes) und ausgestreckten Armes) und InchInch (Breite seines(Breite seinesDaumens) ein. Eduard II. von England erklDaumens) ein. Eduard II. von England erkläärtrtdie Ldie Läänge von einem nge von einem ZollZoll zum Lzum Läängenmangenmaßß;;es hat die Les hat die Läänge dreier hintereinander gelegter nge dreier hintereinander gelegter

GerstenkGerstenköörner. rner.

Der Mathematiker J. Der Mathematiker J. KKöölbellbel schlschläägt an Stelle eines gt an Stelle eines KKöörpermarpermaßßeses eineinso genanntes so genanntes NaturmaNaturmaßß vor: "16 Mvor: "16 Määnner gronner großß und klein", die nachund klein", die nacheiner Messe der Reihe nach aus der Kirche kommen, stellen ihre Feiner Messe der Reihe nach aus der Kirche kommen, stellen ihre Füßüßeehintereinander. Der sechzehnte Teil der Gesamtlhintereinander. Der sechzehnte Teil der Gesamtläänge soll dann einnge soll dann einFuFußß sein.sein.

1793 erlie1793 erließß Ludwig XVI. von Frankreich ein Dekret, in dem die neueLudwig XVI. von Frankreich ein Dekret, in dem die neueLLäängeneinheit ngeneinheit 1 Meter 1 Meter als der als der zehnmillionstezehnmillionste Teil desTeil desErdmeridianquadranten definiert wird. Dies ist die Erdmeridianquadranten definiert wird. Dies ist die Geburtsstunde desGeburtsstunde desMetermaMetermaßßeses. Zur genauen Vermessung w. Zur genauen Vermessung wäählt man das Teilsthlt man das Teilstüück desck desMeridians aus, das zwischen Barcelona und DMeridians aus, das zwischen Barcelona und Düünkirchen verlnkirchen verlääuft.uft.

Dieses NaturmaDieses Naturmaßß Meter wird jedoch 1799 durch ein Meter wird jedoch 1799 durch ein KunstmaKunstmaßß ersetzt,ersetzt,da die obige Meterfestlegung messtechnisch nur sehr aufwendig zuda die obige Meterfestlegung messtechnisch nur sehr aufwendig zuwiederholen ist. Man fertigt einen Mawiederholen ist. Man fertigt einen Maßßstab aus Platin, dessen Lstab aus Platin, dessen Läängengeder mder mööglichst dem oben definierten Meter nahe kommt. Dieserglichst dem oben definierten Meter nahe kommt. DieserUrmeterstab Urmeterstab wird in Paris aufbewahrt. wird in Paris aufbewahrt.

1889 wird der Platinstab durch einen Platin1889 wird der Platinstab durch einen Platin--IridiumIridium--KKöörper mit Xrper mit X--fföörmigemrmigem Querschnitt ersetzt (90% Platin und 10% Iridium). Die LQuerschnitt ersetzt (90% Platin und 10% Iridium). Die Läängenge1 Meter ist danach so definiert: "1 Meter ist der Abstand der1 Meter ist danach so definiert: "1 Meter ist der Abstand derMittelstriche der auf dem Urmeterstab in Mittelstriche der auf dem Urmeterstab in SSèèvresvres angebrachtenangebrachtenStrichgruppe bei 0Strichgruppe bei 0°°C" (von 0C" (von 0°°C auf 20C auf 20°°C erwC erwäärmt, verlrmt, verläängert sich dasngert sich das"Meter" um 0,3"Meter" um 0,3 mm).mm).Die Ablesegenauigkeit betrDie Ablesegenauigkeit beträägt hierbei 0,01 mm. gt hierbei 0,01 mm.

Mit zunehmendem technischen Fortschritt war die obigeMit zunehmendem technischen Fortschritt war die obigeMeterfestlegung nicht mehr genau genug (sie lMeterfestlegung nicht mehr genau genug (sie läässt sich mit modernensst sich mit modernenMitteln nur auf eine Genauigkeit von 10Mitteln nur auf eine Genauigkeit von 10--7 m festlegen). Daher7 m festlegen). Dahervereinbarte man 1960 dass 1vereinbarte man 1960 dass 1 Meter das 1Meter das 1 650650 763,73763,73--Fache derFache derWellenlWellenläänge des Lichtes ist, das von einem Kryptonnge des Lichtes ist, das von einem Krypton--8686--AtomAtomausgesandt wird. Auf diese Weise hatte man eine gut reproduzierbausgesandt wird. Auf diese Weise hatte man eine gut reproduzierbareareFestlegung gefunden, deren Genauigkeit um einen Faktor 100 besseFestlegung gefunden, deren Genauigkeit um einen Faktor 100 besserrwar. war.

Seit 1983 wird die LSeit 1983 wird die Läänge eines Meters als "jene Wegstrecke, die dasnge eines Meters als "jene Wegstrecke, die dasLicht im Vakuum wLicht im Vakuum wäährend der Dauer von 1/299792458hrend der Dauer von 1/299792458 tel einertel einerSekunde zurSekunde zurüücklegt", festgelegt.cklegt", festgelegt.

Zeit: Zeit: Die Standardeinheit fDie Standardeinheit füür die Zeit im SIr die Zeit im SI--System ist die System ist die Sekunde (s). Alte Definition: 1/86 400 eines mittlerenSekunde (s). Alte Definition: 1/86 400 eines mittlerenSonnentages. Heute: Eine Sekunde ist das 9Sonnentages. Heute: Eine Sekunde ist das 9 192192 631,770631,770--fache der Periodendauer der dem fache der Periodendauer der dem ÜÜbergang zwischen bergang zwischen Den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des GrundzustandesDen beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustandesvon Csvon Cs--133 entsprechenden Strahlung. 133 entsprechenden Strahlung.

Die Sekunde also das vielfache der Periode einer Welle, Die Sekunde also das vielfache der Periode einer Welle, die mit einem ausgewdie mit einem ausgewäählten Niveauhlten Niveauüübergang im Cbergang im Cääsiumsium--atomatom in Resonanz ist. Daher wird sie als in Resonanz ist. Daher wird sie als AtomsekundeAtomsekundebezeichnet. Atomuhren basieren auf der Messung dieses bezeichnet. Atomuhren basieren auf der Messung dieses ÜÜbergangsbergangs

Messung der Zeit:Messung der Zeit:

Zeitmesser bezeichnet man als Uhren.Zeitmesser bezeichnet man als Uhren.Genau gehende Uhren werden Chronometer genannt.Genau gehende Uhren werden Chronometer genannt.Die Zeitmessung lDie Zeitmessung lääuft meistens auf die Messung von Zeituft meistens auf die Messung von Zeitdifferenzendifferenzenhinaus. Methoden sind:hinaus. Methoden sind:-- Schwingungen eines Pendels (periodischer Vorgang) bei der Schwingungen eines Pendels (periodischer Vorgang) bei der

PendeluhrPendeluhr-- Schwingungen einer Unruh bei der mechanischen UhrSchwingungen einer Unruh bei der mechanischen Uhr-- Piezoelektrische Schwingungen (Schwingkreis) bei der QuarzuhrPiezoelektrische Schwingungen (Schwingkreis) bei der Quarzuhr-- Atomphysikalische Effekte bei der Atomuhr (ZAtomphysikalische Effekte bei der Atomuhr (Zäählung der Periode)hlung der Periode)

Masse: Die Einheit fMasse: Die Einheit füür dier dieMasse im SIMasse im SI--System istSystem istdas Kilogramm. Die das Kilogramm. Die Standardmasse ist ein Standardmasse ist ein geeichter Platingeeichter Platin--IridiumIridium--Zylinder, aufbewahrt inZylinder, aufbewahrt inSevSevèèrsrs bei Paris.bei Paris.

Mit der Masse sind die Begriffe Mit der Masse sind die Begriffe GewichtGewicht, , SchwereSchwere und und TrTräägheitgheitverbunden. Albert Einsteins verbunden. Albert Einsteins RelativitRelativitäättheoriettheorie erklerkläärt Masse zudem alsrt Masse zudem alseine Form von eine Form von EnergieEnergie

Die Masse der Die Masse der KernbausteineKernbausteine ist fast gleich. Etwaist fast gleich. Etwa602.252.000.000.000.000.000.000 Protonen oder Neutronen wiegen602.252.000.000.000.000.000.000 Protonen oder Neutronen wiegenzusammen ein Gramm. In einem Gramm Materie befinden sich alsozusammen ein Gramm. In einem Gramm Materie befinden sich alsounvorstellbar viele Atome. Die genannte Zahl wird unvorstellbar viele Atome. Die genannte Zahl wird LoschmidtLoschmidt--ZahlZahl oderoderAvogadroAvogadro--KonstanteKonstante genannt. Das genannt. Das ElektronElektron ist noch etwa 2000 malist noch etwa 2000 malleicherleicher. Das . Das PhotonPhoton ist ein ist ein masseloses Teilchenmasseloses Teilchen. . Auf der ErdoberflAuf der Erdoberflääche unterliegen alle Gegenstche unterliegen alle Gegenstäände der nde der Erdanziehungskraft, die ungefErdanziehungskraft, die ungefäähr hr 9,81 Newton9,81 Newton pro Kilogramm Massepro Kilogramm Massebetrbeträägt. Eine Federwaage, die eigentlich die Gewichtskraft in Newtongt. Eine Federwaage, die eigentlich die Gewichtskraft in Newtonmisst, kann also leicht in ein Germisst, kann also leicht in ein Geräät zur Messung der Masset zur Messung der Masseumgewandet werden. umgewandet werden.

http://www.quantenwelt.de/klassisch/erhaltung/energie.htmlhttp://www.quantenwelt.de/elementar/baryonen.htmlhttp://www.quantenwelt.de/elementar/elektronen.htmlhttp://www.quantenwelt.de/elementar/photonen.htmlhttp://www.quantenwelt.de/faq/masse.htmlhttp://www.quantenwelt.de/einheiten/kraft.html?einheit=kp

Solch eine Waage wSolch eine Waage wüürde aber auf dem Mond (auf dem eine andererde aber auf dem Mond (auf dem eine andereSchwerkraft herrscht) falsch gehen.Schwerkraft herrscht) falsch gehen.

Eine Balkenwaage misst nicht die Gewichtskraft, sondern vergleicEine Balkenwaage misst nicht die Gewichtskraft, sondern vergleichthtverschiedene Massen mit Hilfe der Gewichtskraft. Balkenwaagenverschiedene Massen mit Hilfe der Gewichtskraft. Balkenwaagengehen also auch auf dem Mond richtig.gehen also auch auf dem Mond richtig.

Auf die Eigenschaft der Masse eine Gewichtskraft zu erzeugen basAuf die Eigenschaft der Masse eine Gewichtskraft zu erzeugen basiertiertdie Madie Maßßeinheit einheit KilopondKilopond. Ein . Ein KilopondKilopond ist die Kraft, die man braucht umist die Kraft, die man braucht umein Kilogramm Materie gegen die Gewichtskraftein Kilogramm Materie gegen die Gewichtskraft zuzu halten. halten.

http://www.quantenwelt.de/einheiten/kilopond-pound-force.html

MessfehlerMessfehlerGemessene physikalische GrGemessene physikalische Größößen sind mit Messfehlern behaftet, en sind mit Messfehlern behaftet, u.au.a..

-- systematischer Fehlersystematischer Fehler-- zufzufäälliger Fehlerlliger Fehler

Quellen sind z.B. MessgerQuellen sind z.B. Messgeräätefehler, Umwelteinfltefehler, Umwelteinflüüsse, Rauschen,sse, Rauschen,BeobachtereinflBeobachtereinflüüsse.sse.

Sind systematische Fehler ausgeschlossen, bleibt die Korrektur dSind systematische Fehler ausgeschlossen, bleibt die Korrektur der er zufzufäälligen Abweichung der gemessenen Werte.lligen Abweichung der gemessenen Werte.

TrTräägt man bei einer grogt man bei einer großße Anzahl gemessener Werte die relativene Anzahl gemessener Werte die relativenHHääufugkeitenufugkeiten gegen die Messwerte auf, dann kann man auf diegegen die Messwerte auf, dann kann man auf dieWahrscheinlichkeitsverteilung der gemessenen GrWahrscheinlichkeitsverteilung der gemessenen Größöße schliee schließßen.en.

Beispiel: Beispiel: GauGaußß-- oder oder Normalverteilung Normalverteilung mit der Dichtefunktion w:mit der Dichtefunktion w:

σσ = Standardabweichung= Standardabweichung~ ~ BreiteBreite derder VerteilungVerteilung

( )2

2

22

1 σμ

πσ

xx

edxdw

−−

=

wVarianz=σ Varianz=σ

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Messwert im Intervall

liegt, ist 68,3%. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Messwert im Intervall

liegt, ist sogar 99,7%.Die dreifache Standardabweichung heißt deshalb auch Maximalfehler.

Die Ergebnisse werden zusammen mit der Standardabweichungangegeben, die ein Maß für die Genauigkeit darstellt.Beispiel:

][ σσ μμ 3;3 +− xx

[ ]σσ μμ +− xx ,

( )mx 001,0148,2 ±=

Bei einer Messreihe für die Größe x, deren Messwerte normalverteiltsind, verwendet man als Näherungen für den wahren Wert xμ und fürdie Standardabweichung σ folgende Terme, die sich für zunehmendesn dem wahren Wert xμ bzw. der Standardabweichung nähern:

Beispiel: Messung einer LängeDie Länge wurde 10x gemessen.Es ist:

∑−

=n

iixn

x1

1 ( )

11

2

−

−=

∑=

n

xxs

n

ii

x

63,75 +6 36

58 +16 256

55 -14 196

56 -4 16

56 -4 16

59 +26 676

55 -14 196

54 -24 576

57 +6 36

57 +6 36

cmvk /103−⋅cmx / 262 /10 cmvk

−⋅

cmx 564,63=

kk xxv −=

( ) 21

2 2040cmxxn

ii =−∑

=

Der mittlere Fehler der Einzelmessung beträgt also

und der Fehler des des Mittelwertes:

Das Endergebnis der Messung ist also

Würden wir 100 Messungen statt nur 10 machen, vermindert sich der Fehler allerdings nur auf

cmsx 01505,01092040 3 ±≈⋅= −

cmn

sx x 00476,010910

2040 3 ±=⋅⋅

==Δ −

( )cmx 005,0564,63 ±=

31101 ≈

Fehlerfortpflanzung

Bestimmung des Fehlers einer nicht direkt messbaren Größe ausden Fehlern der unmittelbar messbaren Größen x, y, z.Diese Größen seinen mit den Fehlern (Standardabweichungen)

Den Fehler erhält man aus dem Fehlerfortpflanzungsgesetz vonGauß

xx σδ = yy σδ = zz σδ =

Gδ

Gδ

21

222

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

= zzfy

yfx

xfG δδδδ

Beispiel: Geschwindigkeit . Dabei ist s der in der Zeit tzurückgelegte Weg.

bezeichnet den Fehler bei der Ortsmessung, ist der Fehlerbei der Zeitmessung.

Der Fehler der errechneten Geschwindigkeit ist

Man muss also die ins Quadrat genommenen relativen Fehler und

addieren, um den relativen Fehler zu erhalten.

tstsv =),(

sδ tδ

vδ212

2

21⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= t

tss

tv δδδ

⇔2122

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛≈

tt

ss

vv δδδ

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ssδ

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ttδ 2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

vvδ

Beispiel: Die Genauigkeit einer Waage wird mit ± 0,05 g angegeben.Das Gewicht eines Körpers wird mit 8,17 g gemessen. Eine spätereMessung ergibt 8,09 g. Ist es der selbe Körper?

Die Messung von 8,17 g entspricht nicht dem wahren Wert für dieMasse, er liegt wahrscheinlich zwischen 8,12 g und 8,22 g.Die spätere Messung ergibt eine Masse zwischen 8,04 g und 8,14 g.Da sich die beiden Bereiche überschneiden, handelt es sichhöchstwahrscheinlich um den selben Körper.

Mechanik des Massenpunktes

Wir betrachten die Bewegung eines Massenpunktes (einKörper mit der Masse m, dessen Ausdehnung Null ist).

Ein Körper kann in Ruhe sein, oder er kann sich bewegen.Ein Körper ist dann in Ruhe, wenn er seine Position (seineKoordinaten) relativ zu einem Bezugssystem nicht ver-ändert:

d.h. y(t) = yo , x(t) = xo , zeitunabhängig

0)()(0)()(

'

'

=−−

=−−

ttxtxttyty

Ein Körper kann sich gleichförmig oder ungleichförmigbewegen.

Von einer gleichförmigen Bewegung spricht man, wenn der Körper in gleichen Zeitabschnitten gleiche Wege(Wegabschnitte) zurücklegt.

Legt ein Körper in gleichen Zeitabschnitten unterschied liche Wegintervalle zurück, dann nennt man die Bewegungungleichförmig.

Legt ein Körper in gleichen Zeitabschnitten unterschied-liche Wegintervalle zurück, dann nennt man die Bewegungungleichförmig.

Bewegen sich alle Punkte eines Körpers auf parallelen Geraden, dann nennt man die Bewegung translatorischoder auch fortschreitend (fortschreitende Bewegung)

Behält ein Punkt (oder eine Linie) eines Körpers seine Lage im Raum bei (der Punkt ist in Ruhe) und beschreiben alle anderen Punkte konzentrische Kreise um den Ruhepunkt, dann spricht man von einer Rotation oder Drehbewegung

Ein Massenpunkt kann keine Rotation durchführen, er eignet sich daher zur Einführung der grundlegenden Begriffe der Bewegung.

Es gibt in jedem ausgedehnten Körper einen Punkt, der sich genau nach den Gesetzen des Massenpunktes bewegt. Diesen Punkt nennt man den Schwerpunkteines Körpers.

Für eine geradlinige und gleichförmige Bewegung gilt:

Die Dimension der Geschwindigkeit kann aus den Dimensionen der Basisgrößen Weg und Zeit abgeleitetwerden:

Die Einheit ergibt sich aus den Basiseinheiten: m/s

Die Messung der Geschwindigkeit erfolgt durch Messung des Weges und des entsprechenden Zeitintervalls.

ZeitWeggkeitGeschwindi =

tsv =

tlv =dim

Bei einer ungleichförmigen Bewegung kann die Geschwindigkeit nicht mehr aus dem Quotienten s/t bestimmt werden

Die Durchschnittsgeschwindigkeit gibt nicht mehr den tatsächlichenGeschwindigkeitsverlauf wieder

Weg-Zeit-Kurve eines Massenpunktes. Die Steigung derGeraden P1P2 stellt die Durchschnittsgeschwindigkeit desMassenpunktes während des Zeitintervalls Δt = t2 – t1 dar.

Die bisher verwendete Messvorschrift ergibtnur die mittlere Geschwindigkeit.

Folgerung: bei einer ungleichförmigen Bewegung muss die Geschwindigkeit auf möglichst kleinen Wegstrecken gemessenwerden.

Die Durchschnittsgeschwindigkeit im Zeitintervall ti – t1(Steigung von P1Pi) ist kleiner als die Durchschnittsge-schwindigkeit im Zeitintervall t2 – t1. Die Steigung derTangente an der Kurve im Punkt P1 ist die Momentan-geschwindigkeit zum Zeitpunkt t1.

Wie man sieht, genügt auch nicht.Also: infinitesimal kleine Weg- bzw. Zeit-Abschnitte:

Wir berechnen also die Momentangeschwindigkeit(Geschwindigkeit v zum Zeitpunkt t) aus dem Differentialquotienten von s nach t:

Die Geschwindigkeit ist die Ableitung des Weges nach der Zeit

tsv

ΔΔ

=

( )dtds

ttstts

ts

tt=

Δ−Δ+

=ΔΔ

→Δ→Δ

)(limlim00

dtdsv =

Beispiel: Ein Massenpunkt bewege sich geradlinig (z.B. auf der x-Achse). Sein Ort in Abhängigkeit der Zeit ist gegeben durch die Gleichung , wobei und ist.

a) Ermitteln Sie den Weg des Punktes während des Zeitintervalls von t1 = 3,0 s nach t2 = 5,0 s.

b) Ermitteln Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit während dieses Zeitintervalls,

c) Ermitteln Sie die Momentangeschwindigkeit bei t2 = 5,0 s.

a) Für t1 = 3,0 s gilt:

Batx += 221,2 s

mA = mB 8,2=

mmmmmssmx 8,29,188,291,28,231,2 2221 +=+⋅=+⋅=

mx 7,211 =

Für t2 = 5,0 s gilt:

b) Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist definiert als:

mmmmmssmx 8,25,528,2251,28,251,2 2222 +=+⋅=+⋅=

mx 3,552 =

mmmx 6,337,213,55 =−=Δ⇒

sm

sm

ttxx

txv 8,16

0,26,33

12

12 ==−−

=ΔΔ

=

c) Die Geschwindigkeit ist die Ableitung des Weges nach der Zeit:

( )sms

smtABtA

dtd

dtdxv 2151,222 2

2 =⋅⋅=⋅=+⋅==

Wir betrachten eine Bewegung, diedurch folgende Abhängigkeit der Ge-schwindigkeit von der Zeit gegeben ist:

Wir erhalten eine Gerade mit einer konstanten Steigung. Die Steigungder Geraden ergibt die Änderung der Geschwindigkeit pro Zeitab-schnitt.Wir nennen diese Steigung die Beschleunigung a.

tvv

ttvv

tva o

to

o

o

−=

−−

=ΔΔ

==0

Aufgelöst nach v erhalten wir:

(konstante Beschleunigung)

Ort eines Massenpunktes bei konstanter Beschleunigung:

Da die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit linear ansteigt, erhaltenwir für die mittlere Geschwindigkeit:

(konstante Beschleunigung)

Daraus erhalten wir:

*

atvv += 0

tvxx ⋅+= 0

20 vvv +=

tatvvxtvvxtvxx oooooo ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=⋅+=

22

Oder

Eliminierung der Zeit:

Aus erhalten wir mit

Auflösen nach :

2

21 attvxx oo ++=

tvvxtvxx oo ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=⋅+=

20 avvt o−=

avvx

avvvvxx ooooo 22

22 −+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

2v

( )oo xxavv −+= 222

Zwei Beispiele:

Beispiel1: Ein Auto beschleunigt auf einer geraden Straße in 5 s ausdem Stillstand auf v = 75 km/h. Welchen Betrag hat seine Durch –schnittsbeschleunigung?

Es gilt:12

12

ttvv

tva

−−

=ΔΔ

=

217,4150,5

075

sm

shkm

sh

kmh

km

a =⋅

=−

=

Beispiel 2: Ein Ball fällt von einem 70 m hohen Turm. Wie weit ist ernach 1 s, 2 s, 3 s gefallen? (Die y-Achse verlaufe nach unten positiv,die Luftreibung wird vernachlässigt).

Es gilt:

Hier ist:

Weg nach 1 s:

Weg nach 2 s, 3 s:

2

21 attvxx oo ++=

28,9 smga ==

0=ov 0=oy

msmtay 9,418,9

21

21 2

2211 =⋅⋅=⋅=

msmtay 6,1928,9

21

21 2

2211 =⋅⋅=⋅=

msmtay 1,4438,9

21

21 2

2211 =⋅⋅=⋅=

Eine Bewegung mit konstanter Beschleunigung a nennt man auchgleichförmig beschleunigt.

Für ungleichförmig beschleunigte Bewegungen (a ist nicht mehrkonstant) gelten einige der o.a. angegebenen Gleichungen nicht mehr.

V(t)-Kurve eines Massenpunktes. DieDurchschnittsbeschleunigung währendeines Zeitintervalls Δt = t2 – t1 ist die Steigung der Geraden P1P2: . Die Momen-tanbeschleunigung zum Zeitpunkt t1 ist dieSteigung der Geschwindigkeits-Zeit-Kurve zu diesem Zeitpunkt.

tva ΔΔ=

Für die Momentanbeschleunigung gilt:

Da folgt:

dtdv

tva

ot=

ΔΔ

=→Δ

lim

dtdsv = 2

2

dtsda =

Die Beschleunigung ist die zweite Ableitung des Weges nach der Zeit

Die Größen Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigungsind Vektoren.

Mit Hilfe des Vektorbegriffs können wir zusammengesetzteBewegungen einfach verstehen.

Unter einer zusammengesetzten Bewegung ver-stehen wir die Überlagerung zweier oder mehrerer Bewegungen zu einer resultierenden Bewegung.

Wir betrachten drei Beispiele:

Beispiel 1: Eine Postbotin auf dem Land verlässt das Postamt undfährt 22,0 km in nördlicher Richtung in die nächste Stadt. Sie fährt dann 47,0 km weit in südöstlicher Richtung in eine andere Stadt.Wie weit ist sie am Ende des zurückgelegten Weges vom Postamt entfernt?

Wir wählen die y-Achse als nördliche Richtung, die x-Achse als östlicheRichtung.Da den Betrag 22,0 km hat und nach Norden zeigt, hat er dieKomponenten:

00,60

1s

01 =xs

kmsy

0,221 =

Komponenten von : 2s

( )( ) ( )( ) kmkmkms ox

5,235,00,4760cos0,472 +=+=+=

( )( ) ( )( ) kmkmkms oy

7,40866,00,4760sin0,472 −=−=−=

Der resultierende Vektor hat folgende Komponenten:

Daraus berechnen wir den Vektor :

s

kmkmkmsssxxx 5,235,23021 +=+=+=

kmkmkmsssyyy 7,18)7,40(0,2221 −=−+=+=

s

( ) ( ) kmkmkmss yx 307,185,23 2222 =−+=+=s

796,05,237,18tan =−==kmkm

ss

s

yθ

o5,38tan 1 ==⇒ −θ

( ) ( ) kmkmkmss yx 307,185,23 2222 =−+=+=s

Beispiel 2: Die Geschwindigkeit eines Bootes in stehendem Wasserbeträgt vBW = 1,85 m/s (Geschwindigkeit des Bootes relativ zumWasser, B: Boot, W: Wasser). In welchem Winkel muss das Bootlosfahren, wenn es direkt in Richtung Norden übersetzen soll,dessen Strömung eine Geschwindigkeit von vWU = 1,20 m/s (U: Ufer) inwestlicher Richtung hat?

Die Strömung wird das Bootflussabwärts (nach Westen)treiben. Daher muss das Bootflussaufwärts (in nordöstlicherRichtung) losfahren. Die Ge-schwindigkeit des Bootes relativzum Ufer (vBU) erhält man ausder Vektoraddition

WUBWBU vvv +=

vBW zeigt flussaufwärts in einem Winkel θ, den man erhält aus:

Das Boot muss also in einem Winkel von flussaufwärtsablegen.

6486,085,1

20,1sin ===

smsm

vv

BW

WUθo4,40=θ⇒

o4,40=θ

Beispiel 3: (Fahrt direkt über den Fluss) Dasselbe Boot (vBW = 1,85m/s) fährt nun direkt über den Fluss los, dessen Strömung immer noch1,20 m/s beträgt.a) Wie groß ist die Geschwindigkeit (Betrag und Richtung) des Bootesrelativ zum Ufer?b) Wie lange dauert die Überfahrt, und wie weit flussabwärts befindetsich das Boot dann, wenn der Fluss 110 m breit ist?

a) Das Boot wird von der Strömungabwärts getrieben. Die Geschwindigkeitdes Bootes in Bezug auf das Ufer, vBU, ist die Summe der Geschwindigkeiten vBW und vWU:

WUBWBU vvv +=

Da vBW direkt über den Fluss gerichtet ist, verläuft sie senkrecht zuvWU, und wir können (Pythagoras) schreiben:

Den Winkel berechnen wir aus:

Daraus erhalten wir für den Winkel:

( ) ( )smsmsmvvvv WUBWBUBU 21,22,185,1

2222 =+=+==

6486,085,120,1tan 1

1=== −

−

msms

vv

BW

WUθ

o0,33=θ

b) Mit der gegebenen Flussbreite d = 110 m und unter Verwendung derDefinition der Geschwindigkeit (v = s/t) erhalten wir:

In dieser Zeit wird das Boot einenWeg von

Zurücklegen.

BWvdt = s

smmt 60

85,1110

2 ==⇒

( ) mssmtvs WU 726020,1 =⋅=⋅=

Kreisbewegung

Jeder Punkt eines festen Körpers, der sich um eine feste Drehachsedreht, bewegt sich auf einer Kreisbahn, deren Mittelpunkt sich auf derDrehachse befindet und deren Radius R ist, der Abstand diesesPunktes zur Drehachse. Bei einem flachen, dünnen Körper, wie einemRad, sind R und r gleich.

Darstellung des Unterschiedes des zwischen(Ortsvektor) und R (Abstand zur Drehachse)für einen Punkt P am Rande eines Zylinders,der sich um die z-Achse dreht

Die Drehposition des Körpers spezifizieren wir durch den Winkel θzwischen der Linie zum Punkt P und einer Bezugslinie (z.B. x-Achse).Der Punkt P bewegt sich um den Winkel θ, wenn er den Weg s, ge-messen am Umfang einer Kreisbahn, zurücklegt.

Zur Winkelmessung benutzen wir denRadianten. Ein Radiant (rad) ist definiertals der Winkel, der durch den Bogen, dessenLänge gleich dem Radius ist, begrenzt ist.Wenn s gleich R ist, ist θ genau 1 rad.Allgemein gilt:

Umrechnung von rad in Grad:Für einen vollständigen Kreis ( )wird die Bogenlänge :

Daher ist ein Radiant

Rs

=θ

o360 Rs π2=

radRR

Rs

⋅⋅=== ππθ 22 rado ⋅⋅=⇒ π2360

ooo 3,5728,63602360 ≈≈π

Beispiel: Das Auge eines Vogels kann Objekte gerade noch auflösen, die einen Winkel von nicht kleiner als rad ergeben. a) Wie viele Grade sind das? b) Wie klein darf das Objekt sein, damitder Vogel es gerade noch auflösen kann, wenn es in einer Höhe von100 m fliegt?

a) Ein Radiant ist , so dassrad

b) Bei kleinen Winkeln sind Bogenlänge undSehnenlänge nahezu gleich. Wir erhalten für s:

4103 −⋅

π2360o4103 −⋅

( ) oo

radrad 017,0

2360103 4 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅

⋅ −π

( )( ) cmmradmRs 3103103100 24 =⋅=⋅== −−θ

Wir betrachten die Drehung eines Rades, das sich aus der Position 1 (θ1) in die Position 2 (θ2) dreht. Der zurückgelegte Winkel beträgtΔθ = θ1 – θ2. Analog zur linearen Geschwindigkeit definieren wir dieWinkelgeschwindigkeit ω:

Die momentane Winkelgeschwindigkeit ist der Grenzwert dieses Quotienten, wennΔt gegen Null geht:

Durchschnittliche Winkelgeschwin-digkeittΔ

Δ=

θω

dtd

ttθθω =

ΔΔ

=→Δ

lim0

Momentane Winkel-geschwindigkeitdt

dtt

θθω =ΔΔ

=→Δ

lim0

In einem starren Körper drehen sich alle Punkte mit derselben Winkel-geschwindigkeit, da sich jeder Ort in dem Körper in dem selben Zeit-Intervall um den selben Winkel bewegt.

Analog zur linearen Beschleunigung defi-nieren wir die Winkelbeschleunigung:

Und aus dem Grenzwert dieses Quotienten:

tt ΔΔ

=−

=ωωωα 12

DurchschnittlicheWinkelbeschleu-nigung

tt ΔΔ

=−

=ωωωα 12

MomentaneWinkelbeschleu-nigungdt

dtt

ωωα =ΔΔ

=→Δ

lim0

Jeder Punkt P auf einem rotierenden Rad hat zu jedem Zeitpunkt einelineare Geschwindigkeit v und eine lineare Beschleunigung a. Wirsetzen v und a zu ω und α des rotierenden Körpers in Beziehung.

Der Körper drehe sich mit ω: Richtung von v ist tangential zur Kreis-bahn. Der Betrag von v ist v = ds/dt.

Da , folgt

Daraus ergibt sich

Rs

=θ θdRds ⋅=

dtdR

dtdsv θ==

ω⋅= Rv

Obwohl ω für jeden Punkt eines drehenden Körpers zu jedem Zeitpunktgleich ist, hängt seine lineare Geschwindigkeit vom Radius ab.

Wir betrachten die Änderung der tangentialenGeschwindigkeit während eines kleinen Zeitinter-valls Δt. Während dieser Zeit bewegt sich derMassenpunkt von Punkt A nach Punkt B aufdem Kreisbogen um Δs.

dtdR

dtdva ω==tan

α⋅= Ratan

Annahme: Δs sehr klein⇒ Δv = v2 – v1 senkrecht auf v1 und v2.

Δv ist zum Kreismittelpunkt hin gerichtet.=> Auch a ist zum Kreismittelpunkt gerichtet.

Diese Beschleunigung (aR) nennt manZentripetalbeschleunigung oderRadialbeschleunigung.

Für kleine Δθ und damit kleine Δv sind dieDreiecke CAB und das in (b) ähnlich. Setzen wir v = v1 = v2, dann erhalten wir für den Betrag der Geschwindigkeit:

rs

vv Δ≈

Δ

Exakte Gleichheit erhalten wir für Δt → 0. Dann folgt:

Wir dividieren Δv durch Δt und erhalten:

Da folgt:

srvv Δ=Δ

ts

rv

tva

ttR Δ

Δ=

ΔΔ

=→Δ→Δ

limlim00

vts

t=

ΔΔ

→Δlim

0

rvaR

2=

Eine Kreisbewegung kann durchihre Frequenz und die damitzusammenhängende Perioden-dauer T (Zeit für eine kompletteUmdrehung) beschrieben werden:

Für einen Körper, der sich mit derkonstanten Geschwindigkeit v dreht, erhalten wir

da er bei einer Drehung denKreisumfang 2πr zurücklegt.

Bei einer gleichförmigen Kreisbewe-gung ist der Beschleunigungsvektorzum Kreismittelpunkt hin gerichtet.Der Geschwindigkeitsvektor zeigtjedoch immer in die Bewegungs-richtung, die tangential zur Kreisbahnverläuft. Geschwindigkeitsvektor undBeschleunigungsvektor stehen alsobei einer gleichförmigen Kreisbewe-gung stets senkrecht aufeinander

ν

ν1

=T

Trv ⋅= π2

Zwei Beispiele:

Beispiel 1: Beschleunigung eines Schleuderballs:Ein Ball mit einer Masse von 150 g am Ende einer Schnur dreht sich gleich-förmig auf einer horizontalen Kreisbahn mit einem Radius von 0,6 m. DerBall macht zwei Undrehungen in einer Sekunde. Wie groß ist seine Zentri-petalbeschleunigung?

Zentripetalbeschleunigung:

Periode T: Zwei komplette Umdrehungen pro Sekunde:

Geschwindigkeit des Balls:

Daraus erhalten wir die Zentripetalbeschleunigung:

rvaR

2=

1211−== s

Tν

sms

mT

rv 54,75,0

6,014,322=

⋅⋅=

⋅=

π

( ) 222 8,946,0

154,7 smmsm

rvaR ===

Beispiel 2: Bestimmung der Zentripetalbeschleunigung des Mondes:Die nahezu kreisförmige Umlaufbahn des Mondes um die Erde hat einenRadius von 384 000 km und eine Periode T von 27,3 Tagen. Wie groß istdie zur Erde gerichtete Beschleunigung des Mondes?

Der Mond legt pro Umlauf den Weg 2πr ( ) zurück.

Periode T:

Daraus erhalten wir die Zentripetalbeschleunigung:

Wir setzen dies in Relation zur Erdbeschleunigung :

mr 81084,3 ⋅=

( )( )( ) shsTaghTageT 61036,236000,243,27 ⋅==

( ) ( )[ ]( ) ( ) 2

32826

28

2

221072,200272,0

1084,31036,2

1084,314,322sm

sm

ms

mrTr

rvaR

−⋅==⋅⋅

⋅⋅⋅===

π

280,9 smg =

gg

sm

sm

a 4

2

23

1078,28,9

1072,2−

−

⋅=⋅

=

Tangential beschleunigte Drehbewegung

Wenn ein rotierender Körper schneller oder langsamer wird, hat eraußer eine tangentialen Geschwindigkeit auch eine tangentialeBeschleunigung.

Aus erhalten wir:

mit α = Winkelbeschleunigung

Auf einem rotierenden Rad, dessen Winkel-geschwindigkeit zunimmt, hat ein Punkt Psowohl eine tangentiale als auch eine radiale(zentripetale) Beschleunigungskomponente.

ω⋅= RvdtdR

dtdva ω==tan

α⋅=⇒ Ratan

Für die Zentripetalbeschleunigung haben wir erhalten:

Unter Benutzung von

können wir die Radialbeschleunigung schreiben als

Diese Gleichung ist für jeden Massenpunkt eines rotierenden Körpersgültig. Die Zentripetalbeschleunigung wird umso größer, je weiter mansich von der Drehachse befindet.

rvaR

2=

ω⋅= rv

( ) RRR

RvaR

222

ωω ===

Die lineare Gesamtbeschleunigung eines Massenpunktes in einemrotierenden Körper ist die Summe der beiden Komponenten:

Wir setzen die Winkelgeschwindigkeit zur Frequenz in Beziehung:

oder

Die Einheit ist das Hertz (Hz):

Wir heben gesehen, dass wir die Frequenz mit der Periode inBeziehung setzen können:

Raaa += tan

πων2

= νπω ⋅= 2

1111 −== ssUHz

ωπ

ν21

==T

Zusammenfassung:

Beispiel: Die Magnetscheibe der Festplatte eines Computers drehtsich mit 5400 U/min.

a) Wir groß ist die Winkelgeschwindigkeit der Festplatte?

b) Wie groß ist die Geschwindigkeit der Scheibe unter dem Lesekopf der Festplatte, wenn dieser sich 3,0 cm von der Drehachse entfernt befindet?

c) Wie groß ist die lineare Beschleunigung dieses Punktes?

d) Wie viele Bits kann der Schreibkopf pro Sekunde schreiben, wenn er sich 3,0 cm von der Drehachse entfernt befindet und für ein einzelnes Bit 5,0 μm Länge entlang der Bewegungsrichtung benötigt werden?

e) Wie groß war die durchschnittliche Beschleunigung, wenn die Platte 3,6 sbrauchte, um aus dem Stillstand auf 5400 U/min hochzudrehen?

f). Wie viele Umdrehungen hat die Festplatte während ihrer Beschleunigungs-zeit gemacht, um die 5400 U/min zu erreichen, wenn wir eine konstante Winkelbeschleunigung annehmen.

a) Ermittlung der Frequenz:

Daraus erhalten wir die Winkelgeschwindigkeit:

b) Die Geschwindigkeit eines Punktes, der sich 3,0 cm von derDrehachse entfernt befindet, beträgt:

c) Die lineare Beschleunigung hat eine tangentiale und eine radialeKomponente. Da ω konstant ist, ist α = 0, so dass die Tangential-beschleunigung

Für die Radialbeschleunigung erhalten wir:

HzsUsU 9090

min60min5400

===ν

srad5702 =⋅= νπω

( )( ) smsradmRv 17570100,3 2 =⋅=⋅= −ω

0tan =⋅= αra

( ) ( ) 222 9700030,0570 smmsradRaR ===ω

d) Jedes Bit benötigt 5μm Platz, d.h. , so dass bei einer Geschwindigkeit von 17 m/s die Anzahl der Bits, die an dem Kopf pro Sekunde vorbeiläuft

Bits pro Sekunde beträgt

e) Die durchschnittliche Winkelbeschleunigung beträgt

⇒ Die Winkelgeschwindigkeit der Scheibe nimmt während jeder Sekunde durchschnittlich um 160 rad/s oder

zu

m6100,5 −⋅

66 104,3100,5

17⋅=

⋅ − msm

sradssrad

t160

6,30570=

−=

ΔΔ

=ωα

sU25

2160

=π

f) Gegeben ist: , , und

Wir benutzen die Gleichung:

Um die Gesamtzahl der Umdrehungen zu bestimmen, dividieren wirdurch 2π und erhalten:

2

21 tto αωθ +=

( )( ) radssrad 322 1004,16,3160210 ⋅=+=θ

0=oω srad570=ω 2160 srad==αα st 6,3=

1652

1004,1 3=

⋅⋅

radrad

π

Grundlegende Bemerkungen