微積分精華版 Essential Calculus

歐亞書局

第 5 章積分的應用

微積分精華版 Essential Calculus

歐亞書局第 5 章積分的應用

5.1 兩曲線之間區域的面積 5.2 體積：圓盤法 5.3 體積：圓柱殼法 5.4 弧長和旋轉面 5.5 物理和工程上的應用 5.6 微分方程：成長與衰退


5.1 兩曲線之間區域的面積兩曲線之間區域的面積從求曲線下覆蓋的面積到求兩曲線之間的面積，只需要將定積分的應用略加調整。考慮在區間 [a, b] 上的兩個連續函數f (x) 和 g(x) ，如果 f 和 g 的圖形都在 x 軸的上方，並且 g

的圖形完全落在 f 圖形的下方，從幾何的角度看來， f 和 g 圖形之間的面積就是從圖形 f 所覆蓋的面積扣掉圖形 g 所覆蓋的面積。

p.228


圖 5.1

p.228


圖 5.2

p.228


圖 5.3

p.228


如果 f 和 g 在 [a, b] 上連續並且 g (x) ≤ f (x) 在 [a, b] 上恆成

立，則以 f 的圖形， g 的圖形，鉛直線 x = a 和 x = b 為界的

區域面積是

兩曲線之間區域的面積

p.229

歐亞書局第 5 章積分的應用 p.229

圖 5.4


例 1 求兩曲線之間區域的面積求以圖形 y = x2 + 2， y = –x， x = 0 和 x = 1 為界的區域面

積。解令 g(x) = –x， f (x) = x2 + 2 ，則在 [0, 1] 上，恆有g(x) ≤ f (x) ，如圖 5.5 所示。圖中樣本長方形的面積是

ΔA = [f(x) – g(x)]Δx = [(x2 + 2) – (–x)]Δx

因此，區域的面積是

p.229


圖 5.5以 f 的圖形， g 的圖形， x = 0 和 x = 1 為界的區域。


例 2 兩相交圖形之間的區域求以圖形 f (x) = 2 – x2 和圖形 g(x) = x 為界的區域面積。解在圖 5.6 中，注意到圖形 f 和圖形 g 有兩個交點，我們令 f (x) 和 g(x) 相等來解出交點的橫坐標。

所以 a = –2 ，而 b = 1 ，又因在區間 [–2, 1] 上 g(x) ≤ f (x) 恆成立，圖中的樣本長方形面積是

p.230


因而區域的面積是

p.230


圖 5.6

以圖形 f 和圖形 g 為界的區域。


例 3 兩相交圖形之間的區域

p.230

正弦曲線和餘弦曲線相交無窮多次，圍出的區域面積都相等，如圖 5.7 所示，請求單一圍出區域的面積。解

所以 a = π/4 ，並且 b = 5π/4 ，又因在區間 [π/4, 5π/4 ]

上，恆有 sin x ≥ cos x ，所求區域的面積是


圖 5.7

正弦曲線和餘弦曲線圍出的區域之一。


例 4 交點數大於二的情形求介於圖形 f (x) = 3x3 – x2 – 10x 和圖形 g(x) = –x2 + 2x 之間區域的面積。解先令 f (x) 和 g(x) 相等以求交點的橫坐標。

所以，兩圖形在 x = –2， 0 和 2 時相交。圖 5.8 中，在 [–2, 0]

上， g(x) ≤ f(x) ，但是經過原點，上下易位，在區間 [0, 2]上， f(x) ≤ g(x) ，因此我們要作兩次積分，一次在 [–2, 0] 上，一次在 [0, 2] 上。



圖 5.8

在 [–2, 0] 上 g(x) ≤ f(x) 且在 [0, 2] 上 f(x) ≤ g(x) 。

p.231


例 5 水平的樣本長方形求圖形 x = 3 – y2 和 x = y + 1 之間區域的面積。解考慮 g(y) = 3 – y2 和 f (y) = y + 1

這兩條曲線在 y = –2 和 y = 1 時相交，如圖 5.9 所示，由於在

[–2, 1] 上 f (y) ≤ g(y) ，所以ΔA = [g(y) – f(y)]Δy = [(3 – y2) – (y + 1)]Δy

因此，所求面積為


圖 5.9水平的樣本長方形（對 y 積分）。

p.232


圖 5.10鉛直的樣本長方形（對 x 積分）。


例 6 積分是一個累積的過程

求介於圖形 y = 4 – x2 和 x 軸間的面積，並詳述累積的積分過程。解所求區域的面積是

我們可以把積分想像成從 x = –2 慢慢變化到 x = 2 時，帶動相對應的樣本長方形，緩緩掃過區域，圖 5.11 顯示掃過的區域越來越大，從 0 增加到 5/3 、到 16/3 、到 9 ，最後得到32/3 。


圖 5.11


5.2 體積：圓盤法

定積分不只是應用在求面積而已，另一個重要的應用是求體積，例如旋轉體。

如果一個平面上的區域繞一條直線旋轉，得出的立體叫做旋轉體（ solid of revolution ），該條直線稱為旋轉軸（ axis of revolution ）。最簡單的旋轉體是一個正圓柱或圓盤（ disk ），可由長方形繞自己的一邊旋轉而成。

p.235


圖 5.12旋轉體。


圖 5.13

p.235


圖 5.14

圓盤法。


圓盤法以圓盤法（ disk method ）求旋轉體體積，因轉軸不同而

有下列二法。

圓盤法的過程表列如下：

p.236


圖 5.15


求以圖形和 x 軸為界的區域繞 x 軸旋轉（ 0 ≤ x

≤π ）所得旋轉體的體積。解圖 5.16 顯示一個在 x 軸上方的樣本長方形，圓盤法中

論及的圓盤半徑就是因此旋轉體的體積是

p.237

例 1 應用圓盤法


圖 5.16


求以 f (x) = 2 – x2 和 g(x) = 1 為界的區域繞直線 y = 1 旋轉所

得旋轉體的體積，見圖 5.17 。解令 f (x) 和 g(x) 相等可得 x = ±1 ，求樣本圓盤半徑

R(x) 。R(x) = f (x) – g(x) = (2 – x2) – 1 = 1 – x2

然後，從 – 1 積到 1 求體積。

p.237

例 2 旋轉軸非坐標軸的情形


圖 5.17


橡皮圈法如果以樣本橡皮圈代替樣本圓盤，就可以計算中空的旋轉

體體積，將長方形繞軸旋轉一圈會得到一個橡皮圈（ washer ）。假設 r 和 R 分別是橡皮圈內緣和外緣的半徑，而 w 是橡皮圈的厚度，橡皮圈的體積公式是

橡皮圈體積 = π(R2 – r2) w 現有一平面區域外緣半徑（ outer radius ）和內緣半徑（ inner radius ）分別是 R(x) 和 r(x) 。橡皮圈法藉由樣本橡皮圈的體積 π(R(x)2 – r(x)2)Δx 得到體積的積分表示

p.237


圖 5.18


圖 5.19


例 3 應用橡皮圈法

求以圖形和 y = x2 為界的區域繞 x 軸旋轉所得旋轉

體的體積，見圖 5.20 。

解在圖 5.20 中，外緣和內緣的半徑分別是

從 0 積到 1 得出

p.238



圖 5.20

p.238


求以圖形 y = x2 + 1， y = 0， x = 0 和 x = 1 為界的區域繞 y 軸

旋轉所得旋轉體的體積。

解　圖 5.21 中的區域，外緣半徑 R = 1 ，但是內緣半徑 r

無法單一表示。當 0 ≤ y ≤ 1 是 r = 0 ，而 1 ≤ y ≤ 2 時， r 是

被方程式 y = x2 + 1 決定的，也就是說 r 應該是，所以

例 4 對 y 積分，兩個積分的情形

p.239


利用 r (y) 的兩種情形，將體積以兩個積分式表達

p.239


圖 5.21


圖 5.22


在一個半徑 5 吋的金屬球的中心鑽通一個半徑 3 吋的洞，如圖 5.23(a) 所示。請問如此打造的金屬環體積為何？

解想像此金屬環是由圓的一部分旋轉出來，如圖 5.23(b) 所示，由於洞的半徑是 3 吋，令 y = 3 ，先解方程式 x2 + y2 = 25

來決定積分的上下限是 x = ±4 ，故內緣半徑是 r(x) = 3 ，外緣半徑是，而體積是

例 5 製造

p.239



圖 5.23


已知橫截面的立體體積1. 立體垂直 x 軸的截面積是 A(x) ，

2. 立體垂直 y 軸的截面積是 A(y) ，

p.240


圖 5.24

p.240


求圖 5.25 立體的體積。它的底面是一個三角形，三邊分別是

而垂直 x 軸的截面都是正三角形。解　每一個正三角形截面的底邊長和面積大小如下：

由於 x 的範圍從 0 到 2 ，此立體的體積是

例 6 三角形截面

p.240


圖 5.25

p.241


求證以正方形為底的金字塔的體積是 V = 1/3 hB ，其中 h 是

高，而 B 是底的面積。

解　如圖 5.26 所示，以高度 y ，平行於底的平面交此金字塔

所得的正方形截面，邊長為 b' ，由相似形成比例關係，可知

其中 b 是底面的邊長，所以高度為 y 的橫截面面積是

p.241

例 7 幾何上的應用


對 y 從 0 積到 h 得到

p.241


圖 5.26

p.241


繞水平軸或鉛直軸旋轉，以圓柱殼法（ shell method）求體積的公式如下

p.243

5.3 體積：圓柱殼法


圖 5.27

p.243


圖 5.28

p.244


圖 5.29

p.244


求以 y = x – x3 和 x 軸為界的區域（ 0 ≤ x ≤ 1 ）繞 y 軸旋轉所

得旋轉體的體積。

解　由於是繞鉛直軸旋轉，畫一個鉛直的樣本長方形，如圖5.30 。寬度 Δx 指示積分的變數是 x ，從樣本長方形的中心

到轉軸的距離是 p(x) = x ，並且長方形的高度是

h(x) = x – x3

例 1 以圓柱殼法求體積

p.244


從 x = 0 積到 x = 1，得到的體積是

p.245


圖 5.30

p.244


求以圖形 x = e–y2 和 y 軸為界的區域（ 0 ≤ y ≤ 1 ）繞 x 軸

旋轉所得旋轉體的體積。解　由於旋轉軸是水平的，取一個水平的樣本長方形，如圖5.31 。寬度 Δy 指示積分的變數是 y ，從樣本長方形的中心

到轉軸的距離是 p(y) = y ，而長方形的高是 h(y) = e–y2 ，從 y =

0積到 y = 1 ，得到旋轉體的體積是

p.245

例 2 以圓柱殼法求體積


圖 5.31


圖 5.32


圖 5.32 (續 )

圓


求以圖形 y = x2 + 1、 y = 0、 x = 0 和 x = 1 為界的區域繞 y 軸

旋轉所得旋轉體的體積。解　從上一節的例 4 ，已知圓盤法需要兩個積分式來決定體積（見圖 5.33(a) ）。

p.246

例 3 適用圓柱殼法


但是從圖 5.33(b) 看來，使用圓柱殼法只要積分一次就可求得體積。

p.246


圖 5.33


圖 5.34 是一個浮筒的圖，以，– 4 ≤ x ≤ 4 的函數圖

形繞 x 軸旋轉一圈來設計浮筒，式中 x， y 的單位是呎，求此

浮筒的體積。解　由圖 5.35 (a) ，以圓盤法處理如下。

p.246

例 4 浮筒的體積


圖 5.34


圖 5.35


求以圖形 y = x3 + x + 1, y = 1 和 x = 1 為界的區域繞直線 x = 2

旋轉所得旋轉體的體積，如圖 5.36 所示。解　在方程式 y = x3 + x + 1 之下，以 x 表 y 顯然比較容易，所以積分的變數當然選 x ，並且樣本長方形也選成鉛直的，也就是說，非用圓柱殼法不可。

例 5 必須使用圓柱殼法

p.247


圖 5.36


弧長以直線段的長來近似曲線上的一段弧長，直線段長的公式

就是一般所熟悉的距離公式。

一條可求長（ rectifiable ）的曲線指的是一條弧長是有限值的曲線。我們馬上會看到如果 f ' 在 [a, b] 上連續的話，那麼 f 的圖形在 (a, f (a)) 和 (b, f (b)) 之間就是可求長的。這樣的函數稱為在 [a, b] 上連續可微（ continuously

differentiable ），而它在 [a, b] 上的圖形就是一條平滑曲線（ smooth curve ）。

p.248

5.4 弧長和旋轉面


令 y = f (x) 表 [a, b] 上的一條平滑曲線， f 在 a 和 b 之間的弧

長是

同理，平滑曲線 x = g(y) 在 c 和 d 之間的弧長是

p.249

弧長的定義


圖 5.37


求圖形 f (x) = mx + b 上兩點 (x1, y1) 和 (x2, y2) 之間的長度。

解　由於因此

例 1 線段的長度

p.250


圖 5.38

f 圖形的弧長恰好是標準距離公式。

p.250


求圖形 y = x3/6 + 1/(2x) 在區間 [½, 2] 上的弧長（圖 5.39 ）。

解　計算代入弧長公式得出

p.250

例 2 求弧長


圖 5.39

圖形 y 在 [½, 2] 上的弧長是 33/16 。

p.250


求圖形 y = ln(cos x) 從 x = 0 到 x =π/4 的弧長（圖 5.40 ）。解　計算得出弧長

p.251

例 3 求弧長


圖 5.40

圖形 f 在 [0, π/4] 上的弧長近似值是 0.881 。


例 4 電纜的長度

一條懸在距離為 200 呎的兩塔之間的電纜（如圖 5.41 ）形狀

如懸垂線，公式是 y = 75(ex/150 + e–x/150)

求兩塔之間電纜的長度。

解　由於，平方後得出


以及

因此，電纜的長度是

p.251


圖 5.41


將一個連續函數的圖形，繞一條直線旋轉一圈所得的曲面就稱為旋轉面（ surface of revolution ）。

一般旋轉面面積的討論基礎是正圓錐台（扣去上底、下底之後）的表面積。

p.252

旋轉面的定義


圖 5.42


圖 5.43


圖 5.44


令 y = f (x) 在區間 [a, b] 上連續可微，圖形 f 繞一水平或鉛直

直線旋轉所得旋轉面的面積是

式中 r(x) 是圖形 f 和轉軸之間的距離，如果在區間 [c, d] 上函

數是 x = g(y) ，則表面積是

式中 r(y) 是圖形 g 和轉軸之間的距離。p.253

旋轉面面積的定義


例 6 旋轉面的面積求區間 [0, 1] 上的圖形 f (x) = x3 繞 x 軸旋轉所得旋轉面的

面積（圖 5.45 ）。解 x 軸和圖形 f 之間的距離是 r(x) = f (x) ，又因 f '(x) =

3x2 ，旋轉面的面積是



圖 5.45


求區間上的圖形 f (x) = x2 繞 y 軸旋轉所得旋轉面的面

積（圖 5.46 ）。解　此時，圖形 f 和 y 軸之間的距離是 r(x) = x ，然後利用 f '(x) = 2x ，可得曲面面積。

p.254

例 7 旋轉面的面積


圖 5.46


5.5 物理和工程上的應用功如果一物沿一固定的力 F 施力的方向移動了一段距離 D ，

則此力對此物的作功（ work ） W ，就定義為 W = FD 。力有許多形式——向心力，電力，重力等等，力（ force ）

可以想成是一個推或拉的效果，力會改變一個物體運動的狀態，在地表上，通常以物體的重量代表此物所受到的重力。

在公制（ C-G-S ）中，力的基本單位是達因（ dyne）——使 1 克的物體產生每秒 1 公分的加速度所需的力，因此在公制中，功的單位是達因－公分（爾格）或牛頓－公尺（焦耳），其中 1 焦耳 = 107 爾格。

p.256


圖 5.47

將一 50 磅的物體抬高 4 呎需要作功 200 呎－磅。


圖 5.48

當物體的位置改變了（ Δx ）時，施力也跟著改變。


如果一連續變化的力 F(x) 施於一直線運動的物體，則當該物

自 x = a 移至 x = b 時，此力所作的功是

定義變動的力所作的功


許多物理定律的發現約與微積分的發展同時。1. 虎克定律（ Hooke's Law ）：

2. 牛頓萬有引力定律（ Newton's Law of Universal Gravitation ）：

3. 庫倫定律（ Coulomb's Law ）：

p.257


將一自然長度為 15 吋的彈簧壓縮 3 吋需要 750 磅的力，求再

連續壓縮 3 吋所需作的功。解由虎克定律，將彈簧壓縮 x 單位所需的力 F(x) ，滿足

F(x) = kx 。由題意可知 F(3) = 750 = (k)(3) 。所以 k = 250 ，因而

F(x) = 250x ，如圖 5.49，假設壓縮一小段 Δx 時，力量接近常

數，此時所需作的功為 ΔW = (250x) Δx。因為要將彈簧從 x = 3 壓縮到 x = 6 ，所需的功應從 x = 3 積到 x = 6。

p.258

例 1 壓縮彈簧


圖 5.49


例 2 自貯油槽抽油所作的功

一半徑 8 呎的球形貯油槽只裝了一半的油，油重是每立方呎

50 磅，今將油自頂端的小孔完全抽出需作功若干？解　將油分層，每一層是厚度 Δy ，半徑 x 的圓盤，如圖5.50 。由於每一層圓盤所受的力是

圓心在 (0, 8) ，半徑為 8 的圓方程式是 x2 + (y – 8)2 = 82

x2 = 16y – y2


所以 ΔF = 50(πx2Δy) = 50π(16y – y2)Δy

在圖 5.50 中，注意到距離槽底 y 呎的油必須抽高 16 – y 呎，

所以對此一層的作功是 ΔW = ΔF(16 – y) = 50π(16y – y2)Δy(16 – y)

= 50π(256y – 32y2 + y3)Δy

由於只有半槽的油， y 的範圍從 0 到 8 ，因此總共需要作的

功是

p.258


圖 5.50


例 3 吊高鐵鍊

p.259

在路面上有一 20 呎長密度 5 磅∕呎的鐵鍊，今將此鍊一端吊起到 20 呎的高度，使鐵鍊完全拉直需作功若干？解　想像此鍊分成若干小節，每一小節長 Δy ，則每一小節所受的力為

由於一小節提高高度為 y ，對此小節的作功為 ΔW = ( 重力 )( 距離 ) = (5Δy)y = 5yΔyy 的範圍從 0 到 20 ，因此總共需要作的功是


圖 5.51

將鐵條一端吊高需作的功是 1000 呎－磅。


一維系統的質心對一個物體慣性的量度稱為該物體的質量（ mass ），假

設在理想狀況下質量 m 集中在一點。如果該點質量 m

距離點 P 為 x ，則定 m 對點 P 的質矩（ moment of m

about the point P ）為

x 稱為矩臂長度（ length of the moment arm ）。

p.260

質矩 = mx


圖 5.52

當左右力矩相等時，蹺蹺板會處於平衡。


一般而言，我們引入一條數線 x 軸，原點對應蹺蹺板的支點，如圖 5.53 ，假設在 x 軸上有若干點質量，此軸繞支點旋轉的趨勢是以對原點的質矩（ moment about the origin ）來測量的，質矩的定義是

M0 = m1 x1 + m2 x2 + …+ mn xn

其中 m1， m2，…是各點的質量， x1 ， x2，…是各點的坐標，如果 M0 = 0 ，就稱為平衡（ equilibrium ）系統，如果系

統不平衡，而支點移到 x 這點可以重新達到平衡的話， x 點

就稱為質心（ center of mass ）。


圖 5.53

如果 m1 x1 + m2 x2 +…+ mn xn = 0 ，則此系統處於平衡狀態。


質矩和質心：一維系統

p.261

點質量 m1 , m2 , … , mn 的位置坐標分別是 x1, x2, …, xn

1. 對原點的質矩（ moment about the origin ）是 M0 = m1 x1 +

m2 x2 + … + mn xn 。

2. 質心（ center of mass ）在， m = m1 + m2 + … +

mn

是此系統的總質量（ total mass ）。


例 4 一維系統的質心求圖 5.54 中一維系統的質心。解　對原點的質矩是 M0 = m1 x1 + m2 x2 + m3 x3 + m4 x4

= 10(–5) + 15(0) + 5(4) + 10(7)

= –50 + 0 + 20 + 70 = 40

系統的總質量是 m = 10 + 15 + 5 + 10 = 40 。質心在


圖 5.54


除了定義質矩，也可以定義力矩，此時，對應質心的就變成了重心（ center of gravity ），假設點質量 m1 , m2 , ... mn 位置坐標分別是 x1, x2, ..., xn ，則因重力 (質量 )( 重力加速度 ) ，系統的總受力是

F = m1a + m2a + … + mna = ma

對原點的力矩（ torque ）是T0 = (m1a)x1 + (m2a)x2 + …+ (mna)xn = M0a

重心是

因此，重心和質心的位置相同。

p.261


在平面上 (x1, y1), (x2, y2), ...(xn, yn) 分別有點質量 m1, m2, ...mn 。1. 對 y 軸的質矩（ moment about the y-axis ）是 My = m1 x1 +

m2 x2 + … + mnxn 。2. 對 x 軸的質矩（ moment about the x-axis ）是 Mx = m1 y1 +

m2 y2 + … + mnyn 。3. 質心（或重心）是

其中 m = m1 + m2 + … + mn 是此系統的總質量（ total mass ）。

p.262

質矩和質心：二維系統


圖 5.55

在一個二維系統，對 y 軸和 x 軸各有一質矩 My 和 Mx 。


求位在 (3, –2), (0, 0), (–5, 3) 和 (4, 2) ，質量分別為 m1 = 6,

m2 = 3, m3 = 2 和 m4 = 9 的質心（如圖 5.56 ）。解　

因此，

並且

所以質心位在 (11/5, 3/5) 。

p.262

例 5 二維系統的質心


圖 5.56


圖 5.57

可以把薄膜的質心想成是一個平衡點，圓形薄膜的質心在圓心，長方形薄膜的質心在長方形的中心。


圖 5.58

均勻薄膜的密度為 ρ。


令 f 和 g 在 [a, b] 上連續且 f (x) ≥ g(x)。考慮一均勻薄膜，

以圖形 y = f (x) 和 y = g(x) 為界， a ≤ x ≤ b，密度為 ρ，則1. 對 x 軸和對 y 軸的質矩（ moments about the x- and y-

axes）分別為

2. 質心的橫坐標，縱坐標，其中

是薄膜的總質量。

p.263

薄膜的質矩和質心


求以圖形 f (x) = 4 – x2 和 x 軸為界，密度為 ρ的均勻薄膜的質心。解　由於質心會落在對稱軸上，所以 x = 0 。薄膜的總質量是

求對 x 軸的質矩，取一個樣本長方形，如圖 5.59 所示，長方形中心到 x 軸的距離是

而樣本長方形的質量是 ρf (x)Δx =ρ(4 – x2)Δx

p.264

例 6 平面上薄膜的質心


則可得

而 y 的計算是

所以質心（平衡點）的位置在　　，如圖 5.60 所示。

p.264

歐亞書局第 5 章積分的應用 p.264第 1 章極限及其性質

圖 5.59


圖 5.60

質心是平衡點。


求以圖形 f (x) = 4 – x2 和 g(x) = x + 2 為界區域的形心。解　此兩圖形交於點 (–2, 0) 和 (1, 3) ，區域的面積是

區域形心的坐標是

p.264

例 7 平面區域的形心


所以，區域的形心位置在。

p.265


圖 5.61

形心在。


例 8 簡單平面區域的形心求圖 5.62(a) 中區域的形心。解　如圖 5.62(b) ，架一坐標將三個長方形的形心標出

利用這三點，我們可以找出區域的形心。

區域的形心在 (2.9, 1) 。


圖 5.62


平面上有一區域 R ，其內部與直線 L 完全分離，如圖5.63 。如果 R 的形心和 L 的距離是 r ，則以 R 繞 L 所得的旋轉體體積是

V = 2πrA

其中 A 是 R 的面積（注意到 2πr 是 R 繞 L 一圈時，形心所走的距離）。

p.265

定理 5.1 Pappus 定理


圖 5.63

區域 R 的面積是 A ，旋轉體的體積是 2πrA 。


求圓域 (x – 2)2 + y2 = 1 繞 y 軸所得的旋轉體體積，如圖5.64(a)

所示。

解　圖 5.64(b) 中，圓域的形心在 (2, 0)。 (2, 0) 與 y 軸的距離

是 r = 2 。又因圓域的面積 A =π ，所以甜甜圈的體積是 V = 2πrA = 2π(2)(π) = 4π2 ≈ 39.5

p.266

例 9 以 Pappus 定理求體積


圖 5.64


5.6 微分方程：成長與衰退

本節中，我們要學習如何求解可以分離變數的微分方程式，解題的方法是將原方程式改寫，使得方程式的變數分屬方程式的兩邊，這個方法叫做分離變數法。

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解微分方程 y' = 2x/y。

解

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例 1 解微分方程


所以，解出通解 y2 – x2 = C

請利用隱微分法驗算。


定理 5.2 指數成長和衰退的模型

如果 y 是 t 的可微分函數，滿足 y > 0 ，並且對某一個常數 k 滿足

y' = ky ，則 y = Cekt 。C 是 y 的初始條件（ initial value ）， k 是比例常數（ proportionality constant ）。當 k > 0 時，模型是指數成長（ exponential growth ），當 k < 0 時，模型是指數衰退（ exponential decay ）。


已知 y 的變率與 y 成比例，當 t = 0 時， y = 2；當 t = 2 時，y = 4 ，請問當 t = 3 時， y 值為何？解　由於 y' = ky ，因此 y = Cekt 。利用兩個初始條件再解 C

和 k 。

因此，模型是 y' ≈ 2e0.3466t

當 t = 3 時， y 值是 2e0.3466(3) ≈ 5.657 （見圖 5.65 ）。

例 2 利用指數成長模型


圖 5.65

如果 y 的變率與 y 成比例，則 y 遵循一個指數模型。


例 3 放射性衰變

假設車諾比核災變發生時有 10 克同位素鈽 -239 釋出，請問衰變的過程需時多久，這 10 克的同位素才會只剩下 1 克？

解　令 y 表鈽的質量（克），由於衰變的速率與 y 成比例，所以 y = Cekt

t 表時間（年），代入初始條件求 C 和 k ，當 t = 0 時，將y = 10 代入得

10 = Cek(0) = Ce0 = C

再利用 t = 24,100 時，將 y = 5 代入得5 = 10ek(24,100)

½ = e24,100k


–0.000028761 ≈ k

因此，模型是y = 10e –0.000028761t 半衰期模型

將 y = 1 代入求 t

1 = 10e –0.000028761t

大約需時 80,059 年才會剩下 1 克。

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假設在實驗室中有一群果蠅，其數量的增加遵循指數成長的規律。在實驗開始的第二天之後有 100 隻，在第四天之後有300 隻，請問在開始實驗時有幾隻果蠅？解　令 y = Cekt ，表示在時間 t 時，果蠅的數目， t 的單位是天，由於當 t = 2 時， y = 100；當 t = 4 時， y = 300 ，所以有

100 = Ce2k， 100 = Ce4k

由第一式，得知 C = 100e–2k ，代入第二式得出300 = 100e–2ke4k

300 = 100e2k

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例 4 群體數量的成長


ln 3 = 2k

½ ln 3 = k

0.5493 ≈ k

因此，指數成長模型的公式是y = Ce0.5493t

再解 C ，因為 C = 100e–2k ，將 k 值代入得到 C ≈ 33 。所以當 t = 0 時，起始的數量大約是 y = C = 33 隻，如圖

5.66

所示。

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圖 5.66


廣告戰截止四個月之後，公司的銷售量從每月 100,000 件下滑到每月 80,000 件。如果下滑的情形遵循指數規律，再過兩個月銷售量如何？解　利用指數衰退模型 y = Cekt， t 的單位是月，如圖 5.67 所示，令 t = 0 ，可知 C = 初始條件 = 100,000 ，而當 t = 4 時， y = 80,000 ，因此

80,000 = 100,000e4k

0.8 = e4k ln(0.8) = 4k –0.0558 ≈ k

再過兩個月，也就是 t = 6 ，預期的月銷售量是y = 100,000e–0.0558(6) ≈ 71,500 件

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例 5 銷售量下滑


圖 5.67


令 y 表室溫維持在 60 ℉ 之下一物的溫度（℉），如果此物在 10 分鐘之內從 100 ℉ 降到 90℉ ，請問要降至 80 ℉ 還

需要多少時間？解　根據牛頓冷卻定律， y 的變率與 y 和 60 的差成比例，即

y' = k(y – 60)， 80 ≤ y ≤ 100

我們以分離變數法解此方程式如下。

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例 6 牛頓冷卻定律


由於 y > 60， | y – 60| = y – 60 ，可以略去絕對值記號。利用指數符號，得到

y – 60 = ekt + C1 y = 60 + Cekt C = eC1

再將 t = 0， y = 100 代入，得 100 = 60 + Cek(0) = 60 + C ，因此

C = 40 ，又因 t = 10 時， y = 90 ，所以90 = 60 + 40ek(10)

30 = 40e10k

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因此模型是y = 60 + 40e–0.02877t 冷卻模型

最後， y 以 80 代入，得到80 = 60 + 40e–0.02877t

20 = 40e–0.02877t

½ = e–0.02877t

ln ½ = –0.02877t t ≈ 24.09 分鐘

因此還需要大約 14.09 分鐘，此物才會降到 80℉ 。

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圖 5.68

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微積分 精華版 Essential Calculus

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