1

ベクトル解析（１）

1. ベクトル代数

• ベクトル

• 幾何学への応用

• 内積

• 外積

• モーメント

2. ベクトルの微分、積分

• ベクトルの微分

• ベクトルの積分

• 微分方程式

Today’s Point

2

zzyyxx BABABA cosBABA

内積

zyx

zyx

BBB

AAA

kji

BA

外積

),,( ),,( zyxzyx BBBAAA BA

A

B

cosB

AB

o

Q

P

A

C

B

sinBAC

S

A

B

Today’s Goal

A

BC斜め直方体の体積？

3

1. ベクトル代数

•スカラー：

PQP

Qベクトル

PQA

A平行なベクトル

P

Q

PQ

C

D

CD

CDPQ

算法１：スカラー倍

AA

)0(

A)0(

算法２：ベクトル和

B

A

BAC

B

A

BAC

•交換法則 ABBA

)()( CBACBA

BABA )(

•ベクトル：

•結合法則

•分配法則

大きさ

面積、質量、時間、．．．

大きさと向き

力、速度、加速度、．．．．

4

1.2 ベクトルの成分 x軸への正射影

kjiA zyx AAA

i

kj

A

cosAxA

A

x

cos

cos

A

A

z

y

A

A

),,( zyx AAAの成分ベクトルA

基本（単位）ベクトル kji ,,

kjiA zyx AAA

222

zyx AAA A

||cos

||cos

||cos

A

A

A

z

y

x

An

Am

Al

方向余弦

位置ベクトル

空間内の点Pの座標（ｘ、ｙ、ｚ）

kji zyxOP

ゼロベクトル 0

5

例題１ kjiBkjiA 234 ,52

BA 23)1

BA 2)2

の方向余弦BA)3

例題２

OPOQPQ

zyxQzyxP

),,( ),,( 222111

kji

kjikji

1992

)234(2)52(3

876.10117)1()4(10

410

)234(2)52(

222

kji

kjikji

kji

kjikji

BA

326

)234()52(

429.07

3 ,286.0

7

2 ,857.0

7

6

749)3()2(6 222

nml

BA

PQOQ

OPOP

Q

kji

kjikji

)()()(

)()(

121212

111222

zzyyxx

zyxzyx

6

1.3 幾何学への応用

nm

mn

nm

BAR　　

に内分する点線分を :)1

m

nA

B

R

A

B

P

o

媒介変数）　　

に平行な直線を通りベクトル・定点

直線のベクトル方程式

(t:t

bA

)2

bar PBmAPn

nmPBAP

::

a

br

A

B

o

nm

mn

mnnm

mn

BAR

BAR

RBAR

　　

)(

)()(

o

A

a

b

r

baabar tt

BA

t)-(1 )(

,

　　

を通る直線・２点

7

例題3

の中点を通る。はとするときの交点を

。の交点を

。台形

BCADoEEBDAC

oCDAB

BCADABCD

,,

,

)//(

O

CB

A D

E

a bM

N

aba kOBkOAOBODOA とすると　 1:: , ,

1:::: kEDBEADBCOAOB

を通るの中点は　　　　 MADOE

k

k

k

kk

k

ODkOBOE

2

)(

1

2

11

baba

を通るの中点は　　　　 NBCOE

OCOB

kk

OCOB

k

kkOE

21

2

11

ba

8

A

B

cosB

AB

o

Q

P

BABA

2||||

cos2

22

222

OQOPOQOPPQ

OPQ余弦定理

ABBA )3

zzyyxx BABABA

BA

BABA

)2

cos)1

2222

)()()(

)()()(

zzyyxx

zzyyxx

ABABABPQ

ABABAB

kjiAB

)(2222222

zzyyxxzyxzyx BABABABBBAAA

2)4 AAA

BA

BA cos)5

0

0

)6

zzyyxx BABABA

BA

BA

kjikjiA zyxzyx BBBAAA B ,

zzyyxx BABABA BA

)(2||||2|||| 2222

zzyyxx BABABA BABABA

1.4 内積

9

例題4

kjiBkjiA 32 ,53)1

例題5

kjiBkjiA 6 ,2

例題6

kjiBkjiA 32 ,42)1 aaa

kjiBkjiA 235 ,724)2

BA

23)1()1(523

BA

12)2(7)3()2(54

A

BA

B

BA

BAcos

61)2(1 222

8)1(61 22

2

62)1(16)2(11

2

1

86

62

315 ,135

BA

2or ,1

01)(2(

0462 2

a a

)aa

aa

0)1()4()3(22 aaa

10

1.5 外積

kji

kjiBA

kji

BA

kjikjiA

)()()(

)2

)1

B ,

xyyxxzzxyzzy

yx

yx

zx

zx

zy

zy

zyx

zyx

zyxzyx

BABABABABABA

BB

AA

BB

AA

BB

AA

BBB

AAA

BBBAAA

0)()3 BAA

|sin|)4 BABA

222222

222222

2222222

222

2

sin)cos1(

)cos()(

)())((

)()()(

BABA

BABABABA

BA

zzyyxxzyxzyx

xyyxxzzxyzzy

BABABABBBAAA

BABABABABABA

k

kji

ji

kji

010

001

)5

i

k

j

A

sin|||| BAC

B

|sin| BAC

S

A

B

0)(

0

BAB同様に

zyx

zyx

zyx

yx

yx

z

zx

zx

y

zy

zy

x

BBB

AAA

AAA

BB

AAA

BB

AAA

BB

AAA

11

演算法則

)()(a 8)

)( 7)

)(

0 )6

BABA

BCACBAC

CBCACBA

AABAAB

a

)9

0kk0jj0ii

jkiijkkij

jikikjkji

基本ベクトルの外積

kjiBkjiA 52 ,24)1

例題7

)()( )2 BABA

kjiBkjiA 752 ,43)1

例題8

152

241

kji

BA

kji

kji

1356

)85()41()104(

kjiBA

BBABBAAA

2610122

752

431

kji

BA

kji

kji

)65()87()2021(

311)1( 222 BA

12

とすると平面上のベクトル

、が張る平面の方程式は

立なベクトルを通り、２つの１次独点

kjir

kjibkjia

zyx

bbbaaa

zyxP

321321

000

,

),,(

0

321

321

000

bbb

aaa

zzyyxx b

a

bac

),,( 000 zyxp r

0)( cpr

kji

bac

kji

pr

21

21

31

31

32

32

000 )()()(

)(

bb

aaA

bb

aa

bb

aa

zzyyxx

z

0)()()(

0)(

21

21

0

31

31

0

32

32

0

bb

aazz

bb

aayy

bb

aaxx

cpr

),,( zyx

例題

0

321

321

000

bbb

aaa

zzyyxx

13

1.6 点の周りのベクトルのモーメント

のモーメントの周りのベクトル点

を始点とするベクトル点

の位置ベクトルに対する点定点

F

FrM

F

r

o

P

Po

:

:

FFFrM pOP )sin()180sin(

rF

p

FrM

o

P

rωωωv

rωv

sin

OPNP

NP

vP

lo

を半径とする円運動

の速度ベクトル１点

剛体内のの周りに回転しているを通る直線点

N

14

例題

kjikjikji 322 ,2 ,22 BCABOA のモーメント点のまわりのBC o )2

のモーメント点のまわりのBC A )1

ABr

BCAB rM

A

B

C

ji

kji

rM

322

211BCABBCAB

kji

kji

rM

875

322

113

)(

BCABOABCoB

oBr

BCoB rM

A

B

C

o

15

例題

めよにあるときの速度を求質点が点

転している。ラジアンの角速度で回毎秒

を通る軸の周りに質点が２点

)4,6,3(

2

)2,3,1(),2,1,0(

P

Ao

)42(21

2

42

kjiω

kji

oA

oA

oA

kjir 253 oP

)1424(21

2

253

42121

2kji

kji

rωv

A

16

１

２

３

４

５

６

問題

17

(1) 12/12:ベクトル解析(1) Chap.1

(2) 12/19:ベクトル解析(2) Chap.2, 5

(3) 01/09:ベクトル解析(3) Chap.3, 6, 7, 8

(4) 01/16:ベクトル解析(4) Chap.3, 9, 10

(5) 01/23:ベクトル解析(5) Chap.4, 11, 12

Today’s Point

kjiA )()()()( uAuAuAu zyx

kjiA

du

udA

du

udA

du

udA

du

ud zyx )()()()(

微分

Chap. 2

積分 kjiA duuduuduuduub

a

b

a

b

a

b

a zyx AAA

Chap. 5 5.点の運動とベクトル

kjir zyx

dt

drv 速度

2

2

dt

d

dt

d rva 加速度

)(tP)( ttQ

C

v

v

2

v

adt

dva

aa

nt

nt

nta

v

v2v

1v

v

19

2. ベクトルの微分・積分

kjiA )()()()( uAuAuAu zyx

du

df

du

dff

du

d AAA )(

u

uuu

du

ud

u

)()()(lim

0

AAA

kjiA

du

udA

du

udA

du

udA

du

ud zyx )()()()(

du

d

du

d

du

d BAB

ABA )(

演算法則

du

d

du

d

du

d BAB

ABA )(

du

d

du

d AAAA 2)(

2.1 微分

20

高次微分

偏微分

kjiA ),(),(),(),( vuAvuAvuAvu zyx

全微分

kjiA )()()()( uAuAuAu zyx

dvv

vudu

u

vuvud

vu

),(),(),(

),(

AAA

A

,.....)(

,)(

,)(

3

3

2

2

du

ud

du

ud

du

ud AAA

kjiA

2

2

2

2

2

2

2

2 )()()()(

du

uAd

du

uAd

du

uAd

du

ud zyx

u

vuvuu

u

vu

u

),(),(),(lim

0

AAA

v

vuvvu

v

vu

v

),(),(),(lim

0

AAA

,.....),(

,),(

,),(

2

22

2

2

v

vu

vu

vu

u

vu

AAA

21

kji 131 2 uuu) 2u1-A

例題1

kjiueuuu 32tansin2)2 A

uA

kjiueuuu 32 32sec2cos2 A

例題2

kjiueuuu cossinA kji

uuu eeeu 21B

kjiueuuu sincosA kji

uuu eeeu 22B

0A kji 20B

00 BA

９０°

kji12

1)2(6

uuu

00 BA

ki

01120)1(1

22

cA

例題3

１）ベクトル関数 の長さが一定であれば, である。

すなわち， は に垂直である。 )(uA

0AA

)(uA

)(uA

22c AAA

02)( du

d

du

d AAAA

2)ベクトル関数の向きが一定であれば, である。

すなわち， は と平行である。

0AA

)(uA )(uA

CA )()( ufu CA )()( ufu

0CC )()( ufufAA

23

問題

kjiA323 322231 uuuuu)

kjiA1

1cos2sin2

uuuu)

kjiA24 log3 uueu) u

uA A A １．次のベクトル関数 の導関数 と を求めよ。

jiA ubuau 2cos2sin .2

04 AA

は微分方程式

を満足することを示せ。ただし，aとbは定数である。

3. ベクトル関数 trr について，次の等式を証明せよ。

2

2

dt

d

dt

d

dt

d rr

rr

24

2.2 ベクトルの積分

:uA uD の導関数 :uD uA の不定積分

duuu AD

kjiA zyx AAA

kjiA duAduAduAdu zyx

ab

1u 2uku

)( 1uA

)( 2uA

)( kuA

kki

k

i

ik uuuuuuuu

AAAA 2211

1

S

で連続bua : uA

duuuub

ai

k

i

iu

ku ii

AASS

100

limlim

定積分

不定積分

kjiA zyx AAA

kjiA duuduuduuduub

a

b

a

b

a

b

a zyx AAA

duuuabuduub

a

b

aADDDDA

25

問題

duuu kji 863 )1 2

dueuu ukji

2sin2cos )2

2

1 2

11)3 du

uuu kji

duuuu 6

0

2 2sec3cossin )4

kji

kji23 423 uuu

kjiueuu 2

2

1cos2sin

2

1

26

dtdt

ddt

dt

d

dtdt

dt

t

uvvu

vu

rr

)2

)12

1

2

1

2

2

2 )()(2

1

2

1 )(

2

1)1

2

1

2

1

2

1

ttdtdt

ddt

dt

d t

t

t

t

t

trrrrr

rr

dt

d

dt

d

dt

d

dtdt

ddt

dt

d

vuv

uvu

vu

vuv

u

)(

)2

その他

)()()()(2

1)()(

2

1 )(

2

11122

2

1

2

1

ttttttdtdt

d t

t

t

trrrrrrrr

正確には

27

2.3 微分方程式

pxxx

xx

qpqpx

t

t

edt

d

dt

d

kdt

d

etdt

d

22)3

)2

),( )1

2

2

22

は定ベクトル

qpx tet

dt

d 22)1

xx

kdt

d)2

)( 2

1

3

1 23 は定ベクトルccqpx tet

kZdt

dZkY

dt

dYkX

dt

dX

ZYX

kjix

ktkt

ktktkt

eeCCC

eCZeCYeCX

ckjix

321

321

28

pxxx te

dt

d

dt

d22)3

2

2

0xxx

dt

d

dt

d2

2

2

　

斉次解

pbx

py

tt

t

etet

A

eAt

2

2

)a(

1

元の式に代入

特解

tetbaX

Xdt

dX

dt

Xd

ZYX

)(

02

11

2

2

kjix

t

t

et

etbatbatba

)a(

)()()( 332211

b

kjix

t

t

etbaZ

etbaY

)(

)(

33

22