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nguyenxuyen
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Exemplo de carregamento (teleférico):
Exemplo de carregamento (ponte pênsil):
Ponte Hercílio Luz (Florianópolis) – 821 m
Exemplo de carregamento (ponte pênsil):
Golden Gate (EUA) – 2737 m (vão central 1280 m)
Akashi-Kaikyo (Japão) – 3911 m(vão central 1980m)
Objetivos do estudo de cabos:
- Equacionar as expressões que os descrevem;
- Calcular os valores de tração máxima e mínima (e respectivas posições);
- Estimar seus comprimentos totais.
0)cos()(cos ddTTTFx
0)()sin()(sin dxxwddTTTFy
Seja um cabo sujeito a um carregamento distribuído variável w(x).
Como determinar o valor da tração T ao longo desse cabo?
Se o cabo estiver em equilíbrio estático, o elemento infinitesimal mostrado à direita, também o estará:
Expandindo a equação acima, vem:
0)sinsincos(cos)(cos dddTTT
0sinsincoscossinsincoscoscos ddTddTdTdTT
Para pequenos ângulos, tem-se que: 1cos d dd sin
0sincossincoscos ddTdTdTTT
dTdTdTdT sincos 0cossin
tan dT
dT C )ln(cosln(T) tan d
T
dT
0)cos()(cos ddTTTFx
0
C )ln(cosln(T)
Fazendo: , vem:)ln( 0TC )ln()ln(cosln(T) 0T
Então,
coslnln(T) 0T
Finalmente:
cosT 0T
O que acontece quando = 0?
A tração é mínima e vale T0 !
Expandindo a equação acima, vem:
0)()cossincos(sin)(sin dxxwdddTTT
0)(cossincossincossincossinsin dxxwddTddTdTdTT
Para pequenos ângulos, tem-se que: 1cos d dd sin
0)(cossincossinsin dxxwdTddTTdTT
0)(sincos dxxwdTTd
tan dT
dTDo desenvolvimento anterior, tem-se que:
Substituindo dT na equação anterior, vem:
0)(sintancos dxxwdTTd
0)()sin()(sin dxxwddTTTFy
0
0)(sintancos dxxwdTTd
dxxwdTdT )(sincos
sincos
dxxw
dTdT)(
cos
sincos 22
dxxwTd
)(cos
cosT 0T
Mas,
Então, dxxwd
TdxxwdT
)(cos
)(cos 202
0
dxxwdx
dyTdxxwT )( )(tan 00
0
)(''
T
xwy
A equação representa a expressão geral da forma dos cabos. 0
)(''
T
xwy
Caso particular: Se w(x) for constante (= w) Cabo parabólico
w = carga por comprimento linear
Referenciando a origem dos eixos no ponto mais baixo da parábola e integrando a equação uma vez, vem:
1
0
)(' CxT
wxy Mas, para x =0, y’=0. Logo, C1=0!!
w = carga por comprimento linear
Integrando a equação mais uma vez, vem:
2
2
02)( Cx
T
wxy Mas, para x =0, y=0. Logo, C2=0!!
Portanto, a eq. de cabos parabólicos é dada por: 2
02)( x
T
wxy
Para x = lA e y = hA, tem-se que:B
B
A
AAA
h
wl
h
wlTl
T
wh
2
2
2
22
0
2
0
Como calcular, então, o valor da tração T para qualquer ponto do cabo?Fazendo o equilíbrio de corpo rígido de uma parte do cabo, tem-se:
wxT
TT
sin
cos 0
222
2
0
22
)(sin
cos
wxT
TT
22
0
2 )(wxTT
Assim, para qualquer ponto x do cabo, a tração vale:
22
0 )()( wxTxT
Nesse caso,0min TT
22
0max )( AwlTT
onde 2
ou 2
22
0
B
B
A
A
h
wl
h
wlT
Para lA > lB!!
O comprimento da parte “positiva” do cabo é calculada por:
dxdx
dyds
2
1
onde
ou
Essa integral pode ser resolvida expandindo-a em uma série convergente, desde que hA/lA seja menor que 0.5.
OBS: O mesmo desenvolvimento pode ser feito para calcular sB. Assim,o comprimento total do cabo pode ser calculado como S = (sA + sB).
Exemplo 1: um cabo de luz suporta uma massa de 12 kg pormetro linear e está suspenso nos pontos A e B, no mesmo nível,separados a 300 m de distância. Se a flecha no meio do vão é 60m, encontrar a tração mínima, a tração máxima e ocomprimento total do cabo.
AB
Tração mínima: dada por
Sendo
mh hmLl AA 60 e 1502
AB
Como T0 é dado em unidades de força, w deverá ser convertidopara a mesma unidade.
mNs
m
m
kg
m
kgw 72,11781,91212
2
Assim kNNh
wlT
A
A 07,225,22072602
15072,117
2
22
0
2
2
0
A
A
h
wlT
Tração máxima: dada por
kNNT 27,286,28266)15072,117()5,22072( 22
max
Sendo NTmNwm LlA 5,22072 ,/72,117 ,1502 0
Como o cabo é simétrico, a tração máxima ocorre tanto em Acomo em B.
22
0max )( AwlTT
AB
Comprimento do cabo: sendo ,
podemos usar a expressão abaixo para calcular o comprimento docabo:
5,04,0150
60
A
A
l
h
msA 5,164150
60
5
2
150
60
3
21150
42
Como o cabo é simétrico, o comprimento total é igual a 2sA
msS A 3295,16422
Exemplo 2: Um cabo suporta uma carga distribuída uniforme de40kg/m e está suspenso a partir de dois pontos fixos A e B comomostrado abaixo. Calcule as trações no cabo em A e B, a traçãomínima e o comprimento total do cabo.
A
B
Respostas: T0 = 33,66kN, TA = 40,76kN, TB = 37,38kN,sA = 62,81m, sB = 42,97 m, S = 105,78m
Cabos em Catenária (linhas de transmissão)
Nesse caso, não há carregamento externo (w) atuante; apenas a massa linear m do cabo.
Cabo parabólico Catenária
dxxwdR )( dsdR m
dsdxxw m)( dxdsxw m)(
Equação geral dos cabos:0
)(''
T
xwy
Fazendo a troca de variáveis:dx
ds
Ty
0
''m
dxdx
dyds
2
1
onde ou
Então2
0
2
2
1
dx
dy
Tdx
yd m
Fazendo , vem:pdx
dy
2
0
1 pTdx
dp
mdx
Tp
dp
021
m
Integrando ambos os membros:
CxT
p 0
)(arcsinhm
Mas C = 0, pois para x = 0, dy/dx = 0
Avaliando ‘sinh’ em ambos os membros:
x
Tp
0
sinhm
pdx
dyVoltando com e integrando, vem:
x
Tdx
dy
0
sinhm
KxT
Ty
0
0 coshm
m
Para x = 0, y = 0. Logo, mm
00 0cosh0T
KKT
Portanto, a equação que descreve a forma da catenária é dada por:
1cosh)(
0
0 xT
Txy
m
m
Perceba que a forma da catenária é independente do peso próprio do cabo e do valor da tração mínima. Seja qual forem esses valores, a forma do cabo sempre será a de uma cossenoide hiperbólica.
Fazendo o equilíbrio de corpo rígido de uma parte do cabo, tem-se:
sT
TT
m
sin
cos 0
222
2
0
22
)(sin
cos
sT
TT
m
22
0
2 )( sTT m
Assim, para qualquer ponto do cabo, a tração vale:
22
0 )( sTT m
Pela figura acima, tem-se que: . Mas,0
tanT
s
dx
dy m
x
Tdx
dy
0
sinhm
Portanto,
x
T
Ts
0
0 sinhm
m
Substituindo s na equação geral, vem:
x
TTx
TTTxT
0
22
0
2
0
0
2
0 sinh1sinh)(mm
x
TTxT
0
0 cosh)(m
1cosh
0
0 xT
Ty
m
mSendo , tem-se que: 1cosh
00
y
Tx
T
mm
Finalmente, yTyT m0)( 0min TT
hTT m0max
Exemplo 3: uma linha de transmissão possui uma massa de 12kg por metro linear e está suspensa entre os dois pontos, nomesmo nível, separados de 300 m de distância. Se a flecha nomeio do vão é 60 m, encontrar a tração mínima, a tensãomáxima, e o comprimento total do cabo.
Para calcular a tração mínima, devemos usar a equação geral:
mymx 60 e 150
Como T0 é dado em unidades de força, w deverá ser convertidopara a mesma unidade.
mkNmNs
m
m
kg
m
kgw /1177,072,11781,91212
2
1cosh
0
0 xT
Ty
m
m
Para
1150
1177,0cosh
1177,060
0
0
T
T1
66,17cosh
06,7
00
TT
166,17
cosh06,7
00
TT
Para resolver a equação,
traçam-se os gráficos everifica-se o ponto ondeeles se interceptam.
Tração mínima: 23,16 kN
Tração máxima: kNhTT 22,30601177,016,230max m