Логарифмические уравненияpets.scainlain.ru/0Yagubov/ex/logarifmicheskie_uravnenija.pdf · нальные методы решения, которые не изучаются

Тишин В. И.

Логарифмические

уравнения

2002 год

2

Предисловие к книге

«Логарифмические уравнения»

Методика изложения решений логарифмических уравнений выдержана

в таком же стиле, как и решение показательных уравнений.

Примеры систематизируются по видам и методам их решения. Делается

попытка охватить все основные виды уравнений, а также показать ориги-

нальные методы решения, которые не изучаются в курсе средней школы.

Конечная задача остается прежней - помочь учащимся подготовиться к

поступлению в вузы и дать материал учителям для дополнительных занятий.

Автор

3

Содержание

I. Логарифмические тождества .............................................................................. 4

1. Логарифм .......................................................................................................... 4

2. Свойства логарифмов ...................................................................................... 5

3. Логарифмическая функция, еѐ свойства и график. ...................................... 6

II. Логарифмические уравнения ............................................................................ 7

1. Вид: простейшие логарифмические уравнения. Метод решения: по

определению логарифма. Логарифмо-показательные уравнения .................. 9

Задание 1 ......................................................................................................... 16

2. Вид: уравнения, содержащие суммы и разности логарифмов, умножение

логарифма на число. Метод решения: применение свойств логарифмов.... 16

Задание 2 ......................................................................................................... 22

3. Вид: степени логарифма. Одно основание - одно выражение под

логарифмом. Метод решение: введение новой переменной и приведение к

алгебраическим .................................................................................................. 22

4. Вид: степени логарифма. Одно основание - разные выражения под

логарифмом. Метод решение: введение новой переменной и сведение к

алгебраическим .................................................................................................. 23

5 Вид: степени логарифма. Разные основания логарифмов. Метод решение:

переход к логарифмам одного основания с использованием формулы

перехода от логарифма одного основания к логарифмам другого............... 25

6. Логарифмические уравнения с применением тригонометрии ................. 30

Задание 3 ......................................................................................................... 35

7. Показательно-логарифмические уравнения ............................................... 35

Задание 4 ......................................................................................................... 39

8. Системы уравнений ....................................................................................... 39

9. Разные уравнения........................................................................................... 41

Ответы к заданиям по теме "Логарифмические уравнения" ............................ 43

К заданию 1 ..................................................................................................... 43

К заданию 2 ..................................................................................................... 43

К заданию 3 ..................................................................................................... 43

К заданию 4 ..................................................................................................... 43

Упражнения ........................................................................................................... 44

Ответы ............................................................................................................. 44

Решения и указания ........................................................................................ 44

Литература ............................................................................................................. 45

4

I. Логарифмические тождества

1. Логарифм

Определение 1. Логарифмом положительного числа b по положительному и не равному единице основанию a на-

зывается показатель степени, в которую нужно возвести основание a, чтобы получить число b:

)0;1;0(log baabxba a

x.

Примеры:

3225log 5

2 xxx ; 525252

1log 21

25 xxxx .

Определение 2. Десятичным логарифмом называется ло-

гарифм по основанию десять:

bb 10loglg .

Примеры:

lg10 = 1;

lg100 = 2, так как 102 = 100;

1000103lg 3 xxx .

Определение 3. Основанием натуральных логарифмов на-

зывается число e, определенное замечательным пределом n

n ne

11lim

или производной

xx ee

.

Замечательное число e для математического анализа имеет такое же значение, как

число для геометрии. Основание натуральных логарифмов - число иррациональное и

равно e = 2,71...

Определение 4. Натуральным логарифмом называется ло-

гарифм по основанию натуральных логарифмов:

lnb = logeb.

Примеры:

lne = 1;

lne2 = 2.

Определение 5. Логарифм по любому допустимому осно-

ванию от этого же числа равен единице:

)1;0(1log aaaa или )1;0(log1 aaaa .

5

2. Свойства логарифмов

При любом 00 aa и любых положительных х и у выполняются следующие

свойства:

1. Логарифм единицы по основанию а равен нулю:

loga1 = 0 или 0 = loga1

2. Логарифм а по основанию а равен 1:

logaa =1 или 1 = logaa

3. Логарифм произведения равен сумме логарифмов:

loga(xy) = logaх + logaу или logaх + logaу = loga(xy).

4. Логарифм частного равен разности логарифмов:

logay

x = logaх - logaу или logaх - logaу = loga

y

x.

5. Логарифм степени равен произведению показателя

степени на логарифм основания этой степени:

xpx a

p

a loglog или p

aa xxp loglog .

для любого действительного числа р.

6. Формула перехода от одного основания логарифма к

другому основанию:

10,10,0loglog

log

log

loglog bиbaиaxx

a

xили

a

xx a

b

b

b

ba .

Следствие из формулы перехода:

ba

илиa

b a

bb

a loglog

1

log

1log .

Первое свойства логарифмов следуют из определения логарифма и свойст-

ва степени с показателем 0 и 1: а0 = 1, значит, loga1= 0; а

1 = а, значит, logaa = 1.

Докажем свойство 3. Воспользуемся основным логарифмическим тожде-

ством ( xaxa

log) и свойством показательной функции (a

х + у = а

x а

y).

Имеем yxyxyx aaaaa aaaxya

loglogloglog)(log .

Отсюда следует, что loga(xy) = logax + logay.

Докажем свойство 4. Вновь воспользуемся основным логарифмическим

тождеством

yx

y

xy

x

yx aa

a

aaaa a

a

a

y

xaayax

loglog

log

loglogloglog

.,

,

следовательно, yxy

xaaa logloglog .

Докажем свойство 5. Воспользуемся тождеством xaax

log , откуда

pxp aax

log xp aa

log (использовано свойство возведения в степень). Логарифмируя по-

лученное равенство, имеем xpx a

p

a loglog .

6

Докажем формулу перехода к другому основанию.

Воспользуемся основным логарифмическим тожеством (xaax

log ):

x

bbaax

logloglog ;

применяя свойство логарифмирования степени ( xpx a

p

a loglog ), получим

axx bab logloglog .

Разделив обе части равенства на logba, имеем xa

xa

b

b loglog

log .

3. Логарифмическая функция, еѐ свойства и график.

Определение. Логарифмической функцией называется функция вида у = logax, где

а — заданное число, а > 0, 1a .

Свойства логарифмической функции

1. Областью определения логарифмической функции являются все положитель-

ные действительные числа: );0()( yD .

Это следует из определения логарифма числа b по основанию а:

logab имеет смысл, если b > 0.

2. Множеством значений логарифмической функции являются все действи-

тельные числа: ;)(yE .

Пусть у0 — произвольное действительное число. Покажем, что найдется такое по-

ложительное значение аргумента x0, что выполняется равенство у0 = logax0. По определе-

нию логарифма числа имеем: 0, 00

0 yy

aax . Мы показали, что нашлось значение x0>0,

при котором значение логарифмической функции равно y0 (y0 — произвольное действи-

тельное число).

3. Логарифмическая функция обращается в нуль при х = 1.

Решим уравнение logaх = 0. По определению логарифма получаем: а0 = х, т. е. х=1.

4. а) Логарифмическая функция у = logaх возрастает на всей области определе-

ния, если а > 1.

Докажем, что большему значению аргумента (x2 > x1) соответствует большее значе-

ние функции (logax2 > logax1), если a > 1. Пусть x2 > x1 > 0; тогда, используя основное ло-

гарифмическое тождество, запишем это неравенство в виде

12 loglog xx aa aa . (1)

В неравенстве (1) сравниваются два значения показательной функции. Поскольку

при а > 1 показательная функция возрастает, большее значение функции может быть

только при большем значении аргумента, т. е. logax2 > logax1.

б) Логарифмическая функция у = logaх убывает на всей области определения, ес-

ли 0<а<1.

Свойство б) доказывается аналогично.

5. Логарифмическая функция у = logaх:

7

а) при а > 1 принимает положительные значения, если х > 1; отрицательные

значения, если 0 < х < 1. б) при 0 < а < 1 принимает положительные значения, если 0 < х < 1, и отрица-

тельные значения. если х > 1.

Пусть а > 1, тогда функция у = logaх возрастает на всей области определения (рис.2);

причем loga1=0.

Из этого следует, что: для х > 1, logax > loga1, т. е. logax > 0;

для 0 < х < 1, logax < loga1, т. е. logax < 0.

Пусть 0 < а < 1; тогда функция у = logaх убывает на всей области определения

(рис.2); причем loga1 = 0.

Из этого следует, что: для х > 1, logax < loga1, т. е. logax < 0;

для 0 < х < 1, logax > loga1, т. е. logax > 0.

6. Логарифмическая функция непрерывна на всей области определения.

II. Логарифмические уравнения

Определение 1. Логарифмическим уравнением (неравенством) называется

уравнение (неравенство), содержащее переменную под знаком логарифма и (или) в

основании логарифма.

Пример: 100lgloglog 255 xx .

Определение 2. Простейшим логарифмическим уравнением называется

уравнение вида bxfa )(log

Пример: 5log2 x .

Теорема. Простейшее логарифмическое уравнение решается потенцирова-

нием:

.1,0

,0)(

,)(

,1,0

,0)(

,)(log

aa

xf

axf

aa

xf

bxf b

a

Доказательство

8

Потенцируя обе части уравнения по основанию a и используя основное логарифми-

ческое тождество, получаем:

.1,0

,0)(

,)(

,1,0

,0)(

,

)(log

)(log

aa

xf

axf

aa

xf

aa

bxf

bbxf

a

a

что и требовалось доказать.

Решить уравнение 5log2 x .

Решение

Тип: простейшее логарифмическое уравнение.

Метод: потенцирование.

5

2 25log xx .

Ответ: x = 32.

Определение 2. Простейшим логарифмическим уравнением с одинако-

выми основаниями логарифмов называется уравнение вида:

)(log)(log xFxf aa ,

где a - заданное число.

Замечание. Уравнение вида )(log)(log xFxf aa не является простейшим лога-

рифмическим уравнением. Однако его можно привести к простейшему логарифмическому

уравнению:

.1,0

,0)(

,0)(

,0)(

)(log

0)(log)(log)(log)(log

aa

xF

xfxF

xf

xFxfxFxf

a

aaaa

Чтобы не делать каждый раз этого преобразования, мы в дальнейшем, уравнение ви-

да )(log)(log xFxf aa будем называть простейшим логарифмическим уравнением с

одинаковыми основаниями логарифмов. (Если говорить боле строго, такое уравнение

следует называть обобщенным простейшим логарифмическим уравнением.)

Пример: )2(loglog 2

55 xx .

Теорема. Если два логарифма с одинаковыми основаниями равны, то равны

и выражения под знаком логарифма:

.1,0

,0)(

,0)(),()(

,1,0

,0)(

,0)(

),(log)(log

aa

xF

xfxFxf

aa

xF

xf

xFxf aa

Доказательство

9

Потенцируя обе части уравнения по основанию a и используя основное тождество

логарифмов, получаем:

,1,0

,0)(

,0)(),()(

)(log)(log)(log)(log

aa

xF

xfxFxf

aaxFxfxFxf

aaaa

что и требовалось доказать.

Решить уравнение )12(log)1(log 2

22 xxx .

Решение

Это уравнение равносильно системе:

2,2,1

,1

,023

,0)1(

,1

,121

,012

,01

212

2

2

2

xxx

x

xx

x

x

xxx

xx

x

.

Ответ: x = 2.

1. Вид: простейшие логарифмические уравнения. Метод реше-ния: по определению логарифма. Логарифмо-показательные уравнения

Пример 1. Решите уравнение xx 232log 2 .

Решение

Область допустимых значений - множество всех действительных чисел, так как при

всех 032, xRx .

По определению логарифма имеем xx 2232 . Получим показательное уравнение,

которое решим методом приведения к алгебраическому.

Пусть 0,2 yyx, получим уравнение ,043,0

23 2

2

yyy

y 41 y ,

12 y . 41 y - не удовлетворяет условию 0y и является посторонним.

012 xx .

Ответ: 0x .

10

Пример 2. Решите уравнение xx 322log2 .

Решение

Область допустимых значений: ;1,122,022 xxxx .

По определению логарифма имеем xx 3222 . Получим показательное уравнение,

которое решим методом приведения к алгебраическому.

Пусть 0,2 yyx , получим уравнение ,082,02

2 23

yyy

y 21 y ,

42 y . 21 y - не удовлетворяет условию 0y и является посторонним.

242 xx , ;12 .

Ответ: 2.

Пример 3. Решите уравнение 1537log5 xx.

Решение


всех 0537, xRx .

Преобразуем уравнение: 1537log5 xx.

По определению логарифма имеем 155

137 x

x. Получим показательное уравне-

ние, которое решим методом приведения к алгебраическому.

Пусть 0,5 yyx, получим уравнение ,0375,05

137 2 yyy

y

10

1097,

10

1097,1096049,0375 21

2

yyDyy .

10

10971

y - не

удовлетворяет условию 0y и является посторонним.

10

1097log

10

10975 5xx .

Ответ:

10

1097log5 .

Пример 4. Решите уравнение xx 1532log 3 .

Решение


всех 0532, xRx .

Преобразуем уравнение: 1532log 3 xx.

11


35

3

12

x

x . Получим показательное уравне-

ние, которое решим методом приведения к алгебраическому.

Пусть 0,3 yyx , получим уравнение ,0615,03

51

2 2 yyy

y

2

24915,

2

24915,24924225,0615 21

2

yyDyy .

2

249151

y - не

удовлетворяет условию 0y и является посторонним.

2

24915log

2

249153 3xx .

Ответ:

2

24915log3 .

Пример 5. Решить уравнение 12434log 1

3 xx.

Решение

Область допустимых значений - множество всех действительных чисел: Rx , так

как 0434 1 x при Rx .

По определению логарифма получаем:

012343043

34

3

34343

22

112 xxxx

xx.

Пусть 0,3 yyx, получим систему:

66,2

0

0124

0

21

2

y

yy

y

yy

y.

6log63 3 xx.

Ответ: 6log 3 .

Пример 6. Решить уравнение xx 283log 3 .

Решение

Область допустимых значений 2log38log83083 33 xxxx или

;2log3 3x .


938332

x

xxx .

Пусть 0,3 yyx, получим систему:

99,1

0

098

0

09

8

0

21

2

yyy

y

yy

y

yy

y

.

;2log32;293 3xx.

Ответ: 2.

12

Пример 7. Решить уравнение 12lg5lg6lg xxx .

Решение

Область допустимых значений: Rxx ,012 .

Преобразуем уравнение: 12lg15lg6lg12lg5lg6lg xx xxx

12lg2lg6lg12lg2lg6lg12lg5lg10lg6lg xxxx xx

02

612

2

61212lg

2

6lg

x

x

x

xx

x.

Пусть 0,2 yyx , тогда получим систему:

22,3

0

06

0

06

1

0

21

2

yyy

y

yy

y

yy

y

, 122 xx .

Ответ: 1.

Определение 2. Простейшим логарифмическим уравнением с переменным

основанием логарифма называется уравнение вида:

bxfxg )(log )( ,

где g(x) - параметр или функция переменной x.

Пример: 2)65(log 2

)3( xxx.

Определение 3. Простейшим логарифмическим уравнением с одинаковыми

переменными основаниями логарифмов называется уравнение вида:

)(log)(log )()( xFxf xgxg ,

где g(x) - параметр или функция переменной x.

Замечание. Уравнение вида )(log)(log )()( xFxf xgxg не является простейшим

логарифмическим уравнением. Однако его можно привести к простейшему логарифмиче-

скому уравнению:

.1)(,0)(

,0)(

,0)(

,0)(

)(log

0)(log)(log)(log)(log

)(

)()()()(

xgxg

xF

xfxF

xf

xFxfxFxf

xg

xgxgxgxg

Чтобы не делать каждый раз этого преобразования мы в дальнейшем уравнение вида

)(log)(log )()( xFxf xgxg будем называть простейшим логарифмическим уравнением с

одинаковыми основаниями логарифмов.

Пример 8. Решите уравнение 432log 24 xxxx .

Решение

Область допустимых значений:

.1,0

,03224

xx

xxx

13

По определению логарифма имеем 424 32 xxxx , 0322 xx , 11 x ,

32 x .

Проверим, входят ли полученные значения в область допустимых значений.

При 11 x , получим

11,01

,03211 система не выполняется, значит, 11 x не

является корнем уравнения.


,13,03

,081

,13,03

,036981 система выполняется, значит,

32 x является корнем уравнения.

Ответ: 3.

Пример 9. Решите уравнение 342log 23

1 xxxx .

Решение


.2,1

,042 23

xx

xxx

По определению логарифма имеем:

323 )1(42 xxxx , 032,13342 22323 xxxxxxxx , 11 x ,

32 x .

Проверим, входят ли полученные значения в область допустимых значений.


21,11

,04121 система не выполняется, значит, 11 x не

является корнем уравнения.


,23,13

,07

,23,13

,0431827 система выполняется, зна-

чит, 32 x является корнем уравнения.

Ответ: 3.

Пример 10. Решите уравнение 03log12log 1

2

1

1

xxx x

x

.

Решение


);0()0;1(

,0

,1

,3

,0)1(

,11

,01

,03

,012 22

x

x

x

x

x

x

x

xx

.

Преобразуем уравнение:

14

1log)1(log3log,03log)1(log

)1(log1

2

1111

1

2

1xxxx

x

x xxxx

x

02123)1(log1log)3(log 222

111 xxxxxxx xxx .

1,2 21 xx

21 x не входит в область допустимых значений и является посторонним корнем.

12 x - входит в область допустимых значений

Ответ: 1.

Пример 11. Решите уравнение 2)15(log2

1 x .

Решение


;

5

1,

5

1,015 xx .

По определению логарифма, имеем: 1,55,215,152

1 2

2

xxxx .

x = 1 входит в область допустимых значений,

;

5

11 .

Ответ: 1.

Пример 12. Решите уравнение 2

1logloglog 234 x .

Решение


1logloglog

1loglog

0

,0loglog

,0log

,0

323

22

23

2

x

x

x

x

x

x

;22

,2

,1

,0

,2loglog

,1

,0

,1log

,1

,0

222

xx

x

x

x

x

x

x

x

x

x

.

По определению логарифма, имеем: 9log,2loglog,4loglog 2232

1

23 xxx , 92x . 92x входит в область допустимых значений, ;029

.

Ответ: 92 .

Пример 13. Решите уравнение 3)56(log 2 xxx .

Решение


;11;0

.2,1

,1,0

,065

,1,0

,0)65(

,1,0

,056

,1,02

xx

xx

x

xx

xx

xx

xx

xx

15

Рис. 1

По определению логарифма, имеем:

6,1,0,0)65(,65 321

223 xxxxxxxxx .

1,0 21 xx не входит в область допустимых значений и являются посторонними

корнями. Остается один корень: 6x .

Проверим значение x = 1, при котором основание обращается в 1, получим:

311log1 - равенство не выполняется. x = 1 не удовлетворяет уравнению.

Ответ: 6.


2log

4

12

x

xx .

Решение


,012

,1,2

1

,012

2

,112,0124

x

xx

x

x

xx

.2

1

,1,2

1

x

xx

Рис. 2

Получим объединение промежутков:

;11;

2

1 .

По определению логарифма, имеем:

.3,3

,1,1

,3

,1034,12

12

2

43

21

2

2

244

xx

xx

x

xxxx

x

x.

3,1,1 321 xxx не входит в область допустимых значений и являются по-

сторонними корнями. Остается один корень: 3x .

Ответ: 3 .

16

Задание 1

Решите уравнение

15. 4)3(log2 x . 16 xx 363log 3 .

17. xx 232log2 . 18. 253log 5 xx .

19. xx 213log 1

3 . 20. 3254log 23

1 xxxx .

21. 0lglglg x . 22. 3)34(log 2 xxx .

23. 225261log 2

5 xx. 24. xx 329log 2 .

25. 12lg194lg2lg 22 xx .

2. Вид: уравнения, содержащие суммы и разности логарифмов, умножение логарифма на число. Метод решения: применение свойств логарифмов.

Для решения уравнений вида:

)(log)(log)(log xuxgxf aaa , (1)

)(log)(log)(log xuxgxf aaa , (2)

)(log)(log xuxfp aa , (3)

используются формулы

logaх + logaу = loga(xy), (4)

logaх - logaу = logay

x,. (5)

p

aa xxp loglog , (6)

которые приводят уравнения к следующим:

)(log)()(log xuxgxf aa , (7)

)(log)(

)(log xu

xg

xfaa

, (8)

)(log)(log xuxf a

p

a . (9)

Дальнейшее решение полученных уравнений выполняется как простейших, т. е.

приводятся к одной из следующих трех систем:

).()()(

,0)(

,0)(

,0)(

xuxgxf

xu

xg

xf

(10)

).()(

)(

,0)(

,0)(

,0)(

xuxg

xf

xu

xg

xf

(11)

17

).()(

,0)(

,0)(

,0)(

xuxf

xu

xg

xf

p

(12)

Замечание. Если при решении уравнения с помощью формул (4) - (6) произво-

дятся преобразования вида p

aaa xfxg

xfxgxf )(log,

)(

)(log,)()(log , где p - четное число,

то возникает опасность потери корней заданного уравнения. Чтобы предотвратить воз-

можную потерю корней, надо пользоваться указанными формулами в таком виде:

)(log)(log)(

)(log,)(log)(log)()(log xgxf

xg

xfxgxfxgxf aaaaaa ,

)(log)(log xfpxf a

p

a , где p - четное число.

Пример 26. Решите уравнение 02)3(100lg76lg 2 xxx .

Решение


.3

,0)23()23(

,0)3(100

,0762

x

xx

x

xx

Рис. 4

Получим промежуток ;23 .

Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов:

02)3lg(276lg,02)3lg(100lg76lg 22 xxxxxx ,

5,2,0107,376),3lg(76lg 21

222 xxxxxxxxxx .

21 x - не входит в область допустимых значений и является посторонним корнем.

Ответ: 5.

Пример 27. Решите уравнение: 169log934log 22 xx

Решение


634

93

,069

,0934

2x

x

x

x

18

Показательная и логарифмическая функции с основанием 3 являются возрастающи-

ми, тогда получим:

6log24

9log

3

3

x

x6log

6log4

9log

6log2

14

9log

3

3

3

3

3

x

x

x

x

x

;6log3x .


,69log2log934log,69log1934log 22222 xxxx

,01232934,692934,692log934log 2

22 xxxxxx

.033432 2 xx

Положим 0,3 yyx , получим систему:

2

102

2

102,

2

102

0

0342

,0

21

2

y

yy

y

yy

y.

2

102log,

2

1023 3

xx

- этот корень входит в область допустимых значений.

Проверка

При 2

102log 3

x уравнение примет вид :

,162

102log91024log

,169log934log

2

22

2

102log

22

102log

2

33

,12

5102log5102log,16

4

101044log5102log 2222

11,12log,1

5102

51022log,1

2

5102:5102log 222

, значит,

2

102log 3

x удовлетворяет уравнению.

Ответ: 2

102log 3

x .

19

Пример 28. Решите уравнение 01log)2(log)2(log 333 xxx .

Решение

Область допустимых значений: 20

.2

,2

,0

,2

,2

,0

,02

,02

,0

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

.

Получим промежуток 2;0 .


2

333333 2log3log2log,log)2(log1)2(log xxxxxx

1,60652362log36log 21

222

33 xxxxxxxxxx .

61 x - не входит в область допустимых значений 2;06 и является посто-

ронним корнем; 2;01 .

Ответ: 1.

Пример 29. Решите уравнение 50lg)2lg(2

12)23lg( xx .

Решение


2

,2

,3

2

,02

,023

x

x

x

x

x.

Получим промежуток

;

3

2.


,2500lg10000lg)2lg()23lg(,50lg2)2lg(4)23lg(2 2 xxxx

),2(10000lg232500lg,10000lg)2lg(2500lg23lg22

xxxx

844129)2(10000232500 22xxxxx

2,9

204169 21

2 xxxx .

9

21 x - не входит в область допустимых значений

;

3

2

9

2и является посто-

ронним корнем;

;

3

22 .

Ответ: 2.

Пример 30. Решите уравнение 2)6lg()125lg( 2 xx .

Решение


.6

,0)55)(55(

,06

,01252

x

xx

x

x

Получим промежуток ;55 .


20

0475100,600100125),6lg(100lg125lg 222 xxxxxx ,

95,5,952

90100,5

2

901002121

xxxx .

51 x - не входит в область допустимых значений ;555 и является посторон-

ним корнем; ;5595 .

Ответ: 95.

Пример 31. Решите уравнение

4log1

1lg2)1lg(22)33lg(

2

12

2

x

xxx .

Решение


.1

,02

213

2

213

,01

,0332

x

xx

x

xx

Получим промежуток

;

2

213.


4log)1lg(2)1lg(24log)33lg(2

122

2 xxxx ,

043,133,0)33lg(,0)33lg(2

1 2222 xxxxxxxx ,

1,4 21 xx .


Ответ: 1.

Пример 32. Решите уравнение 18,0lg21lg45lg xx .

Решение


;8,08,0

,1

,8,0

,01

,045илиx

x

x

x

x.


,18)1)(45(,18lg2)1lg()45lg(,18lg)1lg(2

1)45lg(

2

1 2 xxxxxx

8,2,810

811,816561,656165601,03285 21

2

xxDxx .

2,81 x - не входит в область допустимых значений ;8,02,8 и является по-

сторонним корнем; ;558 .

Ответ: 8.

21

Пример 33. Решите уравнение 2lg)36lg(5,09055lg 2 xxx .

Решение


.36

,090552

x

xx


)722lg()9055lg(,)722lg(2

1)9055lg(

2

1 22 xxxxxx ,

54,32

5157,512601,26016483249,016257 21

2

xxDxx .


Ответ: 54.

Пример 34. Решите уравнение 8lg)5lg(2lg7lg xx .

Решение

Область допустимых значений: 5,5

,7

,05

,07

x

x

x

x

x или );5( x .


16

)5(7,2lg4)5lg(2)7lg(,2lg2)5lg()7lg(

2

1 2

xxxxxx ,

321024,08726,251011216 22 Dxxxxx ,

29,32

322621

xx .


Ответ: 29.

Пример 35. Решите уравнение 2log23log12loglog2 33

2

33 xxx .

Решение

Область допустимых значений: );1()1;0(,1

,0

,0)1(

,02

x

x

x

x.


12log|1|log,4log3log)1(loglog 3333

2

3

2

3 xxxx , 12|1| xx .

Это уравнение равносильно совокупности двух систем:

(1)

,012

,10

,12)1(

,102 xx

x

xx

x решений нет.

22

(2)

4

4

3

,1

,012

,1

,121

,1

2

12

x

x

x

x

xx

x

xx

x.

Ответ: 4.

Задание 2


36. 1)1(loglog 22 xx . 37. 112log52log42log 555 xxx.

38. 3

2

2 10lg)3(

1lg)3lg(23)77lg(

2

1

xxxx .

39. 4log8lg)12lg(2

1lglg 2 xx . 40 38lg231lg xx .

3. Вид: степени логарифма. Одно основание - одно выражение под логарифмом. Метод решение: введение новой переменной и приведение к алгебраическим

Пример 41. Решите уравнение xx 7log

2 746log .

Решение

Найдем область допустимых значений из системы неравенств:

6log0,0

,6log

,0

,64

,0

,64

,0

,0464

4

x

x

x

xxx

xxx

.

Преобразуем уравнение: xxxx 46log,746log 2

log

27 .

По определению логарифма будем иметь: 0624,462 xxxx.

Пусть 0,2 yyx, тогда получим квадратное уравнение:

2,3,06 21

2 yyyy .

Первый корень, 31 y не удовлетворяет условию y > 0 и является посторонним.

1,22 xx.

x = 1 - входит в область допустимых значений.

Проверка

При x = 1 уравнение примет вид: 1log1

27746log , 11,72log 0

2 , значит,

1x является корнем уравнения.

Ответ: 1.

23

Пример 42. Решите уравнение 09,0lglg1,0 24 xx .

Решение

Область допустимых значений: x > 0.

Пусть 0,lg 2 yyx , получим уравнение 0910,09,01,0 22 yyyy ,

9,1 21 yy . 10,1lg;1,0,1lg,1lg 21

2 xxxxx ;

1000,3lg;001,0,3lg,9lg 43

2 xxxxx .

Ответ: 0,001; 0,1; 10; 1000.

Пример 43. Решите уравнение 3loglog9log2

1 2

333 xx .

Решение


Преобразуем уравнение: 02loglog,3loglog22

13

2

3

2

33 xxxx .

Пусть yx 3log , получим уравнение 2,1,02 21

2 yyyy .

9,2log;3

1,1log 2313 xxxx .

Ответ: 9;3

1.

4. Вид: степени логарифма. Одно основание - разные выраже-ния под логарифмом. Метод решение: введение новой перемен-ной и сведение к алгебраическим


2

2

2 log23log xx .

Решение


Преобразуем уравнение: 03log4log 2

2

2 xx .

Пусть yx 2log , получим уравнение 3,1,034 21

2 yyyy .

8,3log,2,1log 2212 xxxx .

Ответ: 2; 8.

24

Пример 45. Решите уравнение 13lglglg 222 xx .

Решение


Преобразуем уравнение: 013lglg2lg 22 xx .

Пусть yx lg , получим уравнение

3lg443lg44,013lg2 2222 Dyy , 30lg,3

10lg3lg1 21 yy .

30,30lglg,3

10,

3

10lglg 21 xxxx .

Ответ: 3

10; 30.

Пример 46. Решите уравнение 01lg20lg 32 xx .

Решение


Преобразуем уравнение: 01lg10lg9,01lg2

120lg 223 xxxx .

Пусть yx lg , получим уравнение

6436100,01109 2 Dyy , 1,9

1

18

81021

yy .

10,1lg,10,9

1lg 2

9

1

1 xxxx .

Ответ: 9

1

10 ; 10.

Пример 47. Решите уравнение x

xxx 2log5

2

6

2

3

2 logloglog .

Решение



06log5loglog,0loglog5log6log 2

2

22222

3

2 xxxxxxx .

06log5log;1,0log 2

2

212 xxxx .

Пусть yx 2log , получим уравнение

0652 yy , 3,2 21 yy . 8,3log,4,2log 3222 xxxx .

Ответ: 1; 4; 8.

25

5 Вид: степени логарифма. Разные основания логарифмов. Ме-тод решение: переход к логарифмам одного основания с ис-пользованием формулы перехода от логарифма одного осно-вания к логарифмам другого

Пример 48. Решите уравнение 5,5logloglog 2793 xxx .

Решение


Перейдем в каждом логарифме к основанию 3, применяя формулу перехода:

,11

65,5log,5,5

6

11log,5,5

3

1

2

11log,5,5

27log

log

9log

loglog 333

3

3

3

33

xxx

xxx

27,3log 3 xx .

Ответ: 27.

Пример 49. Решить уравнение 2log8loglog5 2

9

3

9

9

2 xxxx

x

x .

Решение


.3

1

,9

,0

,9

1

,9

,0

,19

,19

,0

22 x

x

x

x

x

x

x

x

x

Преобразуем уравнение. Перейдем к логарифмам по основанию 9, получим:

2log9log

log8

log9log

log

9loglog

log5

2

99

2

9

99

3

9

99

9

x

x

x

x

x

x

2log21

log16

log1

log3

1log

log5

9

9

9

9

9

9

x

x

x

x

x

x.

Пусть yx 9log , тогда получим уравнение

221

16

1

3

1

5

y

y

y

y

y

y

224161642221

16

1

22

21

16

1

3

1

5 222

yyyyyyy

y

y

y

y

y

y

y

y

y,

2

1,

4

1,43236,0168021216 21

22 yyDyyyy .

32

1log;3

4

1log 2919 xxxx . Оба корня входят в область допустимых

значений и являются решениями уравнения.

Ответ: 3 ; 3.

26

Пример 50. Решите уравнение xx xx 93 loglog .

Решение


.9

1

,3

1,0

,19

,13

,0

x

x

x

x

x

x

.

Пусть 1x . Перейдем в каждом логарифме к основанию x, получим:

13log

1

13log

1,

log9log

1

log3log

1,

9log

log

3log

log2

xxxxxxx

x

x

x

xxx

x

x

x,

31,3,03log,13log13log2 0 xxxx , корней нет.

При x = 1 получим 00,1log1log 93 , значит x = 1 - корень уравнения.

Ответ: 1.

Пример 51. Решите уравнение 9log1log3 xx .

Решение

Область допустимых значений: );1()1;0(,1

,0

x

x.

Перейдем в логарифме 9log x к основанию 3, получим: xx

x

33

3

log

2

log

9log9log .

Уравнение примет вид: x

x3

3log

21log . Пусть yx 3log , получим уравнение:

2,1,02,2

1 21

2 yyyyy

y . 9,2log,3

1,1log 2313 xxxx .

При x = 1 получим 9log10,9log11log 113 , значит, x = 1 не является корнем

уравнения.

Ответ: 3

1; 9.


1loglog)16(loglog

2

3

1

2

1

2

32

x

x .

Решение


,116

1

,116

,0)4)(4(

,1log16

1log

,1log)16(log

,0)4)(4(

,016

1log

,0)16(log

,016

2

2

3

12

3

1

3

2

3

2

3

1

2

3

2

x

x

xx

x

x

xx

x

x

x

27

,017

,0)17)(17(

,0)4)(4(

,016

161

,0)17)(17(

,0)4)(4(

,0116

1

,0)17)(17(

,0)4)(4(

2

2

2

2x

xx

xx

x

x

xx

xx

x

xx

xx

.0)17)(17(

,0)4)(4(

,017

,0)17)(17(

,0)4)(4(

2xx

xx

x

xx

xx

Рис. 5

Получаем область допустимых значений: ;1717; x .

Преобразуем уравнение. Перейдем во втором логарифме к основанию 3, получим:

2)16(loglog)16(loglog2

3

1log

)16(loglog)16(loglog 2

3

2

1

2

32

3

12

3

2

1

2

32 xxx

x

перейдем во втором логарифме к логарифмам по основанию 2, получим

2)16(loglog)16(loglog2

2

1log

)16(loglog)16(loglog 2

32

2

32

2

2

322

32

xxx

x ,

9162)16(log1)16(loglog2)16(loglog2 22

3

2

32

2

32 xxxx

5,525 21

2 xxx .

Оба корня входят в область допустимых значений:

;1717;5;1717;5 и .

Ответ: -5; 5.


3

13 13

log log .

x x

Решение

Выражение, находящееся в основании логарифмической функции, должно быть по-

ложительным x 0, кроме того, необходимо проверить, может ли x принимать значение,

равное 1.

28

При x 1 получаем 14

3

1

13 13 1

log log , тогда логарифм по основанию 1

становится неопределенным log ,1 3 значит x 1.

Получим систему неравенств

4

3

10

0 1

4 3

30

0 1

4 3 0

0 1

3

4

0 1

3

41 1

x

x x

x

x

x x

x

x x

x

x x

,

, ,

,

, ,

,

, ,

,

, ,

; ( ; ).

Преобразуем уравнение

14

3

1 1

33

log

log;

x x

log log log ;3 3 334

3

1

x

x log log ;3 334

3

1

x

x

43

x

x ; x x2 4 3 0 ; x1 3 , x 2 1 .

x 2 1 - не входит в область допустимых значений и не является корнем уравнения,

x1 3 входит в область допустимых значений.

Ответ: 3.

Пример 54. Решите уравнение log ( ) log .x x x125 125

2

Решение

Область допустимых значений переменной. Переменная под знаком логарифма

должна быть положительной x > 0 (область определения логарифмической функции мно-

жество положительных действительных чисел).

В данном уравнении переменная находится в основании логарифма, значит необхо-

димо установить, будет ли являться решением уравнения значение x = 1.

При x = 1 получим: log log , ,1 25

2125 1 1 0 1 значит x 1.

Окончательно находим область допустимых значений переменной для данного

уравнения: M x x 0 1 1; ; .


log log log , loglog

log,

log

log,x x xx x

x

x

x125 1 3 5 1

251

3

4125

2 5

5

2

5

5

2

3

4

1

41 0 3 4 05 5

2

5

2

5 log log , log log .x x x x Положим log ,5 x z тогда по-

лучим:

z z z z x x2

1 2 5 1

43 4 0 4 1 4 51

625 , , ; log , ; log ,5 1x x 2 5 .

Проверка

При x11

625 получим: log log , log log ,1

625

25

2

1

5

25

2 2125

625

1

6251

1

525 14

1

44 1 1 1 , , значит, x1

1

625 - корень уравнения.

29

При x 2 5 получим: log log , , ,5

4

25

25 5 1 41

41 1 1 значит x 2 5 является кор-

нем уравнения.

Ответ: 625

1, 5.

Пример 55. Решите уравнение xx1

1

3

3

2 1

100

lg

.

Решение

Область допустимых значений: x > 0. Так как x находится в основании степени, то

необходимо рассмотреть отдельно случай, когда x = 1.

При x = 1 получим: 33

1lg3

11

100

11,

100

11

, значит, ,1x тогда областью допус-

тимых значений переменной будет являться множество: .;11;0

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:

,03

2lg

3

2lg,

3

2lglg

3

11,

100

1lglg 22

3

lg3

11 2

xxxxxx

.02lg3lg2 2 xx Пусть ,lg yx тогда получим: ,0232 2 yy ,2

11 y

,22 y ,2

1lg x .100,2lg;

10

110 2

2

1

1

xxx Оба корня входят в область допус-

тимых значений.

Проверка

При 10

11 x получим:

3

3

4

3

10

1lg

3

11

100

1

10

1,

100

1

10

1

, значит, 10

11 x

удовлетворяет уравнению.333

3

2100

1

100

1,

100

1

10

1 .

При x2 = 100 получим: 333

3

1

3

100lg3

11

100

1

100

1,

100

1100,

100

1100

2

, значит,

x2=100 удовлетворяет уравнению и является его корнем.

Ответ: 10

1, 100.

30

Пример 56. Решите уравнение lg lg .21

415

4x x

Решение

Область допустимых значений: );();(,

,

,

,

15150

15

0

015

02

x

x

x

x.

Преобразуем уравнение: ||,)(lglg 152152 4 4 xxxx .

Полученное уравнение равносильно совокупности двух систем:

(1) 55

15

152

015

x

x

x

xx

x

,

,

,

, и (2)

,

,

,

,

15

15

152

015

x

x

xx

x - эта система кор-

ней не имеет.

Ответ: 5.

6. Логарифмические уравнения с применением тригонометрии


)2cos(log)3coscos(log 22 66xxx

xxxx

.

Решение

Найдем область допустимых значений:

,02cos

,03coscos

016,0)6(

,02cos

,03coscos

16,06 222

x

xx

xxxx

x

xx

xxxx

,4

3

4

,22

22

,223,223

,60

,02cos

,0cos

,223,223

,60

,02cos

,0)cos(2cos2

,016

,0)6(2

nxn

nxn

xx

x

x

x

xx

x

x

xx

xx

xx

Рис. 6

31

Решением системы неравенств является объединение промежутков:

24

x и

4

7

2

3 x , или

4

7;

2

3

2;

4

.

По свойству логарифмической функции, получим: ,2cos3coscos xxx

0)1cos2(2cos,02cos)cos(2cos2,2cos3coscos xxxxxxxx .

Поскольку 02cos x , что следует из области допустимых значений, значит,

Znnxxx ,23

,2

1cos,01cos2

.

Найдем значения x, входящие в область допустимых значений, т. е. в промежутки

24

x и

4

7

2

3 x .

Для этого разобьем полученное множество корней на две группы с и найдем значе-

ния n, при которых x, входят в указанные промежутки.

Из ZnnxZnnxполучаемZnnx ,23

,,23

;,23

.

Для первой группы корней и первого промежутка, находим:

12

1

24

1,

62

12,

322

34,

22

34 nnnn

, n = 0, значит

31

x . Для первой группы корней и второго промежутка, находим:

24

17

12

7,

12

172

6

7,

34

72

32

3,

4

72

32

3 nnnn

, целых

значений для n нет, значит, на этом промежутке нет корней из первой группы.

Для второй группы корней и первого промежутка:

12

5

24

7,

6

52

12

7,

322

34,

22

34 nnnn

, здесь также

целых значений n нет, значит, корней нет.

Для второй группы корней и второго промежутка:

24

25

12

11,

12

252

6

11,

34

72

32

3,

4

72

32

3 nnnn

- это

неравенство выполняется только для одного целого значения n = 1, получаем еще один

корень

3

52

32 x .

Ответ: 3

,

3

5.


xxxxxxx

2coslog)sin3(sinlog149149 22

.

Решение

Найдем область допустимых значений:

,02cos

,02

3cos

2

3sin2

2

219,

2

219

,0)7)(2(

,02cos

,0sin3sin

,0159

,0149

,02cos

,0sin3sin

,1149

,0149

212

2

2

2

x

xxxx

xx

xx

x

xx

xx

xx

x

xx

xx

xx

32

,02cos

,0sin2

219,

2

219

,0)7)(2(

,02cos

,02cossin22

219,

2

219

,0)7)(2(

2121

x

x

xx

xx

x

xx

xx

xx

,,44

,,22

,2

219,

2

219

,0)7)(2(

21

Znnxn

Znnxn

xx

xx

Рис. 7

Областью значений будет являться объединение промежутков:

72

219,

2

2192,

4

3

xxx

или

7;

2

219

2

219;2;

4

3

.

По свойству логарифмической функции получим:

0)1sin2(2cos,02cos2cossin2,2cossin3sin xxxxxxxx .

Из области допустимых значений известно, что 02cos x , тогда получим:

Zkkxxx k ,6

)1(,2

1sin,01sin2

.

Эту запись можно представить в виде двух множеств корней:

ZnnxZnnx ,26

5,,2

6

.

Остается определить, при каких целых значениях n корни будут входить в проме-

жутки из области допустимых значений:

72

219,

2

2192,

4

3

xxx

.

33

Исследуем первую группу корней Znnx ,26

.

На первом промежутке: 12

5

24

7,2

64

3 nn

.

Целых значений n на этом промежутке нет.

На втором промежутке: 12

1

4

219

12

11,

2

2192

62

nn .

Целых значений нет и на этом промежутке.

На третьем промежутке: 12

1

2

7

12

1

4

219,72

62

219

nn ,

03,199,0 n .

Получаем одно целое значение n = 1. Тогда,

6

132

6x .

Исследуем вторую группу корней Znnx ,26

5

.

На первом промежутке: 12

1

24

1,2

6

5

4

3 nn

, получаем одно целое зна-

чение n = 0. 6

5x .

На втором промежутке: 12

5

4

219

12

7,

2

2192

6

52

nn - целых зна-

чений n на этом промежутке нет.

На третьем промежутке:

697,0664,0,12

5

2

7

12

5

4

219,72

6

5

2

219

nnn

.

Целых значений n нет.

Ответ: 6

5,

6

13.


xxxxxxx

2sinlog)sin3(sinlog66 22

.

Решение


,02sin

,0cos2sin2

,016

,0)6(

,02sin

,02

3cos

2

3sin2

,016

,0)6(

,02sin

,0sin3sin

,16

,0622

2

2

x

xx

xx

xx

x

xxxx

xx

xx

x

xx

xx

xx

34

,,2

,,22

22

,223,223

,0)6(

21

Znnxn

Znnxn

xx

xx

Рис. 8

Областью допустимых значений является объединение промежутков:

2

3223,2236

xx или

2

3;223223;6

.

По свойству логарифмической функции получаем: xxx 2sinsin3sin ,

0)1cos2(2sin,02sincos2sin2,02sin2

3cos

2

3sin2

xxxxxx

xxxx.

Из области допустимых значений известно, что 02sin x , значит,

,01cos2 x nxnxилиZnnxx

23

,23

;,23

,2

1cos .

Установим, какие значения из первой группы корней Znnx ,23

входят в

промежутки из области допустимых значений.

Рассмотрим первый промежуток 2236 x

094,112,1,2

223

6

1

6

13,2232

36

nnn

- целых

значений n не принимает.

На втором промежутке ,12

11

6

1

2

223,

2

32

3223

nn

92,0094,1 n - целых значений n нет.

Установим, какие значения из второй группы корней Znnx ,23

входят в

промежутки из области допустимых значений.

На первом промежутке:

35

76,079,0,2

223

6

1

6

13,2232

36

nnn

- целых

значений n нет.

На втором промежутке:

58,076,0,12

7

6

1

2

223,

2

32

3223

nnn

- на этом

промежутке, также нет целых значений n.

Значит, ни при каких целых значениях n не найдутся значения x, которые удовле-

творяют области допустимых значений.

Ответ: корней нет.

Задание 3


60. .11logloglog 248 xxx 61. log log .2 53

1 2 1

x x

62. log log .x x2 16 64 32 63. )82(log)32(log)72(log1 333 xxx

.

64. 52log1224log 1

2

1

2 xxx.

65. 1

62

1

33 52 1

8

log ( ) log .x x

66. xxxxxxx

2sinlog)3sinsin(log 22 77 .

7. Показательно-логарифмические уравнения


)125(log)3(log2

4

6

1

2

16

xxx

Решение


0125

032

x

x

x

xx

x или

;3x .

Применим основное логарифмическое тождество. Для этого преобразуем уравнение:

2

)125(log1

)3(log

4log

)125(log16

1log

)3(log

22

6

2

22

6

6

2626xxxxx

x

2

1

212

1

125(log1)3(log)125()3(26

226 xxxxxx

3125961253 222 xxxxxxxx , ;33 .

Ответ: 3.

36

Пример 68. Решить уравнение )1(log)1(log 25

225 9439

xx.

Решение

Область допустимых значений: x + 1 > 0x > -1, ;1x .


0394903949)1(log2)1(log)1(log)1(log2 25252525

xxxx .

Пусть 0,9)1(log25

yy

x, получим систему:

3,13,1

0

034

021

21

2

yy

yy

y

yy

y.

Получим совокупность уравнений:

.4

,0

51

11

2

1)1(log

0)1(log

39

19

2

1

25

25

)1(log

)1(log

25

25

x

x

x

x

x

x

x

x

.;14

,;10

Ответ: 0; 4.

Пример 69. Решить уравнение )1(log32log 44 2

xxx .

Решение

Область допустимых значений ;0,0 xx .

Так как переменная находится в основании степени, то надо проверить значение x=1.

При этом значении, получим: 3)11(log321log2121 44

, значит 1x .

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 4, получим:

1log2log3log)2(log2loglog 4444

)1(log3

4

2log

444 xxxx

xx

03log3log4log201log2

3log2log 44

2

444

2

4 xxxxxx

03log7log2 4

2

4 xx .

Пусть yx 4log , получим 3,2

10372 21

2 yyyy .

.;064

,;02

64

2

3log2

1log

2

1

4

4

x

x

x

x

Ответ: 2; 64.

Пример 70. Решить уравнение xxx

xx 33123 log3log1log

.

Решение

Область допустимых значений: x > 0. Проверим x = 1, получим:

111111 311log31log11log331

23

, значит x = 1 является корнем уравнения.


37

xxxxxxxx

xx

333

2

33

log3

33

1log

log1log

3 log3log1logloglogloglog 33

323

0log3log1logloglog 333

2

33 xxxxx

04loglog0log31logloglog 2

3333

2

33 xxxxxx

.9

1

,9

,1

2log

2log

0log

3

3

3

x

x

x

x

x

x

Все три значения переменной входят в область допустимых

значений и являются корнями уравнения.

Ответ: 9;1;9

1.

Пример 71. Решить уравнение 2log2)1(log 33 5224

xxx .

Решение


,2

131,

2

131

,02

111

2

1112

,1

1522

0522

01

21

2

2

xx

xx

x

xx

xx

x

2

111;

2

131

2

131; x .


)522(log2log)1(log2log522log4log 2

333

2

3

2log2

3

)1(log

3

33 xxxxxx

)522(log)1(log)522(log2log)1(log2log2 2

3

2

3

2

3333 xxxxxx

06452221522)1( 22222 xxxxxxxxx

102,102 21 xx .

1021 x входит в область допустимых значений и является корнем уравнения,

1022 x не входит в область допустимых значений.

Ответ: 102 .

Пример 72. Решить уравнение 3lg2 10

2

xx x .

Решение

Область допустимых значений: x > 0. При x = 1, 101101 1lg2 2

, значит 1x .


38

01lg3lg2lg310lglglg210lglg 323lg2 2

xxxxxxx x .

Пусть lgx = y, получим 0132 3 yy . При y = -1 получим -2 + 3 -1 = 0, 0 = 0, зна-

чит y = -1 является корнем уравнения.

По теореме Безу, многочлен 132 3 yy делится на y + 1, получим:

132 3 yy y + 1

0

1

1

22

32

12222

2

2

223

y

y

yy

yy

yyyy

Уравнение примет вид: 0122,101221 2

1

2 yyyyyy ,

2

131,

2

13132

yy .

.10

,10

,1,0

,2

131lg

,2

131lg

,1lg

2

131

2

131

x

x

x

x

x

x

Ответ: 2

131

2

131

10;10;1,0

.

Пример 73. Решить уравнение 5lglg 4525 xx .

Решение

Область допустимых значений: x > 0. При x = 1, получим 9114525 5lg0 ,

значит 1x , тогда область допустимых значений будет ;11;0 x .

Преобразуем уравнение 0545 5lg2lg xx .

Докажем, что 5lglg5 xx . Положим vxux 5lglg ,5 . Прологарифмируем каждое из

равенств по основанию 10, получим:

xxx vuvxuxvxu lg5lglg5lg5lglg 10,10lglg5lg,lglg5lglglg,lg5lg 5lglg5 xvu x .

Подставим в уравнение вместо xx lg5lg 5 , получим уравнение:

05545 lg2lg xx . Пусть 0,5lg yyx, получим систему:

55,1

0

054

0

21

2

y

yy

y

yy

y.

;11;010,101lg55lg xxx.

Ответ: 10.

39

Задание 4


74. )232(log)2(log 2

7

1

3

1

79

xxx

. 75. )2(log)2(log 92

9 4324

xx

76. 1000lg2 xx . 77. 4log)(log5,0

9

2

3xx

xx .

78. 2lg3 10xx x . 79. xx x 10lg2 .

80. 15255loglog 22 x

x .

8. Системы уравнений

Пример 81. Решить систему уравнений

.2)(log

,14423

2xy

yx

Решение

Преобразуем второе уравнение систему, применяя определение логарифма и учиты-

вая, что выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:

0

2

144234

0

2

14423

0

2

14423

0

2

14423 2

2

xy

xy

xy

xy

xy

xy

xy

xy

xxxxyxyx

.8

,6

068

8

6

0

2

366

0

2

14464

y

xy

x

xy

xy

xy

xy

xx

Ответ: )8;6( .

Пример 82. Решить систему уравнений:

.2)(log

,115223

5yx

yx

Решение

Преобразуем второе уравнение систему, применяя определение логарифма и учиты-

вая, что выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:

0

5

1152232

0

5

115223

0

5

115223

0

5

115223 55

2

yx

xy

yx

xy

yx

xy

yx

yx

xxxxyxyx

40

.7

,2

072

7

2

0

5

366

0

5

1152632

y

xy

x

yx

xy

yx

xy

xx

Ответ: )7;2( .

Пример 83. Решить уравнение

.134

,2

5loglog

yx

xy yx

Решение

Преобразуем систему уравнений:

.1,0;1,0

,134

,2

5

log

1log

yyxx

yx

yy

x

x

Пусть zyx log , тогда первое уравнение примет вид: 02

51

zz

2,2

1

4

35,39,91625,0252 21

2

zzDzz .

Получим совокупность уравнений:

.

,

2log2

1log

2xy

xy

y

y

x

x

Получим совокупность двух систем:

(1)

1,0

0134 4

xx

xx и (2)

.1,0

,0134

xx

xx

Решим систему (1). Положим 1,0,4 uuux , получим систему:

(1)

.1,0

,1,4

1

1,0

013421

2

uu

uu

uu

uu система не имеет решений.

Решим систему (2). Положим 1,0, vvvx , получим систему уравнений:

(2) 3

1

1,03

1,1

1,0

0143

1,0

013421

22

v

vv

vv

vv

vv

vv

vv.

81

1,

9

1

3

1 2 xyxx .

Ответ:

81

1;

9

1.

41

Пример 84. Решить систему уравнений:

.85,0log2

,2438log23

y

y

x

x

Решение

Преобразуем систему уравнений:

,1,0

,2432log6

,2432log6

,1,0

,82log2

,2432log6

,1,0

,82log2

,2432log23331

3

xx

y

y

xx

y

y

xx

y

y

x

x

x

x

x

x

0,0

012log2log

0,0

02log62log6 23

xxxx

xxxx

.2

1

,2

12log

12log

02log

0,0

012log12log2log

2

1

x

x

xxx

x

x

xxx

При 6,6243,2432log6,2 121 yyyx , получим

.6

,2

1

1

y

x

При 10,6243,2432log6,2

12

2

12 yyyx , получим

.10

,2

1

2

2

y

x

Ответ:

10;

2

1;6;2 .

9. Разные уравнения


92 1

3 321

1

21

log log ( )

( ).

x x

x

Решение

Область допустимых значений переменной найдем из решения системы неравенств

(рис. 23):

x

x

x

x

x x

x

1 0

1 0

1 0

1 0

1 1 0

1 0

2

,

,

,

,

( )( ) ,

.

Рис. 23

42

Отсюда получаем x 1 или 1; .


3 2 1 3 2 12 1 1

1

1

2

3 32 3

2

log log

log

( ), ( ),x x

x

xx x x

xx

1

12 1

2

2

( ),

x

xx

x x

xx

2 1

12 1

1 1

12 1

( ),

( )( )( ), так как, из области допустимых значе-

ний следует, что x > 1, то x 1 0, а значит числитель и знаменатель дроби можно разде-

лить на x + 1, получим уравнение: x x 1 2 1( ).

При x x 1 1 0, . Возведем обе части полученного уравнения в квадрат:

( ) , , , , .x x x x x x x x x 1 2 2 2 1 2 2 4 3 0 1 32 2 2

1 2

x1 1 не входит в область допустимых значений и не является корнем уравнения, -

это посторонний корень.

x 2 3 входит в область допустимых значений и может быть корнем уравнения.

Чтобы точно установить это, выполним проверку.

Проверка

1

94 3 2 3 2 3 2 2 2

3 3

3 3 33

41

28

2 23

22 2

1

22 2

log log

log log log log, , , , ,

значит x = 3 является корнем уравнения.

Ответ: 3.

43

Ответы к заданиям по теме "Логарифмические уравне-ния"

К заданию 1

15. 19. 16. 1. 17. 2. 18.

50

1093log5 . 19.

2

2139log3 .

20. 1. 21. 1010 . 22. 3. 23. 0; 2. 24. 0; 3. 25. 2; 4.

К заданию 2

36. 2. 37. 9log 2 . 38. -1. 39. 36. 40. 48.

К заданию 3

60. 64. 61. 1,5. 62. ;2

13

4. 65. 3. 66. 3

2 .

К заданию 4

74. -1; 2. 75. 1 . 76. 0,1; 1000. 77. 2. 78. .10;10

13

79. 10

1; 10. 80. 5.

44

Упражнения

Решите уравнения:

62. 01log

4

3

x

. ............................................. 63. 2)1(log2

1 x .

64. 13log x. ............................................. 65. 414log

23

23 x .

66. 13loglog 12 x . ....................................... 67. 5,0)1(log 2 xx .

68. 0)10(log2)2(log 2

42 xx . ............... 69. 13log5log 2

3

4

3 xx

tg .

70. 1log38log2 8 xx . ................................. 71. 2)1(loglog 2

12

xx xx.

72. 2log6log 61 xx x

x

. ................. 73. 32

log8log2

2

xx .

74. 12log)2(log 4 xx .

75. 4441log485log 2

25

2

12 xxxx xx .

76. xxxx 5

3

5

2

5

22

5 log32loglog832log4

1 .

77. 2loglogloglog 4224 xx . ...................... 78. 11log1

4log 44

x

x

xxx .

79. 2log5log3 2

5

2

5 xx .

Ответы

62. 81

1. 63. -3. 64.

3

1. 65.

2

3;

2

1. 66. 8. 67. 32 . 68. -4. 69. 2 . 70.

8

1; 4.

71. 2

51. 72. 9. 73. 8. 74.

2

51. 75.

2

1; 1. 76. 3. 77. 16.

78.

;

3

1

4

1;0 . 79.

3 5

1;

5

1 .

Решения и указания

66. 8911323log13loglog211

112

xxxxx. Несмотря на

то, что область допустимых значений этого уравнения не была найдена, равносильность

преобразования не нарушалась, и полученный ответ принадлежит О. Д. З.

.11

,01

x

x

45

Литература

1. Багманов А. Т., Иванов Л. А., Толстых И. В. Математика. Избранные задачи.

Абитуриенту - 2002 для самостоятельной работы. - СПб. Из-во СПбГТУ, 2002. 150 с.

2. Болтянский В. Г., Ю. В. Сидоров, М. И. Шабунин “Лекции и задачи по элемен-

тарной математике”, Москва “Наука”, 1971 г.

3. Виленкин Н. Я., О. С. Ивашев-Мусатов. и. Шварцбурд “Алгебра и математиче-

ский анализ” для 11 класса, учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным

изучением математики, Москва “Просвещение”, 1993 г.

4. Гальперин Г. А., А. К. Толпыго “Московские математические материалы”, под

ред. А. Н. Колмогорова, Москва “Просвещение”, 1986 г.

5. Доброва О. Н. “Задания по алгебре и математическому анализу”, Москва “Про-

свещение”, 1996 г.

6. Егорова А. А. “Практикум абитуриента”. Алгебра и тригонометрия. Приложе-

ние к журналу “Квант”, 3, 1995 г., Москва, 1995 г., бюро “Квантум”.

7. Зорин В. В. “Пособие по математике для поступающих в вузы”, Москва “Выс-

шая школа”, 1965 г.

8. Ивлев Б. М., А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын, С. И. Пиварцбурд “Задачи по-

вышенной трудности по алгебре и началам анализа”, Москва “Просвещение”, 1990 г.

9. Лидский В. Б., Л. В. Овсянников, А. Н. Тулайков, М. И. Шабунин “Задачи по

элементарной математике”, Москва “Наука”, 1965 г.

10. Ляпин С. Е., И. В. Баранова, С. Г. Борчугова “Сборник задач по элементарной

алгебре”, Москва “Просвещение”, 1973 г.

11. Нестеренко Ю. В., с. н. Олехник, М. К. Потапов “Задачи вступительных экза-

менов по математике”, Москва “Наука”, 1983 г.

12. Потапов М. К., С. Н. Олехник, Ю. В. Нестеренко “Математика для абитуриен-

та”, Москва, НТЦ “Университетский”, 1994.

13. Прилепко А. И. “Сборник задач по математике для поступающих в вузы”. Мо-

сква “Высшая школа”, 1982 г.

14. Симонов А. Я., д. С. Бакаев, А. Г. Эпельман и др. “Система тренировочных за-

дач и упражнений по математике”, Москва “Просвещение”, 1991 г.

15. Сканави М. И. “Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во

втузы”, учебное пособие, 1994 г.

16. Шарыгин И. Ф., В. И. Голубев “Факультативный курс по математике”, Москва

“Просвещение”, 1991 г.

17. Яковлев Г. Н. “Пособие по математике для поступающих в вузы”,, Москва

“Наука”, 1985 г.

18. Журналы “Квант”, 1/1972, 3/1975, 4/1975, 7/1976, 5/1987, 6/1987, 1/1990, 2/1991,

3/1991, 5/1991, 1/1995, 2/1995, 3/1995.

19. Журналы “Математика в школе”, 3/1991, 1/1992, 1, 2, 3, 4, 5, 6/1993.

Documents

Логарифмические уравненияpets.scainlain.ru/0Yagubov/ex/logarifmicheskie_uravnenija.pdf · нальные методы решения, которые не изучаются