数学 I（第 9章9.2 線形変換の固有値と固有ベクトル定義9.3 W: λに属するf の固有ベクトル全体及零ベクトルとするとW は g(x) = f(x)−λx

数学 I（第 9章)

2019年 7月

数学 I（第 9 章) 1/45

第 9章

第 9章固有値と固有ベクトル

9.1 線形変換の表現の単純化9.2 線形変換の固有値と固有ベクトル9.3 線形変換の行列の三角化9.4 線形変換の行列の対角化

数学 I（第 9 章) 第 9 章 2/45

9.1 線形変換の表現の単純化

U: K の上の n次元ベクトル空間 (基底は u1, . . . ,un)

f : U −→ U (線形変換)

A: f の表現行列

とするとき, 基底が変われば表現行列も変わる。以下では表現行列が対角行列

λ1 0 · · · 0

0 λ2. . .

......

. . .. . . 0

0 · · · 0 λn

になるような基底を探したい。

数学 I（第 9 章) 第 9 章線形変換の表現の単純化 3/45


基底：(u1, · · · ,un)u = x1u1 + · · ·+ xnun

U

?f

U

f (u) = x1f (u1) + · · ·+ xnf (un)基底：(u1, · · · ,un)ただし f (uj) = a1ju1 + · · ·+ anj(un)

K n

基底：(e1, · · · , en), ej = φ(uj)x = x1e1 + · · ·+ xnen ∈ Kn

-φ

�φ−1

K n

y = Ax ∈ Kn, A = (a1, . . . , an)基底：(e1, · · · , en)aj = (a1j , . . . , anj)

′

-φ

�φ−1

?A

y = φ(f (u)) = φ(f (φ−1(x))) = φ ◦ f ◦ φ−1(x)よりA = φ ◦ f ◦ φ−1.


9.1 線形変換の表現の単純化 (Uの基底を変える)

基底：(v1, · · · , vn)

U

?f

U

基底：(v1, · · · , vn)

K n

基底：(e1, · · · , en), ej = ϕ(vj)x = x1e1 + · · ·+ xnen ∈ Kn

-ϕ

�ϕ−1

K n

y = Bx ∈ Kn

基底：(e1, · · · , en)

-ϕ

�ϕ−1

?B

y = ϕ(f (v)) = ϕ(f (ϕ−1(x))) = ϕ ◦ f ◦ϕ−1(x)より B = ϕ ◦ f ◦ϕ−1.



すると

B = ϕ ◦ f ◦ ϕ−1

= ϕ ◦ φ−1 ◦ φ︸︷︷︸IU

◦f ◦ φ−1 ◦ φ︸︷︷︸IU

◦ϕ−1

= ϕ ◦ φ−1 ◦ φ ◦ f ◦ φ−1 ◦ φ ◦ ϕ−1

であり, N = φ ◦ ϕ−1とおくと, ϕ ◦ φ−1 = N−1で,

B = N−1AN (1)

となる。(1)式が成り立つ正則行列Nが存在するとき, AとB

は相似であるという。Aと対角行列が相似であるとき, Aは対角可能という。数学 I（第 9 章) 第 9 章線形変換の表現の単純化 6/45

9.2 線形変換の固有値と固有ベクトル

定義 9.2

U: K の上のベクトル空間f : U −→ U (線形変換)

λ ∈ K

とする。f (x) = λx, x ̸= 0を満たす x ∈ U が存在するとき,

λ: (K における)f の固有値 (eigenvalue)

x: (λに属する)f の固有ベクトル (eigenvector)

という。

数学 I（第 9 章) 第 9 章線形変換の固有値と固有ベクトル 7/45


定義 9.3

W : λに属する f の固有ベクトル全体及零ベクトル

とするとW はg(x) = f (x)− λx = 0

の解空間である。したがってW は U の部分ベクトル空間であり,

λに属する f の固有空間という。



定義 9.4

U: Cn

f : Cn → Cn (線形変換), f (x) = Ax, Aは n次正方行列λ: λ ∈ K

とする。Ax = λx, x ̸= 0

を満たす x ∈ Cnが存在するとき,

λ: 行列Aの固有値x: 行列Aの固有ベクトル

という。数学 I（第 9 章) 第 9 章線形変換の固有値と固有ベクトル 9/45


Ax = λxのとき, Ax− λx = (A− λEn)x = 0より,

|A− λEn| = 0 ⇔ 自明な解以外の解をもつ (p.110 定理 8.2)

このとき行列式 |xEn − A|は x の n次多項式でAの固有多項式といい, |xEn − A| = 0をAの固有方程式という.

|xEn − A| = (x − λ1)(x − λ2) · · · (x − λn),

λi (i = 1, . . . , n)はAの固有値

λi がm重根であるとき, Aのm重固有値といい, mは重複度を表す.



例 (1)

A =

a1 0 · · · 0

∗ a2. . .

......

. . .. . . 0

∗ · · · ∗ an

,

xEn − A =

x − a1 0 · · · 0

∗ x − a2. . .

......

. . .. . . 0

∗ · · · ∗ x − an

,

より

|xEn − A| = (x − a1)(x − a2) · · · (x − an)



例 (2)

A =

a1 0 · · · 0

0 a2. . .

......

. . .. . . 0

0 · · · 0 an

,

|xEn − A| = (x − a1)(x − a2) · · · (x − an)

固有ベクトルは e1, . . . , en固有値は a1, . . . , an.



例 (3)

A =

(1 2

−1 4

),

とすると

|A− λE| =

∣∣∣∣∣ 1− λ 2

−1 4− λ

∣∣∣∣∣= (1− λ)(4− λ)− (2)(−1)

= λ2 − 5λ+ 6

= (λ− 2)(λ− 3),

より, λ = 2, 3.



(i) λ = 2のとき

A =

(1 2

−1 4

)x = 2x, x =

(x1x2

)

とすると

x1 + 2x2 = 2x1

−x1 + 4x2 = 2x2

より, x1 = 2x2. したがって固有ベクトルは

h

(2

1

), h ∈ R.



(i) λ = 3のとき

A =

(1 2

−1 4

)x = 3x, x =

(x1x2

)

とすると

x1 + 2x2 = 3x1

−x1 + 4x2 = 3x2

より, x1 = x2. したがって固有ベクトルは

k

(1

1

), k ∈ R.



例. Aを n次正方行列とし, Aの固有値を λ1, . . . , λn, 対応する固有ベクトルを x1, . . . , xn: とするとき

Q = (x1, . . . , xn) , Λ =

λ1 0 · · · 0

0 λ2. . .

......

. . .. . . 0

0 · · · 0 λn

,

とおく。すると

AQ = (Ax1, . . . ,Axn) = (λ1x1, . . . , λnxn) = QΛ

もしQが正則ならば, Λ = Q−1AQ.



定理 9.1 U:n次元ベクトル空間, f : U → U (線形変換), B:U の一組の基底, A:f の Bに関する表現行列とする。

(1) 線形変換 f の固有値はAの固有値と一致(2) uが線形変換 f の固有ベクトル⇔ xがAの固有ベクトル

(証明) 線形変換 f : U → U の固有値を λ, その λに属する固有ベクトルを uとすると

f (u) = λu

両辺に座標写像 φをほどこすと⇔ φ(f (u)) = φ(λu) = λφ(u)

⇔ Ax = λx

∵ y = Ax = φ(f (u)), x = φ(u).


9.3 線形変換の行列の三角化

定理 9.3 　Aを C における n次正方行列とし, λ1, . . . , λnをAの固有値とするとき,

Q−1AQ =

λ1 ∗ · · · ∗

0 λ2. . .

......

. . .. . . ∗

0 · · · 0 λn

を満たす n次正則行列Qが存在する。

(証明) n = 1のとき明らか。n − 1のときに成り立つとする。λ1に属するAの固有ベクトルを a1とする。4章補助定理 (p.46)

より、a2, . . . , an ∈ Cnを適当に選んで {a1, . . . , an}を Cnの基底とすることができる。ここで行列 Rを R = (a1, . . . , an)とおくと

数学 I（第 9 章) 第 9 章線形変換の行列の三角化 18/45


AR = (Aa1,Aa2, . . . ,Aan) = (λ1a1,Aa2, . . . ,Aan)

= (a1, . . . , an)

(λ1 ∗0 A1

)= R

(λ1 ∗0 A1

)(2)

と書くことができる。A1は n−1次正方行列であるので, 仮定より

Q−11 A1Q1 =

λ̃1 ∗ · · · ∗

0 λ̃2. . .

......

. . .. . . ∗

0 · · · 0 λ̃n

, λ̃i は A1 の固有値

となるような n − 1次正則行列Qが存在する。



いまTを

T =

(1 t0

0 Q1

),

とおき, Q = RTとおくと (2)より

Q−1AQ = T−1(R−1AR)T

= T−1

(λ1 ∗0 A1

)T

=

(1 t0

0 Q−11

)(λ1 ∗0 A1

)(1 t0

0 Q1

)



(Q−1AQ) =

(λ1 ∗0 Q−1

1 A1

)(1 t0

0 Q1

)

=

(λ1 ∗0 Q−1

1 A1Q1

)=

λ1 ∗ · · · ∗

0 λ̃1. . .

......

. . .. . . ∗

0 · · · 0 λ̃n

であり、したがって λ1, λ̃1, . . . , λ̃n−1はQ−1AQの固有値(∵ |λEn −Q−1AQ| = 0).

したがって λ1, λ̃1, . . . , λ̃n−1はAの固有値(∵ |λEn −Q−1AQ| = |Q−1||λEn − A||Q| = |λEn − A| = 0).



定理 9.3系　 U を C における n次元ベクトル空間とし,

f : U → U (線形変換)とする。適当な U の基底 B = {v1, . . . , vn}をとるとき、f の Bに関する行列Bが f の固有値を主対角成分にもつ三角行列

λ1 ∗ · · · ∗

0 λ2. . .

......

. . .. . . ∗

0 · · · 0 λn

にできる。(証明) U の基底を u1, . . . ,unとしたときの f の表現行列をAとすると, 定理 9.3より



Q−1AQ =

λ1 ∗ · · · ∗

0 λ2

. . ....

.... . .

. . . ∗0 · · · 0 λn

(3)

となるような正則行列Qが存在する。一方, 任意の基底v1, . . . , vnについて (p.117 2⃝より)

B = N−1AN, ただし Nej = φ ◦ ϕ−1(ej) = φ(vj)

であるから

Q = (q, . . . ,qn) = N, ただし qj = Qej = φ(vj)

を満たすような基底 v1, . . . , vnを求めれば, Bを (3)式の右辺とすることができる。数学 I（第 9 章) 第 9 章線形変換の行列の三角化 23/45


v1, . . . , vnの求め方.

B = (b1, . . . ,bn), bj =

b1j...

bjj

0

, bjj = λj

であるから,

f (vj) = b1jv1 + . . .+ bj−1,jvj−1 + λjvj

となる。したがって


f (v1) = λ1v1

f (v2) = b12v1 + λ2v2

f (v3) = b13v1 + b23v2 + λ3v3...

となるので

• f (vj) ∈< v1, . . . , vj >≡ Vj , dim(Vj) = j ,

V1 ⊂ V2 ⊂ · · · ⊂ Vn = U.

• f (vj)− λjvj ∈< v1, . . . , vj−1 >= Vj−1, f (v1)− λ1v1 = 0.

となる。これより



1. まず λ1に属する固有ベクトルを v1にとる。2. 次に λ1が重根ならば、f (v2)− λ2v2 = kv1, (λ2 = λ1, k ∈ C )

となるような v2(ただし v1と v2は一次独立)をとる。3. λ1が重根でなければ, λ2( ̸= λ1)に属する固有ベクトルを v2にとる。f (v2)− λ2v2 = 0 ∈ V1.

4. · · ·

とすればよい。


9.4 線形変換の行列の対角化

定理 9.4

U: K の上のベクトル空間f : U −→ U (線形変換)

λ1, . . . , λm: f の相異なる固有値x1, . . . , xm: f の対応する固有ベクトル

とするとき、x1, . . . , xmは一次独立。(証明）m = 1のとき, x1 ̸= 0であるから明らか。m = k のとき, 成り立つとする。このとき

c1x1 + . . .+ ckxk = 0 ⇔ c1 = . . . = ck = 0 (4)

である。

数学 I（第 9 章) 第 9 章線形変換の行列の対角化 27/45


m = k + 1のとき,

c1x1 + . . .+ ckxk + ck+1xk+1 = 0 (5)

とするとき,

0 = f (0) (∵定理 2.3(p.20))

= f (c1x1 + . . .+ ckxk + ck+1xk+1)

= c1f (x1) + . . .+ ck f (xk) + ck+1f (xk+1)

= c1λ1x1 + . . .+ ckλkxk + ck+1λk+1xk+1

= c1λ1x1 + . . .+ ckλkxk + λk+1(−c1x1 − · · · − ckxk)

(∵ (5)を代入)

= c1(λ1 − λk+1)x1 + . . .+ ck(λk − λk+1)xk (6)



(4)(6)より,

c1(λ1 − λk+1) = · · · = ck(λk − λk+1) = 0.

一方, λj ̸= λk+1 (j = 1, . . . , k)であるから,

c1 = · · · = ck = 0.

これを (5)に代入すると

ck+1xk+1 = 0 (xk+1 ̸= 0), ∴ ck+1 = 0.

よってm = k + 1の時にも成り立つ.(証明終)



定理 9.5 Aを C における n次正方行列とするとき, 以下は同値.

(a) Aは対角化可能で

Q−1AQ = Λ =

λ1 0 · · · 0

0 λ2

. . ....

.... . .

. . . 0

0 · · · 0 λn

(λ1, . . . , λnはAの固有値)となる n次正則行列Qが存在する。

(b) Aの各固有値 λに属する固有空間の次元は、λの重複度に等しい。

(c) Aの固有ベクトル x1, . . . , xnは一次独立。

(証明略)数学 I（第 9 章) 第 9 章線形変換の行列の対角化 30/45


(例) (問 9.3(i)) 次の行列Aは対角化可能か?

A =

−1 1 0

−4 3 0

8 −5 3

Aの固有多項式は

|xE3 − A| =

∣∣∣∣∣∣∣x + 1 −1 0

4 x − 3 0

−8 5 x − 3

∣∣∣∣∣∣∣ = (x − 1)2(x − 3)

より x = 1または x = 3.



x = 1のとき, 固有値は 1でその重複度は 2である。その固有空間は −2 1 0

−4 2 0

8 −5 2

x1

x2

x3

=

0

0

0

を解いて x2 = 2x1, x3 = x1より x1

x2

x3

= x1

1

2

1

, x1は任意

よって固有空間の次元は 1で定理 9.5(b)の条件を満たさない。したがって対角化可能ではない。数学 I（第 9 章) 第 9 章線形変換の行列の対角化 32/45


(例) (問 9.3(ii)) 次の行列Aは対角化可能か?

A =

2 −2 −1

1 −1 −1

−2 4 3

Aの固有多項式は

|xE3 − A| =

∣∣∣∣∣∣∣x − 2 2 1

−1 x + 1 1

2 −4 x − 3

∣∣∣∣∣∣∣ = (x − 1)2(x − 2)

より x = 1または x = 2.



x = 1のとき, 固有値は 1でその重複度は 2である。その固有空間は 1 −2 −1

1 −2 −1

−2 4 2

x1

x2

x3

=

0

0

0

を解いて x1 − 2x2 + x3 = 0より, 固有空間の次元は 2. 例えば 2

1

0

,

1

0

1

.

と固有ベクトルをとればよい。



x = 2のとき, 固有値は 2でその重複度は 1である。その固有空間は 0 −2 −1

1 −3 −1

−2 4 1

x1

x2

x3

=

0

0

0

を解いて x1 = x2, x3 = −2x2より, 固有空間の次元は 1.

x2

1

1

−2

, x2は任意

したがって対角化可能である。



(例) (問 9.9) 次の差分方程式を解きなさい。

xn+3 = xn + 3xn+1 + xn+2, n = 1, 2, 3, . . . (7)

(解) V を (7)を満たす数列 {xn}の全体とする。このとき、{an}, {bn} ∈ V , h, k ∈ K に対して

h{an}+ k{bn} = {han + kbn} ∈ V

であるから、線形演算について閉じており、V はベクトル空間(U をあらゆる無限数列 {an}全体の集合とすると (p.16.例 2.4)、U はベクトル空間で V は U の部分ベクトル空間).



(7)は x1, x2, x3を決めれば定まるので

• x1 = 1, x2 = 0, x3 = 0のときの {xn}を v1

• x1 = 0, x2 = 1, x3 = 0のときの {xn}を v2

• x1 = 0, x2 = 0, x3 = 1のときの {xn}を v3

とするとv1 = {1, 0, 0, 1, . . . , }v2 = {0, 1, 0, 3 . . . , }v3 = {0, 0, 1, 1, . . . , }

となり、一般に {xn} = {x1, x2, x3, . . .}はx1v1 + x2v2 + x3v3

と一意に表現できる。よって v1, v2, v3は V の基底で dim(V )=3.数学 I（第 9 章) 第 9 章線形変換の行列の対角化 37/45


いま V の変換を

f ({x1, x2, x3, x4, . . .}) = {x2, x3, x4, x5 . . .}

で定めると f は V の線形変換で

f k({x1, x2, x3, x4, . . .}) = {xk+1, xk+2, xk+3, xk+4 . . .},

ただし f k = f ◦ · · · ◦ f︸︷︷︸k 回

、となる。すると

f (v1) = {0, 0, 1, . . .} = v3

f (v2) = {1, 0, 3, . . .} = v1 + 3v3

f (v3) = {0, 1, 1, . . .} = v2 + v3

より、基底 v1, v2, v3に関する f の行列Aは数学 I（第 9 章) 第 9 章線形変換の行列の対角化 38/45


A =

0 1 0

0 0 1

1 3 1

となり xn

xn+1

xn+2

= An−1

x1

x2

x3

.

たとえば x2

x3

x4

=

0 1 0

0 0 1

1 3 1

x1

x2

x3

=

x2

x3

x1 + 3x2 + x3



Aの固有方程式は

|xE3 − A| =

∣∣∣∣∣∣∣x −1 0

0 x −1

−1 −3 x − 1

∣∣∣∣∣∣∣ = (x + 1)(x2 − 2x − 1)

より、x = −1, 1±√2である。固有値 λ1 = −1, λ2 = 1−

√2,

λ3 = 1 +√2に対応する固有ベクトルを求めると

(1) λ1 = −1のとき 0 1 0

0 0 1

1 3 1

x1

x2

x3

= (−1)

x1

x2

x3

であるから数学 I（第 9 章) 第 9 章線形変換の行列の対角化 40/45


x2 = −x1

x3 = −x2

x1 + 3x2 + x3 = −x3

となり、x2 = −x1, x3 = x1となるので、対応する固有ベクトル q1は

q1 =

1

−1

1

ととることができる。



(2) λ1 = 1−√2のとき 0 1 0

0 0 1

1 3 1

x1

x2

x3

= (1−√2)

x1

x2

x3

であるから、これを解いて x2 = (1−

√2)x1,

x3 = (1−√2)2x1 = (3− 2

√2)x1より、対応する固有ベクトル q2

は

q2 =

1

1−√2

3− 2√2

ととることができる。数学 I（第 9 章) 第 9 章線形変換の行列の対角化 42/45


(3) λ1 = 1 +√2のとき 0 1 0

0 0 1

1 3 1

x1

x2

x3

= (1 +√2)

x1

x2

x3

であるから、これを解いて x2 = (1 +

√2)x1,

x3 = (1 +√2)2x1 = (3 + 2

√2)x1より、対応する固有ベクトル q2

は

q3 =

1

1 +√2

3 + 2√2

ととることができる。数学 I（第 9 章) 第 9 章線形変換の行列の対角化 43/45


したがってAn−1q1 = An−2(Aq1) = (−1)An−2q1 = (−1)n−1q1,

An−1q2 = An−2(Aq2) = (1−√2)An−2q2 = (1−

√2)n−1q2,

An−1q3 = An−2(Aq3) = (1 +√2)An−2q3 = (1 +

√2)n−1q3,

である。ここで q1, q2, q3は一次独立であるので x1

x2

x3

= c1q1 + c2q2 + c3q3, ci ∈ C

と表現すれば xn

xn+1

xn+2

= An−1

x1

x2

x3

= c1(−1)n−1q1 + c2(1−√2)n−1q2 + c3(1 +

√2)n−1q3, ci ∈ C



したがって

xn = c1(−1)n−1 + c2(1−√2)n−1 + c3(1 +

√2)n−1

を得る。c1, c2, c3については x1

x2

x3

= (q1,q2,q3)

c1

c2

c3

より、以下のように求めることができる。 c1

c2

c3

= (q1,q2,q3)−1

x1

x2

x3


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数学 I（第 9章9.2 線形変換の固有値と固有ベクトル 定義9.3 W: λに属するf の固有ベクトル全体及零ベクトル とするとW は g(x) = f(x)−λx

数学 I（第 9章9.2 線形変換の固有値と固有ベクトル定義9.3 W: λに属するf の固有ベクトル全体及零ベクトルとするとW は g(x) = f(x)−λx