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格子 QCD の理論的進展とフレーバー物理への応用 II

大野木　哲也（京大基研）東北大学集中講義　２月１７日ー１９日

S.HashimotoS.Hashimoto ，， T.O.T.O. 　　 hep-lat/0403hep-lat/0403024024

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内容１． Overview２．格子 QCD の定式化：　連続極限、 Reflection Positivity３．ゲージ作用４．格子フェルミオン :Wilson/Staggered フェルミオン

５．数値計算の手法 : 相関関数、遷移行列、　　　　　　　　　　　　　演算子繰り込み、カイラル極

限６．フレーバー物理への応用 : 電弱遷移行列クォーク質量、７．最近の進展　　理論形式： Ginsparg － Wilson 　フェルミオン　　理論的手法：非摂動繰り込み、ハドロン２体崩壊　　アルゴリズム：奇数フレーバー、ドメイン分解法　　新しい問題：　２体崩壊、　　領域からの低エネル

ギー定数、　　　　　　　　　　　ｇ－２、光円錐波動関数

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軽いクォークについて 現実のモンテカルロ計算で軽いクォーク質量

　　　は典型的には　　　　　　　　　　程度である。

　ここで　　　はストレンジクォーク質量。　実際の ud クォーク質量　　　　　　　　　は

　のため、すべての物理量において　カイラル極限付近への外挿が必要。　　　どのような関数形で外挿入すればよいか？

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関数形の例：　 PCAC 関係式

より系統的な方法：カイラル摂動論（ ChPT)

　カイラル対称性の自発的破れの Nambu-Goldstone 粒子である　　中間子のみを取り扱う有効理論。カイラル対称性に基づいて分類された系統的な作用（演算子）。繰り込み不可能であるため、無限個の項からなるが、クォーク質量と

　運動量の展開の有限次数までは有限個。

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C ｈ PT の作用

ここで１．この作用は各項の前の係数は自由なパラメータなので、　　ある固定されたクォーク質量での物理量の値は予言で

き　　ない。ひとたびインプットをいれてパラメータを決

めるとクォーク質量依存性は予言できる。２．運動量と質量の展開がきちんと収束する適用範囲があ

る　　はずであるがそれがどこかはわかっていない。

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カイラル摂動論の 1-loop 計算の例　擬スカラー質量のクォーク質量依存性

Non － analytic 　 part は予言できる。軽い領域で重要な寄与で

あり、カイラル外挿の結果を１０％程度は変えうる。（ Analytic 　 part はカウンター項で変わりうるので十分な数の独立なインプットが必要。）

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カイラル外挿の関数形が決まっても格子計算でカイラル対称性がなければ問題が生じる。　例　　　の計算　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　と振

舞うべし。ところがカイラル対称性がないと量子補正で V-A 型の演算子はスカラー型　　　　　と混合し大きな誤差を生じる。この

誤差は連続極限に向かってべき的には消えない。

これを避けるためには１．非摂動的に混合を消すカウンター項の係数を調節する。２．カイラル対称性のある作用を用いる。（ Staggerd,Ginspa

rg-Wilson)

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教訓：　

正しいカイラル外挿を行うには（１）正しい有効作用を用いて物理量のクォーク質量依

存性　　　の関数形を系統的に決定する。（２）格子計算は対称性を保っていないと破れの効果が

問題となる。（３）格子計算の質量パラメータ領域は対応する有効理

論の　　　適用範囲内でなければならない。

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重いクォークについて現実的な格子のカットオフは以下の範囲。クェンチ近似　　　　　　　なら動的フェルミオンがある場合

これは以下の２つの要請を同時に満たすための条件１．ハドロン質量の有限体積誤差を３％以下に抑えるため

には２－２．５ fm のサイズが必要。２．数値計算が現在の計算機でできるためには以下が必要　　クェンチ近似なら　　　　　　　　サイズ＜　　動的フェルミオンがある場合　サイズ＜　４ GeV以上の重いクォークは　　　　　　　誤差が１００％

　ボトムクォークの直接格子計算は現実的でない。　

　外挿？

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前の教訓より：　

正しい重いクォークへの外挿を行うには（１）正しい有効作用（ heavy 　 meson 　 effective 　

theory)

　　　を用いて物理量のクォーク質量依存性　　　の関数形を系統的に決定する。（２）格子計算は対称性を保っていないと破れの効果が

問題　　となる。（３）格子計算の質量パラメータ領域は対応する有効理

論の　　　適用範囲内でなければならない。

通常のアプローチでこれを満たすのは難しい。

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Ｈ eavy Quark Effective Theory （ HQET) B 中間子のような Heavy-light 系は b クォークはほとんど静止　していて、軽い自由度のみが光速で運動。静止質量を除くと　典型的な運動量は　　　　　　　　　　　　　　　　程度。　重いクォークの静止系の周りの運動量についての　　　　　　　展開をもちいた有効理論が構成できる。

マッチング係数は摂動論で求めている。

　

　　　　　　　　　　

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Nonrelativistic QCD(NRQCD) 中間子のような Heavy-heavy 系は b クォークは非相

対論　的に運動。典型的な運動量は　　　　　　　　程度。非相

対論的　速度についての展開を用いた有効理論が構成できる。

マッチング係数は摂動論で求めている。

　

　　　　　　　　　　

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いくつかのアプローチ 通常のフェルミオンを charm 領域に適用し bottom に

外挿する。

格子上の有効理論を使う。　　１． Static 極限　　２．格子ＮＲＱＣＤ　　３．Ｗ ilson 　フェルミオンの非相対論的再解釈

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計算の手順のまとめ ゲージ配位を生成 クォーク伝播関数を解いて、相関関数を求める。 長時間で exponential fit 　し遷移行列を求める。 軽いクォークについてカイラル外挿を行う。　（重いクォークについては有効理論をもちいる方がよ

い） 格子間隔を決める。 演算子の繰り込みを行う。 連続極限をとる。

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ゲージ配位の生成法について クェンチ近似　　　　　　　　　　　と近似

する。　通常のスピン系のモンテカルロと同様（省

略） 動的フェルミオン計算　よく用いられる方法： Hybrid Monte Carlo 法　　　　

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全ページの系は からなるカノニカル分布　　１． 　についてのカノニカル分布はガウス分布型に　　　　帰着できる。各点独立にガウス乱数　　　　を作って　　　　　　　　　　　　　　　　　　　とすればよい。　　２．　　　　　　　　に関する部分はミクロカノニカル（等エネ

ル　　　　　ギー面を一様分布）を行いつつ異なるエネルギー間をｶﾉ　　　　ﾆカル分布にしたがって分布させる。すなわち　　　　　　　

　　　　　をハミルトニアンとする正準運動方程式を解いてしばらく　

　　　　　　系を発展させつつときどき運動量　　　　をガウス乱数でリ

　　　　　　セットする。

正準運動方程式を解くところで各仮想時刻ごとに逆行列の計算が入る。ここがもっとも時間がかかる。

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５．フレーバー物理への応用

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Ｂの物理の結果 　　　　　　　混合　クェンチ近似の崩壊定数

さまざまなアプローチの結果が consistent

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クェンチ近似のバク定数　ＮＲＱＣＤと static は一致　外挿法と比較すると　重いクォークの質量依存性が　異なるように見える。

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２フレーバー崩壊定数　 heavy 　 meson 　有効理論＋カイラル摂動論によると　軽いクォークの質量依存性の non-analytic 部は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　と予言

カイラル外挿の不定性が大きい。

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２フレーバーバグ定数　 heavy 　 meson 　有効理論＋カイラル摂動論によると　軽いクォークの質量依存性の non-analytic 部は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　と予言。　幸いなことに係数が小さい。

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２フレーバーでの SU(3)breaking

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Ｇ rinstein 　Ｒ atio

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形状因子 (Ferimlab group)

Heavy quark 対称性から極限で１となるような

３点関数の double ratio をとって Isgur-Wise極限

からの 1/m 補正を計算する。

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　　　　　　　　　　　　形状因子

さまざまなアプローチでクェンチ近似計算がなされている。

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Chiral 　 log のテスト JLQCD 　 O(a) ー Wilson 　２フレーバー

今のように重い質量ではうまくフィットできない。

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２＋１の動的フェルミオンの計算

MILC 　 Collaboration

　　 Staggard fermion JLQCD

O(a)-improved Wilson fermion

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JLQCD strange quark mass

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JLQCD ud quark mass

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JLQCD K meson spectrum

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Bottom 　 mass

　　Ｂ　 and 　 upsilon

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Charm

　　１．２６（１２）

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クォーク質量

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クォーコ二ウム

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６．最近の進展Ginsparg-Wilson フェルミオン連続理論から Block-spin変換により有限格子間隔の作用を導く。

ここで格子場に Naïve カイラル変換　　　　　　　　　　　　　　　　をおこなうと

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　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　より

　　　　　　　　　 Ginsparg-Wilson 　関係式　とくに　　　　　　　　　　　　　にとると通常の形にな

る。

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Neuberger による解（ Overlap 　 Dirac 　 Operator) 　　ここで

自由場の時、フーリエ変換を用いて簡単に以下の形となる。

これは small 　 momentum 極限で連続の dirac 演算子になり、

かつ分母の中身がゼロになる、すなわち運動量表示での解析性（＝座標非表示での局所性）がやぶれることはない。

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局所性　　もし、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　が成り立つとすると

ここで、

距離　　　　　　　　　　　　　離れた場所とつながるには必ず　　　　を最低

n回は作用させなければならないので上の式から　　　　　　だけ抑制される。

　　　 Ultra　 localではないが広い意味で局所的

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　　　　のとき Admissibility条件がなりたてば　上記の局所性は保証される。ゲージ場が　スムーズであるとして

　その度合いが　　　　　　　であれば十分条件　（必ずしも必要ではない）　証明のステップは　の固有値が１よりどれだけ小さくなりうるかを　不等式で押さえ込むときに field 　 strength の上限が必要

　　　　　　　　

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カイラルアノーマリが正しく再現される。　　経路積分においてカイラル変換をおこな

うと

　　 measure から以下のアノマリーが生じ　　連続極限では以下のようになる。

しかも有限格子間隔でこのアノマリーはDirac 演算子の index になることがＧＷ関係式から導ける。

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理論的手法

非摂動繰り込み　 Luscher 　　 NPB ３８４（１９９２）１６８

　　有限体積 L で境界をもつ空間における　　振幅を繰り込み条件として　　新しいスキーム（ SF スキーム）を提案　　摂動、非摂動ともに計算できる。　　繰り込み因子とその running ともに計算可

能

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SF スキームによる Strong 　 Coupling 　 Constant のStep scaling function

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SF スキームによる Strong 　 Coupling 　 Constant のrunning

点線、破線、実線は２，３，４－ループの結果

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SF スキームによる quark mass の Step scaling function

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SF スキームによるクォーク質量の running点線、破線、実線は２，３，４－ループの結果