ベルヌーイベルヌーイベルヌーイベルヌーイのののの定理定理定理定理とととと気中水噴流気中水噴流気中水噴流気中水噴流のののの運動運動運動運動

１， 実験の目的

実在の流体（fluid）は粘性（viscosity）や圧縮性（compressibility）をもつが、そ

れらの影響を無視して問題を扱うことのできる場合がある。粘性と圧縮性、いずれも

持たない流体を仮想して取り扱う場合、この流体を理想流体（ideal fluid）と呼ぶ。

理想流体を考えるとき、ベルヌーイの定理（Bernoulli’s theorem）と呼ばれる重要

な定理がある。この定理は流体力学において種々の流れに広く応用することのできる

重要な定理である。

本実験では（１）空気中に噴出する水噴流の運動を解析し、（２）実験結果と比較検

討することで、ベルヌーイの定理の意味を理解することを目的とする。

２， 原理

○ ベルヌーイの定理

外部とのエネルギの出入りがない理想気体の渦なし定常流れについて、図１に示す

ような流管に沿う①から②へ至る部分を考える。

○ 大気中に噴出された水噴流の経路

一般に非圧縮性流体は運動エネルギ、圧力のエネルギ、及び位置エネルギを保有す

ることができる。流体の単位時間当たりの質量流量mは Qm ρ= （ρ：流体の密度，

Q：体積流量）であることを考慮すると、それぞれのエネルギは次のように与えら

れる。

（1） 運動エネルギ

運動エネルギは 2)(2 22 vQmv ρ= であるので、図 1 の①及び②断面ではそ

れぞれ 2)(2

1vQρ ， 2)(2

2vQρ である。

（2） 圧力のエネルギ

圧力による力 F は、 pAF = であり、この力で流体は単位時間に v移動する

ので、エネルギは pQpAvFv == となる。従って①及び②断面ではそれぞれ

QpQp 21 , である。

（3） 位置エネルギ

重力場における位置エネルギは Qgzmgz ρ= であるので、①及び②断面では

それぞれ 21, QgzQgz ρρ である。

流管に沿う断面①と②の間ではエネルギの出入りも損失もないので、エネル

ギの保存則から次式が成立する。

22

2

211

2

12

1

2

1QgzQpQvQgzQpQv ρρρρ ++=++ 　 ・・・・・①

また、断面の①と②は流管に沿って任意にとることができるため、次の式が

成立する。

.2

1 2 constQgzpQQv =++ ρρ ・・・・・・・・・・・・・・②

または、

.2

2

constgzpv

=++ρ

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・③

.2

2

constzg

p

g

v=++

ρ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・④

○ 大気中に噴出された水噴流

水噴流を空気中で水平面に対して角度θ、初速度 vで斜め上方に噴射させたとき、

重力の影響もあり速度の垂直方向の成分が変化をし、水噴流の経路は放物線の形を示

す。空気抵抗が無視できるとすれば、水噴流の速度（ yx vv , ）は次の式で表すことが

できる。

θcos×= vvx ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・⑤

tgvvy ×××= θsin ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・⑥

ここで、 t というのは、噴射をした後の経過したときの時間である。

３， 実験装置

図２に実験装置を示す。地面から高さHの位置にノズル（ノズルは市販のセラミッ

クノズル IkeuchiCP37 で、直径は mm1 ）が取り付けられている。ノズルの上流圧力

は弁を解して一定圧力の水圧源に接続されており、弁の開度を変化させることでノズ

ル上流圧力を設定することができる。ノズル上流圧力はブルドン管圧力計で測定する。

ノズルの水平面に対する角度θ（図２は °= 0θ の場合を示す）はノズルの取り付け部

を調整することで、任意に設定することができる。

４， 実験方法

実験１

① 実験を行う周囲の環境及び水噴流の地面までの到達距離は巻尺で測るこ

とを考慮し、ノズル上流圧力の最高値をどの程度にしたら良いかを見積

もる。

② ノズルの口の高さHを測定して、ノズルの角度θを °0 (水平)の状態に設

定する。

③ 水道の蛇口を開き、ノズルから水を噴射させる。弁の開度を調整し、

ノズル上流圧力を計測する。噴出した水が地面に到達するまでのノズ

ルからの距離 Lを測定する。ノズル上流圧力を何種類かに変化させ

( 01.0 から 06.0 まで)上述の実験を繰り返す。

実験２

④ ノズル上流圧力設定し、ノズルの傾き角度θを変化させて、距離 Lを設

定する。

５， 実験結果

表１は実験１の結果で、表２は実験２の結果である。また、ノズル取り付け位

置高さHは、 mH 1= である。

表表表表１１１１,,,,角度角度角度角度００００°°°°時時時時のののの水噴水噴水噴水噴流流流流のののの到達距離到達距離到達距離到達距離

ノズルノズルノズルノズルのののの角度角度角度角度θθθθ

［［［［°°°°］］］］

ブルドブルドブルドブルドンンンン管圧力計管圧力計管圧力計管圧力計のののの読読読読みみみみ PPPPiiii

［［［［MPaMPaMPaMPa］］］］

水噴流水噴流水噴流水噴流のののの到達距離到達距離到達距離到達距離ＬＬＬＬ

［ｍ］［ｍ］［ｍ］［ｍ］

0.0.0.0.01010101 1.1.1.1.54545454

0.0.0.0.02020202 2.2.2.2.26262626

0.0.0.0.03030303 2.2.2.2.86868686

0.0.0.0.04040404 3.3.3.3.22222222

0.0.0.0.05050505 3.3.3.3.45454545

００００

0.0.0.0.06060606 3.3.3.3.88888888

表表表表２２２２,,,,ノズルノズルノズルノズルのののの角度角度角度角度をををを変変変変えたえたえたえた時時時時のののの水噴流水噴流水噴流水噴流のののの到達距離到達距離到達距離到達距離

ノズルノズルノズルノズルのののの角度角度角度角度θθθθ ブルドブルドブルドブルドンンンン管圧力計管圧力計管圧力計管圧力計のののの読読読読みみみみ PPPPiiii 水噴流水噴流水噴流水噴流のののの到達距離到達距離到達距離到達距離 LLLL

［［［［°°°°］］］］ ［［［［MPaMPaMPaMPa］］］］ ［ｍ］［ｍ］［ｍ］［ｍ］

10101010 3.3.3.3.43434343

20202020 3.3.3.3.72727272

30303030 3.3.3.3.83838383

40404040 4.4.4.4.00000000

50505050 3.3.3.3.55555555

60606060

0.0.0.0.03030303

3.3.3.3.24242424

10101010 4.4.4.4.73737373

20202020 5.5.5.5.12121212

30303030 5.5.5.5.50505050

40404040 6.6.6.6.13131313

50505050 5.5.5.5.10101010

60606060

0.0.0.0.06060606

4.4.4.4.10101010

６， 課題

○ 課題（1）

水噴流のノズルからの噴出速度 vを求める。（ノズルの角度 0=θ ）

ノズル位置Hが m1 であるから、地面に付くまでの時間 tは、

2

2

1gtH = ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・⑦

から求めることができる。この時間 tを使い、

Lvt = ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・⑧

からノズルからの噴出速度 vを求める。

⑦ 式より、

281.9

2

11 t××= よって、

45.081.9

2==t ［s］となる。

ここで °0θ＝ ， 01.0=iP の時の水噴流の到達距離 54.1=L を⑧式に代入して、

54.145.0 =×v より、

42.345.0

54.1==v ［m/s］

同様に、 iPの値を 0.01 ずつ上げた時の水噴流の距離 Lから計算することで噴

出速度 vを求める。

ベルヌーイの定理より計算される理論噴出速度 thv を求める。（θ＝０）

ρ

)(2 21 ppvth

−= ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・⑨

から理論噴出速度 thv を求めることができる。

このとき、 1p の値は、ブルドン管圧力計の読み＋大気圧（約 100［kPa］）であ

る。 2p の値は、大気圧のみである。ρのあたいは、水の密度であるので、

2/1000 mkg である。よって、

1000

1010010100(2 33 ×−×=

＋ith

Pv ・・・・・・・・・・・・・⑩

となり、 iPの値を代入することで理論噴出速度 thv を求めることができる。

01.0=iP の時の理論噴出速度 thv は、

47.41000

10100101001001.0(2 336

=×−××

=＋

thv ［m/s］

となり、同様に iPの値を 0.01 ずつ上げ、⑩式に代入することで理論噴出速度 thv

を求める。

表３に実験値からの噴出速度と理論噴出速度を示す。

表表表表３３３３，，，，ノズルノズルノズルノズル角度角度角度角度００００°°°°時時時時のののの噴出速度噴出速度噴出速度噴出速度とととと理論理論理論理論噴出速度噴出速度噴出速度噴出速度のののの比較比較比較比較

ブルドンブルドンブルドンブルドン管圧力計管圧力計管圧力計管圧力計のののの読読読読みみみみ ip

［［［［MpaMpaMpaMpa］］］］

噴出速度噴出速度噴出速度噴出速度 v

［［［［m/sm/sm/sm/s］］］］

理論噴出速度理論噴出速度理論噴出速度理論噴出速度 thv

［［［［m/sm/sm/sm/s］］］］

0.010.010.010.01 3.423.423.423.42 4.474.474.474.47

0.020.020.020.02 5.025.025.025.02 6.326.326.326.32

0.030.030.030.03 6.366.366.366.36 7.757.757.757.75

0.040.040.040.04 7.167.167.167.16 8.948.948.948.94

0.050.050.050.05 7.677.677.677.67 10.0010.0010.0010.00

0.060.060.060.06 8.628.628.628.62 10.9510.9510.9510.95

これをグラフにして図３で示す。

図図図図 3333，，，，噴出噴出噴出噴出速度速度速度速度とととと理論理論理論理論噴出噴出噴出噴出速速速速度度度度のののの比較比較比較比較

図１をみると、実験で求めた噴出速度 vは理論噴出速度 thv よりも全体的に値が小さ

くなることがわかった。

○ 課題（2）

0

2

4

6

8

10

12

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 ブルドン管の読み ［MPa］

噴出速度 理論噴出速度

速 度

［m/s］

mH 0= から水噴流を打ちあげて、地面に付くまでの時間 t を求める。

02

1sin 2 =−×× gttv θ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・⑪

より、

g

vt

θｖθ ２ 2sinsin ×±××= ・・・・・・・・・・・・・・・・・・⑫

0⟩ｔ であるから、

g

vt

θsin2 ××= ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・⑬

到達距離 L は、

tvL ××= θcos ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・⑭

で求めることができる。この式にｔを代入して、

g

v

g

vL

22 2sincossin2 ×=

×××=

θθθ・・・・・・・・・・・・・⑮

θ2sin が一番大きい値になるときが、到達距離 L が大きくなることがわかる。

ここで、 αsin （ °⟨°⟨ 900 α ）が一番値が大きくなるのはα＝90°の時であって、

2θ＝α＝90°で値が大きくなるので、 °= 45θ の時に θ2sin の値が大きくなり、

到達距離 Lが最大となる。

○ 課題（3）

理論噴出速度 thv で、ノズルの角度θを変えた時の地面までの理論到達距離 thL

を求める。

ノズル位置高さ mH 1= から噴出させているので、地面に付くまでの時間 t は、

2

2

1sin1 tgtv ××−××=− θ ・・・・・・・・・・・・・・・・・⑯

ブルドン管圧力計の読みが 0.03Mpa の場合。

速度 thv は、表３より 7.75m/s である。⑯式を使って、これを代入し、

2

2

1sin75.71 tgt ××−××=− θ ・・・・・・・・・・・・・・・・⑰

この○式にθ＝10°～60°まで代入してｔを求め、

thLtv =×× θcos ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・⑱

によって、理論到達距離 thL を求める。

θ＝10°を例に次に示す。

281.9

2

110sin75.71 tt ××−×°×=− ・・・・・・・・・・・・・⑲

61.081.9

9.81210sin75.710sin75.7 22

=××−°×°×

=１＋

t ［ｓ］

65.461.010cos75.7 =×°×=thL ［ｍ］

同様にノズル角度θを変え計算する。

ブルドン管圧力計の読みが 0.0６Mpa の場合も 0.03Mpa 同様に計算する。

表 4 に到達距離 Lと理論到達距離 thL を示す。

表表表表 4444，，，，到達距離到達距離到達距離到達距離 Lとととと理論到達距離理論到達距離理論到達距離理論到達距離 thL のののの比較比較比較比較

ノズルノズルノズルノズルのののの角度角度角度角度θθθθ

［［［［°°°°］］］］

ブルトンブルトンブルトンブルトン管圧力計管圧力計管圧力計管圧力計のののの

読読読読みみみみ iP［［［［MPaMPaMPaMPa］］］］

水噴流水噴流水噴流水噴流のののの到達距離到達距離到達距離到達距離

LLLL［ｍ］［ｍ］［ｍ］［ｍ］

水噴流水噴流水噴流水噴流のののの理論到達理論到達理論到達理論到達

距離距離距離距離 thL [m][m][m][m]

10101010 3.3.3.3.43434343 4.654.654.654.65

20202020 3.3.3.3.72727272 5.805.805.805.80

30303030 3.3.3.3.83838383 6.686.686.686.68

40404040 4.4.4.4.00000000 7.057.057.057.05

50505050 3.3.3.3.55555555 6.786.786.786.78

60606060

0.0.0.0.03030303

3333....24242424 5.835.835.835.83

10101010 4.4.4.4.73737373 7.397.397.397.39

20202020 5.5.5.5.12121212 10.0110.0110.0110.01

30303030 5.5.5.5.50505050 12.1012.1012.1012.10

40404040 6.6.6.6.13131313 13.1313.1313.1313.13

50505050 5.5.5.5.10101010 12.8212.8212.8212.82

60606060

0.0.0.0.06060606

4.4.4.4.10101010 11.1311.1311.1311.13

図図図図 4444，，，， 03.0=iP のののの時時時時のののの到達距離到達距離到達距離到達距離 Lとととと理論到達距離理論到達距離理論到達距離理論到達距離 thL のののの比較比較比較比較

図図図図 5555，，，， 06.0=iP のののの時時時時のののの到達距離到達距離到達距離到達距離 Lとととと理論到達距離理論到達距離理論到達距離理論到達距離 thL のののの比較比較比較比較

図４，5 共に理論到達距離の値と実験値の値が離れてしまった。しかし、実験値か

らも °= 40θ の地点が一番遠くに飛んでいることがわかる。

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

7.00

8.00

0 10 20 30 40 50 60

角度(°)

到達距離 (ｍ)

理論到距離 (ｍ)

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

14.00

0 10 20 30 40 50 60

角度(°)

到達距離 (ｍ)

理論到距離 (ｍ)

距 離

(ｍ)

距 離

(ｍ)

○ 課題（4）

ノズルのあたりでは、水がまとまって出ていたが、地面に付くあたりになると広が

ってしまっていた。

○ 課題（5）

ブルドブルドブルドブルドンンンン管圧力計管圧力計管圧力計管圧力計のののの測定原理測定原理測定原理測定原理

ブルドン管圧力計は扁平な横断面をもつ円弧状の金属管に内圧を加えると、金

属管は円形になる方に弾性変形し、その結果、圧力に比例して管端に変位を生ず

ることを利用し、その変化をラックとピニオンを介して指針によって拡大して読

み取るようにしたもので、測定範囲が低圧から高圧までの各種がある。液柱計に

比較して測定の精度は劣っているが、耐久性があり、取り扱いが容易であるので

工業的に広く使用されている。また、ブルドン管圧力計には次のような欠点もあ

る。

･ブルドン管から大きな力を取り出すと誤差が出るため、指示機構は軽く摩擦がな

いようにする必要がある。

･通常ギアやレバーを使用するので、振動や衝撃に弱いという点がある。

･ブルドン管の内部は狭いので、固形分を含む流体や高粘度の液体に対しては、そ

のままでは使用できない。

図図図図６６６６，，，，ブルドンブルドンブルドンブルドン管圧力計管圧力計管圧力計管圧力計のののの構造構造構造構造

各種圧力計各種圧力計各種圧力計各種圧力計

･分銅式標準圧力計分銅式標準圧力計分銅式標準圧力計分銅式標準圧力計

液体の圧力を校正ずみの分銅とつりあわせて圧力を測定する圧力計で、測定精度

が高いので他の圧力計を校正するための標準圧力計である。

･チャットクチャットクチャットクチャットク傾斜微圧計傾斜微圧計傾斜微圧計傾斜微圧計

20mmH2O 程度までの小さい圧力差を正確に測定するときに用いられる。液柱計

の一種であるが、圧力差による液面の変位をねじの回転によって最小目盛り

0.005mmH2O で読み取ることが出来る。

････ベローベローベローベロー圧力計圧力計圧力計圧力計

ベロ－は、外周にちょうちん状の深いひだを持った薄肉円筒状の物で、軸方向に

伸縮可能な受圧素子である。耐圧に限度がある為、低圧用圧力計に用いられる。加

圧するとベロー自由端が変位する。これがレバ－を経由して、ロッド、セクタへと

伝わり、指針を動かし、圧力を指示する。

７， 考察

実験結果により、到達距離 L と理論到達距離 Lth では、理論到達距離より短くなった。

原因としては空気の抵抗と、角度を付けたとき水が広がって地面に付いていたため、到

達距離を正確に測れなかったと考えられる。また、噴出速度と理論噴出速度でも、噴出

速度の方が理論噴出距離より遅くなった。これも空気による抵抗だと考えられる。

８， 結論

到達距離は、理論到達距離付近にはならなかった。又、噴出速度も理論到達距離付近に

はならなかった。

９， 参考文献

･島 章，小林 陵二，『水力学』，平成 16 年 11 月 20 日，丸善株式会社

･第一計器製作所 http://www.daiichikeiki.co.jp/