計算のスピードアップ• コンピュータでも、 sin、 cosの計算は大変です

• 足し算、引き算、掛け算、割り算は早いです

• 対称性を利用して sin、 cosを計算するとよい

高速フーリエ変換（ FFT)

対称性の利用

対称性を利用すると計算速度は上がるが、データ数に制限が付く

• 一周 (2π）を 4分割、８分割、 16分割、32分割、 64分割、 128分割、 256分割で考える

Excelの FFT

32データにしましょう

xをつくる

これを例にしてみます

mの作成

データ分析の利用

入力データを選択

出力先を決める

フーリエ分析

フーリエ係数の計算

フーリエ係数の作成

フーリエ係数

わかりやすい例

a1=1それ以外は 0

FFTの結果OK!

？

m=31の正体

エイリアシング

信号解析• まず、１周期分を取り出す

取り出し方によって、偶関数、奇関数、どちらでもない関数

それぞれでフーリエ係数も変わってしまう

信号の作成

n=100まで

n=0から 31まで貼り付ける

n=8から n=39まで貼り付ける

n=12から n=43まで貼り付ける

それぞれをフーリエ解析してみる

やはり結果が違う

ノルム /（データ数 /2)　を計算してみる

ノルムは同じになる

周期の取り出しについて

こういう波が連続していると解釈できる

実際の波では周期が厳密にわからないこともある

周期の取り方が少しでもおかしいと、結果がめちゃくちゃになるようでは困る

周波数を使ったフーリエ解析データの作成

ｔ： 0から 0.1刻みで 10秒まで

1周期分切り出す

0秒から 3.1秒まで

周期は 3.2秒

フーリエ解析の準備

周期

フーリエ解析とノルムの計算

同様に、二周期分を取ってみる

周期は 6.4秒

0秒から 6.3秒まで

周波数で見たフーリエ解析の結果

どちらも周波数 0.3125[Hz]のところの振幅が１となる。周波数で考えれば、まちがえて２周期分を１周期としても問題ない

周期に切れ目でうまく切り出せない場合

• １周期がどこなのか、わかりにくい• ３２、６４、１２８などのデータ数にならない

周期：約 4.19秒周波数 0.239[Hz]

周期：約 2.51秒周波数：0.398[Hz]

周期は約 12.6秒だが（正確には４ π秒）そこで切ると FFTが出来ない

0秒から 12.7秒の 128データで FFTをしてみる

周波数 0.390625[Hz]の振幅が 1.919211周波数 0.234375[Hz]の振幅が 1.051395

正解は周波数 0.398[Hz]の振幅が 2周波数 0.239[Hz]の振幅が 1

まあまあ合っている