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#��U9
?3.c•••••••
;*��:-�KR結果A1
原因B
結果AN
:
結果A2
P(結果|原因)
;*�:-�16
A1∩B A2∩B A3∩B A4∩B
原因B結果A
A1 A2 A3 A4
#���Rd�;*→:-�• ! "# 4
$ "#|! =$ !|"# $ "#∑()#* $ ! ∩ "(
=$ !|"# $ "#
∑()#* $ !|"( $ "(
=$ !|"# $ "#
$ !
4/f���;*�KR原因B1
原因B2
原因BN
:
結果
P(原因|結果)
4/f�:-→;*�• " ! !# 2 4
$ !#|" =$ "|!# $ !#∑()#* $ " ∩ !(
=$ "|!# $ !#
∑()#* $ "|!( $ !(
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$ "
4/f���;*�:-�16
B1∩A B2∩A B3∩A B4∩A
結果A原因B
B1 B2 B3 B4
�����,N�%�&��KR�仮説H1
仮説H2
仮説HN
:
データD
P(仮説|データ)
�����,N�%�&��KR�• , -# 4
$ -#|, =$ ,|-# $ -#∑()#* $ , ∩ -(
=$ ,|-# $ -#
∑()#* $ ,|-( $ -(
=$ ,|-# $ -#
$ ,
�����,N�%�&��KR�
H1∩D H2∩D H3∩D H4∩D
データD仮説
H1 H2 H3 H4
#���Rd�#��U9• 5
P( | ) 33
• 52
`T�����• P( | ) 34• 5
2 =P( | ) 35
• =34
• 3 $ - $ ,|-$ -|, 34
$ -|, =$ ,|- $ -
$ ,
HO/f�H=/f�`T
事後確率尤度 事前確率
HO/f�`T�H=/f仮説H1
仮説H2
仮説HN
:
データD
尤度P(データ|仮説)
仮説H1
仮説H2
仮説HN
:事後確率P(仮説|データ)
事前確率P(仮説)
HO/f�H=/f�`T• 2
=
確率
変数
€
x
/f]L�/fZY• 5 4
34•• 34
サイコロの目(確率変数) 1 2 3 4 5 6
確率 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
コイントス(確率変数) 表 裏
確率 1/2 1/2
/fZY�Ig••••
••••
iPS /f]L�/fZY確率
変数
€
a
€
b
€
P a ≤ x ≤ b( )
•
€
x
eD7�/f]L�/fZY• 5 4
34•• 34
eD7/fZY�[5�ZD�XJ\B
• . /( 0( 4 = 3. 1 23 2 4
• ( )1 = /#0# + /303 + ⋯+ /*0*→ = 3
• 23 = /# − 1 30# + /3 − 1 303 + ⋯+ /* − 1 30*• 2
→ 3
. /# /3 /7 … /*
0 0# 03 07 … 0*
���'�_�/fZY
$
/
$ / = 4
���'�_�/fZY
• ( )1 = 1× ⁄1 6 + 2× ⁄1 6 +⋯+ 6× ⁄1 6 = 3.5• 23 = 1 − 3.5 3× ⁄1 6 + /3 − 1 3× ⁄1 6 +⋯+ /* − 1 3×
⁄1 6 ≅ 2.9• 2 ≅ 1.7
)aZY• 4
=34
• [0, 1]4
��( ��/fZY
• 34 234 5
#&!��G>�V@ZY• = 0
•/ #D# #DE#D# ×0 #DE × 1 − 0
•0 0 / ( ) 0( 0 3D3 ×03
3D3 ×03 3D# ×0 1 − 0 3D3 × 1 − 0 3
•1 …
��( ��"��&�C08
#D# ×0 #DE × 1 − 0
3D3 ×03 3DE × 1 − 0 33D# ×0 1 − 0
7D7 ×07 7D3 ×03 1 − 0 7D# ×0 1 − 0 37DE × 1 − 0 7
#&!��G>�V@ZY• 0 1 = 3 63 F G =
0 3 (G = F×0)4
• 334
!HFIJ F, 0 = *DL M 0L M 1 − 0 *NL ∝ 0L M 1 − 0 *NL
#&!��G>�V@ZY• 4 5
• 1 = F0• 23 = F0 1 − 0
. 0 1
1 − 0 0
V@ZY�`T1L• Q 0 4
Q 0 = *DL M 0L M 1 − 0 *NL
• 0 5 = F 3 = G4
Q 0 = RD7 M 07 M 1 − 0 3 ∝ 07 M 1 − 0 3
• 4logQ 0 ≈ log 07 M 1 − 0 3 = 3log0 + 2log 1 − 0
`T1L�9Eh• 0 = 0.6 Q(0) 0.03456
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
p
L(p)
V@ZY
• G = Y − 1, F − G = Z − 1 !HFIJ F, 04
!HFIJ F, 0 ∝ 0L M 1 − 0 *NL
= 0[N# M 1 − 0 \N#
=Y − 1 ! Z − 1 !Y + Z − 1 !
#��ZY•^ Y, Z, 0
^ 0; Y, Z = !`ab Y, Z = c M 0[N# M 1 − 0 \N#
= c MY − 1 ! Z − 1 !Y + Z − 1 !
0 < 0 < 1, 0 < Y, 0 < Z
c =1
∫E#0[N# M 1 − 0 \N#f0
#��ZY• !`ab Y, Z 1 23 4
1 =Y
Y + Z
23 =YZ
Y + Z 3 Y + Z + 1
#��1L• ! Y, Z 34
! Y, Z = gE
#
/[N# M 1 − / \N#f/
•
! Y, Z = ! Z, YY! Y, Z + 1 = Z! Y + 1, Z
! Y, Z = ! Y, Z + 1 + ! Y + 1, Z
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
x
y
#��ZY
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.5
1.0
1.5
x
y
!`ab 1, 1!`ab 3, 2
#��ZY
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
x
dbet
a(x,
0.5
, 0.5
)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
x
dbet
a(x,
5, 5
)
!`ab 0.5, 0.5 !`ab 5, 5
#��ZY�^W /fZY•••••
#��ZY�+bh• 3
3 2
•2 22
3
2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
01
23
4x
dbet
a(x,
10,
15)
プロジェクト終了期間
#��1L��($1L• 4
! Y, Z = gE
#
0[N# M 1 − 0 \N#f0
=Y − 1 ! Z − 1 !Y + Z − 1 !
=Γ Y Γ ZΓ Y + Z
• Γ Y 34
�($1L• Γ Y
Γ Y = gE
i
/[N#`Nj f/
Y > 0
• Γ Y 4
Γ Y = Y − 1 !Γ Y + 1 = YΓ YΓ ⁄1 2 = l
�($ZY• ^ / 4
^ / = mb Y, n =n[
Γ Y/[N#`Noj, / ≥ 0
• q . r .
q . =Yn
q . =Yn3
�($ZYΓ(0.5) Γ(10)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00e+00
2e-07
4e-07
6e-07
8e-07
1e-06
x
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
05
1015
x
mb 0.5, 1 mb 10, 1
FLZY• 3 Y = 1
^ / = n`Noj, / ≥ 1
q / =1n
r / =1n3
FLZY
0 2 4 6 8 10
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
M2ZY����ZY�• 1 23 / 3
4 s 1, 23 34
^ / = s 1, 23 =1
2l23`/0 −
/ − 1 3
223
• q . r . 6
q . = 1r . = 23
���'�<�A9Q確率
変数2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
11
21
12
22
31
13
32
23
41
14
33
42
24
51
15
43
34
52
25
61
16
44
53
35
26
62
54
45
36
36
55
46
46
65
56
66
M2ZY
XJM2ZY• /
t = ⁄/ − 1 2• t 1 = 0 23 = 1
s 0,1
• s 0,1 ^ t 4
s 0,1 = ^ t =1
2l`/0 −
t3
2
V@ZY�M2ZY•
!HFIJ F, 0 = *DL M 0L M 1 − 0 *NL ∝ 0L M 1 − 0 *NL
• F 3 suv
F0, F0()
1 −0
s F0, F0 1 − 0 =1
2lF0 1 − 0`/0 −
/ − F0 3
2F0 1 − 0
w3ZY• .( 1 23 4.(~s 1, 23
y( =z{N|}
4y(~s 0,1
• y(3 1 w3 w3 1 4 3
y(3 =
.( − 12
3
~w3 1
• ~ = ∑()#* y(
3 F w3 w3 F 4~ =�
()#
*y(3 ~w3 F
0 5 10 15 20 25 30
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
x
dchi
sq(x
, 1)
w3ZY
w3
1 w3 w3 1
w3 3
w3 5w3 10
w3 20
w3ZY• c w3 w3 c ^ /; c 0 ≤ /
(/ < 0 0)
^ /; c =1
2Å3Γ c
2
`Nj3/
Å3N#
• Γ Y• c w3 3
c6 2c
�($ZY�w3ZY• mb ⁄c 2 , 2 c w3 w3 c
mbc2, 2 = w3 c
• / = t3 mb ⁄1 2 , ⁄1 2
mb12,12
=1
2lt3`/0 −
t3
2= ^ t = s 0,1