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Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 1
Processamento Digital de Sinais
Notas de Aula
Sinais e Sistemas de Tempo Discreto
Ricardo Tokio Higuti
Departamento de Engenharia Eletrica - FEIS - Unesp
Observacao: Estas notas de aula estao baseadas no livro: “Discrete-Time Signal Processing”,
A.V. Oppenheim and R.W. Schafer, Prentice Hall, 1989/1999.
Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 2
Sinais
• Carregam alguma informacao (voz, dados, imagem)
• Representacao por uma funcao ou sequencia de valores
• Variacao no tempo / conteudo de frequencia
• Tempo/frequencia contınuo ou discreto
0 1 2 3 4 5 6−2
−1
0
1
2
0 5 10 15 20 25 30−2
−1
0
1
2
tempo [s]
amostra n
Amplitude[V
]Amplitude[V
] sinal de tempo contınuo xc(t)
sinal de tempo discreto x[n]
Sinais de tempo contınuo // tempo discreto // digitalUm sinal de tempo contınuo e definido para todos os instantes de tempo,
ao passo que um sinal de tempo discreto e definido apenas para algunsinstantes de tempo, em geral uma sequencia de numeros que pode ser
representada na forma:
x[n] = {· · · , x[−2], x[−1], x[0], x[1], x[2], · · ·}.
O sinal pode ser de natureza discreta (um ındice de inflacao) ou pode
ser obtido a partir de amostras de um sinal de tempo contınuo, como nafigura acima:
x[n] = xc(t)|t=nT = xc(nT ), n inteiro
Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 3
Sinais de Tempo Discreto e Digital
• Sinal de tempo discreto - amplitude contınua
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
mês
[%]
Índice de inflação INPC − 2003
• Sinal digital - amplitude e tempo discretos
0 1 2 3 4 5 6 7 80
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
amostra
Am
plitu
de
Sinal digital
Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 4
Operacoes Basicas
• Soma
x[n] + y[n] = {· · · , x[−1] + y[−1], x[0] + y[0], x[1] + y[1], · · ·}
• Multiplicacao com escalar
a · x[n] = {· · · , a · x[−1], a · x[0], a · x[1], · · ·}
• Multiplicacao entre sequencias
x[n] · y[n] = {· · · , x[−1] · y[−1], x[0] · y[0], x[1] · y[1], · · ·}
• Manipulacao da variavel independente
−6 −4 −2 0 2 4 60
1
2
3
−6 −4 −2 0 2 4 60
1
2
3
−6 −4 −2 0 2 4 60
1
2
3
−6 −4 −2 0 2 4 60
1
2
3
−6 −4 −2 0 2 4 60
1
2
3
−6 −4 −2 0 2 4 60
1
2
3
x[n]
x[n− 2]
x[n + 2]
x[−n]
x[−n− 2]
x[−n + 2]
Amostra nAmostra n
Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 5
Sequencias Basicas
• Impulso: δ[n] =
1, n = 0
0, n 6= 0
• Degrau: u[n] =
1, n ≥ 00, n < 0
⊲ u[n] =+∞∑
k=0
δ[n− k]
⊲ δ[n] = u[n]− u[n− 1]
Caso geral: x[n] =+∞∑
k=−∞
x[k]δ[n− k]
• Senoide: x[n] = A cos(ω0n+ φ)
ω0: frequencia [rad] ou [rad/amostra]
φ: fase [rad]
• Exponencial complexa:
x[n] = Aej(ω0n+φ) = A cos(ω0n+ φ) + jA sin(ω0n+ φ)
cos(ω0n) =ejω0n + e−jω0n
2sin(ω0n) =
ejω0n − e−jω0n
2j
Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 6
Decomposicao
Partes par e ımpar:
• x[n] = xe[n] + xo[n]
• xe[n] = (x[n] + x∗[−n])/2 - parte par
• xo[n] = (x[n]− x∗[−n])/2 - parte ımpar
Partes real e imaginaria, magnitude e fase:
• x[n] = xR[n] + jxI [n]
• xR[n] = (x[n] + x∗[n])/2 - parte real
• xI [n] = (x[n]− x∗[n])/2j - parte imaginaria
• x[n] = |x[n]|ejφx[n]
• |x[n]| = (x2R[n] + x2
I[n])1/2 - magnitude
• φx[n] = 6 x[n] = arctan(xI [n]/xR[n])
Simetrias:
• Se x[n] = x[−n], entao x[n] e par
• Se x[n] = −x[−n], entao x[n] e ımpar
• Se x[n] = x∗[−n], entao x[n] e conjugado simetrico
• Se x[n] = −x∗[−n], entao x[n] e conjugado antissimetrico
Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 7
Periodicidade e frequencia de Sinais
Um sinal e periodico com perıodo N se satisfizer, para qualquer n, a:
x[n] = x[n±N ] = x[n± 2N ] = · · · , N inteiro.
Para o caso particular de um sinal senoidal:
x[n] = A cos(ω0n)
x[n+N ] = A cos(ω0n+ ω0N)
x[n] = x[n+N ]⇔ ω0N = 2πk, N, k inteiros
ω0
2π=
k
N
0 5 10 15 20 25 30 35−1
−0.5
0
0.5
1
0 5 10 15 20 25 30 35−1
−0.5
0
0.5
1
ω0=
2π/7
ω0=
1.2
Amostra n
Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 8
Periodicidade e frequencia de Sinais
Seja um sinal senoidal na freq. ω0:
x[n] = A cos(ω0n+ φ)
Considerando agora um outro sinal senoidal com freq. ω1 = ω0 + 2π:
y[n] = A cos(ω1n+ φ)
= A cos(ω0n+ φ+ 2πn)= A cos(ω0n+ φ)
= x[n]
Portanto, ω0 e (ω0+2π) sao frequencias ‘iguais’. Ou seja, as frequenciasdo sinal discreto se repetem a cada 2π, diferentemente do que ocorre com
frequencias de sinais de tempo contınuo.
Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 9
Frequencias Altas e Baixas
A frequencia de um sinal pode ser avaliada pela variacao da amplitude de
amostra a amostra.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−1
0
1
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−1
0
1
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−1
0
1
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−1
0
1
ω0 = 0, 2π
ω0 = π/4, 9π/4
ω0 = π/2, 5π/2
ω0 = π, 3π
Amostra n
Algumas observacoes:
• Nota-se assim que a maxima freq. de um sinal de tempo discreto e
igual a π.
• Regioes no eixo de ω ao redor de zero (e ±2π, ±4π, ...) relacionam-secom sinais de baixa frequencia.
• Regioes ao redor de π (e −π, ±3π, ...) relacionam-se com sinais dealta frequencia.
Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 10
Sistemas de Tempo Discreto
Um sistema pode ser um filtro, um amplificador, um sistema de controle,
onde ha uma entrada x[n] que e processada (transformada), produzindouma saıda y[n].
x[n] y[n] = T{x[n]}
T{·}
Exemplos:
• Sistema atraso:
y[n] = x[n− nd]
• Filtro de media movel:
y[n] =1
M1 +M2 + 1
M2∑
k=−M1
x[n− k]
• Acumulador ou integrador:
y[n] =n∑
k=−∞
x[k]
• Diferenciador:y[n] = x[n]− x[n− 1]
y[n] = x[n+ 1]− x[n]
Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 11
Propriedades de Sistemas
• Memoria: num sistema com memoria, a saıda em determinado ins-
tante depende da entrada em outros instantes de tempo. Exemplos:
y[n] = x[n− 3] y[n] = x2[n]
• Linearidade: um sistema e linear se obedece ao princıpio da super-
posicao:
T{x1[n]} = y1[n]⇒ T{ax1[n]} = ay1[n], a cte.
T{x2[n]} = y2[n]⇒ T{bx2[n]} = by2[n], b cte.
T{ax1[n] + bx2[n]} = ay1[n] + by2[n]
• Invariancia no tempo: um sistema e invariante no tempo se um
atraso aplicado na entrada provoca o mesmo atraso na saıda:
T{x[n]} = y[n]
T{x[n− n0]} = y[n− n0]
Exemplos:y[n] = x[n− 3] y[n] = nx[n]
Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 12
Propriedades de Sistemas
• Causalidade: num sistema causal, a saıda no instante atual nao
depende de valores futuros da entrada, ou seja, y[n0] nao depende devalores de x[n] para n > n0. Exemplos:
y[n] = x[n− 3] y[n] = x[n+ 3]
• Estabilidade: um sistema e estavel no sentido BIBO (Bounded-InputBounded-Output) se, para qualquer entrada com amplitude limitada
(|x[n]| ≤ Bx < ∞, ∀n), a saıda tambem tem amplitude limitada(|y[n]| ≤ By < ∞, ∀n). Se existir uma unica entrada com ampli-
tude limitada que produza uma saıda com amplitude nao-limitada, osistema e considerado instavel.
Exemplo: acumulador com entrada degrau:
y[n] =n∑
k=−∞
x[k], x[n] = u[n]
y[n] =n∑
k=−∞
u[k] =n∑
k=0
1 = (n+ 1)u[n]
Onde claramente y[n] → ∞ para n → ∞, e o sistema e considerado
instavel. No entanto, e um sistema utilizado na pratica.
Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 13
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Usando a propriedade que qualquer sinal pode ser escrito como a soma de
impulsos escalonados e deslocados no tempo, e a propriedade da lineari-dade, pode-se escrever:
y[n] = T{x[n]}, x[n] =∑
k
x[k]δ[n− k]
= T
∑
k
x[k]δ[n− k]
=∑
k
x[k]T{δ[n− k]}
Definindo a resposta ao impulso do sistema:
h[n] = T{δ[n]}
Usando a propriedade da invariancia no tempo, a saıda pode ser escrita
como:
y[n] =+∞∑
k=−∞
x[k]h[n− k]
= x[n] ∗ h[n] (convolucao linear)
Portanto, num SLIT, a saıda y[n] pode ser obtida a partir da con-volucao linear entre a entrada x[n] e a resposta impulsiva h[n].
Uma caracterıstica importante em SLITs e que, conhecendo-se a res-
posta impulsiva do sistema, pode-se obter a saıda para qualqueroutra entrada. A resposta impulsiva e uma caracterıstica do sistema, epode ser representada por uma sequencia h[n].
• Sistemas com resposta ao impulso com duracao finita - FIR (FiniteImpulse Response);
• Sistemas com resposta ao impulso com duracao infinita - IIR (InfiniteImpulse Response);
Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 14
Exemplos: resposta impulsiva
• Sistema atraso:
y[n] = x[n− nd]⇒ h[n] = δ[n− nd]
• Filtro de media movel:
y[n] =1
M1 +M2 + 1
M2∑
k=−M1
x[n− k]
h[n] =1
M1 +M2 + 1
M2∑
k=−M1
δ[n− k]
• Acumulador ou integrador:
y[n] =n∑
k=−∞
x[k]⇒ h[n] =n∑
k=−∞
δ[k] = u[n]
• Diferenciador:
y[n] = x[n]− x[n− 1]⇒ h[n] = δ[n]− δ[n− 1]
y[n] = x[n+ 1]− x[n]⇒ h[n] = δ[n+ 1]− δ[n]
Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 15
Exemplo - Convolucao
y[n] = x[n] ∗ h[n]
=+∞∑
k=−∞
x[k]h[n− k]
= · · ·+ x[−1]h[n+ 1] + x[0]h[n] + x[1]h[n− 1] + · · ·
= · · ·+ y−1[n] + y0[n] + y1[n] + · · ·
A convolucao pode ser vista como a soma de diversas funcoes respostasao impulso, sendo que cada funcao esta escalonada e deslocada no tempo
de acordo com as amostras de x[n].
−2 0 2 4−1
0
1
2
−2 0 2 4−2
0
2
4
−2 0 2 4−1
0
1
2
−2 0 2 4
−20246
−2 0 2 4−1
0
1
2
−2 0 2 4
−20246
−2 0 2 4−1
0
1
2
−2 0 2 4
−20246
−2 0 2 4−1
0
1
2
−2 0 2 4−2
0246
x[n]
x[−1]δ[n + 1]
x[0]δ[n]
x[1]δ[n− 1]
h[n]
y−1[n]
y0[n]
y1[n]
x[n]y[n]
Amostra nAmostra n
⇒
⇒
⇒
⇒
Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 16
Exemplo - Convolucao - Metodo grafico
Outra maneira de interpretar a somatoria de convolucao e atraves do
calculo da saıda y[n] para cada instante n:
y[n] =+∞∑
k=−∞
x[k]h[n− k]
Para cada instante n, faz-se a multiplicacao de duas funcoes: x[k] eh[n− k], onde n e uma constante. Para se obter a saıda naquele instante,
faz-se a somatoria de todas as amostras da funcao resultante.
y[0] =+∞∑
k=−∞
x[k]h[0− k] =+∞∑
k=−∞
y0[k]
y[1] =+∞∑
k=−∞
x[k]h[1− k] =+∞∑
k=−∞
y1[k]
y[−1] =+∞∑
k=−∞
x[k]h[−1− k] =+∞∑
k=−∞
y−1[k]
Para n = 0:
−4 −2 0 2 4−1
0
1
2
−4 −2 0 2 4−2
0
2
4
−4 −2 0 2 4−2
0
2
4
−4 −2 0 2 4−2
0
2
4
x[k] h[k]
h[0− k]
y0[k] = x[k]h[0 − k]
⇒ y[0] =+∞∑
k=−∞
y0[k] = 4 + 1 = 5
Amostra k
Amostra k
Amostra kAmostra k
Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 17
Para n = −1:
−4 −2 0 2 4−1
0
1
2
−4 −2 0 2 4−2
0
2
4
−4 −2 0 2 4−2
0
2
4
−4 −2 0 2 4−2
0
2
4
x[k] h[k]
h[−1 − k]
y−1[k] = x[k]h[−1 − k]
⇒ y[−1] =+∞∑
k=−∞
y−1[k] = 2
Amostra k
Amostra k
Amostra kAmostra k
Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 18
Para n = −2:
−4 −2 0 2 4−1
0
1
2
−4 −2 0 2 4−2
0
2
4
−4 −2 0 2 4−2
0
2
4
−4 −2 0 2 4−2
0
2
4
x[k] h[k]
h[−2 − k]
y−2[k] = x[k]h[−2 − k]
⇒ y[−2] =+∞∑
k=−∞
y−2[k] = 0
Amostra k
Amostra k
Amostra kAmostra k
Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 19
Para n = 1:
−4 −2 0 2 4−1
0
1
2
−4 −2 0 2 4−2
0
2
4
−4 −2 0 2 4−2
0
2
4
−4 −2 0 2 4−2
0
2
4
6
x[k] h[k]
h[1− k]
y1[k] = x[k]h[1 − k]
⇒ y[1] =+∞∑
k=−∞
y1[k] = 6 + 2− 1 = 7
Amostra k
Amostra k
Amostra kAmostra k
Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 20
Para n = 2:
−4 −2 0 2 4−1
0
1
2
−4 −2 0 2 4−2
0
2
4
−4 −2 0 2 4−2
0
2
4
−4 −2 0 2 4−2
0
2
4
x[k] h[k]
h[2− k]
y2[k] = x[k]h[2 − k]
⇒ y[2] =+∞∑
k=−∞
y2[k] = 3− 2 = 1
Amostra k
Amostra k
Amostra kAmostra k
Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 21
Para n = 3:
−4 −2 0 2 4−1
0
1
2
−4 −2 0 2 4−2
0
2
4
−4 −2 0 2 4−2
0
2
4
−4 −2 0 2 4
−2
0
2
4
x[k] h[k]
h[3− k]
y3[k] = x[k]h[3 − k]
⇒ y[3] =+∞∑
k=−∞
y3[k] = −3
Amostra k
Amostra k
Amostra kAmostra k
Para n ≥ 4, y[n] = 0
−2 −1 0 1 2 3 4−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
7
y[n]
Amostra n
Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 22
Propriedades de SLITs
E muito comum a associacao de sistemas em cascata e em paralelo, e por
isso e importante se conhecer a resposta impulsiva apos a associacao.
• Comutativa, conexao em cascata:
y[n] = (x[n]∗h1[n])∗h2[n]) = (x[n]∗h2[n])∗h1[n] = x[n]∗(h1[n]∗h2[n])
x[n]
x[n]
x[n]
y[n]
y[n]
y[n]
h1[n]
h1[n] h2[n]
h2[n]
h1[n] ∗ h2[n]
• Associativa, conexao em paralelo:
y[n] = x[n] ∗ (h1[n] + h2[n]) = x[n] ∗ h1[n] + x[n] ∗ h2[n]
x[n]
x[n]
y[n]
y[n]
h1[n]
h2[n]
h1[n] + h2[n]
Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 23
Propriedades de SLITs
• Estabilidade BIBO:
x[n] com amplitude limitada: |x[n]| ≤ Bx <∞
y[n] =+∞∑
k=−∞
h[k]x[n− k]
|y[n]| ≤+∞∑
k=−∞
|h[k]||x[n− k]| ≤ Bx
+∞∑
k=−∞
|h[k]|
Portanto, para que a saıda tenha amplitude limitada, deve-se ter que:
+∞∑
k=−∞
|h[k]| <∞
• Causalidade: A saıda num instante n0 e:
y[n0] =+∞∑
k=−∞
h[k]x[n0 − k]
= · · ·+ h[−1]x[n0 + 1] + h[0]x[n0] + h[1]x[n0 − 1] + · · ·
Logo, se o sistema e causal, a saıda no instante n0 nao pode dependerda entrada para instantes n > n0, ou seja, a resposta impulsiva h[n]
deve ser igual a zero para n < 0.
SLIT causal: h[n] = 0 para n < 0.
Dessa forma, as condicoes de estabilidade e causalidade sao facilmentedeterminadas em SLITs se for conhecida a resposta impulsiva.
Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 24
Equacao de Diferencas
Em alguns sistemas, a saıda e a entrada podem estar relacionadas por uma
equacao de diferencas a coeficientes constantes:
N∑
k=0
aky[n− k] =M∑
k=0
bkx[n− k]
No caso geral, tem-se:
y[n] = −N∑
k=1
aka0
y[n− k] +M∑
k=0
bka0x[n− k]
Exemplo
Considere o sistema:
y[n] + 0.5y[n− 1] = x[n]
Considerando condicoes iniciais nulas (y[−1] = 0), a resposta impulsivae obtida, de maneira recursiva, por:
y[0] = x[0]− 0.5y[−1] = 1− 0 = 1
y[1] = x[1]− 0.5y[0] = 0− 0.5(1) = −0.5
y[2] = x[2]− 0.5y[1] = 0− 0.5(−0.5) = 0.25
y[3] = x[3]− 0.5y[2] = 0− 0.5(0.5)2 = −0.125...
y[n] = (−0.5)nu[n]
Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 25
Exemplo (cont.)
Se x[n] = Bδ[n] e y[−1] = a, para n ≥ 0 fica-se com:
y[0] = x[0]− 0.5y[−1] = B − a2
y[1] = x[1]− 0.5y[0] = −12
(
B − a2
)
y[2] = x[2]− 0.5y[1] = 14
(
B − a2
)
...
y[n] =
(
−1
2
)n (
B −a
2
)
, n ≥ 0
Para n < −1:
y[−2] = −2y[−1] + 2x[−2] = −2a
y[−3] = −2y[−2] + 2x[−3] = 4a...
y[n] = (−2)−n−1a =(
−12
)n+1a, n = −2, −3, ...
y[n] = −a
2
(
−1
2
)n
u[−n− 2], n ≤ −2
Logo, a expressao geral da saıda e:
y[n] = B
(
−1
2
)n
u[n]−a
2
(
−1
2
)n
u[n]−a
2
(
−1
2
)n
u[−n− 1]
= B
(
−1
2
)n
u[n]−a
2
(
−1
2
)n
Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 26
Equacao de Diferencas
A solucao geral e dada por uma solucao forcada mais uma solucao ho-
mogenea:
y[n] = yp[n] + yh[n]
• yp[n] e a resposta forcada com condicoes iniciais nulas
• yh[n] e a resposta a entrada zero, devido as condicoes iniciais:
N∑
k=0
akyh[n− k] = 0 (resposta a entrada zero)
• Para a solucao de yh[n] e necessario determinarN coeficientes, obtidosa partir de N condicoes iniciais. Dessa forma, para cada condicao
inicial havera uma saıda diferente.
• Em geral, se a entrada e igual a zero para n < n0, sao fornecidos os
valores da saıda y[n] nos instantes n0 − 1, n0 − 2, · · ·, n0 −N .
• Pode-se provar que, para um sistema linear invariante no tempo cau-
sal, deve-se ter condicoes iniciais nulas, de forma que:
x[n] = 0, n < n0 ⇒ y[n] = 0, n < n0
Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 27
Resposta em frequencia de SLITs
Considere um SLIT cuja entrada e uma exponencial complexa na frequencia
ω0: x[n] = ejω0n:
y[n] = x[n] ∗ h[n] =+∞∑
k=−∞
h[k]x[n− k]
=+∞∑
k=−∞
h[k]ejω0(n−k)
= ejω0n
+∞∑
k=−∞
h[k]e−jω0k
Definindo-se a seguinte funcao complexa:
H(ejω) =+∞∑
k=−∞
h[k]e−jωk,
fica-se com:
y[n] = H(ejω0)ejω0n.
Caso H(ejω0) = A0ejφ0, fica-se que a saıda y[n] para esta entrada es-
pecıfica fica:
y[n] = A0ej(ω0n+φ0).
Ou seja, a saıda e outra exponencial complexa na mesma frequencia que
da entrada, cuja magnitude e fase sao modificadas pela funcao H(ejω) nafrequencia ω = ω0. Assim, ejω0n e uma autofuncao do sistema, e o autova-
lor associado e H(ejω0).
A funcaoH(ejω) descreve a mudanca imposta na entrada ejωn em funcaoda frequencia ω, e por isso e chamada de resposta em frequencia do
sistema.
Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 28
Resposta em frequencia - Exemplo
Sistema atraso: y[n] = x[n− nd].
Se a entrada for uma exponencial complexa: x[n] = ejωn, a saıda e:
y[n] = ejω(n−nd) = ejωne−jωnd.
Logo, a resposta em frequencia e:
H(ejω) = e−jωnd.
O resultado poderia tambem ser obtido a partir da resposta impulsiva:
H(ejω) =+∞∑
k=−∞
h[k]e−jωk =+∞∑
k=−∞
δ[k − nd]e−jωk
= e−jωnd
A magnitude e a fase sao dadas por:
|H(ejω)| = 1 (magnitude/ganho constante)
6 H(ejω) = −ωnd (fase linear)
Logo, um sistema que produz um atraso no tempo tem resposta emfrequencia com magnitude constante e fase linear.
Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 29
Resposta em frequencia - Exemplo
Filtro de media movel: h[n] = δ[n] + δ[n− 1].
A resposta em freq. e:
H(ejω) =+∞∑
n=−∞h[n]e−jωn
= 1 + e−jω = e−jω/2(ejω/2 + e−jω/2) =
= e−jω/22 cos(ω/2)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
0.5
1
1.5
2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−2
−1
0
1
2
ω/π
Magnitude
Fase
Portanto, um filtro de media movel tem ganho que diminui com o au-mento da frequencia, sendo um tipo de filtro passa-baixas.
Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 30
Algumas propriedades de H(ejω)
• H(ejω) e obtida a partir de um sinal de tempo discreto, mas e umafuncao da variavel ω contınua.
• H(ejω) e em geral uma funcao complexa da variavel ω:
H(ejω) = HR(ejω) + jHI(e
jω) = |H(ejω)|ej6 H(ejω)
• H(ejω) e periodico com perıodo 2π:
H(ej(ω+2π)) =∑
nh[n]e−j(ω+2π)n =
∑
nh[n]e−jωn = H(ejω)
Logo, basta representar a funcao H(ejω) num intervalo de duracao 2π.
Resposta em frequencia de Filtros Ideais
• Filtro passa-baixas ideal com freq. corte ωc
1
1
. . .. . .
H(ejω)
H(ejω)
ω
ω
ωc
ωc
−ωc
−ωc
π
π
−π
−π 2π−2π
Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 31
Resposta em frequencia de Filtros Ideais
• Filtro passa-altas ideal com freq. corte ωc
1
. . .. . .
H(ejω)
ωωc−ωc π−π 2π−2π
• Filtro passa-faixa ideal com freq. corte ωc1 e ωc2
1
. . .. . .
H(ejω)
ωωc1−ωc1 ωc2−ωc2 π−π 2π−2π
• Filtro rejeita-faixa ideal com freq. corte ωc1 e ωc2
1
. . .. . .
H(ejω)
ωωc1−ωc1 ωc2−ωc2 π−π 2π−2π
Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 32
Representacao de sequencias usando a Transformada
de Fourier
Aplicando a relacao entre a resposta em frequencia e a resposta impulsivade um SLIT para uma sequencia x[n], pode-se escrever:
X(ejω) =+∞∑
n=−∞x[n]e−jωn (equacao de analise)
A sequencia pode ser obtida a partir de:
x[n] =1
2π
∫ π
−πX(ejω)ejωndω (equacao de sıntese)
A funcao X(ejω) e chamada de Transformada de Fourier de TempoDiscreto (DTFT) da sequencia x[n], sendo comum a representacao do
par transformado:
x[n]DTFT←→ X(ejω)
h[n]DTFT←→ H(ejω)
A sequencia x[n] e composta pela contribuicao de frequencias ω, cujasamplitudes complexas sao dadas por X(ejω)/2π. Dessa forma, X(ejω) re-presenta o conteudo de frequencias (ou espectro) do sinal x[n], para
−π ≤ ω ≤ π.
Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 33
Exemplos - DTFT
Impulso: x[n] = δ[n]
X(ejω) =+∞∑
n=−∞x[n]e−jωn =
+∞∑
n=−∞δ[n]e−jωn = 1, ∀ω
Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 34
Exemplos - DTFT
Exponencial: x[n] = anu[n], a < 1
X(ejω) =+∞∑
n=−∞anu[n]e−jωn =
+∞∑
n=0ane−jωn
=+∞∑
n=0(ae−jω)n
=1
1− ae−jω
−2 −1 0 1 2 3 4 5 60
0.5
1
Am
plitu
de
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
1
2
Mag
nitu
de
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1
0
1
Fas
e [r
ad]
x[n] = (0.5)nu[n]
|X(ejω)|
6 X(ejω)
ω/π
n
Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 35
Convergencia da DTFT
Nem todas as sequencias tem DTFT que converge de forma absoluta, ou
seja, a somatoria:
X(ejω) =+∞∑
n=−∞x[n]e−jωn
pode nao convergir para todo ω. Podem-se determinar sequencias tais que
a somatoria seja convergente, ou seja, tenha um valor finito:
|X(ejω)| < +∞, para todo ω
Assim, tem-se que:
|X(ejω)| =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
+∞∑
n=−∞x[n]e−jωn
∣
∣
∣
∣
∣
∣
≤+∞∑
n=−∞|x[n]||e−jωn|
≤+∞∑
n=−∞|x[n]| < +∞
Dessa forma, uma condicao suficiente para a existencia da DTFT e
que a somatoria acima convirja, ou em outras palavras, a sequencia x[n]deve ser uma sequencia estavel (somavel em modulo).
No entanto, existem sequencias cuja somatoria do modulo nao converge,mas que possuem DTFT, caso do degrau e da senoide.
Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 36
Fenomeno de Gibbs
Seja a resposta em freq. de um filtro passa-baixas ideal:
H(ejω) =
1, |ω| ≤ ωc
0, ωc < |ω| ≤ π
Sua resposta impulsiva e:
h[n] =1
2π
∫ π
−πH(ejω)ejωndω =
1
2π
∫ ωc
−ωc
1 · ejωndω
=1
2π
ejωcn − e−jωcn
jn=
j2 sin(ωcn)
j2πn
=sin(ωcn)
πn, −∞ < n < +∞
Voltando ao domınio da frequencia, observemos o grafico da magnitudedo sinal:
HM(ejω) =M∑
n=−M
h[n]e−jωn
para diversos valores de M . Este sinal e uma aproximacao da funcao
original a medida que se aumenta o numero de componentes de frequencia.
Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 37
Fenomeno de Gibbs
−1 −0.5 0 0.5 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
−1 −0.5 0 0.5 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
−1 −0.5 0 0.5 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
−1 −0.5 0 0.5 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
M = 1 M = 3
M = 8 M = 15
ω/πω/π
Nota-se que a funcao original (em tracejado) nao e reconstruıda perfei-
tamente, havendo oscilacoes que aumentam de freq. a medida que se au-menta o numero de componentes do sinal. Na descontinuidade, as funcoes
assumem valor igual a 0,5. Nesse caso nao e possıvel a sıntese da funcaooriginal pois nao se pode obter uma funcao descontınua a partir de funcoescontınuas (exponenciais complexas). Este e o chamado fenomeno de Gibbs.
Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 38
Alguns pares de transformadas
x[n] X(ejω)
δ[n] 1
δ[n− n0] e−jωn0
1+∞∑
k=−∞
2πδ(ω + 2πk)
anu[n], |a| < 11
1− ae−jω
u[n]1
1− e−jω+
+∞∑
k=−∞
πδ(ω + 2πk)
sin(ωcn)
πnX(ejω) =
{
1, |ω| ≤ ωc
0, ωc < ω ≤ π
ejω0n+∞∑
k=−∞
2πδ(ω − ω0 + 2πk)
cos(ω0n+ φ) π+∞∑
k=−∞
[ejφδ(ω − ω0 + 2πk) + e−jφδ(ω + ω0 + 2πk)]
Propriedades de Simetria
x[n] X(ejω) |X(ejω)| 6 X(ejω)real conjugado simetrico par ımparreal e par real par 0 ou ±π, ımparreal e ımpar imaginario par ±π/2, ımparxe[n] ℜ[X(ejω)]xo[n] jℑ[X(ejω)]
Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 39
Propriedades
Propriedade sequencia DTFTLinearidade ax[n] + by[n] aX(ejω) + bY (ejω)
Atraso no tempo x[n− nd] e−jωndX(ejω)
Deslocamento em freq. ejω0nx[n] X(ej(ω−ω0))
Inversao no tempo x[−n] X(e−jω)X∗(ejω), x[n] real
Diferenciacao em freq. nx[n] jdX(ejω)
dω
Convolucao no tempo x[n] ∗ y[n] X(ejω) · Y (ejω)
Janelamento x[n] · y[n]1
2π
∫ π
−πX(ejθ)Y (ej(ω−θ))dθ
Teorema de Parseval+∞∑
n=−∞
x[n]y∗[n] =1
2π
∫ π
−πX(ejω)Y ∗(ejω)dω
+∞∑
n=−∞
|x[n]|2 =1
2π
∫ π
−π|X(ejω)|2dω
Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 40
Exemplos: Impulso e Senoide
Impulso: Considere o sinal com DTFT:
X(ejω) =+∞∑
k=−∞
2πδ(ω − ω0 + 2πk)
cujo espectro e:
. . .. . .
X(ejω)
ωω0
π
π−π
2π 2π2π−2π
2π + ω0−2π + ω0
A DTFT inversa e:
x[n] =1
2π
∫ π
−πX(ejω)ejωndω =
1
2π
∫ π
−π2πδ(ω − ω0)e
jωndω
=∫ π
−πδ(ω − ω0)e
jωndω = ejω0n
Logo:
ejω0n ⇐⇒ 2π+∞∑
k=−∞
δ(ω − ω0 + 2πk)
Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 41
Exemplos: Impulso e Senoide
Sinal senoidal: Um cosseno pode ser escrito como:
x[n] = cos(ω0n) =1
2(ejω0n + e−jω0n)
Usando o resultado anterior, a DTFT do sinal e:
cos(ω0n)⇐⇒ DTFT
ejω0n
2
+DTFT
e−jω0n
2
cos(ω0n)⇐⇒ π+∞∑
k=−∞
[δ(ω − ω0 + 2πk) + δ(ω + ω0 + 2πk)]
. . .. . .
X(ejω)
ωω0−ω0
π πππ ππ
π−π
2π−2π
2π − ω0−2π + ω0
Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 42
Exemplos: Convolucao Linear e Multiplicacao de Po-
linomios
Considere os polinomios dados por:
a(x) = a0 + a1x+ a2x2 + a3x
3 + · · ·+ aNxN
b(x) = b0 + b1x+ b2x2 + b3x
3 + · · ·+ bMxM
A multiplicacao entre os polinomios resulta em:
c(x) = a0b0 + (a0b1 + a1b0)x+ (a0b2 + a1b1 + a2b0)x2 + · · ·+ (aNbM)xN+M
Chamando de a[n] e b[n] as sequencias relacionadas aos polinomios, emque a[i] = ai, i = 0, 1, · · ·N , e b[i] = bi, i = 0, 1, · · ·M , e chamando:
c[n] = a[n] ∗ b[n]
tem-se que as amostras de c[n] sao iguais aos coeficientes ci, para i =
0, 1, · · ·N +M .
Exemplo
a(x) = 1 + x+ x2 ⇒ a[n] = {1, 1, 1}, 0 ≤ n ≤ 2
b(x) = 2 + x2 − x3 ⇒ b[n] = {2, 0, 1, −1}, 0 ≤ n ≤ 3
A convolucao linear resulta na sequencia:
c[n] = {2, 2, 3, 0, 0, −1}, 0 ≤ n ≤ 5
que corresponde ao polinomio:
c(x) = 2 + 2x+ 3x2 − x5
Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 43
Exemplos: Convolucao periodica
Calcule o espectro de: x3[n] = x1[n] · x2[n], com:
x1[n] =sin(π/2)n
πnx2[n] =
sin(π/4)n
πn
Usando a propriedade da modulacao ou janelamento:
X3(ejω) =
1
2π
∫ π
−πX1(e
jθ)X2(ej(ω−θ))dθ
Os espectros de x1[n] e x2[n] sao:
wp 2p-p-2p
1. . .
. . .
1. . .
. . .
p/2-p/2
wp 2p-p-2p p/4-p/4
X1(ejω)
X2(ejω)
Para calcular X3(ejω), deve-se multiplicar X1(e
jθ) e X2(ej(ω−θ)) para ω
variando entre −π e π. Para ω = 0 tem-se:
1. . .
. . .
1. . .
. . .
1. . .
. . .
qp 2p-p-2p p/2-p/2
qp 2p-p-2p p/4-p/4
qp 2p-p-2p p/4-p/4
w = 0
X1(ejθ)
X2(e−jθ)
X1(ejθ)X2(e
−jθ)
A area destacada da o valor da integral, que deve ser dividida por 2π,
resultando em X3(ej0) = 1/4.
Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 44
Exemplos: Convolucao periodica (cont.)
Para ω = −π/4, a area permanece a mesma pois a sobreposicao entre asfuncoes se mantem:
1. . .
. . .
1. . .
. . .
1. . .
. . .
qp 2p-p-2p p/2-p/2
qp 2p-p-2p p/4-p/4
qp 2p-p-2p p/4-p/4
w = -p/4
X1(ejθ)
X2(ej(−π/4−θ))
X1(ejθ)X2(e
j(−π/4−θ))
A partir desse ponto, diminuindo mais ω, a area comeca a diminuir.Para ω = −π/2, a sobreposicao cai pela metade:
1. . .
. . .
1. . .
. . .
1. . .
. . .
qp 2p-p-2p p/2-p/2
qp 2p-p-2p -p/2
qp 2p-p-2p -p/2
w = -p/2
X1(ejθ)
X2(ej(−π/2−θ)
X1(ejθ)X2(e
j(−π/2−θ))
Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 45
Exemplos: Convolucao periodica (cont.)
Para ω = −3π/4, nao ha mais sobreposicao entre as funcoes, e a area enula:
1. . .
. . .
1. . .
. . .
1. . .
. . .
qp 2p-p-2p p/2-p/2
qp 2p-p-2p -3p/4
qp 2p-p-2p p/4-p/4
w = -3p/4
X1(ejθ)
X2(ej(−3π/4−θ))
X1(ejθ)X2(e
j(−3π/4−θ))
Para valores de ω positivos, tem-se resultados parecidos, e a funcaoresultante fica:
1. . .
. . .
1. . .
. . .
. . .. . .
wp 2p-p-2p p/2-p/2
wp 2p-p-2p p/4-p/4
wp 2p-p-2p 3p/4-3p/4
1/4
X1(ejω)
X2(ejω)
X3(ejω)
Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 46
Exercıcios: Propriedades
Seja a sequencia x[n] dada por:
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
2
1
-1
x[n]
n
Sem calcular explicitamente a DTFT X(ejω), determine os valores de:
1. X(ej0)
2. 6 X(ejω)
3.∫ π−π X(ejω)dω
4. X(ejπ)
5. xe[n], cuja DTFT e a parte real de X(ejω): ℜ[X(ejω)]
6.∫ π−π |X(ejω)|2dω
7.∫ π−π
∣
∣
∣
∣
dX(ejω)dω
∣
∣
∣
∣
2dω
Dicas:
1. Propriedade das areas
2. Verificar simetria do sinal e fase linear (atraso no tempo)
3. Propriedade das areas
4. Valores de ejπn, para n inteiro, expressao da DTFT inversa
5. xe[n] = (x[n] + x∗[−n])/2
6. Teorema de Parseval
7. Propriedade de diferenciacao em frequencia e teorema de Parseval
Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 47
Exercıcios: Propriedades
Calcule a DTFT da sequencia:
x[n] = n
(
1
2
)|n|
Dica:
1. Propriedades de linearidade, inversao no tempo e diferenciacao emfrequencia
2. Sinal x[n] real e ımpar - a sua transformada deve ser imaginaria eımpar.
Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 48
Exercıcios: Propriedades
Considere os seguintes sinais:
x1[n] =
1, 0 ≤ n ≤ L− 10, caso contrario.
x2[n] =
1, −M ≤ n ≤M
0, caso contrario.
1. Obtenha as expressoes das DTFTs de x1[n] e x2[n], em funcao de L e
M .
2. Obtenha as sequencias e os espectros para L = 5 e M = 2.
3. Verifique como se relacionam as sequencias em termos de um atrasono tempo, e os espectros em termos de uma fase linear em frequencia.
Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 49
Exercıcios: Propriedades
Usando os resultados do exemplo anterior, calcule a DTFT de um sinal
senoidal truncado:
v[n] = x1[n] cos(ω0n)
1. Obtenha a expressao da DTFT de v[n]
2. Verifique como o espectro se relaciona com a duracao do pulso (L)
3. Faca alguns graficos (v[n], |V (ejω)|, 6 V (ejω)) para (a) L = 10,ω0 = π/2; (b) L = 20, ω0 = π/2.
Dica: Use a propriedade do janelamento no tempo - convolucao emfrequencia.
Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 50
Exercıcios: Propriedades
Seja x[n] uma sequencia cuja DTFT e do tipo:
1
. . .. . .
X(ejω)
ωπ/2−π/2 π−π 2π−2π
e considere a sequencia modificada z[n] = x[n]·p[n]. Esboce os espectros
Z(ejω) e interprete os resultados para:
1. p[n] = cos(πn)
2. p[n] = cos(πn/2)
3. p[n] = sin(πn/2)
4. p[n] =+∞∑
k=−∞
δ[n− 2k]
Avalie tambem este efeito no MATLAB. Para isto, siga o diagrama deblocos:
XADC LPF
v[n] x[n]
p[n]
z[n]
1. A conversao A/D pode ser feita com o comando wavrecord, ou pode-
se trabalhar com um sinal gravado em arquivo .WAV, utilizando ocomando wavread;
2. O filtro passa-baixas serve para limitar a frequencia do sinal a π/2.
Para isto, use o seguinte codigo:
[N,Wn]=ellipord(0.4, 0.6, 0.1, 40);
[b,a]=ellip(N, 0.1, 40, Wn);
x = filter(b,a,v);
z = x.*p;
O sinal p[n] deve ter as mesmas dimensoes de x[n]. Para ouvir o resul-
tado, use a funcao sound.
Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 51
Exercıcios: Propriedades
Calcule a DTFT do sinal:
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
12
3
4
x[n]
n
Dica: escreva x[n] como a convolucao entre dois pulsos retangulares euse a propriedade da convolucao no tempo.
Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 52
Exercıcios: Resposta em frequencia
a) Um sistema linear invariante no tempo tem resposta impulsiva h[n] real.
Prove que a resposta em frequencia tem magnitude par e fase ımpar:
|H(ejω)| = |H(e−jω)|
6 H(ejω) = − 6 H(e−jω)
Alternativamente, diz-se que H(ejω) tem simetria hermitiana:
H(ejω) = H∗(e−jω)
Dica: escreva a expressao de H(ejω) a partir da definicao e aplique o
conjugado complexo.
b) Num SLIT, a resposta a uma entrada x[n] = ejω0n, e da forma:
y[n] = H(ejω0)x[n] = H(ejω0)ejω0n
Obtenha a saıda do sistema para uma entrada senoidal:
x[n] = A cos(ω0n+ φ0)
Considere que o sistema tem resposta impulsiva h[n] real. Dicas:
1. Escreva x[n] como a soma de duas exponenciais complexas com frequenciasω0 e −ω0;
2. Obtenha as saıdas para cada uma das exponenciais complexas;
3. Usando a informacao de que h[n] e real (como deve ser sua DTFT?),agrupe as respostas individuais para obter um sinal senoidal na saıda.
4. Qual a relacao entre as amplitudes da saıda e da entrada?
5. Qual a diferenca de fase entre a saıda e a entrada?