04 บทที่2 การประมาณค่า 11 11 2556manachai.cmustat.com/208272/chapter2.pdf · บทที่ 2 การประมาณค่า เอกสารประกอบการสอนวชาิ

บทท 2 การประมาณคา

เอกสารประกอบการสอนวชา 208272 สถตเบองตนสาหรบสงคมศาสตร 2 อ.ดร. มานะชย รอดชน

2-1

ในบทท 1 ไดกลาวถงเทคนคการชกตวอยางเบองตน ความหมายและคณลกษณะของประชากรและตวอยาง การชกตวอยางโดยใชหลกความนาจะเปน และการชกตวอยางโดยไมใชหลกความนาจะเปน อกทงการจาแนกประเภทของขอมลทศกษา สวนในบทนจะกลาวถงการแจกแจงของตวอยางสม การประมาณคาแบบจด และการประมาณคาแบบชวง เนองจากในกรณทประชากรมขนาด N มากหรอมขนาดอนนต การทจะเกบขอมลทงหมดไดครบถวนนนเปนไปไดยาก ทงนเปนเพราะตองใชเวลานานและคาใชจายสง ดงนนจงทาการเกบขอมลมาเพยงบางสวนหรอเรยกวาตวอยาง แลวจงนาคณลกษณะของตวอยางทได (สถต) ไปอนมานถงคณลกษณะของประชากร (พารามเตอร) เชน การนาคาเฉลยตวอยาง ไปประมาณคาเฉลยประชากร คอ μ โดยกาหนดให 1 2 nX ,X ,...,X เปนตวอยางสมขนาด n

ix แทน คาสงเกตของหนวยตวอยางท i, i = 1, 2, 3, … , n

ดงนน

n

ii 1 1 2 n

XX X XX

n n= + + +

= =∑

จะใชในประมาณคาของ μ เราจะเรยก X วาตวประมาณคา (Estimator) และคาประมาณ (Estimate) จะแทนดวย

n

xxxn

xx n21

n

1ii +++==

∑=

2.1 การชกตวอยาง (Sampling)

การแจกแจงของตวอยางสม หมายถง การแจกแจงความนาจะเปนของตวสถตทไดจากตวอยางสม

กาหนดให ประชากรขนาด N มคาเฉลย μ และความแปรปรวน 2σ ถาสมตวอยาง

ขนาด n จากประชากรดงกลาว จะไดคาเฉลยตวอยางคอ n

XX

n

1ii∑

==

การชกตวอยางแบบคน ท (Sampling with Replacement) คอ การชกหนวยตวอยางแลวใสกลบคนกอนจะชกหนวยตวอยางถดไป

หนวยตวอยางท 1 2 3 … n-1 n

จานวนวธทสมได N N N … N N

ดงนน จะเหนไดวา จานวนชดตวอยางทเปนไปไดทงหมดเทากบ nN




2-2

การชกตวอยางแบบ ไมคนท (Sampling without Replacement) คอ การชกหนวยตวอยางแลวไมมการใสกลบคนกอนจะเลอกหนวยตวอยางถดไป

หนวยตวอยางท 1 2 3 … n-1 n

จานวนวธทสมได N N-1 N-2 … N-(n-2) N-(n-1)

ดงนน จานวนชดตวอยางทเปนไปไดทงหมด โดยไมคดลาดบเปนสาคญ เทากบ

nN C

)!nN(!n!N

!n)1nN()2nN()2N()1N(N

=−

=+−×+−××−×−×

(จานวนวธเรยงสบเปลยนของ k สงทแตกตางกนเทากบ k !) ตวอยาง 2.1 สมมตวามประชากรขนาด N = 4 มขอมลดงน 1, 2, 3, 4 หาคาเฉลยและความแปรปรวนประชากรดงน

คาเฉลย

N

ii 1

X1 2 3 4 10 2.5

N 4 4= + + +

μ = = = =∑

ความแปรปรวน N

2 2i

i 1

1 (X )N =

σ = −μ∑

25.145)25.225.025.025.2(

41

))5.1()5.0()5.0()5.1((41

))5.24()5.23()5.22()5.21((41

2222

2222

==+++=

++−+−=

−+−+−+−=

การชกตวอยางแบบคน ท ขนาด n = 2 จะไดตวอยางทงหมด 16Nn = ตวอยาง โดยทแตละตวอยางมคาเฉลยดงน

x ขอมล )xX(P =

1 ( 1 , 1 ) 161

1.5 ( 1 , 2 ) ( 2 , 1 ) 162

2 ( 1 , 3 ) ( 2 , 2 ) ( 3 , 1 ) 163

2.5 ( 1 , 4 ) ( 2 , 3 ) ( 3 , 2 ) ( 4 , 1 ) 164

3 ( 2 , 4 ) ( 3 , 3 ) ( 4 , 2 ) 163

3.5 ( 3 , 4 ) ( 4 , 3 ) 162

4 ( 4 , 4) 161

รวม 1



2-3

คาคาดหมายของ X คอ k

j jXj 1

1 2 1x P(X x ) 1 1.5 4 2.516 16 16=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞μ = ⋅ = = + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑

หรอ ( )X1 1 1.5 1.5 2 4 2.5

16μ = + + + + + =

และความแปรปรวนของ X คอ

2 2 2 2 2 2 2X

1 2 1 5(X ) ( (X)) 1 1.5 4 2.5 0.62516 16 16 8

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ = Ε − Ε = + + + − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

หรอ ( ) ( ) ( )k 16

2 2 22 2jX X

j 1

1 1 5(x ) 1 2.5 1.5 2.5 4 2.516 16 8

=

=

⎡ ⎤σ = −μ = − + − + + − =⎣ ⎦∑

ดงนนจะพบวา Xμ = μ และ 2

2X n

σσ =

การชกตวอยางแบบไมคน ท n = 2 จะไดตวอยางทงหมด 6CC 24

2N == ตวอยาง

x ขอมล )xX(P =

1.5 ( 1 , 2 ) 61

2 ( 1 , 3 ) 61

2.5 ( 1 , 4 ) ( 2 , 3 ) 62

3 ( 2 , 4 ) 61

3.5 ( 3 , 4 ) 61

รวม 1

คาคาดหมายของ X คอ k

j jXj 1

1 1 1x P(X x ) 1.5 2 3.5 2.56 6 6=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞μ = ⋅ = = + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑

หรอ ( )X1 1.5 2 2.5 2.5 3 3.5 2.56

μ = + + + + + =

และความแปรปรวนของ X คอ

2 2 2 2 2 2 2X

1 1 1 40(X ) ( (X)) 1.5 2 3.5 2.5 6.256 6 6 6

20 25 80 75 5 0.416673 4 12 12

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ = Ε − Ε = + + + − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦−

= − = = =

หรอ ( ) ( ) ( )k 6

2 2 22 2jX X

j 1

1 1(x ) 1.5 2.5 2 2.5 3.5 2.56 6

=

=

⎡ ⎤σ = −μ = − + − + + −⎣ ⎦∑

[ ]125

25

61125.00025.01

61

=⋅=+++++=

ดงนนจะพบวา Xμ = μ และ 2

2X

N nN 1 n− σ

σ = ⋅−

#



2-4

μ 2x

ขอสงเกต ในกรณทประชากรมขนาดใหญมากเมอเทยบกบขนาดตวอยาง ทาให 1NnN

−− มคาเขา

ส 1 ดงนน 2 2

2X

N n , nN 1 n n− σ σ

σ = ⋅ ≈ →∞−

2.2 การประมาณคาแบบจด (Point Estimation)

เปนการประมาณคาโดยใชคาสถตจากตวอยางมาเปนตวแทนของพารามเตอรของประชากรนนๆ โดยทวไปแลวลกษณะของตวประมาณจะมลกษณะเดยวกนกบประชากรแตจะตางกนทขนาดทใชในการคานวณ

เชน ในการประมาณคาเฉลยประชากร N

ii 1

X N=

μ =∑ โดยสวนใหญจะใช n

ii 1

ˆ X n X=

μ = =∑

เปนตวสถตทใชประมาณ และคาประมาณทได คอ n

ii 1

ˆ x n x=

μ = =∑ วธการประมาณนจะใชคา

เพยงคาเดยวจากตวอยางทาการประมาณพารามเตอร ซงคาทไดจะขนกบตวอยางสมทสมได ทาใหการประมาณแบบจดมความคลาดเคลอนได เพราะวาคาของการประมาณขนกบตวอยางสม ถงแมวาตวประมาณจะมคณสมบตทดกตาม

1x แทน คาเฉลยจากตวอยางชดท 1



2.3 การประมาณคาแบบชวง (Interval Estimation) วธนใชตวประมาณแบบจดเปนคาเรมตนในการประมาณคาพารามเตอรใหมคาอยในชวง

ใดชวงหนง ซงจะพบวาการประมาณคาแบบชวงมความคลาดเคลอนนอยกวาการประมาณคาแบบจด การประมาณคาแบบชวงจะตองใชการแจกแจงของตวสถตทไดจากตวอยาง

กาหนดให θ เปนตวประมาณคาพารามเตอร θ ดงนนการประมาณคาแบบชวงของ θ คอ L U

ˆ ˆθ < θ < θ คาของ Lθ และ Uθ เรยกวา ขดจากดความเชอมน (Confidence Limits)

โดยท L Uˆ ˆP( ) 1θ < θ < θ = −α เมอ 0 1≤ α ≤ เรยก 1−α วาสมประสทธความเชอมน

(Confidence Coefficient) และ (1 )100%−α วาระดบความเชอมน (Confidence Level) ซงในการประมาณคาประมาณทไดจะแสดงถงความนาจะเปนของการครอบคลมพารามเตอร 1−α และเรยก L U

ˆ ˆ( , )θ θ วาชวงความเชอมน (Confidence Interval : CI) ในการประมาณคาแบบชวงนนจะตองพจารณาจากการแจกแจงความนาจะเปนของตวประมาณแบบจดทใช จงจะสามารถหาชวงความเชอมน ตามระดบความเชอมนทกาหนดได

1x 3x



2-5

วธ การหาชวงความเชอมน

1) กาหนดพารามเตอรและตวประมาณพารามเตอร 2) พจารณาการแจกแจงของตวประมาณพารามเตอร 3) กาหนดระดบความเชอมน ( )1 100%−α 4) หาชวงความเชอมน L U

ˆ ˆ( , )θ θ จากการแจกแจงของตวประมาณ 2.4 คา เฉลยประชากร

พจารณา การแจกแจงของคาเฉลยตวอยาง )X( เปน 3 กรณดงน

1) ประชากรมการแจกแจงปรกตและทราบคาความแปรปรวนประชากร 2( )σ

2) ประชากรมการแจกแจงปรกต ไมทราบคาความแปรปรวนประชากรและมขนาดตวอยางเลก (n 30)<

3) ไมทราบการแจกแจงของประชากร แตตวอยางมขนาดใหญ ( n 30≥ ) 2.4.1 ประชากรแจกแจงปรกต และทราบคาความแปรปรวนประชากร 2( )σ

X

XZ ~ N(0,1)−μ=

σ X

XZ ~ N(0,1)−μ=

σถา X เปนตวแปรสมจากประชากรทมการ

แจกแจงปรกตทมคาเฉลย μ และความแปรปรวน 2σ จะได คาเฉลยตวอยางขนาด n มการแจก

แจงปรกตดวยคา เฉลย xμ = μ ความแปรปรวน 2

2X n

σσ = กรณสมแบบใสคน หรอ

22X

N nN 1 n− σ

σ = ⋅−

กรณสมแบบไมใสคน นนคอ 2XX ~ N ( , )μ σ และ

เนองจากประชากรมการแจกแจงปรกตและทราบคาความแปรปรวนประชากร กรณสมแบบ

ใสคน พบวา 2

X ~ N ( , )nσ

μ และ XZ ~ N(0,1)n

−μ=σ

เมอกาหนดระดบความเชอมน

( )1 100%−α สามารถหาคา z ทใหพนทใตโคงปกตเทากบ 1−α ดงรป

/ 2α 1−α

2

zα1

2

z α−

/ 2α

X

XZ ~ N(0,1)−μ=

σ



2-6

12 2

P z Z z 1α α−

⎛ ⎞< < = −α⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

12 2

XP z z 1nα α

−

⎛ ⎞−μ< < = −α⎜ ⎟⎜ ⎟σ⎝ ⎠

12 2

P z X z 1n nα α

−

⎛ ⎞σ σ⋅ < −μ < ⋅ = −α⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

12 2

P X z X z 1n nα α

−

⎛ ⎞σ σ− + ⋅ < −μ < − + ⋅ = −α⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

12 2

P X z X Z 1n nα α

−

⎛ ⎞σ σ− ⋅ < μ < − ⋅ = −α⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

1 12 2 2 2

P X z X z 1 ( z z )n nα α α α

− −

⎛ ⎞σ σ+ ⋅ < μ < + ⋅ = −α = −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∵

ตวอยาง 2.2 อายการใชงานของหลอดไฟฟลออเรสเซนตในโรงงานแหงหนงมการแจกแจงปรกต และคาเบยงเบนมาตรฐานของอายการใชงานเปน 0.2 ถาสมตรวจสอบคณภาพหลอดไฟฟลออเรสเซนตของโรงงานมา 15 หลอด ไดขอมลดงน (หนวยเปน 10,000 ชวโมง)

1.3 1.4 1.2 1.5 1.5 1.1 1.4 1.6

1.3 1.5 1.5 0.9 1.1 1.0 1.8 จงหาคาประมาณแบบชวงของอายการใชงานของหลอดไฟฟลออเรสเซนตจากโรงงานแหงน ทระดบความเชอมน 90%

ตวประมาณแบบชวงของ μ ทระดบความเชอมน ( )1 100%−α คอ

12 2

X z X zn nα α

−

σ σ+ ⋅ < μ < + ⋅ หรอ

1 12 2

X z , X zn nα α

− −

⎛ ⎞σ σ− ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

หรอ 1

2

X znα

−

σ± ⋅

และคาประมาณแบบชวง คอ 1

2 2

x z x zn nα α

−

σ σ+ ⋅ < μ < + ⋅

หรอ 1 1

2 2

x z , x zn nα α

− −

⎛ ⎞σ σ− ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ หรอ

12

x znα

−

σ± ⋅



2-7

วธทา ให μ แทนอายการใชงานเฉลยของหลอดไฟฟลออเรสเซนตจากโรงงาน

จากโจทย 0.2, n 15, x 1.34σ = = =

เนองจาก 1 0.90−α = จะได 0.052α= และ 645.1z

21

=−α

คาประมาณแบบชวงของ μ คอ 1

2

x znα

−

σ± ⋅

( ) ( )0.21.34 1.645

15= ± ⋅

( )1.255, 1.425=

สรป อายการใชงานเฉลยของหลอดไฟฟลออเรสเซนตจากโรงงานมคาอยระหวาง 1.255 10,000×

ชวโมง ถง 1.425 10,000× ชวโมง ทระดบความเชอมน 90% #

ตวอยาง 2.3 คะแนนสอบวชาสถตของนกศกษาป 1 ของมหาวทยาลยเชยงใหม มการแจกแจงปรกต และมคาสวนเบยงเบนมาตรฐานเปน 10 คะแนน สมนกศกษาทสอบวชานมา 16 คน พบวาคะแนนเฉลยเปน 69 คะแนน จงหาคาประมาณแบบชวงของคะแนนเฉลยวชาสถตของ นกศกษาป 1 มหาวทยาลยเชยงใหม ทระดบความเชอมน 95%

วธทา ให μ แทนคะแนนเฉลยของนกศกษาป 1 มหาวทยาลยเชยงใหม

จากโจทย 10, n 16, x 69σ = = =

เนองจาก 1 0.95−α = จะได 0.0252α= และ 96.1z

21

=−α


2

x znα

−

σ± ⋅

( ) ( )16

1096.169 ⋅±=

( )9.73,1.64=

สรป คะแนนสอบเฉลยวชาสถตของนกศกษาป 1 ของมหาวทยาลยเชยงใหม มคาอยระหวาง 64.1

ถง 73.9 คะแนน ทระดบความเชอมน 95% # ตวอยาง 2.4 ถาปรมาณใยอาหารในนาผลไมชนดหนงมการแจกแจงปรกต และมสวนเบยงเบนมาตรฐาน σ กรม จากการสมตวอยางนาผลไมชนดนจานวน 16 กลอง ทระดบความเชอมน 95%

พบวาคาประมาณแบบชวงของปรมาณใยอาหารเฉลยมคาอยระหวาง 18.75 กรม ถง 22.25 กรม จงหาคาเฉลยของปรมาณใยอาหารในนาผลไมจากตวอยางชดน และสวนเบยงเบนมาตรฐาน σ

วธทา ให X แทนปรมาณใยอาหารในนาผลไมซงมการแจกแจงปรกต : 2N( , )μ σ



2-8

XTS n−μ

= มการแจกแจงทดวยองศาเสร n 1ν = −

X แทนปรมาณใยอาหารเฉลยของนาผลไมจากตวอยาง โดยทมการแจกแจงปรกต : 2

N( , )nσ

μ

จากโจทย ทระดบความเชอมน 95% พบวาคาประมาณแบบชวงของปรมาณใยอาหารเฉลยของนาผลไมชนดนอยระหวาง 18.75 กรม ถง 22.25 กรม นนคอ 18.75 22.25< μ <

คาประมาณแบบชวงของ μ คอ 1 1

2 2

x z x zn nα α

− −

σ σ− ⋅ < μ < + ⋅

พจารณา 1 0.95−α = จะได 0.0252α= และ

12

z 1.96α−

=

ดงนน 1 1

2 2

18.75 x z x z 22.25n nα α

− −

σ σ= − ⋅ < μ < + ⋅ =

18.75 x 1.96 x 1.96 22.2516 16σ σ

= − × < μ < + × =

นนคอ x 0.49 18.75− σ = (1)

x 0.49 22.25+ σ = (2)

สมการท (1) + (2) ได 2x 41= ดงนน x 20.5=

สมการท (2) - (1) ได 0.98 3.5σ = ดงนน 3.5714σ =

สรป คาเฉลยของปรมาณใยอาหารในนาผลไมจากตวอยางชดนมคาเทากบ 20.5 กรม และมสวนเบยงเบนมาตรฐาน 3.5714σ = กรม # 2.4.2 ประชากรแจกแจงปรกต ไมทราบคาความแปรปรวน ประชากร และมขนาดตวอยางเลก )30n( <

เมอ X เปนตวแปรสมจากประชากรทมการแจกแจงปรกตทมคาเฉลย μ และไมทราบคาความแปรปรวน ถาสมตวอยางขนาด n )30n( < จะไดคาเฉลยตวอยาง )X( ซง

องศาเสร (Degree of freedom : df or ν ) หมายถง ความเปนอสระของขอมลทไดทาการรวบรวมมา ยกตวอยางเชน สมขอมลจากประชากรมา 4 หนวย พบวามคาเฉลยเทากบ x ดงนน สมมตวาคาของขอมล 3 หนวย มคาเปน 1 2 3x , x , x จะเหนวาคาของขอมลหนวยท 4 จะตองมคาเปน 1 2 3(4 x) (x x x )× − + + เทานน จงจะทาใหมคาเฉลยตวอยางเทากบ x ดงนน คาทง 3 คา จะเปนคาอะไรกได (มความเปนอสระ) สวนอก 1 คาจะตองถกกาหนดใหเปนคาใดคาหนงททาใหไดคาเฉลยจากตวอยางนเทากบ x ในกรณน คาองศาเสรกจะมคาเทากบ n 1−



2-9

รปท 2. 1 การแจกแจงท

ตวอยาง 2.5 ถา T เปนตวแปรสมทมการแจกแจงท จงหาคาตอไปน

1) ( )10P T 1.372 pν= < =

2) ( )15P T t 0.01ν= < =

3) ( )12P T t 0.05ν= > =

วธทา จากตารางท 4 (Cumulative Student’s t Distribution) ภาคผนวก-13

1) เนองจาก ( )10P T 1.372 0.9ν= < = ดงนน p 0.9=

2) เนองจาก ( )9P T 2.821 0.99ν= < = ดงนน ( )9P T 2.821 0.01ν= < − =

0.01,9t 2.821∴ = −

0.01 0.01

0.01,9t 2.821= − 0.99,9t 2.821=

3) เนองจาก ( )12P T 1.782 0.95ν= < =

ดงนน ( )12P T 1.782 1 0.95 0.05ν= > = − =

0.05,12t 1.782∴ =

#



2-10

จากการแจกแจงท เมอกาหนดระดบความเชอมน ( )1 100%−α จะได

/ 2α / 2α

,2

tαν 1 ,

2

t α− ν

1−α

, 1 ,2 2

P t T t 1α αν − ν

⎛ ⎞< < = −α⎜ ⎟

⎝ ⎠

, 1 ,2 2

XP t t 1S nα α

ν − ν

⎛ ⎞−μ< < = −α⎜ ⎟

⎝ ⎠

, 1 ,2 2

S SP t X t 1n nα α

ν − ν

⎛ ⎞⋅ < −μ < ⋅ = −α⎜ ⎟

⎝ ⎠

, 1 ,2 2

S SP X t X t 1n nα α

ν − ν

⎛ ⎞− + ⋅ < −μ < − + ⋅ = −α⎜ ⎟⎝ ⎠

1 , ,2 2

S SP X t X t 1n nα α

− ν ν

⎛ ⎞− ⋅ < μ < − ⋅ = −α⎜ ⎟

⎝ ⎠

, 1 , , 1 ,2 2 2 2

S SP X t X t 1 ( t t )n nα α α α

ν − ν ν − ν

⎛ ⎞+ ⋅ < μ < + ⋅ = −α = −⎜ ⎟

⎝ ⎠∵

ตวประมาณแบบชวงของ μ ทระดบความเชอมน ( )1 100%−α คอ

, 1 ,2 2

S SX t X tn nα α

ν − ν+ ⋅ < μ < + ⋅ หรอ

1 , 1 ,2 2

S SX t , X tn nα α

− ν − ν

⎛ ⎞− ⋅ + ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠

หรอ 1 ,

2

SX tnα

− ν± ⋅ เมอ n 1ν = −

และคาประมาณแบบชวง คอ , 1 ,

2 2

S Sx t x tn nα α

ν − ν+ ⋅ < μ < + ⋅

หรอ1 , 1 ,

2 2

S Sx t , x tn nα α

− ν − ν

⎛ ⎞− ⋅ + ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠ หรอ

1 ,2

sx tnα

− ν± ⋅ เมอ n 1ν = −



2-11

XZn

−μ=σ

มการแจกแจงเขาสการแจกแจงปรกตมาตรฐาน

XZS n−μ

= มการแจกแจงเขาสการแจกแจงปรกตมาตรฐาน

ตวอยาง 2.6 ถาสวนสงของนกเรยนมธยมศกษาโรงเรยนแหงหนงมการแจกแจงปรกต อาจารยผสอนวชาสขศกษาตองการประมาณสวนสงเฉลยของนกเรยนโรงเรยนน จงเกบขอมลสวนสงของนกเรยน 7 คน ดงน

นกเรยนคนท 1 2 3 4 5 6 7

สวนสง (เซนตเมตร) 172 155 158 149 174 153 170

จงประมาณสวนสงเฉลยของนกเรยนมธยมศกษาโรงเรยนแหงน ทระดบความเชอมน 90%

วธทา ให μ แทนสวนสงเฉลยของนกเรยนมธยมศกษา

จากโจทย s 10.18, n 7, x 161.57= = =

1 0.90−α = จะได 0.052α= และ 0.05,6t 1.943=

คาประมาณแบบชวงของ μ คอ 1 ,

2

sx tnα

− ν± ⋅

( ) ( )10.18161.57 1.943

7= ± ⋅

( )154.094 , 169.046=

สรป สวนสงเฉลยของนกเรยนมธยมศกษาโรงเรยนแหงน มคาอยระหวาง 154.094 เซนตเมตร ถง 169.046 เซนตเมตร ทระดบความเชอมน 90% #

2.4.3 ไมทราบ การแจกแจงของประชากร แตขนาดตวอยางใหญ )30n( ≥

ทฤษฎบทลมตสวนกลาง (Central Limit Theorem) ถาไมทราบการแจกแจงของประชากรซงมคาเฉลย μ และความแปรปรวน 2σ และสมตวอยางขนาด n (n มาก) จะไดคาเฉลยตวอยาง ม

การแจกแจงเขาสการแจกแจงปรกตทมคาเฉลย Xμ = μ ความแปรปรวน 2

2X n

σσ = และ

ถาไมทราบการแจกแจงของประชากรซงมคาเฉลย μ และไมทราบคาความแปรปรวน

และสมตวอยางขนาด n (n มาก) จะไดคาเฉลยตวอยางซง



2-12

ตวประมาณแบบชวง ของ μ (กรณทราบคาความแปรปรวน 2σ ) ทระดบความเชอมน ( )1 100%−α คอ

12 2

X z X zn nα α

−

σ σ+ ⋅ < μ < + ⋅ หรอ

1 12 2

X z , X zn nα α

− −

⎛ ⎞σ σ− ⋅ + ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠

หรอ 1

2

X znα

−

σ± ⋅


2 2

x z x zn nα α

−

σ σ+ ⋅ < μ < + ⋅

หรอ 1 1

2 2

x z , x zn nα α

− −

⎛ ⎞σ σ− ⋅ + ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠ หรอ

12

x znα

−

σ± ⋅

ตวประมาณแบบชวงของ μ (กรณไมทราบคาความแปรปรวน 2σ ) ทระดบความเชอมน ( )1 100%−α คอ

12 2

S SX z X zn nα α

−+ ⋅ < μ < + ⋅ หรอ

1 12 2

S SX z , X zn nα α

− −

⎛ ⎞− ⋅ + ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠

หรอ 1

2

SX znα

−± ⋅


2 2

s sx z x zn nα α

−+ ⋅ < μ < + ⋅

หรอ 1 1

2 2

s sx z , x zn nα α

− −

⎛ ⎞− ⋅ + ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠ หรอ

12

sx znα

−± ⋅

ตวอยาง 2.7 โรงงานผลตนาผกผลไมผงสาเรจรปโดยใชเครองอบแหงไมโครเวฟสญญากาตองการศกษาเวลาทใชในการผลต จงสมเกบเวลาทใชในการผลตนาผลไมผง 100 กลอง พบวาคาเฉลยและคาเบยงเบนมาตรฐานของเวลาทใชในการผลตเทากบ 30 นาท และ 5 นาทตามลาดบ จงหาชวงความเชอมน 90% ของเวลาเฉลยทใชในการผลตนาผลไม

วธทา ให μ แทนเวลาเฉลยทใชในการผลตนาผลไมผงสาเรจรป

จากโจทย s 5, n 100, x 30= = =

1 0.90−α = จะได 0.052α= และ 0.95z 1.645=



2-13


2

sx znα

−± ⋅

( ) 530 1.645100

= ± ⋅

( )29.1775 , 30.8225=

สรป เวลาเฉลยทใชในการผลตนาผลไมผงสาเรจรปมคาอยระหวาง 29.1775 นาท ถง 30.8225 นาท ทระดบความเชอมน 95% #

2.5 ผลตางคา เฉลยประชากร 2 กลมทเปนอสระตอกน

ในกรณททาการศกษาผลตางคาเฉลยประชากร 2 กลมทเปนอสระกน โดยท ประชากรกลมท 1 มคาเฉลย 1μ และความแปรปรวน 2

1σ ประชากรกลมท 2 มคาเฉลย 2μ และความแปรปรวน 2

2σ นนคอ สนใจศกษา 1 2 1 2X X−μ = μ −μ จากนนจงทาการสมตวอยางจากประชากร

กลมท 1 และประชากรกลมท 2 ขนาด 1n และ 2n ตามลาดบ กาหนดให 1X แทนคาเฉลยตวอยางของประชากรกลมท 1 2X แทนคาเฉลยตวอยางของประชากรกลมท 2 ดงนน 21 XX − แทนผลตางคาเฉลยตวอยางของประชากร 2 กลม

1 2 1 2X X−μ = μ −μ แทนคาเฉลยของผลตางคาเฉลยตวอยางของประชากร 2 กลม

1 2

2 22 1 2X X

1 2n n−

σ σσ = + แทนความแปรปรวนของผลตางคาเฉลยตวอยางของประชากร 2 กลม

การแจกแจงผลตาง คาเฉลยตวอยาง แบงเปนกรณดงน

1) ประชากรทง 2 กลมมการแจกแจงปรกตและทราบคาความแปรปรวน 2 21 2( , )σ σ

2) ประชากรทง 2 กลมมการแจกแจงปรกต แตไมทราบคาความแปรปรวนและตวอยางมขนาดเลก )30n,30n( 21 <<

2.1) ทราบวา 2 21 2σ = σ

2.2) ทราบวา 2 21 2σ ≠ σ

3) ไมทราบการแจกแจงของประชากร แตตวอยางมขนาดใหญ ( 30n,30n 21 ≥≥ ) 3.1) ทราบคา 2 2

1 2,σ σ

3.2) ไมทราบคา 2 21 2,σ σ

2.5.1 ประชากรทง 2 กลมมการ แจกแจงปรกต และทราบคาความแปรปร วนประชากร (ทราบคา 2 2

1 2,σ σ ) ในการสมตวอยางขนาด 1n และ 2n จากประชากรกลมท 1 และ 2 ตามลาดบ จะไดผลตาง

คาเฉลยตวอยาง 21 XX − มการแจกแจงปรกต และ



2-14

1 2 1 22 21 2

1 2

(X X ) ( )Z ~ N(0,1)

n n

− − μ −μ=

σ σ+

ตวประมาณแบบชวงของ 1 2μ −μ ทระดบความเชอมน ( )1 100%−α คอ

2 2 2 21 2 1 2

1 2 1 2 1 2 11 2 1 22 2

(X X ) z (X X ) zn n n nα α

−

σ σ σ σ− + ⋅ + < μ −μ < − + ⋅ +

หรอ 2 2 2 21 2 1 2

1 2 1 21 11 2 1 22 2

((X X ) z , (X X ) z )n n n nα α

− −

σ σ σ σ− − ⋅ + − + ⋅ +

หรอ 2 21 2

1 2 11 22

(X X ) zn nα

−

σ σ− ± ⋅ +

และคาประมาณแบบชวง คอ 2 2 2 21 2 1 2

1 2 1 2 11 2 1 22 2

(x x ) z (x x ) zn n n nα α

−

σ σ σ σ− + ⋅ + < μ < − + ⋅ +

หรอ 2 2 2 21 2 1 2

1 2 1 21 11 2 1 22 2

((x x ) z , (x x ) z )n n n nα α

− −

σ σ σ σ− − ⋅ + − + ⋅ +

หรอ 2 21 2

1 2 11 22

(x x ) zn nα

−

σ σ− ± ⋅ +

เมอกาหนดระดบความเชอมน ( )1 100%−α จะได

1 2 1 22 2 1

2 21 2

1 2

(X X ) ( )P(z z ) 1

n n

α α−

− − μ −μ< < = −α

σ σ+

2 2 2 21 2 1 2

1 2 1 2 11 2 1 22 2

P(z (X X ) ( ) z ) 1n n n nα α

−

σ σ σ σ⋅ + < − − μ −μ < ⋅ + = −α

2 2 2 21 2 1 2

1 2 1 2 1 2 11 2 1 22 2

P( (X X ) z ( ) (X X ) z ) 1n n n nα α

−

σ σ σ σ− − + ⋅ + < − μ −μ < − − + ⋅ + = −α

2 2 2 21 2 1 2

1 2 1 2 1 211 2 1 22 2

P((X X ) z ( ) (X X ) z ) 1n n n nα α

−

σ σ σ σ− − ⋅ + < μ −μ < − − ⋅ + = −α

2 2 2 21 2 1 2

1 2 1 2 1 2 11 2 1 22 2

P((X X ) z ( ) (X X ) z ) 1n n n nα α

−

σ σ σ σ− + ⋅ + < μ −μ < − + ⋅ + = −α



2-15

( ) ( )1 2 1 2

2p

1 2

X XT

1 1Sn n

− − μ −μ=

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠

องศาเสร 1 2n n 2ν = + −

เมอ ( ) ( )2 21 1 2 22

p1 2

n 1 S n 1 SS

n n 2− + −

=+ −

ตวอยาง 2.8 ถาขอมลจากประชากรทมการแจกแจงปรกต 2 กลม โดยทมคาเบยงเบนมาตรฐานเปน 9 และ 16 ตามลาดบ สมตวอยางขนาด 15 และ 8 จากประชากรสองกลมน พบวามคาเฉลยเปน 35 และ 25 ตามลาดบ จงหาชวงความเชอมน 95% ของความแตกตางของคาเฉลยประชากรทงสองกลมน

วธทา ให 1 2,μ μ แทนคาเฉลยประชากรกลมท 1 และ 2 ตามลาดบ

จากโจทย 1 1 1n 15, x 35 , 9= = σ =

2 2 2n 8, x 25, 16= = σ =

และ 1 0.95−α = จะได 0.0252α= และ 0.975z 1.96=

คาของชวงความเชอมน 95% ของ 1 2μ −μ คอ 2 21 2

1 2 11 22

(x x ) zn nα

−

σ σ− ± ⋅ +

2 29 16(35 25) (1.96)

15 8= − ± ⋅ +

10 11.9865= ±

( 1.9865 , 21.9865)= − สรป ความแตกตางของคาเฉลยประชากรทงสองกลมน มคาอยระหวาง -1.9865 ถง 21.9865 ทระดบความเชอมน 95% # 2.5.2 ประชากรทง 2 กลมมการ แจกแจงปรกต ไมทราบคาความแปรปรวน ประชากร และตวอยางมขนาดเลก )30n,30n( 21 << 2.5.2.1 ทราบวา 2 2

1 2σ = σ จะได



2-16


2 21 2 p 1 2 1 2 p, 1 ,

1 2 1 22 2

1 1 1 1(X X ) t S (X X ) t Sn n n nα α

ν − ν

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + ⋅ + < μ −μ < − + ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

หรอ 2 21 2 p 1 2 p1 , 1 ,

1 2 1 22 2

1 1 1 1((X X ) t S , (X X ) t S )n n n nα α

− ν − ν

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − ⋅ + − + ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

หรอ 21 2 p1 ,

1 22

1 1(X X ) t Sn nα

− ν

⎛ ⎞− ± ⋅ +⎜ ⎟

⎝ ⎠

และคาประมาณแบบชวง คอ

2 21 2 p 1 2 1 2 p, 1 ,

1 2 1 22 2

1 1 1 1(x x ) t s (x x ) t sn n n nα α

ν − ν

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + ⋅ + < μ −μ < − + ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

หรอ 2 21 2 p 1 2 p1 , 1 ,

1 2 1 22 2

1 1 1 1((x x ) t s , (x x ) t s )n n n nα α

− ν − ν

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − ⋅ + − + ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

หรอ 21 2 p1 ,

1 22

1 1(x x ) t sn nα

− ν

⎛ ⎞− ± ⋅ +⎜ ⎟

⎝ ⎠

ตวอยาง 2.9 นายอาเภอแหงหนงตองการทราบถงความแตกตางของรายไดตอเดอนโดยเฉลยของชาวนากบชาวสวน จงไดสมตวอยางมาศกษา โดยมผลการศกษาเปนดงตารางดงน

อาชพ จานวน (คน) รายไดตอเดอนเฉลย (บาท) สวนเบยงเบนมาตรฐาน (บาท)

ชาวนา 16 8,500 1,000

ชาวสวน 9 12,500 1,200

จงประมาณคาความแตกตางของรายไดเฉลยตอเดอนของชาวนากบชาวสวน ทระดบความเชอมน 95% โดยสมมตวาความแปรปรวนของรายไดเฉลยตอเดอนของชาวนากบชาวสวนมคาเทากน

วธทา ให A B,μ μ เปนรายไดเฉลยตอเดอนของชาวนากบชาวสวน ตามลาดบ

จากโจทย 1 1 1n 16, x 8,500, s 1,000= = =

2 2 2n 9, x 12,500, s 1,200= = =

2 2 2 22 1 1 2 2p

1 2

(n 1)s (n 1)s 16(1,000) 9(1,2 1,259,130.4300)sn n 2 16 9 2

48− + − += = =

+ − + −

และ 1 0.95−α =

0.0252α= และ 0.975,231 ,

2

t t 2.069α− ν

= =



2-17

( ) ( )1 2 1 2

2 21 2

1 2

X XT

S Sn n

μ μ− − −=

+

องศาเสร ( ) ( )

22 21 2

1 22 22 2

1 1 2 2

1 2

S Sn n

S n S nn 1 n 1

⎡ ⎤+⎢ ⎥

⎣ ⎦ν =

+− −

ถาคา ν ทคานวณไดเปนเลขทศนยมใหปดขนเปนเลขจานวนเตม


2 2 2 21 2 1 2

1 2 1 2 1 2, 1 ,1 2 1 22 2

S S S S(X X ) t (X X ) tn n n nα α

ν − ν− + ⋅ + < μ −μ < − + ⋅ +

หรอ 2 2 2 21 2 1 2

1 2 1 21 , 1 ,1 2 1 22 2

S S S S((X X ) t , (X X ) t )n n n nα α

− ν − ν− − ⋅ + − + ⋅ +

หรอ 2 21 2

1 2 1 ,1 22

S S(X X ) tn nα

− ν− ± ⋅ +


2 2 2 21 2 1 2

1 2 1 2 1 2, 1 ,1 2 1 22 2

s s s s(x x ) t (x x ) tn n n nα α

ν − ν− + ⋅ + < μ −μ < − + ⋅ +

หรอ 2 2 2 21 2 1 2

1 2 1 21 , 1 ,1 2 1 22 2

s s s s((x x ) t , (x x ) t )n n n nα α

− ν − ν− − ⋅ + − + ⋅ +

หรอ 2 21 2

1 2 1 ,1 22

s s(x x ) tn nα

− ν− ± ⋅ +

ชวงความเชอมน 95% ของ 1 2μ −μ คอ 21 2 p1 ,

1 22

1 1(x x ) t sn nα

− ν

⎛ ⎞− ± ⋅ +⎜ ⎟

⎝ ⎠

1, 2 1 1(8 59,1,500 12, 30.4348500) (2.069)16 9⎛ ⎞= − ± ⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠

967.35224,000= − ±

( 4,967.3522 , 3,032.6478)= − −

สรป ความแตกตางของของรายไดเฉลยตอเดอนของชาวนากบชาวสวน มคาอยระหวาง -4,967.3522 บาท ถง -3,032.6478 บาท ทระดบความเชอมน 95% #

2.5.2.2 ทราบวา 2 21 2σ ≠ σ จะได



2-18

1 2 1 22 21 2

1 2

(X X ) ( )Z ~ N(0,1)

n n

− − μ −μ=

σ σ+

ตวอยาง 2.10 จากการทดลองปลกกระหลาปล 2 วธ โดยปลกกระหลาปลวธท 1 จานวน 16 แปลง วธท 2 จานวน 12 แปลง ผลผลตตอแปลงเฉลยเทากบ 62 และ 54 กโลกรม สวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 4 และ 7 กโลกรม ตามลาดบ จงประมาณคาความแตกตางของนาหนกเฉลยตแปลงของการปลกกระหลาปลทงสองวธ โดยใชระดบความเชอมน 95% เมอทราบวาผลผลตตอแปลงของการปลกกระหลาปลทงสองวธมการแจกแจงปกต และมความแปรปรวนตางกน

วธทา ให A B,μ μ แทนผลผลตตอแปลงของการปลกกระหลาปลวธท 1 และวธท 2 ตามลาดบ

จากโจทย 1 1 1n 16 , x 54, s 4= = =

2 2 2n 12, x 62, s 7= = =

และ 1 0.95−α = จะได 0.0252α= ดงนน

( ) ( ) ( ) ( )

2 22 2 2 21 2

1 22 2 2 22 2 2 2

1 1 2 2

1 2

s s 4 7n n 16 12

17s n s n 4 16 7 12n 1 n 1 16

16.3292

1 12

9

1

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ν = = = ≈

+ +− − − −

นนคอ

0.975,171 ,2

t t 2.110α− ν

= =

คาของชวงความเชอมน 95% ของ A Bμ −μ คอ 2 2A B

A B 1 ,A B2

s s(x x ) tn nα

− ν− ± ⋅ +

2 24 7(62 54) (2.110)

16 12= − ± ⋅ +

8. 48 870= ± ( 0.8704 , 16.8704)= −

ดงนนความแตกตางของนาหนกเฉลยตอแปลงของการปลกกระหลาปลท งสองวธ มคาอยระหวาง -0.8704 กโลกรม ถง 16.8704 กโลกรม ทระดบความเชอมน 95% # 2.5.3 ไมทราบการแจกแจงของประชากร แตตวอยางมขนาดใหญ 1 2(n 30 , n 30)≥ ≥

ถาสมตวอยางขนาด 1n และ 2n จากประชากรกลมท 1 และ 2 ตามลาดบ จะไดผลตางคาเฉลยตวอยาง 21 XX − มการแจกแจงเขาสการแจกแจงปรกต และ

2.5.3.1 ถาทราบคา 2 21 2,σ σ จะได



2-19


2 2 2 21 2 1 2

1 2 1 2 1 2 11 2 1 22 2

(X X ) z (X X ) zn n n nα α

−

σ σ σ σ− + ⋅ + < μ −μ < − + ⋅ +

หรอ 2 2 2 21 2 1 2

1 2 1 21 11 2 1 22 2

((X X ) z , (X X ) z )n n n nα α

− −

σ σ σ σ− − ⋅ + − + ⋅ +

หรอ 2 21 2

1 2 11 22

(X X ) zn nα

−

σ σ− ± ⋅ +


1 2 1 2 11 2 1 22 2

(x x ) z (x x ) zn n n nα α

−

σ σ σ σ− + ⋅ + < μ < − + ⋅ +

หรอ 2 2 2 21 2 1 2

1 2 1 21 11 2 1 22 2

((x x ) z , (x x ) z )n n n nα α

− −

σ σ σ σ− − ⋅ + − + ⋅ +

หรอ 2 21 2

1 2 11 22

(x x ) zn nα

−

σ σ− ± ⋅ +

1 2 1 22 21 2

1 2

(X X ) ( )Z ~ N(0,1)S Sn n

− − μ −μ=

+


2 2 2 21 2 1 2

1 2 1 2 1 2 11 2 1 22 2

S S S S(X X ) z (X X ) zn n n nα α

−− + ⋅ + < μ −μ < − + ⋅ +

หรอ 2 2 2 21 2 1 2

1 2 1 21 11 2 1 22 2

S S S S((X X ) z , (X X ) z )n n n nα α

− −− − ⋅ + − + ⋅ +

หรอ 2 21 2

1 2 11 22

S S(X X ) zn nα

−− ± ⋅ +

2.5.3.2 ถาไมทราบคา 2 21 2,σ σ จะประมาณดวย 2

1S และ 22S ตามลาดบ



2-20


1 2 1 2 1 2 11 2 1 22 2

s s s s(x x ) z (x x ) zn n n nα α

−− + ⋅ + < μ −μ < − + ⋅ +

หรอ 2 2 2 21 2 1 2

1 2 1 21 11 2 1 22 2

s s s s(x x ) z , (x x ) zn n n nα α

− −

⎛ ⎞− − ⋅ + − + ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

หรอ 2 21 2

1 2 11 22

s s(x x ) zn nα

−− ± ⋅ +

ตวอยาง 2.11 บรษทผลตเครองใชไฟฟาแหงหนงตองการซอแบตเตอรท ใชในการประกอบ

เครองใชไฟฟาชนดน ทผลตจาก 2 โรงงาน จงสมตวอยางแบตเตอรทผลตจากโรงงานทหนงและโรงงานทสองมา 30 และ 40 เครอง พบวาแบตเตอรทผลตจากโรงงานทหนงมอายการใชงานเฉลย 4.5 ป และคาเบยงเบนมาตรฐาน 0.6 ป สวนแบตเตอรท ผลตจากโรงงานทสองมอายการใชงานเฉลย 4.2 ป และคาเบยงเบนมาตรฐาน 0.4 ป จงหาคาประมาณแบบชวงของความแตกตางของอายการใชงานเฉลยของแบตเตอรท ผลตจากทง 2 โรงงาน ทระดบความเชอมน 95%

วธทา ให 1 2,μ μ แทนอายการใชงานเฉลยของแบตเตอรทผลตจากโรงงานท 1 และ 2 ตามลาดบ

จากโจทย 1 1 1n 30, x 4.5, s 0.6= = =

2 2 2n 40, x 4.2, s 0.4= = =

และ 1 0.95−α = จะได 025.02=

α และ 96.1z 975.0 =

คาของชวงความเชอมน 95% ของ 1 2μ −μ คอ 2 21 2

1 2 11 22

s s(x x ) zn nα

−− ± ⋅ +

2 20.6 0.4(4.5 4.2) (1.96)

30 40= − ± ⋅ +

0.3 0.247923= ±

(0.052077 , 0.547923)=

สรป ความแตกตางของอายการใชงานเฉลยของแบตเตอรทผลตจากทง 2 โรงงานมคาอยระหวาง 0.052077 ป ถง 0.547923 ป ทระดบความเชอมน 95% #



2-21

D

D

DTS n−μ

= เมอองศาเสร n 1ν = −

2.6 คาเฉลยของผลตางของ 2 ประชากรทมความสมพนธกน หรอ 2 ตวแปรทมความสมพนธกน

ในกรณทเกบขอมลมาเปนค )Y,X( ทมความสมพนธกน เพอเปรยบเทยบความแตกตางของคณลกษณะนน XYD −= ประชากรกลมท 1 มคาเฉลย Yμ ประชากรกลมท 2 มคาเฉลย

Xμ นนคอ สนใจศกษา D Y Xμ = μ −μ จากนนสมตวอยางมา n ค โดยให )Y,X( ii คอคาของขอมลแตละค และ iD คอผลตางของคาสงเกตแตละค ซง iii XYD −= จะได

n

DD

n

1ii∑

== คอคาเฉลยของผลตาง n ค และ

1n

)DD(S

n

1i

2i

D −

−=∑= คอคาเบยงเบนมาตรฐานของผลตาง n ค

จะพบวา D มคาเฉลยและความแปรปรวนดงน

คาเฉลย

N

ii 1

Y X DD

D

N=μ = = μ −μ = μ∑

ความแปรปรวน 2

2 DD n

σσ = ,

N2

i Di 1

D

(D )

N=

−μσ =

∑

สมตวอยางขนาด n จะได คาเฉลยของผลตาง )D( ซง



2-22

ตวประมาณแบบชวงของ Dμ ทระดบความเชอมน ( )1 100%−α คอ

D DD, 1 ,

2 2

S SD t D tn nα α

ν − ν+ ⋅ < μ < + ⋅ หรอ D D

1 , 1 ,2 2

S S(D t , D t )n nα α

− ν − ν− ⋅ + ⋅

หรอ D

1 ,2

SD tnα

− ν± ⋅


d dD, 1 ,

2 2

s sd t d tn nα α

ν − ν+ ⋅ < μ < + ⋅ หรอ d d

1 , 1 ,2 2

s sd t , d tn nα α

− ν − ν

⎛ ⎞− ⋅ + ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠

หรอ d

1 ,2

sd tnα

− ν± ⋅

โดยท n

dd

n

1ii∑

== และ

n2

ii 1

d

(d d)s

n 1=

−=

−

∑

ตวอยาง 2.12 สมตวอยางคะแนนสอบกอนการเรยนปรบพนฐานและคะแนนหลงการเรยนปรบพนฐานของนกศกษามา 10 คน ไดคะแนนดงน

นกศกษาคนท คะแนนหลงการเรยนปรบพนฐาน )y( i คะแนนกอนการเรยนปรบพนฐา น )x( i

1 18.5 15 2 28.5 25

3 17 18.5

4 13.5 11

5 14.5 10

6 16 12

7 10 11.5

8 19.5 15.5

9 16 11

10 20 25.5

จงหาคาประมาณแบบชวงของความแตกตางของคะแนนเฉลยกลางภาคและปลายภาคทระดบความเชอมน 90%

วธทา ให Dμ แทนความแตกตางของคะแนนเฉลยกอนการเรยนปรบพนฐานและคะแนนหลงการเรยนปรบพนฐานของนกศกษา



2-23

นกศกษาคนท iy ix iii xyd −=

1 18.5 15 3.5 2 28.5 25 3.5

3 17 18.5 -1.5

4 13.5 11 2.5

5 14.5 10 4.5

6 16 12 4

7 10 11.5 -1.5

8 19.5 15.5 4

9 16 11 5

10 20 25.5 -5.5

n2

ii 1

d

(d d)n 10, d 1.85, s 3.4725

n 1=

−= = = =

−

∑

1 0.90−α = จะได 0.052α= และ 0.95,91 ,n 1

2

t t 1.833α− −

= =

ชวงความเชอมน 90% ของ Dμ คอ d

1 ,n 12

sd tnα

− −± ⋅

(3.4725)1.85 (1.833)10

= ± ⋅

( 0.1628 , 3.8628)= −

สรป ความแตกตางของคะแนนเฉลยกอนการเรยนปรบพนฐานและคะแนนหลงการเรยนปรบพนฐานของนกศกษามคาอยระหวาง -0.1628 คะแนน ถง 3.8628 คะแนน ทระดบความเชอมน 90% #

2.7 สดสวนของ ประชากร 1 กลม

กรณททาการศกษาสดสวนของสงทสนใจ จะพจารณาโดยแบงประชากรออกเปน 2 กลมคอ กลมทสนใจและกลมทไมสนใจ โดยกาหนดให P แทนสดสวนของประชากร เมอ

N

XP

N

1ii∑

== และ N แทนขนาดของประชากร

iX เปนตวแปรสมทมการแจกแจงแบบเบอรนลล ซง

1 ถาหนวยท i ในประชากรอยในกลมทสนใจ

0 ถาหนวยท i ในประชากรไมอยในกลมทสนใจ =iX



2-24

ˆ ˆ ˆP E(P) P PZˆ ˆ ˆ ˆV(P) P(1 P)

n

− −= =

− มการแจกแจงเขาสการแจกแจงปรกตมาตรฐาน

ตวประมาณแบบชวงของ P ทระดบความเชอมน ( ) %1001 α− คอ

1

2 2

ˆ ˆ ˆ ˆP(1 P) P(1 P)ˆ ˆP z P P zn nα α

−

− −+ ⋅ < < + ⋅

หรอ 1 1

2 2

ˆ ˆ ˆ ˆP(1 P) P(1 P)ˆ ˆ(P z , P z )n nα α

− −

− −− ⋅ + ⋅ หรอ

12

ˆ ˆP(1 P)P znα

−

−± ⋅


1

2 2

ˆ ˆ ˆ ˆp(1 p) p(1 p)ˆ ˆp z P p zn n−

− −+ ⋅ < < + ⋅α α

หรอ 1 1

2 2

ˆ ˆ ˆ ˆp(1 p) p(1 p)ˆ ˆ(p z , p z )n n− −

− −− ⋅ + ⋅α α หรอ

12

ˆ ˆp(1 p)p zn−

−± ⋅α

โดยท

n

ii 1

xxp

n n== =∑

เมอ x แทนคาของจานวนสงทสนใจจากตวอยาง

โดยปกตแลวการทจะเกบขอมลของประชากรทงหมดนนเปนไปไดยากมปจจยหลาย ๆ อยาง เขา

มาเกยวของ ดงนน วธการหนงทนยมใช คอการสมตวอยางขนาด n มาชวยในประมาณสดสวน

ของประชากรโดยใชสดสวนของตวอยาง nX

n

XP

n

1ii

==∑= เมอ X แทนจานวนสงทสนใจจาก

ตวอยาง การแจกแจงของสดสวนของตวอยาง จะได

n

ˆ iPi 1

nPÊ(P) E X n Pn=

⎛ ⎞μ = = = =⎜ ⎟⎝ ⎠∑

n n

2ˆ i i2 2P

i 1 i 1

1 nP(1 P) P(1 P)ˆV(P) V( X n) V( X )n n n= =

− −σ = = = = =∑ ∑

จากทฤษฎลมตเขาสสวนกลาง เมอ n มาก และใช 2P

ˆ ˆP(1 P)ˆn−

σ = ประมาณ 2Pσ จะได



2-25

ตวอยาง 2.13 จากการสารวจผมรถยนตสวนตวใชในเมองหนง พบวาจาก 1,000 ครวเรอน มรถยนตสวนตวใช 850 ครวเรอน จงประมาณคาสดสวนของผมรถยนตสวนตวใชในเมองน ทระดบความเชอมน 95%

วธทา ให P แทนสดสวนของผมโทรทศนใชในเมอง

จากโจทย 850ˆn 1000, p 0.851000

= = =

และ 1 0.95−α = จะได 0.0252α= และ 0.975z 1.96=

ชวงความเชอมน 95% ของ P คอ 1

2

ˆ ˆp(1 p)p zn−

−± ⋅α

( ) (0.85) (0.15)0.85 1.961000

= ± ⋅

0.85 0.022132= ±

(0.827868,0.872132)=

สรป สดสวนของผมโทรทศนใชในเมองน มคาอยระหวาง 0.827868 ถง 0.872132 ทระดบความเชอมน 95% #

2.8 ผลตางสดสวนของ ประชากร 2 กลมทเปนอสระกน

ในกรณทสนใจจะเปรยบเทยบสดสวนของประชากร 2 กลม

ให 1

N

1ii1

1 N

XP

1

∑== เปนสดสวนของสงทสนใจของประชากรกลมท 1

2

N

1ii2

2 N

XP

2

∑== เปนสดสวนของสงทสนใจของประชากรกลมท 2

ซง i1X และ i2X ตางกเปนตวแปรสมทมการแจกแจงแบบเบอรนลล โดยท

1 ถาหนวยท i ในประชากรกลมท 1 อยในกลมทสนใจ

0 ถาหนวยท i ในประชากรกลมท 1 ไมอยในกลมทสนใจ

1 ถาหนวยท i ในประชากรกลมท 2 อยในกลมทสนใจ

0 ถาหนวยท i ในประชากรกลมท 2 ไมอยในกลมทสนใจ

และประชากรทงสองกลมเปนอสระกน โดยใชสดสวนของตวอยางในการประมาณคา 21 P,P

=i1X

=i2X



2-26

2

22

1

11

2121

2

22

1

11

2121

n)P1(P

n)P1(P

)PP()PP(

n)P1(P

n)P1(P

)PP()PP(Z−

+−

−−−≈

−+

−−−−

=

มการแจกแจงเขาสการแจกแจงปรกตมาตรฐาน

ตวประมาณแบบชวงของ 21 PP − ทระดบความเชอมน ( )1 100%−α คอ

1 1 2 2 1 1 2 21 2 1 2 1 2 1

1 2 1 22 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆP (1 P ) P (1 P ) P (1 P ) P (1 P )ˆ ˆ ˆ ˆ(P P ) z P P (P P ) zn n n nα α

−

− − − −− + ⋅ + < − < − + ⋅ +

หรอ 1 1 2 2 1 1 2 21 2 1 21 1

1 2 1 22 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆP (1 P ) P (1 P ) P (1 P ) P (1 P )ˆ ˆ ˆ ˆ((P P ) z , (P P ) z )n n n nα α

− −

− − − −− − ⋅ + − + ⋅ +

หรอ 1 1 2 21 2 1

1 22

ˆ ˆ ˆ ˆP (1 P ) P (1 P )ˆ ˆ(P P ) zn nα

−

− −− ± ⋅ +

กาหนดให 1

n

1ii1

1 n

XP

1

∑== เปนสดสวนของสงทสนใจจากตวอยางกลมท 1

2

n

1ii2

2 n

XP

2

∑== เปนสดสวนของสงทสนใจจากตวอยางกลมท 2

ใชผลตางของสดสวนของตวอยาง ( 21 PP − ) มาประมาณผลตางสดสวนของประชากร ( 21 PP − ) โดยท

1 2

ˆ ˆ 1 2 1 2P Pˆ Ê(P P ) P P

−μ = − = −

1 2

2 1 1 2 2ˆ ˆ 1 2P P

1 2

P (1 P ) P (1 P )ˆ ˆV(P P )n n−

− −σ = − = +

จากทฤษฎลมตเขาสสวนกลาง ถา 21 n,n มคามาก จะได

2

22

1

11

2121

n)P1(P

n)P1(P

)PP()PP(Z−

+−

−−−= มการแจกแจงเขาสการแจกแจงปรกตมาตรฐาน

ถา 21 n,n มคามาก ใชผลตางของสดสวนของตวอยาง ( 21 PP − ) มาประมาณผลตางสดสวน

ของประชากร ( 21 PP − ) และใช 1 2

2 1 1 2 2ˆ ˆP P

1 2

ˆ ˆ ˆ ˆP (1 P ) P (1 P )ˆn n−

− −σ = + ประมาณ

1 2

2ˆ ˆP P−σ จากทฤษฎ

ลมตเขาสสวนกลาง จะได



2-27


1 1 2 2 1 1 2 21 2 1 2 1 2 1

1 2 1 22 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆp (1 p ) p (1 p ) p (1 p ) p (1 p )ˆ ˆ ˆ ˆ(p p ) z P P (p p ) zn n n nα α

−

− − − −− + ⋅ + < − < − + ⋅ +

หรอ 1 1 2 2 1 1 2 21 2 1 21 1

1 2 1 22 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆp (1 p ) p (1 p ) p (1 p ) p (1 p )ˆ ˆ ˆ ˆ((p p ) z , (p p ) z )n n n nα α

− −

− − − −− − ⋅ + − + ⋅ +

หรอ 1 1 2 21 2 1

1 22

ˆ ˆ ˆ ˆp (1 p ) p (1 p )ˆ ˆ(p p ) zn nα

−

− −− ± ⋅ +

โดยท

1n

1ii 1 1

11 1

xxp

n n== =∑

และ

2n

2ii 1 2

22 2

xxp

n n== =∑

เมอ 21 x,x แทนคาของจานวนสงทสนใจจาก

ตวอยางกลมท 1 และกลมท 2 ตามลาดบ

ตวอยาง 2.14 จากการสมตวอยางบณฑตทจบใหมเพอสารวจภาวการณมงานทาของบณฑตกลมวทยาศาสตรและเทคโนโลย และกลมสงคมศาสตรและมนษยศาสตร ไดขอมลดงน จงประมาณผลตางสดสวนของบณฑตทจบใหมทมงานทาของบณฑตกลมวทยาศาสตรและเทคโนโลย กบกลมสงคมศาสตรและมนษยศาสตร ทระดบความเชอมน 95%

วธทา ให 21 P,P แทนสดสวนของบณฑตทจบใหมทมงานทาของบณฑตกลมวทยาศาสตรและเทคโนโลย กบกลมสงคมศาสตรและมนษยศาสตร ตามลาดบ

จากโจทย 1 11,830ˆn 2,000, p 0.9152,000

= = =

2 22,150ˆn 2,500, p 0.862,500

= = =

และ 1 0.95−α = จะได 0.0252α= และ 0.975z 1.96=

ชวงความเชอมน 95% ของ 21 PP − คอ

1 1 2 21 2 1

1 22

ˆ ˆ ˆ ˆp (1 p ) p (1 p )ˆ ˆp p zn n−

− −− ± ⋅ +α

( ) (0.915) (0.085) (0.86) (0.14)(0.915 0.86) 1.962,000 2,500

= − ± ⋅ +

0.055 0.018= ±

กลมสาขา ขนาดตวอยาง จานวนบณฑตทมงาน

วทยาศาสตรและเทคโนโลย 2,000 1,830 สงคมศาสตรและมนษยศาสตร 2,500 2,150



2-28

2 2n

2 i2 2

i 1

(X X) (n 1)S=

− −χ = =

σ σ∑

มการแจกแจงไคกาลงสอง ทองศาเสร n 1ν = −

(0.037, 0.073)=

สรป ผลตางสดสวนของบณฑตทจบใหมทมงานทาของบณฑตกลมวทยาศาสตรและเทคโนโลย กบกลมสงคมศาสตรและมนษยศาสตร มคาอยระหวาง 0.037 ถง 0.073 ทระดบความเชอมน 95% # 2.9 ความแปรปรวนประชากร

กรณทประชากรมการแจกแจงปรกตและไมทราบความแปรปรวน 2σ หากตองการประมาณความแปรปรวนประชากร 2σ จะใชความแปรปรวนของตวอยางสมขนาด n จากประชากรมาทาการประมาณ ซงจะไดความแปรปรวนของตวอยางคอ 2S โดยท 2 2E(S ) = σ และ

2χ

รปท 2. 2 การแจกแจงไคกาลงสอง

การแจกแจงไคกาลงสองเปนการแจกแจงทมลกษณะเบขวา และมคาของตวแปรสมตงแต 0 ถง ∞ ซงจะพบวาถาองศาเสรมคามาก ๆ จะทาใหการแจกแจงไคกาลงสองมลกษณะการแจกแจงใกลเคยงการแจกแจงปรกต

ตวอยาง 2.15 ถา 2χ เปนตวแปรสมทมการแจกแจงไคกาลงสอง จงหาคาตอไปน

1) ( )214P 29.1 pχ < =

2) ( )210P c 0.05χ < =

3) ( )212P c 0.001χ > =

วธทา จากตารางท 5 (Cumulative Chi-square Distribution) ภาคผนวก-14-17

1) เนองจาก ( )214P 29.1 0.99χ < = ดงนน p 0.99=



2-29

ตวประมาณแบบชวงของ 2σ ทระดบความเชอมน ( )1 100%−α คอ

2 22

2 2

1 ,n 1 ,n 12 2

(n 1)S (n 1)S

α α− − −

− −< σ <

χ χ หรอ

2 2

2 2

1 ,n 1 ,n 12 2

(n 1)S (n 1)S,α α

− − −

⎛ ⎞− −⎜ ⎟

⎜ ⎟χ χ⎜ ⎟⎝ ⎠

และคาประมาณแบบชวงของ 2σ คอ

2 22

2 2

1 ,n 1 ,n 12 2

(n 1)s (n 1)s

α α− − −

− −< σ <

χ χ หรอ

2 2

2 2

1 ,n 1 ,n 12 2

(n 1)s (n 1)s,α α

− − −

⎛ ⎞− −⎜ ⎟

⎜ ⎟χ χ⎜ ⎟⎝ ⎠

2) เนองจาก ( )210P 3.94 0.05χ < = ดงนน 2

0.05,10c 3.94= χ =

3) เนองจาก ( )212P 32.9 0.999χ < =

ดงนน ( )212P 32.9 1 0.999 0.001χ > = − =

20.999,12c 32.9∴ = χ = #

เมอกาหนดระดบความเชอมน ( )1 100%−α ดงนนสามารถหาคาประมาณแบบชวงของ

2σ ไดดงน

2

12α

−χ

2

2αχ

2α

2α

1−α

2

2 22,n 1 1 ,n 1

2 2

(n 1)SP 1α α− − −

⎛ ⎞−χ < < χ = −α⎜ ⎟σ⎝ ⎠

2 2

,n 1 1 ,n 12 2

2 2 2

1P 1(n 1)S (n 1)S

α α− − −

⎛ ⎞χ χ⎜ ⎟< < = −α⎜ ⎟− σ −⎜ ⎟⎝ ⎠

2 2

22 2

1 ,n 1 ,n 12 2

(n 1)S (n 1)SP 1α α

− − −

⎛ ⎞− −⎜ ⎟< σ < = −α⎜ ⎟χ χ⎜ ⎟

⎝ ⎠



2-30

2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 12 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2

[(n 1)S ] [(n 1) ] SF[(n 1)S ] [(n 1) ] S

χ ν − − σ σ= = =χ ν − − σ σ

มการแจกแจงแบบเอฟ ดวยองศาเสร 1 1n 1ν = − และ 2 2n 1ν = −

ตวอยาง 2.16 สมตวอยางแบตเตอรท ผลตโดยโรงงานแหงหนง จานวน 61 แบตเตอร พบวาสวนเบยงเบนมาตรฐานของอายการใชงานเทากบ 100 ชวโมง จงประมาณสวนเบยงเบนมาตรฐานของอายการใชงานของแบตเตอรท ผลตโดยโรงงานแหงน ทระดบความเชอมน 99%

วธทา ให 2σ แทนความแปรปรวนของอายการใชงานของแบตเตอรท ผลตโดยโรงงานแหงน

จากโจทย n 61, s 100= =

และ 1 0.99−α = จะได 0.0052α= และ

2 20.995,601 ,n 1

2

92.0α− −

χ = χ =

2 20.005,60,n 1

2

35.5α−

χ = χ =

ดงนนชวงความเชอมน 99% ของ 2σ คอ 2 2

2 2

,n 1 ,n 12 2

(n 1)s (n 1)s( , )α α

− −

− −χ χ

2 2(61 1)(100 ) (61 1)(100 )( , )

92.0 35.5− −

=

(6521.7391 , 16901.4085)= นนคอ ชวงความเชอมน 99% ของ σ คอ ( 6521.7391 , 16901.4085) (80.7573 , 130.0054)=

สรป สวนเบยงเบนมาตรฐานของอายการใชงานของแบตเตอรท ผลตโดยโรงงานแหงน มคาอยระหวาง 80.7573 ชวโมง ถง 130.0054 ชวโมง ทระดบความเชอมน 99% #

2.10 ผลหารความแปรปรวนประชากร 2 กลม

ให 21S เปนความแปรปรวนของตวอยางขนาด 1n ซงสมมาจากประชากรกลมท 1 ทมการ

แจกแจงปรกต และมความแปรปรวน 21σ และให 2

2S เปนความแปรปรวนของตวอยางขนาด 2n

ซงสมมาจากประชากรกลมท 2 ทมการแจกแจงปรกต และมความแปรปรวน 22σ ประชากรทง

สองกลมเปนอสระกน จะได



2-31

ขอสงเกต 1 2,( , )fα ν ν หมายถงคาของการแจกแจง F เมอกาหนดพนทใตโคงตงแต 0 ไปจนถง

คา 1 2,( , )fα ν ν ซงมพนทเทากบ α ดวยองศาเสร 1ν และ 2ν ตามลาดบ และ

1 2

2 1

,( , )1 ,( , )

1ffα ν ν−α ν ν

=

81 =ν

22 =ν

82 =ν

202 =ν

รปท 2. 3 การแจกแจงเอฟ

ตวอยาง 2.17 ถา F เปนตวแปรสมทมการแจกแจงเอฟ จงหาคาตอไปน

1) ( )(15,7)P F c 0.95< =

2) ( )(7,15)P F c 0.05< =

วธทา จากตารางท 6 (Cumulative F Distribution) ภาคผนวก-18-22

1) เนองจาก ( )(15,7)P F 3.51 0.95< = ดงนน 0.95,(15,7)c f 3.51= =

2) จากขอ 1) ดงนน 0.05,(7,15)0.95,(15,7)

1ff

= 51.31

= 2849.0= #

ใชผลหารความแปรปรวนของตวอยาง 2 21 2(S S ) มาประมาณผลหารความแปรปรวน

ประชากร 2 21 2( )σ σ ซง 2

222

21

21

SS

Fσσ

= มการแจกแจงแบบเอฟ ดวยองศาเสร 1 1n 1ν = − และ

2 2n 1ν = − เมอกาหนดระดบความเชอมน 1−α มาให จะได

12

F α−

2

Fα

2α

2α 1−α



2-32

ตวประมาณแบบชวงของ 2 21 2( )σ σ ทระดบความเชอมน ( )1 100%−α คอ

1 2 1 2

2 2 21 1 12 2 22 2 21 ,( , ) ,( , )

2 2

S S1 1S f S fα α

− ν ν ν ν

σ⋅ < < ⋅

σ

หรอ 1 2 1 2

2 21 12 22 21 ,( , ) ,( , )

2 2

S S1 1( , )S f S fα α

− ν ν ν ν

⋅ ⋅


1 2 1 2

2 2 21 1 12 2 22 2 21 ,( , ) ,( , )

2 2

s s1 1s f s fα α

− ν ν ν ν

σ⋅ < < ⋅

σ

หรอ 1 2 1 2

2 21 12 22 21 ,( , ) ,( , )

2 2

s s1 1( , )s f s fα α

− ν ν ν ν

⋅ ⋅

1 2 1 2

2 21 12 2,( , ) 1 ,( , )2 22 2

SP f f 1Sα α

ν ν − ν ν

⎛ ⎞σ< < = −α⎜ ⎟σ⎝ ⎠

1 2 1 2

2 2 22 2 22 2 2,( , ) 1 ,( , )1 1 12 2

S SP f f 1S Sα α

ν ν − ν ν

⎛ ⎞σ⋅ < < ⋅ = −α⎜ ⎟σ⎝ ⎠

1 2 1 2

2 2 21 1 12 2 22 2 21 ,( , ) ,( , )

2 2

S S1 1P 1S f S fα α

− ν ν ν ν

⎛ ⎞σ⎜ ⎟< < ⋅ = −α⎜ ⎟σ⎜ ⎟

⎝ ⎠

ตวอยาง 2.18 จากการศกษาอายการใชงานของใชงานแบตเตอรโนตบค 2 ชนด พบวาอายการใชงานใชงานแบตเตอรโนตบค มการแจกแจงปรกต สมตวอยางใชงานแบตเตอรโนตบคมาชนดละ 6 เครอง พบวามอายการใชงานดงน (หนวย : ป)

ชนดท 1 3.4 5.2 4.7 4.9 6.1 5.3

ชนดท 2 5.4 6.6 4.1 4.7 5.5 5.2

จงประมาณคาอตราสวนของความแปรปรวนของอายการใชงานของแบตเตอรโนตบคทงสองชนด ทระดบความเชอมน 90% วธทา ให 2 2

1 2,σ σ แทนความแปรปรวนของอายการใชงานของแบตเตอรโนตบคชนดท 1

และ 2 ตามลาดบ จากโจทย 2

1 1n 6, s 0.7947= = และ 22 2n 6, s 0.7070= =



2-33

และ 1 0.90−α = จะได 0.052α= ดงนน

1 20.95,(5,5)1 ,( , )

2

f f 5.05α− ν ν

= = , 1 2

0.05,(5,5),( , )0.95,(5,5)2

1 1f f 0.198f 5.05α

ν ν= = = =

ดงนนชวงความเชอมน ( )1 100%−α ของ 2σ คอ

1 2 1 2

2 21 12 22 2,( , ) 1 ,( , )

2 2

s s1 1,s f s fα α

ν ν − ν ν

⎛ ⎞⎜ ⎟⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

0.7947 1 0.7947 1( , )0.7070 5.05 0.7070 0.198

= × ×

(0.2226 , 5.6770)=

สรป อตราสวนของความแปรปรวนของอายการใชงานของแบตเตอรโนตบคทงสองชนด มคาอยระหวาง 0.2226 (ป)2 ถง 5.6770 (ป)2 ทระดบความเชอมน 90% #

2.11 การกาหนดขนาดตวอยาง

ในการสมตวอยาง ขนาดตวอยางทเหมาะสมจะใหคาประมาณใกลเคยงกบคาพารามเตอร ในทนจะพจารณาการกาหนดขนาดตวอยางทเหมาะสมดงน

2.11.1 การกาหนดขนาดตวอยางเพอประมาณคาเฉลยประชากร

ในการประมาณคาเฉลยประชากร ( )μ ดวยคาเฉลยตวอยาง (X) ถากาหนดใหความคลาดเคลอนในการประมาณคา ( X )−μ ไมเกน e ดงนน จากการประมาณคาแบบชวงจะไดชวง

ความเชอมน ( )1 100%−α ของ μ คอ

1 12 2

X z X zn nα α

− −

σ σ− ⋅ < μ < + ⋅

หรอ 1

2

X znα

−

σ−μ < ⋅

ดงนนจากการกาหนดใหความคลาดเคลอนในการประมาณคา ( X )− μ ไมเกน e จะไดวา

12

12

2

12

z en

z ne

zn

e

α−

α−

α−

σ⋅ ≤

σ⋅ ≤

σ⎛ ⎞⎜ ⎟ ≤⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠



2-34

นนคอ

2 2

12

2

zn

e

α−

σ≥ ถาไมทราบคา σ ใหใช S แทน

ตวอยาง 2.19 ในการประมาณคาใชจายตอเดอนโดยเฉลยของนกศกษามหาวทยาลยเชยงใหม สมมตทราบคาเบยงเบนมาตรฐานของคาใชจายตอเดอนคอ 1,000 บาท กาหนดใหมความคลาดเคลอนในการประมาณไมเกน 100 บาท อยากทราบวาควรใชขนาดตวอยางเทาใด เพอใหเกดระดบความเชอมน 95%

วธทา จากโจทย 1000σ = , 1 0.95−α = , e 100,= 96.1z 975.0 =

2 2

12

2

zn

e

α−

σ≥

2(1.96) (1000)

100⋅⎡ ⎤≥ ⎢ ⎥⎣ ⎦

384.16≥

385≈

สรป ในการประมาณคาใชจายโดยเฉลยตอเดอนของนกศกษาในมหาวทยาลยเชยงใหม ขนาดตวอยางทเหมาะสมอยางนอยทสด เทากบ 385 คน ททาใหมความคลาดเคลอนในการประมาณคาไมเกน 100 บาท ดวยระดบความเชอมน 95% #

2.11.2 การกาหนดขนาดตวอยางเพอประมาณสดสวนของประชากร

จากคาการประมาณคาแบบชวงจะไดชวงความเชอมน ( )1 100%−α ของ P คอ

ˆ ˆP P1 12 2

ˆ ˆP z P P zα α− −

− ⋅σ < < + ⋅σ หรอ P12

P P z α−

− < ⋅σ

เมอ ê P P= − คอ ความคลาดเคลอนในการประมาณมากทสด ดงนนจะไดวา

P12

12

12

2

12

2

12

2

z e

P(1 P)z en

P(1 P)z n

e

z P(1 P)n

e

z P(1 P)n

e

α−

α−

α−

α−

α−

⋅σ ≤

−⋅ ≤

−⋅ ≤

⎛ ⎞−⎜ ⎟

≤⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⋅ −≤



2-35

นนคอ

2

12

2

z P(1 P)n

e

α−⋅ −

≥ หรอ

2

12

2

z PQn ,Q 1 P

e

α−⋅

≥ = −

ขอสงเกต ในกรณทไมทราบคาสดสวนของประชากร นยมใชคา P 0.5= เพราะจะทาใหไดคา P(1 P) 0.25− = ซงเปนคาทสงทสด ทาใหไดคาของขนาดตวอยางมคาเรมตนทสงดวย หรอใช

คาสดสวนของตวอยางทสมได 0ˆ(p ) จากขนาดตวอยางขนตน 0n ดงนน

20 01

22

ˆ ˆz p (1 p )n

e

α−⋅ −

≥

ตวอยาง 2.20 ถาตองการประมาณจานวนของนกศกษาทมรถยนตสวนตวใชในมหาวทยาลยแหงหนง จะตองใชตวอยางขนาดเทาใดททาใหใหมความคลาดเคลอนไมเกน 0.05 ทระดบความเชอมน 90%

วธทา จากโจทย 1 0.90,−α = 0.95z 1.645= , e 0.05=

2

122

zn

4e

α−

≥

2

2

(1.645 )4(0.05 )

≥

270.6025 271≥ ≈ 271≈

สรป ขนาดตวอยางทเหมาะสมอยางนอยทสด เทากบ 271 คน ททาใหมความคลาดเคลอนในการประมาณคาไมเกน 0.05 ทระดบความเชอมน 90% #



2-36

แบบฝกหดบทท 2 1. จากการสอบถามคาใชจายเดอนทผานมาของนกศกษามหาวทยาลยเชยงใหม 10 คนดงน

คนท 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

คาใชจาย(บาท) 3,300 5,400 5,000 4,200 4,900 4,200 4,200 4,100 4,800 5,000

หากทราบวาคาใชจายตอเดอนมการแจกแจงปรกต

1.1) จงหาคาประมาณแบบชวงของคาใชจายตอเดอนของนกศกษาทระดบความเชอมน 95%

1.2) จงหาคาประมาณแบบชวงของสวนเบยงเบนมาตรฐานของคาใชจายตอเดอนของนกศกษาทระดบความเชอมน 90%

2. สมตวอยางเมลอนจากไรแหงหนงมา 34 ลก ไดนาหนกเฉลยตอ 1.32 กโลกรม สวนเบยงเบนมาตรฐาน 0.2 กโลกรม จงหาชวงความเชอมน 90% ของนาหนกเฉลยของ เมลอนไรน

3. หากปรมาตรนาลกหมอนทบรรจในขวดมการแจกแจงปรกต มสวนเบยงเบนมาตรฐานของปรมาตรเทากบ 10 มลลลตร สมตวอยางนาลกหมอนมา 16 ขวดพบวามปรมาตรเฉลย 255 มลลลตร จงหาชวงความเชอมน 90% ของปรมาตรนาลกหมอนทบรรจในขวด

4. ในการเปรยบเทยบผลผลตของขาวโพดหวานพนธ A และพนธ B โดยทดลองปลกในทดน 2 แปลง ทมสภาพใกลเคยงกนแลวบนทกนาหนกของฝกขาวโพดพนธ ละ 50 ฝก ผล

ปรากฏวาขาวโพดหวานพนธ A มนาหนกเฉลยตอฝก 280 กรม สวนเบยงเบนมาตรฐานนาหนกฝก 25 กรม สวนขาวโพดหวานพนธ B มนาหนกเฉลยตอฝก 320 กรม สวนเบยงเบนมาตรฐาน 36 กรม จงหาชวงความเชอมน 99% ของผลตางคาเฉลยของ นาหนกขาวโพดหวานพนธ A และ พนธ B

5. ถานาหนกกาแฟยหอ A และ ยหอ B มการแจกแจงปรกต โดยยหอ A มสวนเบยงเบนมาตรฐานของนาหนก 9 กรม ยหอ B มสวนเบยงเบนมาตรฐานของนาหนก 16 กรม

สมตวอยางกาแฟยหอ A มา 16 ซอง ยหอ 25 ซอง พบวามนาหนกเฉลยเทากบ 122

กรม และ 125 กรม ตามลาดบ จงหาชวงความเชอมน 90% ของผลตางของนาหนก กาแฟสองยหอน

6. อายการใชงานของมอเตอรเครองซกผายหอ A และ B มการแจกแจงปรกต สมตวอยางมอเตอรมาตรวจสอบไดผลดงน (หนวย : ป)

ยหอ A 14.69 12.17 7.70 12.16 13.35 12.15 13.07 9.47 12.44 9.38

ยหอ B 15.12 9.85 9.21 19.19 10.72 17.40 11.88 13.22 14.32 16.11 12.09 16.06

หากทราบวาความแปรปรวนของอายการใชงานของมอเตอรสองยหอนมคาไมเทากน จงหาชวงความเชอมน 90% ของผลตางอายการใชงานมอเตอรสองยหอน



2-37

7. นาหนกของปยทผลตจากโรงงาน A และ B มการแจกแจงปรกต ถาสมตวอยางปยจาก

โรงงาน A และ B มา 8 และ 10 ถง ตามลาดบแลวบนทกนาหนกปยแตละถงไดขอมลดงน

(หนวย : กโลกรม)

โรงงาน A 4.70 4.86 5.04 5.16 5.17 5.14 4.93 5.11

โรงงาน B 6.10 2.66 6.33 6.87 6.54 4.43 2.71 4.63 3.90 5.50

7.1) จงประมาณอตราสวนความแปรปรวนของนาหนกปยโรงงาน A และ B ทระดบความ

เชอมน 95%

7.2) ถาทราบวาความแปรปรวนของนาหนกปยทงสองโรงงานมคาเทากน จงหาชวง ความเชอมนของความแตกตางของนาหนกปยจากสองโรงงานน ทระดบความ เชอมน 95%

8. สมตวอยางคน 9 คน บนทกนาหนกกอนงดสบบหรและหลงงดสบบหรไป 2 เดอน ไดผลดงน (หนวย : กโลกรม)

คนท 1 2 3 4 5 6 7 8 9

นาหนกกอนงดสบบหร 67 70 73 67 67 66 67 60 55

นาหนกหลงงดสบบหร 69 75 69 68 73 72 71 65 56

ถาขอมลนาหนกมการแจกแจงปรกต จงประมาณนาหนกเฉลยทเพมขนหลงงดสบบหร ทระดบความเชอมน 95%

9. มหาวทยาลยแหงหนงสารวจภาวะการมงานทาของบณฑตทจบปรญญาตร จากการสมตวอยางบณฑตทจบปรญญาตรมา 480 คน ถามพบวามงานทา 320 คน จงประมาณสดสวนของบณฑตทมงานทาทระดบความเชอมน 95%

10. สมตวอยางสนคาจากเครองจกร A และเครองจกร B ไดขอมลดงน

จงประมาณความแตกตางสดสวนสนคาชารดจากเครองจกรทงสองเครอง ทระดบความเชอมน 90%

ชนดเครองจกร จานวนสนคาทสม (ชน) จานวนสนคาทมตาหน (ชน)

A 350 14

B 400 20

Documents

04 บทที่2 การประมาณค่า 11 11 2556manachai.cmustat.com/208272/chapter2.pdf · บทที่ 2 การประมาณค่า เอกสารประกอบการสอนวชาิ