PENGANTAR PERSAMAAN DIFERENSIAL

Indah Yanti, S.Si, M.Si

MATEMATIKA

PENDAHULUAN

3

PERSAMAAN DIFERENSIAL

persamaan yang memuat derivatif (turunan) satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu atau lebih variabel bebas suatu fungsi

PERSAMAAN DIFERENSIAL

Persamaan yang memuat turunan satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu variabel bebas suatu fungsi disebut persamaan diferensial biasa (ordinary differential equation)

CONTOH 1.

4

PERSAMAAN DIFERENSIAL

Jika persamaan memuat turunan parsial satu atau lebih variabel tak bebas terhadap lebih dari satu variabel bebas suatu fungsi disebut persamaan diferensial parsial (partial differential equation)

CONTOH 2.

5

PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA (PDB)

Order atau tingkat suatu persamaan diferensial merupakan pangkat tertinggi turunan dalam persamaan diferensial

ORDER PDB

CONTOH 3. PDB order pertama

PDB order kedua

6

PDB LINIER

Bentuk umum PDB Linier

dimana .

PDB LINIER

Jika PDB tidak berbentuk seperti di atas maka disebut PDB non linier. Jika , ..., konstan maka disebut PD linier dengan koefisien konstan, jika tidak

disebut PD linier dengan koefisien variabel. Jika maka diebut PD linier homogen, jika tidak disebut PD linier nonhomogen.

7

PDB LINIER

Bentuk umum PDB Linier

dimana .

PDB LINIER

CONTOH 4.PDB linier order dua

PD non linier order dua

8

SOLUSI PDSO

LUSI

EKSPLISIT solusi PD dengan fungsi yang mana

variabel bebas dan variabel tak bebas dapat dibedakan dengan jelas

Solusi

IMPLISITsolusi PD dengan fungsi yang mana

variabel bebas dengan variabel tak bebas tidak dapat dibedakan secara jelas

Solusi

9

JENIS SOLUSI PDJE

NIS

SO

LUSI

UMUM solusi PDB yang masih mengandung konstanta sebarang

PARTIKULAR solusi yang tidak mengandung konstanta variabel karena terdapat syarat awal pada suatu PDB

SOLUSI SINGULARsolusi yang tidak diperoleh darihasil

mensubstitusikan suatu nilai konstanta pada solusi umumnya

10

PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA (PDB)

Derajat (degree) dari PD adalah pangkat dari suku derivatif tertinggi yang muncul dalam persamaan diferensial.

DERAJAT PDB

CONTOH 5. PDB order dua berderajat satu

PDB order dua berderajat tiga

PD TINGKAT SATU DERAJAT SATU

12

PD TERPISAH(Separable Differential Equation)

Bentuk

SOLUSI

Suatu persamaan diferensial biasa tingkat satu yang secara aljabar dapat direduksi ke suatu bentuk diferensial baku dengan setiap suku tak nol memuat secara tepat satu variabel.

PD TERPISAH

CONTOH 6.

13

PD TERPISAHPersamaan diferensial order satu derajat satu dapat ditulis dalam bentuk

dengan kontinu di dan . Persamaan tersebut sering juga ditulis dalam bentuk

PD (1) disebut PD Terpisah jika dapat ditulis dalam bentuk

dan PD (2) disebut PD Terpisah jika dapat ditulis dalam bentuk

(1)

(2)

(3)

(4)

14

PD TERPISAHSOLUSI PD TERPISAHSolusi persamaan (3) diperoleh dengan mengubah persamaan menjadi bentuk

dan persamaan (4) menjadi bentuk

Persamaan (5) dan (6) dapat diubah menjadi bentuk

(5)

(6)

(7)

15

PD TERPISAHTentukan solusi persamaan diferensial berikut ini

SOLUSI

CONTOH 6.

16

PD TERPISAHTentukan solusi persamaan diferensial berikut ini jika diketahui

SOLUSI

diketahui , diperoleh

Jadi solusi persamaan diferensial tersebut adalah

CONTOH 7.

PD EKSAK

18

PD EKSAKPersamaan diferensial berbentuk

disebut persamaan diferensial EKSAK jika terdapat fungsi yang memenuhi

DEFINISI

Persamaan diferensial berbentuk

merupakan persamaan diferensial EKSAK jika

UJIKE–EKSAK–AN

19

PD EKSAKTentukan solusi persamaan diferensial berikut ini

SOLUSIUji keEKSAKan

CONTOH 8.

sama Persamaan Difrensial EKSAK

PD EKSAKMencari fungsi f

20

Ditambah fungsi karena turunan fungsi terhadap adalah nol

CONTOH 8.

21

UJIANSistem KoordinatPD

22

Daftar nama nilai tambahan1. Cyndhi2. Theodora3. Tsalats4. Gandhi5. Salman