RAZONES Y PROPORCIONES1 M

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I. OBJETIVO: El alumno ser capaz de resolver problemas de la vida diaria utilizando proporciones.II. MOTIVACIN:

III. ESQUEMA:

IV. DESARROLLO

Razn de dos cantidades

Se llama razn a la comparacin por cuociente entre dos cantidades a y b cualquiera. Una razn se puede expresar como :

y se lee: a es a bLos trminos de una razn se llaman antecedente (a) y consecuente (b).

Toda razn tiene un cuociente, denominado valor de la razn (k). Es decir:

; k,

Ejemplos :

1. Calcular el valor de la razn si el antecedente es 6 y el consecuente 2.

valor de la razn

2. Calcular el antecedente si el consecuente es 5 y el valor de la razn 7.

EMBED Equation.3 antecedente

3. Calcular el consecuente si el antecedente es 10 y el valor de la razn 2

consecuente

ACTIVIDADES1. Calcular el valor de la razn si el antecedente es 15 y el consecuente 3.

2. Calcular el antecedente si el consecuente es 8 y el valor de la razn 7.

3. Calcular el consecuente si el antecedente es 24 y el valor de la razn 3.

4. Escribe las siguientes razones en forma de fraccin:

a) 3 : 8b) 5 : 11c) 7 : 12d) 6 : 1e)

5. Escribe la razn entre los siguientes pares de nmeros :

a) 2 y 5

b) 4 y 7c)

d) y 7

6. Una prueba de matemtica tiene 10 preguntas. Un alumno responde correctamente 6 de estas preguntas y omite una. Escribe la razn entre :

b) El nmero de preguntas correctas y el nmero total de preguntas.

c) El nmero de preguntas incorrectas y el nmero de preguntas correctas.

d) El nmero de preguntas omitidas y el nmero total de preguntas

7. En un curso de 50 alumnos, 10 fueron reprobados. Cul es la razn entre el nmero de reprobados y el nmero de alumnos del curso?

8. En una casa, el rea construida es de 120 m2 y el rea libre es de 80 m2 . Cul es la razn entre el rea construida y el rea del terreno total?

9. Los lados de dos terrenos cuadrados miden, respectivamente, 10m y 20m. En qu razn estn sus reas?

10. En un curso, la razn entre el nmero de nios y de nias es 3 : 2. Si el nmero de nios es 18, cul es el nmero de nias?

11. En una residencia, la razn entre el rea construida y el rea libre es 2 : 3 . Si el rea construida es de 140 m2 , cul es el rea libre?

12. La razn entre las velocidades de un avin y de un tren es de 15 : 2 . Si la velocidad del avin es de 600 km/h , cul es la velocidad del tren?

13. La razn de las longitudes de los lados de un rectngulo es 3 : 4 . Si el lado menor mide 15 cm, cunto mide el permetro del rectngulo?

PROPORCIONES.

Dos razones equivalentes forman una proporcin. Una proporcin se expresa de las siguientes formas:

a : b = c : d

y se lee : a es a b como c es a d.

En una proporcin se identifica los trminos medios (b y c) y trminos extremos (a y d).

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS PROPORCIONES.

Dos razones forman una proporcin si y slo si el producto de sus trminos extremos es igual al producto de sus trminos medios.

y

Ejemplos:

1. Verificar si los siguientes pares de razones forman una proporcin:

a)

3 * 8 = 24 y 6 * 4 = 24 , entonces forman una proporcin

Luego:

b)

4 * 1 = 4 y 5 * 7 = 35 , entonces no forman una proporcin

Luego:

c)

d)

2. Hallar el trmino desconocido en las siguientes proporciones:

a)

b)

c)

d)

e) f)

g)

h)

i)

j) k)

l)

m)

PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES.

Dada la proporcin . De ella se pueden obtener otras proporciones aplicando las siguientes propiedades.

1. Alternando los trminos extremos.

2. Alternando los trminos medios.

3. Invirtiendo las razones.

4. Permutando la proporcin.

5. Componiendo la proporcin con respecto al antecedente de cada razn.

6. Componiendo la proporcin con respecto al consecuente de cada razn.

7. Descomponiendo la proporcin con respecto al antecedente de cada razn.

8. Descomponiendo la proporcin con respecto al consecuente de cada razn.

9. Componiendo y descomponiendo la proporcin.

EJERCICIOS DE APLICACIN DE LAS PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES.

1. Determinar x e y en la proporcin , si se sabe que x + y = 28.

2. Dos nmeros estn en la razn 5 : 2 y su diferencia es 60. Cules son los nmeros?

3. Determinar los valores de a y b, si y a + b = 30.

4. Calcular el valor de x e y en los ejercicios siguientes:

a)

si x + y = 60

b)

si x - y = 21

5. La suma de dos nmeros es 45 y estn en la razn de 2 : 7 .Cules son los nmeros?

6. La suma de dos nmeros es 120 y el mayor de ellos es a 5, como el menor es a 3. Cules son los nmeros?

7. Las edades de Ral y Manuel estn en la razn 2 : 3 . Qu edad tiene cada uno, si la suma de las edades es 20?

8. Dos socios deben repartirse $ 10.000 en la razn 3 : 2. Cunto recibe cada uno?

9. El permetro de un rectngulo mide 32 cm. y la razn de las longitudes de sus lados es 3 : 5. Determina la longitud de sus lados.

10. La diferencia entre las edades de dos personas es de 21 aos, y estn en la razn 7 : 4 . Calcular la edad de cada persona.

PROPORCIN MLTIPLE O SECUENCIA DE RAZONES IGUALES.

Dadas las siguientes razones . Observa que son razones iguales, ya que :

;

Se puede, entonces, escribir :

y podemos decir que forman una secuencia de razones iguales o una proporcin mltiple.

Ejemplo:Determinar los valores de x , y , z, si y, adems, se tiene que x + y + z = 50.

Sea k una constante o factor de proporcionalidad. Entonces se tiene que :

entonces : x =3k , y = 5k , z = 2k. Sustituyendo estos valores en x + y + z = 50 queda:

x + y + z = 50

3k + 5k + 2k = 50

Sustituyendo los valores de x , y , z quedan:x = 3k

y = 5k

z = 2k

ACTIVIDADES.

Resolver las siguientes proporciones mltiples:

a) , si x + y + z = 72

b) , si a + b + c = 20

c) , si t u v = 16

NMEROS DIRECTAMENTE PROPORCIONALES.

Los nmeros son directamente proporcionales si tienen la misma constante o factor de proporcionalidad.

Ejemplos:

1. Consideremos los siguientes nmeros, en el orden dado:

(2, 3, 5, 6, 10) y (6, 9, 15, 18, 30)

si formamos las razones entre estos nmeros queda:

lo que indica que las razones son iguales. Lo anterior se expresa diciendo que, dichos nmeros son directamente proporcionales. El nmero es la constante o factor de proporcionalidad.

2. Verificar si los siguientes tros de nmeros son directamente proporcionales.

a. (2, 5, 12) y (8, 20, 48)

b. (2, 5, 8 ) y (8, 20, 32)

c. (4, 7, 10) y (8, 14, 25)

3. Los siguientes nmeros son directamente proporcionales. Calcular los valores de x e y.

a. (4, x, 10) e (y, 14, 20)

Como los nmeros dados son directamente proporcionales, se cumple que:

De las proporciones se obtiene :

entonces : x = 7 ; y = 8.

b. (2, 3, x) y (6, y, 15)

c. (x, 4, 8) y (20, 5, y)

DIVISIN DE UN NMERO EN PARTES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES.

Dividir el nmero 360 en partes directamente proporcionales a los nmeros 4 , 2 y 3.

Representemos los nmeros pedidos por x , y , z., y consideremos los tros de nmeros (x ,y, z) y (4, 2, 3) como directamente proporcionales.Entonces se tiene que : x + y + z = 360 (la suma de los tres nmeros es 360)

Como x , y , z son directamente proporcionales a 4 , 2 y 3 , se tiene que :

x = 4k ; y = 2k ; z = 3k. Reemplazando estos valores se tiene:

x + y + z = 360

4k + 2k + 3k = 360

9k = 360

Luego, los nmeros pedidos son: x = 160 ; y = 80 ; z = 120.

Ejercicios.

1. Divide el nmero 100 en partes directamente proporcionales a los nmeros 2 , 3 y 5

2. Dos amigos obtuvieron un premio de $ 10.000 en el juego de la lotera. Para comprar el boleto, uno de ellos aport $ 18 y el otro $12, y acordaron dividirlo en partes directamente proporcionales a los aportes individuales. Cunto recibi cada uno?

NMEROS INVERSAMENTE PROPORCIONALESLos nmeros son inversamente proporcionales si el producto es el mismo.

Ejemplos:

Consideremos los siguientes nmeros, en el orden dado:

(2, 3, 5, 6, 10) y (45, 30, 18, 15, 9)

si formamos las razones entre estos nmeros no son iguales pero observa el producto:

2 * 45 = 3 * 30 = 5 * 18 = 6 * 15 = 10 * 9 = 90lo que indica que dichos nmeros son inversamente proporcionales. El nmero 90 es, en este caso, el llamado factor o constante de proporcionalidad.Ejemplos:

1. Verificar si los siguientes tros de nmeros son inversamente proporcionales.

a. (2, 6, 9) y (18, 6, 4)

Efectuando el producto se tiene : 2 * 18 = 36 ; 6 * 6 = 36; 9 * 4 = 36

Luego, se puede decir que estos tro de nmeros son inversamente proporcionales.b. (16, 12, 8 ) y (3, 4, 6)

c. (3, 5, 7) y (10, 6, 5)

2. Los siguientes nmeros son inversamente proporcionales. Calcular los valores de x e y.

a. (2, x, 15) e (y, 12, 4)

Como son inversamente proporcionales, se debe cumplir que:

2 * y = x * 12 = 15 * 4Pero como 15 * 4 = 60 , entonces :

2 * y = 60

x * 12 = 60

b. (x, 8, 6) y (12, 3, y)

d. (4, 3, x) y (12, y, 2)

PROPORCIONALIDAD DIRECTA.

Una proporcin es directa si una magnitud aumenta (+) la otra magnitud tambin aumenta (+) o cuando una magnitud disminuye (-) la otra tambin disminuye (-). Para resolver una proporcionalidad directa se aplica la propiedad fundamental de las proporciones, es decir, el producto cruzado. Por ejemplo:

Si 5 metros de gnero valen $ 8.250, cunto valen 8 metros?

=

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 Respuesta: Los 8 metros de gnero valen $ 13.200

PROPORCIONALIDAD INVERSA.

Una proporcin es inversa si una magnitud aumenta (+) la otra magnitud disminuye (-) o cuando una magnitud disminuye (-) la otra aumenta (+). Para resolver una proporcionalidad inversa se multiplica antecedente con antecedente y consecuente con consecuente. Por ejemplo:

Veinticuatro obreros hacen un trabajo en 15 das. Cunto tiempo invertirn 40 obreros en hacer el mismo trabajo (se supone que trabajando en las mismas condiciones)?

Obreros Das

=

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 das

Respuesta: Los 40 obreros demorarn 9 das.

Resolver los siguientes problemas:

a) Veinte alumnos hicieron una excursin y consumieron 15 botellas de jugo. Cuntas botellas de jugo se habran consumido, si hubieran los 50 alumnos del curso?

b) Un automvil puede recorrer 93 km con 12 litros de gasolina. Qu distancia podr recorrer con 20 litros?

c) Veinte hombres hacen un determinado servicio en 10 das. Cuntos hombres, de igual capacidad que los primeros, seran necesarios para hacer el mismo servicio en 8 das?

d) Cuarenta obreros pintan un edificio en 10 das. Cuntos obreros seran necesarios para realizar el mismo trabajo en 8 das?

e) Un rollo de alambre que pesa 48 kg contiene 315 metros de alambre; en la ferretera queda un rollo del mismo alambre, que pesa 25,6 kg. Cuntos metros de alambre contendr?

f) Si en un establo hay 50 animales y el alimento les dura 18 das, para cuntos das alcanzara la misma cantidad de alimento si los animales son 60?

g) Cuatro obreros hacen un trabajo en 15 das. En cuntos das haran el mismo trabajo 5 obreros?

h) Veinte mecnicos arman 8 mquinas en un da. Cuntos hombres se necesitarn para armar en un da, 12 mquinas?

i) Un grifo que da 0,9 litros de agua por segundo llena un depsito en 14 horas. Cunto tiempo tardar en llenarlo otro grifo que da 0,6 litro por segundo?

j) Para hacer 6 litros de helados se ocupa 1,5 kg de azcar. Cunta azcar se necesitar para hacer 14 litros de helados?

k) Un frasco con miel que pesa 2,5 kg vale $ 3.800. Cunto costar otro frasco de la misma miel, que contiene 4 kg?

l) Para llegar de Santiago a Linares en 5 h debemos ir a 60 . Cunto tiempo demoraremos si vamos a 48 ?

m) Un campamento scout tiene provisiones para 240 personas para 14 das. Solamente fueron 112 personas al campamento. Cunto durarn entonces las provisiones?

n) Para pintar una muralla de 96 m, se ocuparon 8 litros de pintura. Cuntos litros se necesitarn para cubrir una superficie de 28,8 m de largo por 2,5 m de alto?

o) Un avin demora 2 horas 13 minutos en hacer un viaje de Santiago a Arica yendo a una rapidez de 900 kilmetros por hora. A qu velocidad debera volar el avin para demorar hora en hacer el mismo recorrido?

PROPORCIONALIDAD COMPUESTA.

(+) (+)

A B C

(+) (+)directas

(-) (-)

A B C

(-) (-) inversas

(-) (+)

A B C

inversa (-) (+) directa

Resolver los siguientes problemas :1. Cuatro operarios producen, en 10 das, 320 piezas de un cierto producto. Cuntas piezas de este mismo producto sern producidas por 10 operarios en 16 das?

2. Dieciocho obreros, trabajando 7 horas por da, realizan un determinado servicio en 12 das. En cuntos das, 12 trabajadores que trabajan 9 horas por da, harn el mismo servicio?

3. Diez mquinas preparan un terreno de 30 hectreas en 9 das. En cuntos das 12

mquinas idnticas a las primeras, prepararn un terreno de 48 hectreas?

4. Para alimentar 12 caballos durante 20 das se necesitan 174 kg de alimentos. Cuntos kg de alimento se necesitan para mantener 15 caballos durante 40 das?

5. Si 30 mquinas tejen 2.000 metros de tela en 20 das, cuntas mquinas iguales a las anteriores sern necesarias para producir 7.000 metros de tela en 14 das?

6. Un depsito de 500 litros de capacidad es llenado por un grifo a razn de 5 litros por segundo en 12 horas. Cunto tiempo tardara en llenarse un depsito de 1.250 litros por un grifo a razn de 8 litros por segundo?

7. Si 25 ampolletas originan un gasto de $ 3.000 al mes, estando encendidas 6 horas diarias, qu gasto originaran 20 ampolletas durante 10 horas diarias?

8. Si 35 animales consumen 63 fardos de pasto en 26 das. En qu tiempo consumirn 52 animales, 72 fardos de pasto?

9. Un viajero recorre 1.500 km en 20 das caminando 15 h diarias .Qu distancia recorrera, en las mismas condiciones, en 30 das caminando 12 h diarias?

De que manera puedo comparar las estaturas de dos personas?

COMPUESTA

INVERSA

DIRECTA

SECUENCIA DE RAZONES IGUALES

PROPORCIONES

EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3

PAGE 1

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