05 Fisica 1 batx 153-188 - McGraw-Hill Education154 5.1 Treball Fins ara hem estudiat el moviment relacionant totes les magnituds amb el temps.En aquesta unitat estudiarem el moviment

Bloc 2 05Treball i energia

Els escaladors s’han d’esforçar molt per pujar per les parets rocoses. Com podem quantifi car el treball que fan des del punt de vista de la física?

Què passa amb el treball que fa l’escalador per arribar a una altura determinada si es deixa d’agafar a la roca i cau durant un cert tram abans que la corda l’aturi i li eviti la caiguda?

05_Fisica 1_batx_153-188.indd 15305_Fisica 1_batx_153-188.indd 153 20/12/06 11:16:3620/12/06 11:16:36

154

5.1 Treball

Fins ara hem estudiat el moviment relacionant totes les magnituds amb el temps. En aquesta unitat estudiarem el moviment relacionant les magnituds amb la posició mitjançant la depen-dència F-x, i defi nirem els conceptes de treball i energia que simplifi quen la resolució de problemes de la dinàmica.

En el llenguatge quotidià, anomenem treball moltes classes diferents de tasques que compor-ten un esforç físic o intel.lectual; en cada cas, la paraula treball té connotacions diferents. Però en física associem el concepte de treball només a aquelles situacions en què hi ha forces aplicades sobre un cos en moviment. Per exemple, fem treball físic quan aixequem un cos a una certa altura o quan l’arrosseguem al llarg d’un camí o, fi ns i tot, quan el deformem, però no en fem quan aguantem una maleta mentre esperem l’arribada de l’autobús (situació en què evidentment fem un esforç muscular i ens cansem, però això no signifi ca que fem un treball des del punt de vista de la física).

Es diu que una força realitza treball físic quan actua en la direcció del recorregut d’un cos en moviment. És a dir, quan la força té un component no nul en la direcció del desplaçament del cos (fi g. 5.1).

Al treball físic només contribueix la part de la força que té la direcció del desplaçament del cos sobre el qual actua. Així, la força aplicada sobre el cos de la fi gura 5.2 es descompon en dos components: un (Fx) en la direcció del desplaçament del cos i que realitza treball, i l’altre (Fy) perpendicular a la direcció del desplaçament, que junt amb la normal compensa la força pes, i que no realitza treball perquè actua en una direcció en què no hi ha desplaçament.

5. Treball i energia5.1 Treball

Matemàticament, l’expressem:

W 5 F D x cos a 5 Fr D x

on F és el mòdul de la força aplicada, D x és el mòdul del vector desplaçament i a és l’angle que formen els vectors força i desplaçament.

La unitat de treball en el SI és el joule (J), que es defi neix com el treball realitzat per una força d’un newton (1 N) quan el seu punt d’aplicació es desplaça un metre (1 m) al llarg de la seva línia d’acció: 1 J 5 1 N ? 1 m.

Fx F cos a5

Fy 5 F sin a F

D x

a

5 força aplicada

x0 (desplaçament)

realitza treball

no realitzen treball

x

N

p

Fig. 5.2. Només realitza treball el component de la força que té la direcció del desplaçament.

Fig. 5.1. L’actor Buster Keaton estira un cotxe amb una corda. Tant la força que ell aplica al cotxe mitjançant la corda com la força de frega-ment dinàmic del terra sobre el cotxe realitzen treball.

Defi nim el treball (W) fet per una força que actua sobre un cos que es desplaça com el producte de la força en la direcció del desplaçament per aquest desplaça-ment.


155

5. Treball i energia 5.1 Treball

El treball és una magnitud escalar. El seu valor pot ser positiu, negatiu o nul:

j Si 0 # a , 90°, el treball és positiu ja que cos a . 0 i l’anomenem treball motor o motriu (fi g. 5.3).

j Si 90° # a , 180°, el treball és negatiu ja que cos a , 0 i l’anomenem treball resistent o resistiu (fi g. 5.4).

j Si a 5 90°, el treball és nul, ja que cos 90° 5 0 (fi g. 5.5).

D’acord amb la defi nició de treball, les condicions necessàries per realitzar un treball són:

j Que sobre un cos actuï una força.

j Que es mogui el punt d’aplicació d’aquesta força.

j Que la direcció del moviment no sigui perpendicular a la força.

En el cas que sobre un cos actuï més d’una força, el treball total que es realitza és la suma dels treballs realitzats per cada una de les forces (fi g. 5.6):

W 5 oi Fi D x cos ai 5 o

i Fxi D x

El concepte de treball és molt útil en l’estudi de màquines simples com la politja, el pla inclinat, el torn dife-rencial, el caragol, etc. Aquestes mà-quines canvien les direccions i els mòduls de les forces però sempre es compleix que el treball motriu com-pensa el treball resistiu, a excepció de les pèrdues per fregament.

��

��

��

�

Fig. 5.3. El cos es mou cap a la dreta i la força �F té un component en el mateix

sentit que el del moviment del cos.

��

�

��

�

� ��

Fig. 5.4. El cos es mou cap a la dreta i la força �F té un component en sentit

oposat al del moviment del cos, tendeix a frenar-lo.

��

�

��

Fig. 5.5. El cos es mou cap a la dreta i la força �F no té cap component en la

direcció del moviment del cos.

p

Treball total en el cas de tres forces:

F2

F3y

F3 x

F1

F3

F2 x

F2y

N

Fig. 5.6. Si el cos es mou en el sentit positiu de l’eix X, per a calcular el treball total descompo-nem totes les forces sobre el cos en components en les direccions X i Y. El treball resultant és el producte de o Fx per D x.


156


Calculeu el treball que realitza un professor amb la seva cartera de 10 kg, si:

a) L’aguanta 3 min mentre espera el tren.

b) L’aixeca 50 cm verticalment a velocitat constant.

Resolució

a) �F i

�p són les forces aplicades damunt la cartera (fig. 5.7).

En no haver-hi desplaçament, Dx 5 0, el treball fet és nul.

W 5 FDx cos a 5 0

b) Com que el professor puja a velocitat constant, l’única

força que fa és oposada al pes de la cartera (�F 1

�p 5 0);

per tant:

F 5 p 5 mg 5 10 kg ? 9,8 m/s2 5 98 N

Aquesta força F té direcció vertical i sentit cap amunt. Com que el desplaçament també és en la direcció verti-cal Y i sentit cap amunt, l’an-gle que forma amb la força F és de 0° (fig. 5.8). El treball que realitza el professor en pujar la cartera és:

W 5 FDy cos a 5

5 98 N ? 0,5 m ? cos 0° 5

5 49 J

Exemple 1

F

pFig. 5.7. La força aplicada s’oposa al pes i no hi ha desplaçament.

�

�

�

�

��

Fig. 5.8. La força aplicada s’oposa al pes i té la direc-ció del desplaçament.

Volem moure una rentadora per una superfície plana i horitzontal, i fem una força de 500 N, en la direcció horit-zontal. Si entre la rentadora i el terra actua una força de fregament de 150 N i la volem desplaçar 10 m, calculeu:

a) El treball que realitza cadascuna de les forces que ac-tuen sobre la rentadora.

b) El treball total.

Resolució

Primer fem un esquema de totes les forces que actuen da-munt la rentadora (fig. 5.9).

a) Les forces que actuen, com veiem en la figura 5.9, són

el pes �p , la normal

�N, la força

�F1 de 500 N i la força de

fregament �Ff de 150 N.

Fixem-nos que el pes i la normal no realitzen tre-ball, perquè són perpendiculars al moviment. És a dir, l’angle que formen amb el desplaçament és de 270° i 90° respectivament. Així, cos 270° 5 0, i cos 90° 5 0, i W 5 0.

El treball que realitza la força F1 (la persona que em-peny la rentadora) és:

W1 5 F1 Dx cos a 5 500 N ?10 m ? cos 0° 5 5 000 J

on a 5 0°, ja que la força i el desplaçament tenen la mateixa direcció i sentit.

El treball realitzat per la força de fregament és:

Wf 5 Ff Dx cos a 5 150 N ?10 m ? cos 180° 5 21 500 J

on a 5 180° (els sentits de �Ff i de Dx són contraris).

b) Trobem el treball total sumant els treballs realitzats per cadascuna de les forces.

WT 5 W1 1 Wf 5 5 000 1 (21 500) 5 3 500 J

Exemple 2

�

�

��

��

� ��

Fig. 5.9. Forces que actuen damunt la rentadora.


157


Volem traslladar un cos de 25 kg de massa una distància de 15 m per una superfície horitzontal mitjançant una corda que forma un angle de 30° amb la superfície. Tibem la cor-da amb una força de 75 N. El coeficient de fregament entre el cos i el pla és de 0,2. Calculeu:

a) El treball que realitza cada una de les forces que actuen sobre el cos.

b) El treball total. Comproveu que és igual al treball que realitza la força resultant.

Resolució

Primer fem un esquema de totes les forces que actuen da-munt del cos (fig. 5.10).

Com que el pes és més gran que F1y, només tenim movi-ment en la direcció X.

a) Les forces que hi actuen són el pes (�p ), la força normal

(�N), la força

�F1 de 75 N i la força de fregament (

�Ff).

El pes i la normal no realitzen treball, perquè són per-pendiculars al moviment. És a dir, els angles que formen amb el desplaçament són de 270° i 90°. Així, cos 270° 5 cos 90° 5 0, i W 5 0.

El treball que fa la força F1 (la persona que tiba la cor-da) és:

W1 5 F1 Dx cos a 5 75 N ?15 m ? cos 30° 5

5 974,28 J

Aquesta força es descompon en dos components F1x i F1y. El component F1x, que actua en la direcció i sentit del desplaçament, és el que fa el treball. El component perpendicular al desplaçament, F1y, no fa treball, però sí que influeix en el treball de fregament; l’hem de tenir en compte a l’hora de calcular aquest treball.

Per trobar el treball de la força de fregament, calculem prèviament quant val la força de fregament: Ff 5 mN.

El coeficient de fregament és una dada del problema, però hem de calcular la força normal. Com ja hem dit, a l’eix vertical no hi ha acceleració (fig. 5.10), per tant, la suma de totes les forces que hi actuen ha de ser zero.

N 1 F1y 2 p 5 0

N 5 p 2 F1y 5 mg 2 F1 sin 30° 5

5 25 kg ? 9,8 m/s2 2 75 N ? sin 30° 5 207,5 N

Un cop tenim la força normal, ja podem calcular la for-ça de fregament:

Ff 5 mN 5 0,2 ? 207,5 N 5 41,5 N

I ara, el treball de la força de fregament:

Wf 5 Ff Dx cos a 5 41,5 N ?15 m ? cos 180° 5

5 2622,5 J

El resultat és negatiu perquè la força de fregament i el desplaçament del cos tenen sentits contraris.

b) Trobem el treball total sumant els treballs de totes les forces que en realitzen.

WT 5 W1 1 Wf 5 974,3 1 (2622,5) 5 351,78 J

Per comprovar que el treball total és igual al treball que realitza la força resultant de totes les forces que actuen sobre el cos, calculem quant val aquesta força:

j En l’eix vertical: o Fy 5 N 1 F1y 2 p 5 0, ja que no hi ha acceleració.

j En l’eix horitzontal:

o Fx 5 F1x 2 Ff 5 F1 cos 30° 2 Ff 5

5 75 ? cos 30° 2 41,5 5 23,45 N

en la direcció i sentit del moviment del cos.

Hi apliquem la definició de treball:

W 5 FDx cos a 5 23,45 N ?15 m ? cos 0° 5 351,78 J

Aquest resultat coincideix amb el que hem trobat anteriorment; podem dir que el treball total és el treball de la força resultant.

Exemple 3

��

��

��

��

�

��

�

Fig. 5.10. Forces que actuen damunt el cos.


158

Interpretació gràfi ca del treball. Diagrames F-x

La representació gràfi ca de la força en funció del desplaçament de la partícula ens dóna in-formació del treball realitzat per aquesta força.

Per fer això, hem de conèixer com va variant la força aplicada en funció de la posició del cos, i per això representem en l’eix d’abscisses la posició del cos i en l’eix d’ordenades, la força aplicada.

Analitzem alguns casos suposant que en tots la trajectòria de la partícula és una recta, és a dir, que segueix un moviment rectilini.

Activitats

1> Justifi queu en quines de les situacions següents es realitza treball i en quines no:

a) Empenyem un moble molt pesat sense aconse-guir moure’l.

b) Aguantem una bossa plena de menjar a la cua del supermercat sense que la cua avanci.

c) Un jugador de bàsquet llança la pilota a la cis-tella.

d) Donem corda a una joguina mecànica.

e) Aguantem una maleta mentre ens desplacem horitzontalment.

f ) Aguantem una maleta mentre pugem per unes escales.

2> Un objecte es desplaça 10 m quan hi actua una força de 20 N. Calculeu el treball realitzat sobre l’objecte, quan la força:

a) Té el mateix sentit que el desplaçament de l’ob-jecte.

b) Té sentit contrari al desplaçament de l’objecte.

c) És perpendicular al desplaçament de l’objecte.

R: a) 200 J; b) 2200 J; c) 0

3> Volem moure un armari de massa 100 kg. Si la força de fregament amb el terra és de 250 N:

a) Quina és la força mínima que cal fer per moure’l?

b) Amb quina acceleració es mourà si apliquem una força horitzontal constant de 300 N?

c) Quin és el treball resultant durant els 10 s inicials?

R: a) 250 N; b) 0,5 m/s2; c) 1 250 J

4> Volem moure un trineu per una pista de gel horit-zontal amb velocitat constant, i apliquem una força de 40 N que forma un angle de 35º amb l’horitzon-tal.

a) Quin és el treball efectuat per la força aplicada quan el trineu es desplaça 10 m?

b) Quina és la força de fregament efectuada per la pista sobre el trineu?

c) Quan val el coefi cient de fregament si la massa del trineu val 30 kg?

d) Quin treball net s’ha efectuat sobre el trineu?

R: a) 328 J; b) 32,8 N; c) 0,12; d) 0

5> Un bloc de fusta de 7,5 kg de massa baixa per un pla inclinat (a 5 37º) des d’una altura de 4 m. Si el pla inclinat té un coefi cient de fregament de 0,18, determineu el treball realitzat pel pes del cos, pels components tangencial i normal del pes, i per la força de fregament.

R: 294 J; 0; –42,26 J

6> Una grua ha de pujar un automòbil avariat de 1250 kg de massa fi ns a la seva plataforma, a 1,75 m d’altura respecte del terra, mitjançant uns rails que formen un cert angle amb l’horitzontal i que presenten un coefi -cient de fregament de 0,35. Quina força mínima ha de fer el motor elevador de la grua i quin treball efectua si l’angle és de 20º? I si l’angle és de 30º? A quina conclusió arribem? Perquè creus que són útils els plans inclinats?

R: 8,22 ? 103 N, 4,21 ? 104 J; 9,84 ? 103 J, 3,44 ? 104 J



159


La força és constant

La força actua damunt del cos que es desplaça seguint una trajectòria rectilínia (fig. 5.11).

Representem en l’eix d’abscisses la posició del cos i en l’eix d’ordenades el mòdul del com-ponent de la força en el sentit del moviment (fig. 5.12).

Si calculem l’àrea ombrejada en el gràfic:

Àrea 5 F cos a D x

veiem que correspon al treball realitzat per la força en desplaçar el cos des de la posició 1 fins a la posició 2.

D x

p

Fy

Fx

NF

a

x 1 x2

Àrea 5 cos aF ( x 2 x 1 )2 5 F Fx 5 Wcos a 5

XD x

D x D x

cos aF

Fig. 5.11.

Fig. 5.12. Calculant l’àrea ombrejada obtenim el treball.

La força varia linealment amb la distància

Considerem un cos de massa m unit a una molla de constant recuperadora k. Ja sabem que si apliquem una força externa F sobre el cos, aquest estira la molla i la deforma proporcional-ment d’acord amb la llei de Hooke: F 5 k D x.

�

��

�

�

�

�

�

��

� � �

��

��

��

��

�

Fig. 5.13. La força externa F s’oposa a la força elàstica i provoca una deformació de la molla.

��

� ��

�

� �

��

�

Fig. 5.14. Calculant l’àrea ombrejada obtenim el treball fet per la força F aplicada a la molla.

Representem el valor de la força F aplicada sobre la molla en l’eix Y i els allargaments de la molla en l’eix X (fig. 5.14), amb l’origen de X a la posició d’equilibri (x0 5 0). Es té:

F 5 k D x 5 k x


160


El treball fet per la força F, com hem vist, coincideix amb l’àrea que comprèn aquesta figura, que és un triangle de base x, i altura k x. Per tant, el treball realitzat per la força externa F en allargar la molla des de la posició x0 5 0 fins a la posició x val:

x (k x)W 5 ———

1W 5 — k x2

2 2

La força és variable no lineal

És el cas més general. Per calcular el treball, cal conèixer com varia la força aplicada en fun-ció de la posició del cos. Aleshores, representem en l’eix d’abscisses la posició i en l’eix d’ordenades la força (fig. 5.15), i a continuació calculem l’àrea delimitada per la funció F (x) i l’eix X. Per fer-ho, utilitzem el mateix raonament d’unitats anteriors:

Prenem petits intervals de desplaçament de manera que el valor la força hi és aproximada-ment constant. En la figura 5.15 n’hi ha representat un. L’àrea associada a cada interval és la d’un rectangle de costats D xi i Fi, l’àrea del qual és Fi D xi.

L’àrea total que cal calcular és la suma d’un nombre n d’aquests petits rectangles. Aquesta suma d’àrees serà aproximadament l’àrea total, és a dir, el treball realitzat per la força aplicada al cos quan aquest es desplaça de la posició inicial x0 a la posició final xf.

La suposició feta que la força es manté constant només és vàlida si aquests rectangles tenen una base suficientment petita, la qual cosa s’aconse-gueix dividint el desplaçament total en molts intervals i passant al límit. Matemàticament s’expressa com:

W 5 nlim� `

n

oi 5 1

Wi 5 nlim� `

n

oi 5 1

Fi D xi

��

�

��

� �

� �

�

�

Fig. 5.15. Calculant l’àrea total ombrejada ob-tenim el treball total. Ho fem dividint-la en pe-tits rectangles.

Sobre una partícula actua una força variable donada per una molla: F 5 6x, on x ve expressada en centímetres i F en newtons. Calculeu el treball que realitza quan la partí-cula es desplaça des de la posició x0 5 0 fins a la posició x 5 20 cm.

Resolució

Com que la força varia segons la posició de la partícula, ho podem resoldre a partir de la representació gràfica F-x.

Construïm una taula de valors (taula 5.1):

x (cm) 0 5 10 15 20

F (N) 0 30 60 90 120

En fem la representació gràfica (fig. 5.16), i, tal com hem vist, l’àrea ombrejada és el treball desenvolupat per aques-ta força variable.

Exemple 4

��

��

�

�

�

�

��

�� Fig. 5.16. Taula 5.1.

Si la posició d’equilibri de la molla no coincideix amb l’origen de coor-denades x0 Þ 0, l’expressió del tre-ball és: 1

W 5 — k (Dx)2 2

Si la molla s’estén en la direcció Y en comptes de fer-ho en la direcció X, les expres sions corresponents són:

1F 5 k D y i W 5 — k (Dy)2

2


161

5.2 Potència

Considerem dues grues que eleven un mateix nombre de sacs de ciment a una mateixa altura i que una ho fa en un minut i l’altra en tres minuts. Les dues grues realitzen el mateix treball però no aprofi ten el temps de la mateixa manera per desenvolupar-lo.

Si ens interessa valorar la rapidesa amb què es pot realitzar un treball, hem de defi nir una nova magnitud, la potència:

La potència és el treball realitzat per unitat de temps.

La potència és una magnitud escalar. La seva unitat en el SI és el watt (W), de manera que 1 watt és la potència desenvolupada quan es realitza un treball d’un joule durant un segon: 1 W 5 1 J/1 s

7> Un cos de massa m està unit a una molla que com-pleix la llei de Hooke, segons la funció F 5 8 x, en unitats del SI. Calculeu el treball necessari per de-formar- la 10 cm.

R: 0,04 J

8> Estirem una molla fi ns a una longitud determinada x9 des de la seva posició d’equilibri. El treball W9 que haurem de realitzar, com serà respecte del que hauríem de realitzar (W) per estirar la molla una longitud x quatre vegades més gran que x9?

9> Una partícula de 9 g de massa inicialment en repòs a l’origen de coordenades es posa en moviment en l’eix X quan hi actua una força neta Fx que ve dona-da pel gràfi c següent (fi g. 5.17).

Determineu el treball realitzat sobre la partícula quan es desplaça entre les posicions x 5 0, x 5 20 cm, i entre x 5 20 cm, x 5 50 cm.

R: 3 J; 22 J

Activitats

��

��

�

� �

�

��

Fig. 5.17.

5. Treball i energia 5.2 Potència

Per trobar el treball expressem la posició en metres.

F D x 120 ? 0,2Àrea 5 W 5 ——— 5 ———— 5 12 J

2 2

També podem calcular aquest treball amb l’expressió

1W 5 — k x2 obtinguda anteriorment. 2

De l’expressió de la força variable F 5 6 x, podem veure per comparació amb la llei de Hooke que k 5 6 N/cm, i passant-ho a unitats del SI, i substituint els valors en l’ex-pressió del treball, tenim:

1W 5 — ? 600 ? 0,22 5 12 J

2

que coincideix amb el treball trobat calculant l’àrea.


162

Potència mitjana

La potència mitjana, Pm, és el quocient entre el treball realitzat (D W) i l’interval de temps fi nit (D t) durant el qual s’ha realitzat aquest treball:

D WPm 5 ——

D t

Potència instantània

Pot ser que la potència variï en cada instant de temps, perquè el treball no es realitzi de forma contínua. Aleshores, defi nim la potència instantània de la mateixa manera que vam defi nir la velocitat i l’acceleració instantànies.

La potència instantània és el quocient entre el treball desenvolupat en un inter-val de temps D t molt petit, que s’apropi a zero, i aquest interval de temps.

Matemàticament, equival a calcular el límit de la potència mitjana quan D t tendeix a zero:

D WP 5

D tlim

� 0 ——

D t

Considerem el cas en què el desplaçament del cos és rectilini i té la mateixa direcció i sentit que la força. Si tenim en compte l’expressió del treball i suposem que el vector força és cons-tant per a un interval de temps molt petit, resulta:

D W F ? D x D xP 5

D tlim

� 0

—— 5 D tlim

� 0

——— 5 F ?D tlim

� 0

—— 5 F ? v D t D t D t

És a dir, en un instant, la potència és igual al producte de la força aplicada per la velocitat instantània.

Si un cos es mou seguint un moviment rectilini uniforme, en coincidir la velocitat mitjana i la instantània, la potència mitjana i la instantània coincideixen.

D WD’altra banda, de la relació P 5 ——, podem escriure el treball com: D t

D W 5 PDt

i, per tant, és freqüent donar les unitats de treball en kWh.

El quilowatt hora (kWh) correspon al treball realitzat durant 1 h del funcionament d’una màquina de potència 1 kW.

1 kWh 5 1 kW ?1 h

Si ho expressem en unitats del SI,

103 W 3 600 s 1 J1 kWh ? ——— ?——— ?——— 5 3 600 000 J 5 3,6 ?106 J

1 kW 1 h 1 W ? s

5. Treball i energia5.2 Potència

Recorda

La definició de velocitat instantània per a un moviment rectilini és:

D xvi 5

D tlim

� 0 —— 5

D tlim

� 0 vm D t

on �vm és la velocitat mitjana.

Una altra unitat de potència bastant utilitzada és el cavall de vapor (CV):

1 CV 5 735 W

Recorda

Un múltiple del watt que fem servir sovint és el quilowatt:

1 kW 5 103 W


163

Defi nim el rendiment d’un aparell, h, com la relació entre la potència útil i la potència consumida: Pu

h 5 —— Pc

També el podem expressar en tant per cent (%).

5. Treball i energia 5.2 Potència

Una grua aixeca 600 kg de totxos a 20 m d’altura en 30 s. Calculeu:

a) El treball que fa si els puja a velocitat constant.

b) La potència.

c) El rendiment, si la potència del motor de la grua és de 14 CV.

Resolució

Primer fem un esquema on dibuixem totes les forces que actuen damunt dels totxos (fi g. 5.18).

a) Si puja amb velocitat constant, l’acceleració és zero.

Per la segona llei de Newton, oi �Fi 5 0, i per tant, la for-

ça �F feta per la grua ha de ser igual al pes dels totxos.

F 5 p 5 mg 5 600 kg ? 9,8 m/s2 5 5 880 N

Si la trajectòria és rectilínia, la força F i el desplaça-ment D y 5 20 m tenen la mateixa direcció i sentit. Per tant, tenim que cos a 5 cos 0° 5 1. El treball és:

W 5 FDy cos a 5 5880 kg ? 20 m ? cos 0° 5 1,176 ? 105 J

b) La potència és:

D W 1,176 ? 105

P 5 —— 5 ————— 5 3 920 W D t 30

En aquest cas, coincideixen la potència instantània i la potència mitjana, perquè la velocitat és constant, com

podem comprovar amb l’expressió P 5 �F ?

�v . En efecte, si

calculem la velocitat amb l’expressió del MRU:

x 5 x0 1 vD t (amb x0 5 0 i t0 5 0)

x 20 mObtenim v 5 — 5 ——— 5 0,66 m/s. t 30 s

Si ho substituïm en l’expressió P 5 F ? v, trobem fi nalment:

P 5 5 880 N ? 0,66 m/s 5 3 920 W

Veiem que la potència mitjana coincideix amb la potèn-cia instantània, com volíem demostrar.

c) El motor de la grua desenvolupa una potència superior, ja que, a més del treball realitzat sobre els totxos, rea-litza un treball addicional per vèncer els fregaments.

Passem la potència calculada en l’apartat anterior a ca-valls de vapor, ja que la potència del motor està en aquesta unitat: 1 CV

3 920 W ? ———— 5 5,33 CV 735 W

I en calculem el rendiment:

Pu 5,33h 5 —— 5 ——— 5 0,3807

Pc 14

El rendiment és del 38 %.

Exemple 5

��

�

��

�

Fig. 5.18.

Rendiment

Si el treball realitzat per unitat de temps el desenvolupa un aparell accionat per un motor, tenim la mesura de la potència que pot desenvolupar i l’anomenem potència consumida (Pc); aquesta és una dada que els aparells indiquen.

Hem de tenir en compte, però, que en el funcionament de tots els aparells hi ha un cert fregament entre les parts mòbils i les parts fixes, i això fa que el treball motor realitzat per unitat de temps en realitat sigui menor que la potència consumida. La diferència entre la potència consumida i la potència perduda pel fregament, s’anomena potència útil (Pu).


164

Quina potència hem de desenvolupar per arrossegar un cos de massa 100 kg a una velocitat constant de 15 m/s damunt d’una superfície horitzontal, si el coefi cient de fregament entre el cos i la superfície és de 0,15?

Resolució

Primer fem un esquema on dibuixem totes les forces que actuen damunt del cos (fi g. 5.19).

Si el cos s’ha d’arrossegar a velocitat constant, la força resultant ha de ser nul.la.

oi �Fi 5 0 �

�F1 1

�Ff 5 0 �

�F1 5 2

�Ffi en mòdul: F1 5 Ff

F1 és la força que s’ha de desenvolupar per contrarestar la força de fregament.

Calculem prèviament la força de fregament.

Ff 5 m N 5 m p 5 m mg 5 0,15 ?100 ? 9,8 5 147 N 5 F1

Calculem la potència; coneixem la força i la velocitat:

P 5 F1 v 5 147 N ?15 m/s 5 2 205 W

Hem de desenvolupar una potència de 2 205 W.

Exemple 6

�

�

��

Fig. 5.19.

Activitats

10> Calculeu el treball en quilowatts hora i la potència en quilowatts desenvolupats per un carretó eleva-dor en aixecar 500 kg de totxos i col.locar-los a una altura de 20 m en un temps de 30 s. Com varia el resultat si els col.loca de cop o si els va col.locant, en el mateix temps total, en grups de 250 kg?

R: 0,027 kWh, 3,2 kW

11> Un motor elèctric té un consum mitjà de 2,5 CV. Si desenvolupa una potència d’1,2 kW, quin és el rendi-ment d’aquest motor?

R: 0,65 (o 65 %)

12> Una màquina de 8 CV funciona durant una hora i mitja. Quin treball ha desenvolupat? Doneu el resul-tat en joules i en quilowatts hora.

R: 3,17 ? 107 J 5 8,82 kWh

13> Un ascensor de 1 600 kg puja des de la planta baixa d’un edifi ci fi ns al tercer pis, a 9 m d’altura. Arren-ca des del repòs de manera que, durant els primers 1,1 s, es mou amb moviment uniformement accele-

rat i assoleix l’altura d’1,15 m. Continua amb veloci-tat constant i, en arribar a l’altura de 7,85 m, frena durant 1,1 s fi ns a aturar-se al tercer pis. Determineu els treballs i les potències desenvolupats pel motor de l’ascensor en els tres trams del seu recorregut.

R: 2,15 ? 104 J, 1,96 ? 104 W; 1,05 ? 105 J, 3,28 ? 104 W; 1,45 ? 104 J, 1,32 ? 104 W

14> Una bomba aixeca 10 m3 d’aigua a una altura de 30 m en un temps de 7 minuts i mig. Calculeu la potència de la bomba i el seu rendiment si ha con-sumit una potència total de 10 kW.

R: 6,53 ?103 kW, 65 %

15> En uns grans magatzems, una cinta transportadora de 35 m de llarg puja 20 persones de massa total 1 450 kg des de la planta baixa fi ns a la 1a planta, a 6 m d’altura, a una velocitat de 0,25 m/s. Deter-mineu el rendiment del motor de la cinta si aquest ha consumit una potència d’1,56 CV per pujar les 20 persones.

R: 53 %

5. Treball i energia5.2 Potència


165

5.3 Energia

El concepte d’energia és un dels conceptes físics més importants, no només des del punt de vista cientifi cotècnic, sinó també en economia i política, i és un dels temes dels quals es parla diàriament en els mitjans de comunicació.

Nosaltres utilitzem sovint aquest concepte gràcies als avenços científi cs i tecnològics, que han fet possible que fem ús de molts aparells i que utilitzem les diferents fonts d’energia. Recordem una sèrie d’accions que realitzem diàriament: agafem l’ascensor per pujar o baixar, posem carburant al cotxe o a la moto, posem piles a l’MP3 per escoltar música, podem córrer, jugar, i fi ns i tot dormir. Per a tot això ens és necessària l’energia.

Tots aquests exemples evidencien que el concepte d’energia és molt ampli, però en aquesta unitat únicament ens ocuparem de l’energia que tenen les partícules, o cossos puntuals, com hem fet al llarg de totes les unitats.

Una manera de defi nir l’energia podria ser la següent: la capacitat que tenen les partícules per realitzar una transformació. Per tant, aquesta energia no es posa en evidència fi ns que s’ha realitzat aquesta transformació, com per exemple, quan posem en marxa el cotxe, o bé quan comencem a córrer o caminar.

Si aquesta transformació es pot expressar en termes de força i desplaçament, el seu resultat és un treball. Llavors, podem associar l’energia amb el treball que hem estudiat anteriorment i podem quantifi car-la.

D’aquesta manera, podem dir que realitzar un treball implica la transformació o la transmissió d’energia de l’agent que el realitza. La gasolina transmet l’energia al motor perquè aquest pugui fer moure el cotxe i realitzar un treball. El nostre organisme ens subministra l’energia necessària per poder-nos moure.

L’energia és la capacitat que té un cos per realitzar treball.

Com que l’energia s’identifi ca amb el treball, les unitats d’energia i de treball són les matei-xes, o sigui, en el SI, el joule (J).

Aquesta capacitat de realitzar treball pot ser deguda a diverses causes, i això ens permet parlar de formes d’energia diferents.

En aquesta unitat estudiarem les dues formes bàsiques de quantifi car l’energia: l’energia cinè-tica i l’energia potencial.

5. Treball i energia 5.3 Energia

Un dels grans reptes que es plantegen actualment és el de trobar noves fonts d’energia i potenciar les energies re-novables.

5.4 Energia cinètica

Ja sabem que, d’acord amb la primera llei de Newton, un cos amb moviment rectilini unifor-me (MRU) es mou indefi nidament i a la mateixa velocitat (en mòdul i direcció) sense neces-sitat de fer cap acció sobre ell, és a dir, sense aplicar-li cap força. Anàlogament, un cos en repòs continua indefi nidament en aquest estat a no ser que se li apliqui una força.

Ara bé, si volem modifi car el mòdul de la velocitat d’un cos, haurem d’aplicar-hi una força en la direcció del seu desplaçament i, per tant, haurem de fer un treball sobre ell.

En conseqüència, és lògic pensar que un cos en moviment té una energia determinada, que anomenarem energia cinètica. El fet que tingui aquesta energia li permet moure’s indefi ni-

La paraula cinètica prové del grec kinesis que significa moviment.


166

dament amb un MRU. D’altra banda, el cos ha pogut adquirir la seva velocitat partint del repòs gràcies a una força aplicada, és a dir, a un treball fet sobre ell. Recordem que els con-ceptes d’energia i de treball són equivalents.

L’energia cinètica, que representem per Ec, és l’energia que té un cos només pel fet d’estar en moviment.

D’acord amb aquesta defi nició, un cos en repòs no té energia cinètica perquè no està en moviment; la seva velocitat és nul.la.

Per trobar l’expressió de l’energia cinètica d’un cos amb una velocitat determinada, la identi-fi carem amb el treball necessari perquè aquest cos adquireixi aquesta velocitat partint del repòs: Ec 5 W.

Ara calculem aquest treball:

Considerem un cos inicialment en repòs i de massa m (fi g. 5.20). Si li apliquem una força

constant �F (que, per simplicitat, considerarem en la direcció X i en sentit positiu), el cos ad-

quireix una acceleració �a constant segons la segona llei de Newton:

�F 5 m ?

�a

5. Treball i energia5.4 Energia cinètica

� �

� ��

��

Fig. 5.20. Els vectors força i desplaçament tenen la mateixa direcció i sentit. Per tant, l’angle a que formen és de 0°, i el treball val:

W 5 F D x cos 0° 5 F D x

La velocitat v i el desplaçament D x del cos van augmentant d’acord amb les expressions del moviment rectilini uniformement accelerat; com que el cos parteix del repòs (v0 5 0), tenim:

1D x 5 — a (D t)2

2

v 5 a D t

Substituïm aquestes expressions en l’expressió del treball, tenint en compte que l’angle que formen F i D x és nul (cos 0° 5 0):

1 1 1Ec 5 W 5 F D x cos a 5 m a — a (D t)2 ? 1 5 — m (a D t)2 5 — m v2

2 2 2

Per tant, l’expressió que mesura l’energia cinètica d’un cos de massa m que es mou a una velocitat de mòdul v és:

1Ec 5 — m v2

2

Es pot comprovar, amb l’equació de dimensions de l’expressió anterior, que la unitat de l’energia cinètica en el SI és el joule (J).


167

5. Treball i energia 5.4 Energia cinètica

Teorema del treball i de l’energia cinètica

Perquè el mòdul de la velocitat d’una partícula canviï, augmentant o disminuint, i, per tant, també ho faci la seva energia cinètica, cal que una força actuï sobre la partícula.

Fixem-nos en la fi gura 5.22.

Damunt d’aquest bloc que es mou inicialment a una velocitat �v0 actua una força constant

�F.

Quan s’ha desplaçat Dx, la velocitat del bloc ha augmentat fi ns a �v.

Tot seguit veurem que el treball realitzat per la força s’utilitza en incrementar l’energia cinè-tica del bloc.

Com que la força �F és constant, l’acceleració que proporciona al bloc també és constant, per

tant, si apliquem la segona llei de Newton:

�F 5 m

�a

Com que l’acceleració és constant, el bloc segueix un moviment rectilini uniformement accele-rat (MRUA). Sabem que l’equació que relaciona la velocitat i la posició en el MRUA és:

v2 2 v02 5 2a Dx

Des de dalt d’un pla inclinat de longitud 15 m que forma un angle de 30° amb l’horitzontal, es deixa caure lliscant un cos de 5 kg de massa. Si no hi ha fregament entre el cos i la su-perfície del pla, calculeu la velocitat amb què el cos arriba a baix del pla.

Resolució

Aquest exemple es pot resoldre de diverses maneres. En uni-tats anteriors, l’hem resolt aplicant les lleis de Newton; ara ho farem aplicant el concepte d’energia cinètica i treball.

Prèviament, fem un esquema on representem totes les forces que actuen damunt del cos (fi g. 5.21). Prenem l’eix Y perpendicular al pla i l’eix X en la direcció del moviment del cos.

Fixem-nos que, en un pla inclinat, �N i

�py no fan treball,

perquè són perpendiculars al desplaçament, i l’única força que realitza el treball i proporciona energia cinètica és px.

Calculem l’energia cinètica del cos produïda pel treball rea-litzat per la força px que li fa adquirir la velocitat amb què arriba a baix del pla partint del repòs.

En la fi gura 5.21 veiem que:

px 5 mg sin 30°

D’altra banda, el treball realitzat per aquesta força és:

W 5 px Dx 5 mg sin 30°Dx

Podem igualar l’energia cinètica adquirida amb el treball, Ec 5 W. Aleshores tenim que:

1mg sin 30°Dx 5 — mv2

2

D’on podem concloure que la velocitat no depèn de la mas-sa del cos, ja que aquesta s’anul.la en cada membre de la igualtat.

Si aïllem la velocitat:

v 5 Îãã2 g ããsinãã30°ãã D xãã 5

5 Îã2 ?ãã9,8 ãããm/s2ãã? sinããã30° ?ããã15 mãã 5 12,12 m/s

Exemple 7

��

��

�

�

��

��

��

��

�

�

Fig. 5.21.

F Fv0

x0 x

v

D x

Fig. 5.22. La força que actua damunt del cos en fa variar la velocitat.


168


Busquem el treball realitzat per aquesta força: W 5 FDx cos O° 5 F D x

Substituïm la força en funció de l’acceleració: W 5 m a Dx

v2 2 v02

De l’equació que relaciona la velocitat i la posició obtenim: ————— 5 a D x 2

v2 2 v02

Substituïm en el treball: W 5 m 1——————2 2

1 1 1W 5 — m (v2 2 v

02) 5 — mv2 2 — mv

02 5 Ecf 2 Ec0 5 D Ec 2 2 2

1 1essent Ec0 5 — m v

02 l’energia cinètica inicial i Ecf 5 — m v2, l’energia cinètica fi nal. Per

2 2tant:

W 5 DEc

Aquest resultat és vàlid sempre, no només en el cas d’una força constant, i cons-titueix l’enunciat del teorema del treball i de l’energia cinètica, que diu que el treball realitzat per la força resultant que actua damunt d’un cos s’inverteix en modifi car la seva energia cinètica.

Si el treball és positiu (W . 0), l’energia cinètica de la partícula augmenta (D Ec . 0), i, si és negatiu (W , 0), l’energia cinètica de la par-tícula disminueix (D Ec , 0).

Quina força han de fer els frens d’un cotxe de massa 1000 kg per tal que s’aturi en 40 m, si la seva velocitat és de 100 km/h?

Resolució

L’única força que intervé per aturar el cotxe és la força �F

que han de proporcionar els frens del cotxe (fi g. 5.23).

Tota l’energia cinètica que porta el cotxe ha de ser equiva-lent al treball fet per aquesta força per aturar-lo en 40 m.

Prèviament, passem les unitats de velocitat a unitats del SI.

103 m 1 h100 km/h ? ——— ? ———— 5 27,78 m/s

1 km 3 600 s

Apliquem el teorema del treball i de l’energia cinètica: W 5 DEc.

L’energia cinètica que porta el cotxe quan circula a 100 km/h val:

1 1Ec0 5 — mv2 5 — ?1 000 kg ? (27,78 m/s)2 5 3,86 ? 105 J 2 2

Ecf 5 0

W 5 Ecf 2 Ec0 5 F D x 5 F D x

Fixem-nos que l’angle entre els vectors força i desplaça-ment és de 180° perquè la força s’oposa al moviment.

Coneixem el vector desplaçament, que són 40 m. Si aïllem la força:

Ecf 2 Ec0 0 2 385 802 JF 5 ————— 5 ———————— 5 29 645 N

Dx 40 m

que és la força que han de fer els frens del cotxe per aturar-

lo. És una força negativa perquè s’oposa al moviment.

Exemple 8

�

�

��

�

Fig. 5.23. Forces que actuen damunt del cotxe negligint el fregament amb el terra.


169

5. Treball i energia 5.4 Energia cinètica

Un cotxe que circula a una certa velocitat té una energia cinètica de 63 000 J. Per la zona on està circulant fa molt de vent, i això fa que disminueixi la seva energia cinètica fi ns a 24 000 J.

a) Quin treball ha realitzat el vent?

b) Discutiu el signe d’aquest treball.

Resolució

a) Apliquem el teorema del treball i de l’energia cinètica:

W 5 DEc 5 Ecf 2 Eci 5 24 000 J 2 63 000 J 5 239 000 J

És el treball que fa el vent i provoca la disminució de l’energia cinètica.

b) Observem que el cotxe ha perdut energia a causa del vent, ja que aquest fa una força en sentit contrari al moviment

del cotxe; el treball té signe negatiu.

Exemple 9

Volem clavar un clau en un tauló de fusta. Aquest clau, que té 5 cm de llargada i 50 g de massa, entra dins del tauló a una velocitat inicial de 5 m/s i s’hi clava totalment. Calcu-leu la força mitjana que fa la fusta sobre el clau.

Resolució

Representem totes les forces que actuen sobre el clau en la fi gura 5.24.

Hem de passar totes les dades a unitats del SI:

j m 5 50 g 5 0,05 kg

j Dx 5 5 cm 5 0,05 m. Correspon a la longitud del clau, que coincideix amb el desplaçament que ha de fer el clau dins del tauló de fusta.

A la fi gura observem que la força �F1 és la força inicial que

fem amb el martell i �F2 és la força mitjana que fa el tauló

de fusta, que és la que volem calcular. La força �F1 només

actua en un interval de temps inicial i és la que proporcio-

na la velocitat inicial al clau. A continuació actua �F2 que és

la que frena el clau fi ns a aturar-lo.

Apliquem el teorema del treball i de l’energia cinètica:

1W 5 D Ec 5 Ecf 2 Ec0 5 0 2— mv

02

2

Ecf 5 0, ja que el clau s’atura quan ja està totalment clavat.

També podem calcular el treball com:

W 5 F2 Dx 5 F2 D x

Igualem les dues expressions:

1W 5 F2 Dx 5 2 — mv

02

2

Si aïllem F2, obtenim:

1 2— mv

02

2 21 0,05 kg ? (5 m/s)2

F2 5 —————— 5 —— ? ————————— 5 212,5 N Dx 2 0,05

que és la força mitjana que fa el tauló de fusta. Obser-vem que és una força de fregament, ja que és una força nega tiva. En realitat és l’oposició que fa el tauló de fusta sobre el clau.

Exemple 10

!��"��#��#��$#��!��

!��"��$#��!��#�%��!#��

��

��

��

��

Fig. 5.24. Forces sobre el clau.


170

Activitats

16> Citeu set exemples de fonts energètiques tant reno-vables com no renovables. Quines aplicacions tenen? En quina forma fan treball?

17> Quin factor infl ueix més en el valor de l’energia cinè-tica, la massa de la partícula o la velocitat?

18> Tenim dos cossos de masses una el doble que l’altra. La velocitat del cos més lleuger és el doble que la del cos més pesat. Quina afi rmació és la correcta? Raoneu-ho.

a) Els dos tenen la mateixa energia cinètica.

b) S’han desplaçat el mateix en el mateix interval de temps.

c) El cos més lleuger té el doble d’energia cinètica que el cos més pesat.

d) El cos més pesat té el doble d’energia cinètica que el cos més lleuger.

19> Amb l’ajut d’una corda aixequem un cos de 4,5 kg, inicialment en repòs, a una altura de 5 m fent una força de 125 N. De les següents proposicions, trieu la resposta correcta:

A) El treball efectuat per la força transmesa a tra-vés de la corda val:

a) 500 J

b) 750 J

c) 625 J

B) El treball efectuat per la força de la gravetat val:

a) 2120,5 J

b) 2220,5 J

c) 2420,5 J

C) L’energia cinètica fi nal del cos és:

a) 404,5 J

b) 279,5 J

c) 205,5 J

20> Un automòbil de 1 410 kg es mou a velocitat cons-tant de 30 km/h per una carretera recta. De sobte, el conductor accelera durant un cert temps, de ma-

nera que la força neta F que actua sobre l’automòbil durant aquest interval de temps es representa pel gràfi c següent (fi g. 5.25).

Calculeu el treball efectuat per aquesta força, i de-termineu la velocitat fi nal de l’automòbil aplicant el teorema del treball i l’energia cinètica.

R: 1,46 ? 105 J, 60 km/h

21> Es dispara un projectil de 12 g de massa contra un bloc de fusta, i, quan porta una velocitat de 350 m/s, s’hi incrusta tot penetrant una distància de 9,5 cm. Determineu el treball realitzat sobre el projectil i determineu la força que, en mitjana, ha efectuat el bloc.

R: 735 J, 7 737 N

22> Un projectil igual al de l’activitat anterior, anant a la mateixa velocitat inicial, travessa un altre bloc de fusta i surt a una velocitat de 75 m/s. Sabent que aquest nou bloc efectua la mateixa força resis-tent que el de l’activitat anterior, podem concloure que:

A) El treball efectuat per la força resistent és:

a) 735 J

b) 701,25 J

c) 2701,25 J

B) La longitud que ha recorregut el projectil a l’in-terior del bloc ha estat de:

a) 9,5 cm

b) 9,1 cm

c) 9,9 cm

��

& �

��

Fig. 5.25.



171

5.5 Forces conservatives i forces no conservatives

Suposem un cos de massa m que està damunt d’un pla inclinat d’altura h; volem calcular el treball que realitza el pes (fi g. 5.26) en els dos casos següents:

1) Quan el cos cau verticalment fi ns al terra.

2) Quan aquest cos llisca pel pla inclinat sense fregament fi ns al terra i el desplacem horit-zontalment fi ns a situar-lo a la mateixa posició en què es troba el cos quan ha caigut verticalment en el cas A).

5. Treball i energia 5.5 Forces conservatives i forces no conservatives

A) Per calcular el treball realitzat pel cos, quan cau verticalment WAC, observem (fi g. 5.27) que l’única força que actua és el pes i que el desplaçament D y coincideix amb l’altura h del pla inclinat: p 5 m g, Dy 5 h. A més, els vectors

�p i D

�y tenen tots dos direcció

vertical i sentit cap avall, de manera que l’angle que formen és nul (cos 0° 5 1).

Per tant, si apliquem la defi nició de treball, tenim:

W 5 F ? D y ? cos 0° 5 mgh

B) Calculem el treball realitzat pel cos (fi g. 5.28), en dues parts.

� �

� �

�

�

��

��

�

�

Fig. 5.26. Representació de totes les forces que actuen damunt del cos.

��

� �

��

� �

� �

Fig. 5.28. Recorregut 2, el cos baixa lliscant pel pla inclinat i, un cop a baix, se situa en la mateixa posició final que en el recorregut 1.

�

�

�

Fig. 5.27. Recorregut 1, el cos baixa vertical-ment fins al terra; des del punt A fins al punt C.

Primer calculem el treball en arribar a terra lliscant pel pla inclinat (fi g. 5.28 a), WAB. Obser-vem que l’única força que realitza treball és el component tangencial del pes, pt 5 mg sin a.

hEl mòdul del desplaçament del cos al llarg del pla inclinat és D r i val: D r 5 ———. Els vec- sin ators

�pt i D

�r formen un angle de 0°, ja que tenen la mateixa direcció i el mateix sentit (són

paral.lels).


172

5. Treball i energia5.5 Forces conservatives i forces no conservatives

Per tant, si apliquem la defi nició de treball, tenim:

hWAB 5 F ? D r ? cos 0° 5 pt D r ? 1 5 mg sin a ——— 5 mgh

sin a

Ara ens falta calcular el treball que realitza el pes, en situar el cos en la posició a què ha arribat al fi nal del recorregut 1 (fi g. 5.28 b), WBC. Observem que el pes i el desplaçament són perpendiculars, per tant, en aquest cas el treball realitzat pel pes és nul.

WBC 5 mg D x cos 90° 5 0

Observem que el pes ha fet el mateix treball seguint el recorregut 1 i el recorregut 2:

W 5 mgh

Es pot demostrar que per qualsevol altre recorregut entre el punt inicial i el punt fi nal, el treball efectuat pel pes és el mateix.

A partir d’aquest exemple podem enunciar la defi nició següent:

Les forces el treball de les quals només depèn de la posició inicial i fi nal indepen-dentment del camí seguit s’anomenen forces conservatives (fi g. 5.29).

A B

c

c999

c99c9

Fig. 5.29. Si els treballs efectuats per la força aplicada en diferents re correguts entre dos punts coincideixen, diem que la força és conserva tiva.

Un exemple d’aquestes forces el tenim en el pes, com ja hem vist en el cas anterior.

Com a conseqüència d’aquesta defi nició, podem dir que una força conservativa té la propie-tat que el treball net que fa al llarg d’un camí tancat és zero, ja que el punt inicial i el fi nal coincideixen (fi g. 5.30).

Aclarim-ho amb un cas concret.

Una pedra llançada verticalment cap amunt torna al punt de sortida amb la mateixa veloci-tat en mòdul amb què l’hem llançada, si no tenim en compte el fregament amb l’aire, com ja hem vist en unitats anteriors.

Si tenim en compte el cicle del moviment de la pedra, on l’inici i el fi nal és el mateix lloc, i apliquem el teorema de l’energia cinètica per calcular el treball, tenim: W 5 DEc. No hi ha hagut variació de l’energia cinètica, ja que la pedra arriba amb la mateixa velocitat en mòdul amb què ha estat llançada, per tant:

W 5 0

Com que el treball és igual a zero i, alhora, W 5 F ? D r cos a, i la força que actua només és el pes (fi g. 5.31), deduïm que el pes és una força conservativa, com ja hem demostrat.

A

Fig. 5.30. Una força conservativa actuant so-bre un cos que descriu una trajectòria tancada qualsevol, no realitza treball. Per tant, l’energia cinètica del cos en tornar al seu punt d’origen és la mateixa, s’ha «conservat» i d’aquí el nom donat a aquest tipus de forces.

'��

(#)� � �

� �

Fig. 5.31. Forces que ac tuen damunt del cos en el recorregut total, quan no es té en compte el fregament amb l’aire.


173

5. Treball i energia 5.5 Forces conservatives i forces no conservatives

De la mateixa manera que el pes, també són forces conservatives les forces elàstiques i les elèctriques. En canvi, la força muscular, la força de fregament, i altres, són forces no conser-vatives, ja que el treball realitzat per aquestes forces al llarg d’una trajectòria tancada qual-sevol no és nul.

Considerem un cas on es posi de manifest que la força de fregament no és conservativa.

Seguim amb la pedra llançada verticalment cap amunt que torna al punt de sortida, però ara tenim en compte el fregament amb l’aire. En aquest cas, la pedra arriba a baix amb una velocitat més petita que la que tenia quan l’hem llançada. Torna a ser un cicle (trajectòria tancada).

Si apliquem el teorema de l’energia cinètica, observem que:

W 5 DEc 5 Ecf 2 Eci , 0, perquè vf , v0

Mirem quines forces actuen damunt de la pedra (fi g. 5.32): són el pes i la força de fregament deguda a l’aire, que, recordem-ho, sempre és oposada al moviment.

Calculem el treball de les dues forces. Hem vist que el pes és una força conservativa, és a dir, no realitza treball al llarg del cicle, per tant, el treball total ha de coincidir amb el treball de la força de fregament.

Si apliquem el teorema del treball i l’energia cinètica, tenim:

WT 5 Wf 5 DEc , 0

Wf , 0, d’on deduïm que la força de fregament és una força no conservativa i que efectua un treball negatiu; és a dir, provoca una disminució de l’energia cinètica.

Les forces elàstiques també són conservatives; aquestes forces ja sabem que són les produï-des, per exemple, per una molla. Si estirem una molla i, un cop produïda una deformació determinada, la deixem anar, la molla torna a la seva posició inicial. Si calculem el treball fet per la força recuperadora de la molla en tot el cicle, aquest resulta ser nul i podem afirmar que la força elàstica és conservativa.

'��

(#)��

�

� �

Fig. 5.32. Forces que actuen damunt del cos en el recorregut total quan tenim en compte el fre-gament amb l’aire.

23> Quines de les forces següents són conservatives? Raoneu la resposta.

a) La força elàstica exercida per un resort helicoïdal.

b) La força de resistència efectuada per l’aire sobre un avió que vola.

c) La força gravitatòria exercida pel Sol sobre la Terra.

d) La força de fregament exercida pel terra sobre les rodes d’un automòbil que frena.

24> Un cos es mou des d’un punt A fi ns a un punt B i després torna al punt A. Si al punt B té la mateixa velocitat que a l’inici però quan torna de nou al punt A la seva velocitat és menor, trieu quines de les següents afi rmacions són certes. Justifi queu les respostes:

a) En l’anada de A a B, la força neta sobre el cos és zero.

b) En l’anada de A a B, totes les forces que actuen són conservatives.

c) En el tram de tornada de B a A, actua alguna força no conservativa.

d) En el cicle total, totes les forces que actuen són conservatives.

25> Dos grups de muntanyencs assoleixen el mateix cim partint del mateix punt; el primer grup ha seguit un camí més curt però més abrupte, mentre que el se-gon ha anat per un camí amb un desnivell menys acusat però més llarg. Per a quin dels dos grups la força de la gravetat ha desenvolupat un treball més gran? Raoneu la resposta.

Activitats


174

5.6 Energia potencial

Ja hem vist que el treball efectuat per una força conservativa només depèn de la posició inicial i de la posició final del cos. Per calcular més fàcilment el treball desenvolupat per aquest tipus de forces, fixem arbitràriament una posició de referència determinada, que prendrem com a posició zero.

Així, per al pes, prendrem normalment com a posició zero la posició en què el cos estigui recolzat en un suport, per exemple, damunt d’una taula, al terra d’una habitació, al terra del carrer, a la base d’un pla inclinat, etc. Per a la força elàstica, la posició zero serà la posició de la molla sense deformació, és a dir, en el seu estat d’equilibri.

Vist això, podem definir una altra magnitud física, l’energia potencial, que ens ajudarà a fer consideracions energètiques d’aquests sistemes conservatius. Depenent del tipus de força conservativa, podem parlar d’energia potencial gravitatòria, elàstica i elèctrica.

Tot seguit, estudiarem l’energia potencial gravitatòria i l’elàstica. El curs vinent estudiarem l’energia potencial elèctrica.

5. Treball i energia5.6 Energia potencial

Vegem-ne un cas concret.

Observem com varia l’energia potencial associada al pes del cos representat en la fi gura 5.33. Agafem com a origen del sistema de referència el terra o altura zero. Inicialment, el cos es troba a la posició A i la seva energia potencial varia a mesura que va baixant. En passar a la posició B, la variació de l’energia potencial, respecte de la posició A és:

DEp (A � B) 5 EpB 2 EpA

Analitzem ara el treball realitzat pel pes, Wp 5 F Dy. La força i el desplaçament tenen la mateixa direcció i el mateix sentit; per tant, és un treball positiu.

A causa del sistema de referència que hem agafat, l’energia potencial disminueix a mesura que baixa el cos, i el treball, per tant, s’obté a costa de l’energia potencial perduda, que es transforma en treball. Per tant, en aquest cas:

DEp (A2B) , 0

Wp 5 2DEp . 0

Defi nim la variació de l’energia potencial d’una partícula com el treball, can-viat de signe, realitzat per una força conservativa sobre la partícula; aquest tre-ball és igual a la disminució d’energia potencial que experimenta la partícula.

W 5 2DEp

És a dir, si sobre una partícula que es mou d’una posició A a una posició B, actua una força conservativa, s’associa una energia potencial a la posició A (que repre-sentem per EpA) i una energia potencial a la posició B (representada per EpB) de manera que la seva diferència es relaciona amb el treball WA�B fet per aquesta força conservativa segons:

WA�B 5 2(EpB 2 EpA)

0

pA

pB

p

p

A

B

E

E

Fig. 5.33. Variació de l’energia potencial asso-ciada al pes d’un cos.

Com a conclusió, podem dir que l’energia potencial és l’energia que té un cos per la seva posició en aquella zona de l’espai on actuen forces conservatives.


175

5. Treball i energia 5.6 Energia potencial

Energia potencial gravitatòria

L’energia potencial gravitatòria és l’energia que té un cos per la posició que ocupa dins d’una zona de l’espai on actuïn forces gravitatòries.

L’energia potencial dels cossos situats a una altura h sobre la superfície terrestre coincideix amb el treball necessari per elevar-los fi ns a aquesta altura h. El terra s’agafa com a referèn-cia d’energia potencial zero.

Vegem com calcular aquesta energia.

Imaginem-nos un cos que es troba a una altura hA (fi g. 5.34) damunt del terra i el volem situar a una altura hB. En aquestes dues posicions, el cos té una energia potencial gravitatòria deter-minada.

Per defi nició, la variació de l’energia potencial gravitatòria és equivalent al treball, canviat de signe, realitzat per la força pes en situar el cos de l’altura hA a hB.

Analitzem el treball realitzat pel pes. La força i el desplaçament del cos tenen la mateixa direcció i el mateix sentit, per tant, el treball és positiu.

Deduïm l’expressió de l’energia potencial gravitatòria de l’expressió del treball. Sabem que Wp 5 2D Ep. Calculem Wp:

Wp 5 F Dy 5 p Dy

Wp 5 mg (hA 2 hB) 5 mghA 2mghB 5 2(mghB 2 mghA) 5 2(EpB 2 EpA) 5 2D Ep

Identifi cant termes, es dedueix que mghB equival a l’energia potencial gravitatòria en l’altu-ra hB, anàlogament mghA equival a l’energia potencial en l’altura hA.

En general, l’energia potencial gravitatòria d’un cos de massa m situat a una altura h, val:

Ep 5 mgh

La unitat en què s’expressa en el SI és el joule (J).

Hem de fer algunes consideracions en relació a l’expressió que hem obtingut:

j Hem calculat el treball efectuat pel pes tractant-lo com una força constant, però aquest només és constant en la zona de l’espai on el valor de la gravetat terrestre es manté cons-tant, és a dir, a petites altures.

j També hem considerat l’energia potencial gravitatòria zero en el terra, i un cos pot estar situat a un nivell més baix que el terra, per exemple, dins d’un pou (fi g. 5.35). En aquest cas, l’energia potencial és negativa, a causa del sistema de referència que hem utilitzat, és a dir, que el cos es troba a una altura negativa, per tant, més petita que el nivell del terra.

��

��

�

�

�

�

� �

Fig. 5.34. Energia potencial gravita tòria.

0

Ep m g h

p

5

h , 0

Fig. 5.35. L’energia potencial gravitatòria (Ep 5 m g h) també pot ser negativa si h té un valor negatiu.


176

La galleda d’un pou (fi g. 5.37) té una energia potencial gravitatòria de 10 J quan està buida i situada a la part de dalt de la politja, que està a una altura de 2 m del terra. Si la galleda es troba a 25 m de profunditat i s’omple amb 10 L d’aigua, quina energia potencial gravitatòria tindrà la galleda en el pou? Recordeu que 1 L d’aigua equival a 1 kg.

Resolució

De l’expressió de l’energia potencial gravitatòria, podem trobar la massa de la galleda:

Ep 5 mgh

Quan aïllem la massa:

Ep 10 Jm 5 —— 5 ——————— 5 0,51 kg

gh 9,8 m/s2 ? 2 m

que és la massa de la galleda buida.

Per trobar l’energia potencial dins del pou, hem de recordar que, com que està per sota del terra, l’energia potencial és negativa; així, l’altura és h 5 225 m.

Un cop la galleda està plena d’aigua, la massa total del cos és la massa de la galleda més la massa de l’aigua, que val:

m 5 0,51 kg de la galleda 1 10 kg de l’aigua 5 10,51 kg

L’energia potencial dins del pou és:

Ep 5 mgh 5 10,51 kg ? 9,8 m/s2 ? (225) m 5 22 574,95 J

Exemple 12

h 5 2 m

25 m

h 5 0

Fig. 5.37.


Calculeu l’energia potencial del conjunt format per la campana i la barra que la subjec-ta en la torre campanar de la fi g. 5.36, si la campana i la barra tenen una massa total de 60 kg i estan a una alçària de 20 m.

Resolució

L’energia potencial gravitatòria val:

Ep 5 mgh

Si substituïm les dades:

Ep 5 60 kg ? 9,8 m/s2 ? 20 m 5 11 760 J

que és l’energia potencial gravitatòria que té el conjunt barra-campana damunt de la torre respecte del terra.

Exemple 11

Fig. 5.36.


177

Energia potencial elàstica

L’energia potencial elàstica és l’energia que té un cos elàstic en virtut del seu estat de deformació.

Si estirem una molla o la comprimim amb una força externa F, realitzem un treball sobre la molla. Veurem que aquest treball queda emmagatzemat en el ressort en forma d’energia po-tencial i que només depèn de la posició inicial i fi nal de la molla. Per tant, podem parlar d’una energia potencial elàstica. Aquesta energia que té una molla deformada (sigui estirada o comprimida) es posa de manifest en deixar d’aplicar la força externa, aleshores la molla recupera la forma i posició inicials.

Per determinar el valor d’aquesta energia hem de calcular el treball realitzat en la deforma-ció. La força aplicada és una força variable que, com ja sabem, compleix la llei de Hooke si es vol que produeixi una deformació determinada.

Imaginem-nos una molla que està en la seva posició d’equilibri, on no hi ha deformació. En la posició d’equilibri, segons el sistema de referència establert anteriorment, la posició és zero (x0 5 0), per tant, l’energia potencial és zero: Epi 5 0

Si l’estirem una distància x, tot aplicant una força externa �F, que segons la llei de Hooke val

F 5 kx, es realitza un treball que s’acumula com a energia potencial de la molla en aquesta posició (fi g. 5.38).

x

x0 5 0

5 k xF

x0 5 0

Fig. 5.38. Deformació de la molla en aplicar una força externa.

Calculem el treball gràfi cament, ja que hem vist que la representació gràfi ca de la força en funció del desplaçament del cos ens dóna la informació del treball realitzat (fi g. 5.39).

Així, de la representació gràfi ca deduïm que:

(k x)x 1Wextern 5 ——— 5 — kx2

2 2

que correspon al treball realitzat per la força externa en deformar la molla. Aquest treball és positiu i només depèn de la posició fi nal x i de la posició inicial (x0 5 0) de la molla.

Àrea 5 12

0 x0

k x

k x

k x2

Xx

F 5

F

Fig. 5.39.

5. Treball i energia 5.6 Energia potencial


178


Un cos de 250 g de massa està subjecte a una molla de constant recuperadora k 5 100 N/m damunt d’un pla inclinat. Si separem el conjunt 25 cm de la posició d’equilibri, calculeu l’energia po-tencial elàstica que té aquest cos en aquesta posició (fi g. 5.41).

Resolució

Expressem els 25 cm en unitats del SI (25 cm 5 0,25 m), i cal-culem Ep. 1 1

Ep 5 — kx2 5 — ?100 N/m ? 0,252 m2 5 3,125 J 2 2

Observem que el valor de l’energia potencial elàstica és indepen-dent de la massa del cos.

Exemple 13

25 cm

x0

x

Fig. 5.41.

Com que ens hem referit a la força que fa la molla sobre el cos, la força elàstica feta per la molla és l’oposada:

�Fmolla 5 2

�F. Per tant, el treball que fa la molla quan el cos al qual està

unit passa de la posició 0 a la posició x és negatiu (fi g. 5.40).

1Wmolla 5 W 5 2 — kx2

2

F5 0

5 2k xx0

molla

x0 x Fig. 5.40. Representació de la força que fa la molla en la deformació.

D’altra banda, tenim que:

1W 5 2DEp 5 2(Epf 2 Epi) 5 2(Epf 2 0) 5 2 — kx2

2

Així, obtenim: 1

Epf 5 — kx2

2

que correspon a l’energia potencial elàstica en aquest punt.

1Ep 5 — kx2

2

Observem que l’energia potencial elàstica només depèn de la constant de la molla i de la posició del cos respecte de la posició d’equilibri.

La unitat amb què s’expressa en el SI és el joule, perquè:

NEp 5 — ? m2 5 N ? m 5 J

m


179

5.7 Energia mecànica

Una conseqüència molt important de tot el que s’ha estudiat en aquesta unitat és que els tipus o classes d’energia que hem analitzat tenen una característica comuna: poden ser con-vertides íntegrament en treball.

Un cos pot tenir energia cinètica, energia potencial gravitatòria, energia poten-cial elàstica, etc., i la suma de totes aquestes es coneix amb el nom d’energia mecànica.

E 5 Ec 1 Ep

on Ep inclou totes les formes d’energia potencial.

5. Treball i energia 5.7 Energia mecànica

Un cos es troba al damunt d’un pla inclinat, a la part inferior del qual hi ha una molla (fi g. 5.42). Estudieu les transformacions d’energia mecànica que experimenta el cos des que es deixa caure baixant pel pla inclinat, fi ns que arriba a baix comprimint la molla.

Exemple 14

��

� ��

Fig. 5.42. Moviment del cos pel pla incli-nat, on baixa per l’acció del component del pes tangencial al pla inclinat.

26> Un alpinista de 80 kg escala 300 m per hora en as-censió vertical. Quina energia potencial gravitatòria guanya cada hora?

R: 2,35 ? 105 J

27> Un espeleòleg de 75 kg de massa baixa a una cova en descens vertical. Si la cova té una profunditat de 500 m, quina és la variació d’energia potencial gravi-tatòria quan arriba al fons de la cova?

R: 23,68 ? 105 J

28> Un grup d’alumnes raona que, quan estirem una mo-lla una distància determinada, l’energia potencial elàstica que emmagatzema la molla és la meitat de la que emmagatzema quan s’estira una distància doble que l’anterior. Esteu d’acord amb aquest rao-nament? Justifi queu la resposta.

29> Un cos de 200 g de massa està subjectat a una molla de constant recuperadora k 5 1 000 N/m. El conjunt està recolzat en un pla horitzontal on negligim els fregaments. Si separem el conjunt 20 cm de la posi-ció d’equilibri, calculeu:

a) L’energia potencial elàstica que té la molla en aquesta posició.

b) El treball que hem fet per portar el cos a aquesta posició.

R: a) 20 J; b) 20 J

30> Una molla que està penjada del sostre té una cons-tant elàstica de 2 500 N/m. Si al seu extrem s’hi penja una massa de 25 kg, quina longitud s’allarga la molla? Quina energia potencial elàstica emmagat zema?

R: 0,098 m, 12 J

Activitats


180

5. Treball i energia5.7 Energia mecànica

Resolució

Quan el cos baixa, la seva energia potencial gravitatòria disminueix i es va trans formant en energia cinètica que, per tant, augmenta. Quan el cos entra en contacte amb la molla la seva energia potencial elàstica va augmentant i la velocitat va disminuint fi ns que arriba a la màxima compressió de la molla, on el cos s’atura.

Analitzem tot el procés:

j Inicialment, tota l’energia mecànica correspondrà a l’energia potencial gravitatòria que té el cos a la part superior del pla inclinat (fi g. 5.42 a).

j Mentre baixa pel pla inclinat fi ns just abans de fer contacte amb la molla, l’energia mecànica és l’energia potencial gravitatòria més l’energia cinètica (fi g. 5.42 b).

j Quan contacta amb la molla i fi ns just abans d’aturar-se, l’energia mecànica és l’energia potencial gravitatòria (el cos encara és a una certa altura), més l’energia cinètica, més l’energia potencial elàstica (fi g. 5.42 c).

j Quan s’atura, l’energia mecànica correspondrà a l’energia potencial elàstica i a l’energia potencial gravitatòria; obser-vem que quan la molla està comprimida el cos encara és a una certa altura (fi g. 5.42 d).

Activitats

31> Un automòbil de massa 1 000 kg està parat just en el moment de pujar una rampa. Arrenca i agafa una velocitat de 54 km/h quan ha arribat a una altura de 5 m per damunt del punt de partida. Calculeu l’ener-gia mecànica adquirida.

R: 1,62 ? 105 J

32> Suposant que tota l’energia cinètica d’un automòbil es transformés en energia potencial gravitatòria,

fi ns a quina altura podria pujar l’automòbil si por-tés una velocitat de 120 km/h?

R: 57 m

33> Un cos de 5 kg cau des de 10 m d’altura, arriba a terra i rebota fi ns a una altura de 8 m. Calculeu l’energia mecànica inicial i la fi nal.

R: Ei 5 490 J, Ef 5 392 J

Un ocell de 25 g de massa vola per damunt d’un arbre a una velocitat de 2 m/s. Si l’arbre té una alçària de 5 m i l’ocell vola 0,5 m per damunt de l’arbre, quina energia mecànica té l’ocell?

Resolució

Primer, hem d’expressar la massa de l’ocell en unitats del SI: 25 g 5 0,025 kg

L’energia mecànica val:

1 1E 5 Ec 1 Ep 5 — mv2 1 mgh 5 — 0,025 ? 22 1 0,025 ? 9,8 ? 5,5 5 0,05 1 1,35 5 1,40 J

2 2

que és l’energia mecànica que té l’ocell en aquest punt respecte del terra.

Exemple 15


L’energia eòlica

Els humans hem utilitzat l’energia del vent des de l’època dels egipcis i dels fenicis. Els molins de vent i les veles dels vaixells en són alguns exemples. Actualment es cons-trueixen aerogeneradors que aprofi ten el vent per produir energia elèctrica. A cada aerogenerador, el moviment de les pales impulsades pel vent es transmet a una turbina que és el generador elèctric. L’electricitat proporcionada per cada aerogenerador es re-cull en una subestació elèctrica situada en el mateix parc eòlic.

A continuació reproduïm una nota de premsa de la Generalitat de Catalunya del 9 de se-tembre de 2006 corresponent a la inauguració del segon parc eòlic més potent de Cata-lunya, després del parc eòlic de la serra de Rubió, a l’Anoia.

El conseller de Treball i Indústria, Jordi Valls, inaugura el parc eòlic Ecovent a Tortosa 09-09-06, 14.45 h j Valls des-taca la importància «d’incrementar la producció d’energia neta a Catalunya»

El conseller de Treball i Indústria, Jordi Valls, l’alcalde de Tortosa, Joan Sabaté, i el director general d’Eyra (Energía y Re-cursos Ambientales SA), Leopoldo Iglesias, han inaugurat el parc eòlic Ecovent a Tortosa. El parc, de 48,1 MW de potència distribuïts en 37 aerogeneradors, està ubicat al terme municipal de Tortosa (Baix Ebre). Promogut per l’empresa Eyra. El parc ha suposat una inversió de 48,7 milions d’euros.

A l’acte, el conseller Valls ha destacat l’aposta del Govern «per incrementar l’energia neta i la capacitat per produir-ne a Ca-talunya amb l’objectiu de disminuir la dependència de l’energia externa d’origen fòssil».

El parc eòlic d’Ecovent, que produirà 110 milions de quilowatts hora cada any, consta de 37 aerogeneradors de 1 300 kW, de 60 m d’alçada i 62 m de diàmetre. L’energia produïda es canalit-zarà per cinc circuits subterranis dins el parc, transformada a 110 000 volts a la subestació i evacuada a la xarxa elèctrica de la línia Vandellòs-Tortosa.

La nova instal.lació eòlica d’Ecovent produirà electri citat equi-valent al consum d’uns 32 000 habitatges, evitarà l’emissió anual d’unes 108 000 tones de CO2 i exercirà un efecte depuratiu

de l’atmosfera similar al de més de cinc milions d’arbres en el procés de fotosíntesi [...]

Nou impuls a l’energia eòlica a Catalunya

El parc eòlic d’Ecovent és l’onzè en funcionament a Catalunya. Entre tots els parcs, sumen una potència de 224,8 MW. En aquests moments, el nombre de parcs eòlics amb autoritza-ció administrativa a Catalunya és de 51 amb una potència total de 1 584 MW i es troben en fase de construcció o bé tramitant les infraestructures elèctriques necessàries per a la seva eva-cuació.

En aquest sentit, el govern de la Generalitat, tal com recull el Pla de l’Energia, preveu assolir una potència de 1 500 MW d’energia eòlica a fi nals de 2007, quantitat fi xada per a aquesta legislatura. A més, hi ha les condicions per arribar a l’objectiu de 3 000 MW a l’any 2010 i 3 500 MW el 2015.

El principal objectiu i benefi ci d’aquesta tecnologia és la gene-ració d’electricitat amb una font renovable i no contaminant. La instal.lació de 3 500 MW a Catalunya suposarà el 12,3 % de la producció bruta d’electricitat prevista pel 2015. Aquesta energia és l’equivalent al consum d’electricitat domèstica de quasi 2 400 000 famílies i estalvia l’emissió a l’atmosfera d’uns 3,68 milions de tones de CO2.

Dissabte, 9 de setembre de 2006

Qüestions

1> A partir dels valors de l’energia que pot subministrar el parc eòlic de Tortosa en un any, del nombre de generadors amb què compta i de la potència de cada un d’ells, calculeu el nombre d’hores efectives de funcionament anual del parc eòlic.

2> D’acord amb les dades d’aquesta nota de premsa, calculeu la potència elèctrica que es preveu obtenir l’any 2015 a partir d’altres fonts energètiques diferents de l’eòlica.

3> Comproveu que l’energia cinètica d’una massa d’aire que impacta contra les pales del rotor d’un aerogenerador en 1un interval de temps determinat val: Ec 5 — r V v0

2, on r és la densitat de l’aire, v0 és la velocitat de l’aire en 2xocar contra les pales, i V és el volum ocupat per la massa d’aire que toca les pales en aquest interval de temps.

Física quotidiana

5. Treball i energia Física quotidiana

181

Fig. 5.43. Aerogeneradors.


182

5. Treball i energiaActivitats fi nals

182


1> Si una força realitza un treball negatiu hem de con-cloure que la força:

a) És perpendicular al desplaçament.

b) Té un component en sentit contrari al desplaça-ment.

c) La força varia amb el temps.

d) Es tracta d’una situació impossible, ja que el treball mai no pot ser negatiu.

Trieu la resposta correcta.

2> Un nen vol fer pujar la seva joguina per plans in-clinats diferents que tenen la mateixa alçària (fi g. 5.44).

Demostreu, suposant que aconsegueix que la joguina pugi fi ns a dalt en els dos casos a velocitat constant i tenint en compte que no actua la força de fregament:

a) Que la força que ha de fer és diferent en un cas que en l’altre.

b) Que el treball és el mateix en els dos casos.

3> Justifi queu el fet que el treball, la potència i l’ener-gia són magnituds escalars.

4> Si el treball realitzat per una força determinada dis-minueix fi ns a la quarta part quan la distància re-correguda disminueix fi ns a la meitat, de quina força es tracta? Expliqueu-ho detalladament.

5> Per a un motorista que parteix del repòs i accelera uniformement augmentant de velocitat:

A) La potència que desenvolupa el motor:

a) augmenta. b) disminueix. c) és constant.

B) El treball efectuat pel motor és:

a) positiu. b) negatiu. c) nul.

Trieu les respostes correctes.

6> La normativa vigent sobre vehicles pesants els obli-ga a portar un aparell que en limita la velocitat.

Raoneu si això té relació amb l’energia cinètica que poden acumular respecte dels vehicles més lleugers, si circulen a la mateixa velocitat.

7> Una mateixa força resultant actua sobre una moto i sobre una pilota de tennis al llarg d’un mateix despla-çament en la mateixa direcció i sentit. La variació de l’energia cinètica és més gran en:

a) La moto.

b) La pilota.

c) Totes dues tindran la mateixa energia cinètica.

8> Un cos té una massa que és la meitat que la d’un altre cos, però porta una velocitat doble. Si en un moment determinat apliquem sobre tots dos la ma-teixa força de frenada, l’espai que recorrerà el pri-mer cos serà, respecte del que recorrerà el segon:

a) La meitat.

b) El doble.

c) La quarta part.

d) El quàdruple.

9> Volem que el treball realitzat per anar des del punt A fi ns al punt B (fi g. 5.45) sigui el mateix fent-lo pel recorregut 1 que fent-lo pel recorregut 2. Com ha de ser la força que hi actua?

Qüestions

� �

�

Fig. 5.45.

Activitats finals

b)

h

b

Fig. 5.44.

a)

h

a


183


183

5. Treball i energia Activitats fi nals

Problemes

1> Calculeu el treball que realitza una noia amb una motxilla de 15 kg.

a) L’aguanta 5 min mentre espera entrar a l’institut per començar les classes.

b) Es dirigeix a l’aula caminant a velocitat constant.

c) Se la treu de l’esquena a 1 m del terra i la hi deixa.

R: a) 0; b) 0; c) 2147 J

2> Sobre un cos de 2,5 kg en repòs s’aplica durant 10 s una força de 3 N i una altra de 4 N en direccions perpendiculars entre si. Com a conseqüència, el cos es mou en la direcció de la força de 4 N. Si en aques-ta direcció no actua cap altra força més, cal culeu:

a) El treball de la força resultant.

b) El treball realitzat per la força de 3 N.

c) El treball realitzat per la força de 4 N.

d) La suma dels treballs fets per les dues forces con-siderades.

R: a) 320 J; b) 0; c) 320 J; d) 320 J

3> Un nen vol arrossegar 5 m el carretó de 2 kg de mas-sa per una superfície horitzontal i ho fa mitjançant una corda que forma un angle de 45° amb la superfí-

cie (fi g. 5.46), i amb una força de 25 N. Si el coefi -cient de fregament entre les rodes del carretó i la superfície és de 0,1, calculeu:

a) El treball que realitza cada una de les forces que actuen sobre el carretó.

b) El treball total. Comproveu que és igual al treball que realitza la força resultant.

R: a) Wp 5 0, WN 5 0, WF 5 88,39 N, WFf 5 20,965 J;

b) 87,42 J

4> Un cos de massa 100 kg es mou segons un moviment rectilini, d’acord amb la fi gura 5.47.

a) Calculeu quina força actua en cada tram del mo-viment.

b) Representeu gràfi cament la força respecte del desplaçament del cos.

10> Quin tipus d’energia és emmagatzemada en les si-tuacions següents?

a) Un arc que ha estat tensat a punt de llançar una fl etxa.

b) Una bola de billar que es mou damunt la taula quan és impulsada pel tac.

c) L’aigua d’un dipòsit situat a l’última planta d’un edifi ci que abasteix els veïns dels pisos infe riors.

11> És possible que la velocitat d’un cos estigui dirigida cap a l’est i la força que actua sobre ell cap a l’oest? Raoneu la resposta.

12> Tenim dos cossos en repòs. La massa d’un és el doble de la de l’altre. L’altura en què es troba el més lleu-ger és el doble que la del més pesat. Demostreu que els dos cossos tenen: a) La mateixa energia poten-cial gravitatòria. b) La mateixa energia mecànica.

13> De les frases següents, quines són correctes? Qui-nes incorrectes? Justifi queu la vostra resposta.

a) L’energia cinètica d’un cos és negativa quan ho és la seva velocitat.

b) El rendiment d’una màquina mai no pot ser més gran que la unitat.

c) L’energia potencial elàstica pot assolir valors negatius.

d) El treball efectuat per una força conservativa al llarg d’una trajectòria tancada és nul.

e) L’energia potencial gravitatòria sempre és posi -tiva.

f ) L’energia mecànica és la suma de les energies cinètiques i potencials.

g) El treball efectuat per una força correspon a l’àrea del gràfi c F-t.

45°

Fig. 5.46.


184


184


c) Calculeu a partir de la representació gràfi ca el treball total realitzat per la força.

R: a) 500 N, 2500 N, 0 N; c) 5 000 J

5> Volem fer pujar un bloc de 50 kg a velocitat cons-tant per un pla inclinat de 4 m d’alçària i 5 m de longitud, mitjançant una força aplicada en la ma-teixa direcció i sentit del desplaçament del cos. Cal-culeu:

a) La força que s’ha de realitzar, suposant que no existeix fregament entre el cos i el pla inclinat.

b) El treball que s’ha realitzat quan el bloc arriba a dalt del pla inclinat.

c) La força que s’ha de realitzar, si el coefi cient de fregament entre el cos i el pla és de 0,1.

d) Quin és l’avantatge d’utilitzar un pla inclinat per pujar el bloc en lloc d’elevar-lo verticalment?

R: a) 392 N; b) 1 960 J; c) 421,4 N

6> Una molla està estirada una longitud de 4,0 cm a partir de la seva posició natural quan apliquem una força de 6 N. Si apliquem una força addicional de 12 N, la longitud de la molla augmenta fi ns a 24,7 cm. Trieu la resposta correcta.

A) La longitud natural de la molla és:

a) 8,0 cm b) 12,7 cm c) 20,7 cm

B) El treball que hem de fer per estirar-la des de la primera posició fi ns a la segona val:

a) 0,96 J b) 1,08 J c) 0,48 J

7> Sobre un cos de 2,7 kg actua la força donada pel gràfic següent:

Si a la posició x 5 0, la velocitat del cos és de 2 m/s, determineu les velocitats del cos quan ha assolit les posicions x 5 3 m, x 5 6 m i x 5 9 m.

R: 5,5 m/s, 7,6 m/s, 8,4 m/s

8> Una grua aixeca una biga de 100 kg a una altura de 15 m i després desplaça la càrrega horitzontalment 10 m a velocitat constant.

a) Quant val el treball realitzat?

b) Quina potència útil té la grua si tarda 1 min a alçar la biga?

c) Quin és el rendiment de la grua si ha consumit una potència de 450 W?

R: a) 1,47 ? 104 J; b) 245 W; c) 54 %

9> Un objecte de 10 kg és arrossegat per una pista ho-ritzontal una distància de 10 m, amb una força cons-tant de 100 N que forma un angle de 60° amb la direcció del desplaçament. La força de fregament d’aquest objecte amb el ter ra és de 60 N. Calculeu:

a) El treball realitzat per la força aplicada, per la força de fregament i per la força pes.

b) La potència total desenvolupada per totes les forces que hi actuen.

R: a) W 5 500 J, WFf 5 260 J, Wp 5 0

b) PF 5 234,52 W, Pp 5 28,17 W, PF 5 0

10> Una vagoneta que té una massa de 200 kg es troba sobre una via horitzontal. Calculeu el treball que es fa en els casos següents:

�� ,

�

��-��

Fig. 5.47.

X (m)3 6 9

12

F (N)

Fig. 5.48.


185


185

5. Treball i energia Activitats fi nals

a) Si empenyeu la vagoneta amb una força de 100 N durant 50 s sense aconseguir que la vagoneta es mogui.

b) Si l’empenyeu amb una força constant de 200 N en la direcció de la via, fent un recorregut 50 m en 10 s.

c) Si empenyeu la vagoneta amb una força de 500 N que fa un angle de 60° amb la via, i la vagoneta re corre 100 m en 12,65 s.

d) Calculeu la potència desenvolupada en els tres apartats anteriors.

R: a) 0; b) 104 J; c) 2,5 ? 104 J; d) 0, 1 000 W, 1 976,28 W

11> Un ascensor de massa 850 kg, que porta dues perso-nes a l’interior de 70 kg i 75 kg de massa, puja des de la planta baixa fins al 7è pis en 45 s. Si cada pis té una altura de 3 m, quina potència ha de desenvo-lupar el motor de l’ascensor si el rendiment de la instal.lació és del 55 %.

R: 11,26 CV

12> Un camió de 60 tones porta una velocitat de 72 km/h i de sobte frena. Si s’atura 10 s després, quina ha estat la potència mitjana de la frenada?

R: 1,2 ? 106 W

13> Es vol dissenyar el teleesquí d’una pista d’esquí per a principiants que té 150 m de llarg i un pendent del 20º. El teleesquí ha de poder arrossegar simultà-niament 40 esquiadors, de 75 kg de massa mitjana, a una velocitat de 12 km/h, i els cables que els estiren han de formar un angle de 40º amb la pista. Si el motor que mou tot el sistema té un rendiment del 75 %, i sabem que el coeficient de fre gament que presenta la pista val, de mitjana, 0,09, quina ha de ser la potència que ha de tenir el motor d’aquest sistema?

R: 93 CV

14> Una força constant de 100 N actua durant 20 s sobre un cos de 10 kg que inicialment es mou a 36 km/h. Si es mou amb una acceleració de 5 m/s2:

a) Quina és la força de fregament?

b) A quina velocitat es mou als 20 s?

c) Quin espai recorre durant aquest temps?

d) Quin treball s’ha realitzat?

e) Quin ha estat l’augment de l’energia cinètica?

R: a) 50 N; b) 110 m/s; c) 1 200 m; d) 6 ? 104 J; e) 6 ? 104 J

15> Un objecte de 100 kg es mou a una velocitat de 15 m/s. S’hi aplica una força de 500 N en el sentit del despla çament, i la velocitat arriba fi ns a 20 m/s. Calculeu:

a) Quin treball s’ha realitzat?

b) Quin ha estat el desplaçament de l’objecte?

c) Quant val la força de fregament, si quan hi actua, el cos es desplaça 3 m més, per arribar a la ma-teixa velocitat fi nal?

R: a) 8 750 J; b) 17,5 m; c) 73,17 N

16> Un automòbil de 1 375 kg pot desenvolupar una po-tència màxima de 60 CV. Si suposem que el coefi cient de fregament entre les rodes i el terra val sempre 0,11, determineu la velocitat màxima que podria desenvolupar l’automòbil en els casos següents:

a) L’automòbil circula per una via horitzontal.

b) L’automòbil puja per un pendent del 7 %.

c) L’automòbil baixa per un pendent del 6 %.

R: a) 107 km/h; b) 66 km/h; c) 237 km/h

17> Un projectil de 250 g travessa una paret de 0,30 m de gruix. La velocitat quan penetra a la paret és de 300 m/s i quan en surt és de 90 m/s. Calculeu el treball sobre el projectil i la resistència de la paret.

R: 1,02 ? 104 J, 3,11 ? 104 N

18> Un conductor circula a 80 km/h per una avinguda; a 50 m hi ha un semàfor que es posa vermell i el con-ductor frena. L’automòbil i el conductor tenen una massa total de 1 000 kg, i la força de frenada que hi actua és de 2 000 N.

��

��

Fig. 5.49.


186


186


Calculeu:

a) L’energia cinètica inicial del cotxe.

b) El treball realitzat per la força de frenada en els 50 m.

c) Raoneu si el cotxe s’aturarà just abans o després del semàfor.

R: a) 2,47 ? 105 J; b) 2105 J

19> Ajudat per dos companys, empenyeu un automòbil que està inicialment parat amb una força constant de 1000 N i el cotxe es mou 10 m. Una vegada s’ha desplaçat els 10 m, el cotxe porta una velocitat de 3 m/s. La massa de l’automòbil és de 600 kg.

Calculeu:

a) Quin és el treball que heu fet?

b) Quina és l’energia cinètica de l’automòbil en aca-bar el recorregut assenyalat?

c) Quin és el treball que s’ha perdut? En què s’ha transformat?

R: a) 104 J; b) 2 700 J; c) 7 300 J

20> Per treure l’aigua d’un pou que està a 45 m de profun-ditat disposem d’una bomba d’una potència de 2 CV que pot treure’n 80 L cada mig minut.

a) Quin treball efectua la bomba en aquest temps? En què es converteix aquest treball?

b) Quina energia es perd en aquest temps? En què es converteix aquesta energia?

c) Quin és el rendiment de la bomba?

R: a) 3,53 ? 104 J; b) 8 820 J; c) 80 %

21> En una minicentral hidroelèctrica l’aigua cau des d’una altura de 2 m sobre una turbina amb un cabal mitjà de 1 500 kg/s. Quina seria la potència teòrica que podríem obtenir a la central si l’energia poten-cial es transformés íntegrament en energia elèctrica?

R: 29,4 kW

22> Si d’una molla de longitud natural 12,0 cm pengem una massa de 18 g, la molla assoleix una longitud de 12,9 cm. Quina energia emmagatzema la molla quan es comprimeix fins a una longitud de 10,4 cm?

R: 2,51 ? 1023 J

23> Un edifi ci té 12 pisos i cada pis fa 3,5 m d’alçària. Calculeu per a una persona de 60 kg, i prenent la planta baixa com a zero d’energia potencial gravita-tòria:

a) L’energia potencial gravitatòria que té si viu al 5è pis.

b) L’energia potencial gravitatòria que té si viu al 8è pis.

c) La variació de l’energia potencial gravitatòria si puja des del 2n pis fi ns al terrat de l’edifi ci?

d) Quina és la variació de l’energia potencial gravi-tatòria si baixa des del 6è pis fi ns al carrer?

R: a) 10 290 J; b) 16 464 J; c) 20 580 J; d) 212 348 J

24> Un test de fl ors està situat en un balcó en la mateixa vertical d’un pou (fi g. 5.50). El test es troba damunt del terra a 15 m d’altura i té una energia potencial gravitatòria de 40 J. Si cau dins del pou, calculeu:

a) La massa del test.

b) L’energia potencial gravitatòria que té dins del pou, si el pou fa 20 m de profunditat.

c) La variació d’energia potencial gravitatòria.

R: a) 270 g; b) 253,3 J; c) 293,3 J

25> Un avió de 10 000 kg de massa té una energia mecà-nica de 109 J i vola horitzontalment a 9 km d’altura. Calculeu:

a) L’energia potencial gravitatòria i l’energia cinè-tica de l’avió.

b) La velocitat a la qual vola l’avió.

R: a) 8,82 ?108 J, 1,18 ?108 J; b) 153,62 m/s

0

Fig. 5.50.


187


187

5. Treball i energia Pràctica

Pràctica

Estudi de l’energia potencial i l’energia cinètica

Objectiu

Determinar la velocitat amb què arriba un cos que llisca, sense rodar, a la part de baix d’un pla inclinat, depenent de l’altura del pla inclinat i de l’angle d’inclinació.

Material

j Cronòmetre

j Carril

j Cinta mètrica

j Balances

j Suport

j Un cos que llisqui sense rodar

Fonament

Com hem vist en aquesta unitat, qualsevol cos per la seva situació en el camp gravitatori terrestre, té energia potencial gravitatòria, segons l’altura que té respecte del sistema de referència triat.

També hem vist que l’energia és la capacitat que té un cos per realitzar treball.

Si situem un cos a la part superior d’un pla inclinat i el deixem caure lliurement lliscant pel pla, l’energia potencial que posseeix el cos fa que es realitzi un treball per fer-lo baixar i arribar fins a baix amb una certa velocitat; també pot ser que s’aturi o que no es mogui per efecte del fregament entre el pla inclinat i el cos.

Procediment

1. Amb la balança, determineu la massa del cos que llisca.

2. Amb la cinta mètrica, mesureu la longitud del carril.

3. Realitzeu el muntatge de la figura 5.51.

4. Mesureu l’altura del suport que heu posat per muntar el pla inclinat.

5. Calculeu l’energia potencial del cos en la posició de dalt del pla inclinat.

6. Deixeu caure el cos pel pla tot mesurant el temps que tarda a arribar a la part inferior. Repetiu-ho 10 vegades.

Fig. 5.51.


188


188

5. Treball i energiaPràctica

7. Anoteu totes les mesures del temps a la taula 5.2 i calculeu la mitjana del temps.

x (longitud del carril):

t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10

8. Calculeu la velocitat amb què arriba a baix recordant que es tracta d’un MRUA on v0 5 0 i t0 5 0. Amb les equacions del moviment i la velocitat trobem que: x

v 5 2 — t

9. Calculeu l’energia cinètica que té el cos quan arriba a baix del pla inclinat.

10. Repetiu tot el procediment, des del punt 3 fins al punt 9, disminuint l’altura del pla inclinat baixant una mica el car-ril (fig. 5.52), ja que hem de fer caure el cos i que re cor ri la mateixa longitud de carril.

11. Torneu-ho a fer una altra vegada, des del punt 3 fins al punt 9, disminuint una altra vegada l’altura del pla inclinat (fig. 5.53).

Anàlisi dels resultats

1. Utilitzant les equacions del moviment i de la velocitat del MRUA, deduïu l’expressió que hem utilitzat per calcular la velocitat del cos quan arriba a baix.

2. Observeu com varia, en canviar la inclinació del pla, la velocitat del cos en arribar a baix del pla inclinat. De quina forma varia aquesta velocitat?

3. Compareu en cada cas, l’energia potencial que té el cos a la part superior del pla i l’energia cinètica que té quan arriba a baix. Són iguals?

4. Si no són iguals, calculeu la variació que hi ha en cada cas. Són semblants les variacions?

5. Quina és la causa de la variació entre l’energia potencial i la cinètica?

Taula 5.2.

Fig. 5.52.

Fig. 5.53.


Documents

05 Fisica 1 batx 153-188 - McGraw-Hill Education154 5.1 Treball Fins ara hem estudiat el moviment relacionant totes les magnituds amb el temps.En aquesta unitat estudiarem el moviment