1

Física 2n BatxilleratLurdes Morral

MOVIMENTS VIBRATORIS

2

1- Moviment vibratori harmònic simple

2- Comparació del mhs amb mcu

3- Equacions del moviment harmònic simple

3.1-Equació de l’elongació

3.2-Equació de la velocitat

3.3-Equació de l’acceleració

4- Dinàmica de l’oscil·lador harmònic simple

5- Energia de l’oscil·lador harmònic simple5.1- Energia cinètica

5.2-Energia potencial

5.3-Energia mecànica

6- El pèndul simple com oscil·lador harmònic

7- Altres moviments vibratoris 7.1- Amortiment

7.2- Ressonància

3

Una partícula, descriu un moviment periòdic quan els valors de la posició, la velocitat, i l’acceleració es repeteixen després d’un interval de temps anomenat període.

1-MOVIMENT VIBRATORI HARMÒNIC SIMPLE

Exemple: Moviment circular uniforme (MCU).

4

Una partícula descriu un moviment oscil·latori o vibratori quan es desplaça successivament a un costat i l’altre de la seva posició d’equilibri i repetint a intervals regulars de temps, les seves variables cinemàtiques.Exemple: Un pèndul, una molla, un gronxador.

1-MOVIMENT VIBRATORI HARMÒNIC SIMPLE

5

En aplicar una força Fext , a la molla, desplacem el cos una posició x de la seva posició inicial de repòs O,fins al punt D. Quan cessa la força:-Va de D a O i fins a B-S’atura momentàniament a B -Torna a A i repeteix tot l’anterior.

La força recuperadora de la molla, és la que provoca el moviment d’oscil·lació i és de sentit contrari al vector posició (origen = posició d’equilibri).

→→−= rkF

El moviment oscil·latori d’un cos sobre una trajectòria recta és harmònic simple quan està sotmès a l’acció d’una força d’atracció proporcional al vector posició, amb origen en el punt d’equilibri, i de sentit contrari.

Moviment rectilini oscil·latori al voltant del punt O.

1-MOVIMENT VIBRATORI HARMÒNIC SIMPLE

Hooke applet

applet

Newton

Newton

6

• Una partícula descriu un M.H.S quan <<oscil·la>> entre dos punts A1 i A2 equidistants, situats a ambdós costats del centre d’oscil·lació o punt d’equilibri

• En apropar-se al centre d’oscil·lació, el cos augmenta la seva velocitat, passant per ell, a la velocitat màxima

• En allunyar-se del centre d’oscil·lació, va disminuint la seva velocitat, de manera que en els extrems es deté i canvia el sentit del moviment.

A

A

A 2

A 1

Posició d’ equilibri

1-MOVIMENT VIBRATORI HARMÒNIC SIMPLE

2- COMPARACIÓ DEL MHS AMB MCU youtube

8

L’equació d’un m.h.s. s’obté a partir de la projecció d’un moviment circular sobre un diàmetre de la circumferència

x = A cos (ωt+ϕ0)

Vector velocitat

Vector acceleració

2- COMPARACIÓ DEL MHS AMB MCU

applet applet

9

- Si la projecció es realitza sobre l’eix x, resulta: x = A cos (ωt+ϕ0)

- Si la projecció es realitza sobre l’eix y, resulta: y = A sin (ωt+ϕ0)

• Elongació x: Distància en un instant donat al centre d’oscil·lació. A la dreta valors positius.

• Amplitud A: Elongació màxima. El valor de x varia entre −A i +A

• Centre d’oscil·lació,O : Punt mig.

• Fase inicial ϕ0: Determina l’elongació inicial: x (t = 0) = x0 = A sin ϕ0 . En radiants

• Vibració o oscil·lació: Distància recorreguda per la partícula en un moviment complet de vaivé.

3.1-Equació de l’elongació

x (t)= A sin (ωt+ϕ0)

Característiques d’un MHS

• Període, T: Temps que tarda en fer una oscil·lació completa. Es mesura en segons (s)

• Freqüència, f o ν: Inversa del període i indica el nombre d’oscil·lacions efectuades cada segon. Es mesura en (s-1) o Hertz (Hz)

3- EQUACIONS DEL MOVIMENT HARMÒNIC SIMPLE

10

ωπ2=T

El m.h.s. es repeteix cada període:

fπω 2=Tf

1=π

ω2

=f

• Pulsació o freqüència angular, ω, nombre de períodes en 2π unitats de temps, es mesura (radiants/segon)

)T( sin A Asinx oo ϕωϕ +==

Per tant, ωT + ϕo= 2 π + ϕo

T

πω 2=

El període, la freqüència i la pulsació de l’MHS, són independents de l’amplitud.

Període i freqüència del MHS:

P

o

A

ϕo + 2π

ϕo

x+ A− A

La freqüència és l’inversa del període:

)Asin(2 oϕπ +=

x = A sin (ωt+ϕ0)

3- EQUACIONS DEL MOVIMENT HARMÒNIC SIMPLE

ϕ = ωt

Fase: angle (rad)

11

Si ϕo =π/2, sin(π/2 ) =1 llavors per t=0, x=A

la partícula està en el centre d’oscil·lació

Si ϕo =0, llavors per t=0, x=0

la partícula està en l’extrem

3- EQUACIONS DEL MOVIMENT HARMÒNIC SIMPLE

x (t)= A sin (ωt+ϕ0) Fase inicial: Caldrà quan la posició inicial no sigui la d’equilibri.

x(0) = A sin (ϕ0) = Asin ϕ0= 1

ϕ0= π/2 rad

x(0) = A sin (ϕ0) Exemple:

12

t (s) ωt (rad) sin ωt x(m)0 0 0 0

T/4 π/2 +1 +AT/2 π 0 0

3T/4

3π/2 -1 -AT

2π 0 0

x (t)= A sin (ωt+ϕ0)

3- EQUACIONS DEL MOVIMENT HARMÒNIC SIMPLE

L’elongació és màxima quan el sin és 1, i això passa quan la fase és π/2

13

Si prenem com a funció harmònica el cosinus, estarà desfassat π/2 rad respecte al

sinus.

x (t)= A cos (ωt+ϕ0)

3- EQUACIONS DEL MOVIMENT HARMÒNIC SIMPLE

x (t) = A sin (ωt+ϕ0)

14

Derivant l’equació de la posició del m.h.s., resulta:dt

dxv =

)ωt(sinAAω)ωt(sin1ωAv o222

o2 ϕϕ +−±=+−±=

sin2α + cos2α = 1 ⇒ cos (ωt+ϕ0) = )t(sin2oϕω +−± 1

Com x = A sin (ωt+ϕ0) ⇒ x2 = A2 sin2 (ωt+ϕ0) xAv 22 −±= ω

La velocitat és màxima quan x = 0, en el centre

Vmàx = ± A ωEl gronxador es para en els extrems.

En el centre aconsegueix la seva màxima velocitat

L’equació de la posició del m.h.s. és: x = A sin (ωt+ϕ0)

3.2-Equació de la velocitat

v = A ω cos (ωt+ϕ0)

Podem expressar la velocitat en funció de la posició:

La velocitat és 0 quan x = A, en els extrems

ωAV =max

3- EQUACIONS DEL MOVIMENT HARMÒNIC SIMPLE

15

X=A

t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8

X=0

X=−Aa >0

x >0v >0a <0

x >0v =0a <0

x >0v <0a <0

x =0v <0a =0 x <0

v <0a >0

x <0v >0a >0

x =0v >0a =0

x <0v =0

3.3-Equació de l’acceleració

Derivant l’equació de la velocitat: v = A ω cos (ωt + ϕ0) resulta:

)t( sinωAtdxd

dtdva o

22

2

ϕω +−===

Com x = A sin (ωt + ϕ0) a = − ω2 x

El valor màxim s’aconsegueix en els extrems, on x = ± A ⇒

És proporcional a l’elongació, màxima en els extrems i nul·la en el centre.

)t( sinωAa o2 ϕω +−=

2ωAa =max

3- EQUACIONS DEL MOVIMENT HARMÒNIC SIMPLE

amàx = ± A ω2

16

3- RESUM EQUACIONS DEL MOVIMENT HARMÒNIC SIMPLE

L’acceleració és una funció oscil.lant

harmònica desfasada π rad respecte a la posició.

17

F = − kx

Per la segona llei de Newton: F = m a

a = - ω2 x

m i ω no varien, apareix un constant k ( k = m ω2 ), anomenada constant elàstica o recuperadora

• Si no desplacem l’oscil·lador x = 0 ⇒ Fext = 0 (no apareixen forces)

• Si el mòbil es troba fora de la posició d’ equilibri, la força que actua sobre ell està dirigida des del punt on es troba fins la posició d’ equilibri

La força és proporcional al desplaçament i de sentit contrari.

ωπ= 2

T

m

k=ω

mk

21f

T1f

π=⇒=

k

m2T π=

F= -m ω2 x

k = m ω2

4-DINÀMICA DE L’OSCIL·LADOR HARMÒNIC SIMPLE

18

Aplicant la definició d’energia cinètica: )+t(cosAωm2

1=vm

2

1=E o

2222c ϕω

Per les relacions trigonomètriques:

Si x = 0 ⇒ energia cinètica màxima

Am2

1E 22

máx,c ω=

Am21 22

ω

[ ]xAm2

1E 222

c −ω=

k = m ω2

)+t(cosAk2

1=vm

2

1=E 0

222c ϕω

2máxc, Ak

2

1E =

5.1- Energia cinètica:

xAv 22 −±= ω

5-ENERGIA DE L’OSCIL·LADOR HARMÒNIC SIMPLE

19

Integrant entre dues posiciones A i B:

)k2

1k

2

1k

2

1k

2

1W xx(xxx 2

B

2

A

2

B

2

A

2AB −=−=

−=

Per cada posició, la Ep és de la forma:

)ωtsinAωm21

o222

PE ϕ+= (

Es màxima quan sin (ωt + ϕ0) = ± 1

AAE KmmáxP

222

2

1

2

1 == ω,

Aωm21 22

∆Ep= EpB-EpA= - WAB ∫∫∫ −=−== B

A

B

A

B

AAB )Kxdx()idx)(iKx(rdFW

Origen xA=xo=0 (EpA= Epo = 0)

Energia potencial en x=xB x2P k

2

1E =

5.2-Energia potencial:

Ep= -W

F conservativa

5-ENERGIA DE L’OSCIL·LADOR HARMÒNIC SIMPLE

20

• L’energia total que té l’oscil·lador harmònic en cada instant és la suma de l’energia cinètica i potencial

Traient factor comú:

E = Ec + Ep )t(cosAm2

10

222 ϕ+ωω= )t(senAm2

10

222 ϕ+ωω+

[ ])t(sen)t(cosAm2

1E 00

2222 ϕ+ω+ϕ+ωω=

Simplificant:

Am2

1EEE 22

cp ω=+=

En l’oscil·lador harmònic, l’energia mecànica resta constant en qualsevol instant

)xA(ωm2

1E 222

c −=

22 xωm2

1E =p

Aωm21 22

2Ak21

E =

5.3-Energia mecànica:

5-ENERGIA DE L’OSCIL·LADOR HARMÒNIC SIMPLE

21

Si x=0, Ep=0 i Ec màx

Si x=±A, Ec=0 i Ep màx

5-ENERGIA DE L’OSCIL·LADOR HARMÒNIC SIMPLE

22

• Consisteix en un fil inextensible de massa despreciable suspès d’un extrem; de l’altre penja un cos de massa m considerat puntual

Eix Y: T – Py = m an

Eix X: Px = m ax ⇒ – mg sin θ = m ax= -Kx

• Pot considerar-se com un m.h.s. si la separació de A del punt d’equilibri és tan petita como per despreciar la curvatura de la trajectòria

mg θ = kx

Per angles petits, sin θ = θ

Simplificant resulta: – mg sin θ = -Kx

Substituint l’arc per x:

L

x

radi

arc ==θ

g

L2T π=

m

y

P= mg θ

T

θ

Py= mg cos θ

L

x

Px = – mg sin θ

Kx=L

mgx 2m=K=L

mgω

2=L

gω ω

π2=T Independent de m i A

6- EL PÈNDUL SIMPLE COM OSCIL·LADOR HARMÒNIC

http://www.youtube.com/watch?v=k_rHZzbU8-M

23

• Quan el pèndul està parat en un dels seus extrems de la trajectòria, tota la energia emmagatzemada és Ep = mgh

• En passar pel punt més baix de la seva trajectòria, tota l’energia emmagatzemada és EC

• La suma de les dues indica el valor de la seva energia en qualsevol punt de la seva trajectòria

vm2

1E 2

c =

vm2

1hgmEEE 2

cP+=+=

• La relació entre l’alçada màxima i la velocitat és:

hg2vvm2

1hgm 2 =⇒=

h

mghEE p ==

→v

vm2

1EE 2

c ==

6- EL PÈNDUL SIMPLE COM OSCIL·LADOR HARMÒNIC

24

En moviments reals intervenen forces de fregament, amb el que s’ origina una pèrdua d’ energia mecànica que es transforma en calor. Va disminuint l’amplitud de l’oscil·lació fins que es para, llavors es diu que és una oscil·lació amortida.

L’amortiment es deu a la resistència de l’aire i al fregament intern del sistema.

Para evitar l’amortiment cal aportar contínuament energia al sistema que vibra, però esta energia ha d’arribar amb la mateixa freqüència que vibra el sistema.

7.1- Amortiment:7.1- Amortiment:

7-ALTRES MOVIMENTS VIBRATORIS

25

Dos sistemes es diu que entren en ressonància quan vibren amb la mateixa freqüència.

Per a que hi hagi ressonància s’ha de comunicar al sistema energia amb la mateixa freqüència que està vibrant, d’aquesta manera es produeix un gran augment de l’amplitud d’ oscil·lació.

Per ressonància es pot arribar a augmentar tant l’amplitud d’oscil·lació d’un sistema que inclús es pot arribar a trencar, com quan un so determinat trenca una copa de vidre.

7.2- Ressonància:7.2- Ressonància:

7-ALTRES MOVIMENTS VIBRATORIS

26

x = A sin (ωt+ϕ0)fπω 2=T

f1=

v = A ω cos (ωt+ϕ0) vmàx =± A ω ωAV =max

)t( sinωAa o2 ϕω +−=

a = − ω2 x

amàx = ± A ω2 2ωAa =max

F = − kx k

m2T π=k = m ω2

)+t(cosAk2

1=vm

2

1=E 0

222c ϕω AAE Kmmáxc

222

2

1

2

1 == ω,

)ωt(sinA2

1x

2

1o

222

PE ϕ+== kk AAE KmmáxP

222

2

1

2

1 == ω,

AAEE KmE cp222

2

1

2

1 ==+= ω

g

L2T π=

Cinemàtica

Dinàmica i energia

Pèndul simple

xkAkE22

c 2

1

2

1 −=