(058~095)230교과2K(윤130) 2013.8.9 12:33 PM …viewpds.jihak.co.kr/tsoldb/%EA%B5%90%EA%B3%BC%EC%84%9C%EB...이다. 한편 a-bi”=a+bi이므로a+bi와a-bi는서로켤레복소수이다

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방정식과부등식

경유를얻을수있는원유의끓는온도, 우체국의소포요금기준등은

부등식으로표현할수있다.

1.`복

소수와

이차방정식

2.`이

차방정식과

이차함수

3.`여

러가지

방정식

4.`여

러가지

부등식

다음이차방정식을풀어라.

⑴ x¤ +2x-15=0 ⑵ 2x¤ +x-8=0

이차방정식 1

|준 |비 |학 |습 |

중③

인수분해 3 다음식을인수분해하여라.

⑴ x‹ +3x¤ +x-5 ⑵ x‹ -4x¤ +x+6

수학Ⅰ

연립일차방정식,

연립일차부등식2 다음연립일차방정식과연립일차부등식을풀어라.

⑴ ‡ ⑵ ‡

8x-5…10x+1

2+6x<3x+8

2x+3y=-8

x-2y=3

중②

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60 Ⅱ.방정식과부등식

1수의 범위가 넓어지다.

인류는수를표현할때상형문자나쐐기문자, 갑골문자를사용하여나타내다가점차추상적인

기호를사용하기시작하였다. 그에따라수학이발전하게되었고, 결과적으로수의확장이

자연스럽게이루어졌다. 그과정에서피타고라스학파는모든수는정수와유리수로이루

어져있다고믿었으며중세의뛰어난수학자파스칼(Pascal, B. ; 1623~1662)조차도

“0에서 4를빼면 0이된다는것을모르는사람이있다.”라는말을할정도로음수를인정

하지않았다. 그러나 19세기부터수의범위는실수를넘어복소수까지확장되어수학발

전의밑거름이되었다.

이단원을배우면서다음과제를해결하여보자. 69`쪽

수학의역사에서수는어떻게확장되어왔을까?

복소수와이차방정식

0에서4를빼면

0이죠.

모든수는정수와유리수로

이루어져있는데…….

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1.복소수와이차방정식 61

제곱하여-1이되는실수는존재하지않으므로방정식 x¤ =-1은실수의범위에

서는해를가지지않는다. 따라서이와같은방정식이해를가지도록하기위해서는

수의범위를확장하여야한다.

이제제곱하여-1이되는새로운수하나를생각하여그것을 i로나타내기로하

자. 즉,

i ¤=-1 (i='∂-1)

이다. 이때 i를허수단위라고한다.

또임의의두실수 a, b에대하여

a+bi

의꼴로나타나는수를복소수라하고, a를이복소수의

실수부분, b를허수부분이라고한다.

임의의실수 a는 a+0i의꼴로나타낼수있으므로실수

도복소수이다.

한편실수가아닌복소수 a+bi (b+0)를허수라고한다.

허수단위 i는 허수를 뜻하

는영어 imaginary number

의첫글자를따온것으로오일

러(Euler, L. ; 1707~1783)가

처음사용하였다.

01●복소수의뜻을알고, 그성질을이해하고, 사칙계산을할수있다.

복소수

a+ b i

복소수

허수부분

실수부분

복소수란 무엇인가?

탐구 활동 다음그림과같이한변의길이가 3 cm인정사각형에서가로의길이를 x cm만큼늘리고

세로의길이를 x cm만큼줄여서직사각형을만들려고한다. 물음에답하여보자.

1. 넓이가 5 cm¤인직사각형이되도록하는실수 x의값을구하여보자.

2. 넓이가 6 cm¤인직사각형이되도록하는실수 x의값을구하여보자.

3. 넓이가 10 cm¤인직사각형이되도록하는실수 x의값이존재하는지생각하여보자.

3`cm

3`cm

x̀ `cm

x̀ `cm

오일러

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이상을정리하면다음과같다.

복소수의분류

a, b가실수일때 (i='∂-1)

복소수(̀a+bi)‡실수(̀b=0)

허수(̀b+0)

-2, 1+'3, 2-i, 5i는모두복수이다. 여기서 -2, 1+'3은실수이고 2-i, 5i는허수

이다.

보기

다음복소수중에서실수, 허수를각각찾아라.1문제

2+3i, '5-2i, i, 4112

실수부분

허수부분

두복소수의실수부분과허수부분이각각같을때, 두복소수는서로같다고한다.

즉, 두복소수 a+bi와 c+di (a, b, c, d는실수)에대하여

a=c, b=d

일때, 두복소수는서로같다고한다.

특히 a+bi=0이면

a=0, b=0

이다.


a+ b i = c+ d i

복소수가서로같을조건

a, b, c, d가실수일때

⑴ a+bi=c+di이면 a=c, b=d이다.

또 a=c, b=d이면 a+bi=c+di이다.

⑵ a+bi=0이면 a=0, b=0이다.

또 a=0, b=0이면 a+bi=0이다.

복소수가 서로 같을 조건은 무엇인가?

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⑴ 2+3i”=2-3i ⑵ 2i’=-2i ⑶-3”=-3보기

‘한켤레의장갑’과같이서

로 짝이 되는 복소수를 켤레복

소수라고한다.

다음등식을만족시키는실수 x, y의값을구하여라.

⑴ x+3yi=6i ⑵ (3x+2y)+(x+y)i=-1+i

2문제

다음복소수의켤레복소수를구하여라.

⑴ 5+4i ⑵ 1-'2i

⑶ 5i ⑷-4

3문제

예제 01

복소수가서로같을조건에의하여

⑴ x=2, y+1=3이므로　x=2, y=2

⑵ x-5=0, y+2=0이므로　x=5, y=-2

답 ⑴ x=2, y=2 ⑵ x=5, y=-2

다음등식을만족시키는실수 x, y의값을구하여라.

⑴ x+(y+1)i=2+3i ⑵ (x-5)+(y+2)i=0

풀이

a, b가실수일때, 복소수 a+bi에대하여허수부분의부호를바꾼복소수 a-bi

를복소수 a+bi의켤레복소수라고하며, 이것을기호로

a+bi ””

와같이나타낸다. 즉,

a+bi”=a-bi

이다. 한편 a-bi”=a+bi이므로 a+bi와 a-bi는서로켤레복소수이다.

켤레복소수란 무엇인가?

복소수 z의켤레복소수를 z’라고할때, z=z’가성립하는복소수 z는어떤특징이있

는지토의하여보자.

사고력기르기▶추론

▶의사소통

▶문제 해결

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근호를포함한식의덧셈과뺄셈에서는다음과같이근호가있는수를하나의문자

로생각하여계산하였다.

(4+3'2)+(2+'2)=(4+2)+(3+1)'2=6+4'2

(4+3'2)-(2+'2)=(4-2)+(3-1)'2=2+2'2

이와마찬가지로복소수의덧셈과뺄셈도허수단위 i를하나의문자로생각하여실

수부분은실수부분끼리, 허수부분은허수부분끼리계산한다.

즉, a, b, c, d가실수일때

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i

이다.

예를들면

(4+3i)+(2+i)=(4+2)+(3+1)i=6+4i

(4+3i)-(2+i)=(4-2)+(3-1)i=2+2i

와같이계산한다.

복소수의 사칙계산은 어떻게 하는가?

액체혼합하기

서로다른두액체를혼합할때, 서로섞이는경우와섞

이지않는경우가있다. 이를테면물과아세톤을혼합

하거나식용유와아세톤을혼합하면서로섞이지만물

과식용유를혼합할경우에는서로섞이지않는다.

탐구 활동 비커 A에는 물 amL와 식용유 bmL가 들어 있고, 비

커 B에는 물 c mL와 식용유 dmL가 들어 있다. 다음

물음에 답하여 보자.

1. 두비커 A, B에들어있는물과식용유를큰비커에부

었을때, 큰비커에담긴물과식용유는어떤모습인지말

하여보고, 각각의양이얼마인지구하여보자.

2. 물과식용유가섞이지않는것처럼수학에서합을계산할

때각각따로계산하는것에는어떤것이있는지말하여보자.

생각 열기

A B

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복소수의덧셈과뺄셈


⑴ (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

⑵ (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i

다음을계산하여라.

⑴ (3-4i)+(5+3i) ⑵ (1+i)-(4-i)

⑶ (1-7i)+6 ⑷ (-3+i)-10i

4문제

예제 02

⑴ (5+4i)+(3-i)=(5+3)+(4-1)i=8+3i

⑵ (3-2i)-(4+i)=(3-4)+(-2-1)i=-1-3i

⑶ 3i+(2+4i)=(0+2)+(3+4)i=2+7i

⑷ 5-(1+2i)=(5-1)+(0-2)i=4-2i

답 ⑴ 8+3i ⑵-1-3i ⑶ 2+7i ⑷ 4-2i


⑴ (5+4i)+(3-i) ⑵ (3-2i)-(4+i)

⑶ 3i+(2+4i) ⑷ 5-(1+2i)

풀이

⑴ z¡+z™와 z™+z¡을구하고, 그값을비교하여라.

⑵ (z¡+z™)+z£과 z¡+(z™+z£)을구하고, 그값을비교하여라.

세복소수 z¡, z™, z£이각각다음과같을때, 물음에답하여라.5문제

z¡=2+3i, z™=3-2i, z£=1+i

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근호를포함한식의곱셈에서는다음과같이근호가있는수를하나의문자로생각하

여계산하였다.

(4+3'2)(2+'2)=8+4'2+6'2+3('2)¤

=(8+6)+(4+6)'2=14+10'2

복소수의곱셈도허수단위 i를하나의문자로생각하고 i ¤ =-1임을이용하여계산

한다. 즉, a, b, c, d가실수일때

(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi ¤

=(ac-bd)+(ad+bc)i

이다. 예를들면

(4+3i)(2+i)=8+4i+6i+3i ¤

=(8-3)+(4+6)i=5+10i


한편근호를포함한식의나눗셈에서는다음과같이분모를유리화하여계산하였다.

= =

= = =1+'2

복소수의나눗셈도분모의켤레복소수를분모, 분자에곱하여분모를실수로만들

어계산한다. 즉, a, b, c, d가실수이고 c+di+0일때

= =

= = + i

이다. 예를들면

= =

= = + i



21511125(8+3)+(-4+6)i11111111234+1

8-4i+6i-3i ¤11111112¤ -i ¤(4+3i)(2-i)11111123(2+i)(2-i)

4+3i1112+i

bc-ad11124c¤ +d¤ac+bd11124c¤ +d¤

(ac+bd)+(bc-ad)i1111111111c¤ +d¤

ac-adi+bci-bdi ¤111111111c¤ -(di)¤(a+bi)(c-di)11111113(c+di)(c-di)

a+bi111c+di

2+2'211122

(8-6)+(-4+6)'2111111111242

8-4'2+6'2-6111111122¤ -('2)¤

(4+3'2)(2-'2)111111113(2+'2)(2-'2)

4+3'211122+'2

켤레복소수를 분모, 분자에

곱하는 것은 무리수에서 분모

를 유리화하는 것과 같은 원리

이다.

(c+di)(c-di)

=c¤ -(di)¤

=c¤ +d¤

복소수의곱셈과나눗셈


⑴ (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

⑵ = + i (단, c+di+0)bc-ad1112c¤ +d¤

ac+bd1112c¤ +d¤

a+bi111c+di

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⑴ (3+2i)(1-2i) ⑵ (1+i)¤

⑶ ⑷211233+2i

1-i1121+i

6문제

예제 03

⑴ (4+i)(-1+2i)=-4+8i-i+2i ¤ =-4+7i-2=-6+7i

⑵-i(3+2i)=-3i-2i ¤ =2-3i

⑶ = = = = =-i

⑷ = = = = - i

답 ⑴-6+7i ⑵ 2-3i ⑶-i ⑷ - i512

112

512

112

-1+5i11213-2

5i+i ¤11232i ¤

(5+i)i111242i¥i

5+i1142i

-5i115

2-5i-2111134-(-1)

2-i-4i+2i ¤11111152¤ -i ¤

(1-2i)(2-i)1111112(2+i)(2-i)

1-2i1122+i


⑴ (4+i)(-1+2i) ⑵-i(3+2i)

⑶ ⑷5+i1142i

1-2i11232+i

풀이

세복소수 z¡, z™, z£이각각다음과같을때, 물음에답하여라.

⑴ z¡z™와 z™z¡을구하고, 그값을비교하여라.

⑵ (z¡z™)z£과 z¡(z™z£)을구하고, 그값을비교하여라.

⑶ z¡(z™+z£)과 z¡z™+z¡z£을구하고, 그값을비교하여라.

7문제

z¡=2-i, z™=2+i, z£=3+5i

복소수 z=a+bi (a, b는실수)의 켤레복소수를 z’라고할때, 다음물음에답하여보

자. (단, a+0, b+0)

⑴ z+z ’, z-z ’, zz ’를구하고, 그특징을말하여보자.

⑵ , 를구하고, 그값을비교하여보자.z1z ’

z ’1z


▶의사소통

▶문제 해결

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음수의제곱근에대하여알아보자.

a>0일때, -a의제곱근은방정식

x¤ =-a

의근이다. 그런데

('ai)¤ =ai ¤ =-a, (-'ai)¤ =ai ¤ =-a

이므로-a의제곱근은 'ai와-'ai이다. 여기에서

'∂-a='ai

로나타내기로한다.

즉, 음수의제곱근은복소수로바꾸어계산한다.


'ai, -'ai를 —'ai로 나

타낼수있다.

⑴ '∂-5='5i

⑵-7의제곱근은—'7i이다.

보기

다음수의제곱근을구하여라.

⑴-2 ⑵-4

⑶- ⑷-31411416

8문제

음수의 제곱근을 어떻게 나타내는가?

탐구 활동 다음물음에답하여보자.

1. 제곱하여-3이되는수가실수인지아닌지말하여보자.

2. '3i와-'3i를제곱하여보자.

음수의제곱근

a>0일때

⑴ 'ƒ-a='ai

⑵-a의제곱근은—'ai이다.

a가 음이 아닌 실수

일때, 제곱하여 a가되는수를

a의제곱근이라고한다.

중③

(058~095)230교과2K(윤130) 2013.8.8 5:0 PM 페이지68 mac01 T

다음을계산하여 a+bi (a, b는실수)의꼴로나타내어라.

⑴ '∂-2+'∂-8 ⑵ '∂-3'∂-6

⑶ ⑷'∂27112'∂-3

'∂-61123'∂-2

9문제

⑵ '∂-2'∂-3을

"√(-2)(-3)과 같이 계산하

지않도록주의한다.

다음이성립함을설명하여라.

⑴ a<0, b<0이면 'a'b=-'∂ab이다.

⑵ a<0, b>0이면 =-æ 이다.b1a'b123

'a

창up의

예제 04

⑴ 'ƒ-12-'∂-3='∂12i-'3i=2'3i-'3i='3i

⑵ '∂-2'∂-3=('2i)('3i)='6i ¤ =-'6

⑶ = = = = =- i

답 ⑴ '3i ⑵-'6 ⑶- i'6122

'6122

'3i12322-'2

'3i1233'2i¤

'3i12323'2i¥i

'3123'2i

'31124'∂-2

다음을계산하여 a+bi (a, b는실수)의꼴로나타내어라.

⑴ 'ƒ-12-'∂-3 ⑵ '∂-2'∂-3 ⑶'31123

'∂-2

풀이

앞의단원과제에대하여다음을해결하여보자.

수학의역사에서수가확장되어온과정을조사하여라.


(058~095)230교과2K(윤130) 2013.7.8 9:46 PM 페이지69 mac01 T


02●이차방정식의실근과허근의뜻을안다.

이차방정식의실근과허근

실근과 허근이란 무엇인가?

황금비

황금분할이란한선분을두부분으로나눌때, 전체에대한긴부분의비와긴부분에

대한짧은부분의비가같도록나눈것을말한다. 이때이비를황금비라고하며약

1 : 1.618이다. 고대이집트의쿠푸왕의피라미드, 컴퓨터화면등에서황금비를찾

아볼수있다.

탐구 활동 다음그림과같이세점 A, B, C에대하여 AB”=x, BC”=1이라고할때, 물음에답하여

보자.

1. AC” : AB”=AB” : BC”이면AB” : BC”는황금비이다. 이때 x에대한방정식을세우고, 그해를

구하여보자.

2. AB” : AC”=AC” : BC”라고할때, x에대한방정식을세워보자. 이 방정식의해를실수의

범위에서구할수있는지말하여보자.

생각 열기

A B Cx 1

중학교에서는이차방정식의근을실수의범위에서만다루었다. 지금부터는복소수

의범위까지확장하여이차방정식의근을다루기로한다.

이를테면모든실수 x에대하여 x¤ +1>0이므로이차방정식 x¤ +1=0은실수의

범위에서는근을가지지않는다. 그러나 i ¤ =(-i)¤ =-1이므로복소수의범위에서

는x=—i인근을가진다.

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계수 a, b, c가실수인이차방정식 ax¤ +bx+c=0 (a+0)의근의공식은

x=

이다. 위의이차방정식의근의공식에서

b¤ -4acæ0이면"√b¤ -4ac는실수

b¤ -4ac<0이면"√b¤ -4ac는허수

이다.

따라서계수가실수인이차방정식은복소수의범위에서반드시근을가진다는것

을알수있다.

이때실수인근을실근이라하고, 허수인근을허근이라고한다.

-b—"√b¤ -4ac111111252a

근의공식을이용하여다음이차방정식을풀고, 실근인지허근인지말하여라.

⑴ x¤ -6x-1=0 ⑵ 2x¤ -3x+5=0

1문제

일차항의 계수가 짝수인 이차방정식 ax¤ +2b'x+c=0 (a+0)의 근을 간단히 나타

내어보자.


▶의사소통

▶문제 해결

특별한 언급이 없는 한 이

차방정식의 계수는 실수이고,

방정식의 해는 복소수의 범위

에서구한다.

예제 01

⑴ a=1, b=1, c=-5를근의공식에대입하면

x= = (실근)

⑵ a=1, b=-2, c=3을근의공식에대입하면

x= =

x= =1—'2i (허근)

답 ⑴ x= (실근) ⑵ x=1—'2i (허근)-1—'2å1111122

2—2'2i1222212

2—'∂-812222142

-(-2)—"√(-2)¤ -4¥1¥31222211111111252¥1

-1—'2å1111122-1—"√1¤ -4¥1¥(-5)1111111112

2¥1

근의공식을이용하여다음이차방정식을풀고, 실근인지허근인지말하여라.

⑴ x¤ +x-5=0 ⑵ x¤ -2x+3=0

풀이

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03●이차방정식에서판별식의의미를이해하고, 이를설명할수있다.

판별식

이차방정식에서 판별식이란 무엇인가?

당도측정기

당도측정기는과일의당도를측정하는기계로, 과일에빛을비추었을

때반사되어나오는빛을이용하여당도를측정한다. 당도

측정기를 사용하면 과일을 직접 먹어 보지

않고도 추수하기에 적합한 시기를 알 수

있으며, 맛있는과일을살수있다. 당도

측정기와 같이 이차방정식의 근을 직접

구하지 않고도 근이 실근인지 허근인지

알수있는방법이있다.

탐구 활동 세 이차방정식 x¤ -2x-2=0, x¤ -2x+1=0, x¤ -2x+2=0에 대하여 다음 물음에

답하여보자.

1. 근의공식을이용하여세이차방정식의근을각각구하여보자.

2. 세이차방정식을서로다른두실근, 중근, 서로다른두허근을가지는경우로나누어보자.

생각 열기

이차방정식의근을직접구하지않고, 근이실근인지허근인지를판별하는방법에

대하여알아보자.

계수가실수인이차방정식 ax¤ +bx+c=0 (a+0)의근은

x=

이므로근이실근인지허근인지는근호안에있는 b¤ -4ac의부호에의하여결정된

다. 즉,

⁄ b¤ -4ac>0이면서로다른두실근

¤ b¤ -4ac=0이면중근(실근)

‹ b¤ -4ac<0이면서로다른두허근

을가진다.

-b—"√b√¤√-4ac12221122132a

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이와같이 b¤ -4ac의부호에따라주어진이차방정식의근을판별할수있으므로

b¤ -4ac를이차방정식 ax¤ +bx+c=0 (a+0)의판별식이라하고, 보통기호D로

나타낸다. 즉, D=b¤ -4ac이다.


이차방정식의근의판별

계수가실수인이차방정식 ax¤ +bx+c=0 (a+0)의판별식 D=b¤ -4ac에대하여

⑴ D>0이면서로다른두실근을가진다. 또 서로다른두실근을가지면 D>0이다.

⑵ D=0이면중근(̀실근)을가진다. 또 중근을가지면 D=0이다.

⑶ D<0이면서로다른두허근을가진다. 또 서로다른두허근을가지면 D<0이다.

기호 D는 판별식을 뜻하는

영어 Discriminant의 첫 글

자를따온것이다.

Dæ0이면 실근을 가진다.

또실근을가지면Dæ0이다.

일차항의계수가짝수인경우이차방정식 ax¤ +2b'x+c=0 (a+0)의근은

=b'¤ -ac

를이용하여판별할수있다.

D144

참고

다음이차방정식의근을판별하여라.

⑴ 3x¤ -2x+2=0 ⑵ 6x¤ +x-2=0 ⑶ x¤ +2'2x+2=0

1문제

예제 01

⑴D=(-5)¤ -4¥1¥(-2)=33>0

따라서 x¤ -5x-2=0은서로다른두실근을가진다.

⑵D=(-4)¤ -4¥1¥4=0

따라서 x¤ -4x+4=0은중근을가진다.

⑶D=1¤ -4¥2¥3=-23<0

따라서 2x¤ +x+3=0은서로다른두허근을가진다.

답 ⑴서로다른두실근　⑵중근　⑶서로다른두허근

다음이차방정식의근을판별하여라.

⑴ x¤ -5x-2=0 ⑵ x¤ -4x+4=0 ⑶ 2x¤ +x+3=0

풀이

⑵ x¤ +2¥(-2)x+4=0에서

=(-2)¤ -1¥4=4-4=0

따라서 x¤ -4x+4=0은중근을가진다.

D144

다른 풀이

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이차방정식 x¤ -(2k-1)x+k¤ =0이다음과같은근을가질때, 실수 k의값또는그범위

를구하여라.

⑴서로다른두실근

⑵중근

⑶서로다른두허근

2문제

두 이차방정식 x¤ +x+a=0, 2x¤ -2'2ax+(a+1)¤ =0 중에서 적어도 하나가 허근을 가

질때, 실수 a값의범위를구하여라.

3문제

이차방정식 ax¤ +bx+c=0 (a+0)에서 a와 c의 부호가 서로 다르면 이 이차방정

식은서로다른두실근을가짐을판별식을이용하여설명하여보자.


▶의사소통

▶문제 해결

예제 02주어진이차방정식이중근을가지려면판별식D=0이어야하므로

D=(-k)¤ -4¥1¥(2k)=k¤ -8k=k(k-8)=0

따라서 k=0 또는 k=8이다.

⁄ k=0일때, 방정식은 x¤ =0이므로중근은　x=0

¤ k=8일때, 방정식은 x¤ -8x+16=0, (x-4)¤ =0이므로중근은　x=4

답 k=0일때 x=0, k=8일때 x=4의중근을가진다.

이차방정식 x¤ -kx+2k=0이 중근을 가지도록 하는 실수 k의 값을 구하고, 이때의 중

근을구하여라.

풀이

발전

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04●이차방정식에서근과계수의관계를이해한다.

근과계수의관계

이차방정식에서 근과 계수는 어떤 관계가 있는가?

탐구 활동 이차방정식 2x¤ -9x-5=0에대하여다음물음에답하여보자.

1. 이차방정식의근을구하여보자.

2. 두근의합과곱을구하여보자.

생각 열기

이차방정식 ax¤ +bx+c=0 (a+0)의두근 a, b를

a= , b=

라고하면 a와b의합과곱은다음과같다.

a+b= + = =-

ab= _ =

ab= = =c1a4ac1154a¤

b¤ -(b¤ -4ac)11111124a¤

(-b)¤ -("√b√¤√-4ac )¤122211222222212554a¤-b-"√b√¤√-4ac12221122132a

-b+"√b√¤√-4ac12221122132a

b1a-2b12232a-b-"√b√¤√-4ac12221122132a

-b+"√b√¤√-4ac12221122132a

-b-"√b√¤√-4ac12221122132a-b+"√b√¤√-4ac12221122132a

x¤ -2x-3=0의

두근의합과곱은?

2x¤ -9x-5=0의


x¤ -x-2=0의


근이3과-1이니까

2, -3!!

근을구하면…….

으악!!!

근이2와-1이니까

1, -2!!

(058~095)230교과2K(윤130) 2013.7.8 9:47 PM 페이지75 mac01 T



이차방정식의근과계수의관계

이차방정식 ax¤ +bx+c=0 (a+0)의두근을 a, b라고하면

a+b=- , ab= c1a

b1a

이차방정식 x¤ -3x+2=0의두근을 a, b라고하면

a+b=- =3, ab= =2211

-31241

보기

근과 계수의 관계를 이용하

면근을직접구하지않고도두

근의합과곱을구할수있다.

다음이차방정식의두근의합과곱을구하여라.

⑴ x¤ -3x-4=0 ⑵ 2x¤ -6x+1=0

1문제

이차방정식 x¤ -4x+5=0의두근을 a, b라고할때, 다음식의값을구하여라.

⑴ (a+1)(b+1) ⑵ (a-b)¤

⑶ + ⑷ a‹ +b‹a1bb1a

2문제

이차방정식 x¤ -3x+1=0의두근을 a, b라고할때, 'a+'b의값을구하여라.3문제발전

예제 01

근과계수의관계에의하여⋯ a+b=-2, ab=-4

⑴ a¤+b¤=(a+b)¤ -2ab=(-2)¤ -2¥(-4)=12

⑵ + = = =

답 ⑴ 12 ⑵112

112-2123-4

a+b1125ab11b11a

이차방정식 x¤ +2x-4=0의두근을 a, b라고할때, 다음식의값을구하여라.

⑴ a¤ +b¤ ⑵ +11b11a

풀이

(058~095)230교과2K(윤130) 2013.7.8 9:47 PM 페이지76 mac01 T


두 수를 근으로 하는 이차방정식을 어떻게 구하는가?

두수 a, b를근으로하고, x¤의계수가 1인이차방정식은다음과같다.

(x-a)(x-b)=0

이식을전개하여정리하면

x¤ -(a+b)x+ab=0

이다.


두수를근으로하는이차방정식

두수 a, b를근으로하고, x¤의계수가 1인이차방정식은

x¤ -(a+b)x+ab=0

두근의합

두근의곱

x¤ -(a+b)x+ab=0

다음두수를근으로하고, x¤의계수가 1인이차방정식을구하여라.

⑴ 2, -1 ⑵ 1+i, 1-i

4문제

이차방정식 ax¤ +bx+c=0 (a+0)의두근을 a, b라고하면근과계수의관계에

의하여

a+b=- , ab=

이다. 따라서이차식 ax¤ +bx+c는다음과같이인수분해된다.

ax¤ +bx+c=a {x¤ + x+ }

=a{x¤ -(a+b)x+ab}

=a(x-a)(x-b)

c1ab1a

c1ab1a

예제 02a=1+'2, b=1-'2라고하면

a+b=(1+'2)+(1-'2 )=2, ab=(1+'2)(1-'2 )=-1

따라서구하는이차방정식은 x¤ -2x-1=0이다.

답 x¤ -2x-1=0

두수 1+'2, 1-'2를근으로하고, x¤의계수가 1인이차방정식을구하여라.

풀이

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여기에서 계수가 실수인 모든 이차방정식은 복소수의 범위에서 인수분해됨을 알

수있다.


이차식의인수분해

이차방정식 ax¤ +bx+c=0 (a+0)의두근을 a, b라고하면

ax¤ +bx+c=a(x-a)(x-b)

다음이차식을복소수의범위에서인수분해하여라.

⑴ x¤ -5 ⑵ x¤ +6x+3

⑶ x¤ +9 ⑷ x¤ -4x+6

5문제

서로 다른 두 실근을 가지는 이차방정식 x¤ +px+q=0의 두 근의 부호가 다음과

같을때, 실수 p, q의부호를말하고그이유를설명하여보자.

⑴모두양수 ⑵모두음수 ⑶서로다른부호


▶의사소통

▶문제 해결

예제 03

⑴이차방정식 x¤ -2=0을풀면 x=—'2이므로

x¤ -2=(x-'2)(x+'2)

⑵이차방정식 x¤ -2x+4=0을풀면 x=1—'3i이므로

x¤ -2x+4={x-(1+'3i)}{x-(1-'3i)}

`=(x-1-'3i)(x-1+'3i)

답 ⑴ (x-'2)(x+'2) ⑵ (x-1-'3i)(x-1+'3i)

다음이차식을복소수의범위에서인수분해하여라.

⑴ x¤ -2 ⑵ x¤ -2x+4

풀이

(058~095)230교과2K(윤130) 2013.7.8 9:47 PM 페이지78 mac01 T


1 다음복소수중에서실수, 허수를각각찾아라.

2 다음을계산하여라.

⑴ (3+i)+(1-2i) ⑵ (5-i)-(-1+6i)

⑶ (3-2i)(4-i) ⑷2+i11243+2i

3 다음이차방정식을풀고, 실근인지허근인지말하여라.

⑴ x¤ +x-6=0 ⑵ 3x¤ +x+1=0

4 다음이차방정식의근을판별하여라.

⑴ x¤ +2x-2=0 ⑵ x¤ +x+1=0

⑶ x¤ +3x+ =0 ⑷ x¤ +2'3x+3=0512

112

중단원 기초 수준별학습

i ¤ , -'∂-9, -4+'3i, "√(-5)¤

복소수의 분류

01 복소수

복소수의 사칙계산

01 복소수

03 판별식

5 다음이차방정식의두근의합과곱을구하여라.

⑴ x¤ +2x-1=0 ⑵ x¤ -4x+2=0

⑶ 3x¤ +x-1=0 ⑷-2x¤ +x+1=0

04 근과계수의관계

02 이차방정식의실근과허근

[̀해답 p.̀219]

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1 i+i ¤+i ‹ +y+i ⁄ ‚ ‚ 을간단히하여라.

2 다음을계산하여 a+bi (a, b는실수)의꼴로나타내어라.

⑴ 5'∂-3+3'∂-12 ⑵'∂-8-211311'∂-2

3 다음이차방정식을풀고, 실근인지허근인지말하여라.

⑴ 2x¤ +9x-5=0 ⑵ x¤ +7x-9=0

⑶ 0.2x¤ -0.4x+0.3=0 ⑷ x¤ - x+ =0119

213

4 이차방정식 x¤ +2(k-3)x+k¤ =0이 다음과 같은 근을 가질 때, 실수 k의

값또는그범위를구하여라.

⑴서로다른두실근

⑵중근

⑶서로다른두허근

5 이차방정식 x¤ +2x+4=0의두근을 a, b라고할때, 다음식의값을구하

여라.

⑴ a¤ +b¤ ⑵ a‹ +b‹

⑶ (a-b)¤ ⑷ +a13bb13a

중단원 기본 수준별학습


01 복소수

음수의 제곱근

01 복소수


03 판별식


[̀해답 p.̀220]

(058~095)230교과2K(윤130) 2013.7.8 9:47 PM 페이지80 mac01 T


1 x가실수일때, z=(1+i)x¤ +(4-i)x+(3-2i)가실수가되도록하는 x

의값과그때의 z의값을구하여라.

2 (1-i)z Æ+2iz=3-i를 만족시키는 복소수 z를 구하여라. (단, z Æ는 z의 켤

레복소수이다.)

5 이차방정식 x¤-mx+m+2=0의서로다른두근이모두정수가되도록하

는실수m의값을모두구하여라.

4 x에대한이차방정식 x¤ -2(k+a)x+(k¤ -k+b)=0이실수 k의값에관

계없이중근을가질때, 실수 a, b의값을구하여라.

3 오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 1 cm인 정오

각형의대각선의길이를구하여라.

중단원 실력 수준별학습

A

B

C D

E

1`cm

01 복소수


01 복소수


03 판별식


[̀해답 p.̀220]

(058~095)230교과2K(윤130) 2013.8.8 5:1 PM 페이지81 mac01 T

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(058~095)230교과2K(윤130) 2013.8.9 12:33 PM …viewpds.jihak.co.kr/tsoldb/%EA%B5%90%EA%B3%BC%EC%84%9C%EB...이다. 한편 a-bi”=a+bi이므로a+bi와a-bi는서로켤레복소수이다