06. La Circunferencia

La circunferencia 1

LA CIRCUNFERENCIA La circunferencia es el lugar geomtrico de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. La distancia de un punto de la circunferencia al centro se llama radio. ANGULO CENTRAL: Es un ngulo que tiene su vrtice en el centro de la circunferencia.

AOB es un ngulo central y se dice que intercepta el arco AB o que el arco subtiende al ngulo.

AB se llama arco menor

BCA se llama arco mayor.

Un ngulo central mide lo mismo que el arco que subtiende (en grados)

m AOB m AB POSTULADO DE LA ADICION DE ARCOS.

m AC m AB m BC

TEOREMA Si dos ngulos centrales de la misma circunferencia o de circunferencias congruentes son congruentes entonces sus arcos interceptados son tambin son congruentes.

HIPOTESIS: AOB COD

TESIS: m AB m CD

1. m( AOB) = m AB 1. Por ser un ngulo central

2. m( COD) = m CD 2. Por ser un ngulo central 3. m( AOB) = m( COD) 3. De hiptesis

4. m AB m CD 4. De 1, 2, 3 Propiedad transitiva

La circunferencia 2

ANGULO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA

DEFINICION: Una cuerda de una circunferencia es un segmento de recta que tiene sus extremos sobre la circunferencia. Un dimetro es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia TEOREMA La medida de un ngulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad de la medida del arco interceptado CASO 1. Cuando uno de los lados es un dimetro.

HIPOTESIS: ACB es un ngulo inscrito

O centro de la circunferencia

CB es un dimetro

TESIS: 2

m ABm ACB

1. Se traza AO 1. Construccin

2. OCOA 2. Los radios de una circunferencia son congruentes

3. ( ) ( )m m 3. De 2. En un triangulo a lados congruentes se oponen ngulos congruentes

4. m( AOB) = m(arco AB) 4. Por ser AOB un ngulo central

5. m( AOB) = ( ) ( )m m 5. Un ngulo exterior de un triangulo es igual a la suma de los ngulos interiores no adyacentes a el.

6. ( ) 2 ( )m AOB m 6. Sustitucin de 3 en 5.

7. ( )

( ) 2 ( ) ( )2

m ABm AB m m

7. Sustitucin de 4 en 6 y algebra.

CASO 2: Cuando el centro de la circunferencia est en el interior del ngulo.

HIPOTESIS: Circunferencia de centro O ACB es un ngulo inscrito.

TESIS: 2

m ABm ACB

La circunferencia 3

1. Se traza el dimetro CD 1. Construccin

2. ( )

( )2

m AD

m ACD 2. De 1, caso 1.

3. ( )

( )2

m DB

m DCB 3. De 1, caso 1

4. ( ) ( )

( ) ( )2 2

m AD m DB

m ACD m DCB 4. Adicin de 2 y 3

5. ( )

( )2

m AB

m ACB 5. De 4. Adicin de ngulos y de arcos.

CASO 3: Cuando el centro de la circunferencia est en el exterior del ngulo.

HIPOTESIS: Circunferencia de centro O ACB es un ngulo inscrito.

TESIS: 2

m ABm ACB

1. Se traza el dimetro CD 1. Construccin

2. 2

m AD

m ACD

2. De 1. Caso 1

3. 2

m BD

m BCD

3. De 1. Caso 1

4. m( ACB) = m( ACD) m( BCD) 4. Resta de ngulos

5. 2 2

m AD m BD

m ACB

5. Sustitucin de 2 y 3 en 4.

6. 2

m AB

m ACB

6. De 5. Resta de arcos.

COROLARIO 1.

CD es un dimetro Todo ngulo inscrito en una semicircunferencia es recto

La circunferencia 4

COROLARIO 2:

C D Los ngulos inscritos en el mismo arco son congruentes

COROLARIO 3: Rectas paralelas determinan arcos congruentes.

AD BC m BA m DC

TEOREMA: En una circunferencia o en circunferencias congruentes, cuerdas congruentes tienen arcos congruentes.

HIPOTESIS: O es el centro de la circunferencia; CD AB

TESIS: m CD m AB

1. OA OB OC OD 1. Son radios de la misma circunferencia

2. AB CD 2. De hiptesis

3. AOB COD 3. De 1 y 2. L L L 4. m ( AOB) = m ( COD) 4. De 3. Son ngulos correspondientes en

tringulos congruentes 5. m ( AOB) = m (arco AB) y

m ( COD) = m (arco CD)

5. Son ngulos centrales

6. m (arco AB) = m (arco CD) 6. De 4 y 5. Propiedad transitiva. TEOREMA. RECIPROCO DEL ANTERIOR. En una circunferencia, arcos congruentes tienen cuerdas congruentes. (Demostrarlo) TEOREMA Una recta que pasa por el centro de una circunferencia y es perpendicular a una cuerda, biseca a la cuerda y a su arco.

HIPOTESIS: O es el centro de la circunferencia

AB es una cuerda

CO AB O M C

La circunferencia 5

TESIS:

1)

2)

AM MB

m AC m CB

1. OA OB 1. Son radios de la misma circunferencia

2. AOB es issceles 2. De 1. Definicin de triangulo issceles.

3. OM AB 3. De hiptesis

4. OM es altura sobre la base 4. De 3. Definicin de altura.

5. OM es mediana 5. De 4 y 2. En un triangulo issceles la altura sobre la base es tambin mediana

6. AM MB 6. De 5. Definicin de mediana

7. OM es bisectriz de AOB 7. De 4, 5, 2. En un triangulo issceles la mediana sobre la base es bisectriz.

8. m( AOC) = m( BOC) 8. De 7. Definicion de bisectriz

9.

m AOC m AC

m BOC m CB

9. Por ser ngulos centrales

10. m AC m CB 10. De 8 y 9. Propiedad transitiva. TEOREMA (RECIPROCO DEL ANTERIOR) Si una recta pasa por el centro de una circunferencia y biseca una cuerda, que no sea un dimetro, entonces es perpendicular a la cuerda.

HIPOTESIS: Circunferencia de centro O; AM MB

TESIS: OM AB

COROLARIO: La mediatriz de una cuerda de una circunferencia, pasa por el centro de la circunferencia. Nota: Este corolario sirve para hallar el centro de una circunferencia cuyo dentro no conocemos. (Por ejemplo el de una mesa circular)

La circunferencia 6

TEOREMA En una circunferencia, cuerdas congruentes equidistan del centro.

HIPOTESIS: ; ;AB DC OF DC OE AB

TESIS: OE OF

1. Se traza y OE AB OF DC 1. Construccin

2. E y F son puntos medios 2. De 1. Una recta que pasa por el centro y

es a una cuerda la biseca.

3. AB DC 3. De hiptesis

4. EB FC 4. De 2 y 3. Por ser mitades de segmentos congruentes.

5. OC OB 5. Por ser radios de la misma circunferencia.

6. OFC OEB 6. De 1, 4, 5. Por ser tringulos rectngulos con un cateto y la hipotenusa s

7. OE OF 7. De 6. Por ser lados correspondientes en tringulos congruentes.

TEOREMA (RECIPROCO DEL ANTERIOR) En una circunferencia, las cuerdas equidistantes del centro son congruentes. DEFINICION: Una tangente a una circunferencia es una recta que toca a la circunferencia en un solo punto.

TEOREMA Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio trazado hacia el punto de tangencia.

HIPOTESIS: AB es tangente a la circunferencia de centro O, en el punto C.

TESIS: OC AB

La demostracin se hace por reduccin al absurdo.

1. AB no es a OC 1. Negacin de la tesis

2. Por O se traza una recta a AB en el punto D

2. Por un punto exterior de una recta se

puede trazar una a dicha recta.

3. En AB existe un punto E tal que

y se traza CD DE OE

3. Construccin

La circunferencia 7

4. COE es issceles 4. De 2 y 3. OD es mediana y altura

5. OC OE 5. De 4. Definicin de triangulo issceles.

6. OE es radio y E pertenece a la circunferencia

6. De 5 y de hiptesis. Definicin de circunferencia.

7. La interseccin de la circunferencia con

AB es el punto C y la interseccin de la

circunferencia con AB tambin es el punto E.

7. De hiptesis y de 6 y 3

8. AB corta a la circunferencia en dos puntos C y E

8. De 7

9. AB no es tangente 9. De 8. Definicin de tangente

10. AB es tangente 10. De hiptesis

11. Contradiccin 11. De 9 y 10. Luego como hay una contradiccin, al suponer que el radio no era tangente, entonces

AB OC COROLARIO 1 Si una recta es perpendicular a una tangente en el punto de tangencia, entonces esa recta pasa por el centro de la circunferencia COROLARIO 2 Un radio es perpendicular a una tangente en su punto de tangencia. TEOREMA Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos tangentes a la circunferencia, se determinan segmentos congruentes y tambin se forman ngulos congruentes con la recta que pasa por el punto exterior y por el centro de la circunferencia.

HIPOTESIS: O es el centro de la circunferencia. y PB PA

son tangentes

TESIS: 1) PB PA 2) BPO APO

1. OB PB y OA PA 1. De hiptesis. Los radios son s a las tangentes en su punto de tangencia.

2. OA OB 2. Por ser radios de la misma circunferencia

3. OP OP 3. Propiedad reflexiva

4. PBO PAO 4. De 1, 2, 3. Cateto hipotenusa

5. PB PA 5. De 4. Por ser lados correspondientes en tringulos congruentes.

6. BPO APO 6. De 4. Por ser ngulos correspondientes en tringulos congruentes.

La circunferencia 8

TEOREMA Si dos circunferencias son secantes en los puntos A y B, la recta que pasa por sus centros es

mediatriz del segmento AB

HIPOTESIS: C y D son los centros. A y B son las intersecciones de las dos circunferencias.

AByCD se cortan en E.

TESIS: E es punto medio de AB y AB CD

1. Se trazan los radios , , ,CA CB DA DB 1. Construccin auxiliar

2. CA CB 2. Por se radios de la misma circunferencia

3. DA DB 3. Por se radios de la misma circunferencia

4. AB AB 4. Propiedad reflexiva

5. CAD CBD 5. De 2, 3, 4. L L L 6. ACE BCE 6. De 5. Por ser ngulos correspondientes en

tringulos congruentes

7. CE es bisectriz de ACB 7. De 6. Definicin de bisectriz

8. ACB es issceles 8. De 2. Definicin de triangulo issceles,

9. CE es altura y mediana 9. De 7 y 8. En un triangulo issceles la bisectriz del ngulo opuesto a la base es tambin altura y mediana.

10. E es punto medio de AB y

AB CD

10. De 9. Definicin de mediana y de altura.

DEFINICION: Una secante a una circunferencia es una recta que la corta en dos puntos.

ANGULO SEMIINSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA.

La circunferencia 9

TEOREMA La medida de un ngulo semiinscrito es igual a la mitad de la medida de su arco interceptado.

HIPOTESIS: BTD es un ngulo semiinscrito

AB es una tangente a la circunferencia en T

TD es una cuerda

TESIS: 2

m DTm BTD

1. Se traza DC AB 1. Construccin

2. CDT BTD 2. De 1. Por ser alternos internos entre paralelas

3.

2m arcoCT

m CDT 3. Por ser un ngulo inscrito

4. arco CT = arco TD 4. De 1. Por estar entre paralelas.

5.

2m arcoDT

m BTD 5. De 2, 3, 4. Sustitucin

ANGULO INTERIOR EN UNA CIRCUNFERENCIA Es el ngulo formado por dos cuerdas que se cortan dentro de una circunferencia. TEOREMA La medida de un ngulo interior es igual a la semisuma de las medidas de los arcos que son interceptados por las cuerdas que forman el ngulo.

HIPOTESIS: AB y CD son cuerdas

es un ngulo interior

TESIS:

2

m AC m BD

m

1. m ( ) = m ( ) + m ( ) 1. es un ngulo exterior

en AED

2.

2

m arcoACm

2. es un ngulo inscrito

La circunferencia 10

3.

2

m arcoBDm

3. es un ngulo inscrito

4. ( ) ( ) ( ) ( )

( )2 2 2

m arcoAC m arcoBD m arcoAC m arcoBD

m 4. Sustitucin de 2 y 3 en 1.

ANGULO EXTERIOR DE UNA CIRCUNFERENCIA Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos secantes a ella, el ngulo formado se llama ngulo exterior. TEOREMA La medida de un ngulo exterior de una circunferencia es igual a la semidiferencia de los arcos que intercepta.

HIPOTESIS: P es un punto exterior a la circunferencia. es un ngulo exterior.

TESIS:

( )2

m AC m DBm

1. Se traza AD 1. Construccin

2. m ( ) = m ( ) + m( ) 2. Por ser un ngulo exterior

en ADP

3. ( )

( )2

m arcoAC

m 3. Por ser un ngulo inscrito en la circunferencia

4. ( )

( )2

m arcoDB

m 4. Por ser un ngulo inscrito en la circunferencia

5. m ( ) - m ( ) = m ( ) 5. De 1. Transposicin de trminos

6. ( ) ( )

( )2 2

m arcoAC m arcoDBm

6. Sustitucin de 3 y 4 en 5.

COROLARIO 1. La medida del ngulo formado por una secante y una tangente que se cortan en el exterior de una circunferencia, es igual a la mitad de la diferencia de las medidas de los arcos interceptados.

( ) ( )( )

2

m CA m AD

m


COROLARIO 2. La medida del ngulo formado por dos tangentes trazadas desde un punto exterior a una circunferencia es igual a la mitad de la diferencia de las medidas de los arcos interceptados.

( ) ( )( )

2

m ACB m BA

m P

EJERCICIOS

1) HIPOTESIS: ACE es una semicircunferencia de centro O

OD biseca a EC ; OB biseca a CA O F D; O H B

TESIS: 1)

2) es un rectangulo.

OD OB

OHCF

1. m( C) = 90 1. De hiptesis, por estar inscrito en

una semicircunferencia

2. 90 OF EC OF FC m CFO 2. De hiptesis. Si una recta pasa por el centro de una circunferencia y biseca una cuerda, es perpendicular a ella.

3. CH FO 3. De 1 y 2. Por formar ngulos consecutivos suplementarios

4. OH AC 4. De hiptesis. La misma razn 2

5. FC AC 5. De 1 Definicin de rectas perpendiculares

6. OH FC 6. De4 y 5. Por ser perpendiculares a la misma recta.

7. OHCF es un paralelogramo 7. De 3 y 6. Por tener los lados opuestos paralelos.

8. m( C) = m ( FOB) = 90 8. De 1 y 7. Los ngulos opuestos de un paralelogramo son congruentes

9. OD OB 9. De 8. Definicin de perpendicularidad.

10. m ( CHO) = m ( CFO) = 90 10. De 7. Los ngulos opuestos de un paralelogramo son congruentes

11. OHCF es un rectngulo. 11. De 7,1, 2, 8, 10. Definicin de rectngulo.


2) HIPOTESIS: O1 y O2 son los centros de las circunferencias.

RT y QS son tangentes comunes y se cortan

en P. O1 P O2

TESIS: 1 2 1 21)

2)

QOO OO S

RT QS

1. 1 2;OQ QS O S QS

1. Los radios son perpendiculares a las tangentes en su punto de tangencia

2. 1 2OQ O S

2. De 1. Por ser perpendiculares a la misma recta

3. QO1O2 = O1O2S 3. De 2. Por ser alternos internos entre paralelas.

4. PQ PR 4. De hiptesis. Si desde un punto exterior se trazan dos tangentes a una circunferencia, los segmentos tangentes son congruentes.

5. PS PT 5. De hiptesis. Si desde un punto exterior se trazan dos tangentes a una circunferencia, los segmentos tangentes son congruentes.

6. PQ+PS = PR+PT 6. Adicion de 4 y 5 7. QS = RT 7. De 6. Adicin de segmentos

3)

HIPOTESIS: O es el centro

AD es un dimetro

AB OC

TESIS: OC biseca al arco DB

1. 1. De hiptesis, por ser correspondientes entre paralelas.

2. ( )

( )2

m arcoDB

m 2. Por ser un ngulo inscrito

3. m ( ) = m (arco DC) 3. Por ser un ngulo central

4. ( )

( )2

m arcoDB

m arcoDC 4. De 1, 2, 3. Propiedad transitiva.


4)

DATOS: y PQ RC son tangentes a la circunferencia.

60; 50m P m PRC HALLAR: 1) medida del arco QAR = x 2) medida del arco QE = y

( ) 60 120 (1)2

x y

m P x y

50 ( ) 100 100 360 260 (2)2

m arcoRE

m CRE m arcoRE x y x y

Resolviendo (1) y (2) se obtiene que 190; 70x y

5)

Dos circunferencias son tangentes en A.

Se trazan dos secantes y ' 'BC B C que

pasan por A. Demostrar que ' 'BB CC

1. Se traza por A la tangente comn a las dos

circunferencias 1. Construccin

2. m ( ) = m ( ) 2. Por ser opuestos por el vrtice

3.

;2 2

m arcoBA m arcoAC

m m 3. Por ser ngulos semiinscritos

4. ( ) ( )

2 2

m arcoBA m arcoAC

4. Sustitucin de 3 en 2.

5.

2

m arcoBA

m B 5. Por ser un ngulo inscrito

6.

2

m arcoAC

m C 6. Por ser un ngulo inscrito

7. m( B) = m( C) 7. Sustitucin de 5 y 6 en 4.

8. BB CC 8. De 7. Por formar ngulos alternos internos congruentes.


EJERCICIOS SOBRE CIRCUNFERENCIA

1. DATOS: m (arco BC) = 70; AC es un dimetro, O es el centro de la circunferencia.

HALLAR: m ( AOB)

2. DATOS: m ( OAB) = 36. O es el centro de la circunferencia.

HALLAR: m (arco AB)

3. DATOS: m( OAB) = 30; AC es dimetro

HALLAR: m (arco BC)

4. DATOS: m(arco AB) = 70; AC es un dimetro HALLAR m (OBC)

5. DATOS: m( AOB) = 60; AC es un dimetro

HALLAR: m ( ABC) y m (arco BC)

6. DATOS: m(arco AD) = 140; BD y AC son dimetros

HALLAR: m ( OBC)

7. DATOS: m( A) = 68

HALLAR: m( C)

8. DATOS: m( SOR) = 80

HALLAR: m ( T)

9. DATOS: Las cuerdas AB y CD se cortan en E. m (arco AC) = 40 y m (arco BD) = 70. O

es el centro HALLAR: m ( AEC)


10. DATOS: La recta AB es perpendicular al dimetro TD. TC es una cuerda; m (arco TC) = 100. La recta AB es tangente a la circunferencia en T. HALLAR: m ( BTC)

11. Hallar la medida en grados del arco BD.

12. Hallar la medida en grados del ngulo 13. Hallar la medida del ngulo ATC. La recta AB es una tangente en T 14. Hallar la medida del ngulo APC, si el arco BD mide 40

15. Hallar la medida en grados del arco RAQ, si 30 ; 35m arcoTS m P 16. O es el centro de la circunferencia. La recta CF es tangente en B. Hallar la medida del

ngulo EDB y del ngulo formado por la cuerda DB y la tangente. 17. O es el centro de la circunferencia. PT es tangente en T. Hallar la medida del ngulo TPA

y del ngulo TBC y m arcoAB ,si el arco TA mide 125 18. PT y PC son tangentes. Hallar la medida del ngulo TPC, si el ngulo TBC mide 65.


19.

En la semicircunferencia de centro O y dimetro AB , el radio OE

es perpendicular a la cuerda AC .

Si ( ) 20m CAB

Hallar ( )m ELC

20.

HIPOTESIS: AD es un dimetro

AD es bisectriz de CAB. TESIS: 1) arco AC = arco AB

2) AC AB

21.

HIPOTESIS: O es el centro de la circunferencia

; ;BD OC BE OA BD BE

TESIS: m (arco AB) =m (arco CB)

22.

HIPOTESIS: CB DE

TESIS: CA DA

AYUDA: Trazar CD


23. Demostrar que todo trapecio inscrito en una circunferencia es issceles. 24.

HIPTESIS: O es el centro de la circunferencia

AD es un dimetro

OC AB

TESIS: OC biseca al arco DB.

25. HIPOTESIS: O es el centro de la circunferencia.

y PNPM son tangentes

P Q N

TESIS: 1)MQ QN

2) PNQ PMQ

3)OP MN

26. Los lados de un cuadriltero son tangentes a una circunferencia. Demostrar que la suma de las medidas de dos lados opuestos es igual a la suma de las medidas de los otros dos lados.

27.

HIPOTESIS: A y B son los centros de las circunferencias.

y QS RT son las tangentes comunes a las

dos circunferencias

TESIS: 1) QAB ABS

2)RT QS


28. Los lados de un triangulo rectngulo son tangentes a una circunferencia. Demostrar que la suma de las medidas de los catetos es igual a la suma de las medidas de la hipotenusa y el dimetro de la circunferencia.

29. Trazar una tangente a una circunferencia por un punto A dado sobre la circunferencia. 30. Consultar como se trazan, desde un punto P exterior a una circunferencia, dos tangentes

a la circunferencia. (Construccin con regla y comps). 31. Dos circunferencias de centros O1 y O2 se cortan en A y B. Se trazan respectivamente

las secantes MAN y PBQ. Demostrar que MP NQ .

32. Dos circunferencias congruentes de centros O1 y O2, se cortan pasando una por el centro

de la otra y cortndose en M y N. Por M se traza la secante AMB, con A en la circunferencia de centro O1 y B en la circunferencia de centro O2. Demostrar que el triangulo NAB es equiltero.

33. Dos circunferencias de centros O1 y O2 son congruentes y se cortan en M y N. Por M se

traza una secante que corta a la circunferencia de centro O1en C y a la circunferencia de centro O2 en D. Demostrar que el triangulo NCD es issceles.

34. Dos circunferencias O1 y O2 son tangentes exteriores en T y la recta m es la tangente

comn. Si desde un punto P cualquiera de m se trazan PA y PB tangentes a las dos

circunferencias. Demostrar que PA PB . 35. ABC es una recta secante a una circunferencia de centro O en B y C, y AED es otra

secante a la circunferencia en D y E. Si BC ED , entonces demostrar que AC AD . 36. En una circunferencia de centro O se prolonga una cuerda AB una longitud BC igual al

radio de la circunferencia, con A B C. Se traza el segmento CFOE que es un dimetro prolongado. Demostrar que m ( AOE) = 3m ( ACE)

37. Dos circunferencias de centros O1 y O2 son tangentes exteriormente en B. Se traza una

tangente exterior comn MN y la tangente interior comn a las dos circunferencias, esta tangentes se cortan en A. La cuerda BM corta a O1A en C y BN corta a O2A en D.

a. Demostrar que 2

MNAB

b. Demostrar que el NBM es recto. 38. Dos circunferencias de centros en O1 y O2 se cortan en los puntos A y B. Demostrar que

1 2OO AB en su punto medio C.


39. En una circunferencia de centro O, un dimetro AB una cuerda AC, hacen un ngulo de 30, se traza una tangente al punto a la circunferencia en C que corta al dimetro prolongado en el punto D. Demostrar que el triangulo ACD es issceles.

40. Demostrar que todo trapecio inscrito en una circunferencia es un trapecio issceles. 41. En una semicircunferencia de dimetro AB se traza una cuerda AC, tal que

m ( BAC) = 20. Se traza la tangente XY paralela a AC y tangente a la circunferencia en

el punto D. Encontrar el valor de los ngulos ADX y BDY.(Recordar que rectas paralelas determinan arcos congruentes)

42. Dos circunferencias son tangentes en A. Se trazan las secantes BAC y BAC. Demostrar

que ' 'BB CC .

43. Por el extremo A de un dimetro AB de una circunferencia, se traza una cuerda AC, y por

B se traza una tangente a la circunferencia. Se traza la bisectriz de CAB que corta a BC

en F y a la circunferencia en H y a la tangente en D. Demostrar que BD BE y

FH HD .

44. En una circunferencia de centro O se trazan dos cuerdas ;AB AC AB subtiende un arco

de 120. Desde el centro O se trazan ON AB en N y OM AC en M.

1) Encontrar m BAC

2) Demostrar que AO es bisectriz del ngulo BAC

45. Dos circunferencias de centros E y Q son secantes y se cortan en A y B. Sus tangentes

comunes, HKyTR se cortan en P.

1) Demostrar que HK TR 2) Demostrar que HPT es issceles.

46.

Las cuerdas y CDAB son congruentes y se cortan en K.

Demostrar:

1)

2)

3)

CB AD

KA KD

KB KC


47. En el tringulo ABC, el ngulo A mide 60 y el radio de la circunferencia, en la cual est inscrito, mide 8 cm. Calcular la distancia del centro O de la circunferencia al lado BC.

48.

HIPTESIS: C y B son puntos de tangencia TESIS: ( ) ( ) 180m A m arcoCDB

49. DATOS: O es el centro de la circunferencia ( ) 2 ( )m A m B

( ) 126m AOB

CALCULAR ( )m B

PROPOSICIONES PARA RESPONDER VERDADERO O FALSO

1. Todos los ngulos centrales de la misma circunferencia son congruentes. ( ) 2. El vrtice de todo ngulo central esta sobre el centro. ( ) 3. Toda circunferencia tiene exactamente dos semicircunferencias. ( ) 4. Dos semicircunferencias de dos circunferencias distintas miden lo mismo en grados.( ) 5. Un dimetro es una cuerda ( ) 6. Algunos radios son cuerdas ( ) 7. En una circunferencia, es posible que una cuerda sea congruente a un radio. ( ) 8. Si un paralelogramo esta inscrito en una circunferencia, debe ser un rectngulo.( ) 9. Si un ngulo inscrito y un ngulo central subtienden al mismo arco, la medida del ngulo

inscrito es el doble de la medida del ngulo central. ( ) 10. Una lnea recta puede cortar a una circunferencia en tres puntos. ( ) 11. Un rectngulo circunscrito a una circunferencia debe ser un cuadrado. ( )


12. El ngulo formado por dos cuerdas que se cortan en una circunferencia es igual en grados a la mitad de la diferencia de las medidas de los arcos interceptados. ( )

13. Un trapecio inscrito en una circunferencia debe ser issceles. ( ) 14. Todos los puntos de un polgono inscrito estn sobre la circunferencia. ( ) 15. Los ngulos inscritos en el mismo arco son suplementarios. ( ) 16. Un radio es perpendicular a una tangente en el punto de tangencia. ( ) 17. El ngulo formado por una tangente y una cuerda es igual en grados a la mitad de la

medida del arco interceptado. ( ) 18. La recta que une el punto medio de un arco y el punto medio de su cuerda es

perpendicular a la cuerda. ( ) 19. Si dos cuerdas congruentes se cortan, las medidas de los segmentos de una cuerda son

respectivamente congruentes a las medidas de los segmentos de la otra. ( ) 20. El segmento de recta que une dos puntos sobre una circunferencia es una secante. ( ) 21. El ngulo inscrito en una semicircunferencia es agudo. ( ) 22. El ngulo formado por una secante y una tangente que se cortan en el exterior de una

circunferencia tiene por medida la mitad de la suma de las medidas de los arcos interceptados. ( )

23. Si dos cuerdas son perpendiculares a una tercera cuerda en sus extremos, son congruentes. ( )

24. Un ngulo agudo inscrito en una circunferencia, intercepta un arco cuya medida es menor que 90. ( )

25. Si dos cuerdas se cortan dentro de una circunferencia, una de las cuerdas es igual a la suma de los segmentos de la otra. ( )

26. Si se trazan una tangente y una secante desde el mismo punto exterior a una circunferencia, la tangente es igual a la mitad de la diferencia de la secante y el segmento externo. ( )

27. De dos cuerdas desiguales en una circunferencia, la cuerda mayor es la ms alejada del centro. ( )

Algunos ejercicios tomados de los siguientes textos: Geometra Euclidiana de Nelson Londoo Geometra Euclidiana de Hemmerling Curso de Geometra. Reunin de profesores Geometra de Clemens y otros, de la serie Awli Geometra de Edwin E. Moise Otros recopilados de internet

Recopilados por: Jos Manuel Montoya Misas.


EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE CIRCUNFERENCIA 31.

( )( 1)

2

( )( 2)

2

( ) ( ) 360( 1) ( 2) 180

2 2

( ) ( )( 3) ; ( 4)

2 2

( ) ( ) 360( 3) ( 4) 180

2 2

m arcoMABm

m arcoMPBm

m arcoMAB m arcoMPBm m

m arcoBQN m arcoNABm m

m arcoBQN m arcoNABm m

( 3) ( 2) 180

( 1) ( 2) ( 3) ( 4) ( 3) ( 2) 180 180 180

( 1) 180 ( 4) 180 180 180 180

( 1) ( 4) 180

m m

m m m m m m

m m

m m

Por lo tanto PM QN por formar ngulos consecutivos interiores suplementarios

32.

2

1

1 1 2 2

1 2

1 2

( )( )

2

( )( )

2

es equilatero

m( MO ) 60

m arcoMO Nm A

m arcoMO Nm B

MO OO MO

MOO

O

Luego se demuestra que NO1O2 es tambin equiltero. Entonces se tiene que m ( MO1N) =

120 y por lo tanto el arco MBN mide 240 y por consiguiente el arco MO1N mide 120 de donde m ( B) = 60.

De la misma manera se demuestra que m( A) = 60


33. Demostrar primero que MO1NO2 es un paralelogramo.

1 2MON MO N por ser ngulos opuestos en un

paralelogramo. m (arco MEN) = m (arco MFN)

( )( )

2

( )( )

2

m arcoMENm C

m arcoMFNm D

34.

PA PT

PT PB

PA PB

37.

1.

2. ( 1) ( 2)

3.

4. ( 3) ( 4)

5. ( 1) ( 2) ( ) 180

6. ( 3) ( 4) ( ) 180

AM AB

m m

AB AN

m m

m m m MAB

m m m NAB

7. ( 1) ( 2) ( ) ( 3) ( 4) ( ) 360

8.2 ( 2) 2 ( 4) 180 360

9.2 ( 2) ( 4) 180

10. ( 2) ( 4) 90

11. es recto

12.AM

13. es mediana sobre la hipotenusa

MN14.AB=

2

m m m MAB m m m NAB

m m

m m

m m

MBN

AN

BA


38.

1 2 1 2

2 2 2

2 2 2

2 1

( )

es isosceles

O es bisectriz de AO ( ) es altura

O

es punto medio de AB, Porque?

O AO O BO L L L

AO C BO C AO B

C B demostrarlo O C

O AB

C

39.

( ) 30 ( ) 120

( ) 30 es isosceles

OC CD

AO OC m ACO m ACD

m D ACD

41.

ADB es recto

m ( ADX) + m( BDY) = 90

( ) ( )

( ) 40 ( ) 140 ( ) ( ) 70

( )( ) 35

2

( ) 110( ) 55

2 2

XY AC m arcoAD m arcoDC

m arcoCB m arcoADC m arcoAD m arcoDC

m arcoADm ADX

m arcoDBm BDY


43. C es recto ACF es rectngulo. El complemento de

CFA es es rectangulo el complemento

de D es

CFA D(por tener el mismo complemento)

CFA DFB D FBD es isosceles

AHB es recto es altura y mediana

DB AB ABD

BH

HIPTESIS: Las circunferencias son tangentes en F Desde E se trazan tangentes a las dos circunferencias C, D son puntos de tangencia A y B son los centros de la circunferencia C E D TESIS: Tringulo ABE es rectngulo en E

1.EA es bisectriz de CEF 1. De hiptesis, Por qu?

2.EB es bisectriz de FED 2. De hiptesis, Por qu?

3. CEA AEF 3. De 1, Por qu 4. DEB BEF 4. De 2, Por qu 5. ( ) ( ) 180m CEF m FED 5. De hiptesis, Por qu?

6. 2 ( ) 2 ( ) 180

( ) ( ) 90

m AEF m BEF

m AEF m BEF

6. De 5, 2 y 1 Por qu?

7. es rectoAEB 7. De 6, Por qu?

8. Tringulo ABE es rectngulo en E 8. De 7, Por qu?


El tringulo ABC est inscrito en una circunferencia de centro D, se trazan los dimetros

, ,AE CG BF . Demostrar que ABC EFG

1. 1 2 1.Por ser ngulos opuestos por el vrtice

2. ( ) ( )m arcoCE m arcoAG 2.De1, por ser arcos de ngulos centrales congruentes

3. 3 4 3. Por ser ngulos opuestos por el vrtice

4. ( ) ( )m arcoFC m arcoGB 4.De 3, por ser arcos de ngulos centrales congruentes

5. 5 6 5. Por ser ngulos opuestos por el vrtice

6. ( ) ( )m arcoBE m arcoAF 6. De 4, por tener ngulos centrales congruentes

7. ( ) ( ) ( )m arcoAC m arcoAF m arcoFC 7.Suma de arcos

8. ( ) ( ) ( )m arcoGE m arcoGB m arcoBE 8.Suma de arcos

9. ( ) ( ) ( )m arcoGE m arcoFC m arcoAF 9.Sustitucion de 6 y 4 en 8

10. ( ) ( )m arcoAC m arcoGE 10.c

11. AC GE 11.De 10, arcos congruentes tienen cuerdas congruentes

12. ( ) ( ) ( )m arcoCB m arcoCE m arcoBE 12.Suma de arcos

13. ( ) ( ) ( )m arcoFG m arcoAF m arcoAG 13.Suma de arcos

14. ( ) ( ) ( )m arcoFG m arcoBE m arcoCE 14.Sustitucion de 6 y 2 en 13

15. ( ) ( )m arcoCB m arcoFG 15.De 12 y 14, propiedad transitiva

16. CB FG 16. De 15, arcos congruentes tienen cuerdas congruentes


17.( ) ( ) ( )

( )2 2

m arcoAGB m arcoAG m arcoGBm ACB

17. Por ser un ngulo inscrito y suma de arcos

18. ( ) ( ) ( )

( )2 2

m arcoFCE m arcoFC m arcoCEm FGE

18. Por ser un ngulo inscrito y suma de arcos

19. ( ) ( )

( )2

m arcoGB m arcoAGm FGE

19.Sustitucion de 4 y 2 en 18

20. ( ) ( )m ACB m FGE 20.De 17 y 19, propiedad transitiva

21. ABC EFG 21.De 20, 16 y 11, por el criterio L A - L

NOTA: este ejercicio tambin lo podemos resolver de la siguiente manera

1.Se trazan los segmentos

, , , , ,AG GB BE EC CF FA 1.Construccion auxiliar

2.ABEF es un paralelogramo 2.De hiptesis, las diagonales y AE BF se

bisecan

3. AB FE 3.De 2, los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes

4. ACEG es un paralelogramo 4. De hiptesis, las diagonales y AE CG se

bisecan

5. AC EG 5. De 4, los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes

6. BCFG es un paralelogramo 6. De hiptesis, las diagonales y CG BF se

bisecan

7. BC FG 7. De 6, los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes

8. ABC EFG 8.De7, 5 y 3 por el criterio de congruencia L L L


Se da la semicircunferencia de dimetro AB, la recta CE es

tangente, CE CD Hallar ( )m FEB

Completamos la circunferencia por construccin auxiliar

1.( )

( )2

m arcoFABm FEB 1.Por ser un ngulo inscrito

2. ( ) 180

( )2

m arcoFAm FEB

2. De 1. Suma de arcos

3.El tringulo ECD es issceles 3.De hiptesis, definicin de triangulo issceles

4. 1D 4.De 3, por los ngulos de la base de un tringulo issceles

5. 2 1 5. Por ser opuestos por el vrtice 6. 2D 6. De 5 y 4, propiedad transitiva 7.

( ) ( )( )

2

m arcoFA m arcoEBm D

7. Por ser un ngulo exterior de la circunferencia

8. ( )

( 2)2

m arcoFEm

8.De hiptesis, por ser un ngulo semiinscrito en la circunferencia


9. ( ) ( ) ( )

2 2

m arcoFA m arcoEB m arcoFE

9. De 8, 7 y 6, propiedad transitiva

10. ( ) ( ) ( )m arcoFA m arcoEB m arcoFE 10. De 9, algebra

11. ( ) ( ) ( )m arcoFA m arcoFE m arcoEB 11. De 10, algebra

12.

( ) ( ) ( ) 180m arcoFA m arcoFE m arcoEB 12. Suma de arcos

13.

( ) ( ) 180

2 ( ) 180

( ) 90

m arcoFA m arcoFA

m arcoFA

m arcoFA

13. Sustitucin de 11 en 12

14.90 180

( ) 1352

m FEB

14. Sustitucin de 13 en 2

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06. La Circunferencia