Circunferencia

Elementos de una circunferencia

Radio: Es un segmento que une el centro de la circunferencia con cualquier punto de ella. El radio se nombra con la letra “r” o bien con sus puntos extremos. La medida del radio es constante.

Cuerda: es el segmento que une dos puntos de la circunferencia. Las cuerdas tienen distintas medidas.

Arco: Parte de una circunferencia comprendida entre dos arcos.

Diámetro: Es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. El diámetro es la cuerda de mayor medida. El diámetro se nombra con la letra “d”. El diámetro siempre es el doble del radio: ó .

Secante: Recta que corta la circunferencia en dos puntos.

Tangente: Recta que corta la circunferencia en un punto llamado “punto de tangencia”.

.

Ángulo Inscrito: Ángulo cuyo vértice está en la circunferencia y sus lados son cuerdas.

Ángulo Semi-inscrito: Ángulo formado por una recta tangente y una secante a la circunferencia.

Ángulo del Centro: Ángulo cuyos lados son radios de la circunferencia.

Ángulo Interior: Ángulo formado por dos cuerdas que se cortan en el interior del círculos

Ángulo Exterior: Ángulo formado por dos rectas secantes a la circunferencia, que se intersectan en el exterior de un círculo.

Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia, podemos construir su ecuación ordinaria, y si operamos los cuadrados, obtenemos la forma general de la ecuación de la circunferencia, así:

Ecuación general de la circunferencia

Prueba:

Ejemplo: Hallar la ecuación general de la circunferencia con centro C(2,6) y radio r=4

Hallar la ecuación general de la circunferencia con centro C(2;6) y radio r = 4 (x - 2)² + (y - 6)² = 4² x² - 2(2x) + 2² + y² - 2(6y) + 6² = 4² x² - 4x + 4 + y² - 12y + 36 = 16 x² + y² - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0 x² + y² - 4x - 12y + 24 = 0 D = -4 , E = -12 , F = +24

Ecuación canónica de la circunferencia Sean ahora las coordenadas del centro de la circunferencia C(0;0) y el radio "r", podemos utilizar la siguiente ecuación para determinar el valor de "y" correspondiente a un valor de "x". Ejemplo: Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el origen y con radio r = 3 x ² + y ² = 3²

Observaciones: Dada la ecuación de la circunferencia x² + y² + Dx + Ey + F = 0 se cumple que:

Caracterizacion de la ecuacion general de la circunferencia

Si desarrollamos la forma reducida de la ecuación de la circunferencia obtenemos la forma general de la

ecuación de la circunferencia:

Si en la expresión anterior, sustituimos;

Podemos escribir la ecuación de la siguiente forma:

Forma general de la ecuación de la circunferencia.

La condición característica que distingue la circunferencia de las otras 4 curvas es que sus términos cuadráticos tienen igual

coeficiente. Además, la ecuación de la circunferencia nunca tendrá el termino Bxy que en algunos casos lo tienen las otras curvas.

Ecuación de una circunferencia dada en tres condiciones

En la actividad anterior, la ecuación ordinaria de la circunferencia (x-2) + (y+5) = 4 tiene tres datos numéricos:

• 2, que corresponde al valor de H. • -5, que corresponde al valor de K. • 4, que corresponde al valor de R.

Por tanto 2 y -5 determinan , respectivamente , la abscisa y la ordenada del centro de la circunferencia , mientras que 4 es la longitud del radio. Ahora bien, en la ecuación de la circunferencia x+y+2x+6y-19 =0 ,que corresponde al modelo general x2+y2+DX+EY+F=0 , se tiene también tres datos numéricos.

• 2, que corresponde al valor de D • 6, que corresponde al valor de E • -19, que corresponde al valor de F

De acuerdo con lo anterior, podemos observar que para determinar una circunferencia es necesario conocer tres datos numéricos, los cuales se obtiene a partir de ciertas condiciones establecidas. Para el modelo ordinario, dados el centro y el radio de la circunferencia, tenemos las siguientes condiciones: abscisa del centro, ordenada del centro y longitud del radio, de las cuales obtenemos los valores de H, K y R, respectivamente.

Para el modelo general, dados los coeficientes de los términos de primer grado en x e y, así como el termino independiente, obtenemos los valores de D,E y F respectivamente *Determinar la ecuación, radio y centro de la circunferencia que pasa por los puntos: A(-8;3), B(4;-5), M(-3;2). Tomando los puntos 2 a 2, considerando las coordenadas del centro C(h,k): (x – h)2 + (y – k)2 = r2

Distancia del centro C(h,k) a A(-8;3) = distancia del centro C(h,k) a B(4;-5) (h + 8)² + (k – 3)² = (h – 4)² + (k + 5)² h² + 16h + 64 + k² – 6k + 9 = h² – 8h + 16 + k² + 10k + 25 24h + 32 = 16k 3h + 4 = 2k

k = (3/2)h + 2…………… IDistancia del centro a A(-8;3) = distancia del centro a M(-3;2) (h + 8)² + (k – 3)² = (h + 3)² + (k - 2)² h² + 16h + 64 + k² – 6k + 9 = h² + 6h + 9 + k² – 4k + 4 10h + 60 = 2k k = 5h + 30……………..II Igualando I = II (3/2)h + 2 = 5h + 30 3h +4 = 10h + 60 7h = – 56 h = – 8 Reemplazando este valor en II k = 5 (- 8) + 30 k = – 40 + 30>k = – 10

Determinamos las coordenadas del centro C(h,k):C(– 8; – 10) Determinado el centro, determinamos el radio: r2 = (x – h)2 + (y – k)2

radio = distancia del centro C(– 8; – 10) al punto A(-8;3) r² = (–8 + 8)² + (–10 – 3)² r² = 0² + 13² r = 13 Podemos definir, entonces, la ecuación de la circunferencia en su forma general o canónica: (x – h)² + (y – k)² = r² x² + y² - 2hx - 2ky + (h² + k² – r²) = 0 Reemplazando los valores, nos queda:

(x + 8)² + (y + 10)² = 169 x² + y² + 16x + 20y – 5 = 0

Posicion relativa de una recta y de una circunferencia en el plano

En un mismo plano las posiciones relativas de un punto y de una recta respecto a una circunferencia están determinadas por sus respectivas distancias al centro de la circunferencia. Sea d la distancia de un punto P al centro de una circunferencia de centro O y de radio r en un mismo plano Si d r > , P es exterior a la circunferencia. Si d r = , P está en la circunferencia. Si d r < , P es interior a la circunferencia. Una recta se puede situar en tres posiciones respecto a una circunferencia:

• La recta corta a la circunferencia en dos puntos, A y B: recta SECANTE a la circunferencia. • La recta y la circunferencia tienen un punto, P, en común: recta TANGENTE a la circunferencia. • La recta y la circunferencia no tienen ningún punto en común: recta EXTERIOR a la circunferencia.

Ejemplos:

Secante

Si la distancia del centro O de la circunferencia de la recta dada es menor que el radio, la recta y la circunferencia tendrán 2 puntos comunes.

Tangente Si la distancia O a la recta es igual al radio, entonces la recta y la circunferencia solo tienen un punto en común.

Exterior Si la distancia O a la recta es mayor que el radio, la recta y la circunferencia no tienen ningún punto en común.

Posiciones relativas de un punto respecto a la circunferencia

� La recta es tangente a la circunferencia

Si una recta tiene un punto en común con una circunferencia decimos que se trata de una recta tangente (recta exterior) a la circunferencia.

Tangente es una palabra que procede del latín “tangens-entis” y

significa tocar, palpar.

La recta tangente a una circunferencia de centro O que pasa por un punto T de la misma es la recta perpendicular al radio OT que pasa por el punto T.

La distancia entre el centro de la circunferencia y el punto en común

es igual al radio.

El punto T de la recta es también un punto de la circunferencia, es decir es el punto en común y se llama punto de tangencia.

� La recta es secante a la circunferencia

Si una recta tiene dos puntos comunes con una circunferencia decimos que se trata de una recta secante a la circunferencia.

Dato curioso: En geometría, la tangente es la línea recta que “toca” en un punto a una curva, ya sea una circunferencia, elipse, parábola, o cualquier otra curva.

La palabra secante que procede del palabra latín “secare” y significa

cortar.

Una recta es secante a una circunferencia si le

corta a ésta por dos puntos.

La recta corta a la circunferencia en los puntos A y B.

Posiciones relativas de dos circunferencias en el plano exterior

Exteriores: las que se tocan en un único punto y no están una dentro de la otra. Su distancia al centro es menor que el radio. Posiciones relativas En un mismo plano las posiciones relativas de un punto y de una recta respecto a una circunferencia están determinadas por sus respectivas distancias al centro de la circunferencia. Sea d la distancia de un punto P al centro de una circunferencia de centro O y de radio r en un mismo plano (figura 18.4). Si d r > , P es exterior a la circunferencia. Si d r = , P está en la circunferencia. Si d r < , P es interior a la circunferencia. Figura 18.4 Si una recta A y una circunferencia ( , ) O r son coplanares y además d es la distancia de la recta al centro O, entonces, de la figura 18.5, obtenemos: a. Si d r > , la recta A es exterior a la circunferencia. b. Si d r = , la recta A es tangente a la circunferencia. c. Si d r < , la recta A es secante a la circunferencia. Figura 18.5

Si dos circunferencias están en el mismo plano, las posiciones relativas entre ellas pueden relacionarse con la distancia d entre sus centros de la siguiente manera: a. Dos circunferencias son exteriores si la distancia entre sus centros es mayor que la suma de sus radios (figura 18.6). C1 y C2 son exteriores d= d (O1, O2) 1 2 d >r1 + r2

Figura 18.6 b. Dos circunferencias son tangentes exteriores si son tangentes a la misma recta en el mismo punto (su intersección es un punto).

Posiciones relativas de dos rectas en el plano

Interiores La distancia entre los centros es menor que la diferencia de los radios. Tangentes interiores, si tiene un punto en común y la distancia que hay entre sus centros es igual a la diferencia de sus radios.

Concéntricas Los centros coinciden. Si tienen el mismo centro (la distancia entre sus centros es 0)

Posiciones relativas de una recta en una circunferencia

Tangente y Secante

Recta Tangente Es aquella que toca la circunferencia en uno de sus puntos, llamado punto de tangencia, puede ser interior o exterior. En el caso de ser interior el largo del segmento de recta deberá ser menor al doble del radio.

El radio al punto de tangencia y la recta tangente son perpendiculares, así sus pendientes son contrarias. A partir de esto se puede trazar la tangente de una circunferencia con la ecuación:

Donde (Cy,Cx) es el centro de la circunferencia y (x0,y0) es el punto de tangencia Ejemplo: Una circunferencia de centro (4,-2) y con punto de tangencia (6,3).

Sustituimos los valores a y su resultado sería: Esa es la pendiente de la tangente que pasa por el punto (6,3).

Recta Secante Una recta secante, del latín secare “cortar”, es aquella que atraviesa a la circunferencia en 2 de sus puntos.

Posición de la recta con respecto a la tangente

Posiciones de dos circunferencias C y C´

Dos circunferencias, C y C′, con radios r y r′, pueden ocupar las posiciones siguientes: Exteriores: No tienen ningún punto común. La distancia entre sus centros, d, es mayor que la suma de los radios.

d > r + r´

Tangentes exteriores: Tienen un solo punto en común. La distancia entre sus centros, d, es igual a la suma de los radios

d = r + r´ Secantes: Tienen dos puntos comunes. La distancia entre sus centros, d, es menor que la suma de los radios.

d < r + r´ Tangentes interiores: Tienen un solo punto común.

La distancia entre sus centros, d, es igual a la diferencia de los radios.

d = r - r´ Interiores: No tienen ningún punto común. La distancia entre los centros, d, es menor que la diferencia de los radios.

d < r - r´ Concéntricas: No tienen ningún punto común.

La distancia entre los centros de la circunferencia es cero.

d = 0

Secante de la circunferencia Si desde un punto P cualquiera exterior a una circunferencia, se trazan una tangente y una secante, entonces el cuadrado de la medida de la distancia desde ese punto P al punto de tangencia, es igual al producto de la distancia que hay desde P a los puntos de intersección de la secante con la circunferencia. Sea P punto exterior cualquiera T punto de tangencia A y B puntos de intersección de la secante con la

circunferencia. Entonces: PT 2 = PA*PB Observación.- La relación PT 2 = PA*PB señala que la distancia desde un punto P al punto de tangencia, es la media proporcional geométrica , entre la distancia desde el punto P a los puntos de intersección de la secante con la circunferencia. EJEMPLO: En la circunferencia de la figura, consideremos que AB = 30 cm y BP = 2 cm. Calculemos la medida dePT. Sea PT = x Por teorema de la Tangente y la Secante PT 2 = PA*PB Remplazando x 2 = 32*2x 2 = 64x = 8Por lo tanto, PT mide 8 cm

• Circulo y circunferencia son lugares geométricos, conjunto de dos puntos con una determinada condición. • Circunferencia es el conjunto de puntos que están a igual distancia de otro punto formado centro. • El círculo es el conjunto de puntos de la circunferencia más todos los puntos interiores. • Radio es la distancia entre cada punto de la circunferencia y el centro. • El diámetro es todo segmento que pasa por el centro y une dos puntos de la circunferencia. • Círculo y circunferencia no son lo mismo.

Ejercicios

A continuación tenemos una serie de ejercicios en los que puedes repasar el tema

Primera Serie: responde lo que se te pide. ¿Qué es una circunferencia? ¿En qué consiste una circunferencia?

Segunda Serie: Completar las siguientes oraciones con la letra correspondiente:

• _________ es un diámetro. • _________ es una cuerda. • _________ es un ángulo inscrito. • _________ es un ángulo del centro. • _________ es un ángulo semi-inscrito. • _________ es un ángulo exterior.

Tercera Serie: En cada inciso, conocidas las coordenadas del centro de una circunferencia y la magnitud de su radio,

se pide obtener sus ecuaciones en forma ordinaria, general y hacer un dibujo de su gráfica.

• C(-2,3) ; r=3

• C(-1,0) ; 2=r

• C (1,3) ; r=0

Cuarta Serie: En cada inciso se da la forma general de la ecuación de una circunferencia, se pide obtener el centro, el radio y graficarla.

• x² +y² - 2x + 6y – 6 =0 • 2x² +2y² - 2x - 2y – 4 =0 • x² +y² - 2x + 4y – 4 =0 • x² +y² - 6x + 8y = -25 • 2x² + 2y² - 8x - 28y + 106 =0

Quinta Serie: En los incisos 1-3 encuentre la ecuación de la circunferencia que pasa por los 3 puntos A (0,0), B(-3,-6), C (-7,0) aplicando el método que se indica: 1) Resuelva con el método del ejemplo 1) 2) Aplique el método del ejemplo 2) 3) Aplicando el método del ejemplo 3) 4) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(0,3) y B(4,-9) y cuyo centro se localiza sobre el eje “Y”. 5) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(0,3) y B(4,-9) y cuyo centro se localiza sobre el eje “X”. Sexta Serie: Halla lo que se te pide.

1. Una circunferencia es tangente a la recta L1; 2x-y+1=0 en el punto (2,5) y su centro está sobre la recta L2; x+y=9. Encuentre la ecuación de la circunferencia.

2. Hallar la ecuación de la circunferencia que es tangente a los ejes coordenados y pasa por el punto P(-2,-1) 3. Halla la posición relativa de la recta 2x+y-12=0 y la circunferencia x^2+y^2-4x+2y+2=0

4. Halla la posición relativa de las circunferencia y

5. Halla el centro y el radio de una circunferencia de ecuación

6. Halla la posición relativa de la recta y la circunferencia

7. Determine la ecuación de la circunferencia de centro que pasa por el punto . Halle los puntos de

corte de dicha circunferencia con el eje

Séptima Serie: Calculando la ecuación. 1. Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (-1, 4) y es tangente al eje de ordenadas. 2. Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (2,-3) y es tangente al eje de abscisas. 3. ¿Pueden dos circunferencias compartir la misma recta tangente? Razona. 4. Se tiene la circunferencia x2+y2-8x+2y-24=0.Halla las rectas tangentes en los puntos de la circunferencia, cuyas abscisas valen -1. 5. Halla la ecuación tangente a la circunferencia de centro C (1,2) y radio 3, en los puntos (1,5) y (1,-1) 6. Halla la ecuación de la circunferencia de centro C (2,4) y que es tangente a la recta 3x+4y-2=0. 7. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene el centro en el punto C (3,1) y es tangente a la recta: 3x - 4y + 5 = 0.

8. Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (2,-3) y es tangente al eje de abscisas. 9. Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (-1, 4) y es tangente al eje de ordenadas

10. Posición relativa de la circunferencia x2 + y2 - 4x + 2y - 20 = 0 con las rectas:

1 x + 7y -20 = 0 2 3x + 4y - 27 = 0

3 x + y - 10 = 0 Octava serie: Responde lo siguiente.

1. ¿Cómo es la recta respecto a la circunferencia?

2. ¿Pueden dos circunferencias compartir la misma recta tangente? Razona: Link de sugerencia:

http://www.prepa5.unam.mx/profesor/publicacionMate/12VIII.pdf

Bibliografia

POSICIONES RELATIVAS DE UN PUNTO RESPECTO A UNA CIRCUNFERENCIA, http://aulafacil.com/matematicas-basicas/geometria/curso/Lecc-36.htm (23.05.2012) Rectas tangentes a la circunferencia, http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/sobre_circunferencia/circunferencia4.htm (23.05.2012)

Libro “Profesores de enseñanza secundaria volumen II.” Pagina 53 Tema la circunferencia http://books.google.es/books?id=WEPdt_-7ekYC&pg=PA299&dq=posiciones+relativas+de+una+recta+y+una+circunferencia+en+el+plano&hl=es&sa=X&ei=BHO9T9NOx-2CB4f43bkP&ved=0CEsQ6AEwBQ#v=onepage&q=posiciones%20relativas%20de%20una%20recta%20y%20una%20circunferencia%20en%20el%20plano&f=false http://www.sectormatematica.cl/media/diferenciado/LA%20CIRCUNFERENCIA%20EN%20EL%20PLANO%20CARTESIANO.pdf

Matemáticas V: -- El placer de dominarlas sin complicaciones, Textos bachiller ENP, Autor José Manuel Becerra Espinosa Editor UNAM, N.º de páginas 220 páginas.

Matemáticas 3 Escrito por José Alberto May Moreno Editorial Progreso S.A de C.V 1º edición :2003 Pagina 212 http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/rectas_angulos_circunferencia/UD1JLR.htm

http://www.slideshare.net/iaespino/circunferencia-2373054

http://www.profesorenlinea.cl/geometria/CirculoCircunfelementos.htm