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Cálculo I - ���������� �� 1
Capítulo 2- Funções
1 Conceitos
O termo função foi primeiramente usado para denotar a dependência entre uma quantidade e outra. A função é usualmente denotada por uma única letra �,�,�,... Definição: Dado dois conjuntos não vazios � e � e uma lei � que associa a cada elemento � de � um único elemento � de �, dizemos que � é uma funçãode � em �.
• Indica-se que �é uma função de � em � pela notação �: � → �
• O conjunto � é denominado domínio da função � e é formado pelos elementos � que possuem correspondência em� pela função �, ou seja, existe �pertencente a � tal que � � ����. Denota-se �,�����)
• O conjunto de � é chamado de contradomínio da função � . Denota-se ��,�������)
• O elemento� de �, associado ao elemento � de � é chamado de imagem de � pela função�. Indica-se que � é imagem de �pela notação � � ����.
• O conjunto de todos os elementos � de � que são imagens dos elementos � de � é chamado conjunto imagem ou simplesmente imagem da função � . Denota-se ��, �����. Para toda função ����� ⊂ �.
• Um elemento típico � do ������ é chamado variável independente e um elemento típico � da ����� é chamado variável dependente.
• O conceito de função tem grande generalidade, pois os elementos do domínio e da imagem podem ser de qualquer natureza.
• As variáveis � e �podem representar quantidades numéricas. Porém � não representa uma quantidade, � estabelece uma lei de associação entre � e �.
• Quando a função � é definida apenas pela lei de associação, sem especificação dos conjuntos � e �, convenciona-se que � e � são subconjuntos de ! e diz-se que a função �é uma função real de variável real.
�
Cálculo I - ���������� �� 2
Exemplos 1) Seja � uma função que calcula a área de um círculo:
a) Encontre a equação que representa a função � Sabemos que a área de um círculo depende do tamanho do raio do círculo. Para cada valor de raio arbitrado obteremos um resultado para a área. Assim a área “é uma função do raio”. Se chamarmos o raio do círculo de "�" e a área de "�", a área do círculo pode ser expressa em função de um raio genérico � pela equação:
� � ���� � #�$
b) Identifique a variável independente e a variável dependente da função�. A área do círculo, variável �, depende do valor arbitrado para o raio, variável �. Então A é a variável dependente e � a variável independente.
c) Calcule a área do círculo quando � � 2, � = 3'� = 4. Estamos querendo saber o valor da variável dependente � para valores específicos de �. Basta substituir � na equação pelo valor desejado.
� = ���� = #�$ → )*+,�� = 2, � = ��2� = #�2�$ = 4#*. . �*+�,,'-,'á�'� � = ���� = #�$ → )*+,�� = 3,� = ��3� = #�3�$ = 9#*. . �*+�,,'-,'á�'� � = ���� = #�$ → )*+,�� = 4,� = ��4� = #�4�$ = 16#*. . �*+�,,'-,'á�'�
d) Encontre o domínio da função�. O domínio da função é o conjunto de todos os valores possíveis de serem atribuidos para a variável independente (raio �) de tal forma que seja possível calcular através da função � a variável dependente (área do círculo �). Como não é possível traçar um círculo de raio igual a zero ou negativo, os valores possíveis de serem atribuídos para o raio só poderão ser números reais maiores do que zero, assim:
������ = 2� ∈ ℜ|� > 0}
e) Encontre o conjunto imagem da função�. O conjunto imagem da função é o conjunto de todos os valores que a variável dependente (área do círculo) pode ter quando a função for aplicada a todos os elementos do domínio (raio �). Como � > 0, então � = #�$ sempre será um número real maior do que zero.
����� = 2� ∈ ℜ|� > 0}
Cálculo I - ���������� ℎ� 3
2) Dada a função �:ℜ → ℜ , definida pela equação � = 3�$ − 4 . Identifique as variáveis dependente e independente e calcule os itens abaixo:
Para obtermos o valor de � temos que arbitrar valores para �. Ou seja, � depende de �. Isto significa que � é uma função de � e o nome desta função é �. Assim, � é a variável dependente e � é a variável independente:
� = ���� = 3�$ − 4
� � = ��−4� ��−4� significa que queremos saber o valor da variável dependente � quando � é igual a -4. Temos que substituir � por -4. � = ���� = 3�$− 4 ∴ ��−4� = 3�−4�$ − 4 = 48 − 4 = 44
;���1� ��1� = 3�1�$ − 4 = 3 − 4 = −1
<�� =13>
� =13> = 3 =13>$− 4 = 1
3 − 4 = −113
,���∆� ��∆� = 3�∆�$ − 4 = 3∆$ − 4
'���∎� ��∎� = 3�∎�$ − 4 = 3∎$− 4
�� ��A$� ��A$� = 3�A$�$ − 4 = 3AB− 4
�� ��� − ℎ� ��� − ℎ� = 3�� − ℎ�$ − 4 = 3��$ − 2�ℎ + ℎ$� − 4 = 3�$− 6�ℎ + 3ℎ$ − 4
ℎ� ��1� − ��0� ��1� − ��0� = �3�1�$ − 4� − �3�0�$ − 4� = 3 − 4 − 0 + 4 = 3
��������� ������� =
3�$− 43$− 4
D�� E�F
� E�F = 3 E�F$− 4 = 3�$
$ − 4 = 3�$− 4$$
Cálculo I - ���������� ℎ� 4
3) Dado o conjunto � = 2−2,−1, 0, 1, 2} , determinar o conjunto-imagem da função �: � → ℜ, definida pela equação � = �G
Para cada valor � do domínio, ������ = H−2, −1, 0, 1, 2I,foram determinados os valores correspondentes � pela função �, � = ����. A imagem da função é o conjunto dos valores que � assume para todos os valores � do domínio, então ����� = 2−8,−1, 0, 1, 8}
4) Seja � uma função que identifica a letra inicial do nome de uma pessoa. Considere esta função aplicada a um grupo de cinco pessoas chamadas José, Gabriela, Mário, Marlene e Vítor e determine o Domínio, o Contradomínio e a Imagem da função.
������ = 2J�-é, L;��' ,Má���,M� '+', N���} ����� = 2J,L, M, N}
5) Encontre o Domínio e a Imagem da função � que calcula o quadrado de um número.
Como não há especificação do domínio e do contradomínio, considera-se a função � como uma função real de variável real. Chamando a variável independente de � e a variável dependente de�, a função � pode ser representada pela equação:
� = �$. Como para qualquer valor de � ∈ ℜ, (negativo, zero, positivo) é possível calcular o valor de �, tem-se: ������ = 2ℜ}
Se � < 0 então � = �$ > 0; se � = 0 então � = 0 e se � > 0 então � > 0. Portanto, � poderá ser zero ou um número positivo, assim:
����� = 2�Pℜ|� ≥ 0} = [0,+∞�
� = −2� − 1 � = 0� = 1� = 2
� = ��−2� = −8� = ��−1� = −1� = ��0� = 0� = ��1� = 1� = ��2� = 8
x3
x3
x3
x3
x3
� = J�-é � = L;��' � = Má��� � = M� '+' � = Ní��
� = ��J�-é� = J � = ��L;��' � = L � = ��Má���� = M � = ��M� '+'� = M � = ��Ní��� = N
� � �
�
Cálculo I - ���������� ℎ� 5
6) Encontre o Domínio e a Imagem da função � que calcula a área de um quadrado.
Chamando o comprimento do lado do quadrado de � e sua área de �, podemos calcular a área de uma seção quadrada como �. � = �$. Assim, a função � pode ser representada pela equação � = ���� = �$.
Só é possível calcular a área � de um quadrado se o tamanho de seus lados for maior do que zero
������ = 2�Pℜ|� > 0} = �0,+∞� Como � é sempre maior do que zero, a área �calculada pela equação � = �$ será sempre um número maior do que zero
����� = 2�Pℜ|� > 0} = �0,+∞� Observe que a função �, que calcula o quadrado de um número, e a função � , que calcula a área de um quadrado, podem ser expressas pela mesma equação � = �$ , porém não são funções iguais, pois seus domínios são diferentes.
OBS: Duas funções �e U são iguais se elas têm o mesmo domínio e se ��V� = U�V� para todo V do domínio.
7) Dada a função �:ℜ → ℜ, definida pela equação ���� =�$ − 8� + 15. Pede-se: �Os valores da imagem da função quando � = 0.
Queremos saber o valor que será encontrado pela função � (valor da variável dependente) quando for atribuído o valor zero para a variável independente �, ou seja, queremos saber o valor de ��0�.
��0� = 0$ − 8.0 + 15 = 15 ;�Os valores de � para os quais a imagem da função é nula
Queremos saber qual o valor de � quando ���� = 0 ���� = �$− 8� + 15 = 0
� = −�−8�±Y�−8�$− 4.1.152 = 8 ± √64 − 60
2 = 8 ± 22
� = 5�*� = 3
<�Os valores de � para os quais a imagem da função é igual a 3, ou seja, ���� = 3 � = ���� = �$ − 8� + 15 = 3 → �$− 8� + 12 = 0 � = −�−8� ±Y�−8�$ − 4.1.12
2 = 8 ± √64 − 482 = 8 ± √16
2 = 8 ± 42
� = 6�*� = 2
Cálculo I - ���������� ℎ� 6
8) Encontre o domínio das funções reais indicadas abaixo:
����� = √3� − 2 +√−� + 4
Devemos ter simultaneamente:
3� − 2 ≥ 0 ∴ � ≥ 23�[1� −� + 4 ≥ 0 ∴ � ≤ 4�[2� ������ = [1 ∩ [2 ∴ ������ = ^� ∈ ℜ| $G ≤ � ≤ 4_
;����� � √� + 2√−� + 4
Devemos ter simultaneamente:
� + 2 ≥ 0 ∴ � ≥ −2�[1� −� + 4 > 0 ∴ � < 4�[2� ������ � [1 ∩ [2 ∴ ������ � 2� ∈ !| − 2 ≤ � < 47
<�� � 2* +*
* + 2
Devemos ter simultaneamente:
* ≠ 0�[1� * + 2 ≠ 0 ∴ * ≠ −2�[2� ������ � [1 ∩ [2 ∴ ������ � ! − 207 − 2−27
,���� � √3 + 2G + √2 − 5 Como o argumento da raiz cúbica pode ser qualquer número real, temos apenas a restrição do argumento da raiz quadrada, ou seja:
2 − 5 ≥ 0 ∴ 5 ≤ 2 ∴ ≤ 25
������ � ^ ∈ !| ≤ $a_
'���A� � √A − 1+ A + 1A − 2
Devemos ter simultaneamente:
A − 1 ≥ 0 ∴ A ≥ 1�[1� A − 2 ≠ 0 ∴ A ≠ 2�[2� ������ � [1 ∩ [2 ∴ ������ � 2A ∈ !|A ≥ 1'A ≠ 27
Cálculo I - ���������� ℎ� 7
9) Encontre o domínio e a imagem das funções reais indicadas abaixo.
�� = �$ + 3�
Substituindo � por qualquer número real obteremos para � um valor real. Portanto, ������ = ℜ'����� = ℜ
;����� = �� − 2
A expressão bbc$ somente terá sentido se � − 2 ≠ 0, ou seja, � ≠ 2
Logo ������ = ℜ− 22} ou ������ = 2� ∈ ℜ|� ≠ 2} Para determinar a imagem a função, devemos investigar quais os valores que a imagem � pode ter. Isolando � tem-se:
� = �� − 2 ∴ �� − 2� = � ∴ �� − � = 2� ∴ � = 2�
� − 1
A expressão $ddce somente terá sentido se � − 1 ≠ 0, ou, � ≠ 1. Portanto, não existe � ∈ ������|� = 1. Logo, ����� = ℜ− 21} ou ����� = 2� ∈ ℜ|� ≠ 1}
<�� = 1�
A expressão eb somente terá sentido se � ≠ 0, logo ������ = ℜ∗, �*,������ = ℜ − 20} Como não existe � ∈ ℜ tal que a expressão eb se anule, ����� = ℜ∗.
,����� = √3� − 2
A expressão √3� − 2 somente terá sentido se 3� − 2 ≥ 0, ou seja, � ≥$G. Logo, ������ = ^� ∈ ℜ|� ≥ $
G_ Como a raiz quadrada de um número é sempre maior ou igual a zero,
����� = ℜg
Cálculo I - ���������� ℎ� 8
2 Gráfico de Funções
O gráfico de uma função � é o conjunto de todos os pares ordenados ��, �� no plano �� tal que �pertence ao ������ e� pertence a �����. Assim, o gráfico de uma função é o conjunto dos pares ordenados ��, �����, pois � = ����. Costuma-se dizer que uma função real a uma variável real gera uma curva em ℜ2. Como não é possível a representação de todos os pontos ��, �����, podemos escolher alguns valores de � pertencentes ao ������ para calcular as correspondentes imagens ����. Representando estes pontos no sistema de coordenadas obtemos o chamado gráfico de dispersão. Se os pontos de dispersão são suficientemente próximos e a forma da função é simples ou conhecidas podemos ligar os pontos do gráfico de dispersão com uma curva, obtendo o gráfico da função.
Análise de gráficos
Através do gráfico da função podemos visualizar seu domínio e sua imagem.
O domínio de uma função é o conjunto das abscissas � dos pontos do gráfico. A imagem da função é o conjunto das ordenadas � dos pontos do gráfico.
Para reconhecer se uma curva representa ou não o gráfico de uma função, basta verificar se qualquer reta paralela ao eixo vertical e que passe por um ponto do domínio encontra a curva em um só ponto. Se esta reta cruza a curva do gráfico em mais de um ponto não é função. Os valores de � para os quais ���� = 0 chamam-se zeros da função f ou raízes da equação ���� = 0. Geometricamente os zeros reais de uma função são as abscissas dos pontos onde o gráfico corta o eixo horizontal. Exemplos: 1) Esboce o gráfico da função � dada pela equação � = �G Inicialmente, construímos uma tabela na qual arbitramos alguns valores para � ∈ ������ e calculamos os valores correspondentes de � = ����. Como ������ = ℜ podemos escolher valores positivos, negativos e o valor nulo para �. A seguir, localizamos os pares ordenados ��, ����� no sistema cartesiano bi-dimensional, obtendo o gráfico de dispersão. Quanto mais pontos forem calculados, melhor será a representação da função. Finalmente, unimos estes pontos, com retas ou curvas suaves, obtendo o esboço do gráfico da função. Devemos também observar o comportamento da função quando a variável independente é muito pequena ou muito grande. No exemplo � = �G, se � tender a um número muito pequeno, � → −∞, � = �G assume valores bem pequenos, � → −∞. Se � tender a um número muito grande, � → +∞, � = �G assume valores muito grandes, � → +∞. Essas informações permitem a representação do comportamento da função em pontos distantes dos pontos da tabela.
Cálculo I - ���������� ℎ� 9
Tabela Gráfico de Dispersão Gráfico da Função
2) Esboce o gráfico das funções indicadas �� = √� ������ = [0,C∞�, ����� � R0,C∞�, se � → C∞então � � √� → C∞.
Tabela Gráfico de Dispersão Gráfico da Função
;���*� � 2*$ ���� � �8∞,C∞������ � R0,C∞�
* 2*$
-2 8
-1 2
0 0
1 2
2 8
� � � ���� -2 f(-2)=-8
-1 f(-1)=-1
0 f(0)=0
1 f(1)=1
2 f(2)=8
� � � ���� 0 g(0)=0
1 g(1)=1
4 g(0)=2
9 g(9)=3
Cálculo I - ���������� �� 10
<����� � �� 8 1�$
���� � �8∞,C∞������ � R0,C∞� � �� 8 1�$ -2 9
-1 4
0 1
1 0
2 1
3 4
,�h��� � √9 8 � 9 8 � Q 0 ∴ � \ 9
��h� � �8∞, 9i���h� � R0,C∞� � √9 8 �
-16 5
-7 4
0 3
5 2
9 0
'���� � Y4 8 $ 4 8 $ Q 0 ∴ $ \ 4 ∴ Y$ \ √4 ∴ || \ 2 ∴ 82 \ \ 2
���� � R82,2i����� � R0,2i √4 8 $ -2 0.00
-1.7 1.05
-1 1.73
0 2.00
1 1.73
1.7 1.05
2 0.00
Cálculo I - ���������� �� 11
������ � ^� C 1-'� Q 01-'� O 0 ���� � �8∞,C∞������ � R1,C∞�
� O 0 ���� � 1
� Q 0 ���� � � C 1
-3 1
0 1
-2 1
1 2
-1 1
2 3
������ � Y�$ 8 1
�$8 1 Q 0 ∴ �$ Q 1 ∴ |�| Q 1 ∴ � Q 1�*� \ 81 ���� � �8∞, 1i ∪ R1,C∞������ � R0,C∞� � Y�$ 8 1 -3 2.83
-2 1.73
-1 0.00
1 0.00
2 1.73
3 2.83
������ � ^2� 8 1-'� ` 20-'� � 2
���� � !����� � ! 8 237
� ` 2 ���� � 2� 81
� � 2 ���� � 0
-2 -5
2 0
-1 -3
0 -1
1 1
1.99 2.98
2.01 3.02
3 5
����A� � YA$ 8 9 A$ 8 9 Q 0 ∴ A$ Q 9 ∴ YA$ Q √9 |A| Q 3 ∴ A Q 3�*A \ 83 ���� � �8∞,83i ∪ R3,C∞������ � R0,C∞�
-5-4
-3-2
-101
234
5
-3 -2 -1 0 1 2 3
Cálculo I - ���������� �� 12
3 Operações com Funções
Tais como os números, que podem ser somados, subtraídos, multiplicados e divididos para produzir outros números, assim também acontece com as funções. Dadas as funções �e � podemos ter as seguintes operações:
a) Soma : ���� � �� C ����� � ���� C ���������� � ������⋂ ������ b) Subtração: ���� � �� 8 ����� � ���� 8 ���������� � ������⋂ ������ c) Multiplicação: ���� � ��.����� � ����. ���������� � ������⋂ ������ d) Divisão: ���� � ��/����� � m�b�n�b� ������ � ������⋂ ������ 8 2� ∈ !|���� � 07 e) Divisão: ���� � ��/����� � n�b�m�b� ������ � ������⋂ ������ 8 2� ∈ !|���� � 07 Graficamente, as ordenadas ���� são obtidas pela soma, diferença, multiplicação ou divisão das ordenadas���� e ����. Exemplos Dadas duas funções � e �, encontre as funções: �� C �; ;�� 8 �; <��. �; ,��/�; '��/� e determine seus domínios. 1) ���� � √5 8 �'���� � √� 8 3 Domínio de �: 5 8 � Q 0 ∴ � \ 5 ∴ ������ � �8∞, 5i Domínio de � : � 8 3 Q 0 ∴ � Q 3 ∴ ������ � R3,C∞� a) ���� � ���� C ���� � √5 8 � C √� 8 3
������ � ������ ∩ ������ � R3,5i
b) ���� � ���� 8 ���� � √5 8 � 8 √� 8 3 ������ � ������ ∩ ������ � R3,5i
Cálculo I - ���������� �� 13
c) ���� � ����. ���� � √5 8 �.√� 8 3 � Y�5 8 ���� 8 3� ������ � ������ ∩ ������ � R3,5i
d����� � ����/���� � √5 8 �√� 8 3 � q�5 8 ��� 8 3
������ � ������ ∩ ������ 82� ∈ !|���� � 07 ���� � 0 ∴ � 8 3 � 0 ∴ � � 3 ������ � ������ ∩ ������ 8237 � �3, 5i
'����� � �������� � √� 8 3√5 8 � � q�� 8 3�5 8 � ������ � ������ ∩ ������ 82� ∈ !|���� � 07 ���� � 0 ∴ 5 8 � � 0 ∴ � � 5 ������ � ������ ∩ ������ 8257 � R3, 5�
2����� � √� 8 4���� � 12 � C 4 � 8 4 Q 0 ∴ � Q 4 ������ � R4,C∞������� � !
����� � √� 8 4 C e$� C 4 ������ � ������ ∩ ������ � R4,C∞�
b����� � √� 8 4 8 e$� 8 4 ������ � ������ ∩ ������ � R4,C∞�
Cálculo I - ���������� �� 14
c����� � r√� 8 4s Ee$� − 4F ������ = ������ ∩ ������ = [4,+∞�
,����� = �������� =
√� − 412 � + 4
������ = ������ ∩ ������ −2� ∈ ℜ|���� � 07 ���� � 0 ∴ 0.5� + 4 = 0 ∴ � = −8 ������ = [4,+∞� − 2−8} = [4,+∞�, pois -8 não está no intervalo [4,+∞�
'����� = �������� =
0.5� + 4√� − 4
������ = ������ ∩ ������ −2� ∈ ℜ|���� � 07 ���� � 0 ∴ √� − 4 � 0 ∴ � � 4
������ � ������ ∩ ������ − 247 � R4, +∞� − 24} = �4,+∞� 3����� = � − 5���� = �$− 1 ������ = ℜ������ = ℜ ����� = ���� + ���� = � − 5 + �$ − 1 = �$+ � − 6
������ = ������ ∩ ������ = ℜ
;����� = ���� − ���� = � − 5 − �$+ 1 = −�$+ � − 4 ������ = ������ ∩ ������ = ℜ
<����� = ����. ���� = �� − 5���$ − 1� = �G−5�$− � + 5 ������ = ������ ∩ ������ = ℜ
,����� = ����/���� = �� − 5�/��$ − 1� ������ = ������ ∩ ������ −2� ∈ ℜ|���� � 07 ���� � 0 ∴ �$ − 1 � 0 ∴ Y�$ � 1 ∴ |�| � 1 ∴ � � ±1 ������ � ������ ∩ ������ − 2±17 � ! − 2−17− 217
'����� � ����/���� � ��$ − 1�/�� − 5�
������ � ������ ∩ ������ −2� ∈ !|���� � 07 ���� � 0 ∴ � − 5 � 0 ∴ � � 5
������ � ������ ∩ ������ − 257 � ! − 257
Cálculo I - ���������� �� 15
4����� = � + 1� − 1 ���� =
1�
������:� − 1 ≠ 0 ∴ � ≠ 1 ∴ ������ = ℜ− 21} ������:� ≠ 0 ∴ � ≠ 0 ∴ ������ = ℜ − 20}
����� = ���� + ���� = � + 1� − 1 +
1� =
�$ + 2� − 1�$− �
������ = ������ ∩ ������ = ℜ − 20} − 21}
;����� = ���� − ���� = � + 1� − 1 −
1� =
�$+ 1�$− �
������ = ������ ∩ ������ = ℜ − 20} − 21}
<����� = ����. ���� = =� + 1� − 1>=1�> =
� + 1�$− �
������ = ������ ∩ ������ = ℜ − 20} − 21}
,����� = �������� =
E� + 1� − 1FE1�F
= =� + 1� − 1> . E
�1F =
�$ + �� − 1
������ = ������ ∩ ������ −2� ∈ ℜ|���� � 07 ���� � 1� � 0 → � = ±∞ ������ = ������ ∩ ������ = ℜ − 20} − 21}
'����� = �������� =
1�� + 1
� − 1==1�> =
� − 1� + 1> =
� − 1�$ + �
������ = ������ ∩ ������ −2� ∈ ℜ|���� � 07 ���� � � + 1� − 1 � 0 →
� + 1� − 1 = 0 → � + 1 = 0� = −1
������ = ������ ∩ ������ − 2−1} = ℜ − 20} − 21} − 2−1}
Cálculo I - ���������� �� 16
4 Função Composta
Sejam três conjuntos distintos �, � e � que entre eles existam as seguintes funções: �: � → �'�: � → � Irá existir uma outra função ℎ ∶ � → � tal que ℎ��� = ������� que é chamada de função composta de � e � denotada por �� ∘ �����.
Exemplo:
Sejam três conjuntos � = 2−3, 0, 1, 3},� = 2−5, 1, 3, 7}'� = 225,1, 9, 49}e as funções �: � → � tal que ���� = 2� + 1 e �: � → � tal que ���� = �$ , conforme indicado no esquema abaixo.
Para cada elemento de � existe um elemento em � tal que ���� = 2� + 1 e para cada elemento de � existe um elemento de � tal que ���� = �$. Podemos concluir que existe uma função ℎ: � → � definina por ℎ��� = �������, ou seja: ℎ��� = �r����s = r����s$ = �2� + 1�$ ou ℎ��� = �r����s = ��2� + 1� = �2� + 1�$
ℎ�3� = �r��−3�s = ��−5� = 25 ℎ�0� = �r��0�s = ��1� = 1 ℎ�1� = �r��1�s = ��3� = 9 ℎ�3� = �r��3�s = ��7� = 49
-3
0
1
3
-5
1
3
7
� -5
1
3
7
25
1
9
49
�
� � � �
-3
0
1
3
-5
1
3
7
25
1
9
49
� � � � �
ℎ
Cálculo I - ���������� �� 17
Na função composta � ∘ �, resolvemos primeiro a função interna �, ao resultado, ou seja, à imagem de � aplicamos a função � . Assim, o domínio de �� ∘ ����� é o conjunto de todos os elementos � no domínio da função � tal que ���� esteja no domínio da função �. ����� ∘ �� � 2� ∈ ������|���� ∈ ������} Na função � ∘ �, resolvemos primeiro a função interna �, ao resultado, ou seja, à imagem de � aplicamos a função �. Assim, o domínio de �� ∘ ����� é o conjunto de todos os elementos � no domínio de � tal que ���� esteja no domínio de �.
����� ∘ �� = 2� ∈ ������|���� ∈ ������} É importante lembrar que as função � ∘ � e � ∘ � são geralmente diferentes.
Exemplos:
1) Dadas as funções ���� = �$ e ���� = √�, encontre a função indicada e seu domínio.
������ = ℜ; ������ = ℜg = [0,+∞� ��� ∘ �����
�� ∘ ����� = �r����s = Y���� = Y�$ ����� ∘ �� = 2� ∈ ������|���� ∈ ������} ����� ∘ �� = 2� ∈ ℜ|�2 ∈ [0,+∞�} Como para todo� ∈ ℜ, �$ ∈ [0,+∞� ����� ∘ �� = 2� ∈ ℜ} = ℜ
;��� ∘ ����� �� ∘ ����� = �r����s = ������$ = r√�s$ ����� ∘ �� = 2� ∈ ������|���� ∈ ������} ����� ∘ �� = 2� ∈ [0,+∞�|√� ∈ ℜ} Como para todo � ≥ 0, √� ∈ ℜ
����� ∘ �� = 2� ∈ [0,+∞�}= ℜ+
<��� ∘ ����� = �r����s = r����s$ = ��$�$ = �B ����� ∘ �� = 2� ∈ ������|���� ∈ ������} ����� ∘ �� = 2� ∈ ℜ|�$ ∈ ℜ} Como para todo � ∈ ℜ, �$ ∈ ℜ
����� ∘ �� = 2� ∈ ℜ} = ℜ ,��� ∘ ����� = �r����s = Y���� = w√�
����� ∘ �� = 2� ∈ ������|���� ∈ ������} ����� ∘ �� = 2� ∈ [0,+∞�|√� ∈ [0,+∞�} Como para todo� ≥ 0, √� ≥ 0 ����� ∘ �� = 2� ∈ [0,+∞�} = ℜg
Cálculo I - ���������� �� 18
2) Dadas as funções ���� � √� e���� � �$ 8 1, encontre a função indicada e seu domínio.
������ = ℜg = [0,+∞�; ������ = ℜ
�� ∘ � = �r����s = Y���� = Y�$− 1 ����� ∘ �� = 2� ∈ ������|���� ∈ ������} ����� ∘ �� = 2� ∈ ℜ|��$− 1� ∈ [0,+∞�} O domínio é todo � ∈ ℜ com a restrição de (�$ − 1� ≥ 0
�$− 1 ≥ 0 ∴ �$ ≥ 1 ∴ Y�$ ≥ 1 ∴ |�| ≥ 1 ∴ � ≥ 1�*� ≤ −1
����� ∘ �� = 2� ∈ ℜ|� ≥ 1�*� ≤ −1} = �−∞, −1i∪ [1,+∞�
;�� ∘ � = �r����s = ������$ − 1 = r√�s$ − 1 ����� ∘ �� = 2� ∈ ������|���� ∈ ������} ����� ∘ �� = 2� ∈ [0,+∞�|√� ∈ ℜ} Como para todo� ≥ 0, √� ≥ 0 ����� ∘ �� = 2� ∈ [0,+∞�} = ℜg
<�� ∘ � = �r����s = Y���� = w√�
����� ∘ �� = 2� ∈ ������|���� ∈ ������} ����� ∘ �� = 2� ∈ [0,+∞�|√� ∈ [0,+∞�} Como para todo� ≥ 0, √� ≥ 0 ����� ∘ �� = 2� ∈ [0,+∞�} = ℜg
,�� ∘ � = �r����s = ������$ − 1 = ��$− 1�$ − 1
����� ∘ �� = 2� ∈ ������|���� ∈ ������} ����� ∘ �� = 2� ∈ ℜ|��$− 1� ∈ ℜ} Como para todo� ∈ ℜ, ��$ − 1� ∈ ℜ
����� ∘ �� = 2� ∈ ℜ} = ℜ
Cálculo I - ���������� �� 19
3) Dadas as funções ���� � √� 8 2 e���� = �$− 2, encontre a função indicada e seu domínio.
������ = [2,+∞�; ������ = ℜ
�� ∘ � = �r����s = Y���� − 2 = Y�$− 2− 2 = Y�$− 4
����� ∘ �� = 2� ∈ ������|���� ∈ ������} ����� ∘ �� = 2� ∈ ℜ|��$− 2� ∈ [2,+∞�} O domínio é todo � ∈ ℜ com a restrição de (�$ − 2� ≥ 2 �$− 2 ≥ 2 ∴ �$− 2 − 2 ≥ 0 ∴ �$ ≥ 4 ∴ |�| ≥ 2 ∴ � ≥ 2�*� ≤ −2
����� ∘ �� = 2� ∈ ℜ|� ≥ 2�*� ≤ −2}= �−∞,−2i ∪ [2,+∞�
;�� ∘ � = �r����s = r����s$ − 2 = r√� − 2s$ − 2
����� ∘ �� = 2� ∈ ������|���� ∈ ������} ����� ∘ �� = 2� ∈ [2,+∞�|√� − 2 ∈ ℜ} O domínio é todo � ≥ 2 com a restrição de √� − 2 ∈ ℜ
Para √� − 2 ser número real, devemos ter:� − 2 ≥ 0 ∴ � ≥ 2 ����� ∘ �� = 2� ∈ [2,+∞�|� ∈ [2,+∞�} ����� ∘ �� = 2� ∈ [2,+∞�}
<�� ∘ � = �r����s = Y���� − 2 = w√� − 2 − 2 ����� ∘ �� = 2� ∈ ������|���� ∈ ������} ����� ∘ �� = 2� ∈ [2,+∞�|√� − 2 ∈ [2,+∞�} O domínio é todo � ≥ 2 com a restrição de √� − 2 ≥ 2 √� − 2 ≥ 2 ∴ � − 2 ≥ 4 ∴ � ≥ 6 ����� ∘ �� = 2� ∈ [2,+∞�|� ∈ [6,+∞�} ����� ∘ �� = [2,+∞�⋂[6,+∞� ����� ∘ �� = [6,+∞�
,�� ∘ � = �r����s = r����s$− 2 = ��$− 2�$ − 2
����� ∘ �� = 2� ∈ ������|���� ∈ ������} ����� ∘ �� = 2� ∈ ℜ|��$− 2� ∈ ℜ} Como para todo� ∈ ℜ, ��$ − 2� ∈ ℜ
����� ∘ �� = 2� ∈ ℜ} = ℜ
Cálculo I - ���������� �� 20
4) Dadas as funções ���� � 1 − �G e���� = eb encontre a função indicada e seu
domínio.
������ = ℜ; ������ = ℜ− 20} = ℜ∗ �� ∘ � = �r����s = 1
���� =1
1 − �G ����� ∘ �� = 2� ∈ ������|���� ∈ ������} ����� ∘ �� = 2� ∈ ℜ|�1− �G� ∈ ℜ∗} O domínio é todo � ∈ ℜ com a restrição de �1− �3� ∈ ℜ∗ r1 − �3s ∈ ℜ∗ ∴ 1 − �3 ≠ 0 ∴ �G ≠ 1 ∴ � ≠ 1 ����� ∘ �� = 2� ∈ ℜ|� ≠ 1} = ℜ − 21}
;�� ∘ � = �r����s = 1���� =
11�= �
����� ∘ �� = 2� ∈ ������|���� ∈ ������} ����� ∘ �� = 2� ∈ ℜ∗| 1� ∈ ℜ∗} Como para todo � ≠ 0, 1/� ≠ 0 ����� ∘ �� = 2� ∈ ℜ∗} = ℜ − 20}
5) Considere uma placa metálica de seção quadrada que, devido à variação térmica, os comprimentos de seus lados aumentam com a temperatura de acordo com a equação x = 0,1 + 10, onde x é o comprimento do lado do quadrado (em <�) e é a temperatura (em �y ). Qual a área da placa quando a temperatura for de 0 �y , 10 �y , 20 �y e 30 �y ? O comprimento x dos lados da placa depende da temperatura de acordo com a equação:
x = 0,1 + 10 ∴ x = ���, o comprimento do lado é função da temperatura
A área da placa � depende do comprimento de seus lados de acordo com a equação:
� = x$ ∴ � = ��x�, a área é função do comprimento.
� = ��x� = �r���s = �� ∘ ���� � = x$ = �����$ = �0,1 + 10�$ Quando = 0 �y → � = �0,1. 0 + 10�$ = �10�$ = 100<�$ Quando = 10 �y → � =�0,1.10 + 10�$ = �11�$ = 121<�$ Quando = 20 �y → � =�0,1.20 + 10�$ = �12�$ = 144<�$ Quando = 30 �y → � =�0,1.30 + 10�$ = �13�$ = 169<�$