1. Electromagnetismo - 2004 1-1 Juan C. Fernndez - Departamento de Fsica Facultad de Ingeniera Universidad de Buenos Aires www.fi.uba.ar Introduccin En este Captulo haremos una introduccin general a los problemas que se desarrollarn a lo lar- go del texto. Muchas descripciones sern necesariamente cualitativas ya que los detalles y apli- caciones a la ingeniera sern material de Captulos posteriores. El electromagnetismo ha sido la base de la llamada Segunda Revolucin Industrial, fundamen- talmente en los aspectos de la conversin electromecnica de energa y las comunicaciones. Ac- tualmente las aplicaciones electromagnticas dominan toda la tcnica moderna y la miniaturiza- cin y creciente velocidad de los circuitos electrnicos hacen cada vez ms necesaria la modela- cin de estos fenmenos mediante la teora de campos. El electromagnetismo es una teora de campos, es decir, las explicaciones y predicciones que provee se basan en magnitudes fsicas cuya descripcin matemtica son campos vectoriales de- pendientes de la posicin en el espacio y del tiempo. La caracterstica vectorial dificulta nota- blemente las resolucin de las ecuaciones que describen el comportamiento, por lo que se trata en la medida de lo posible de simplificar el problema a ecuaciones escalares, y si no es posible, se utilizan sofisticados mtodos numricos que han explotado en nmero y variedad en los lti- mos aos. Este texto presentar formulaciones analticas en casos simples que brindan un tras- fondo conceptual y modelos simplificados cuando sea posible, y finalmente daremos una breve introduccin a los mtodos numricos de mayor uso en bajas y altas frecuencias. El objetivo es que el lector adquiera la comprensin conceptual de los problemas que deber enfrentar en aplicaciones de la ingeniera electromagntica as como las herramientas de modela- cin ms adecuadas para las variadas situaciones. Por otra parte, se dar nfasis a las aplicacio- nes a la ingeniera y, cuando sea el caso, a las normas de diseo y seguridad vigentes en la explo- tacin de sistemas y equipos electromagnticos. Una vez analizados los modelos y problemas generales, cada Captulo siguiente analizar en detalle teora, modelos y aplicaciones en cada caso particular, desde los casos ms sencillos hasta los ms elaborados. Esta organizacin permite profundizar en los temas de mayor inters y pasar por alto temas y aplicaciones que no son prioritarios, y al lector, una vez que ha dominado las ideas fundamentales, estudiar en detalle las aplicaciones de su inters. As, una primera parte se ocupa de los campos estticos y/o de baja frecuencia, que pueden mo- delarse mediante circuitos de constantes concentradas, una segunda parte presenta teora y apli- caciones de los sistemas descriptos por circuitos de parmetros distribuidos (lneas de transmi- sin) y una tercera parte presenta los sistemas donde es necesaria la teora de campos, como la propagacin libre y guiada y la generacin de ondas electromagnticas. Finalmente se destina un ltimo Captulo a problemas de compatibilidad electromagntica y a analizar los posibles riesgos de los campos electromagnticos sobre la salud humana. 1 - Ecuaciones de Maxwell

2. Electromagnetismo - 2004 1-2 Juan C. Fernndez - Departamento de Fsica Facultad de Ingeniera Universidad de Buenos Aires www.fi.uba.ar Ecuaciones de Maxwell Todos los fenmenos electromagnticos clsicos (no cunticos) se pueden describir a partir de las ecuaciones de Maxwell1 : donde generalmente las incgnitas son los campos vectoriales: o E: campo elctrico (V/m), o D: campo de desplazamiento (C/m2 ), o H: campo magntico(A/m) y o B: campo de induccin magntica (T). Estos campos conforman el campo electromagntico. Las dos ecuaciones del rotor (Faraday y Maxwell-Ampre) aseguran que hay una dependencia mutua entre campos elctricos y magn- ticos variables en el tiempo, de manera que en este caso ambos campos estn interrelacionados. Slo en el caso de campos estticos (que no varan en el tiempo) campo elctrico y magntico son independientes entre s. Llamamos fuentes de campo a los sistemas fsicos que crean campos en el espacio. En el caso electromagntico, cargas y corrientes elctricas crean campo2 . En las ecuaciones de Maxwell las fuentes de campo son entonces: o : la densidad de carga elctrica (C/m3 ) y o j: la densidad de corriente (A/m2 ). En nuestra descripcin consideramos a cargas y corrientes como funciones continuas de la posi- cin. Sin embargo, se conoce que la carga elctrica se presenta en unidades elementales (a las energas de inters en las aplicaciones tecnolgicas actuales) cuyo valor es la carga del electrn: Ce 19 10602.1 Esta estructura granular de la carga elctrica no admitira la descripcin de su distribucin como una funcin continua de la posicin, pero la extrema pequeez de los portadores elementales de carga, en relacin al tamao de los objetos de inters tecnolgico, permite usar funciones conti- nuas entendidas como un promedio sobre un gran nmero de entes discretos, en volmenes pe- queos frente al tamao de esos objetos, pero grandes en relacin al tamao de los portadores de carga elementales. Podemos escribir entonces: ( ) ( )etNt ,, rr = donde N(r,t) es el nmero de portadores ele- mentales de carga por unidad de volumen. El mismo razonamiento se aplica a las funciones continuas que describen la distribucin de co- rrientes, que son en ltima instancia grupos de cargas elementales en movimiento. Todas las cantidades que intervienen en las ecuaciones de Maxwell se describen, entonces y en general, como funciones de la posicin espacial y del tiempo. 1 En el Apndice 1 se presenta un resumen de los operadores vectoriales usados en las ecuaciones de Maxwell. 2 Hay otras fuentes de campo electromagntico que no se describen en las ecuaciones de Maxwell ya que dependen de fenmenos no electromagnticos "puros", como bateras, pilas solares, etc. ),(),( tt rrD = (ley de Gauss elctrica) 0),( = trB (ley de Gauss magntica) 0),(),( = + t t t rBrE (ley de Faraday) ),(),(),( tt t t rjrDrH = (ley de Maxwell-Ampre) 3. Electromagnetismo - 2004 1-3 Juan C. Fernndez - Departamento de Fsica Facultad de Ingeniera Universidad de Buenos Aires www.fi.uba.ar Este es un conjunto de ecuaciones diferenciales vectoriales lineales acopladas inhomogneas. En general su resolucin es bastante difcil, por lo que gran parte de nuestra presentacin se de- dicar a presentar modelos simplificados que permitan soluciones sencillas. Una primera propiedad que se deduce de las ecuaciones de Maxwell es que las fuentes de campo (cargas y corrientes) estn generalmente ligadas entre s. Si tomamos la divergencia de la ley de Maxwell-Ampre obtenemos: ( ) == ),(),(),(),(),(),( t t tttt t t rDrHrjrjrDrH Pero la divergencia de un rotor siempre es cero, con lo que queda: = ),(),( t t t rDrj La expresin del segundo miembro dice que hay que realizar primero la derivada temporal de D y luego las derivadas espaciales. Pero como el tiempo y las variables espaciales son independien- tes entre s se puede cambiar el orden de la derivacin: ( )),(),( t t t rDrj = Usamos ahora la ley de Gauss elctrica para escribir: ( )),(),( t t t rrj = de donde finalmente nos queda la llamada ecuacin de continuidad: 0=+ tj Esta ecuacin indica que las fuentes de campo (cargas y corrientes elctricas) estn interrelacio- nadas en el caso dependiente del tiempo. Como veremos en el Captulo de corrientes elctricas, esta ecuacin representa el principio de conservacin de la carga elctrica. Soluciones de las ecuaciones de Maxwell. Potenciales retardados En el vaco es posible hallar una solucin general de las ecuaciones de Maxwell en trminos de los potenciales electrodinmicos o potenciales retardados vectorial A y escalar 3 , que se pue- den deducir de las ecuaciones de Maxwell: Estos potenciales no son independientes entre s4 , sino que estn relacionados por la llamada condicin de Lorentz: 0 1 00 = + t A Con la introduccin de los potenciales electrodinmicos, las ecuaciones de Maxwell llevan a las siguientes ecuaciones de onda vectoriales inhomogneas: donde 001 =c . Estas ecuaciones tienen las soluciones particulares: La figura ilustra el significado de los smbolos. Los campos se miden u observan en el punto campo, definido por sus coordenadas espacio-temporales (r, t), mientras que las integrales se 3 Captulo 10. 4 Esta relacin surge de la relacin entre las fuentes de campo, que se explicita en la ecuacin de continuidad. ),(),(),(),(),( ttt t tt rArBrArrE = = ),(),( 1 ),( ),( ),( 1 ),( 02 2 2 2 0 2 2 2 2 tt tc t t t tc t rjrArA r rr = = = = VV Vd R t tVd R t t ),( 4 ),( ),( 4 1 ),( 0 0 rj rA r r 4. Electromagnetismo - 2004 1-4 Juan C. Fernndez - Departamento de Fsica Facultad de Ingeniera Universidad de Buenos Aires www.fi.uba.ar En la representacin en el dominio del tiempo campos y fuentes dependen de la posicin y del tiempo: ),,,(),( tzyxFtFF == r realizan sobre los puntos fuentes, de coordenadas (r', t'). Se usa esta doble notacin porque el denominador de los integrandos usa la distancia entre punto fuente y punto campo rrR ==R . La particularidad fundamental de estas expresiones es que el tiempo en el punto fuente y el tiempo en el punto campo no son iguales: cRtt /= . Por lo tanto, las variaciones en la fuente en el instante t' se reflejan en un instante pos- terior t en el campo observado. Hay un retardo entre causa y efecto, por lo que estos potenciales se llaman po- tenciales retardados. Este retardo se explica por el prin- cipio de que existe una velocidad mxima de propagacin de las interacciones (principio de relatividad), que es la velocidad de la luz en el vaco. El intervalo cRt /= es el tiempo que tarda la interaccin en trasladarse desde el punto fuente al punto campo. Maxwell obtuvo este resultado en 1864 y como smc /1031 8 00 = , que es un valor similar al valor medido de la velocidad de la luz en el vaco, formul la tesis que la luz era un fenmeno electromagntico, tesis recin corroborada experimentalmente por Hertz en 1887. El retardo de tiempo entre la seal fuente y el campo producido es un hecho fundamental en la modelacin de los fenmenos de radiacin, como se muestra en el Captulo 10. El modelo de campo presentado en esta seccin es el modelo ms general, aplicable a todas las situaciones5 , aunque en situaciones prcticas slo es posible obtener las soluciones mediante mtodos numricos. Representacin en los dominios del tiempo y de la frecuencia Las soluciones de las ecuaciones de Maxwell son campos vectoriales cuyas componentes son funciones de la posicin y del tiempo. Decimos en este caso que los campos estn representados en el dominio del tiempo: donde F es una componente cualquiera de los campos. Debido a que las ecuaciones de Maxwell son lineales, una forma de simplificar su resolucin es utilizar la representacin en el dominio de la frecuencia. En esta tcnica se usa la representacin de Fourier6 (transformada de Fou- rier) de las componentes de los campos: 5 Eventualmente en medios donde los parmetros dependen de la frecuencia se desarrolla la funcin temporal fuente en una integral de Fourier y se calculan los campos para cada armnica, como se describe en la siguiente seccin. 6 En el Apndice 1 se presenta un breve resumen sobre sistemas lineales y la representacin de Fourier. = detFtF ti ),(),(),(),( rrrr r r R (r,t) V (r',t') Punto fuente y punto campo La notacin de punto fuente (posicin donde hay fuente de campo - va- riables primadas descriptas por el vector posicin r') y punto campo (posicin donde se desea calcular el campo - variables no primadas des- criptas por el vector posicin r) que introdujimos en esta seccin es bsi- ca en muchos clculos del electromagnetismo y ser usada consecuente- mente a lo largo del texto. 5. Electromagnetismo - 2004 1-5 Juan C. Fernndez - Departamento de Fsica Facultad de Ingeniera Universidad de Buenos Aires www.fi.uba.ar (salvo un factor de normalizacin). Se ve fcilmente que: ),(),(),( rrr i t F tF y las ecuaciones de Maxwell quedan: donde todos los campos son las transformadas de los campos electromagnticos. Como el con- texto evita habitualmente confusiones, usamos la misma notacin para el campo en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia. Parmetros dependientes de la frecuencia En la representacin en el dominio de la frecuencia es posible establecer otras relaciones entre los campos que simplifican la resolucin. Estas relaciones se denominan leyes o relaciones constitutivas y dependen del medio en el que se desarrollan los fenmenos y de la frecuencia: En general estos parmetros son tensores (matrices) que relaciones dos campos vectoriales, de- pendientes de la posicin en medios inhomogneos y de la direccin en el espacio para medios anistropos. En este texto analizaremos fundamentalmente medios istropos y que se pueden dividir en regiones macroscpicas donde las propiedades son homogneas. En estos casos los parmetros materiales se reducen a escalares funciones de la frecuencia7 . Un caso particular importante es el medio vaco (el aire puede considerarse como vaco, desde el punto de vista electromagntico) donde los parmetros constitutivos son constantes: = 0 8.8510-12 F/m = 0 = 410-7 Hy/m = 0 lo que simplifica an ms la resolucin de las ecuaciones de Maxwell. Con estas relaciones, y si se conocen las fuentes, las ecuaciones de Maxwell tienen dos incgni- tas: el campo E y el campo H. Las aplicaciones de las ecuaciones de Maxwell pueden clasificar- se en dos tipos: o dadas las fuentes, hallar los campos (problema directo); o dados los campos, hallar las fuentes (problema inverso). Los problemas directos son los ms comunes y sencillos para resolver, y surgen en todo tipo de situaciones tecnolgicas. Los problemas inversos ocurren en situaciones donde se desea hallar la fuente de perturbaciones y son habitualmente mucho ms difciles que los problemas directos. 7 Analizamos algunos modelos sencillos de la respuesta de medios materiales a los campos electromagnticos en el Captulo 8, modelos que llevan a parmetros dependientes de la frecuencia. D(r,) = (r,) B(r,) = 0 E(r,) + iB(r,) = 0 H(r,) - iD(r,) = j(r,) D(r,) = E(r,) : permitividad (dielctrica) j(r,) = E(r,) : conductividad B(r,) = H(r,) : permeabilidad (magntica) 6. Electromagnetismo - 2004 1-6 Juan C. Fernndez - Departamento de Fsica Facultad de Ingeniera Universidad de Buenos Aires www.fi.uba.ar Fasores La integral de Fourier representa la superposicin o adicin de un nmero indefinido de funciones armnicas elementales (r,) eit . Para distintos valores de estas funciones son independientes y ortogonales, porque forman un conjunto base (ver el Apndice 1). Cada uno de estos trminos es en general una cantidad compleja, pero su suma debe ser real porque lo es la funcin original. Por la linealidad de las ecuaciones de Maxwell y de la mayora de las operaciones realizadas sobre los campos8 es posible escribir, para la aplicacin de un operador lineal a la funcin en el dominio del tiempo: [ ] [ ] == 00 dedetF titi ),(),(),( rrr de donde vemos que: En el caso de una operacin lineal, la representacin de Fourier nos permite trabajar con cada armnica de la representacin por separado y al final recomponer por superposicin el resultado, lo que habitualmente simplifica notablemente los clculos. Esto lleva a que el anlisis de las propiedades de las seales armnicas sea de inters y ser el tipo de seales que usaremos en el texto con mayor frecuencia. En la electrotecnia se denomina fasores a las funciones armnicas, porque se las puede pensar como un cantidad cuya fase vara en el tiempo. Por ejemplo: )cos()( 00 += tgtg representa un fasor de amplitud g0 y fase inicial 0. Podemos pensar que el fasor se mueve en un plano complejo, de modo que las proyecciones so- bre el eje real y el eje imaginario son, respectivamente: += += = + )sen()](~Im[ )cos()](~Re[ )(~ 00 00)( 0 0 tgtg tgtg egtg ti Luego se ve que: )](~Re[)( tgtg = . En muchas aplicaciones de los fasores se deben aplicar sobre ellos operadores lineales. Como para dos complejos cualesquiera, ( ) ( ) ( )2121 ReReRe zzzz +=+ se puede operar con los fasores y tomar la parte real para reconstruir las funciones fsicamente significativas al final de la opera- cin. Como los fasores tiene exponenciales complejas, es ms fcil generalmente trabajar con ellas que con las operaciones trigonomtricas asociadas a las funciones originales. Sin embargo: Promedio temporal En muchas ocasiones la cantidad fsicamente significativa es el promedio temporal o valor 8 Existe la muy importante excepcin de los clculos que involucran potencia y energa, que son productos de cam- pos y por lo tanto operaciones no lineales. la aplicacin de un operador lineal a la funcin en el dominio del tiempo equivale a la superposicin de la aplicacin del operador a las armnicas de la representacin. La suma algebraica, la derivacin y la integracin son operaciones lineales y en ellas se pueden usar fasores. El producto de dos funciones no es una ope- racin lineal, y por lo tanto se debe trabajar desde el principio con la forma real de las funciones. g0 0 t+0 Re Im 7. Electromagnetismo - 2004 1-7 Juan C. Fernndez - Departamento de Fsica Facultad de Ingeniera Universidad de Buenos Aires www.fi.uba.ar medio de las magnitudes en estudio: Se puede demostrar que, para dos funciones armnicas de igual frecuencia representadas por fasores: { }ti eftf = 0Re)( y { }ti egtg = 0Re)( el promedio temporal es: Para demostrar esta propiedad consideremos dos funciones armnicas de igual frecuencia: { }ti eftf = 0Re)( y { }ti egtg = 0Re)( que expresamos por los fasores ti eftf = 0 ~ )( w y ti egtg = 0 ~)(~ , respectivamente, donde sobreen- tendemos que se debe tomar la parte real. Las cantidades 0 ~ f y 0 ~g son generalmente complejas a fin de introducir un eventual ngulo de fase inicial. Queremos calcular el valor medio temporal del producto )()( tgtf , que es: >=< T dttgtf T fg 0 )()( 1 con = /2T Podemos escribir la parte real de los fasores como: { } [ ]tititi efefeftf +== * 000 2 1 Re)( Luego: [ ][ ] ++=>=< T titititi T dtegegefef T dttgtf T fg 0 * 00 * 00 0 4 1 )()( 1 y tenemos: [ ] +++>=< T titi dtegfgfgfegf T fg 0 2* 0 * 00 * 0 * 00 2 00 4 1 Las integrales que tienen los factores exponenciales tienen valor medio cero, y entonces: [ ] { } { }0 * 0 * 000 * 0 * 00 Re 2 1 Re 2 1 4 1 gfgfgfgffg ==+>=< que es lo que queramos demostrar. Ejemplo 1-1: La tensin sobre una carga tiene una dependencia temporal: )/2cos()( 0 TtVtV = con t en s. a) Calcular el valor medio de la tensin sobre la carga. b) Cal- cular el valor medio de la potencia disipada en la carga. a) Para calcular el valor medio de la tensin dato usamos su definicin: 0)/2cos( 1 )( 1 0 0 0 ==>=< TT dtTtV T dttV T V ya que la integral del coseno sobre un periodo completo es cero. b) La potencia instantnea disipada en la carga es: )/2(cos )( )( 2 2 0 2 Tt R V R tV tP == Y la potencia media puede calcularse mediante definicin o usando la notacin fasorial. Por definicin: [ ] { } { }0 * 0 * 000 * 0 * 00 0 Re 2 1 Re 2 1 4 1 )()( 1 gfgfgfgfdttgtf T fg T ==+=>=< o Si f(t) es una funcin peridica de periodo T, definimos el valor medio como: >=< T dttf T f 0 )( 1 o Si f(t) es una funcin no peridica, definimos el valor medio como: >=< T T dttf T f 0 )( 1 lim 8. Electromagnetismo - 2004 1-8 Juan C. Fernndez - Departamento de Fsica Facultad de Ingeniera Universidad de Buenos Aires www.fi.uba.ar ==>=< TTT dtTt RT V dtTt R V T dttP T P 0 2 2 0 0 2 2 0 0 )/2(cos)/2(cos 1 )( 1 Si hacemos el cambio de variables: u = 2t/T du = 2 dt/T nos queda: R V R V R V duu T RT V P ef 22 0 2 0 2 0 2 2 0 22 )(cos 2 ===>=< donde hemos definido la tensin eficaz: 2/0VVef = Para usar la notacin fasorial, escribimos la tensin en forma fasorial: { } ftifti eVeVetV 2 0 2 0)( == donde sobreentendemos que debe tomarse la parte real. Usando esta notacin podemos escribir: { } { } { } R V Ve R eVeVe R VVe R P ftifti 22 1 2 1 2 1 2 02 0 2* 0 2 0 * ====>< ya que V0 es real. Se ve que obtenemos el mismo valor que antes, como debe ser. Entornos de modelacin en el dominio de la frecuencia Las ecuaciones de Maxwell y sus soluciones generales permiten describir cualquier problema electromagntico, pero la resolucin prctica de estas soluciones es difcil y habitualmente no es posible obtener soluciones analticas. Por otra parte, el mismo nivel de generalidad de este anlisis esconde a veces las caractersticas fundamentales de los fenmenos que son las que habitualmente importan desde el punto de vista del anlisis y diseo en la ingeniera. Por ello se introducen, cuando es posible, modelos que lle- van a simplificar el tratamiento matemtico y a enfatizar las propiedades esenciales del compor- tamiento del fenmeno en estudio. La modelacin en el dominio de la frecuencia es la tcnica ms usada por su sencillez conceptual y matemtica. El comportamiento de los sistemas en distintas frecuencias lleva a los paradigmas usuales en la ingeniera elctrica. Siempre debe tenerse en cuenta que el modelado en el dominio de la frecuencia describe el comportamiento dominante en un cierto ancho de banda, pero tal modelo no es universal y puede ser inaplicable si cambia la frecuencia de los fenmenos o se generan fenmenos no deseados por interferencia o inexactitudes del diseo. Por ejemplo, un circuito cuyo objetivo es amplificar seales de audio se disear aplicando el modelo circuital cuasi-estacionario que describimos ms abajo, pero la eventual presencia de oscilaciones de alta frecuencia por caminos de realimentacin no puede describirse mediante este modelo. Veremos a lo largo del texto tres entornos de modelado fundamentales de los fenmenos elec- tromagnticos: el modelo o entorno cuasi-esttico (bajas frecuencias), que puede describirse mo- delando al sistema mediante un circuito de parmetros concentrados, el modelo de parmetros distribuidos y finalmente el modelo de campos. A continuacin describimos las caractersticas esenciales de cada modelo. Caso esttico Consideramos primero como introduccin el caso esttico puro: los campos y sus fuentes no dependen del tiempo. Se trata de distribuciones de cargas en reposo9 y corrientes estacionarias o continuas. Las ecuaciones de Maxwell se escriben en este caso: 9 En reposo en un sistema de referencia inercial. 9. Electromagnetismo - 2004 1-9 Juan C. Fernndez - Departamento de Fsica Facultad de Ingeniera Universidad de Buenos Aires www.fi.uba.ar y se ve que los campos elctrico y magntico estn desacoplados. La mutua dependencia que surge de las leyes de Faraday y de Maxwell-Ampre slo opera cuando los campos dependen del tiempo. El campo elctrico (electrosttico) depende solamente de la distribucin de cargas y el campo magntico (magnetosttico) depende solamente de la distribucin de corrientes (estacio- narias o continuas). En el caso general estas distribuciones estn acopladas entre s por la ecua- cin de continuidad, pero en el caso esttico no: En trminos de los potenciales electrodinmicos, los campos se pueden escribir como: y los potenciales electrodinmicos se convierten en los correspondientes potenciales estticos: Obsrvese que toda referencia al tiempo se ha eliminado y ya no existe retardo entre la fuente y el campo. Existe una accin a distancia instantnea. Por otra parte, al estar desvinculadas las distribuciones de cargas y corrientes, estos potenciales estticos son independientes, como lo son los campos entre s. De estas ecuaciones surgen las propiedades de los circuitos elctricos elementales de corriente continua, como veremos en el Captulo 2. Modelo cuasi-esttico o cuasi-estacionario La teora de circuitos es sencilla, fcil de visualizar y ha sido durante aos el paradigma bsico del anlisis de los equipos electrnicos. Pero slo es rigurosamente vlida para frecuencia cero (fenmenos estticos o estacionarios). Para fenmenos variables en el tiempo se requiere el anlisis de campos con los potenciales retardados, las corrientes dejan de ser estacionarias, y las reglas de Kirchhoff dejan de cumplirse. Sin embargo, podemos pensar que para frecuencias muy bajas el comportamiento de los sistemas no debe diferir demasiado del comportamiento a corriente continua, y que el pasaje de los fenmenos circuitales puros a los fenmenos de radia- cin debe ser gradual y paulatino a medida que aumenta la frecuencia. Este razonamiento nos lleva a analizar el caso cuasi-esttico o cuasi-estacionario, donde la frecuencia es tan baja que podemos aproximar las ecuaciones de Maxwell a su formato estti- co/estacionario, pero conservando la dependencia temporal: Obsrvese que ha desaparecido la distincin entre tiempo fuente y tiempo campo, es decir que en la aproximacin cuasi-esttica los efectos son instantneos, como en el caso esttico. Como las ecuaciones que dan lugar a la teora de circuitos se mantienen en esta aproximacin, )()(0)(0)()()( rjrHrErBrrD ==== 00 ==+ jj t )()()()( rArBrrE == == == V V Vd R Vd R )( 4 )()()( )( 4 1 )( )( )( 0 0 2 00 2 rj rArjrA r r r r ),(),( tt rrD = 0),( = trB 0),( trE ),(),( tt rjrH 0 j )()()()( rArBrrE == = V V Vd R t ttt Vd R t t t t ),( 4 ),(),(),( ),( 4 1 ),( ),( ),( 0 0 2 00 2 rj rArjrA r r r r 10. Electromagnetismo - 2004 1-10 Juan C. Fernndez - Departamento de Fsica Facultad de Ingeniera Universidad de Buenos Aires www.fi.uba.ar sigue siendo vlidas las reglas de Kirchhoff, aunque ahora los elementos de circuito incorporan reactancias. Este es el modelo de los circuitos de parmetros concentrados, que introducimos en el Captulo 5. La aproximacin cuasi-esttica es vlida para bajas frecuencias, pero cun baja debe ser la fre- cuencia para que esta aproximacin sea vlida? La clave para responder esta pregunta reside en analizar la validez del uso de potenciales elec- trodinmicos cuasi-estticos. Veamos el potencial escalar para variaciones armnicas de la fuen- te de frecuencia f = /2: cRttVd R t t V / ),( 4 1 ),( 0 = = r r con: cRiti s ti s eeet / )()(),( == rrr Entonces: = V ikR s ti Vd R ee t )( 4 ),( 0 r r con k = /c Para pasar a la descripcin cuasi-esttica se debera eliminar el retardo t = R/c o lo que es lo mismo, el factor e-ikR . Una posible situacin donde esto ocurre es cuando el punto de observacin (el punto campo) se halla muy cerca del recinto de integracin, con lo que R es pequeo. Sin embargo, an en este caso el retardo ser diferente para distintos puntos fuente. Se ve en la figura que: t1 = R1/c t2 = R2/c Esta diferencia de retardo se traduce en una diferencia de fase kR1 - R2, que, en general, pro- ducir interferencia. En el caso esttico no hay retardo ni interferencia. Esta interferencia se vuelve despreciable cuando la separacin entre los puntos fuente ms aleja- dos es suficientemente pequea para que kR1 - R2