REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAUNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA

“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”VICE-RECTORADO PUERTO ORDAZ

DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALESCÁTEDRA: QUÌMICA APLICADA

ONDAS YECUACIONES DE

MAXWELL

PROFESORA:MEDINA, Rafael

EXPOSITORES:- ASTUDILLO, María

INTRODUCCIÓN

 La Teoría Electromagnética del físico escocés James Clerk Maxwell (1831-1879) es una de las obras intelectuales más

importante en la historia de las ciencias. Su aparición se inicia en 1861 ("On Physical Lines of Force") y se completa en un tercer trabajo en 1865 ("A Dynamical Theory of the Electromagnetic

Field”).Es interesante remarcar que en esa época ya se conocían muchas leyes individuales sobre el comportamiento de la electricidad y el

magnetismo, pero no se tenía una teoría formal que usando el menor número posible de Postulados explicara los fenómenos de

naturaleza electromagnética conocidos.

ECUACIONES DE MAXWELL

ECUACIONES

LEY DE GAUSSLEY DE GAUSS PARA CAMPO MAGNETICO

LEY DE FARADAY-LENZ

LEY DE AMPERE

GENERALIZADA

LEY DE GAUSS

La ley de Gauss explica la relación entre el flujo del campo

eléctrico y una superficie cerrada. Se define como flujo eléctrico () a la cantidad de

fluido eléctrico que atraviesa una superficie dada. Análogo al flujo de la mecánica de fluidos,

este fluido eléctrico no transporta materia, pero ayuda a analizar la cantidad de campo

eléctrico () que pasa por una superficie S. Matemáticamente

se expresa como:

ɸ𝐸=∮ �⃗� . 𝑑�⃗� ∮𝐸 . 𝑑�⃗�=𝑞𝑒𝑛𝑐

𝜀0

La forma diferencial de la ley de Gauss, en forma local, afirma que por el teorema de Gauss, la divergencia del campo eléctrico es proporcional a la densidad de carga eléctrica, es decir:

Para casos generales se debe introducir una cantidad llamada densidad de flujo eléctrico () y nuestra expresión obtiene la forma:

LEY DE GAUSS PARA CAMPO MAGNETICO

Experimentalmente se llegó al resultado de que los campos magnéticos, a diferencia de los eléctricos, no comienzan y terminan en cargas diferentes. Esta ley primordialmente indica que las líneas de los campos magnéticos deben ser cerradas. En otras palabras, se dice que sobre una superficie cerrada, sea cual sea ésta, no seremos capaces de encerrar una fuente o sumidero de campo, esto expresa la inexistencia del monopolo magnético. Al encerrar un dipolo en una superficie cerrada, no sale ni entra flujo magnético por lo tanto, el campo magnético no diverge, no sale de la superficie. Entonces la divergencia es cero Matemáticamente esto se expresa así:

∮ �⃗� .𝒅 �⃗�=𝟎

𝜵 . �⃗�=𝟎

DIFENCIAL

INTEGRAL

LEY DE FARADAY - LENZ

La ley de Faraday nos habla sobre la inducción electromagnética, la que origina una fuerza electromotriz en un campo magnético. Es habitual

llamarla ley de Faraday-Lenz en honor a Heinrich Lenz ya que el signo menos proviene de la Ley de Lenz. También se le llama como ley de

Faraday-Henry, debido a que Joseph Henry descubrió esta inducción de manera separada a Faraday pero casi simultáneamente. Lo primero que

se debe introducir es la fuerza electromotriz (), si tenemos un campo magnético variable con el tiempo, una fuerza electromotriz es inducida

en cualquier circuito eléctrico; y esta fuerza es igual a menos la derivada temporal del flujo magnético, así:

𝜀=−𝑑ɸ𝐵

𝑑𝑡 ɸ𝐵=∫ �⃗� .𝑑 �⃗� 𝜀=∮ �⃗� .𝑑 �⃗�Con lo que finalmente se obtiene la expresión de la ley de Faraday:

LEY DE AMPERE GENERALIZADA

Ampère formuló una relación para un campo magnético inmóvil y una corriente eléctrica que no varía en el tiempo. La ley de Ampère nos dice que la circulación en un campo magnético () a lo largo de una curva cerrada C es igual a la densidad de corriente () sobre la superficie encerrada en la curva C, matemáticamente así:

∮𝑐

�⃗� .𝑑 �⃗�=𝜇0∫𝑆

�⃗� .𝑑 �⃗�

Pero cuando esta relación se la considera con campos que sí varían a través del tiempo llega a cálculos erróneos, como el de violar la conservación de la carga. Maxwell corrigió esta ecuación para lograr adaptarla a campos no estacionarios y posteriormente pudo ser comprobada experimentalmente por Heinrich Rudolf Hertz.Maxwell reformuló esta ley así:

∮𝑐

�⃗� .𝑑 �⃗�=𝜇0∫𝑆

�⃗� .𝑑 �⃗�+𝜇0 𝜀0𝑑𝑑𝑡∫𝑆

�⃗� . 𝑑�⃗�Donde es la permeabilidad magnética en el vacío.

ONDAS

¿Qué es una onda?En física, una onda es una Perturbación que se propaga desde un foco o punto de perturbación o fuente hacia otras regiones del espacio o de alguna propiedad de un medio, por ejemplo, densidad, presión, campo eléctrico o campo magnético, que se propaga a través del espacio transportando energía.

COMPORTAMIENTO DE ONDAS

Todas las ondas tienen un comportamiento común bajo un numero de situaciones estándar, a esto se les llama fenómenos ondulatorios. Las ondas pueden experimentar los siguientes:

1.DIFRACCIÓN:Ocurre cuando una onda al topar con el borde de un obstáculo deja de ir en línea recta para rodearlo.

2. EFECTO DOPPLER: Efecto debido al movimiento relativo entre la fuente emisora de las ondas y el receptor de las mismas.

4. REFRACCIÓN: Ocurre cuando una onda cambia de dirección al entrar en un nuevo medio en el que viaja a distinta velocidad. 5. REFLEXIÓN:

Ocurre cuando una onda, al encontrarse con un nuevo medio que no puede atravesar, cambia de dirección.

3. ONDA DE CHOQUE: Ocurre cuando varias ondas que viajan en un medio se superponen formando un cono.

SOBREPOSICION E INTERFERENCIA

SOBREPOSICION

Dos o más ondas progresivas pasan a través de un medio, el

valor resultante de la función de onda en cualquier punto es la suma algebraica de los valores

de la función de onda de las ondas individuales.

INTERFERENCIA

INTERFERENCIA CONTRUCTIVA

La interferencia constructiva es la que nos proporciona un máximo,

donde las dos amplitudes se suman, dando como resultado un pulso de mayor amplitud que los incidentes, pero que después cada uno sigue

con su misma velocidad y dirección.

INTERFERENCIA DESTRUCTIVA

La interferencia destructiva se produce cuando una dos pulsos viajan en sentido contrario pero

desfasados en 90°, o sea uno va por la parte superior del medio y el otro

por la inferior, de manera que al interferir las amplitudes de ambos se

restan, dando como resultado un pulso de menor amplitud, que en el caso de ser de igual amplitud los pulsos incidentes, se anula por

completo.

ELEMENTOS DE UNA ONDA

Cresta: Es el punto más alto de la amplitud o punto máximo de saturación de la ondaPeriodo: Es el tiempo que tarda la onda de ir de un punto de máxima amplitud al siguiente.Amplitud: Es la distancia vertical entre una cresta y el punto medio de la onda. Frecuencia: Número de veces que es repetida la vibración, en otras palabras, es una simple repetición de valores por un periodo determinado.

Valle: es el punto más bajo de una onda.Longitud de onda: Distancia que hay entre dos crestas consecutivas.

CLASIFICACION DE ONDAS

CLASIFICACION DE ONDAS

SEGUN SU NATURALEZA DE PROPAGACION

SEGUN SU FORMA DE PROPAGACION

SEGUN SU SENTIDO DE PROPAGACION

Mecánicas: Necesitan de

un medio para

propagarse Ej.: El sonido

Electromagnéticas: No

necesitan de un medio

para propagarse en el vacío Ej.: La Luz

Transversales: Las partículas

del medio oscilan en dirección

perpendicular a la dirección

de propagación

de la onda. Ej. Mover una

cuerda La luz por su forma

es transversal.

Longitudinales: Las

partículas del medio oscilan en la misma dirección y

sentido al de propagación de la onda.

Las ondas viajeras se propagan

libremente transportando energía hasta

otros lugares del espacio, pudiendo en algunos casos recorrer grandes distancias. Ej. Los rayos del sol que viajan por todo el universo hasta la

tierra. Su amplitud

disminuye a medida que

transcurre el tiempo.

Es cuando una onda viajera se refleja invertida

respecto a la onda incidente, en un extremo de un medio dado. De

esta manera ambas ondas (las provenientes de la

fuente y la reflexión de ellas se sobreponen, originando una

onda que parece estar fija. Ej.

Cuerdas vibrantes de una guitarra o

piano

ONDAS ESTACIONARIAS

Se consideran dos funciones de ondas amplitud frecuencia y longitud de onda iguales que viajan en direcciones opuestas en el mismo medio.

Donde representa la onda que viaja en la dirección +x y representa la onda que viaja en dirección –x. al sumar las estas dos funciones obtendremos la función de onda resultante .

.

Usando la siguiente identidad trigonométrica . Reduciendo las ondas estacionarias quedan representadas por siguiente ecuación:

ONDAS ESTACIONARIAS EN CUERDAS CON LOS EXTREMOS FIJOS

Considere una cuerda de longitud L fija en ambos extremos. Este sistema se usara como modelo para una cuerda de guitarra o piano. En la cuerda se pueden establecer ondas estacionarias mediante una sobreposicion continua de ondas incidentes y reflejadas desde los extremos. Advierta que hay una condición frontera para las ondas en la cuerda. Ya que los extremos de la cuerda están fijos, necesariamente tienen desplazamiento cero y, por ende, son nodos por definición. Esta condición frontera resulta en que la cuerda tenga un numero de patrones de oscilación naturales discretos, llamados modos normales, cada uno con una frecuencia característica que se calcula con facilidad. Esta situación en la que solo se permiten ciertas frecuencias de oscilación se llama cuantización; la cual es un acontecimiento común cuando las ondas se someten a condiciones frontera y es una característica central para las explicaciones de física cuántica en la versión extendida de este texto.

ONDAS ESTACIONARIAS EN CUERDAS CON LOS EXTREMOS FIJOSLos modos de oscilación normales para la cuerda con los extremos fijos se

describen al imponer las condiciones frontera de que los extremos sean nodos y que los nodos y antinodos estén separados por un cuarto de longitud de onda.

f

 

𝒇 𝟏𝒇 𝟐 𝒇 𝟑

𝒏=𝟏 𝒏=𝟑𝒏=𝟐

𝑨 𝑨𝑨 𝑨 𝑨𝑨𝑵 𝑵𝑵𝑵 𝑵𝑵𝑵𝑵 𝑵

𝑳=𝟏𝟐

𝝀𝟏 𝑳=𝝀𝟐𝑳=

𝟐𝟑

𝝀𝟑

Fig.1

El primer modo normal que es consistente con estos requisitos, que se muestra en la figura 1, tiene nodos en sus extremos y un antinodo en medio: es el modo de longitud de onda más larga que es consistente con las condiciones fronteras. El primer modo normal se presenta cuando la longitud de onda es igual al doble de la longitud de la cuerda, o La seccion de una onda estacionaria de un nodo al siguiente se llama bucle. En el primer modo normal, la cuerda vibra en un bucle. En el segundo modo normal, la cuerda vibra en dos bucles. En este caso, la longitud de onda es igual a la longitud de la cuerda, como se expresa por . El tercer modo normal corresponde al caso en que y la cuerda vibra en tres bucles. En general, las longitudes de onda de los diferentes modos normales para una cuerda de longitud L fija en ambos extremos son

𝜆𝑛=2 𝐿𝑛

𝑛=1 ,2 ,3 , …

Cabe esperar que los campos sean idénticamente nulos en todo el espacio, puesto que además de ser la solución trivial de las ecuaciones planteadas, estamos acostumbrados a asociar los campos con sus fuentes, en este caso inexistentes.Una vez más la intuición nos engaña pues, como veremos, este sistema de ecuaciones tiene solución distinta de cero, siendo ello un resultado asombroso y extraordinario por el cual el campo electromagnético adquiere categoría de ente físico real.Veamos la demostración matemática.

RELACION ENTRE ONDAS Y ECUACIONES DE MAXWELL

Supongamos estar en el vacío, es decir sin materia ni cargas ni corrientes, y asumamos válidas y sin restricciones las ecuaciones de Maxwell que, en estas condiciones, son las siguientes:DIFENCIAL

 

Aplicando rotor en ambos miembros de la primera ecuación de Maxwell y usando la igualdad vectorial   , resulta:

Usando la segunda ecuación (divergencia nula) y considerando que la derivada temporal y el rotor son operaciones que conmutan pues operan sobre variables independientes, queda:

Finalmente, reemplazando el rotor (tercera ecuación) obtenemos

Esta es una ecuación vectorial de ondas, es decir tres ecuaciones escalares de D’Alembert, que admiten solución no nula.

RELACION ENTRE ONDAS Y ECUACIONES DE MAXWELL

Formación de una onda estacionariaDos ondas que viajan en direcciones opuestas producen una onda estacionaria. Las funciones de onda individuales son

 

Donde y se miden en centímetros. A. Encuentre la amplitud del movimiento armónico simple del

elemento del medio ubicado en .B. Encuentre las posiciones de los nodos y antinodos si un extremo de

la cuerda esta en

APLICACIONES.

APLICACIONES.Solución: PARTE I Conceptualizar: Las ondas descritas por las ecuaciones conocidas son idénticas excepto por sus direcciones de viaje, así que de hecho se combinan para formar una onda estacionaria como se explicó en esta sección. Categorizar: Se sustituirán valores en las ecuaciones por desarrollar en esta sección, así que este ejemplo se clasifica como un problema de sustitución. A partir de las ecuaciones para las ondas Usando la ecuación para escribir una expresión para la onda estacionaria:

Se encuentra la amplitud del movimiento armónico simple del elemento en la posición al evaluar el coeficiente de la función coseno en esta posición:

APLICACIONES.Solución: PARTE II Encuentre la longitud de onda de las ondas progresivas: 

 Aplicando la ecuación hallamos la posición de los nodos:

Aplicando la ecuación hallamos la posición de los antinodos:

ONADAS Y ECUACIONES DE MAXWEL

Muchas gracias

…