1 Física Pre-1er Bim

FÍSICAPRE ACADEMIA – I BIMESTRE

3PRE ACADEMIA

Física

FORJANDO LÍDERES Y MEJORES HUMANAS PARA EL FUTURO

Introducción

La ciencia es el equivalente contemporáneo de lo que solía llamarse filosofía natural. La filosofía natural era el estudio de las preguntas acerca de la naturaleza que aún no tenían respuesta. A medida que se iban encontrando estas respuestas, pasaban a formar parte de lo que hoy llamamos ciencia. La ciencia contemporánea se divide en el estudio de los seres vivos y el estudio de los objetos sin vida, es decir, en ciencias de la vida y ciencias físicas. Las ciencias de la vida se dividen en áreas como la Biología, la Zoología y la Botánica. Las ciencias físicas se dividen en áreas como la Geología, la Astronomía, la Química y la Física. La Física es más que una rama de las ciencias físicas, es la más fundamental de las ciencias. La Física estudia la naturaleza de realidades básicas como el movimiento, las fuerzas, la energía, la materia, el calor, el sonido, la luz y el interior de los átomos. La Química estudia la manera en que está integrada la materia, la manera en que los átomos se combinan para formar moléculas y la manera en que las moléculas se combinan para conformar los diversos tipos de materia que nos rodean. La Biología es aún más compleja, pues trata de la materia viva. Así pues, tras la Biología está

“No sé lo que puedo parecer ante el mundo, pero tengo la impresión de haber sido como un niño, jugando en la playa y divirtiéndome, de vez en cuando encontrando un guijarro más suave o una concha más bonita de lo normal, mientras el gran océano de la verdad se encuentra ante mí sin descubrir”.

Isaac Newton

Es el cambio o modificación que sufren los cuerpos de la naturaleza, bajo la influencia de diversas formas de energía. Existen muchos fenómenos, y en esta oportunidad nos ocuparemos sólo de dos de ellos: Fenómeno Físico y Fenómeno Químico.

Cuando ocurre un fenómeno físico, las sustancias realizan un proceso o cambio sin perder sus propiedades características, es decir, sin modificar su naturaleza.

Se caracteriza por ser reversible.

Es cuando las sustancias realizan un proceso o cambio sin modificar su naturaleza.

Por el contrario, si una sustancia se transforma en otra nueva, de distinta naturaleza, se dice que ha tenido lugar un fenómeno químico.

Por ejemplo, el hierro de algunos objetos se combina con el oxígeno, en presencia de la humedad del aire, transformándose en una sustancia diferente: la herrumbre, que no tiene las propiedades del metal, es decir, no es tan dura, ni tiene su brillo y su color, ni se funde a la misma temperatura, etc.

AntenA

RAyos

la Química, y tras la Química está la Física. Las ideas de la Física se extienden a estas ciencias más complejas, por eso la Física es la más fundamental de las ciencias. Podemos entender mejor la ciencia en general, si antes entendemos algo de Física.

Por ejemplo, si disolvemos sal común en agua, tiene lugar un proceso físico, tras el cual la sal y el agua siguen teniendo las mismas propiedades, como se puede comprobar recuperando la sal por calentamiento de la disolución. Es decir, en el proceso de disolución no se altera la naturaleza de las sustancias que se disuelven.

Fenómeno

FENÓMENOS FÍSICOS

Conceptos Previos

4 PRE ACADEMIA

Física

I. E. P. SHADDAI DE VILLA

Si una sustancia se transforma en otra nueva, de distinta naturaleza, se ha tenido un fenómeno químico.

Es necesario que el estudiante maneje ciertas operaciones matemáticas, para no tener dificultades al aplicar los conceptos de cálculo en situaciones de física.

A continuación haremos un repaso de algunos temas de Álgebra, Geometría y Trigonometría que nos serán de mucha ayuda.

ÁLGEBRA

1. Ecuaciones lineales con una incógnita

Halla x en los siguientes casos:

9x = 54

549

a) x + 3 = 7 → x = 4

b) x/4 = 8 → x = 32

c) 2x+ 3 = 9 → x = 3

d) x - 5 = 8 → x = 13

e) 2x + 8 = 10 → x = 1

⇒ 9x = 54 x =

∴ x = 6

Halla x e y, en los siguientes sistemas:

x + y = 8

x - y = 2{

}}

a) 3x - y = 4 → x = 2, y = 7 x - y = - 4

b) y - 2x = 3 → x = 4, y = 8 y + x = 9

c) -5y - 3x = 4 → x = -38, y = 22 7y + 4x = 2

d) m + 2n = 27 → m = 13, n = 7 -m + 5n = 22

}}

x + y = 8 x - y = 2 2x =10

x =

x = 5 → y = 3

+

102

}

2. Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

3. Ecuación de 2.º grado: ax2 + bx + c = 0

x =

Ejemplo: x2 - x - 6 = 0

x =

x = =

x1 = = =

x1 = 3

x2 = = = -

x2 = -2

62

1 - 52

42

1 - 252

FENÓMENOS QUÍMICOS

Recuerda

La ciencia es el complemento de la tecnología.

¡La tecnología es una forma de

hacer!

La ciencia es una forma de conocer.

MATEMÁTICA ELEMENTAL

Ejemplo: Ejemplo:

-(-1) ± (-1)2 - 4(1)(-6)2(1)

-b ± b2 - 4ac2a

1 ± 1 + 242

1 ± 252

1 + 252

1+52

5PRE ACADEMIA

Física


x2 . x3 = x2+3 = x5

a) x2 . x1 = x2+1 = x3

b) x5 . xn =

c) xm . x2 =

x2/x = x2-1 = x

a) x5/x2 =

b) x/x4 =

c) x2/x0 =

d) x/x3 =

x1/2 = 2 x1 = x

a) x1/3 =

b) 5 x =

c) 6 x2 =

d) 3 x2 =

(x2)3 = x2.3 = x6

a) (x3)1/3 =

b) (x-2)2 =

c) (x-3)-2 =

d) (x2)1/4 =

e) (x3)1/9 =

GEOMETRÍA

Ángulos

Indica un equivalente a las siguientes expresiones:

4. Leyes de exponentes

• xn . xm = xn+m

• (xm)n = xm.n

• =xm-n

• xn/m = m xn

xm

xn

1. La longitud (L ) de la circunferencia es:

Áreas

• Triángulo

• Rectángulo

• Círculo

Volúmenes

• Cilindro

• Esfera

Longitud de arco

Sθ

R

Ángulo (en radianes)

Radio

S = θR

A∆ = b . h

2

b

h

a

b

A = a . b

R

A = πR2

R

h

V = Ab . h V = πR2 . h

V = 43 πR3

R=3m L = (2π) 3 m

L = 6πm

6 PRE ACADEMIA

Física


3. Halla el volumen de:

* Calcula θ.

2. Calcula el área del triángulo.

Área∆ = (base x altura)/2Área∆ = (4m x 2m)/2Área∆ = 4m2

* Calcula el área de las figuras que se indican.

* Calcula L.

* Calcula R.

* Calcular θ.

* Calcula L.

L

R=2m

π/3

L =

R =

60º

R

R

6πm

2m

2m

θ 2πm

θ =

L =

3m

3m

π/4 L

θ =

5m

5m

θ 10πm

Área∆ =

4m

3m

45º

3m

3m

Área∆ =

2m

4m

Área =

2m

2m2m

Área =

Área =

Volumen = Área de la base x altura

Volumen = Área x altura

Volumen = 2m x 2m x 2m

Volumen = 8m3

3m

8m

8m

5m

3m

7PRE ACADEMIA

Física


1. Halla x e y.

4x + y = 26 2x - y = 4

Del sistema de ecuaciones, tenemos:

4x + y = 26

2x - y = 4

6x = 30

⇒ x = 5 y = 6

{

2. Halla las raíces de la ecuación: x2 - 8x + 15 = 0

Aplicando la ecuación:

x =

donde: b = -8 , a = 1 y c = 15

x1 =

x1 = 4 +

x1 = 4 +

x1 = 5

x2 =

x2 = 4 -

x2 = 3

-b ± b2 - 4ac2a

64 - 602

22

+8 + 82 - 4(15)2

* Halla el volumen de los siguientes sólidos:

4m

2m

3m

Volumen =

2m

Volumen =

TRIGONOMETRÍA

Funciones trigonométricas:

a : cateto opuestob : cateto adyacentec : hipotenusa

Teorema de Pitágoras:

Triángulos Notables:2m

4m

Volumen =

5m

9m

Volumen =

sen θ =cateto opuesto

hipotenusaac

=

cos θ =cateto adyacente

hipotenusabc

=

tg θ =cateto opuesto

cateto adyacenteab

=

c2 = a2 + b2

8 - 82 - 4(15)2

θ

a

b

c

1k

1kk 2

53º

37º5k 4k

3k30º

60º2k

3 k

1k

45º

45º

Resolución:

22

Resolución:

8 PRE ACADEMIA

Física


Del gráfico, tenemos que la altura del triángulo es h = 8 y la base es b = 4.

A∆ = = = 16u2

6. En los siguientes triángulos, halla las funciones trigonométricas que se indican.

a)

sen 53º = 4/5cos 53º = 3/5tg 53º = 4/3

53º

37º

35

4

b)

sen 45º = cos 45º = tg 45º =

c)

sen 60º = cos 60º = tg 60º =

d)

sen 37º = cos 37º = tg 37º =

5. Determina sen θ + cos θ, si:

Tenemos: sen θ =

cos θ =

sen θ + cos θ = + =

3. H a l l a e l á r e a d e l t r i á n g u l o sombreado.

4. Si el volumen de un cilindro es 400π cm3 y su altura es de 25 cm, halla el radio de la base “R”.

Si el V = 400π cm3 y h = 25 cm

Pero V = π R2 . h

400π = π R2 . 25

= R2 ⇒ 16 = R2

R = 4 cm

40025

5131213

513

1213

1713

θ

13 5

12

b . h2

4 . 82

e)

x =

7. A partir de las funciones anteriores y por Pitágoras se deduce que:

sen2 θ + cos2 θ = 1

tg θ = sen θcos θ

Ejemplo: Para θ = 37º, halla:

sen2 37º + cos2 37º

+ = +

⇒= 1

tg 37º = =

= =

35 ( (2 4

5( (2 925

1625

2525

3/54/5

3 x 54 x 5

34

a) Para θ = 30º, halla:

sen2 30º + cos2 30º =

tg 30º = = sen 30ºcos 30º

b) Para θ = 53º, halla:

sen2 53º + cos2 53º =


c) Para θ = 60º, halla:

sen2 60º + cos2 60º =


d) Para θ = 45º, halla:

sen2 45º + cos2 45º =


5x

5 3

60º

30º

9

12

1553º

37º

60º

330º

12

1

1245º

45º

S8u

8u

Resolución:

Resolución:

sen 37ºcos 37º

Resolución:

9PRE ACADEMIA

Física


Introducción

‘‘Nuestro conocimiento es satisfactorio sólo después de

expresarlo’’.Lord Kelvin

Recuerda

Sabemos que la madre de la sabiduría es la curiosidad y todo aquel que se deleita con el mundo de la física, deberá observar para comprender los fenómenos que ocurren en su entorno. Sin embargo, una observación científica, por lo general, está incompleta si no se expresa de manera cuantitativa, así que para obtener tal información debe hacerse la medición de la cantidad física. Por tanto, las mediciones conforman buena parte de la rutina de un físico experimental. En el artículo único del Real Decreto 1317/1989, del 27 de octubre de 1989 por el que se establecen las unidades legales de medida, publicada el 3 de noviembre, se dice que: El sistema legal de unidades de medida es el Sistema Métrico Decimal de siete unidades básicas, denominado Sistema Internacional de Unidades (S.I.) adoptado en la Conferencia General de Pesas y Medidas en la Comunidad Económica Europea.

La masa de 30 manzanas tiene una dimensión de ....................... (kilogramos).

La altura de un semáforo tiene una dimensión de .............. (metros).

Es todo aquello susceptible de ser medido, asignándole un número y una unidad.

Volumen, peso, tiempo, velocidad.

1. Relacionar una magnitud física con otras magnitudes establecidas como fundamentales.

2. Comprobar la veracidad de las fórmulas físicas.

3. Determinar fórmulas empíricas.4. Determinar las unidades de una

magnitud.

El símbolo [a] indica la fórmula dimensional de una cantidad física.

Ejemplo:

•Si T es tiempo, entonces [T]se lee fórmula dimensional de T.

La yarda, el pie y la pulgada son unidades de longitud que

no pertenecen al S.I.

OBJETIVOS

DIMENSIÓN

Nos indica el tipo de patrón que se ha usado para realizar una medición.

Ejemplos:

MAGNITUD

Ejemplo:

Análisis Dimensional I

10 PRE ACADEMIA

Física


Nota

Para medir una cantidad de una magnitud se compara con otra de su misma especie.

Son aquellas elegidas arbitrariamente para establecer las unidades de un sistema.

I) Por su origen

UNIDADMAGNITUD SÍMBOLO DIMENSIÓN

Son aquellas que son expresadas por las magnitudes fundamentales. Observación: Toda magnitud se expresa en función de las magnitudes fundamentales.

Magnitudes Fundamentales

Magnitudes Derivadas

Propiedades de las Ecuaciones Dimensionales

Los ángulos y razones trigonométricas, en general, son adimensionales y para los cálculos se consideran igual a 1.

rad

sr

MAGNITUDES AUXILIARES UNIDAD

Nombre Nombre Símbolo

1. Ángulo Plano

2. Ángulo Sólido

radián

estereorradián

1. En la siguiente expresión, halla [K] si:

V : velocidadd : distanciaK=

V2

2d

La dimensión de los términos de la ecuación.

[K]= donde [V] = [LT-1][d] = L [2] = 1

→[K]= (LT-1)2

L= (L2T-2)

L

→[K]= LT-2

[V2] [2][d]

2. Halla la dimensión de ‘‘E’’ si:

D : densidadV : velocidadg : aceleración

E=DV2

g

[E]=

=[D][V]2

[g][DV2]

g

Donde: [D]= ML-3 , [V]= LT-1

[g]= LT-2

→[K]= (LT-1)2

L= (L2T-2)

L

→[E] = ML-3. (LT-1)2

LT-2

=ML-1T-2

LT-2

∴ E = ML-2

CLASIFICACIÓN DE LAS MAGNITUDES

=

•[Área] = L2

•[Volumen] = L3

•[Velocidad] =

•[Aceleración]=

•[Densidad] =

RecorridoTiempo

LT

= LT -1

= =

•[40°] = •[4 ] = •[π] = •[tg α] = •[Ln5] = •[A.B] =

Resolución:

Resolución:

;

11PRE ACADEMIA

Física


3. Halla [T] en el siguiente caso:

m : masaV : velocidadF : fuerza

T= mV2

F

[T]=

= [m][V]2

[F][mV2]

[F]

Donde: [m] = M , [V] = LT-1, [F] = MLT-2

[T]= M.(LT-1)2

MLT-2

ML2T-2

MLT-2=

[T]= L

4. El periodo del péndulo está dado por:

[T] = [kLagb] L : longitud g : aceleración k : constante Halla a+b

[T] = [kLagb] = [k] . [L]a [g]b

Donde: [T]=T ; [L] =L ; [g]= LT-2

→ T = kLa(LT-2)b → T = kLaLbT-2b = kLa+bT-2b

De los exponentes de L, tenemos:

L0 = La+b → a+b = 0

5. Halla la dimensión de K si:E = Kgh

E : energía g : aceleración h : altura

[E] = [Kgh] = [K][g] [h]Donde: [E]=ML2T-2 ; [g] =LT-2 ; [h]= L

→ ML2T-2 = [K] . LT-2. L ML2T-2 = [K] L2T-2

→ [K] = M

Resolución:

Resolución:

Resolución:

1) D e t e r m i n a l a e c u a c i ó n dimensional de R si:

R = Velocidad x Aceleración a) L2T-3

b) L2T2

c) L-3T2

d) LT2

e) L2T-1

Nivel I

2) D e t e r m i n a l a e c u a c i ó n dimensional de Q si:

a) L4T b) L4T-2

c) LT-2

d) L3T-2

e) L2T-2

Q = Fuerza

Densidad

3) D e t e r m i n a l a e c u a c i ó n dimensional de Z si:

Z = trabajo x velocidad a) ML2T b) MLT2

c) ML3T-3

d) MLT e) MLT-1

4) La ley de gravitación universal de Newton tiene como expresión:

Donde: F : fuerza m1 y m2 : masa de los cuerpos G : constante r : distancia

Determina la dimensión de la constante.

a) ML-2

b) M-1L3T-2

c) MLT-2

d) L3T-2

e) M-1T-2

F = G.m1.m2

r2

5) D e t e r m i n a l a e c u a c i ó n dimensional de m en:

Donde: P : potencia [R]3 : M2L5T-4

[Q] : L3T-1

a) ML b) L c) T d) MT-1

e) LT-1

P = 4πR3

mQ

6) En la s iguiente ecuación dimensionalmente correcta, determina los valores de x e y:

P : presión V : velocidad D : densidad

a) 1 y 3 b) 1 y 2 c) 2 y 3 d) 2 y 4 e) 1 y 4

P = 13 DxVy

12 PRE ACADEMIA

Física


7) Halla la dimensión del calor específico (Ce) si:

a) L2T-2

b) LT-2

c) ML2θ d) L2T-2θ-1

e) L2θ-1

Ce = CalorTemperatura . Masa

8) Halla [K] si: K = PDH Donde: P : presión D : densidad H : profundidad a) MLT b) M2T-2

c) ML-2T-2

d) M2L-3T-2

e) ML2T-1

9) Halla la dimensión del calor latente (L) si:

[calor] = ML2T-2

a) L2T-1

b) L2T-2

c) LT-2

d) L3T-2

e) MLT-2

L = calormasa

10) Halla la dimensión de ‘‘E’’ si:

D : densidad V : velocidad g : aceleración

a) ML-2

b) ML-1

c) ML d) M-1L-1

e) ML-3

11) El trabajo se define: W = fuerza x distancia Halla [W].

a) ML2T b) ML2T-2

c) ML3T-3

d) ML e) LT-3

12) Expresa la ecuación dimensional de M en la siguiente expresión:

a : aceleración P : tiempo

a) LT b) LT-3

c) LT-2

d) T-2

e) T3

M = 38a

P

13) En la siguiente expresión, halla [K].

V : velocidad ; d : distancia

a) ML b) LT-1

c) LT-2

d) MLT-2

e) LT-3

E = DV2

g

K = V2

2d

14) Halla [K] en el siguiente caso:

m : masa V : velocidad F : fuerza

a) M b) MLT-2

c) L d) MT-2

e) LT-2

K = mV2

F

15) La energía asociada a la posición de un cuerpo se da de la siguiente manera.

E = Kgh Donde: g : aceleración h : altura E : energía Hallar [K] a)L b)T c)ML d)M e)LT

16) El periodo del péndulo está dado por: T = KLagb

Donde: L : longitud g : aceleración Halla a + b. a) 1 b) 2 c) 3 d) 0 e) -2

Nivel II

17) La potencia (P) se define:

Halla [P].

a) ML2T-3

b) ML-3

c) LT-2

d) ML-3L2

e) ML-1

P = trabajotiempo

18) Halla [ X] en la s iguiente fórmula:

P : presión ; R : radio Q : densidad ; B : fuerza Z : velocidad

a) MLT b) MT-1

c) LM-1

d) M-1LT e) MLT-1

X = PR

QBZ

13PRE ACADEMIA

Física


19) D e t e r m i n a l a e c u a c i ó n dimensional de W si:

W = (fuerza)2 x (presión)3 a) M5L-1T-10

b) M6L-2T9

c) M5LT-4

d) M5LT-9

e) M5L2T-9

20) D e t e r m i n a l a e c u a c i ó n dimensional de ‘‘S’’ si:

S = (trabajo)3 x (aceleración)2 a) ML2T-4

b) ML4T-6

c) MLT-3

d) ML4T-2

e) M3L8T-10

21) D e t e r m i n a l a e c u a c i ó n dimensional de R si:

R = (velocidad)2 x (presión)2 a) MT-5

b) M2T-4

c) M2T-6

d) M2LT-6

e) N.A.

22) D e t e r m i n a l a e c u a c i ó n dimensional de P si:

a) M3L4

b) M2L3

c) ML2

d) M3L2

e) ML6

P = (energía)3 x (área)2

(velocidad)6

23) D e t e r m i n a l a e c u a c i ó n dimensional de H si:

H = Área x Trabajo x Densidad a) MLT b) ML1/2T-1

c) MLT-1

d) ML1/2T e) MLT1

24) D e t e r m i n a l a e c u a c i ó n dimensional de Z si:

Z = Área x Aceleración a) L2T-2 d) LT-1

b) L3T-1 e) LT-3

c) L3T-2

25) D e t e r m i n a l a e c u a c i ó n dimensional de W si:

a)T d)T-2

b)T-1 e)1 c)T2

26) Si [x] = ML4T2 [z] = MLT-3 , determina [x] . [z]2

a)ML6T-4 d)M2L8T-6

b)M3L6T-8 e)M3L8T-6

c)ML3T-2

27) Si [P] = L4 . T-3 [R] = L5 . T-2

determina

a)L7 d)L-8

b)L-7 e)L9

c)L8

28) Determina la fórmula dimensional de R si:

R = Fuerza x Velocidad

a)ML2T-3 d)MLT2

b)ML2T-2 e)ML-2T-3

c)ML2T

29) Determina la fórmula dimensional de W si:

W= Densidad x Velocidad x Área

a)MLT-1 d)MT-1

b)MT2 e)ML-2

c)MT

30) Halla la ecuación dimensional de Q en:

a)L2T2 d)LT b)L3T-2 e)L c)L3T-3

Q = volumen x presión

área x densidad

Nivel III

31) La potencia que requiere la hélice de un helicóptero viene dada por la siguiente fórmula:

P = KRxWyDz

donde: [W] = T-1

R : Radio de la hélice D : Densidad del aire K : número Calcula x + y + z. a) 5 e) 11 b) 7 e) 13 c) 9

32) La fuerza se define como: F = mxay Halla x + y si: m : masa ; a : aceleración a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3

33) La velocidad angular de un cuerpo (W ) se define de la siguiente manera:

Halla [W].

a) 0 d) LT-2

b) T-2 e) T-1

c) LT-1

W = ángulotiempo

34) La velocidad lineal y la velocidad angular se relacionan de la siguiente manera:

V = KW donde: V : velocidad lineal W : velocidad angular Halla la dimensión de K.

a) LT d) T-2

b) M e) L c) LM

[P]2

[R]3

W= trabajo

potencia

14 PRE ACADEMIA

Física


U = trabajo x velocidadcaudal x densidad

35) Encuentra [P] si: P = F x ∆ t donde: F : fuerza ∆ t : tiempo

a) MLT-1 d)MLT2

b)ML2T2 e)MLT-2

c)M2LT

36) La carga eléctrica está dada en la siguiente expresión:

Q = I . T I : intensidad de corriente t : tiempo Halla [Q]. a) IT-1 d) IT-4

b) IT-2 e) IT c) IT-3

37) D e t e r m i n a l a e c u a c i ó n dimensional de Y si:

Y = velocidad x área x caudal

a) L6T-2 d) LT-2

b) L5T-1 e) L4T6

x = volumen x impulsofuerza

38) D e t e r m i n a l a e c u a c i ó n dimensional de x si:

a) L3T2 d) L3T b) LT e) L2T3

c) L2T

39) D e t e r m i n a l a e c u a c i ó n dimensional de O si:

O =(Potencia)sec60° x (velocidad) tg45°

a) M2L6T-4 d) MLT-3

b) MLT-2 e) M2L3T6

c) ML6T-1

40) D e t e r m i n a l a e c u a c i ó n dimensional de N si:

N = Fuerza x Impulso a)MLT-1 d)MLT-1/2

b)MLT-3/2 e)M-1LT-1

c)MLT

41) D e t e r m i n a l a e c u a c i ó n dimensional de M si

M =(Presión)3tg45°x (caudal)

a)M3T-2 d)M3T-7

b)M4T-5 e)M3LT-5

c)MT-6

42) D e t e r m i n a l a e c u a c i ó n dimensional de J si:

a) ML-1T-1 d)M1/2L-1/2T2

b)M1/2L-1/2T-1/2 e)M-1L-1T-1

c)ML-1/2T

J = velocidad x impulsocaudal

43) Determina la ecuación de Y si: Y = Impulso Densidad

a) M2L-2T-1

b)ML-2T-3

c)MLT-2

d)ML2T-1

e)MLT-3

44) D e t e r m i n a l a e c u a c i ó n dimensional de X si:

X=Densidad x Fuerza x Caudal

a) MLT-3

b) M2LT-3

c) MLT-1

d) M3LT-1

e) ML3T-2

45) D e t e r m i n a l a e c u a c i ó n dimensional de U si:

a)L3T2

b)L2T3

c)L3T- 2

d)L2T- 3

e)LT- 1

46) D e t e r m i n a l a e c u a c i ó n dimensional de X si:

X = Longitudsen30° x Volumen tg45°

a) L5/2 d)L2/7

b)L7/2 e)M3L1/2

c)L3

47) D e t e r m i n a l a e c u a c i ó n dimensional de B si:

a) L1/2T-1/2 d)LT b) LT-1/2 e)LT2

c) L1/2T-1

B = potencia x velocidadtrabajo

48) Determina la ecuación dimensional de Z si:

a) T d)T3/2

b) T-1/2 e)LT-1/2

c) T1/2

Z = velocidadtg45°

aceleraciónctg45°

49) Determina las unidades de ‘‘B’’ en el S.I.

a) m2/s d)m4/s b) m/s e)m5/s c) m3/s

B = velocidad x fuerzaaceleración x densidad

50) E n l a s i g u i e n t e fó r m u l a dimensionalmente correcta, ¿qué magnitud representa ‘‘K’’?

Donde: F : Fuerza D : Distancia E : Energía

a) Fuerza d) Longitud

b)Tiempo e) Adimensional c) Masa

K = F . D4E

15PRE ACADEMIA

Física


Niveles de Organización en la Materia

La materia ordinaria consiste de átomos, y en el centro de cada átomo está un compacto núcleo constituido de protones y neutrones que están compuestos de quarks.

¡Qué tal amigos! Continuaremos con nuestro estudio sobre análisis dimensional. Recordemos algunas magnitudes

fundamentales y derivadas.

MAGNITUDES FUNDAMENTALES

UNIDADMAGNITUD DIMENSIÓN

Longitud

Masa

Tiempo

Temperatura

MAGNITUDES DERIVADAS

DIMENSIÓNMAGNITUD

Velocidad

Aceleración

Fuerza

Densidad

PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD

Realiza las siguientes operaciones:•1m + 1m =•2kg + 3kg =•5m + 3kg =•1s + 7kg =•3m - 1m =

Nos damos cuenta que para sumar o restar 2 magnitudes deben ser de la misma especie, es decir, deben ser ___________________________.En conclusión si: A + B + C = D

[ ]= [ ]= [ ]= [ ]

Recuerda

• Cantidad: es una porción limitada de una magnitud.

• Unidad: es la cantidad elegida como patrón de comparación.

Análisis Dimensional II

16 PRE ACADEMIA

Física


Historia de la unidad: Longitud (Metro)

Aunque la distancia podría determinarse aproximadamente por la duración de un día de viaje, el cuerpo humano fue la medida lineal más conveniente en los primeros tiempos. La longitud de un paso o un pie, la anchura de un dedo o mano, la longitud del antebrazo, todo servía como referencia directa para las mediciones en la antigüedad. En las épocas de los grandes reinos de Egipto y Babilonia (unos 2500 a. C.), el codo que correspondía a la longitud del antebrazo de un hombre, desde el codo hasta la punta del dedo índice extendido, era la medida lineal más usual. Este tipo de concepción aceptada por la cual cuantificamos cualquier cosa física, se denomina unidad. Para asegurar algún grado de constancia para una medida ampliamente utilizada, pues es evidente que los antebrazos difieren, una sociedad avanzada debe desarrollar una materialización física invariabe de cada unidad que sirva como referencia primaria o patrón con el cual se comparaban y calibraban todas las varas de codo de Egipto. Desde el Medio y Próximo Oriente, a través del comercio, las antiguas nociones de medida se dezplazaron a Occidente hasta Grecia y después hasta Roma y, con la conquista, a la mayor parte de Europa. El pie, aunque su longitud variaba bastante, era de uso común entre los griegos y los romanos. Su historia va desde la longitud de una sandalia romana y de bota británica, hasta el familiar concepto contemporáneo.Cuando las legiones romanas recorrían el mundo, medían sus avances en passus, o milios passuum que fue el precursor de la milla británica. Cuenta la leyenda que la yarda, o doble codo, fue fijada en el siglo XII por Enrique I de Inglaterra como la distancia desde su nariz a la punta de su dedo índice extendido. De manera similar, el patrón original para el pie, adoptado por los franceses, fue la longitud del pie real de Luis XIV. Este patrón prevaleció hasta 1799, cuando el patrón legal de longitud en Francia vino a ser el metro, definido como un diez mil millonésimo de la distancia del Ecuador al Polo Norte a lo largo de una línea longitudinal que atraviesa París y que prevaleció en todos los países y en los círculos científicos de todo el mundo. En 1960, la longitud de un metro se definió como la distancia entre dos líneas sobre una barra de platino - iridio almacenada en condiciones controladas. Este patrón se abandonó por varias razones; la principal fue el hecho de que la limitada precisión con la cual se puede determinar la separación entre las líneas sobre la barra no cubre las necesidades actuales de la ciencia y tecnología. Después el metro fue definido como 1650763.73 longitudes de onda de la luz naranja - rojo emitida por una lámpara de Kriptón 86. Sin embargo, en octubre de 1983, el metro se redefinió como la distancia recorrida por la luz en el vacío durante un tiempo de 1/ 299792458 segundos.

1. Si la siguiente ecuación es dimensionalmente correcta:

P = x . Vx Dy

Donde: P : presión V : velocidad D : densidad Determina: x + y.

La dimensión de los términos de la ecuación.[P]=[ x . Vx Dy]=[x] [V]x [D]y

Donde:

[P]=ML-1T-2 ; [V]=LT-1

[D]=ML-3 ; [ x ]=1

Entonces:ML-1T-2 = (LT-1)x(ML-3)y

ML-1T-2 = LxT-xMyL-3y

M L-1 T-2 = Lx-3y T-x My

De donde: y = 1 ; x -3y = -1 x = 2Entonces: x + y = 2+1= 3

Por el principio de homogeneidad:

[ SQJ ]=[4mD]= 21

→[S] [Q] [t] =[21] [P] [W]-1 De donde:

[S]=1 ; [Q]=L3T-1 ; [t]=T [21]=1 ; [W]=ML2T-2

Entonces:L3T-1 . T = [P]. (ML2T-2)-1

L3 = [P]. M-1L-2T-2

→[P] = ML5T2

2. Si la ecuación 5Qt = 4mD + 2 es dimensionalmente correcta, determina [P]. (Q : caudal; t : tiempo; W : energía)

PW

PW

Resolución:

Resolución:

17PRE ACADEMIA

Física


Del principio de homogenidad:

3. Halla las dimensiones de ‘‘G’’, ‘‘H’’e ‘‘I’’ en la siguiente fórmula física.

F = Ga + Hv + I Donde: F : fuerza a : aceleración v : velocidad

1

2

3

4. Determina la relación b/c, de la siguiente ecuación homogénea.

Donde: W : trabajo e : longitud a : aceleración

We

= ba + b2c

We

= [ ba ]= [b2c]

2

1

Donde:[W] = ML2T-2 ; [e]= L ; [a] = LT-2

Del principio de homogeneidad:

[ F ] = [Ga]= [Hv] = [ I ]...(1)

Donde:

[F]=MLT-2;[a]=LT-2 ; [v]=LT-1

Entonces:De → MLT-2 = [G] . LT-2 → [G] = M

De → MLT-2 = [H] .LT-1 → [H] = MT-1

De → MLT-2 = I

De → = [b] . LT-2 → [b] = M

1 ML2T-2

L

12

3

Resolución:

Resolución:

De → = M2[c] → [c] = M-1LT-2

Entonces:

2ML2T-2

L

=

M

M-1LT-2 = M2L-1T2

5. Si la siguiente fórmula D.a = cosφ. Vn es dimensionalmente correcta, determina ‘‘n’’, siendo:

D : longitud ; a : aceleración V : velocidad

[D.a]=[cosφ. Vn][D][a]=[cosφ] [V]n

Donde:[D]=L ; [a]=LT-2 [V]=LT-1 ; [cosφ]=1

Entonces:L .LT-2 = (LT-1)n

L2 T-2 = (LT-1)n

(LT-1)2 = (LT-1)n

→ n = 2

bc

Resolución:

1) Indica la relación correcta: I. Aceleración ......... LT-2

II. Frecuencia ......... T-1

III. Frecuencia ......... T a) Sólo I d)Sólo II b) I y II e)Sólo II y III c) Sólo III

Nivel I

2) Halla la dimensión de 3 8

a) 1 b) -1 c ) 2 d) -2 e) 8

3) Indica [P] si P = mv, donde: m : masa; v : velocidad a) M d) MLT-1

b) LT-1 e) ML2T-2

c) MLT-2

4) Si la ecuación dimensional es correcta:

I = Mx+y+TyDz

Donde: F : fuerza; m : masa t : tiempo; d : densidad

halla x+y+z. a) -2 b) 3 c ) 1

d) -1 e) 0

5) E n c u e n t r a l a e c u a c i ó n dimensional de ‘‘X’’ en X= Pv

donde: P : presión v : velocidad a) L2MT-3 d) L2M-1T-1

b) L2MT-1 e) LMT2

c) L2M-1T3

6) E n c u e n t r a l a e c u a c i ó n dimensional de ‘‘y’’ si se sabe que:

Donde: m : masa W : trabajo t : tiempo a : aceleración a) L-1T2 d) L-1T3

b) L-1T e) L-1T-1

c) L2T-1

7) Calcula [ J ] si J = 86Ft2, donde F : fuerza y t : tiempo. a) ML-1 d) M-1L b) ML e) M-1L-2

c) ML-2

maty

W =

8) Sabiendo que la siguiente ecuación es dimensionalmente correcta, encuentra [x] en:

Donde: V : velocidad T : tiempo a : aceleración m : masa A : área a) MT-3 d) MT-2

b) MT-1 e) M2T c) MLT

x . A + mv2

t= y.a

18 PRE ACADEMIA

Física


16) En la siguiente fórmula física: E = AV2 + BP donde: E : energía V : velocidad P : presión halla [ A/B ].

a) ML-3 d) ML-3T b) ML2 e) ML-4

c) ML2T3

Nivel II

9) Si la ecuación D = es dimensionalmente correcta,

encuentra la unidad K en el sistema MKS; donde:

D : densidad ; V : velocidad y A : Área a) kg m2s2

b) kg-1m2s-1

c) kg-1ms-1

d) kg-2m2s-2

e) kg m2s-1

VKA

10) Hallar la ecuación dimensional de A:

Donde: h : altura P : presión V : volumen

a)ML-3T-2 d)ML3

b)MLT-2 e)ML2T-1

c)M2LT-2

A = h.PV

11) Halla la dimensión de sen30°. a) L d) -1 b) L-1 e) 1/2 c) 1

12) Del ejercicio 8, halla [ y ]. a)L-1T2 d)MLT-1

b)LMT e)L-1T-1

c)MLT2

13) Halla la ecuación dimensional de ‘‘N’’ si:

Donde: T : trabajo V : velocidad D : densidad

a)L-1T2 d)L4

b)L4T2 e)L6T-3

c)L4T-2

N = T . V

D

14) Si V = A + BT + CT2, donde V: velocidad ; T : tiempo; halla [AC/B ]. a) LT-1 d) L b) LT-2 e) T c) LT

15) Halla la dimensión de la magnitud de la velocidad, sabiendo que se define como:

Donde: d : distancia t : tiempo

a) L b) L2T c) LT d) T e) LT-1

V = dt

17) Halla [ B ] en:

Donde:

C : energía A : frecuencia x : longitud a) ML-1T-1 d) T-1

b) ML2T-1 e) L-1

c) MLT

x = 1999C

2000 A+B

18) Del problema anterior, halla [C].

a) L-1

b) L2T

c) L2T-1

d) T-2

e) LT-1

19) La fórmula de la energía está dada por:

Donde: E : ML2T-2

W : Ángulo de incidencia

Halla [Z] .

a) M-1L-2T2

b) ML2

c) M-1L2T d) MLT-1

e) ML

E = sen(W)

Z

20) Sabiendo que el impulso es I = F . t Donde: F : fuerza t : tiempo halla [Z], para que la siguiente

ecuación sea dimensionalmente correcta:

Donde: W : trabajo m : masa a) LT2

b) LT-1

c) LT-2

d) LT-3

e) L2T-1

I= WZ

+ mZ

19PRE ACADEMIA

Física


Nivel III

31) Halla [x] si:

Donde: a : fuerza m : velocidad

a) LT-1 d) L-1

b) L3T e) m

c) T-2

21) Halla ‘‘x+y’’ para que la siguiente ecuación sea dimensionalmente correcta:

Donde: H : altura a : velocidad b : radio c : aceleración

a) 1 d) -4 b) -2 e) 5 c) 3

2H= a2bx

3cysenθ

22) Halla la dimensión de ‘‘Q’’ en el sistema internacional.

donde: d : densidad ; V : velocidad g : aceleración

a) LM d)ML-2

b) ML-3 e)ML-1

c) LMT-2

Q = DV2

100g

23) Calcula la ecuación dimensional de ‘‘a’’ si:

donde: V : velocidad R : radio

a) LT-1 d)L-1T b) LT e)L-2T c) LT-2

24) Determina [ β/α] si: E = aMLT-3 ; aV = F

donde: E : trabajo V : velocidad F : fuerza

a) ML d)LT b) M-1L-1 e)ML-1T-2

c) LT-2

25) Halla la dimensión de ‘‘K’’ en la siguiente ecuación dimen-sionalmente correcta:

P = KW2tgθ

Donde: P : Potencia W : Velocidad angular

a) L2MT-1 d) MLT b) L3MT2 e) L2MT-4

c) LMT-2

26) Si la ecuación a = WxRy es dimensionalmente correcta, halla x + y, siendo:

W : velocidad angular; R : distancia ; a : aceleración

a) 2 d) 1 b) -1 e) 0 c) 3

27) Dada la ecuación:

halla [x] , sabiendo que: E : ML2T-2 y m : masa.

a) LT-1 d) LT b) L2T-1 e) LT-2

c) L2T

x = 2Em

28) El periodo de un péndulo simple viene dado por la ecuación:

t = 2πLxgy

donde: L : longitud de la cuerda g : aceleración de la gravedad t : periodo del péndulo

Halla el número ‘‘x’’.

a) 1/2 d) 1/3 b) 2 e) 1 c) 3

29) Del problema anterior, halla el valor de ‘‘y’’.

a) 1/4 d) -2 b) -1/3 e) -1 c) -1/2

30) Dada la ecuación de cierta ley física:

halla la ecuación dimensional de y.

a)L d)-1 b)L-1 e)1 c)2

x

2 + xy =

32) Los cálculos teóricos muestran que la tensión de una cuerda que rodea a una polea viene dada por la ecuación:

donde: T : tensión (fuerza) W : peso ; R: radio d : diámetro de la polea Halla [S] .

a) MLT d) MT-1

b) MT-2 e) ML-1

c) M-1T2

T = WR + S d

a = V2

R

= aM

m2

x

20 PRE ACADEMIA

Física


33) Del problema anterior, halla el valor de ‘‘x’’.

a) -1 b) 2 c) 1 d) -2

e) 3

34) Halla [x] si:

Donde: A : potencia W : periodo

a)ML2T-3

b)LT-2 c)ML d)ML-2

e)ML-3T2

E = W A2 - x2

35) Encuentra [ P ] en la ecuación:

Donde: m : masa v : velocidad t : tiempo a) ML b) ML2T-3

c) LT-3

d) LT3

e) ML-2T3

4P = m(v+k)2

2t

36) Del ejercicio 34, halla [ E ] . a) ML2 b) ML2T-2

c) ML2T-3

d) ML

e) LT-2

37) Indica las unidades de ‘‘a’’ en el S.I. si se cumple:

Siendo: F : fuerza tangencial A : superficie V : velocidad y : desplazamiento a) m.s b) kg.s

c) kg/m.s d) m.kg/s e) kg.s/m

= a FA

Vy

38) Si se cumple que: K = 2πPVcosθ Donde: P : presión V : volumen halla [K] .

a) ML2T-2

b) MLT-2

c) ML2T-3

d) ML-1T-2

e) M2LT-3

39) Halla [x] si:

Siendo: a : aceleración v : densidad R : presión

a) ML

b) ML-4

c) L2M-2

d) L2M-3

e) M-1L-1

x = (log18)av2

R

40) Calcula [W] si:

Siendo: R : trabajo F : fuerza a) MLT

b) ML2T-2

c) ML-1T2

d) M2L3T-3

e) M2L-2T-2

R = 2 WF6F

41) La ecuación mc 2 = hf es dimensionalmente correcta. Si m= masa, c = velocidad de la luz y f= frecuencia, halla la ecuación dimensional.

a) MLT-1

b) MLT

c) ML2T3

d) ML2T-1

e) ML2T

42) Encuentra [ Km] si: F = fuerza; q 1=q2=cargas

magnéticas ; d = distancia

a) L2MT-3I-1

b) LMT-1

c) LM-1TI2

d) LM-1T2

e) LMI-1

F = Km q1 . q2

d2

43) R e s u e l v e e s t a e c u a c i ó n d i m e n s i o n a l s i A = á re a , B = volumen y C = velocidad.

a) L6T-5

b) L6T

c) L5T2

d) L-5T-1

e) L3T2

Z = A2Bsenα

(senα + cos α)C

21PRE ACADEMIA

Física


x = BD

V + + EC

2

44) En la siguiente expresión, determina [B] si:

Siendo: V : velocidad D : densidad C : masa a) ML-2T-1

b) ML2T

c) ML2T-1

d) M-1L2T e) ML-1T-2

45) La ecuación es dimensional-mente correcta:

Halla [Z] siendo: B : volumen A : área C : velocidad a) LT b) L-1T

c) L2T-2

d) LT-1

e) L-2T

Z = Btgα

A2C(1+sen2θ)

46) En la ecuación homogénea, halla [x] si:

Siendo: m : masa t : tiempo h : altura V : velocidad a) M

b) MT-1

c) MT-2

d) MT2

e) MT3

h = 4K(x - m)3

3t2

V

y+

47) Del ejercicio anterior, halla [y].

a) M b) T-1

c) T d) LT-2

e) L2T

48) En la ecuación dimensional-mente correcta, determina [Z] si:

Donde V : volumen a) L d) L3

b) L2 e) L-3

c) L-2

GV = XZV

49) La ecuación: FX = mxKmB2 es dimensionalmente homo-

génea. Halla [B], sabiendo que: F : fuerza X : distancia m : masa K : número adimensional a) LT2 b) LT-1 c) L-1T-1

d) LT e) LT-2

50) La s iguiente ecuación es dimensionalmente homogénea

y = Fat2(2p + x + sen2θ)3

Donde: F : fuerza a : aceleración t : tiempo Hallar la ecuación dimensional

de y.

a) ML2T-2 b) ML-1T-1 c) M-1LT-2

d) MLT-3

e) MLT-1

22 PRE ACADEMIA

Física


1) Halla los valores de x en: x2 - 9x + 20 = 0

a) x = 4; 6 d)x = -5; 6 b) x = 5; 6 e)x = 4; 5 c)x = 4; 3

Nivel I

2) Halla los valores de x en:

x2 - 10x + 21 = 0 a) x = 3, 5 b) x = 3, 7 c) x = 4, 5 d) x = -3, 5 e) x = -3, 7

3) Determina el área de: a) 3 u2

b) 4 u2

c) 5 u2

d) 6 u2

e) 12 u253°

5u

3u

4) Encuentra el área de: a) 8 u2

b) 7 u2

c) 5 u2

d) 6 u2

e) 9 u2

3u

2u

4u

5) Halle el área de la superficie. a) 24π m2

b) 36π m2

c) 32π m2

d) 54π m2

e) 55π m2

4m

3m

6) El valor del cateto ‘‘b’’ es:

a) 8 b) 6 c) 7 d) 5 e) 4

10

6

b

7) Del triángulo mostrado, halla sen216° + cos216° a) 7/24 b) 7/25 c) 24/7 d) 1 e) -1 16°

25

24

7

8) Determina senθ + cosθ. a) 6/5 b) 3/5 c) 4/5 d) 7/5 e) 4/3 θ

5

3

4

9) Halla las dimensiones de A si:

h : altura b : base

a) L2

b) L3

c) L4

d) L-2

e) L-1

A = h . b2

θ

b

h

10) Encuentra [Frecuencia] si:

a) T-1 d) T2

b) T-2 e) T-3

c) T

Frecuencia =1

Periodo

11) Determina [Q] si E = Q ; donde E = energía.

a) MLT-2 d) MLT b) MLT-1 e) ML2T-2

c) ML2T

12) Halla [Presión] si:

a) ML-2T-1 d) MLT b) ML2T e) ML c) ML-1T-2

Presión =Fuerza

Área

13) D e t e r m i n a l a e c u a c i ó n dimensional de I (impulso) si:

a) MLT-2 d) MLT-1

b) ML2T e) ML c) MLT2

I = (Fuerza) . (Tiempo)

14) Halla [D] si:

a) ML-3 d) ML-2

b) ML2 e) ML c) ML3

D = masavolumen

15) Halla A . B si:

Donde: K = MT-2 ; d = longitud x = longitud; P = MLT-1

a) L2T d) L-2T-2

b) LT e) M2LT-2

c) LT2

kx212

= Ad + BP212

Repaso

23PRE ACADEMIA

Física


16) Halla los valores de ‘‘x’’ si : x2 - 7x + 10 = 0

a)x = 2,5 d) x = 3,5 b)x = 3,5 e) x = 5,6 c)x = 4,5

Nivel II

17) Halla los valores de ‘‘x’’ si : x2 + 15x + 26 = 0

a)x = 7,2 d) x = 6,7 b)x = - 13, -2 e) x = -3, -13 c)x = 8 , 13

18) Determina el área de:

a) 20 u2

b) 21 u2

c) 22 u2

d) 23 u2

e) 24 u2

19) D e t e r m i n a e l á r e a d e l rectángulo:

a) 30 u2

b) 36 u2

c) 42 u2

d) 48 u2

e) 54 u2

37°

10u

8u

10u

53°

20) Halla la superficie del círculo:

a) 6π u2

b)7π u2

c)8π u2

d)9π u2

e)10π u2

6u

6u

21) Halla el volumen de la esfera.

a) 24π u3

b) 30π u3

c) 36π u3

d) 42π u3

e) 48π u3

3u

22) El valor del cateto ‘‘b’’ es: a) 60 b) 70 c) 5 3 d) 8 5 e) 6 4

10

5

b

23) Determina tgθ+ ctgθ. a) 5/3 b) 2 c) 3 d) 5/2 e) 4

θ

6

3

24) Halla la ecuación dimensional del área (A) del paralelogramo:

a) L-2

b) L-1

c) L2

d) L e) L3

b

a

α

25) Encuentra [K] ; K = a) L d) L3

b) L2 e) L-2

c) L-3

trabajopresión

26) Determina [R] ; R = a) T d) LT-1

b) T-1 e) L-1T c) LT

velocidadaceleración

27) De la siguiente relación, determina [α] si:

L = Lα t Donde: L : longitud t : temperatura

a) θ2 d) θ-1

b) θ-2 e) θ-3

c) θ

28) La intensidad de la corriente (I) se da por:

Halla [carga] .

a) IT-1 d) IT2

b) IT-2 e) IT c) I2T

cargatiempo

I =

29) Indica la ecuación dimensional de C si:

a) ML2T-1 d) MLT2

b) ML2T-3 e) ML c) MLT-2

calortiempo

C =

30) Indica las unidades de ‘‘B’’ en el S.I.

a) m2 . m/s d) kg . m . s b) m3 ./s e) m/s c) m . m2 . s

fuerza . distanciaπ. (tg30°) . masaB =

31) Halla los valores de x si: x2 - 17x + 60 = 0

a) x = -12 , -5 d) x = 12 , 6 b) x = 12 , -5 e) x = 12 , -7 c) x = -13 , 4

32) Halla los valores de ‘‘x’’ si : x2 + 2x - 168 = 0

a)x = -11, -12 d) x = 15, -16 b)x = 12, -14 e) x = 13, -14 c)x = 12, 14

Nivel III

33) Determina el área del triángulo.

a) 20 u2

b) 24 u2

c) 28 u2

d) 32 u2

e) 14 u2

30°7u

8u

24 PRE ACADEMIA

Física


34) Determina el área del trapecio.

a) 15 u2

b) 20 u2

c) 25 u2

d) 30 u2

e) 35 u2

7u

6u

3u

35) Determina el área del trapecio.

a) 40 u2

b) 50 u2

c) 60 u2

d) 70 u2

e) 80 u2

10

37°4

36) Determina el volumen del cilindro.

a) 40 π m3

b) 45 π m3

c) 50 π m3

d) 55 π m3

d) 60 π m3

5m

3m

37) Determina el volumen de la esfera.

a) 288π m3

b) 242π m3

c) 240π m3

d) 180π m3

e) 168π m3

6m

38) Las ecuación dimensional de V es: V = a . b . c

a) L2

b) L c) a . b . c d) L3

e) L-3

a

bc

39) E n c u e n t r a l a e c u a c i ó n dimensional del calor latente si:

a) LT d) LT-2

b) LT-3 e) LT-3

c) L2T-2

calormasaCL =

40) Halla [Ce] si Q = Ce . m . t, donde: Q = calor ; m = masa t = temperatura

a) LTθ-1 d) LT-2θ-1

b) LT3θ-1 e) LTθ-2

c) L2T-2θ-1

41) Determina [B] ; F =B . I . L, siendo : F = fuerza ; L = longitud ;

I = intensidad de carga eléctrica.

a) MT2I d) MT-2I-1

b) MTI e) MT c) MT-1I-2

42) Determina las unidades de ‘‘S’’ en el S.I.

a) 1/ms2 d) 1/s b) 1/ms e) m/s c) 1/m

TrabajoEnergía

S = Densidad Área

.

43) Halla la ecuación dimensional de ‘‘A’’ en:

a) L3T-1 d) M1/2L-2

b) L3T e) LT c) MLT

Fuerza5cos60°A =

Densidad Trabajo

.

44) En la siguiente fórmula física, ¿qué magnitud representa ‘‘K’’?

Donde: m = masa ; P = potencia L = longitud ; a = aceleración a) Fuerza d) Longitud b) Tiempo e) Adimensional c) Masa

m . a . L10 P

K =

45) Dada la siguiente fórmula dimensionalmente correcta:

donde: P=potencia ; D = densidad A = área halla [K]. a) L d) L-7/3T b) T e) L7/3T-1

c) LT

D

AK3P =

46) Dada la siguiente fórmula física correcta:

Donde: E=energía ; W = trabajo a = aceleración. Halla [K]. a) L2T4 d) LT b) L-2T4 e) 1 c) L3T4

W

a . K1/2E =

47) La s iguiente ecuación es dimensionalmente correcta. Halla las dimensiones de ‘‘Z’’ si:

Z2 = W .β2 . tg (βMT)

Donde: W= trabajo ; M = masa T= tiempo a) MLT-2 d) M-1/2LT-2

b) M-1/2LT e) M1/2L-1T2

c) MLT

48) Si P + αV2 + β = k es dimensionalmente correcta, halla [α/β],donde:

P : presión ; h : altura V : velocidad a) L-2T-2 d) LT-2

b) L2T2 e) L-1T2

c) LT

h3

49) Halla las dimensiones de ‘‘y’’ en la siguiente expresión:

y = α. E . e Donde: E : energía ; m : masa e : distancia a) L2T2 d) L4T-2

b) L-4T2 e) L4T4

c) LT

50) Si la siguiente ecuación es dimensionalmente correcta

Ax . B y + C - W . X . D = M donde M= masa hallar [C ]. a) MT d) M b) T e) 1 c) L

25PRE ACADEMIA

Física


Introducción

B) Magnitudes Vectoriales

Son aquellas magnitudes vectoriales que además de conocer su valor numérico y unidad, se necesita la dirección para que dicha magnitud quede perfectamente determinada.

Tengo fiebre de 40 ºC ¡Qué fatal!

F = 5N

En el estudio de la física, nos encontraremos con algunas magnitudes que para ser definidas, deberán ser asociadas a otras características además de valor y unidad (módulo). Por ejemplo, si alguien aplica una fuerza de 60 N a un bloque, no sabremos hacia dónde está aplicada dicha fuerza o sea falta la dirección o sentido. Si la persona nos informa que la fuerza es hacia arriba, hacia la derecha, hacia la izquierda o en dirección tal que forma 45º con la horizontal, tendríamos una idea clara de cómo aplicar la fuerza, la velocidad, la aceleración, etc. Estas magnitudes se llaman vectoriales, las mismas que tienen en esencia dos características especiales.

Objetivos1. Entender que la descripción de

ciertos fenómenos físicos se hace utilizando vectores.

2. Comprender y aplicar correctamente las reglas existentes para las operaciones con vectores.

Aquí clasificaremos a las magnitudes tomando en consideración otro aspecto.

I. POR SU NATURALEZA

A) Magnitudes Escalares

Son aquellas magnitudes que están perfectamente determinadas con solo conocer su valor numérico y su respectiva unidad.

Ejemplos:

S ó l o n e c e s i t o 100mm3 y estará terminado.

Son las 12:15 p.m.

¡Ya es tarde!

El desplazamiento indica que mide 6 km y tiene una orientación N 60º E (tiene dirección y sentido), con lo cual es fácil llegar del punto “O” a la casa.

Sabemos que la fuerza que se está aplicando al bloque es de 5 newtons, pero de no ser por la flecha (vector) que nos indica que la fuerza es vertical y hacia arriba; realmente no tendríamos idea si se aplica hacia arriba o hacia abajo. La fuerza es una magnitud vectorial.

Análisis Vectorial I

26 PRE ACADEMIA

Física


Es un elemento matemático que sirve para representar las magnitudes vectoriales.

Representación gráfica:

2. Concurrentes.- Si sus líneas de acción concurren en un mismo punto.

A, B y C son concurrentes.

3. Paralelos.- Cuando las líneas de acción son paralelas.

A, B y C son paralelas.

4. Opuestos.- Son iguales en tamaño (módulo), pero con sentidos opuestos.

BC

A

A y (-A) son paralelos.

5. Iguales.- Si sus elementos son iguales (módulo, dirección y sentido).

-AA

Si : A = BA = B α = θ

sentido de = sentido de A B

6. Coplanares.- Son aquellos que están contenidos en un mismo plano.

Multiplicación de un vector por un número (escalar)

1. Si el número es positivo.

C

B

A

A = 8µ 2A = 16µ

A = 4µ12

2. Si el número es negativo.

B

α α α

-2B B12

-

B = 4µ -2B =

- B =12

α θ

BA

A

2A

12

θ θ θA

B

C

Punto de concurrencia

A

* VECTOR

y

x

DirecciónθA

B

Línea de acción

Módulo∆

Elementos de un Vector

Todo vector tiene dos elementos:

Módulo

Es el valor numérico con una determinada unidad que presenta el vector.

Dirección

Está dado por el ángulo θ.

Representación Matemática

Vector : V = V = AB

Módulo : V = AB = V

Tipos de Vectores

1. C o l i n e a l e s . - S i s e encuentran sobre la misma línea de acción.

A, B y C son colineales.

BA

Línea de acción

C

Ejemplo:

Vector Nulo

Es aquel que tiene como módulo al cero. Si A es nulo, entonces: A = 0

27PRE ACADEMIA

Física


Suma de vectores o vector resultante

Consiste en reemplazar a un conjunto de vectores por un único vector llamado resultante.

• Para números positivos:

a) Mayores que 1 : Crece y se mantiene el sentido.

b) Menores que 1 : Decrece y se mantiene el sentido.

• Para números negativos:

Cambia de sentido

Métodos para hallar el vector resultante

• Para vectores paralelos y/o colineales.

En este caso se consideran

como si fueran simples números reales.

Halla el vector resultante en los siguientes casos:

A = 2µ B = 2µ

BA

A = 1, B = 3, C = 5, D = 1, E = 2

• Para vectores que forman un ángulo entre sí.

A) Método del polígono.-

Consiste en colocar un vector a continuación del otro.

α α αB

CE

DA

La suma o resta de 2 ó más vectores da como resultado otro vector.

A + B = S

A - B = D

R = A + B + C

C

B

cierra el polígono

A

R = A + B

No se cumple:Si : A = 2 B = 3⇒ R = 5 (falso)Sólo se cumple si son colineales o paralelos y con la misma dirección.

BA

R

¿Podrás cerrar el polígono?

A

BC

A

C

B

R = 0

Simón Stevin(1548 - 1620)

Nació en Bélgica, considerado como físico e ingeniero, deja como herencia a las ciencias físicas la Regla del Paralelogramo y del Triángulo. Lamentablemente no pudo ser difundido en aquella época debido a que éste escribía en flamenco, cuando la mayoría de los intelectuales utilizaba el latín. Su libertad de pensamiento, aun pasando sobre la autoridad científica, le permitió descubrir esta regla que se originó debido a las investigaciones que realizó sobre el equilibrio en el plano inclinado.

El apor te que dejó en las matemáticas es la inversión de las fracciones decimales.

A

cierra el polígono

B

A B

R =

B

C

D

E

A

Ejemplo:

Observación

^

R

R

28 PRE ACADEMIA

Física


1) Halla a + b + c de:

a) 2ab) 2bc) 3cd) 0e) 3a

Nivel I

1. Halla el vector resultante.

Tenemos que hallar la resultante:R = a + b + c + d

Pero:a + b + c = d

⇒ R = d + d = 2d

ba

cd


Tenemos que hallar la resultante:R = a + b + c + d

Pero:a + b + d = c

⇒ R = c + c = 2c

a

b

cd


Tenemos que hallar la resultante:R = a + b + d + e + f + c

Pero:a + b + d = f

y e + c = f ⇒ R = f + f + f = 3f

a

c

d

b

f

e


Te n e m o s q u e d e t e r m i n a r l a

resultante:

R = a + b + c + d + e

Pero:

a + b = c y d + e = c

⇒ R = c + c + c = 3c


Tenemos que hallar la resultante:

R = a + b + c + d

Pero:

a + b + c + d = 0

⇒ R = 0

a

b

c

d

a

b

de

c

b

a

a

c

b

c

Resolución:

Resolución: 2) Halla a + b + c de:

a) 2cb) 2ac) 2bd) a +be) a - b

c

a

b

3) a) 2c

b) 2ac) 2bd) a +b

e) a - b

Encuentra los vectores resultantes de:

4) a) c

b) 2bc) 2ad) a

e) 2d

ad

c

b

29PRE ACADEMIA

Física


5) a) 2a

b) 3fc) 2bd) 3c

e) 2d

ab

d

ce

f

6) a) 2a

b) 2ec) dd) 2b

e) c

a

e

dc

b

7) a) a + b

b) cc) dd) e

e) c + e

a

bc

d

e

8) a) d

b) 3bc) 2cd) c

e) ba

db

c

9) a) 2a

b) 2cc) c + dd) 2(a + c)

e) a + e

a

d

b

c

Nivel II

10) a) 2ab) 3cc) 2dd) 2(a + b)e) 2(a + c)

a

cb

d

11) a) -db) ac) 2dd) ce) -b

a

b

c

d

12) a) 2bb) 2ec) ad) 3ee) c

a

eb

d

c

13) a) 2cb) -fc) 2ed) ae) f

a

e

c

b f

d

14)

a) a b) 2(b + d) c) 2cd) (a + c) e) (b + d)

ab

c

df

e

15) a) fb) ec) ad) 2fe) d

a

c

ef

db

16) a) 2ab) ac) 3ed) be) 2b

a

c

e

bd

17) a) eb) 2cc) ad) de) 2e

a

c

e

b

d

18)

a) 2b b) b + c c) 0d) a e) c + d

a

ce

d

b

19)

a) 2a b) b + c c) 2bd) 3a e) 2(b + c)

f

a

e

db

c

30 PRE ACADEMIA

Física


a ec

b

d20) a) ab) 3ec) 2ad) 0e) d

21) a) 2ab) 2fc) cd) -fe) b

a

e

c

b

d

f

22) a) (a + b)b) 2cc) -dd) 2de) -b

a

c

d b

23) a) 3 cmb) 6 cmc) 9 cmd) 0 e) 4 cm

Determina el módulo del vector resultante (V).

60º 60º

3cm

24) a) 4 cmb) 5 cmc) 6 cmd) 7 cme) 8 cm 60º 60º

4cm

25)

a) 24 cm b) 20 cm c) 16 cmd) 32 cm e) 40 cm

37º20cm

26) a) 25 mb) 24 mc) 0d) 14 m e) 50 m

7m

24m

27)

a) 5 m b) 6 m c) 7 m d) 1 m e) 10 m

37º

3m

28)


2cm

2cm

29)

a) 1 cm b) 4 cm c) 2 cmd) 0 e) 3 cm

1cm

4cm

30)


9cm

6cm

7cm 4cm

31)

a) 0 b) 2 cm c) 4 cmd) 6 cm e) 10 cm

Nivel III

6cm

4cm

32)


10cm

5cm

33)

a) 10 µ b) 15 µ c) 25 µd) 20 µ e) 30 µ

20µ

34)

a) 8 m b) 16 m c) 17 md) 25 m e) 42 m

25m

17m

31PRE ACADEMIA

Física


35)

a) 4a b) 3a c) 2ad) a e) a 2

a a a

36) a) 10 cmb) 20 cmc) 30 cmd) 15 cme) 25 cm

15cm


53º

5cm

38) a) 10 µb) 6 µc) 9 µd) 8 µe) 3 µ

53º3µ

39)

a) 9 µ b) 4 µ c) 14 µd) 2 µ e) 8 µ

7µ

3µ


3cm 3cm

3cm3cm

3cm

3cm

41) a) 16 µ b) 8 µc) 4 µd) 2 µe) 10 µ

4µ

42)

a) 2 3 µ b) 4 µ c) 8 µd) 6 µ e) 10 µ

30º

3 µ

43)

a) 6b) 10c) 5d) 9e) 8

3

4 2

44)

a) 2ab) 2a 3c) ad) a 3e) a 2

a

a2a

aa

a 3

45)

a) 6 mb) 8 mc) 10 md) 15 me) 20 m

8m

6m

46) a) 8 µ b) 5 µ c) 20 µ d) 30 µ e) 10 µ

37º

45º

8µ

47) a) 5 µ b) 10 µ c) 8 µ d) 7 µ e) 2 µ 2µ 3µ

48) a) 8 µ b) 9 µ c) 10 µ d) 5 µ e) 2 µ 3µ 2µ

49) a) 8 µ b) 9 µ c) 10 µ d) 5 µ e) 2 µ

50) a) 3 cmb) 3 3 cmc) 2 3 cmd) 4 3 cme) 5 3 cm

60º 60º

2cm

60º

3µ

32 PRE ACADEMIA

Física


Para esto utilizaremos el siguiente método.

H o l a a m i g o s , a h o r a v e r e m o s a l g o n u e v o sobre vectores, pero es importante que recuerdes

algo sobre figuras geométricas como el triángulo y el paralelogramo con los cuales trabajaremos a continuación.

Suma de vectores paralelos y colineales

En este caso la resultante se determina mediante la suma algebraica de los módulos de los vectores.

Halla el vector resultante para el sistema de vectores.

Si: A = 2µ B = 3µ C = 1µ D = 1µ E = 3µ F = 5µ

B CA

D E F

En este caso procedemos del siguiente modo.

Los que tienen el mismo sentido se suman, es decir:

A, C y F : A+C+F=2+1+5 = 8 (→)

B, D y E : B+D+E=3+1+3 = 7 (←)

Luego R = 8 – 7 = 1 (→) (Sentidos opuestos se restan)

Resolución:

Ejemplo:

Suma de vectores concurrentes y coplanares

MÉTODO DEL PARALELO-GRAMO

Este método se usa cuando dos vectores forman un ángulo diferente de cero entre sí.

En este caso vamos a trasladar a uno de los vectores en forma paralela para que su punto inicial concuerde con el otro.

Ahora trazaremos paralelas a cada vector a partir de los extremos (punto final del vector) y la figura formada se llama: __________________

A Bθ

A

Bθ

A

Bθ

Ejemplo:

Resolución:

Recuerda

R = A + B¡Ten cuidado!Si A = 3; B = 7 ⇒ R = 10 (¡FALSO!)Esto no se cumple siempre.Si deseamos obtener el módulo del vector resultante usaremos:

|R| = A2 + B2 + 2AB cosθ

Halla el módulo del vector resultante, si cos 53° = .3

5

|R| = 32 + 52 + 2.3.5 cos 53°

|R| = 9 + 25 + 2 . 3 . 5 .

|R| = 52 ⇒ |R| = 2 13

35

53°

A=3

B=5

Ejemplo:

Resolución:

Observación

Si θ = 0º ⇒

A la resultante obtenida se le conoce como: “Resultante Máxima”

Rmáx = A + B

B

A

Análisis Vectorial II

33PRE ACADEMIA

Física


R = 15 + 15Rmáx = 30 N

Si θ = 180° ⇒

A la resultante obtenida se le conoce como: Resultante Mínima.

AB

Si Rmáx = 7 y Rmín = 1 para dos vectores, halla el módulo del vector resultante cuando dichos vectores son perpendiculares.

7 = a + b 1 = a – b a = 4 , b = 3

Por Pitágoras: R = 42 + 32 = 5

S i θ = 9 0 ° ( v e c t o r e s perpendiculares)

R2 = A2 + B2

Teorema de Pitágoras.

B R

A

Rmín = 15 – 15Rmín = 0

Halla el módulo de R en función de x.

60°

x

x

R

R

x

x

|R| = 3x

|R|= 2x

R

120°x

x

|R| = x

A D

Bθ

D = A – B

|D| = A2 + B2 – 2ABcosθ

La barcaza se mueve por acción de la resultante de las fuerzas F1 y F2. La dirección de la resultante es la de la diagonal del paralelogramo de lados F1 y F2.

F2

F1

Problemas de Desafío

1. Determina el módulo de la resultante de los tres vectores mostrados en la figura.

a) 5 cm d) 10 3 cm b) 5 3 cm e) 20 cm c) 10 cm

2. Si A + B + C = 0, halla el valor del ángulo θ.

a) 30° d) 53° b) 37° e) 60° c) 45°

B

C

A

θ17

28

25

60° 60°

10cm

20cm

15cm

Ejemplo:

Resolución:

En este caso R divide al ángulo en dos iguales, es decir, es una bisectriz.

S i dos vec tores t ienen módulos iguales:

2θ

x

x

R

Ejemplo:

Diferencia de vectores (D)

Rmín = A – B

1

34 PRE ACADEMIA

Física


1. Determina el módulo y la dirección del vector resultante, para el sistema dado.

Como los vectores son paralelos, entonces la resultante R va a ser:

|R|= 17 + 8 – 7 – 12 |R|= 6µ, hacia la derecha ( →).

3. Halla la medida del ángulo θpara que el módulo de la resultante de los vectores sea igual a m.

a) 30° d) 120° b) 60° e) 150° c) 90°

m

m

mmθ

7µ12µ 8µ

17µ

2. Determine el módulo y la dirección de la resultante de los vectores mostrados.

Como los vectores son paralelos, entonces la resultante R va a ser:

|R| = 15 + 10 – 8 – 12 |R| = 5, hacia abajo ( ↓ )

15µ10µ

12µ

8µ

3. Se tiene dos vectores del mismo tipo, cuyos módulos son 15µ y 7µ, respectivamente. Determina el módulo de su máxima y mínima resultante.

La máxima resultante se da cuando el ángulo entre los vectores es cero. Entonces el módulo de la resultante máxima es:

Rmáx = 15 + 7 = 22µ

La mínima resultante se da cuando el ángulo formado por los 2 vectores es 180°. Entonces el módulo de la resultante mínima es:

Rmín = 15 – 7 = 8µ

4. Si el módulo de la máxima resultante de 2 vectores es 24µ y el módulo de la resultante mínima es 6µ, determina el módulo de cada vector.

Tenemos Rmáx = A + B y Rmín = A – B

Donde Rmáx = 24µ y Rmín = 6µ

24 = A + B 6 = A – B 30 = 2A ⇒ A = 15µ B = 9µ

5. Del gráfico, determina el módulo de la resultante.

50°13°

12

10

37°13°

12

10

Halla el módulo del vector resultante de:

B

C

A

A

B

CD

E

Tenemos que el módulo de la resultante (R) es: R = 102+122 + 2(10)(12)cos37°

R= 100 + 144 + 2(10)(12)( )

R = 100 + 144 + 192

R = 436 R = 2 109

45

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

1)

a) 2 d) 1 b) 3 e) 0 c) 4

Nivel I

B CAa=4 b=2 c=1

2) a = 5 b = 3 c = 2

a) 2 d) 1 b) 3 e) 0 c) –2

3) a = 5 b = 4 c = 2 d= 3 e = 1

a) 2 d) 1 b) 3 e) 0 c) –2

35PRE ACADEMIA

Física


4) A = 3 B = 4 C = 5 D= 4 E = 2 F = 3 G = 1 H = 2

a) 1 d) –3 b) 2 e) 4 c) 3

Dato : cos 60° = 1/2 ; cos 120° = –1/2

A

B

CE H

G

F

D

5) A = 5 B = 3 C = 12 D= 10 E = 3

a) 1 d) –2 b) –10 e) –1 c) 2

A

C

B

ED

6) a) 7 b) 6 c) 5 d) 3 e) 2

60°

1=|A

|

2=|B|

7) a) 4 b) 2 7 c) 7 d) 3 7 e) 4 7

60°

2

4

8) a) 6 b) 5 c) 7 d) 3 e) 2 7

60°

1

2

9) a) 1 b) 2 c) 3 d) –2 e) 4

60°

1

2

10) a) 6 b) 5 c) 7 d) 4 e) 3

Halla el módulo del vector resultante en cada caso si: |a| = 3 ∧|b| = 5

60°

a

b

11) a) 17 b) 13 c) 19 d) 2 17 e) 15

a

b

120°

12) a) 35 b) 17 c) 2 35 d) 34 e) 21

a

b

13) Halla el vector resultante máximo de dos vectores cuyos módulos son 2 y 1.

a) 3 d) 0 b) 2 e) 6 c) 1

14) Del problema anterior, halla el módulo de la resultante si los vectores son perpendiculares.

a) 2 d) 5 b) 3 e) 5 c) 3

15) Todos los vectores mostrados tienen igual módulo. ¿En cuál de los casos el vector diferencia tiene el menor módulo?

a) En A b) En B c) En C d) En todas iguales e) Faltan datos

30° 120°

A B C

Halla el módulo del vector resultante en cada caso.

Nivel II

16) a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 7

60°

6

6

17) a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

60°

22

18) a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 4 3

60°8

4

4

120°

19) a) 5 b) 6 c) 4 d) 3 e) 2 3

60°

2 3

2 2 3+2

36 PRE ACADEMIA

Física


Halla el módulo del vector resultante de:

15°2

2

2

33° 87°

|B|=2|A|=1

20) a) 4 b) 8 c) 3 d) 7 e) 5

60° 60°4

3

4

21) a) 8 b) 15 c) 14 d) 9 e) 11

60°60°

3

6

6

22) a) 7 b) 8 c) 10 d) 6 e) 9

60°60°

4

4 2

23) a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 5 3

60°

5 5

24) cos α = 1/7

a) 4 b) 8 c) 6 d) 10 e) 16

α

7

3

25)

a) 2 3 b) 5 c) 3 d) 4 e) 5 3

60° 60°

433

26)

a) 6 3 b) 3 3 c) 6 2 d) 6 e) 9

60°

3

6

27)

a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50

53°

15

7

28) Se tiene dos vectores A=5 y B=3 formando 60°. Halla su resultante y su diferencia respectiva.

a) 5; 10 d) 6; 15 b) 8; 2 e) 4; 17 c) 7; 19

29) La resultante máxima de los vectores es 8 y la mínima es 2. ¿Cuál es el módulo de cada vector?

a) 5; 3 d) 6; 3 b) 6; 8 e) 5; 4 c) 9; 4

30) Dos vec tores t ienen una resultante mínima que vale 4 y una resultante máxima igual a 16. ¿Cuál es la resultante de estos vectores cuando forman 60°?

a) 14 d) 17 b) 15 e) 18 c) 16

Nivel III

31)

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 11

80° 20°

2

32)

a) 12 b) 13 c) 11 d) 10 e) 7

70°10°

1

3

33)

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

34) Halla |A – B|

a) 3 3 b) 2 3 c) 4 2 d) 5 e) 4 3

30°60°|A|=4

|B|=4

35) Se tiene dos vectores de módulos 9 y 15 cm. ¿Qué ángulo forman, si la resultante entre ellos mide 21 cm?

a) 30° d) 37° b) 60° e) 45° c) 53°

36) Halla |A – B|

a) 1 b) 2 c) 3 d) 3 e) 7

1

37PRE ACADEMIA

Física


37) Halla |A + B|si:

a) 10 b) 20 c) 24 d) 30 e) 40

|B|=12|A|=16

150°120°

38) Halla el módulo de la resultante del sistema vectorial mostrado.

a) 10 6 b) 10 2 c) 10 d) 5 e) 5 6

10

10 215°

10

39) Se tiene dos vectores de 10µ y 16µ, respectivamente. Sabiendo que el vector resultante forma un ángulo de 53° con el de menor magnitud, determina el ángulo entre el vector resultante y el de mayor magnitud.

a) 30° d) 53° b) 45° e) 90° c) 60°

40) Determina el ángulo entre dos vectores de 5µ y 12µ, si la magnitud del vector resultante es de 13µ.

a) 60° d) 120° b) 45° e) 90° c) 53°

41) Calcula «α» para que la resultante sea vertical.

|A| = 6 ∧|B| = 8

a) 30° b) 37° c) 45° d) 53° e) 60°

BA

y

xα

42) El módulo del vector resultante es:

a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 0

37°

5

4

3

43) Determina el módulo del vector |A – B|

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 1

47° 10°

|B|=4

|A|=5

44) Halla el módulo del vector |C – B|

a) 10 3 b) 10 c) 20 d) 20 4 e) 5 7

B=10

C=15

75° 15°

45) Halla el ángulo que forman dos vectores de igual módulo si su vector resultante tiene el mismo módulo que los vectores componentes.

a) 100° d) 150° b) 30° e) 120° c) 60°

46) Dados los vectores |a|=5N y |b|=6N, calcula |a – b|.

a) 5 N b) 6 N c) 10 N d) 3 N e) 2 N

ab

73° 20°

47) ¿Qué ángulo forman dos fuerzas de 27N y 45N para que actúen sobre un cuerpo como una sola fuerza de 63N?

a) 30° d) 75° b) 45° e) 53° c) 60°

48) Dados los vectores A y B mostrados en la figura, determina |A–2B|

a) 4 b) 8 c) 5 d) 20 e) 6

15°68°

|B|=3

|A|=5

49) La resultante de los tres vectores coplanares mostrados en la figura es cero. Halla el módulo del vector Q si |P| = 15 y|R| = 20.

a) 5 b) 7 c) 10 d) 8 e) N.A.

P

R

164°

Q

50) Si el módulo de la suma de dos vectores el igual módulo es dos veces el módulo de su diferencia, halla el ángulo comprendido entre dichos vectores.

a) 60° d) 27° b) 30° e) 45° c) 53°

38 PRE ACADEMIA

Física


Recuerda

To d o s l o s v e c t o r e s q u e reemplazan al vector x se llaman componentes.

Ejemplos:

Llegamos a la última parte del tema de vectores. Es importante que recuerdes algunas propiedades vistas antes para una mayor comprensión de lo que veremos a continuación.

Descomposición Vectorial

Recordemos la suma de vectores por el método del polígono.

A

B

C

Ahora haremos el paso contrario. Dado un vector cualquiera, vamos a reemplazar al vector R, por otros llamados componentes y que tengan como resultante al vector inicial.

R = A + B + C

ab

R

R

R = a + b

Dado un vector, se puede descomponer en otros vectores llamados componentes de dicho vector, de tal manera que estos en su conjunto sean capaces de reemplazar al vector dado:

R =

N

PQ

M

M, N, P y Q son componentes del vector R .

Como vemos, un vector puede descomponerse en dos o más vectores, todos en conjunto tendrán una misma resultante, el vector R.

x

x =

x =

x =

EJERCICIOS:

Halla el vector resultante en función de x.

Solución:

Sabemos que: R = A + B + x ... (1)

AB

x

1. Vamos a reemplazar al vector A por otros 2, de tal manera que uno de ellos pase por x. Así:

Vemos que: A = x + C

A

C

x

R

Análisis Vectorial III

39PRE ACADEMIA

Física


2. Hacemos lo mismo para B.

B = x + D

x B

D

3. Observa que C y D son colineales y del mismo módulo (tamaño). Luego C y D son vectores opuestos, es decir:

C = – D

Reemplazando en (1):

R = (x + C) + (x + D) + x

R = x + C + x + D + x

R = 3x + C + D

( (

Pero : C = – D

⇒ R = 3x + (–D) + D

R = 3x – D + D

R = 3x

Descomposición Rectangular

Ahora vamos a reemplazar a un vector por otros 2 que sean perpendiculares, llamados __________________ .

Ay

Ax

y

A

xθ

Donde :Ax : Componente de A en el eje xAy : Componente de A en el eje y.

La fuerza F que se aplica a la podadora de césped puede resolverse en una componente horizontal X y una componente vertical Y.

X

Y F

R

a

|a|=3

b|b|=4

|R| = 5

|R| = 32 + 42

|R| = 9 + 16

|R| = 25

En forma práctica: Usa triángulos rectángulos.

y

x

Ay

Axθ

A

Observación

Recordemos algunos triángulos notables.

k 2

45°

45°k

k16°

25k 74° 7k

24k

2kk

30°

60°

k 3

5k 53°

37°4k

3k

Además, en todo triángulo rectángulo se cumple:

a y b : catetosc : hipotenusa

Teorema de Pitágoras

cb

a

Ejemplos:

Halla las componentes de A sobre los ejes rectangulares.

A=25

y

x37°

Ax =

Ay =

Ejemplos:

c2 = a2 + b2

40 PRE ACADEMIA

Física


Preguntas

1. Si los niños que están en los columpios tienen el mismo peso, ¿cuál de los dos columpios tiene mayor probabilidad de romperse?

2. Se cuelgan dos cuadros que pesan lo mismo, como se muestra en la figura. ¿En cuál de los dos casos es más probable que se rompa el hilo?

Física en la vida cotidiana

Física del surf. El deporte de la tabla hawaiana sirve muy bien para ilustrar el comportamiento de los vectores. (1) Cuando tu tabla está orientada en el sentido del oleaje su velocidad v1 es igual que la de la ola. (2) Si forma un ángulo con las olas aparece también una componente v2 paralela a éstas. Puedes hacer variar v2, que está determinada por varios factores, pero v1 permanece relativamente constante. Así pues, cuando te deslizas formando un ángulo con el oleaje, la velocidad resultante vR es siempre superior a v1. (3) Cuanto mayor sea el ángulo que puedas mantener, mayor será vR.

v1

(2)

v1 vR

v1

(3)

v2

vR

Resolución:

1. Halla la componente del vector «A» sobre el eje «X».

Tenemos que la componente del vector A en el eje X es:

Ax = |A|cos53°

donde cos 53° =

⇒ Ax = 100 . ⇒ Ax = 60

35

20

|A|=100y

x53°

A

2. Calcula el módulo de la resultante.

Tenemos que en el eje X la resultante es:

Rx= 7N – 3N = 4N ( → )

y además en el eje Y

Ry = 5N – 1N = 4N ( ↓ )

Entonces el vector resultante es:

R = 4N i+ 4N (–j )

El módulo de R es:

|R| = 42 + 42 ⇒ |R| = 4 2 N

∧∧

3N

1N

7N

5NResolución:

3. Calcula el módulo de la resultante en:

Tenemos que la resultante en el eje X (Rx) es:

Rx= 10N + 6N – 13 N = 3 N ( → )

y en el eje Y (Ry) es:

Ry = 20N + 6N – 7N – 15N = 4N (↑)

Entonces el módulo del vector resultante es:

|R| = 42 + 32 ⇒ |R |=5N

13N6N

20N

6N

10N

7N15N

Resolución:

Resolución:

37°45°

50

20 2

20

20 30

40v2

(1)

35

4. Halla el módulo de la resultante de los vectores mostrados.

Descomponemos cada vector en sus componentes rectangulares.

De aquí:

Rx = 40 – 20 = 20 Ry = 20 + 30 = 50

⇒ |R| = R2 + R2 = 202 + 502

|R| = 10 29

x y

∴

41PRE ACADEMIA

Física


1) En la figura mostrada, halla el módulo del vector resultante si la figura mostrada es un trapecio.

a) 2 µ b) 4 µ c) 6 µ d) 8 µ e) 10 µ

Nivel I

5. Halla el módulo de la resultante.

Descomponemos los vectores de módulo 5 2 y 10, en sus componentes rectangulares.

De aquí tenemos:

Rx = 13 – 8 – 5 = 0

Ry = 6 – 5 = 1 ( ↓ )

⇒ |R| = 02 + 12 = 1

13

10

45°

53°

5 2

5

5

8

6

13

Resolución:

B

A

3µ

5µ

2) Los lados del rectángulo miden 3 y 7. Halla el módulo del vector resultante.

a) 2 µ b) 4 µ c) 7 µ d) 9 µ e) 14 µ

A

B

3µ

7µ

12

A

B

3) Halla el módulo del vector resultante si la figura es un paralelogramo.

a) 12 b) 6 c) 36 d) 24 e) 18

4) Las bases del trapecio son 2 y 6. Halla el módulo del vector resultante.

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

5) Dos vectores de magnitudes 3 µ y 5 µ forman un ángulo de 60°, halla la magnitud de la resultante.

a) 2 µ b) 8 µ c) 4 µ d) 7 µ e) 15 µ

53°x

A

y

C

A

B

x

6) Halla la componente del vector A sobre el eje «x», cuyo módulo es 100 N.

a) 50 N b) 60 N c) 70 N d) 80 N e) 90 N

7) Del ejercicio anterior, halla la componente sobre el eje vertical.

a) 50 N b) 90 N c) 70 N d) 80 N e) 100 N

8) Halla la resultante (AB = BC)

a) 3 x b) 2 x c) 4 x d) x e) 6 x

9) El módulo del vector V es 100 N. Halla el módulo de su componente en el eje de las ordenadas.

a) 50 N b) 50 3 N c) 60 N d) 80 N e) 90 N

10) Del problema anterior, halla el módulo de la componente en el eje de las abscisas.

a) 50 N d) 80 N b) 60 N e) 90 N c) 50 3 N

11) Ca lcula e l módulo de la resultante.

a) 7 d) 7 2 b) 10 e) 8 c) 6

V

30°

y

x

42 PRE ACADEMIA

Física


12) Calcula la resultante.

a) b b) a c) a+ b+ c d) cero e) c

a

b

c

13) Calcula e l módulo de la resultante.

a) 5 d) cero b) 4 e) 6 c) 3

a b

c

d

e

2

2

14) Calcula la resultante

a) c b) cero c) d d) a e) b

15) Halla el módulo del vector resultante de los tres vectores mostrados en la figura.

a) 3 b) 3 2 c) 4 d) 4 2 e) 5

Nivel II

16) Hal la la magnitud de la resultante.

a) 40 cm b) 50 cm c) 55 cm d) 60 cm e) 75 cm

y

x

80 cm

28 cm 37°

y 10

x5

7

53°

12

5

24

a

b

c

1µ

1µ1µ 1µ

1µ1µ

1µ

1µ

1µ

1µ

17) Halla el módulo de la resultante de los vectores mostrados.

a) 10 6 d) 10 29 b) 10 19 e) 50 c) 10 13

18) Halla el módulo de la resultante del conjunto de vectores mostrados.

a) 2 d) 2 b) 3 e) 2 3 c) 5 2

19) Calcula la magnitud de la resultante.

a) 1 b) 2 c) 2 2 d) 3 e) 2

20) Calcula |R| si R = a + b + c

a) 12 b) 7 c) 5 d) 9 e) 25

21) Halla la magnitud de la resultante del conjunto de vectores mostrados.

a) 6 µ d) 19 µ b) 23 µ e) 26 µ c) 15 µ

37°A

x

y10

100N

20N

76N

13N

2µ4µ

3µ

e

d

cb

a

22) Determina el vector resultante de los vectores mostrados.

a) b b) a c) - e d) d e) 2e

23) Halla la suma algebraica de los módulos de los vectores componentes de A.

a) 10 b) 11 c) 12 d) 14 e) 15

24) Determina el módulo de la resultante.

a) 21 N b) 22 N c) 23 N d) 24 N e) 25 N

25) Halla el módulo de la resultante de los vectores mostrados en la figura.

a) 5 µ b) 0 µ c) 10 µ d) 2 µ e) 9 µ

37°45°

50 m

20 2my

x

43PRE ACADEMIA

Física


26) Si el vector resultante del conjunto de vectores mostrados está en el eje y, halla el ángulo θ.

a) 30° b) 37° c) 45° d) 53° e) 60°

4µ

3µ

8µθ

8µ

8µ

6

66

6 6

6

E

53°

45°x13

y

10

5 2

1cm

7cm

5cm

3cm

y

x

27) Calcula el módulo de la resultante.

a) 4 cm d) 3 2 cm b) 5 cm e) 8 cm c) 4 2 cm

28) Determina el módulo del vector resultante de los vectores mostrados en la figura.

a) 10 µ b) 4 µ c) 6 µ d) 15 µ e) 8 µ

29) Halla el módulo de la resultante si |E| = 3 3 .

a) 6 3 b) 6 c) 3 3 d) 12 e) 3

30) H a l l a e l m ó d u l o d e l a resultante.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Nivel III

31) Expresa x en función de A y B.

a) B – A b) A – B c) A + B d) cero e) 2A + B

A B

x

2µ 2µ

2µ

2µ

2µ 2µ

2µ

2µ

A

B

x

m

m

32) Se muestra un hexágono regular de lado «a» y un conjunto de vectores. Calcula el módulo del vector resultante.

a) a b) 3a c) 2a d) a 3 e) 4 a

33) En la figura, determina el módulo de la resultante del conjunto de vectores mostrados.

a) 1 µ d) 4 µ b) 2 µ e) 5 µ c) 3 µ

34) Expresa en función de A y B.

a) A + B / 2 b) A – B / 2 c) 2A + B / 2 d) 2 A – B / 2 e) 2(A + B)

35) H a l l a e l m ó d u l o d e l a resultante.

a) 10 N b) 11 N c) 12 N d) 13 N e) 14 N

yxA=10N

37°7N

y 10N

x37°8N

6N

53°

y

xB=5N

36) Descomponer el vector A sobre los ejes inclinados.

a) Ax=6N; Ay=10N b) Ax=8N; Ay=6N

c) Ax=6N; Ay=8N d) Ax=5N; Ay=5N e) Ax=3N; Ay=7N

37) Descomponer el vector B sobre los ejes perpendiculares de la figura.

a) Bx=4N; By=5N

b) Bx=3N; By=4N c) Bx=4N; By=3N d) Bx=5N; By=3N e) Bx=3N; By=5N

44 PRE ACADEMIA

Física


38) Calcula el módulo de la resultante de |A| = |B| = 8; |C| = 14.

a) 10 b) 14 c) 16 d) 8 e) 6

A

BC

L

A

B

xL L L

a

b

c

d

37°37°

5µ

6µ

10µy

x

39) Expresa x en función de A y B.

a) A+B d) (A+B)/3 b) (A+B)/2 e) (A –B)/4 c) (A+B)/4

40) Calcula el módulo de la resultante s i | a | = 2 4 ; | b | = | c | = 8 y |d|=10.

a) 10 b) 14 c) 8 d) 6 e) 16

41) Halla el módulo del vector resultante.

a) 4 µ b) 4 2 µ c) 5 µ d) 7 µ e) 6 µ

42) Si la resultante del conjunto de vectores es horizontal, halla la medida del ángulo «θ».

a) 30° b) 37° c) 45° d) 53° e) 60°

ab

e

c d

y

x

10T10 2T

45°

θ

15T

a c d b

45°

53°

1cm x

10cm

7 2cm y

43) ¿Cuál viene a ser el vector resultante del conjunto de vectores? (a = 2d)

a) 3c b) 2 c/3 c) a d) 3a e) 2a

44) Dado el siguiente conjunto de vectores, encuentra la resultante en función de a y b.

a) a+b d) 4(a + b) b) 2(a + b) e) 2a + 3b c) 3(a + b)

45) Halla la dirección de la resultante del conjunto de vectores.

a) 37° b) 37°/2 c) 53° d) 53°/2 e) 45°

46) Halla x en función de a y b (AB = BC= CD)

a) (a – b) / 3 d) (b – a) / 6 b) (b – a) / 3 e) (a + b) / 4 c) (a + b) /3

xA B C D

ba

47) En el sistema de vectores mostrados, calcula el ángulo que forma la resultante con la vertical.

a) 30° b) 53° c) 37° d) 60° e) 45°

y1520

24

x37°37°

A Bx

2m m

θ7=|A|

α143°

|B|=15

|C|=20

x37°

37°

45°

y

a

c

b

48) Halla x en función de A y B

a) (A–2B)/3 b) (2A+3B)/4 c) (A+B)/2 d) (A–B)/2 e) (A+2B)/3

49) Halla el módulo del vector «c» para que la resultante se ubique sobre el eje «y», sabiendo que

a = 10 2µ y b = 10 µ.

a) 20 µ b) 15 µ c) 10 µ d) 5 µ e) 30 µ

50) Para los vectores A, B y C mostrados en la figura se cumple que:

A + B + C = O. Halla el ángulo θ (agudo) y α (obtuso).

a) 45°; 172° d) 60°; 157° b) 53°; 164° e) 30°; 187° c) 37°; 180°

45PRE ACADEMIA

Física


1) Indica las dimensiones de «P» en la siguiente expresión:

P = (densidad)(velocidad)2

a) LMT–1 d) MLT–2

b) LMT–2 e) ML–1T–2

c) MT–3

2) ¿Cuál es la dimensión de K, si: K = (presión) (volumen)? a) ML2T–2 d) ML–2

b) L2MT–1 e) L2MT–1

c) MLT–2

3) Indica la dimensión de «H» en la siguiente expresión:

H = a) L–1T–2 d) L2T–1

b) LT–3 e) LT–2

c) LT

5) De las siguientes expresiones, la magnitud fundamental es:

a) Área b) Tiempo c) Velocidad d) Aceleración e) Volumen

6) Determina la dimensión de G en la siguiente relación:

G =

a) ML–1T–3 d) ML–2T–1

b) MLT–3 e) L c) L3M–1T–2

7) En la siguiente ecuación dimensionalmente homogénea, determina las dimensiones de N si:

N =

Donde: a : aceleración t : tiempo

a) LT d) LT–3

b) TL–1 e) TL–3

c) LT–2

8) En la siguiente fórmula física: PK = mgh, donde P = potencia,

m=masa, g= aceleración de la gravedad y h = altura,

¿qué magnitud representa K?

a) Longitud b) Temperatura c) Tiempo d) Área e) Masa

9) Halla las dimensiones de α si la expresión es dimensionalmente correcta (homogénea).

αa + βb = ab – y a : distancia b : masa

a) M d) LM b) L e) ML–2

c) ML–1

10) Del ejercicio anterior, determina las dimensiones de β.

a) L d) ML–2

b) LM e) ML–1

c) M

11) Si la siguiente ecuación es dimensionalmente correcta:

AN = GIE Siendo : A : longitud G : masa N : área I : volumen Halla [E].

a) M d) M–1

b) M–2 e) M–3

c) M2

Repaso

sen30° (presión)9999 (masa)

4) Indica la dimensión de «L» en la siguiente expresión:

Cθ = LE Donde: C : aceleración θ : volumen E : energía

a) L2M–2 d) L–1M2

b) L3M–1 e) LM c) L2M–1

(fuerza) (distancia)2

(masa)2

a cos53°T

46 PRE ACADEMIA

Física


12) Dada la homogeneidad de la ecuación, determina [Q] si:

Q =

Donde: r : distancia S : área

a) L–1 d) L2

b) L e) L4

c) L–2

πA(VA – r3senz)4 S log40

b 5a7

e6d4

c 5

13) Si la siguiente expresión es dimensionalmente correcta:

TRIL = CE

donde: L=longitud, I=masa, R = á r e a , E = v o l u m e n y T=temperatura.

Halla [C].

a) L2Mθ d) L–1Mθ–1

b) Mθ e) MθL c) M–1θ


a) 3 d) 9 b) 5 e) 6 c) 7

15) Calcula el módulo de la resultante de:

a) 10 d) 14 b) 12 e) 4 c) 8

A8 B6

C 4

5B

C

D

A

182

10

a

bc6

84

θ θ θ

b 3a6 c 4

a cb

ab

c5

10360° 60° 60°


a) 25 b) 15 c) 10 d) 21 e) 20

17) Calcula el módulo del vector resultante de:

a) 10 d) 15 b) 11 e) 20 c) 12


a) 2 d) 6 b) 4 e) 8 c) 10

19) Calcula |a + b – 3c| si:

a) 9 d) 18 b) 16 e) 12 c) 15

20) Calcula |a + b – 3c| si:

|a| = |b| = |c| = 5 a) –5 d) 10 b) 5 e) 20 c) –10


a) 7 b) 6 c) 8 d) 10 e) 20

8

6

a

b

22) Determina la magnitud de la resultante de:

a) 20 b) 10 c) 8 d) 6 e) 15

2

8

10

14

23) Calcula E = |A – B| si:

|A| = |B| = 2

a) 5 d) 0 b) 4 e) 2 c) 1

A B

24) Halla la magnitud de:

S = A + B , donde|A| = |B| = 5.

a) 10 d) 2 b) 5 e) 6 c) 0

A B

47PRE ACADEMIA

Física


25) Calcula |R| (resultante).

a) 12 b) 25 c) 7 d) 5 e) 13

2412

5

a6 b 3 c 4

a cb

ba

c

ef

d

A E

B

D

C

79°

6

6

19°

26) Calcula |2a + 5b – 3c|.

a) 9 d) 7 b) 12 e) 15 c) 18

27) Calcula |a – b – c| si:

|a| = |b| = |c| = 10 a) –5 d) 5 b) –10 e) 10 c) 9

28) Calcula el vector resultante:

a) 3f b) 2a c) b d) –c e) 2e

29) Halla: R = A + B + C + D + E

a) –E b) 3E c) D d) 2B e) A

30) Calcula el módulo del vector resultante:

a) 6 9 d) 5 b) 6 2 e) 5 3 c) 6 3

31) Calcula el módulo de la resultante en:

a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 5

A

B

20

y

15x

ag f

e

d

cb

10µ

10µ

32) Calcula el vector resultante en:

a) a b) 2g c) d d) 2a e) e

33) Calcula el módulo del vector resultante en:

a) 15 µ b) 5 µ c) 10 µ d) 20 µ e) 25 µ

34) Halla el módulo del vector resultante en:

a) 10 µ b) 15 µ c) 20 µ d) 30 µ e) 40 µ

35) Halla el módulo del vector resultante.

a) 10 b) 5 c) 5 3 d) 3 5 e) 2 3 5µ 5µ

60°

20

8

6

37°

10µ

10µ

10µ

10µ60°

1µ1µ

A=3µ B=2µ

C=4µD=7µ

θ θ θθ

36) Halla el vector resultante:

a) 10 µ d) 25 µ b) 20 µ e) 30 µ c) 15 µ


a) 2 b) 10 c) 3 d) 1 e) 5


a) 10 b) 5 c) 20 d) 30 e) 15

39) Determina el módulo del vector resultante.

a) 2 µ d) 5 µ b) 3 µ e) 9 µ c) 7 µ

5µ10µ

48 PRE ACADEMIA

Física


40) Calcula la magnitud del vector resultante.

a) 2 d) 3 b) 5 e) 7 c) 4

a

bc

d

eh

g f

AB D

C

EF

2m 6m

1µ 1µ 1µ 1µ 1µ 1µ

1µ1µ1µ1µ

C

B

A

41) Calcula el vector resultante.

a) 2g d) –b b) h e) g c) e

42) Determina el módulo del vector resultante.

a) 8 m d) 10 m b) 2 m e) 16 m c) 14 m

43) Calcular la magnitud de A + B – C

a) A b) 2C c) B d) –B e) 2B

44) Expresar X en función de A y B.

a) d)

b) e)

c)

A + B2

A – B2

2A + B2

2A – B2

3A + 2B3

A

BX

d

bc

e

f

a

A

B

C

A + B2

A + B4

A + B3

A + B6

2L L L 2L

A

BX

45) Calcula el vector resultante.

a) c b) 2e c) e d) b e) –e

46) Determina la magnitud de: A – B – C

a) –B b) 2C c) A d) 2A e) B

47) Expresa X en función de A y B.

a) A + B d)

b) e)

c)

8

8

10

60°60°

C

A

B

D 1µ1µ

a

bcd

e

fg

48) En la f igura mostrada, la magnitud del vector

R = A + B + C + D es:

a) 5 µ d) 0 b) 2 µ e) 3 µ c) 4 µ

49) Calcula la magnitud del vector resultante.

a) 16 d) 8 b) 18 e) 12 c) 10

50) Determina el vector resultante.

a) c b) 3e c) 4e d) 5e e) 7e

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1 Física Pre-1er Bim