112 Viaje a la Complejidad 4: La complejidad de lo social. La trama de la vida

La investigación social surge y parte de una prenoción de lo que es la socie-dad, de lo que forma el vínculo. Como el psicoanálisis nos enseña, muchas veces en forma de mitos (Edipo) o de alegorías (la novela familiar, el revés de los sueños, los actos fallidos), el discurso arranca de la dificultad de nombrar el límite, el agujero que bordea el vínculo social y que amenaza con disolver los laxos que hacen lo común.

Lo político es el referente básico, es el hacerse de la forma de la sociedad. No es una especialidad entre los oficios, sino el objeto mismo de la reflexión psicoanalítica.

Por eso la investigación sectorialmente acotada (de mercados, de opinión, de instituciones) siempre nos lleva a la pregunta más indiscreta e imprescindi-ble: ¿qué nos mantiene unidos? (Marinas, 2006, 2008)

Investigar no es, pues, establecer los efectos de causas o códigos preexisten-tes (como analizar no es fijar el lugar donde quedó interrumpido en el pasado el hilo conductor del sujeto) sino más bien preguntar a los síntomas, al discurso: ¿qué hay de nuevo?

Porque el sujeto (o lo sujeto) no lo está del todo. Al menos mientras desee.

LENGUAJE Y COMPLEJIDAD Peter Gilkey, Alexandra Karousou, Susana López Ornat

A menudo los sistemas infinitos se definen como el límite de los sistemas

finitos. No obstante, resulta útil realizar la aproximación a los sistemas finitos, esencialmente discretos, mediante los continuos, de carácter infinito.

En el siguiente apartado, analizamos dos sistemas físicos diferentes que fi-guran en la física matemática: la ecuación del calor para la temperatura y la ecuación de Laplace sobre los tonos fundamentales del tambor.

Estos sistemas físicos son discretos y, tras adoptar la aproximación semi-clásica, también fundamentalmente finitos. Pero debido a la complejidad que encierran, el paso a un ajuste continuo permite expresar sus propiedades utili-zando ecuaciones diferenciales parciales, la aproximación resultante es exce-lente. Además, la macroestructura implicada, que presenta un alto nivel de complejidad, acusa fenómenos que no son evidentes de inmediato en la estruc-tura microscópica.

El resto del trabajo está dedicado, desde una perspectiva formal, a la discu-sión del lenguaje humano, un sistema discreto y (posiblemente) finito44. El pro-

44 Atendemos ante todo a la dimensión formal del lenguaje, siguiendo la tradición lingüística

según la cual son de especial importancia los conceptos analizados (recursión, infinitud discreta, etc.). Sin embargo, haremos notar que el lenguaje natural no es lo mismo que su descripción formal idealizada. Las formas lingüísticas existen en una descripción formal del sistema del

Capítulo 3: La coordinación social: lenguaje y comunicación 113

blema de la infinitud del lenguaje natural está sujeto a controversia (Langendo-en 2010). Pero si adoptamos el punto de vista de Pullum y Scholz (2005), cual-quier expresión en lenguaje natural es al final un objeto de dimensión finita (añadiremos que a causa de las restricciones impuestas por el procesamiento de la memoria del sistema cognitivo humano o, llevado al extremo, debido a la naturaleza finita de toda existencia). Faltan bases adecuadas para sostener que los lenguajes naturales posean infinitas posibilidades expresivas Pullum y Scholz (2010).

Trataremos después de la complejidad y la recursión en el lenguaje relacio-nándolas con los conceptos de infinitud discreta y universales «blandos». Con-tinuamos este análisis deteniéndonos en la utilización, la eficiencia y el sistema operativo. En la última haremos unas consideraciones finales

APROXIMACIÓN A LOS SISTEMAS FÍSICOS DISCRETOS ESENCIALMENTE FINITOS MEDIANTE SISTEMAS CONTINUOS INFINITOS

Según lo percibimos, el universo es discreto –estamos compuestos de áto-mos (y de otras partículas elementales más exóticas)-. Los átomos están inte-grados por neutrones, protones y electrones. Estas partículas pueden ser des-compuestas, en un cierto sentido, en quarks. La estructura fundamental es, en esencia, discreta –lo que implica no ser divisible hasta el infinito. Cualquier intento de extraer los quarks del protón o del neutrón sitúa energía dentro de sistema y crea nuevas partículas elementales y no quarks libres.

Además la mecánica cuántica muestra que los «estados» que los átomos pueden ocupar son discretos: «el momento angular, o dicho de otro modo, la acción de un electrón ligado en un átomo o molécula está cuantizado. Mientras que un electrón libre no presenta energía cuántica. Un electrón ligado a una órbita atómica posee valores cuánticos de momento angular (Wikipedia 2011). Sin embargo, a pesar de la finitud esencial el carácter discreto de nuestro mun-do, al estudiar fenómenos microscópicos, podemos tratar diversos sistemas

lenguaje. Este incluye las citadas formas pero desborda sus límites. Por ejemplo, el lenguaje sirve para transportar el significado. La obtención del mismo descansa en las formas lingüísticas, pero también en cada situación comunicativa concreta. El significado emerge como resultado de un proceso reductivo de incertidumbre probabilística que computan de modo simultáneo formas lingüísticas e información de señales extralingüísticas. Incluye gestos manuales y/o expresiones faciales que acompañan al lenguaje, dirección de la mirada, o la postura corporal del transmisor del mensaje, la cualidad de la voz o la velocidad de articulación, el contexto específico en el que aparecen estas formas, el estado emocional del trasmisor o del receptor del mensaje, la coherencia del texto y el conocimiento previo que el receptor pudiera tener sobre las intenciones o la historia personal del trasmisor; además del conocimiento general acerca del tema que se considere y las inferencias de los demás sobre el conocimiento del estado de los otros etc. En consecuencia, la misma forma lingüística puede significar cosas totalmente diferentes en distintas situaciones. Será tratado aquí el problema de si los significados lingüísticos pueden ser considerados finitos o infinitos.

114 Viaje a la Complejidad 4: La complejidad de lo social. La trama de la vida como continuos –por ejemplo, la mecánica estadística y la termodinámica son muy precisas a la hora de predecir el comportamiento de los gases. Eso lleva a un nivel de complejidad más alto. La consecuencia es que a pesar de la índole discreta de la naturaleza, cuando están afectados un gran número de objetos –los métodos basados en el continuo proporcionan una descripción muy acertada de la realidad física. Huelga decir que están implicados muchos niveles de complejidad.

De hecho transformamos sistemas finitos en infinitos; la física de Newton está basada en ecuaciones diferenciales parciales que suponen que los fenóme-nos son continuos. Ello resulta ser una buena aproximación a la realidad –la relatividad general y la mecánica cuántica quedan fuera de ese trabajo y se hallan a un nivel más alto de complejidad. En el apartado que trata de la ecua-ción del calor y en el siguiente, dedicado a la ecuación de un tambor, represen-tan aproximaciones desde la continuidad a una realidad física discreta.

Concluiremos con una breve discusión sobre la hidrodinámica.

LA ECUACIÓN DE CALOR Sea D un dominio ligado en un espacio tridimensional con fronteras bd(D)

a la temperatura inicial p. Mantengamos la frontera a 0 grados; sea u(x;t) la subsecuente temperatura de distribución del fluido. Todo queda descrito en el siguiente sistema de ecuaciones:

(a/at –a/ax2- a2/ay2-a2/az2)u=0 Ecuación de evaluación !"#!↓0!! . ; = !(. ) Condición inicial u|bd (D) =0 Para t >0 Condición frontera

La descripción del sistema es de naturaleza matemática –una ecuación dife-rencial parabólica parcial da cuenta de su evolución: su condición inicial y la situación de su frontera, ya que no es de extensión infinita. El sistema físico queda muy bien descrito a pesar del hecho de que los sistemas físicos son en realidad discretos, compuestos por un número finito de átomos. Pero dado que su número es muy elevado y de alta complejidad, en lugar de estudiar cada átomo por separado basta con aproximar el sistema complejo finito mediante otro de tipo continuo, más fácil de estudiar. De nuevo estamos ante la teoría de la complejidad. Se debe hacer hincapié que la complejidad de un sistema real de tipo finito -en oposición al infinito de carácter idealizado- es enorme. Inclu-so al estudiar micro-cavidades existe un enorme número de átomos y resulta imposible modelar de manera explícita el sistema discreto. Así nos aproxima-mos a este mediante un sistema infinito continuo utilizando ecuaciones diferen-ciales parciales.

Es de hacer notar que el hecho de que el sistema de ecuaciones diferenciales parciales en cuestión sea parabólico tiene consecuencias matemáticas no físicas –una pequeña adición de calor en un punto afecta de manera instantánea a la

Capítulo 3: La coordinación social: lenguaje y comunicación 115

temperatura total de cuerpo-.

EL SONIDO DE UN TAMBOR Consideremos ahora que D sea una región limitada en el plano, el de un

tambor. La membrana se mantiene fija en sus bordes. Los tonos fundamentales que un tambor puede emitir son los eigen values L del operador laplaciano de nuevo sujeto a las condiciones de Dirichlet, representan la solución a la ecua-ción diferencial parcial elíptica:

(L-a/ax2-a2/ay2)u=0 (PDE) u |bd(D) = 0 (Condiciones de frontera)

Otra vez nos encontramos ante una aproximación continua a la realidad discreta. La condición de frontera refleja el hecho de que la cabeza del tambor es constante, en la frontera la ecuación en derivadas parciales es elíptica. He-mos descrito una disposición muy simple donde el material del tambor es uni-forme y donde se supone que su cabeza tiene un grosor muy pequeño; otras ecuaciones de mayor complejidad describen otras geometrías y se alcanzan modelos físicos más realistas, pero no iremos más allá en interés de la breve-dad. Al estudiar estos problemas entramos en el fantástico mundo de «podemos oír la forma de un tambor». Lo tonos fundamentales de un tambor determinan su forma. (Kac 1996). Para profundizar en esta cuestión véase [Gilkey (2004), Gordon et al. (2010)].

HIDRODINÁMICA

Hemos escogido dos ejemplos muy elementales para nuestra exposi-ción. Sin embargo, este principio es universal en física moderna y en biología. Tones et al (2005) afirman que la bandada representa el movimiento coherente colectivo de grandes números de organismos … todos hemos visto bandadas de pájaros, de peces, rebaños de bestias salvajes, etc. … Las bandadas pertenecen a la extensa categoría de sistemas dinámicos alejados del equilibrio con mu-chos grados de libertad…

Ests problemas son estudiados por la mecánica estadística. La hidrodinámica es un asunto bien entendido. Este entendimiento no

proviene de la resolución de los numerosos, numerosísimos problemas del tema fundamental de computar las posiciones independientes del tiempo ri(t) de las 1023 moléculas constituyentes de un fluido sujeto a las fuerzas intermo-leculares del resto de las 1023 moléculas. Tal aproximación es analíticamente, intratable, incluso si conociésemos lo que son las fuerzas intermoleculares… La manera en que entendemos la mecánica de fluidos se realiza mediante el establecimiento de un conjunto de ecuaciones continuas –las ecuaciones de Navier-Stokes- para un densidad P continua y suavemente variable y unos campos de velocidad V que describen el fluido. Aunque sabemos que estos

116 Viaje a la Complejidad 4: La complejidad de lo social. La trama de la vida están formados por átomos y moléculas podemos definir una densidad P de «grano grueso» y campos V de velocidad promediando volúmenes de grano grueso comparables a los espacios intermoleculares o en las bandadas a los espacios «entre pájaros». A gran escala incluso los sistemas discretos parecen continuos, como todos sabemos al inspeccionar de cerca las fotografías de un periódico y las imágenes de la televisión. Al escribir las ecuaciones de Navier-Stokes enterramos nuestra ignorancia acerca de la dinámica microscópica detallada del fluido mediante unos pocos parámetros fenomenológicos. … (To-ner et a 2005)

De este análisis extraemos dos conclusiones. La primera consiste en que resulta útil para aproximarnos a un sistema finito mediante otro infinito. La segunda es que un sistema de agregados puede mostrar propiedades que son interesantes por derecho propio -que existe un nivel de complejidad implicado –una jerarquía de niveles en los fenómenos físicos. Esto será importante al discutir a continuación acerca del lenguaje natural.

EL LENGUAJE COMO SISTEMA INFINITO Los conceptos de complejidad y recursión son centrales en la teoría

lingüística moderna (Chomsky 1957). Permite tratar al lenguaje, limitado a su dimensión formal, como un sistema infinito discreto. Pero estos conceptos se utilizan a veces de forma inapropiada, ya que las definiciones que existen en la literatura están expuestas ocasionalmente de forma ambigua. Resulta sencillo definir desde la matemática la noción de recursión. Introdujimos ya ciertos formalismos matemáticos al tratar de límites, recursión matemática y teoría de los modelos; esta última está estrechamente relacionada con la lógica simbóli-ca, aunque no quepa confundirlas. También introdujimos la noción de funcio-nes recursivamente definidas y el grado de complejidad vinculada a su evalua-ción.

Continuaremos nuestro análisis analizando la complejidad y la recur-sión en el lenguaje. Más adelante abordaremos la comunicación simbólica, los números y la infinitud discreta. También trataremos la noción de los «universa-les débiles» en el lenguaje. No son estas características relacionadas con la dotación genética «a la Chomsky», sino universales necesarios para la funcio-nalidad del lenguaje, para la comunicación y las habilidades cognitivas y socia-les. Discutimos acerca de las relaciones potenciales entre estos universales débiles y la teoría de los modelos. Más tarde continuaremos con la ejecución, la eficiencia y el sistema operativo. Buscamos entender si son universales las estructuras lógicas básicas que empleamos para tratar y entender las matemáti-cas. Una vez más la teoría de la complejidad es importante ya que estas son claramente estructuras de orden superior construidas sobre una base lingüística subyacente utilizando la estructura lingüística recursiva no matemática.

FORMALISMO MATEMÁTICO

Capítulo 3: La coordinación social: lenguaje y comunicación 117

Ya introdujimos la noción de límite En la Definición 1 procedimos de manera informal como podrían haber hecho Newton o Leibniz. En la Defini-ción 2 proporcionamos la definición estándar de cálculo. Introdujimos también las bases de la teoría de los modelos y en la Definición 3 proporcionamos una formulación basada en ellos de la noción de límite. El paso de la Definición 1 a la 2 y a la definición 3 es una progresión hacia definiciones más abstractas y a niveles de complejidad más altos. En la siguiente sección presentamos la teoría de las funciones recursivas y discutiremos acerca de su complejidad desde el punto de vista de la instrumentación.

LA NOCIÓN DE LÍMITE Empezamos con un ejemplo extraído del cálculo. En lo que sigue sea f(x) el

valor real de una función de una variable real x; la definición precisa de esta noción es por sí misma instructiva; sin embargo, omitiremos su discusión en aras de la brevedad. La definición siguiente sería algo con lo que Newton y Leibnitz se sentirían a gusto:

Definición 1. Limx→af(x)=L significa que x está infinitesimalmente próxima a «a» (pero diferente de) «a», entonces f(x) está infinitesimalmente cerca de L.

Esta definición, al ser formalizada, conduce a una rama matemática llamada análisis no normalizado. A este respecto véase (Davis (1977), Kanovei y Ree-ken (2004), Robinson (1996)). Esto debe ser considerado como el comienzo de la teoría de los modelos. Pero mientras se presenta, sin demasiada elaboración, a un nivel de complejidad muy alto, no se puede verificar si la Definición 1 es verdadera o falsa aplicada a ejemplos particulares; no es operativa, ya que la noción «infinitesimalmente próxima a “a”» no es precisa. Entonces reempla-zamos la definición 1 por la siguiente:

Definición 2 limx→af(x)= L; lo que significa que dado un número positivo cualesquiera

e, existe un número positivo d de manera que 0<|x-a| <d⇒ | f(x) –L | < e Cualquier tratado elemental de análisis procura muchos ejemplos que utili-

zan esta definición para probar afirmaciones matemáticas –representa un con-cepto a la vez útil y operativo. En lugar de insistir en este punto nos rremitimos a Ross 1980.

Esta definición solo adquiere sentido en el contexto del campo de los núme-ros reales R (un campo completamente ordenado). R es un sistema infinito, incontable, que contiene los números racionales Q de la aritmética ordinaria como un subcampo denso y ordenado. El campo R es fundamental en el cálcu-lo. El cálculo integral y diferencial sin ello serían imposibles. Y la rigurosa definición de límite de la Definición 2 es uno de los grandes logros alcanzados por Cauchy, Weierstrauss y otros. Se pueden considerar las expansiones finitas de carácter binario que aparecen en las computaciones modernas como una aproximación finita y discreta a los números racionales Q, que a su vez son una

118 Viaje a la Complejidad 4: La complejidad de lo social. La trama de la vida aproximación a los números reales R.

LA TEORÍA DE LOS MODELOS

El idioma inglés desempeña un papel central en la definición 2, aunque se puede trasladar con facilidad a la mayoría de las lenguas. Sin embargo, pode-mos dar un paso más, ser aun más formales y eliminar esta dependencia lin-güística y hacer la definición puramente simbólica a un nivel mayor de comple-jidad. La siguiente definición sería apropiada para hacer un recorrido en análi-sis no normalizado (ver Kanovei y Reeken (2004) Robinson (1996):

Definición 3 limx→a f(x) = L ⇔{{∀ε ∈R' {ε>0 '' ⇒ {{{∃δ ∈ R' {δ >0'' ⇒{{{∀x ∈ R' {0 < | x-a |' { |x-a | < δ '' ⇒ { | f(x) – L | < ε '''

Aunque la Definición 3 ha perdido enteramente el contacto con el idioma inglés, sería reconocible para cualquier matemático con independencia del idioma que hablase. Sin embargo, al ganar universalidad y precisión la Defini-ción 3 ha perdido accesibilidad y su deconstrucción conlleva enorme cantidad de esfuerzo. El estudio de las afirmaciones matemáticas y de los consiguiente argumentos desde este punto de vista pertenece a un campo llamado teoría matemática de los modelos.

Los elementos básicos en argumentos matemáticos comunes se ilustran en la Definición 3:

(1) Constantes. Se pueden distinguir varias subclases –la siguiente lista no es exclusiva ni exhaustiva:

(a) Primitivos: “0” significa «cero» y “R” significa «números reales». (b) Relaciones: “<” es una relación binaria; a<b significa «a menor que b». (c) Funciones: “|a|” representa la función 1-argumento cuya entrada es un

número real y cuya salida es el valor absoluto de ese número real; “lim” es una función 2-argumento cuya primera entrada es un número real y cuya segunda entrada es una función real; no está definida para todo “a” y “f”.

(2) Variables : x, a, L, e, f, y d, Hágase notar que “a” y “L” y “f” pueden ser también constantes.

(3) Cuantificadores: ∀ significa «para todo»; ∃ significa «existe un» o «po-demos encontrar».

(4) Implicación: ⇒ significa «implica que» o «dado cualquier»; ⇐ invierte la implicación y significa «implicado por»; ⇔ indica ambas implicaciones, v.gr. «sí y solo sí» o «equivalente».

(5) Negación: ¬P significa «no P», así la afirmación P es falsa. (6) Conjunciones: ∨ significa «o» mientras que ∧ equivale a «y».

Capítulo 3: La coordinación social: lenguaje y comunicación 119

Lo anterior representa una lista no mínima, ya que, por ejemplo, el aserto {P⇒Q} equivale lógicamente a la afirmación ¬{P∧¬Q} y {P∧Q} equivale en lógica a ¬{{¬P}∨{¬Q}}. De modo que se pueden eliminar ⇒ y ∧ de la lista de elementos básicos. Por supuesto variables y sustituciones están estrechamente relacionadas pero no son conceptos idénticos.

Lo que es importante es que en principio se pueden escribir tales fórmulas y métodos admisibles de manera muy formal. Se dice que un conjunto S de axiomas (proposiciones matemáticas) es consistente si existe un modelo que satisface estos axiomas. Es por ello por lo que este campo es conocido como Teoría del modelo. A este respecto, es un resultado fundamental en este ámbito que solo le pertenecen las restricciones finitas; v. gr. un conjunto infinito S de axiomas es consistente sí y solo sí cada subconjunto T de S lo es. Esto es cru-cial. Se utilizan sistemas finitos para entender los sistemas infinitos. De manera que las cuestiones sobre la infinitud no necesitan aparecer en la teoría de los modelos. Uno está siempre estudiando problemas puramente finitos (que, por supuesto, codifican cuestiones relativas a los sistemas infinitos – ver más ade-lante la discusión acerca de la recursión y los axiomas de Peano). Aunque los modelos para cada subconjunto T pueden ser diferentes, resulta necesario «jun-tar» los diferentes modelos utilizando un ultrafiltro para construir un único modelo coherente para S (lo que requiere el axioma de elección además de los axiomas estándar de la teoría de conjuntos). Pueden existir muchos modelos para un conjunto dado de axiomas; elegir un modelo no estándar para los nú-meros reales permite discutir lo infinitesimal y por tanto efectuar una defini-ción de límite matemáticamente precisa y rigurosa, como la de la Definición 1, lo que sucede a un nivel de complejidad muy alto. El formalismo descrito arri-ba es esencial para esta tentativa. Para más datos enviamos al lector a Davis 81977) Kanovei y Reeken (2004) y Robinson (1966).

Funciones recursivas La inducción matemática se enseña en la primera semana del segundo año

de muchos cursos de análisis. Por ejemplo, siguiendo a Ross (1980): sea N el conjunto {1, 2, 3,..} de todos los números naturales, cada número natural «n» tiene un sucesor, sea n+1. Contamos para este conjunto con los axiomas de Peano:

Axiomas sobre la Definición N1) 1 pertenece a los números naturales. N2) Si «n» es un número natural, entonces n+1 también lo es. N3) Si 1 no sucede a número natural alguno; en concreto 0, no es un número

natural. N4) Si «n» y «m» son números naturales que tienen el mismo sucesor, en-

tonces n=m. N5) Un subconjunto de los números naturales que contenga a 1 y que con-

120 Viaje a la Complejidad 4: La complejidad de lo social. La trama de la vida tenga a n+1 siempre que contenga a «n» debe contener a todos los números naturales.

Hemos llegado así al comienzo de la teoría matemática de la complejidad. Algunas funciones recursivas son más complejas que otras. Por ejemplo el factorial de n:

n! = 1 x2 x … n la dificultad reside en “…” Conocemos intuitivamente lo que se entiende

con esta expresión significa «y así sucesivamente». Se trata de multiplicar el conjunto de los primeros n enteros. Pero esto no es una definición matemática; está al más bajo nivel de la complejidad y abstracción. En su lugar, de manera recursiva, utilizamos los axiomas de Peano para definir

f(1): = 1 Y entonces de manera recursiva (o inductiva) el conjunto f(n): = n · f(n-1). Existe una extensa literatura que concierne a las funciones recursivas. Tales

funciones (en principio) pueden ser desarrolladas en una computadora. Sea P un programa cibernético tal que se introduce «n» y obtiene como salida f(n) para un «n» dado.

Ejemplo 1 Sea f(n) = 1+2+…+n. Eso significa que f(1) = 1 y f(n) = f(n-1) + n. Se de-

termina con facilidad que f(n) = n(n+1)/2 es una forma cerrada: existe una su-ma, una división y una multiplicación. Sea “log” el logaritmo en base 2. Supo-nemos que la computadora opera de manera binaria lo que lleva aproximada-mente log(n) bytes para expresar «n». Así necesita una cantidad de pasos log(n) para determinar f(n).

Así el tiempo requerido es: A+ Blog (n)k Aquí A y B son constantes y k es un exponente adecuado. Existen va-

rios aspectos a señalar: 1. Primero, esta estimación solo es relevante si «n» tiende a infinito; en

cualquier etapa finita, la dependencia de «n» puede ser incluida en la constante A.

2. Puede suceder que el k óptimo sea un infinitésimo, que nunca se al-canza, sino que nos aproximamos a él si A y B tiende a infinito; diversos algo-ritmos pueden proporcionar valores cada vez más pequeños de k pero a costa de mucho calculo adicional.

3. El gasto computacional implicado en la constante A puede inundar la dependencia de n para pequeños valores de n.

4. k es independiente de la computadora utilizada para la ejecución y del lenguaje de computación concreto que se haya utilizado; A y B son muy dependientes de la computadora. Para comprobarlo, hacemos lo siguiente: su-

Capítulo 3: La coordinación social: lenguaje y comunicación 121

pongamos una computadora lo suficientemente capaz, podemos escribir un compilador que permitirá correr cualquier programa diseñado para una compu-tadora en cualquier otra. El uso de tal compilador tiene un coste fijo (que es absorbido por A) junto con cierta ineficiencia que es absorbida por B. El núme-ro de pasos no se ve afectado.

La complejidad de esta función resulta ser log (n)k; El mínimo expo-nente k (como mínimo en lugar de un infinitésimo como describimos arriba) es independiente, si existe, de la ejecución.

Ejemplo 2 Sea f(n)=n!. Existen un total de n multiplicaciones que deben ser ejecu-

tadas si procedemos de una forma directa (existen otros algoritmos mejores que pueden ser utilizados). Si escribimos «n» en forma de una expansión binaria infinita de longitud aproximadamente log(n), cada multiplicación requiere aproximadamente log(n)*log(n) multiplicaciones con las consiguientes adiccio-nes y simplificaciones. Así el tiempo requerido para evaluar la función n! no será, de seguro, más larga que A+Bnlog(n)k, que es claramente una función más compleja (si utilizamos el algoritmo apropiado). Determinar la tasa de crecimiento es, en general, un problema difícil y el algoritmo de las sucesivas multiplicaciones no es necesariamente el óptimo en ese tipo de problemas; Resulta difícil encontrar los algoritmos óptimos y establecer los niveles de complejidad precisos.

Ejemplo 3 Algunas funciones recursivas tienen un crecimiento exponencial –y

por ello un nivel de complejidad mucho más alto-. Sea p(n) el número de parti-ciones del entero n, v. gr. El número de formas en que es posible descomponer n como suma de otros enteros. Por ejemplo: 2=2=1+1, 3=3= 2+1=1+1+1, 4=4=3+1=2+2= 2+1+1 = 1+1+1+1.

Así p(2)=2, p(3)=3, p(4)=5. Esta función crece con rapidez y cada in-tento de computarlas crece exponencialmente en n. Es una función mucho más compleja que la función factorial. El número de pasos requeridos es del orden A+B 2Cn. De nuevo las constantes A y B dependen del sistema de la compu-tadora. El exponente mínimo C es solo una función del problema. Esta función es más compleja que las funciones incluidas en los ejemplos 1 y 2.

Ejemplo 4 Llegamos ahora a un problema que aparece en matemáticas muy dife-

rente de los ejemplos anteriores: tratar de determinar el número exacto de inva-riantes del tensor de curvatura de Riemann homogéneo en el grado de orden «n» en un múltiplo de dimensión «m» es «exponencialmente un mal proble-ma», como lo es utilizar el cáculo Seeley para determinar el trazado asintótico

122 Viaje a la Complejidad 4: La complejidad de lo social. La trama de la vida del calor (Gilkey 2004).

Pero haremos notar que la complejidad, como está definida arriba, implica infinitos sistemas. Si nos interesamos solo en una función f(n) para un valor finito y si es posible muy grande de «n», se puede definir «f» proporcionando una tabla y el programa de la computadora la reduce a una tabla cerrada. Sin embargo, en la práctica al computar los primeros valores de f(n) proporciona una muy buena idea de la complejidad de la función. Un buen ejemplo lo depa-ran las invariantes del trazado del calor. A(2) es fácil de computar, A(3) es más difícil y la computación A(5) llevó para su determinación, a cuatro matemáti-cos, más de dos años.

Hay problemas de arbitraria complejidad. Además existen funciones no-recursivamente definibles. Son funciones de infinita complejidad. La literatura es extensa y damos solo algunas referencias (Blass y Gurevich (2006), Peter (1951, Rose (1961, Stephan y Zeugmann (2002).

Como ya mencionamos la recursión desempeña un papel importante en el estudio lingüístico, como veremos ahora con más detalle. Por ahora nos conten-taremos con -M. Hauser 2009- que proporciona la siguiente definición de re-cursión:

La recursión es el empleo repetido de una regla para crear expresiones nuevas. Pensemos en el hecho de que una frase corta puede estar embutida dentro de otra repetidamente, para crear descripciones más largas y ricas de nuestros pensamientos –por ejemplo, la simple y poética expresión de Gertrude Stein: una rosa es una rosa, una rosa, una rosa»… Los humanos utilizan ope-raciones recursivas … en virtualmente todos los aspectos de la vida psíquica, desde el lenguaje, la música y las matemáticas a la generación de una escala ilimitada de movimientos con nuestras piernas, manos y bocas.

El siguiente cuadro que muestra a un frailecillo mirando la pantalla de una computadora (que muestra a un frailecillo mirando la pantalla de una compu-tadora, [que muestra a un frailecillo que mira a la pantalla de una computadora {que muestra a un frailecillo que mira la pantalla de una computadora…}) es tal vez el ejemplo de recursión infinita, en el sentido de Hauser, donde la regla en juego es «un frailecillo vigilando un». En el uso repetido de una regla para construir nuevas expresiones: el mismo cuadro está incluido dentro de sí mis-mo (está incluido dentro de sí mismo, [está incluido dentro de sí mismo, { está incluido dentro de sí mismo… }]) –pero cada vez con sutiles variaciones. A veces el pájaro (Ekaterina Puffini) está a la izquierda, a veces a la derecha.

Capítulo 3: La coordinación social: lenguaje y comunicación 123

A veces el pico está vuelto un poco hacia arriba, otras hacia abajo… . Todo

ilustra acerca de la dificultad en hacer operativa la definición de Hauser. ¿Aca-so es recursivo este cuadro y es de facto un ejemplo de recursión infinita? ¿Po-see complejidad infinita? ¿Es estocásticamente recursiva? (v. gr. recursiva con ruidos azarosos).

Frailecillo vigilando a un frailecillo, que vigila a un frailecillo… Mac Whinney (2009) diferiría ligeramente de lo anterior distinguiendo entre

recursión e iteración, aunque hace notar que «en la práctica resulta a menudo difícil de discriminar entre ambas». El cuadro de Ekaterina no es simple itera-ción – no se ha producido mediante un espejo-. En cada iteración recursiva el resultado es algo diferente. Se puede decir que mientras la recursión utiliza siempre las mismas reglas combinatorias, no las aplica a los mismos elementos. Como resultado la recursión puede obtener también productos totalmente dife-rentes, absolutamente nuevos dentro de cada nivel. Estos productos no preexis-tentes que ahora aparecen definen un nuevo orden de complejidad de rango superior. Pero los nuevos elementos en este nivel se obtienen mediante la re-combinación que utiliza las mismas reglas, que genera absolutamente nuevos productos, que definen de manera perfecta un nuevo nivel de integración y así sucesivamente. Debemos dejar abierta la interrogante de si el cuadro de los frailecillos que hemos visto está de acuerdo con cualquier definición razonable de recursión o iteración; o incluso si es estocásticamente recursiva (v. gr. una recursión donde la regla admite la posibilidad de una pequeña cantidad de ruido azaroso que hace de la recursión algo no determinista). Esto ilustra una vez más acerca de la necesidad de poseer definiciones precisas, cuantificables y operati-vas. Dicho de otro modo, existe una relación entre la recursión matemática y la de carácter lingüístico; sin embargo, estamos lejos de aclarar qué tipo de rela-ción es.

TEORÍA DE LA COMPLEJIDAD Y RECURSIÓN EN EL LENGUAJE

Este concepto desempeña un papel central en la mayoría de los análisis lin-güísticos. Marcus (2001) hace notar:

124 Viaje a la Complejidad 4: La complejidad de lo social. La trama de la vida

Cualquier esquema recursivo debe contar con un conjunto de primitivos, una manera determinada de combinarlos para formar nuevas entidades com-plejas, una forma de asegurar que la manera de disponer los elementos cuente (por ejemplo, 12 no es 21) o que «el gato está en el mapa» no es igual «al ma-pa está en el gato» y una manera de permitir nuevas entidades complejas para participar en el proceso combinatorio.

Marcus 2001 también apunta al hablar de los diferentes modelos de cogni-ción humana que:

Cada una de estas proposiciones aplican la misma maquinaria como una cuenta de manipulación simbólica de recursión. Cada uno de dichos modelos incluye una diferencia sistemática entre unidades atómicas y complejas, una manera de combinarlas para formas nuevas unidades complejas y un medio mediante el cual las nuevas unidades sirvan a su vez como entrada para nue-vas combinaciones.

Esto coincide con nuestro punto de vista. Lo que es universal es la capacidad que posee el lenguaje para codificar o

hacer operativas de forma eficiente ciertas modalidades. Simplificando mucho, se puede decir que las lenguas poseen una posibilidad universal lingüística blanda para codificar y aplicar las estructuras lógicas fundamentales de la teoría matemática de los modelos, como ya se dijo. En otras palabras, estas estructu-ras matemáticas básicas se reflejan en el lenguaje. Hágase notar que no estamos hablando de números, ni de geometría sino de la estructura lógica básica de las matemáticas.

En ese sentido, el proceso de aprendizaje del lenguaje es recursivo, como lo es el procesamiento complejo del lenguaje por los adultos. Ello se relaciona con la producción del discurso o la escritura. También el procesamiento musi-cal puede ser recursivo, y la cognición social, la deconstrucción visual de los objetos y quizá también gran parte del procesamiento consciente relacionado con la resolución de problemas complejos. Todo esto nos lleva a la cuestión de si la recursión es una propiedad de dominio específico del lenguaje o más bien un proceso cognitivo, que se materializa a través de él y tal vez promocionado por este.

Es posible definir la noción de «verdad matemática» mediante fórmulas de manera recursiva en la teoría matemática de modelos (Davis 1977). Para cada «n» se tiene una proposición S(n). F(n)=0 si la proposición es falsa, f(n) = 1 si es verdadera. La complejidad de la función puede ser grande, incluso infinita. Cuando determinados humanos acceden a su propio procesamiento recursivo, entonces pueden realizar conscientemente muchas cosas, tales como matemáti-cas o lingüística. Mediante el acceso a sus propios procesos implícitos de tipo recursivo, construyen de manera explícita, descubren y definen la recursión y alcanzan niveles más altos de complejidad. La noción de «recursividad» con la que trabajamos está estrechamente relacionada, pero también presenta sutiles

Capítulo 3: La coordinación social: lenguaje y comunicación 125

diferencias con la noción de «recursión». El procesamiento humano implícita-mente recursivo quizá puede ser expresado como algo similar a «hazlo de nue-vo»; «tome ahora esos nuevos elementos que obtuvo (sean lo abstractos y sim-bólicos que sean) y aplíqueles la misma lógica que utilizó antes, vea después que acontece». Es muy similar a la noción matemática de función recursiva, pero no es idéntica. COMUNICACIÓN SIMBÓLICA, NÚMEROS E INFINITO DISCRETO

No afirmaríamos que el lenguaje sea una simple ejecución de la teoría ma-temática de los modelos, como es el caso de la lógica simbólica – lejos de ello. Los elementos que uno puede identificar como equivalentes a la teoría matemá-tica de los modelos son seguramente solo los básicos; Son los fundamentos necesarios, pero distan de ser las condiciones suficientes para el lenguaje hu-mano. Cualquiera que posea incluso un oído mediocre para el lenguaje puede distinguir el lenguaje hablado de los coreanos, chinos o japoneses sin entender una palabra de estos idiomas; esta facilidad para distinguir entre grupos lingüís-ticos se ha demostrado incluso en niños recién nacidos (Nazzi, Bertoncini y Meheler 1998). Es claro que el lenguaje posee una estructura, un ritmo y una poesía más allá de los fundamentos lógicos que hemos identificado aquí. Pero tras esta esencial advertencia, creemos fructífera una discusión cuidadosa de algunos de los universales blandos del lenguaje a partir de la perspectiva del modelo teórico matemático. Esperamos que esta aproximación sea una feliz empresa, que evitará el formalismo estéril de aplicar la lógica simbólica a la lingüística. Tomasello (2003) afirma:

En primer lugar, lo más importante es que la comunicación humana es simbólica… Los símbolos humanos están dirigidos a los estados mentales y a la atención de los demás … Los seres humanos utilizan juntos sus símbolos lingüísticos de manera pautada, y esas pautas conocidas como construcciones lingüísticas, toman significados propios –derivados parcialmente de los signi-ficados de los signos individuales, pero con el tiempo también en parte de la propia pauta.

La siguiente cita de Clark (2006) se refiere al trabajo de Dehaene; La mayoría de nosotros no se puede formar una idea clara de, digamos, la

«noventa y ochoeidad» a diferencia de la relativo a dos. Pero, no obstante, somos capaces de afirmar que el número 98 nombra una cantidad única entre 97 y 99.

Es, justamente, de este modo como son descritos los números naturales «N». Para cada número, sea el 97, existe un suceso el 98 y otro el 99 de manera tal que el 98 se sitúa exactamente entre el 97 y el 99. Lo que se discute se pre-cisa utilizando los axiomas de Peano –esa es la esencia misma de la recursión. Clark afirma también:

Que es lo que acontece cuando piensa el pensamiento de que 98 es

126 Viaje a la Complejidad 4: La complejidad de lo social. La trama de la vida más que 97.

Subrayemos que esta no es la cuestión que estamos estudiando –nos senti-mos contentos al reconocer que lo que está en juego es la recursión La manera que se ejecuta en nuestro sistema biológico resulta fundamental. También es de interés lo que afirman Pinker y Jackendorf (2005):

Resulta aún más sorprendente la posibilidad de que los propios números más allá de los que pueden ser aprehendidos a un tiempo son parásitos del lenguaje, dependen del aprendizaje de la secuencia de los vocablos numéricos, de la sintaxis de las frases numéricas o de ambas.

También afirman: La recursión consiste en la inclusión de un constituyente en un constituyen-

te del mismo tipo – por ejemplo, una cláusula relativa dentro de una cláusula relativa que automáticamente confirma la capacidad de hacerlo ad libitum.

Ello es sutilmente distinto a otras definiciones de recursión y resulta muy di-fícil de cuantificar. Por otro lado, es posible medir si resulta necesario o no que estén presentes elementos lógicos en un lenguaje natural dado para ejecutar la Definición 4 – que define, precisamente, la existencia de una capacidad recur-siva. Reiteremos que no estamos definiendo la existencia de una capacidad recursiva, decimos solo que la capacidad para ejecutar es una prueba de la pre-sencia de la recursión lingüística.

La capacidad de ejecutar la Definición 4 es prueba de que está presente en un lenguaje el «infinito discreto». Hauser, Chomsky y Fitch 2002 afirman:

El mecanismo de computación de la recursión ha evolucionado reciente-mente y es privativo de nuestra especie … Solo los mecanismos que subyacen al FLN45 –sobre todo su capacidad para la infinitud discreta – son exclusiva-mente humanos.

Se impone una cuidadosa definición de estas cantidades –lo que se puede alcanzar solo con el material que ya proporcionamos antes. (Fitch, Hauser y Chomsky -trabajo en prensa- escriben también:

Se acepta por parte de los lingüistas más modernos que la recursión es un núcleo indispensable de la capacidad computacional que subyace a la sintaxis y por tanto al lenguaje … No existen demostraciones desprovistas de ambigüe-dad de la recursión en otros dominios cognitivos con los solo ejemplos claros que sean dependientes del lenguaje (fórmulas matemáticas, programas de computadora).

45 Hauser et al. (2002) dividen el lenguaje en dos partes: FLN (Narrow faculty of

language) facultad estrecha del lenguaje y FLB (Broad faculty of language) Facultad ancha del lenguaje. FLB= todas las partes del lenguaje sean únicas o no de los humanos pero no solo implicadas en este. FLN= a todas las partes del lenguaje únicamente humanas y solo lingüísticas. La hipótesis del trabajo afirma que el único contenido de FLN es la recursión.

Capítulo 3: La coordinación social: lenguaje y comunicación 127

La recursión matemática y la computación están íntimamente ligadas; como se dijo, los lenguajes programados suponen recursión. (Ver, para más detalle, Brody y Vamos (1995)). El problema de la recursión en no humanos o de lo no lingüístico en humanos es un tema fascinante –ver Premack y Woodruff (1978, Stone y Gerrans (2006) Subiaul et al (2008) Zentall (2006)-.

UNIVERSALES LINGÜÍSTICOS DUROS Y BLANDOS El término «universales» en la literatura lingüística se refiere por lo general

a rasgos que surgen solamente de la dotación genética; es un concepto choms-kiano. La noción de determinismo genético en la adquisición lingüística forma parte ya de la psicología popular, y está ampliamente extendida en los campos de la lingüística y de la adquisición del lenguaje. Por consiguiente, la expresión «Lenguaje Universal» se entiende de manera implícita como «Rasgo del len-guaje genéticamente determinado». Podemos denominar a este concepto un «universal lingüístico duro». Por otro lado, utilizaremos la expresión «univer-sales lingüísticos blandos», lo que supone que son «universales» del lenguaje porque todo el mundo tiene ante sí las mismas tareas para lograr la comunica-ción, y instrumentos cognitivos y sociales similares para lograrlos como Toma-sello (2008) afirma citando un trabajo de Bates (1979). Estas restricciones, junto con ciertos factores generales cognitivos de cableado duro, determinan que muchos, aunque quizá no todos los lenguajes comparten determinados rasgos. Podemos añadir que la adquisición lingüística es también un problema bien definido para todos los bebés, de manera que las redes humanas neurales complejas pueden llegar a soluciones similares estables. En este contexto, las propiedades estructurales generalizadas de los lenguajes no serían una sorpresa. Y la propiedades compartidas representarían los «universales blandos». Así esperaríamos desviar por completo las cuestiones concernientes a la gramática universal. De forma análoga, nos podríamos preguntar si la teoría de los mode-los es solo un desarrollo cultural. Esto es más o menos afín a la siguiente cues-tión filosófica: ¿Acaso los matemáticos inventan o se limitan a descubrir las matemáticas? ¿Son una realidad innata o un constructo humano? Poseen los objetos matemáticos una existencia intrínseca ajena a la humanidad?

Contamos con constantes, variables, cuantificadores, implicación, negación y conjunción, incluyendo las afirmaciones admisibles de la teoría de los mode-los expuesta en la sección 2. Hablando en términos lingüísticos, palabras y frases tales como «Chicago», «Peter», «pertenece a», «es la hija de», «ventoso» o «ciudad» son todos constantes. La frase «Chicago es una ciudad ventosa» y «Emily es la hija de Peter» puede expresarse así:

{{Chicago ∈ es ventosa}∧{Chicago ∈ Ciudad}∧ {Emily ∈ Hija de (Pe-ter)}}.

Los pronombres él, ello, ella y ellos son, sin duda, variables y admiten susti-tución. Pronombres como algunos, todos no son variables, Están estrechamente

128 Viaje a la Complejidad 4: La complejidad de lo social. La trama de la vida relacionados con los cuantificadores. Por otro lado, ciertos verbos son constan-tes como «perteneces a» o «es miembro del conjunto» (∈). Además, en español el verbo haber a menudo significa «existe» y es un cuantificador. Las corres-pondencias lingüísticas exactas son engañosas y seguramente deben ser evita-das, ya que las diferentes lenguas ejecutan de forma distinta estos constructos lógicos.

Como dijimos antes, el uso de la palabra «universal» en literatura lingüística induce a error. Fitch, Hauser y Chomsky aseguran de manera taxativa: La su-puesta ausencia de la recursión obvia en una de estas lenguas, no es más rele-vante para la habilidad humana de dominar la recursión que la existencia de lenguajes con tres vocales ponga en duda la capacidad humana de manejar lenguajes de cinco o diez vocales.

De forma análoga, advertimos que la existencia de un cuerpo de literatura matemática en un lenguaje natural que utiliza el razonamiento lógico y el mé-todo axiomático es una demostración suficiente de la aplicabilidad de la teoría matemática de los modelos en ese lenguaje y establece que ese lenguaje parti-cular es recursivo. Ciertamente, esa evidencia no necesita ser escrita, existen indicadores lingüísticos orales y tal vez la aplicabilidad de la teoría matemática de los modelos no se basa en una forma escrita. Es esta una cuestión apasionan-te abierta a una futura investigación. Cabe pensar que los «universales lingüís-ticos blandos» observados previamente, pueden ser exactamente los que se necesitan para aplicar los constructos lógicos de la teoría matemática de los modelos. La negación, las variables, las constantes, la conjunción, los cuantifi-cadores y la implicación son universales blandos de los lenguajes recursivos, justamente porque la aplicación de la recursividad no es posible en ausencia de esos elementos. Tanto el lenguaje natural como las matemáticas son construc-tos del mismo sistema cognitivo; con el lenguaje, el sistema cognitivo humano es recursivo y algunos universales lingüísticos blandos son prerrequisitos nece-sarios para asegurar la recursividad.

Aplicación Se puede pensar la teoría de los modelos como metáfora para los elementos

cognitivos dentro de los universales blandos. Proporciona una definición preci-sa de recursión que quizá pudiera clarificar las definiciones lingüísticas. Si existiesen lenguajes donde la teoría de los modelos no se pudiese aplicar, sería un rasgo interesante que distinguiría estos lenguajes de otros con los que esta-mos familiarizados. El fenómeno no es reciente; la evidencia en el cuneiforme de literatura matemática proporciona pruebas, aunque no concluyentes, sobre que los babilonios aplicaban la teoría de los modelos matemáticos (ver al res-pecto Aaboe (1964), Hodking ((2005), Neugebauer (1951). La existencia de los elementos de Euclides demuestra que la antigua lengua griega aplica el razo-namiento matemático de alto nivel.

Capítulo 3: La coordinación social: lenguaje y comunicación 129

Existen cuestiones actuales dignas de ser profundizadas. La investigación de Dehaene et al (2008) aporta una tentadora visión de las culturas indígenas ama-zónicas:

Nuestros resultados sugieren que todos los humanos comparten la intuición de que los números se sitúan en el espacio, pero la cultura especifica experien-cias que alteran su forma -y que en los niños es característica una escala loga-rítmica con un giro a una disposición lineal que acontece después en los niños occidentales.

Aunque esto no está relacionado de modo directo a la cuestión que venimos planteando, que trata de los conceptos cognitivos que subyacen al razonamien-to matemático es, sin embargo, muy sugestiva. Existen también atisbos simila-res en geometría (Dehane et al (2006):

¿Acaso los geometría constituye un conjunto nuclear de intuiciones presen-tes en todos los humanos, con independencia de su lengua o nivel de enseñanza?

Por desgracia, este problema es al tiempo más fundamental y menos sujeto a la investigación. Queremos saber no cómo están codificados los números, tam-poco si está presente la visión geométrica. Lo que deseamos es saber si la es-tructura lógica básica con la que percibimos es universal.

Esperamos que los universales lingüísticos (García Calvo 1989) puedan ser explicados de esta forma, como pretende la semántica universal (Goddard y Wiezbicka 2002). Para nosotros, como sostiene Everett (2005), resulta intere-sante saber que no todos los lenguajes pueden aplicarlas estructuras lógicas de subyacen en las matemáticas. No es, sin embargo, el desastre que representa para Wierzbicka y Chomsky entre otros. Hagamos notar también el comentario citado por Everett (2005), Davidson (2001):

La última etapa en el desarrollo del lenguaje requiere un salto, in-troduce la cuantificación, los conceptos representados por alguno y todo. Cuando avanzamos en esta etapa llegamos a lenguajes que ar-monizan, o que comienzan a hacerlo, con nuestra propia complejidad.

Nótese una vez más el papel central que desempeñan los cuantificadores (∀,∃). Debemos aclarar a los formalistas, el primer autor lo es, que resulta ne-cesario ser coherente y entender que quizá la única definición aceptable de «universal lingüístico» no sea, en absoluto, lingüística sino más bien una defi-nición de tipo cognitivo general ejemplificada por los constructos lógicos de la teoría matemática de modelos.

Eficiencia Un modelo matemático precisa ser construido sobre el lenguaje. La teoría

que la complejidad está implícita en esta discusión ya que las matemáticas re-presentan un nivel nuevo de más alto orden, construido sobre una base previa de carácter lingüístico. Los modelos matemáticos pueden ser edificados sobre el lenguaje porque la mayoría son recursivos. Las formas Pirahä son quizá una

130 Viaje a la Complejidad 4: La complejidad de lo social. La trama de la vida probable excepción. Si un lenguaje humano no es recursivo, sus hablantes no desarrollarán matemáticas.

En relación con la eficiencia de aplicar constructos matemáticos, Clark (2006a) manifiesta:

Los agentes incorporados usan acciones corporales e intervencio-nes ambientales para hacer del mundo un mejor lugar para ser pensa-do. ¿Dónde encaja el lenguaje en ese cuadro que emerge del agente incorporado ecológicamente eficiente? Una manera útil de aproximar-se a esta cuestión es considerar al lenguaje mismo como la estructura construida en un animal cognitivamente mejorado… Al materializar el pensamiento en palabras, creamos estructuras que son en sí mismas objetos propios de la percepción, la manipulación y el pensamiento ul-terior.

Todo ello sugiere con fuerza que los procesos lógicos incorporados de ca-rácter básico (como muestra la lógica matemática) en el lenguaje impulsa «la percepción, la manipulación y el pensamiento ulterior». Clark (2006a) cita a Dehaene y colaboradores presentando un modelo convincente de pensamiento matemático preciso que reserva un papel especial a las representaciones inter-nas de las palabras específicas para los números.

Concurrimos en que la habilidad para codificar el razonamiento lógico ma-temático a un nivel cualesquiera es tarea del lenguaje. Clark (1998) añade:

El lenguaje público… es una especie de artefacto externo cuyo va-lor adaptativo está parcialmente constituido por su cometido en refor-mular las clases de espacio computacional que nuestros cerebros bio-lógicos han de manejar para resolver ciertos tipos de problemas, o pa-ra llevar a cabo determinadas clases de proyectos complejos. Este pa-pel computacional del lenguaje ha sido en cierto modo preterido (ni pasado por alto, ni tampoco abordado con rigor) … El discurso y el texto, hemos visto grandemente ampliadas las capacidades de resolu-ción de problemas de la humanidad. Dicho de otro modo, la práctica de situar los pensamientos en las palabras altera la naturaleza de la experiencia humana.

Lo anterior está estrechamente relacionado con la definición matemática de complejidad que dimos antes. Si el tiempo requerido es A+Bn log(n)k, entonces las constantes A y B importan mucho más en términos prácticos (porque go-biernan la eficiencia del algoritmo) que el exponente k. Sin embargo, este el único universal matemático del sistema.

El sistema operativo La concepción del lenguaje como parte integrada en el sistema operativo in-

terno no es, a buen seguro, el punto de vista adoptado los el «cuadro de la tra-

Capítulo 3: La coordinación social: lenguaje y comunicación 131

ducción» que ha sido sucintamente criticado por Clark (2006b): El lenguaje despliega su magia al ser entendido y entender, conce-

bido como un todo consistente en algo como la traducción en otro for-mato que armoniza con el anterior. Esta aproximación describe al len-guaje como un tipo de código de alto nivel que necesita ser compilado o interpretado (en el sentido de la ciencia de la computación) para ha-cer su trabajo.

Clark (2006b) adopta, de hecho, un punto de vista diferente: El lenguaje, no obstante, ocupa una posición maravillosamente

ambigua en un estado cognitivo híbrido, ya que parece estar a horca-jadas de la frontera misma externo-interno, pareciendo por momentos pertenecer al espacio biológico y a la vez constituir una pieza particu-larmente potente de la estructura cognitiva externa.

Por suerte, el establecimiento de este aspecto en particular no resulta rele-vante en la cuestión que nos interesa –pero sugiere que un lenguaje que no puede aplicar los constructos básicos elementales de tipo lógico avisa de que falta una pieza central en la estructura cognitiva.

Jerarquía de niveles Cuando estudiamos el desarrollo del lenguaje aparecen niveles jerárquicos.

Los niños deben establecer ciertas facetas del mismo antes de trasladarse a otras (v. gr. han de aprender un número suficiente de palabras separadas antes de intentar combinarlas para producir las primeras frases). Pero los niveles jerárquicos que se construyen en la adquisición del lenguaje no están dispues-tos linealmente –se construyen muchos edificios de manera simultánea y las habilidades o subrutinas presentes en un nivel se utilizan en otros lugares a diferente nivel (cuando los niños producen las primeras palabras su desarrollo fonológico dista de ser completo; cuando construyen las primeras frases, su desarrollo léxico está aún en una etapa muy temprana y así sucesivamente). Se tiene que establecer aún un encuadre básico antes de que pueda empezar el siguiente nivel de construcción; El nivel inferior puede llenarse más tarde, pero su esqueleto ha de existir, siquiera sea a un nivel mínimo. Por supuesto, los niveles superiores dependen, de forma recursiva, de los inferiores. Por lo tanto, las habilidades cognitivas necesarias para aplicar los constructos lógicos de la teoría matemática de los modelos están situados en un nivel alto de compleji-dad. Esta noción de complejidad aplicada a la lingüística no es incompatible con la noción de complejidad recursiva para una función, que ya hemos descri-to.

CONCLUSIONES Teoría de los modelos, Complejidad y Universales blandos

132 Viaje a la Complejidad 4: La complejidad de lo social. La trama de la vida

Podemos considerar la teoría de los modelos como un criterio que restringe la definición de recursión y por tanto de los universales blandos. Si los univer-sales encajan con la teoría de los modelos, entonces pueden existir; si no es así quizá estén mal definidos. Diremos que para probar si un lenguaje, en su pura descripción formal, es recursivo o no, deberíamos intentar aplicar la teoría ma-temática de los modelos. Por supuesto que no es la única manera de probar la capacidad recursiva de un lenguaje humano dado, pero resulta un criterio útil. Nótese que la teoría de la complejidad aparece aquí de modo explícito –las matemáticas representan un nivel nuevo más alto respecto a la previa base lin-güística.

Desde el punto de vista de la teoría de la complejidad, los «universales blandos» observados por muchos autores parecen relacionados con esos ele-mentos (negación, variables, constantes, conjunción cuantificadores e implica-ción) que resultan necesarios para aplicar la teoría matemática de los modelos. Son universales de lenguas recursivas, ya que no es posible obtener una teoría así sin ellos. La matemática se construye sobre el lenguaje natural y utiliza el mismo sistema cognitivo; es una estructura de orden más alto desde el punto de vista de la teoría de la complejidad.

Recursión y Teoría de la Complejidad La recursión es un elemento esencial de la teoría de la complejidad. Hemos

proporcionado una definición precisa de esta y hecho notar que está basada de manera ineludible en la lingüística. Proponemos que un lenguaje es recursivo si es posible aplicar el lenguaje matemático tal como queda arriba descrito. Así es factible probar de manera empírica si un lenguaje dado es o no recursivo. Y en particular establecer si el lenguaje de los Pirah¨, tal y como es descrito por Eve-rett (2005), es recursivo y en consecuencia verificar si las recursiones son una característica quinta esencial y distintiva de los lenguajes humanos, como algu-nos lingüistas pretenden –pensamos que este es el caso debido al «valor adapta-tivo» del «artefacto externo», Clark (1998).

El argumento de Clark (1998) es central: el lenguaje permite la aplicación de la recursión –y es difícil (pero no imposible) probar la recursión en ausencia del lenguaje. No estamos convencidos de que en ausencia de este la recursión pueda no estar presente. La mente humana tal vez tenga facilidad para ser re-cursiva. Pero en ausencia de las herramientas que procura el lenguaje puede no ser posible ejercer esa facilidad. Existen algunos indicios fascinantes que rela-cionan lo anterior con la adquisición lingüística (ver, Barr 1978). Y como suge-riría Everett algunos lenguajes pueden no ser aptos para aplicar la recursión.

Como ya hicimos notar, la recursión matemática es definible de forma pre-cisa y como tal desempeña un importante papel en el estudio de los «universa-les blandos». Sin embargo, relacionar esta noción matemática con el concepto de recursión, como se emplea en el estudio del lenguaje, necesita de más inves-

Capítulo 3: La coordinación social: lenguaje y comunicación 133

tigaciones.

Teoría de la Complejidad en Matemáticas y Física La teoría de las funciones recursivas forman la base matemática de la teoría

de la complejidad. Como tal está íntimamente unida a los sistemas infinitos. Pero dado que muchos sistemas físicos, aunque sean discretos y esencialmente finitos en la naturaleza pueden ser tratados con gran precisión utilizando mode-los continuos infinitos, también los problemas finitos pueden ser tratados utili-zando la teoría de la complejidad. También posee jerarquía de niveles y tasas de crecimiento relativo en la aplicación de modelos de sistemas finitos. Por todo ello la Teoría de la Complejidad y la recursión son elementos centrales.

METÁFORA José Luis Fernández

A los 16 años fui durante unos meses azoriniano. Me afanaba en reproducir

en mis redacciones escolares el estilo del escritor alicantino. Frases breves, léxico preciso y algo arcaizante, tiradas de tres adjetivos y ausencia total de metáforas; me permitía alguna casta comparación de vez en cuando. Pero la marcha del curso hizo que la profesora de Literatura nos condujera de la Gene-ración del 98 a la contigua con la correspondiente sugerencia de lectura, de modo que sin salir de Alicante caí del minimalismo avant la lettre de José Mar-tínez Ruiz en el sensualismo, la hiperestesia y el lirismo melancólicos de Ga-briel Miró. Pasé al mundo de las sinestesias y de las imágenes. El humo dormi-do. Tuve mi etapa mironiana, en la que fui más feliz.

Enseguida devine maravillado vanguardista a final de curso y así entré en el reino fulgurante de las metáforas audacísimas e irremediablemente irracionales. Lorca. Gerardo Diego. Miguel Hernández. Pablo Neruda. César Vallejo.

Tuve mis horas terribles en la universidad, donde abandoné toda preocupa-ción estilística y me entregué por completo al lenguaje figurado, al tiempo que me enamoraba y me desesperaba produciendo a causa del enamoramiento me-táforas extrañas y, como correlato del rechinar de dientes de la desesperación, cacofonías onomatopéyicas nada sutilmente incrustadas en textos surrealistas.

Fui desdichado y estuve confuso, pero me quedó una fijación con la metáfo-ra.

Las estatuas sufren por los ojos. La muerte puso huevos en la herida. La ro-pa tendida de la nieve. Brahma cortó la cabeza de los tres raksasas, que cayeron al suelo como planetas desviados de su órbita. El barco, ¿va sobre el cielo o sobre el mar? Cielo y agua, 69 emocionante de los elementos…

Las metáforas se me grababan. Tatuaje de las metáforas. Yo mismo produje algunas. Todo pájaro es flor de árbol. Industria de las metáforas. Pero, ¿por