1161 Seçkin ARI | [email protected]/Isaretler_ve_Sistemler_6NBAS_DersNotu.pdf · İşaretler ve Sistemler | 2017 - SAÜ Yaz Okulu Ders Notları/ Bilgisayar Mühendisliği

İşaretler ve Sistemler | www.bulentaltinbas.com.tr 2017 - SAÜ Yaz Okulu Ders Notları/ Bilgisayar Mühendisliği 1

1161 – Seçkin ARI | [email protected]

2017 Yazokulu BLNT6NBS Dersnotu

http://www.bulentaltinbas.com.tr/Isaretler_ve_Sistemler_6NBAS_DersNotu.pdf

2017 Yazokulu Örnek Vize Soruları

http://www.bulentaltinbas.com.tr/Isaretler_ve_Sistemler_6NBAS_OrnekVize_Sinav.pdf

2017 Yazokulu Vize-Quiz-Final

http://www.bulentaltinbas.com.tr/Isaretler_ve_Sistemler_6NBAS_QVF_Sinav.pdf

İşaret nedir?

Fiziksel bir sistemin davranışına ya da durumuna ilişkin bilgi taşıyan ve bir ya da daha fazla bağımsız değişkene

bağlı olarak değişen her türlü büyüklüğe işaret diyoruz.

Örneğin: Fırın Sıcaklığını ayarlama; Giriş (voltaj değerini ayarlama) Çıkış (çıkan sıcak hava), sensörler

kullanılıyor, sensörlerin çıkışları sinyal olarak ifade ediliyor.

Kararsız sistem (Sizin ayarladığınız değerlere ulaşmayabilir)

Matematiksel yöntemin güvenirliği sağlaması gerekiyor.

İşaretler zamanın bir fonksiyonudur

Örn.

Arabaların hızlanması; arabanın hızı işaret

Su tankları; suyun akış hızı işaret

SİSTEM)(ny)(nx

Sinyaller

1. Analog ve sayısal sinyaller

2. Gerçel ve karmaşık sinyaller

3. Gerekirci ve rassal sinyaller

4. Çift ve tek sinyaller

5. Periyodik ve periyodik olmayan sinyaller

6. Enerji ve Güç sinyalleri

http://www.bulentaltinbas.com.tr/

http://www.bulentaltinbas.com.tr/Isaretler_ve_Sistemler_6NBAS_DersNotu.pdf

http://www.bulentaltinbas.com.tr/Isaretler_ve_Sistemler_6NBAS_OrnekVize_Sinav.pdf

http://www.bulentaltinbas.com.tr/Isaretler_ve_Sistemler_6NBAS_QVF_Sinav.pdf


[ ] ( )x n veya x n n:zaman (tamsayı değerler alır)

[0]x x dizisindeki 0.elemanı verir

[ 1]x -1 anındaki genlik değeri (herhangi sayısal bir değere sahip olabilir)

Time Shift (Öteleme)

0[ ] [ ]x n x n n 0 0n [ 8]x n

0[ ] [ ]x t x t t 0 0t [ 5]t t

Örnek

[ 8]x n

0 ( 8)

8 (0)

n x

n x

Örnek

Fark denklemlerinde bu ötelemeler kullanılarak ifade edilir.

X(n)

1/2

1/4

-1/2

1

X(n-2)

1/2

1/4

-1/2

1

X(n-2) sağa

öteleme yapar

x(n) x(n-2) x(0)

x(n) x(n-2) x(0) x(1)

X(n+2)

1/2

1/4

-1/2

1

Bufferlama işlemi; İşaretin

geçmiş değerlerine bu şekilde

ulaşabiliriz

X(n+2) sola

öteleme yapar

( )x n k sağa öteleme/ Geçmiş hakkında bilgi

( )x n k sola öteleme / Gelecek hakkında bilgi

( )x n zaman ekseninde ters çevirme



Time Reversal (Zamanı Ters Çevirme)

[ ]

[ ]

x n

x n

[ ]

[ ]

x t

x t

[ ] [ ]x n x n [ 2] [ ( 2)] [ 2]x n x n x n

İşaretin periyodik olması

[ ]

[0]

[ 1]

x n

x

x

[ ]

[ ]

[ 1]

x n N

x N

x N

X(-n)

1/2

1/4

-1/2

1

X(n)

1/2

1/4

-1/2

1

Burada 0 anında bir

değişiklik yok!

Sola ötelemeye örnektir fakat –n

olduğu için sağa ötelemedir!

Bu koşul sağlanıyorsa; Ayrık işaretimizin periyodik

olduğunu söylüyoruz ve N ile ifade ediyoruz

N tamsayı değerler alabiliyorsa periyodik.

1/2

1/4

-1/2

1

1/2

1/4

-1/2

1

1/2

1/4

-1/2

1



Impulse işareti 0 0

[ ]1 0

nn

n

Birim basamak işareti 0 0

[ ]1 0

nu n

n

( ) ( )n ve u n dönüşümleri

δ(n)

1

δ(n-n0)

1

n0

u(n)

1 …

n0

u(n-n0)

1 …

n0-1 n0 n0+1 n0+2

…..

δ(n)

n

1



δ(n-1)

n

1

δ(n-2)

n

1

δ(n-k)

n k

1 0

( ) ( )k

u n n k

n ayrık, t analog ifade

olduğunu gösteriyor

[ ] ( ) ( 1)n u n u n

0 0[ ] [ ]

1 0

n

m

nu n m

n

u(n)

1 …

n

u(n-1)

1 …

n

δ(m)

m n

1

0

0

[ ] 0 0

[ ] 1 0

[ ] 1 0

n

m

m

m

m n

m n

m n



Üstel işaretler

0( ) ( )

0 0

n

n a nx n a u n

n

Karmaşık sayılar

2 2

tan( )

j

r Q w

Q jw w

Q

Q jw re

( ) cos .sin

'( ) sin cos

'( ) . ( )

f j

f j

f j f

cos sin

cos sin

2.cos

j

j

j j

e j

e j

e e

cos sin

cos sin

2 .sin

j

j

j j

e j

e j

e e j

jm

w

r

G Rc

(G,w)

r =Genlik

( ) .cos

.sin

(cos .sin ) . j

sigma r

w r

jw r j r e

Üstel fonksiyonun

türevi kendisinin j ile

çarpımına eşit ise

üsteldir.

cos2

sin2

j j

j j

e etoplama

e eçıkarma

j



Örnek 0( )jw n

x n e bu işaret periyodik midir?

00

0 00

0

( )

( )( )

1

jw n Njw n

jw n jw Njw n

jw N

x n Nx n

ee

e ee

e

0

0

2

2

k w N

kN

w

0

0 0( ) cos( ) sin( )jw n

x n e w n j w n

Örnek 4( )j n

x n e

bu işaret periyodik midir?

0

2 kN

w

28

4

N k k

Örnek 8( )j n

x n e

dizisi periyodik midir?

0

2 kN

w

216

8

N k k

Periyodik

Örnek 8( )n

j

x n e bu işaret periyodik midir?

0

2 kN

w

216

1

8

N k k

Periyodik değil

Örnek 2

( ) cos( )3

x n n

bu işaret periyodik midir?

0

2 kN

w

23

2

3

N k k

Periyodik

k için tam sayı

değerler varsa

periyodik

İşaretimizin

frekansı

8 örnekte bir tekrar ediyor

(0) 1

(8) 1

(16) 1

x

x

x

Periyodik

3 örnekte bir tekrar ediyor

(0) 1

1(1)

2

3(2)

2

(3) 1

x

x

x

x



1 2( ) ( ) ( )x n x n x n

1

2

( )

( )

x n N

x n M

( ) ( )x n x n L

1 1

2 2

( ) ( )

( ) ( )

x n x n mN

x n x n kM

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )x n x n x n L x n L

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )x n mN x n kM x n L x n L

L mN kM

Örnek ( ) cos( ) sin( )3 4

x n n n

periyodik midir?

( ) cos( ) sin( )3 4

x n n n

0

2 mN

w

=

2.6

3

mm

0

2 kM

w

=

2.8

4

kk

6 8L mN kM m k Periyodiktir.

Örnek 2( ) cos ( )8

x n n

periyodik midir?

2( ) cos ( )8

x n n

=

1 cos( )4

2

n

=1 1

cos( )2 2 4

n

( ) 1 ( ) 8

1 8 8

x k x m

L k m

2 1 coscos

2

Katsayı genliği

değiştirir

Frekans

1 …

n

( ) ( )

( ) ( 1)

x n x n N

x n x n



Ödev 2( ) cos( )8

x n n

periyodik midir? Cevap: Periyodiktir, 8

22

2 2

22

( ) ( )

cos cos8 8

cos 28 8 8

mnk

x n x n N

n n N

n nN N

2 28

8

nk nN

N k

2

2

28

16

m N

N m

Ötelenmiş birim işaretlerin toplamı

[ ] ( ) ( 1)n u n u n

0

[ ] ( )k

u n n k

( ) ?x n

Örnek

δ(n)

n

1

u(n)

1 …

n

X(n)

n

1/2

1/4

-1/2

1



Çözüm

1

( 1). ( 1) ( 1)2

x n n

(0). ( ) 1. ( )x n n

1

(1). ( 1) . ( 1)2

x n n

1

(2). ( 2) . ( 2)4

x n n

Genel İfade ( ) ( ). ( )

k

x n x k n k

n

-1/2

n

1

n

1/2

n

1/4

( 1). ( 1) (0). ( ) (1). ( 1) (2). ( 2)x n x n x n x n



DOĞRUSAL ZAMANDA DEĞİŞMEYEN SİSTEMLER

Giriş

SİSTEM)(ny)(nx

Çıkış

( ) [ ( )]y n T x n

Örnek Banka faizi hesaplayan sistem

( ) 1.01 ( 1) [ ][ ] [ 1] [ ]

( ) 1.01 ( 1) [ ]

y n y n x ny n ay n bx n

y n y n x n

Örnek Fark denklemleri, Diferansiyel denklemler

(0) (0)

(1) (0) 0,01 (0) (0) 1,01

(2) (1) 0,01 (1) (1) 1,01 (2)

( ) ( 1) 1,01 ( )

x y

y y y y

y y y y x

y n y x x n

Örnek Ses sistemleri

Seri bağlı sistem

)(1 nh )(2 nh

)(ny)(nx

)(*)( 21 nhnh)(nx )(ny

)(1 nh)(2 nh)(ny)(nx

Paralel bağlı sistem

+

)(1 nh

)(2 nh

)(1 ny

)(2 ny

)(ny)(nx

)()( 21 nhnh )(nx )(ny



Ayrık zamanlı sistemler ve özellikleri

1. Hafızalı

2. Nedensel (Gerçeklenebilirlik)

3. Kararlılık

4. Zamanla değişmezlik

5. Doğrusallık

1. Hafızalı

2

2[ ] 2 [ ] [ ]

( ) ( )

[ ] [ ]

( ) [ 1]

1( ) ( )

n

k

y n x n x n

y t Rx t

y n x k

y n x n

y t x dc

2. Nedensel (Gerçeklenebilirlik)

x bilgisinin sadece geçmişteki bilgisine sahipsek; n ve/veya (n-k) gibi sağa ötelenmiş

hallerinden biri ise nedensel, sistemin nedensel olması gerçeklenebilir olması demektir.

3. Kararlılık

Zaman ekseninde çıkış işareti belli bir sınır aralığında kalıyorsa; Girişse uygulanan işaretin

genliği sınırlı bir aralıkta değişiyorsa, girişe uygulanan işaret ile sistem çıkışı da belirli bir

aralıkta duruyorsa sistem kararlıdır.

Örnek Banka faiz örneğinde sistem kararsızdır.Giren para max 1000 olsa bile çıkan hesaptaki

para ∞’a gidebilir.

4. Zamanla değişmezlik

Giriş miktarına uygulanan öteleme sistemin çıkışında da aynı öteleniyorsa zamanla değişmez.

( ) [ ( )]y n T x n

1

1 1

( ) ( )

( ) [ ( )] [ ( )]

x n x n k

y n T x n T x n k

Koşul: 1( ) ( )y n y n k olması gerekir.

Önceki değeri çıkışa gönderiyor.

Sistem (sola ve/veya sağa) ötelenmiş hallerden

birine sahipse hafızalıdır.



Örnek: ( ) 8 ( )y n n x n sistemin özellikleri hakkında bilgi veriniz?

( ) 8 ( )y n n x n

[ ( )] 8 ( )T x n k n x n k

1( ) ( )x n x n k

1 1( ) 8 ( ) 8 ( )

( ) 8( ) ( )

y n n x n n x n keşit değil

y n k n k x n k

Örnek: ( ) [ ( )] ( ) 4 ( 3)y n T x n x n x n sistemin özellikleri hakkında bilgi veriniz?

( ) [ ( )] ( ) 4 ( 3)y n T x n x n x n

1( ) ( )x n x n k

1 1 1( ) ( ) 4 ( 3) ( ) 4 ( 3)

( ) ( ) 4 ( 3)

y n x n x n x n k x n keşit

y n k x n k x n k

5. Doğrusallık

( ) [ ( )]y n T x n

3 1 2( ) ( ) ( )x n ax n bx n

3 3 1 2( ) [ ( )] [ ( ) ( )]y n T x n T ax n bx n

1 1

2 2

3 1 2

3 3

3 1 2

[ ( )] ( )

[ ( )] ( )

[ ( )] ( )

( ) ( ) ( )

[ ( )] ( )

( ) ( ) ( )

T x n y n

T x n y n

T x n y n

x n ax n bx n

T x n y n

y n ay n by n

Sistem Doğrusal ise;

?

3 1 2

?

3 1 2

?

3 1 2

( ) [ ( )] [ ( )]

( ) [ ( )] [ ( )]

( ) ( ) ( )

y n T ax n T bx n

y n aT x n bT x n

y n ay n by n

Bu eşitlik Sağlanıyor ise sistem lineer (doğrusal) Sağlanmıyor ise nonlineer (doğrusal değil)

(n-k) yok Hafızalı Değil

x(n) var Nedensel

1( ) ( )y n y n k eşit olmadığı için;

Zamanla değişmez değil (Sabit n var)

Kararsız n ∞’a gidiyor

(n-k) var Hafızalı

x(n) ve x(n-k) var Nedensel

1( ) ( )y n y n k eşit olduğu için

Zamanla değişmez

Kararlı n ∞’a gitmiyor



Örnek: ( ) 2 ( ) 3y n x n M sistemin özellikleri hakkında bilgi veriniz?

( ) 2 ( ) 3y n x n M

( ) [ ( )] 2 ( ) 3y n k T x n k x n k

1 1( ) 2 ( ) 3 2 ( ) 3

( ) 2 ( ) 3

y n x n x n keşit

y n k x n k

1 1 1

2 2 2

( ) [ ( )] 2 ( ) 3

( ) [ ( )] 2 ( ) 3

y n T x n x n

y n T x n x n

3 1 2

3 3 1 2

3 1 2

3 1 2

( ) ( ) ( )

( ) [ ( )] 2( ( ) ( )) 3

[ ( )] [ ( )] [ ( )]

[ ( )] (2 ( ) 3) (2 ( ) 3)

x n ax n bx n

y n T x n ax n bx n

T x n aT x n bT x n

T x n a x n b x n

?

3 3

1 2 1 2

( ) [ ( )]

2( ( ) ( )) 3 (2 ( ) 3) (2 ( ) 3)

y n T x n

ax n bx n a x n b x n

Örnek: 2( ) ( ( ))y t x t doğrusal mı?

2

1 1 1

2

2 2 2

( ) [ ( )] ( ( ))

( ) [ ( )] ( ( ))

y t T x t x t

y t T x t x t

3 1 2

2

3 3 1 2

3 1 2

2 2

3 1 2

( ) ( ) ( )

( ) [ ( )] ( ( ) ( ))

[ ( )] [ ( )] [ ( )]

[ ( )] ( ( )) ( ( ))

x t ax t bx t

y t T x t ax t bx t

T x t aT x t bT x t

T x t a x t b x t

?

3 3

?2 2 2

1 2 1 2

2 2

1 2 1 2 1 2

( ) [ ( )]

( ( ) ( )) ( ( )) ( ( ))

( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( )

y t T x t

ax t bx t a x t b x t

a y t b y t aby t y t ay t by t

Örnek: 2( ) [ ( )] ( 2)y n T x n n x n doğrusal mı?

2

1 1 1

2

2 2 2

( ) [ ( )] ( 2)

( ) [ ( )] ( 2)

y n T x n n x n

y n T x n n x n

3 1 2

2

3 3 1 2

3 1 2

2 2

3 1 2

( 2) ( 2) ( 2)

( ) [ ( )] ( ( 2) ( 2))

[ ( )] [ ( )] [ ( )]

[ ( )] ( ( 2)) ( ( 2))

x n ax n bx n

y n T x n n ax n bx n

T x n aT x n bT x n

T x n a n x n b n x n

?

3 3

?2 2 2

1 2 1 2

1 2 1 2

( ) [ ( )]

( ( 2) ( 2)) ( ( 2)) ( ( 2))

( ) ( ) ( ) ( )

y n T x n

n ax n bx n a n x n b n x n

ay n by n ay n by n

(n-k) yok Hafızalı Değil

x(n) var Nedensel

1( ) ( )y n y n k eşit olduğu için;

Zamanla değişmez (Sabit n yok)


3 3( ) [ ( )]y n T x n eşit olmadığı için;

Doğrusal değil

(n+k) var Hafızalı

x(n) ve/veya x(n-k) yok Nedensel değil


Zamanla değişmez değil (Sabit n var)

Kararlı değil n ∞’a gidiyor

3 3( ) [ ( )]y n T x n eşit olduğu için;

Doğrusal



Örnek: 2( ) 6 ( 3)y n x n sistemin özellikleri hakkında bilgi veriniz?

2( ) 6 ( 3)y n x n

1

2

( ) ( )

( ) [ ( )] 6 ( 3)

x n x n k

y n k T x n k x n k

2

1

2

( ) 6 ( 3)

( ) 6 ( 3)

y n x n keşit

y n k x n k

2

1 1 1

2

2 2 2

( ) [ ( )] 6 ( 3)

( ) [ ( )] 6 ( 3)

y n T x n x n

y n T x n x n

3 1 2

2

3 3 1 2

3 1 2

2 2

3 1 2

( ) ( ) ( )

( ) [ ( )] 6( ( 3) ( 3))

[ ( )] [ ( )] [ ( )]

[ ( )] 6( ( 3)) 6( ( 3))

x n ax n bx n

y n T x n ax n bx n

T x n aT x n bT x n

T x n a x n b x n

?

3 3

?2 2 2

1 2 1 2

2

1 2 1 2

( ) [ ( )]

6( ( 3) ( 3)) 6( ( 3)) 6( ( 3))

6( ( 3) ( 3)) ( ) ( )

y n T x n

ax n bx n a x n b x n

ax n bx n ay n by n

Örnek: ( ) ( 1)y t x t sistemin özellikleri hakkında bilgi veriniz?

(n-k) var Hafızalı

x(n-k) var Nedensel


Zamanla değişmez (Sabit n yok)


3 3( ) [ ( )]y n T x n eşit olmadığı için;

Doğrusal değil



DOĞRUSAL ZAMANLA DEĞİŞMEZ SİSTEM (DZD)

( ) [ ( )]y n T x n ( ) [ ( )]h n T n

Giriş birim impuls dizisi )(n ise, buna karşı düşen sistem çıkışı impuls cevabı olarak adlandırılır ve )(nh ile

gösterilir. Ayrık zamanlı DZD sistemin giriş ve çıkış bağıntısını, birim impuls cevabı yardımıyla belirlemede ilk

adım, önceki bölümde verilmiş olan denklemin bir daha yazılmasıdır.

k

knkxnx )().()(

kkk

knhkxknTkxknkxTnxTny )().()().()().()()(

Konvalisyon Toplamı

( ) ( ). ( )k

y n x k h n k

DZD

DZD



-1 1 2 3 4-2-3-4 0

)1().1( nx

)1(x

n

-1 1 2 3 4-2-3-4 0

)2().2( nx

)2(x

n

0

)().( knkx

)(kx

nk 1k1k

)(nx dizisinin impuls bileşenleri ile gösterilmesi

DZD SİSTEM)(n

)( kn

)(nh

)( knh

(a)

0

1

n

)(n

0

1

n

)( kn

k

n

)(nh

n

0 1 2

0

)( knh

k

(b)

(c)

Zamanla değişmeme kriteri, (a) DZD sistemin ötelenmiş birim impuls cevabı, (b) )(n için DZD sistemin cevabı,

(c) )( kn için aynı sistemin cevabı



Örnek ( )x n , birim impuls cevabı ( )h n olarak verilen DZD bir sisteme giriş olarak uygulanmaktadır.

Çıkış dizisini bulunuz? ( ) ( ) ( )k

y n x k h n k

Çözüm

( ) ( ) ( )k

y n x k h n k

( ) [0] [ 0] [1] [ 1] 0,5 ( ) 2 ( 1)y n x h n x h n h n h n

h(n)

1

X(n)

1/2

2

0,5.h(n)

0,5

2.h(n-1)

2

y(n)

0,5

2,5 2,5

2

∞’a gidiyorsa;

( ) ( ) ( )k

y n x k h n k

k'lı ifadeye dönüştürüp

topluyoruz



Örnek ( )x n , ( )h n olarak verilen DZD bir sisteme giriş olarak uygulanmaktadır. Çıkış dizisini bulunuz?

( ) ?y n

Çözüm

( ) ( ) ( )k

y n x k h n k

0n Hiç örtüşme yok ( ) 0y n

0n (0) 0,5 0 0,5y

1n (1) 0,5 2 2,5y

2n (2) 0,5 2 2,5y

3n (3) 0 2 2y


h(k)

1

X(k)

1/2

2

h(-k)

1

h(n-k)

n n+1 n+2

1




0n

(0) 0,5y

çarp

1n

(1) 0,5 2y

çarp

2n

(2) 0,5 2y

çarp

3n

(3) 0 2y

çarp


h(0-k)

1

h(1-k)

1

h(2-k)

1

h(3-k)

1

X(k)

1/2

2

X(k)

1/2

2

X(k)

1/2

2

X(k)

1/2

2



Örnek Chapter2.pdf/Example2.3



Örnek Chapter2.pdf/Example 2.4



Örnek ( ). ( ) ( )* ( )x k h n k x n h n

( )x n ( )* ( )x n h n

( ) ( )

( ) ?

x n n

y n

Çözüm

( ) ( )

( ) ( )* ( ) ( )* ( ) ( )

( ) ( )

x n n

y n x n h n n h n h n

y n u n

( )h n

h(n-k)

1

X(k)

1

0 ( ) 0

0 (0) 1

1 (1) 1

2 (2) 1

( ) 1

n y n

n y

n y

n y

n y n



Örnek ( ). ( ) ( )* ( )x k h n k x n h n

( )x n ( )* ( )x n h n

( ) ( 1)

( ) ?

x n n

y n

Çözüm

( ) ( 1)

( ) ( )* ( ) ( 1)* ( )

( ) ( 1) ( 1)

x n n

y n x n h n n h n

y n u n h n

Birim gecikme elemanı;

( )x n ( 1)x n

Örnek

( ) ( ) ( 2)

( ) ( 2) ( 2)

( ) ?

x n n n

h n n n

y n

Çözüm

( ) ( 2)

( ) ( )* ( )

[ ( ) ( 2)]* ( )

( )* ( ) ( 2)* ( )

( 2) ( 2) (( 2) 2) (( 2) 2)

( 2) ( 2) ( 4) ( )

h n h n

y n x n h n

n n h n

n h n n h n

n n n n

n n n n

( )h n

Konvalisyon:

( ) ( 1)* ( ) ( 1)

( ) ( 2)* ( ) ( 2)

( ) ( 1)* ( ) ( 1)

( ) ( )* ( ) ( )

y n n h n h n

y n n x n x n

y n n x n x n

y n n k x n x n k

( )h n

Birim gecikme elemanı

1z

1z

1

( 1) ( )* ( )

( 1) ( )* ( 1)

( 1) ( )*

x n x n h n

x n x n n

x n x n z

( ) ( )* ( )

( ) ( )* ( )

y n x n h n

y n h n x n



Örnek Chapter2.pdf/Example2.1

( ) ( ) ( 1) ( 2)

( ) 0,5 ( ) 2 ( 1)

( ) ?

h n n n n

x n n n

y n

( ) ( 1) ( 2)

( ) ( ) ( 1) ( 2)

( ) 0,5 ( ) 2 ( 1)

( ) ( )* ( )

( )*[ ( ) ( 1) ( 2)]

( )* ( ) ( )* ( 1) ( )* ( 2)

( ) ( 1) ( 2)

0,5 ( ) 2 ( 1) 0,5 ( 1) 2

x n x n x n

h n n n n

x n n n

y n x n h n

x n n n n

x n n x n n x n n

x n x n x n

n n n

( 2) 0,5 ( 2) 2 ( 3)

0,5 ( ) 2,5 ( 1) 2,5 ( 2) 2 ( 3)

n n n

n n n n

Ödev

( ) 0 4

( ) 1 0 6

nh n n

x n n

olduğunda ( ) ?y n



SERİ BAĞLI

)(1 nh )(2 nh

)(ny)(nx

)(*)( 21 nhnh)(nx )(ny

)(1 nh)(2 nh)(ny)(nx

1 1

1 2 1 2

( ) ( )* ( ) ( ). ( )

( )* ( ) ( ). ( )

( )* ( )

( ) ( )* ( )

( ) ( )* ( ) ( )* ( )* ( )

y n x n h n x k h n k

x t h t x h t d

x n h n

y n x n h n

y n y n h n x n h n h n

PARALEL BAĞLI

+

)(1 nh

)(2 nh

)(1 ny

)(2 ny

)(ny)(nx

)()( 21 nhnh )(nx )(ny

1 2

1 2

( ) ( )* ( ) ( )* ( )

( )*( )

y n x n h n x n h n

x n h h

h(n)

h(n)

Çıkışta yapılan

işleme göre burası

değişir. Bu örnek te

+



Örnek

Çözüm

1 2 3

1 2

1 2

1 2

( ) ( )* ( )

( )* ( 1)

( 1) ( 1)

( 1) ( 1)

( ) ( 1) ( 1)

h n h h h n

h h n

h n h n

h n h n

n n n

# Sistemin impuls cevabına bakarak hafızalı olup olmadığını nasıl çözeriz

( ) [ ( )]

( )* ( )

( )* ( )

( ) ( )k

y n T x n

x n h n

h n x n

h k x n k

( 1) ( 1) (0) ( ) (1) ( 1)h x n h x n h x n

Hafızalı olma şartı;

( ) 0 0h n n

( ) ( 1)h n n

Sistemin impuls cevabına bakarak nedensel olup olmadığını nasıl çözeriz

Nedensel olma şartı;

( ) 0 0h n n

( ) ( 1)h n n Nedensel

( ) 3 ( 1)h n n Nedensel

Sistemin impuls cevabına bakarak Kararlı olup olmadığını nasıl çözeriz

Tanım uyarınca her sınırlı giriş işareti yine sınırlı bir çıkış sağlıyorsa, DZD sistem kararlıdır.

( )k

h k

1

2

3

( ) ( 1 2)* 3

( ) ( 1)

( ) ( 2) ( )

( ) ( 1)

( ) ?

h n h h h

h n n

h n n n

h n n

h n



Örnek

DZD sistemin impuls cevabı aşağıdaki şekilde verilmiş olsun.

)()( nuanh n

k k

kakh

0

)( elde edilir. Eğer 1a ise toplamı yakınsar. Buradan aşağıdaki sonuca gelinir.

akh

k

1

1)(

0

O halde sistem kararlıdır. Ancak 1a olursa bu toplam yakınsamaz ve sistem kararsız olur.

Örnek

DZD sistemin impuls cevabı aşağıdaki şekilde verilmiş olsun.

0( ) ( )h n n n

0( ) ( )h n n n kararlı 1)()( 0

n n

nnnh

)()( nunh kararsız

0

)()()(

nn n

nununh

0

0( ) ( )

0

n Hafızasızh n n n

n Hafızalı

0

0

0

0( ) ( )

0

n Nedensel değilh n n n

n Nedensel

0n şartını ( )u n sağlıyor

( ) ( )nh n a u n nedenseldir

( ) ( )nh n a u n hafızalıdır



BLOK DİYAGRAMLAR

Fark Denklemleri

( )h n FIR sınırlı sayıda toplama, çıkarma

IIR sonsuz sayıda //

0 0

( ) ( )N M

k k

k k

b y n k a x n k

,k ka b sabit sayılar

1( 1)n z

Sistemin Cevabının hesaplanması

( ) ( )k kb y n k a x n k başlangıç değerleri veriliyor

( 1)

( 2)

y

y

2.dereceden denklem ise 2 giriş işareti verilir.

( )

( ) ?

x n

y n

Doğal Çözüm

Girişi işareti ( ) 0x n kabul edilir

( 1) ( 2)y ve y verilenler kullanılarak sistemin doğal çözümü ( )dy n bulunur

( ) ny n fark denkleminde yerine yazılır, kökler bulunur

Zorlanmış Çözüm

Doğal çözümün tam tersi

Başlangıç koşulları ( 1) 0 ( 2) 0y ve y kabul edilir.

Verilen giriş işaretine ( )x n göre (bkz sf 30 Tablo) sistemin zorlanmış çözümü ( )zy n bulunur



Özel Çözüm

( ) ny n kabul edilir. Doğal çözümde fark denklemine yazılır

n tane kök bulunur; 1 2 3, ,

1 1 2 2( ) n n n

d N Ny n c c c

Başlangıç koşulları 0 kabul ediliyor. Başlangıç koşullarıyla c leri buluyoruz

( ) ( ) ( )ky n x n k b y n k

2.dereceden iseikisi kullanılıyor

(0), (1) , (2)y y y

1 2( ) ( 1) ( 2) ( )y n b y n b y n x n k

1 2

1 2 0n n nb b

1 2

2 2

1 2

ve kökler

( ) 0n nb b

1 2 1 1 2 2 ( )n n

dc c y n

1 2 1 1 2 1 ( )n n

dc c n y n

1 2 3 2

1 1 2 1 3 1 ( )n n n

dc c n c n y n

1 2 1 2

1 2 1 2

0 (0) (0 1) (0 2) (0) ( 1) ( 2) 0 (0)

1 (1) (1 1) (1 2) (1) (0) ( 1) 0 (1)

y b y b y y b y b y y

y b y b y y b y b y y

1c ve 2c bulunur

( )x n ( )Ö

y n

( )Au n ( )Ku n

( )nAM u n ( )nKM u n

mAn 1

0 1

m m

mK n K n K

cos( ( ))

sin( ( ))

A u n

A u n 0 0 1 0cos( ) sin( )K n K n

( ) ( ) ( )z d Öy n y n y n

( ) ( )d zToplam çözüm y n y n

Katlı kök

varsa



Örnek

( 1) 2

( 2) 2

( ) 2 ( 1) 3 ( 2) ( )

( ) ?d

y

y

y n y n y n x n

y n

Çözüm

( ) ny n

1 2

1 2

1 ve 3

( ) 2 ( 1) 3 ( 2) ( )

2 3 0n n n

y n y n y n x n

1 1 2 2

1 2

2

( )

( 1) (3)

1( 1) 9(3)

( 1) (3)

n n

d

n n

n n

n n

y n c c

c c

Örnek

( ) ( 1) ( )y n ay n x n doğal ve homojen çözümünü bulunuz?

Çözüm

( ) ny n

1

1

( ) ( 1) ( )

0n n

a

y n ay n x n

a

1 1

1

1

( )

( )

( 1)( )

( 1)

n

d

n

n

n

y n c

c a

ay a

a y

1 1 2 2 1 2( ) ( 1) (3)n n n n

dy n c c c c

(0) (1)y ve y kullanılarak 1c ve 2c bulunur

( ) 2 ( 1) 3 ( 2) ( )y n y n y n x n

1 2

1 2

0 (0) 2 ( 1) 3 ( 2) 0

1 (1) 2 (0) 3 ( 1) 0

(0) 2.2 3.2 0

(0) 10

(1) 2.10 3.2 0

(1) 26 3

y y y

y y y

y

y c c

y

y c c

1 2

1 2

1

2

10

26 3

1

9

c c

c c

c

c

1 1 1( ) ( )n n

dy n c c a

(0)y kullanılarak 1c bulunur

( ) ( 1) ( )y n ay n x n

1

0 (0) ( 1) 0

1 (1) (0) 0

(0) ( 1) 0

(0) ( 1)

y ay

y ay

y ay

y ay c

1 ( 1)c ay



Örnek

( 2) 0, ( 1) 5

( ) 3 ( 1) 4 ( 2) ( )

y y

y n y n y n x n

doğal çözümünü bulunuz?

Çözüm

( ) ny n

1 2

1 2

4 1

( ) 3 ( 1) 4 ( 2) ( ) ( )

3 4 0n n n

y n y n y n x n x n

1 1 2 2

2 1

( )

16.4 1.( 1)

4 ( 1)

n n

d

n n

n n

y n c c

Örnek (Özel Çözüm)

( 2) 0, ( 1) 5y y verilmiş fakat zorlanmış çözümde başlangıç koşulları 0 kabul ediliyor

( ) 3 ( 1) 4 ( 2) ( )

( ) 3 ( 1) 4 ( 2) ( )

3 4

y n y n y n x n

Ku n Ku n Ku n Au n

K K K A

d öTam Çözüm yada Toplam Çözüm y y

1 1 2 2 1 2( ) (4) ( 1)n n n n

dy n c c c c

(0) (1)y ve y kullanılarak 1c ve 2c bulunur

( ) 3 ( 1) 4 ( 2) ( )y n y n y n x n

1 2

1 2

0 (0) 3 ( 1) 4 ( 2) 0

1 (1) 3 (0) 4 ( 1) 0

(0) 3 ( 1) 4 ( 2) 0

(0) 3.5 4.0 15

(1) 3 (0) 4 ( 1) 0

(1) 3.15 4.5 65 4

y y y

y y y

y y y

y c c

y y y

y c c

1 2

1 2

1

2

15

65 4

16

1

c c

c c

c

c



Örnek

( ) 2 ( 1) 3 ( 2) ( )y n y n y n x n fark denkleminin Özel ve Zorlanmış çözümünü bulunuz?

Çözüm

( ) 2 ( 1) 3 ( 2) ( )y n y n y n x n

Doğal Çözümü daha önce hesaplamıştık (bkz.)

3 4

( ) ( 1) 9(3)

( ) ( ) ( )

( ) ( 1) (3) ( )

n n

d

z d Ö

n n

z Ö

y n

y n y n y n

y n c c y n

( ) 10 ( )x n u n //Giriş İşareti

( ) ( )Ö

y n Ku n

( ) 2 ( 1) 3 ( 2) ( )y n y n y n x n

En fazla ötelenen2 durumlar için

( ) 2 ( 1) 3 ( 2) 10 ( )

n

Ku n Ku n Ku n u n

2 3 10

4 10

5

2

K K K

K

K

3 4

5( ) ( 1) (3) ( )

2

n n

zy n c c u n

Başlangıç koşulları 0

0n

(0) ( 1)y y

0

3 ( 2)y

0

3 4

(0)

(0) (0)

(0) 10

510

2

x

y x

y

c c

3 4

3 4

3

4

510

2

530 3

2

0,875

11,125

c c

c c

c

c

( ) 0,875 ( 1) 11,125 (3) 2,5 ( )n n

zy n u n

0n

10

(1) (0) 3 ( 1)y y y

0

3 4

(1)

(1) 10 (1)

(1) (1) 10

(1) 20 10

(1) 30

530 3

2

x

y x

y x

y

y

c c



Örnek

5 1( ) ( 1) ( 2) ( )

6 6y n y n y n x n 0n ( ) 2 ( )nx n u n ( ) ?

Öy n

Çözüm

5 1( ) ( 1) ( 2) ( )

6 6y n y n y n x n ( )x n yalnız bırak

( ) 2 ( )n

Öy n K u n

5 1( ) ( 1) ( 2) ( )

6 6

5 12 ( ) 2 ( 1) 2 ( 2) 2 ( )

6 6

n n n n

y n y n y n x n

K u n K u n K u n u n

1 2

2 2 1

2 1

5 12 2 2 2

6 6

5 12 ( 2 2 ) 2

6 6

5 12 2 4

6 6

n n n n

n n

K K K

K K K

K K K

Örnek

( ) ( 1) ( )y n ay n x n 0n ( ) ( )x n u n ( ) ?dy n ( ) ?Ö

y n ( ) ?zy n

Çözüm

( ) ( 1) ( )y n ay n x n

Tek kök olduğu için;

1( ) n

dy n c

1

1

1

0

( ) 0

n n

n

a

a

a

1( ) ( )n

dy n c a

1

(0) ( 1) (0)

(0) ( 1) 0

(0) ( 1)

( 1)

y ay x

y ay

y ay

ay c

( ) ( 1)( )n

dy n ay a

( ) ( )

( ) ( )Ö

x n u n

y n Ku n

( ) ( 1) ( )

1

1

1

Ku n aKu n u n

K aK

Ka

2 1

2

( ) ( )

1( ) ( )

1

z Ö

n

y n c y n

c a u na

n=0 (0) ( 1)y a y (0)x

0

2

1(0) ( ) (0)

1zy c a u

a

1( ) ( ) ( )

1 1

n

z

ay n a u n

a a

Toplam Çözüm= ( ) ( )d zy n y n

1 1( 1)( ) ( ) ( ) [ ( 1)]( ) ( )

1 1 1 1

n n na aay a a u n ay a u n

a a a a

(0) (0)

(0) ( )

(0) (0)

(0) 1

y x

x u n

x u

x

21

ac

a

8

5K



Örnek

( ) 3 ( 1) 4 ( 2) ( ) 2 ( 1)y n y n y n x n x n

( 1) ( 2) 0y y ( ) 4 ( )nx n u n toplam çözümü bulunuz?

Çözüm

( ) ny n

1 2

1 2

2 2

1 4

3 4 0

( 3 4) 0

n n n

n

Başlangıç koşulları 0 olduğu için ( ) 0dy n olur

n=0 (0) 3 ( 1) 4 ( 2) 0y y y (0) 0y

n=1 (1) 3 (0) 4 ( 1) 0y y y (1) 0y

3 4( ) ( 1) 4 ( )n n

z Öy n c c y n

( ) 4 ( )n

Öy n K u n

1 2, kökler için 21 1 2

n nc c

21 1 2

n nc c n ( ) 4 ( )n

Öy n Kn u n Fark denkleminde yerine yazıyoruz

1 2 1

2

( ) 3 ( 1) 4 ( 2) ( ) 2 ( 1)

4 ( ) ( 1)4 ( ) 4 ( 2) 4 ( ) 4 ( ) 2. 4 ( 1)

4

n n n n n

ortak parantez ortak parantez

n

y n y n y n x n x n

Kn u n K n u n K n u n u n u n

1(16 12 ( 1) 4 ( 2)) 4nKn K n K n 4

(4 2)

16 12 12 4 8 ) 24

20 24

Kn Kn K Kn K

K

6( ) 4 ( ) 4 ( )

5

n n

Öy n K u n u n

3 4

6( ) ( ) ( ) ( 1) 4 4 ( )

5

n n n

z d Öy n y n y n c c n u n

( ) 3 ( 1) 4 ( 2) ( ) 2 ( 1)y n y n y n x n x n

3 4 3

3 44

1(0) 3 ( 1) 4 ( 2) (0) 2 ( 1) (0) 1 0

2524

26(1) 3 (0) 4 ( 1) (1) 2 (0) (1) 9 45

25

y y y x x y c c c

y y y x x y c cc

1 26 6( ) ( ) ( ) [ ( 1) (4) 4 ] ( )

25 25 5

n n n

T d Öy n y n y n n u n

1 1 2 2

1 2

( )

( 1) (4)

n n

d

n n

y n c c

c c

1 2

1 2

1 2

(0) 0

(1) 4 0

0 0

(0) 0

d

d

d

y c c

y c c

c c

y

Bu şekilde bir durumla

karşılaşırsak katlı kök

olduğunu anlıyoruz

yerine

kullanıyoruz

6

5K



Örnek

( ) 0,5 ( 1) ( )y n y n x n 0n

( 1) 2y ( ) ( )x n u n toplam çözümü bulunuz?

Çözüm

( ) ny n

1

1

1

0,5

( ) 0,5 ( 1) ( )

0,5 0

( 0,5) 0

n n

n

y n y n x n

1

1

( )

(0) 0,5 ( 1) 0

(0) 1

1

n

dy n c

y y

y

c

1

1( ) 1( )

2

n n

dy n c

2

( ) ( ) ( )

( )

1( ) ( )

2

z d Ö

n

n

y n y n y n

c Ku n

Ku n

( ) 0,5 ( 1) ( )

1( ) ( 1) ( )

2

11

2

2

3

y n y n x n

Ku n Ku n u n

K K

K

2

(0) 0,5 ( 1)y y

2

(0)

2(0) 1

3

x

y c

1 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 2 3

n

z d öy n y n y n u n

( ) ( ) ( )

1 1 1 2( ) ( ) ( )

2 3 2 3

2 1 2( ) ( )

3 2 3

T d z

n n

n

y n y n y n

u n

u n



# Birim impuls cevabının hesaplanması

( ) ( )x n n uygulanarak elde edilen zorlanmış çözümdür.

0n olduğunda ( ) 0x n olacağından ( ) 0Ö

y n olur

Birim impuls cevabı sadece ( )dy n ve 0 başlangıç koşulları kullanılarak bulunur.

Örnek ( ) 0,5 ( 1) ( )y n y n x n fark denkleminin birim impuls cevabını hesaplayınız?

Çözüm

( ) ( )

( ) ( )

x n n

y n h n

0 kabul edilir

1

( ) 0,5 ( 1) ( )

( ) 0,5 ( 1) ( )

(0) 0,5 ( 1) (0)

(0) 1

y n y n x n

h n h n n

h h

h c

1( ) 1( ) ( )

2

1( ) ( ) ( )

2

n

d

n

y n c h n

h n u n

Örnek ( ) 3 ( 1) 4 ( 2) ( ) 2 ( 1)y n y n y n x n x n fark denkleminin birim impuls cevabını

hesaplayınız ?h n

Çözüm

( ) ( )

( ) ( )

x n n

y n h n

0 0

1 2

1 1

1 2

( ) 3 ( 1) 4 ( 2) ( ) 2 ( 1)

( ) 3 ( 1) 4 ( 2) ( ) 2 ( 1)

(0) 3 ( 1) 4 ( 2) (0) 2 ( 1)

(0) 1 ( 1) (4)

(1) 3 (0) 4 ( 1) (1) 2 (0)

(1) 5 ( 1) 1(4)

y n y n y n x n x n

h n h n h n n n

h h h

h c c

h h h

h c c

1 2

1 2

1 2

1

5 4

6 1

5 5

c c

c c

c c

1 2

( ) ( )

( ( 1) (4) ) ( )

1 6( ( 1) (4) ) ( )

5 5

d

n n

n n

h n y n

c c u n

u n



# Durum Değişkenleri

Sistemin içerisindeki değişkenler

Bizim müdahale edemediğimiz değişkenler

0 0

( ) ( ) ( )

1( ) ( 1)

2

N N

k k

k k

y n a x n k b y n k

x n x n

İşlem adımları;

1. Fark denkleminin ( )y n gördüğümüz yere ( )e n yazıyoruz

2. Eşitliğin sağ tarafında ne yazdığından bağımsız olarak (ne olursa olsun) ( )x n yazıyoruz

1( ) ( 1) ( )

2

1( ) ( ) ( 1)

2

e n e n x n

e n x n e n

3. Sistemin derecesi ne ise durum değişkenlerinin derecesi de o olur. Bu örnekte 1 değişken var

(1.dereceden)

1( ) ( 1)q n e n // Durum değişkenleri

1( 1)q n // 1( )q n kullanarak yazıyoruz

1

1

( 1) ( )

1( ) ( )

2

q n e n

x n q n

1

( ) ( )

1( ) ( )

2

y n e n

x n q n



Durum değişkenleri yöntemi

Fark denklemiyle modellenen nedensel süzgeçlerin iç değişkenlerinin durumunu belirlemek için durum

değişkenleri yaklaşımı kullanılır. Sistemin tüm durum değişkenleri durum vektörü adı verilen bir vektörle

gösterilir. Durum değişkenleri N nci dereceden fark denklemini N adet birinci dereceden sisteme dönüştürerek

elde edilir. Bu amaçla, aşağıdaki N nci dereceden fark denklemini ele alalım.

N

k

k

N

k

k knybknxany10

)(.)(.)(

Bu süzgeci birbirine seri bağlanmış iki süzgece ayırabiliriz.

N

k

k knbnxn1

)(.)()(

N

k

k knany0

)(.)(

Bu ifadeleri yeniden düzenlenmek suretiyle fark denklemi elde edilir.

)(1 nq , )(2 nq , ….. , )(nqN durum değişkenleri de aşağıdaki gibi tanımlanır.

)1()(

)2()(

)1()(

)()(

1

2

1

nnq

nnq

Nnnq

Nnnq

N

N

denklemlerinden durum değişkenleri arasındaki ilişki yazılabilir.

)()()()(

)()2()1()()()1(

)()1()1(

)()2()1(

)()1()1(

1121

21

1

32

21

nqbnqbnqbnx

Nnbnbnbnxnnq

nqnnq

nqNnnq

nqNnnq

NNN

NN

NN

Bu matrisleri denklem formunda gösterebiliriz.

)(

1

0

0

0

)(

)(

)(

)(

10000

00100

00010

)1(

)1(

)1(

)1(

)(

1

2

1

1221

)1(

1

2

1

nx

nq

nq

nq

nq

bbbbbnq

nq

nq

nq

Bnq

N

N

A

NNN

nq

N

N



)(n değişkeni yok edilebilir.

N

k

kk

N

k

k

N

k

k

knbaanxa

knaknbnxany

1

00

11

0

)(.)(

)(.)(.)(.)(

Aşağıdaki katsayıları tanımlayalım.

101

2021

1012

01

baac

baac

baac

baac

N

N

NN

NN

çıkış ifadesi,

)()()()()()()( 113322110 nqcnqcnqcnqcnqcnxany NNNN

veya

)(

)(

)(

)(

)( 0

2

1

21 nxa

nq

nq

nq

cccny

d

N

C

N

olarak yazılabilir. Girişine )(nx işareti uygulanan doğrusal bir sistemin çıkışı )(ny olduğuna göre, durum

denklemleri aşağıdaki gibi yazılabilir.

)()()1( nBxnAqnq

)()()( ndxnCqny

A sistem matrisi, B kontrol vektörü, C gözlem vektörü ve d geçiş katsayısı olarak kullanılır. A matrisi N

nci dereceden bir kare matristir. B ve C vektörleri N boyutludur. )(nq ise durum değişkenleri içeren durum

vektörüdür.

TN nqnqnqnq )()()()( 21



Şekilde durum değişkenlerine ilişkin blok diyagramı gösterilimi verilmiştir. Burada çift çizgiler vektör işaretleri

göstermektedir.

d

+ +1z

A

B C)(nx )(ny)(nq)1( nq

Şekil Durum değişkenleri yöntemiyle modellenen süzgecin blok diyagramı

Örnek Sayısal bir süzgeç aşağıdaki fark denklemiyle tanımlansın:

)2(2)1()2()1(2)()( nynynxnxnxny

Yukarıdaki denkleminden 10 a , 21 a , 12 a , 10 b , 11 b , 22 b olarak belirlendiğinden, bu süzgeç

durum değişkenleri yöntemi ile aşağıdaki gibi gösterilir.

)(1

0

)(

)(

12

10

)1(

)1(

2

1

2

1nx

nq

nq

nq

nq

11.12

3)2(11

1012

2021

baac

baac

bulunur. O halde çıkış, durum değişkenleri ve giriş cinsinden aşağıdaki gibi verilir.

)()(

)(13)(

2

1nx

nq

nqny

+

1z

)(nx

)1(2 nq

)(ny+

1z

-1

2 3

)(2 nq

)(1 nq

Şekil Örnek 2.11 deki sayısal süzgecin durum denklemleri cinsinden blok diyagramı



Örnek

( ) 3 ( 1) 4 ( 2) ( ) 2 ( 1)y n y n y n x n x n durum değişkenleri?

Çözüm

0 1 2 0 1

1 ( ) 3 ( 1) 4 ( 2) 1 ( ) 2 ( 1)

b b b a a

y n y n y n x n x n

( ) 3 ( 1) 4 ( 2) ( )e n e n e n x n

Durum değişkenleri;

1

2

( ) ( 2)

( ) ( 1)

q n e n

q n e n

1

2

( )( )

( )

q nn

q n

Durum denklemleri;

1 2

2 2 1

( 1) ( 1) ( )

( 1) ( ) ( ) 3 ( ) 4 ( )

q n e n q n

q n e n x n q n q n

1 2

1 1

2 2

( 1) ( )0 1 0 ( )( 1) ( )4 3 1

nxq q

BA

q n q nx n

q n q n

( )

2 1

( ) ( ) 2 ( 1)

( ) 3 ( 1) 4 ( 2) 2 ( 1)

( ) 5 ( 1) 4 ( 2)

( ) 5 ( ) 4 ( )

e n

y n e n e n

x n e n e n e n

x n e n e n

x n q n q n

1 2

1

2

( ) ' ( ) '

( )( ) 4 5 1 ( )

( )

nxq q

DCkatsayılar y n dekatsayılar y n de

q ny n x n

q n

2. Dereceden

sistem

1.denklemdeki q katsayıları

X(n)’nin katsayısı

2.denklemdeki q katsayıları

A,B,C,D bulunduğunda

çözüm bulunmuş olur

3

4

5

4



# Z Dönüşümü

z bir karmaşık sayı

jj re

( ) ( ) n

n

x z x n z

Örnek Sınırlı eleman varsa/Sağ taraflı dizi 1 50 2 3 4

( ) 1,2,5,7,0,1x n

( ) ?x z

Çözüm

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

( ) (0) (1) (2) (3) (4) (5)

1 2 5 7 0 1

x z x x z x z x z x z x z

z z z z z

Yakınsama Bölgesi

0z ’da karmaşık sayıları içerisinde barındıran bölge

0z ’da ∞’a gider, bu hariç her yer YB (Yakınsama bölgesi)

Örnek Sınırlı eleman varsa/Sol taraflı dizi 5 4 03 2 1

( ) 1,2,5,7,0,1x n

( ) ?x z

Çözüm

0 1 2 3 4 5

0 1 2 3 4 5

2 3 4 5

( ) (0) ( 1) ( 2) ( 3) ( 4) ( 5)

1 0 7 5 2 1

1 7 5 2

x z x z x z x z x z x z x z

z z z z z z

z z z z

Yakınsama Bölgesi (YB)

z olduğu yerlerde YB (Yakınsama bölgesi)

Örnek Sınırlı eleman varsa/Sağ ve Sol taraflı 2 1 31 20

( ) 1,2,5,7,0,1x n

( ) ?x z

Çözüm

2 1 0 1 2 3

2 1 0 1 2 3

2 1 3

( ) ( 2) ( 1) (0) (1) (2) (3)

1 2 5 7 0 1

2 5 7

x z x z x z x z x z x z x z

z z z z z z

z z z z

Yakınsama Bölgesi (YB)

0z z olduğu yerlerde YB (Yakınsama bölgesi)

z-düzlemi

Re[z]

Im[z]

0



Örnek

( ) ( )x n n ( ) ?x z ?YB

Çözüm

0

( ) 1x n

( ) 1x z Tüm karmaşık düzlemYB

Örnek

( ) ( 2)x n n ( ) ?x z ?YB

Çözüm

2

( ) 1x n

2( ) 1x z z 0 0' farklı tüm karmaşık düzlemYB n dan

Örnek

( ) ( 2)x n n ( ) ?x z ?YB

Çözüm

2

( ) 1x n

2( ) 1x z z YB n

Örnek

( ) ( )nx n u n ( ) ?x z ?YB

Çözüm

0

1

0

1

1

( ) ( )

( )

1

1

1

n

n n

n

n

n

x n u n

z

z

z

YB z z

1

( ) ( 1)

1

1

nx n u n

z

YB z



Örnek

Sağ taraflı üstel )()( nuanx n dizisi için z -dönüşümü aşağıdaki gibi yazılır.

0

1

0

).(.)(n

n

n

nn zazazX

Burada 1. 1 za için seri yakınsak olur ve z -dönüşümü aşağıdaki gibi bulunur.

az

z

zazX

1.1

1)(

1. 1 za koşulundan az yazılabilir. Yakınsaklık bölgesi a yarıçaplı dairenin dışında kalan

bölgedir. )(zX nin 0z da bir sıfırı ve az da bir kutbu vardır.

Yakınsaklık

Bölgesi z-düzlemi

az

Re[z]

Im[z]

xo

o: sıfır

x: kutup

0zxo

Şekil )()( nuanx n dizisi için sıfır-kutup diyagramı ve yakınsaklık bölgesi



Örnek

Sol taraflı bir diziye örnek olarak aşağıdaki diziyi ele alalım.

için 1n ,

için 0n ,0)(

nbnx

)(nx nin z -dönüşümü için aşağıdaki ifade yazılabilir.

0

1

01

1

).(1.1..)(n

n

n

nn

n

nn

n

nn zbzbzbzbzX

Eğer 1.1 zb veya bz ise (6.12) deki seri yakınsar.

bz

z

zb

z

zb

zb

zbzX

.1

.

.1

11)(

1

1

1

Yakınsaklık bölgesi b yarıçaplı dairenin içinde kalan alandır.

Yakınsaklık

Bölgesi

z-düzlemi

bz

0z Re[z]

Im[z]

xo

Şekil )1()( nubnx ndizisi için sıfır-kutup diyagramı ve yakınsaklık bölgesi

Açıklama Son iki örnekteki dizilere ait z -dönüşümlerinin incelenmesinden, sadece z -dönüşümünün

sıfırları ve kutupları yardımıyla dizileri belirlemenin mümkün olmadığı görülmektedir. Gerçekten ba

olması halinde, sağ ve sol taraflı dizilerin z -dönüşümleri aynı olmaktadır. Farklı olan özellik ise

yakınsaklık bölgeleridir. O halde, diziyi belirlerken z -dönüşümünün yanı sıra yakınsaklık bölgesi de

verilmelidir. Dizinin sağ veya sol taraflı olarak belirtilmesi durumunda da yakınsaklık bölgesi dolaylı

olarak verilmiş olur.



Örnek

İki taraflı diziye örnek olarak

için 0n ,

için 0n , )(

n

n

b

anx

dizisinin z -dönüşümünü bulalım.

0

1

..).()(n

nn

n

nn

n

n zazbznxzX

1. 1 za ve 1.1 zb koşullarının sağlanması durumunda,

)).((

)2()(

bzaz

bazz

az

z

bz

zzX

şeklinde yazılabilir. Yakınsaklık bölgesi şekildeki gibi yarıçapları a ve b olan halka içindedir. Yani,

ba ise, bza yakınsaklık bölgesidir.

Yakınsaklık

Bölgesiz-düzlemi

2

baz

bz az

Re[z]

Im[z]

xx oo

Şekil )1()()( nubnuanx nndizisi için sıfır-kutup diyagramı ve yakınsaklık bölgesi



Standart z -Dönüşümleri

Dizi z -Dönüşümü Yakınsaklık Aralığı

)(n 1 Tüm z

)( mn , 0m mz 0z , yani 0z hariç tüm z

)( mn , 0m mz z , yani z hariç tüm z

)(nu 11

1 z

1z

)1( nu 11

1 z

1z

)(nua n 11

1 az

az

)1( nuan 11

1 az

az

nnu cos)( 21

1

cos21

cos1

zz

z

1z

nnu sin)( 21

1

cos21

sin

zz

z

1z

nrnu n cos)( 221

1

cos21

cos1

zrrz

rz

rz

nrnu n sin)( 221

1

cos21

sin

zrrz

rz

rz



Örnek 1

( ) ( ) ( 10)2

n

x n u n u n

( ) ?X z

Çözüm

1

1

1( )

1

1

11

2

X zz

z

0YB z

9

0 1 2 3 9

1 1 1 1( ) 1, , , ,

2 4 8 2x n

sağ taraflı ve sınırlı

9

0 1 2 91 1 1( ) 1

2 4 2X z z z z z

Ödev 1 1

( ) ( ) ( 10)2 2

n n

x n u n u n

( ) ?X z

Örnek ( ) 2 ( )n

x n u n ( ) ?X z ?YB

Çözüm

1 1

1 1( )

1 1 2X z

z z

2YB z

Örnek ( ) 2 ( )n

x n u n ( ) ?X z ?YB

Çözüm

1 1 1

1 1 1( )

1 1 2 1 2X z

z z z

2YB z

Örnek ( ) ( )x n n ( ) ?X z ?YB

Çözüm

( ) 1X z YB Tüm z (karmaşık) düzlem



Z dönüşümü özellikleri

1. Doğrusallık (z dönüşümü)

1 2

1 1

2 2

3 1 2

3 1 2

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

x n ve x n

x n X z

x n X z

x n ax n bx n

X z aX z bX z

1

2

1 2

YB

YB

YB YB

Örnek ( ) 3 2 4 3 ( )n n

x n u n

şeklinde verilen dizinin ( ) ?X z ?YB

Çözüm

1 1

1 1

1 1( ) 3 4

1 2 1 3

3 4

1 2 1 3

X zz z

z z

2 3

3

YB

z z

z

Örnek 0( ) cos( ) ( )x n n u n şeklinde verilen dizinin ( ) ?X z ?YB

Çözüm

1

0

1 2

0

1 cos( )

1 2 cos

z nX z

z n z

1

YB

z Sağ taraflı ve sınırsız (Çemberin dışı)

0 0

0 0

0

1 1

cos2

1 12 2

1 1

j n j n

j n j n

e en

e z e z

0

.

j

j

e

z r e

z r

1 1

1

z z

z



2. Öteleme (z dönüşümü)

a. 1

( ) ( )

( ) ( )

x n X z

x n x n k

1 0 1

1

( ) ( )

( 1) (0) (1)

( 1) (0) (1)

n

n

X z x n z

x z x z x z

x z x x z

1

1 1

1

1 ( 1)

( ) ( )

( )

( 1) (0) (1)

( )

n

n

n

k k k

k

X z x n z

x n k z

x z x z x z

z X z

2

( ) ( )

( ) ( )

x n X z

x n x n k

1

2 2

2

( ) ( )

( )

( )

n

n

n

k

X z x n z

x n k z

z X z

Örnek ( ) 2 ( 2)nx n u n şeklinde verilen dizinin ( ) ?X z ?YB

Çözüm

2 2

2

2

1

( ) 2 ( 2)

2 2 2 ( 2)

4 2 ( 2)

( ) 41 2

n

n

n

x n u n

u n

u n

zX z

z

2

YB

z

Öteleme sağ

tarafa ise

1( ) ( )kX z z X z

Öteleme sol

tarafa ise

2( ) ( )kX z z X z



b. 1( )x n X z

Örnek ( ) 2 ( 2)nx n u n şeklinde verilen dizinin ( ) ?X z ?YB

Çözüm

2 2

2

2

( ) 2 ( 2)

2 2 2 ( 2)

4 2 ( 2)

( ) 41 2

n

n

n

x n u n

u n

u n

zX z

z

2

YB

z

c.

1

( )

( ) ( )

x n X z

x n n x n

1

1

( ) ( )

( ) n

n

dX z X z

dz

n x n z

z

z

1

1

( ) ( )

( )

n n

n n

n

n

dx n z x n n z

dn

n x n z z

( ) ( )

( ) ( )

x n X z

dn x n z X z

dz



3. Konvolüsyon (z dönüşümü)

( ) ( )* ( )

( ) ( ) ( )

y n x n h n

Y z X z H z

Transfer Fonksiyonu;

( )( )

( )

Y zH z

X z

Örnek 1

( ) ( 1) 2 ( )2

y n y n x n şeklinde verilen dizinin ( ) ?H z ?YB

Çözüm

1

1

1

1( ) ( 1) 2 ( )

2

1( ) ( ) 2 ( )

2

1( )(1 ) 2 ( )

2

( ) 2

1( )1

2

y n y n x n

Y z z Y z X z

Y z z X z

Y z

X zz

1

2

YB

z

Örnek

10 2

( ) 2

0

n

nh n

diğer

( ) ( ) ( 1) 4 ( 2)x n n n n ( ) ?y n ?YB

Çözüm

0 1 2

( ) ( ) ( 1) 4 ( 2)

( ) 1 1 4

x n n n n

X z z z z

1 2

1 1( ) 1, ,

2 4

1 1( ) 1

2 4

h n

H z z z

1 2 1 2

1 2 3 4

( ) ( ) ( )

1 11 4 1

2 4

3 19 91

2 4 4

3 19 9( ) ( ) ( 1) ( 2) ( 3) ( 4)

2 4 4

Y z X z H z

z z z z

z z z z

y n n n n n n

1/2

1/4

1

h(n)

3/2

19/4

1

y(n)

9/4

1



Örnek 1

( ) ( 2)2

n

x n n u n

( ) ?X z ?YB

Çözüm

2

2 2

1

2 2

( )

1 1 1( ) ( 2)

2 2 2

1 1( 2)

2 2

n

n

x n

x n u n

u n

2

2

3

31

1( ) ( 2)

2

1( ) ( )

2

1( )

11

2

n

n

x n u n

x n u n

X z

z

2 3

2

2 3

2

1

2

1

( ) ( 2)

( ) ( )

1

11

2

11

2

x n x n

X z z X z

z

z

z

z

2

1 2

2

1

1( ) ( )

2

1

141

2

X z X z

z

z

1

2

1

3 1 2 2

2

1

1( ) ( 2)

2

( ) ( ( ))

1( )

141

2

1 1 1 11

2 2 2 4

11

2

n

x n n u n

dX z X z

dx

d z

dxz

z

z

z z z z

z

z

1

2

YB

z

Örnek 1

( )2

n

x n n

( ) ?X z ?YB

Çözüm

1 2( ) ( )

1 1( ) ( ) ( 1)

2 2

n n

x n x n

x n n u n n u n

(0, ) ( 1, )

Çift taraflı

1 2

1 1

( ) ( ) ( )

1 1

1 11 1

2 2

d dX z z X z z X z

dz dz

d dz z

dz dzz z

1

22

12

2

YB

z z

z



Ters Z dönüşümü

1.Yöntem

Counchy Entegral (Rezidü teoremi)

1

1( )

1X z

z

z

1

tüm kutuplar

( ) Res ( ) nx n X z z

1Res ( )i

n

i z zz z x z z

Örnek 1

1( )

1X z

z

YB z Ters z dönüşümünü bulunuz?

Çözüm

11

1( )

1

n nn

z

z zx z z

z z

1( ) Res ( )i

nn

i z z

zx n z z x z z

z

z n

z

0n olduğu sürece

( ) nx n

1 11 ( ) nn X z z

z z

0n olursa

1

0

0

Res ( )1

n

z

zz

zX z z z

z z

1

z

0

1

1

1 1( ) 0 0

1 1Res ( )

z

n

zz

zx n n

z X z zz

( ) ( )n nx n u n




2.Yöntem

Kuvvet Serileri

( ) ( ) n

n

X z x n z

Sağ taraflı ise nz ’li terimler

1

1( )

1X z

z

z

1

1 2 2 3 31

1

1 2 2

2 2

2 2 3 3

3 3

1 1

11

z

z z zz

z

z z

z

z z

z

1 2 2

1

1 1 2 2

0

0

11

1

1 ( )

( ) ( )

n

n

n n

n

n

z zz

z z x n z

z

x n u n

( ) ( ) n

n

X z x n z

Sol taraflı ise nz ’li terimler

1

1( )

1X z

z

z

1

1 1 2 2 3 31 1

1 1

1 1 2 2

2 2

2 2 3 3

3 3

1 1

1

z

z z zz

z

z z

z

z z

z

1 1 2 2 3 3

1

1 1 2 2

1

1

1

1

( )

( ) ( 1)

n

n

n n

n

n

z z zz

z z x n z

z

x n u n

Bölme işlemi en büyük

terimli dereceden

başlanarak yapılır.

Bölme işlemi en küçük

terimli dereceden

başlanarak yapılır.




3.Yöntem

Kısmi Kesirlere Ayırma Yöntemi

Örnek 28 3 21

( )( 2)( 3)( 1)

x xx

x x x

Ters z dönüşümünü bulunuz?

Çözüm

2

31 2

8 3 21( )

( 2)( 3)( 1)

2 3 1

x xx

x x x

x x x

1 2

2 3

3 1

( 2) ( )

( 3) ( )

( 1) ( )

x

x

x

x x

x x

x x

Örnek 1

( )( )

( ) ( ) ( )r

j

N xx

x b x a x a

Çift Katlı kök Ters z dönüşümünü bulunuz?

Çözüm

1

0 1 1 1 2

1 1

1 2

( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

r

j

jr

r r

j

N xx

x b x a x a

x b x b x b x a x a x a

1

0

1 0

( ) ( )

( ) ( )

( )

1( 1)

jx a

r

x b

x b

k k

x b

x a x

x b x

d

dx

d

k dx



Örnek 1

1

( )1

14

zX z

z

1

4z zaman domeninde tersi nedir?

Çözüm

1

1

( )1

14

zX z

z

1

1

Birim öteleme

1

( ) ( )

( ) ( 1)

X z z X z

x n x n

11

1

1

1( )

11

4

1( ) ( )

4

1( ) ( 1)

4

n

n

X z

z

x n u n

x n u n

1 1

11 2

2

114

14

1

4

z z

zz z

z

2

1

1

2

1

4( )1

14

1 1( ) ( 1) ( 2)

4 4

n

z

X z z

z

x n n u n

Kısmi kesirler yöntemi ile zaman domeninde tersi?

11

1

1 14

44

4

zz

z

1

( ) 4 ( ) 4 ( )4

n

x n n u n

Örnek ( )1 1

2 4

zX z

z z

zaman domeninde tersi nedir?

Pay ve paydanın derecesi aynı ise

bölme işlemi yapılır

Aynı işaret

genlikleri aynı



Örnek

1 2

1 2

7 14

4 4( )3 1

14 8

z z

X z

z z


Çözüm

1 2

1 2

7 14

4 4( )3 1

14 8

z z

X z

z z

pay ve paydanın derecesi eşit olduğu için bölme işlemi yapıyoruz

1

1

1 1

( )

12

4( ) 21 1

1 12 4

X z

z

X z

z z

2 12 1

1

1 31 7 14 8 4

4 42

12

4

z zz z

z

11 1

( )1 1

1 12 4

A BX z

z z

111

2A z

1

1

12

4

11

2

z

z

1

1

2

1

12

2 311 1124

11

4

z

z

B z

1

1 1

12

4

1 11 1

2 4

z

z z

1 4

2 11

1 2

z

11 1

3 1( )

1 11 1

2 4

X z

z z

1 1

2 4Yakınsama Bölgesi kombinasyonlarına bakalım

1 1

2 4

z z

z z

1 2

3 4

1-2 1 1

2 4z z

1 1( ) 2 ( ) 3 ( ) 1 ( )

2 4

n n

x n n u n u n

1

2z

3-4 1 1

2 4z z

1 1( ) 2 ( ) 3 ( 1) 1 ( )

2 4

n n

x n n u n u n

1 1

4 2z

1-4 1 1

2 4z z

1 1( ) 2 ( ) 3 ( 1) 1 ( 1)

2 4

n n

x n n u n u n

1

4z



Örnek 1 1

1( )

1 2 1X z

z z


Çözüm

1 1

1( )

1 2 1X z

z z

kısmi kesirler yöntemi

1( )

1 2

AX z

z

11

B

z

1

1

11

2

1

1

1 2

1

21 2

11

1 2 1

z

z

Az z

Bz z

z

z

1 1

2 1( )

1 2 1X z

z z

1

( ) 2(2) ( ) ( )

2 1 ( )

n

n

x n u n u n

u n

2z

Örnek 2 1

1( )

1 1X z

z z


Çözüm

2 1 11 1

21 1

11 1

1( )

1 1

A B C

zz z

X zz z

2 1 11 1

( )11 1

A B CX z

zz z

1

1 1

1

1

1

1

2

21 11 1

1

21

1

1 1

1 2

1 1

1 41

1 1

41

z

z zz

z

Az

d d zB A

dz dz z z

Cz

2 1 11 1

1 1 112 4 4( )111 1

zX z

zzz z

1 1 1

( ) 1 ( ) ( ) 1 ( )4 4 2

nx n u n u n n u n 1z

!

işaretler



Formül 1

( ) 1

1( 1)

n

n

zu n

z zu n

1

2

2 21

11

(

1

( )

)

1

1

1

1

1

1

1u n

n u n

z

z

z

dz

dz zz

zz

1 ( )

( 1) 01 1

1 de o olduğu için

1 1 1( ) 1 ( ) ( ) 1 ( )

4 4 2

n u n

n

u nn u n

n

x n u n u n n u n

Örnek

1

2

1

11

4( )1

12

z

X z

z

1


Çözüm

2 1

1 1

( )1 1

1 12 2

A BX z

z z

1

1 11

1

2

1 2

2 22

1 31

4 2

1 11 1

4 4

z

z zz

A z

d dB A z z

dz dz

2

1

1

1

2

1

1 11

121

2

1

2

11

2

2

2

dzz

z

zdz

z

z

z

2

1

1

1 1

( )2

1( )

2

1( )

2

21

11

2n

n

n

u n

n u n

u nn

dz

dzz

z

1( ) 2 1 ( 1)

2

n

x n n u n



Örnek 11( ) ln 1

2X z z

1


Çözüm

2 11

1 1 1

1 112 2( )

1 1 121 1 1

2 2 2

z zd z

z x z zdz

z z z

11 1

( ) ( 1)2 2

1 1( ) ( 1)

2

n

n

nx n u n

x n u nn

Örnek ( ) ( )Tnx n e u n z dönüşümü nedir?

Çözüm

1

1( )

1

n

T

u nz

e

1

1( )

1 TX z

e z

Tz e

Örnek 2 1 2 1( ) ( 1) ( )

n nx n e u n e u n

z dönüşümü nedir?

Çözüm

2 1 2 1

2 1 2

( ) ( 1) ( )

( 1) ( )

n n

n n

x n e u n e u n

e e u n e e u n

2 ne

2 1 2 1( )

1 1

e eX z

e z e z

2 2

2 2

z e z e

e z e



Örnek 1

( ) ( 1) ( ) ( 1)3

x k x k u k u k 0k 1

( )3

k

u k

a) İki yanlı z dönüşümü ile

b) Bir yanlı z dönüşümü ile

0k için 1

( )3

k

u k

ve ( 1) 3u koşulları altında

c) 1k k ötelenmesi uygulanarak çözünüz

Çözüm

1

( ) ( 1) ( ) ( 1)3

y n y n x n x n 1

( ) ( )3

n

x n u n

( ) ?y n

a)

1 1

1 1

1 1

1

1

1 1

1 1

1 1

1( ) ( ) ( ) ( )

3

1( ) 1 ( ) 1

3

1 1( ) 1 1

131

3

1( )

1 11 1

3 3

( )1 1

1 13 3

2 1( )

1 11 1

3 3

( )

Y z z Y z X z z X z

Y z z X z z

Y z z z

z

zY z

z z

A BY z

z z

Y z

z z

y n

1 12 ( ) ( )

3 3

n n

u n u n

Soruda değişiklik

yapılıp çözüm

yapıldı. Uygulama7

bkz sunu

1

1

1

1

1

3

1

1

3

1( )

11

3

12

11

3

11

11

3

z

z

X z

z

zA

z

zB

z



Durum denklemlerinden transfer fonksiyonu ( )H z

( )( )

( )

Y zH z

X z

( 1) ( ) ( )

. ( ) ( ) ( )

q n A q n B x n

z Q z AQ z BX z

. ( ) ( ) ( )Karmaşık Matris

sayı

z Q z A Q z BX z

z A

1

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Q z BX z

zI A Q z BX z

Q z zI A BX z

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

y n C q n d x n

Y z C Q z d X z

1

1

1

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

Y z C Q z d X z

Y z C zI A BX z d X z

Y zC zI A B d

X z

H z C zI A B d

Örnek 0 1

2 1A

0

1B

3

1C

1d ( ) ?H z

Çözüm

1

1

( )

0 0 13 1 1

0 2 1

H z C zI A B d

z

z

1

1

2 1

1 11

21 2

31

1 2

1 1 010 1

2 11 2

13 1

zzI A

z

zzI A

zz z

z

z z

z

zz z

z

Karmaşık sağı ve

Matris bu şekilde

ortak paranteze

alınamaz o yüzden

karmaşık sayı I

matrisi ile çarpılır



Sistemin transfer fonksiyonu

Örnek

Çözüm

1 2 3 4

1.kol ( ) 2.kol

( ) ( ) ( 1) ( 2) ( ) ( 1) ( 2)

v n

y n x n k v n k v n y n k v n k v n

3 4

1 2

3 4

( ) ( ) ( 1) ( 2)

( ) ( ) ( ) ( )

v n y n k v n k v n

V z Y z k z V z k z V z

1 2

3 4

1 2

3 4

1 2

3 4

( ) ( ) ( ) ( )

( ) 1 ( )

( )( )

1

V z k z V z k z V z Y z

V z k z k z Y z

Y zV z

k z k z

1 2

1 2

1 2

( ) ( ) ( 1) ( 2)

( ) ( ) ( ) ( )

y n x n k v n k v n

Y z X z k z V z k z V z

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2 1 2

3 4

1 2

1 2

1 2

3 4

1 2 1 2

3 4 1 2

1 2

3 4

1

3 1

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

1

( ) 1 ( )1

1( ) ( )

1

1( )

Y z k z V z k z V z X z

Y z k z k z V z X z

Y zY z k z k z X z

k z k z

k z k zY z X z

k z k z

k z k z k z k zY z X z

k z k z

k k zY z

2

4 2

1 2

3 4

( )1

k k zX z

k z k z

1 2

3 4

1 2

3 1 4 2

1( )

( ) 1

k z k zY z

X z k k z k k z

k3

k4

k1

k2



Örnek

Çözüm

2

( ) ( ) ( 2)

( ) ( ) ( )

y n n n

Y z W z z W z

2

2

2

( ) ( ) ( )

( ) 1 ( )

( )( )

1

Y z W z z W z

Y z z W z

Y zW z

z

0 1 2 0

1 2

0 1 2 0

1 2

0 1 2 0 2

1 2

1 2 0 2 0

1 2

1 2 0 2 0

1

12

( ) ( ) ( 1) ( ) ( 2)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) 1 ( )

( )1

1

n b x n a n a b x n n

W z b X z a z W z a b X z z W z

W z b X z a z W z a b X z a z W z

W z a z W z a z W z b X z a b X z

W z a z a z b a b X z

Y za z

z

2

2 0 2 0

2

0 2 0

1 2

1 2

2

0 2 0

1 2

1 2

( )

1( )

( ) 1

1( )

1

a z b a b X z

b a b zY z

X z a z a z

b a b zH z

a z a z

Örnek (0) 1h ( ) ( )

( ) 1

h n n

H z

Örnek (0) 2h ( ) 2 ( )

( ) 2

h n n

H z

a1

- -

+ +

-

+ +

a2

b0



Nedensel değil (Çemberin içi)

Nedensel (Çemberin dışı)

Örnek

11

1 2( )

1 1 31

2

H zz

z

Kararlı , nedensel değil ( ) ?h n

Çözüm

1

1

1

121

21 3

13

23

1

2

z

z

z z

z

z

1

32

z z 1

( ) ( ) 2 3 ( 1)2

nn

h n u n u n

1

0

012

11

2

1( ) 2 3

2

nn

h n

Kararsız , nedensel ( ) ?h n

1

1

1

121

21 3

13

23

1

2

z

z

z z

z

z

13

2

3

z z

z

1

( ) ( ) 2 3 ( )2

nn

h n u n u n

Kararsız , nedensel değil ( ) ?h n

1

1

1

121

21 3

13

23

1

2

z

z

z z

z

z

1

32

z z 1

( ) 1 ( 1) 2 3 ( 1)2

nn

h n u n u n

Kararlı Kararsız



SÜREKLİ ZAMAN İŞARETLER

FOURİER SERİES

0

2

T

0

2

( )jk t

jk t T

k t e e

0( )

jk t

k

k

x t a e

0 0 0 02 2

2 1 0 1 2

2. 1. 2.Frekansın 1.0 olduğudurum

DC

( )j t j t j t j t

Harmonik Harmonik HarmonikHarmonikkısım kısım kısımkısım

x t a e a e a a e a e

Örnek Chapter3.pdf / Example 3.2

0 Temel frekans katsayısı

ka Fourier seri katsayısı



0( )jk t

k

k

x t a e

0

0

1( )

jk t

k

T

a x t e dtT

Örnek 0( ) cosx t t temel katsayısı ve frouer serisi spektrumu?

Çözüm

0 0

0 0

0

1 1cos

2 2 2

j t j tj t j te e

t e e

1 1

10 1

2ka a a k

Örnek 0( ) sinx t t temel katsayısı ve frouer serisi spektrumu?

Çözüm

0 0

0 0

0

1 1sin

2 2 2

j t j tj t j te e

t e ej j j

1 1

1 10 1

2 2ka a a k

j j

İşaretin periyodu

bilinmiyorsa bu şekilde

integral alınır



Örnek ( ) cos 24

x t t

temel katsayısı ve frouer işareti?

Çözüm

( ) cos 24 2

j je ex t t

02 2

4 42 24 4

1 1cos 2

4 2 2 2

j tj t j t

j jj t j te e

t e e e e

0 2

4 4

1 1

1 1 1 1

2 22 2 2 2

j j

e ea j a j

Örnek ( ) cos 4 cos 6x t t t şeklinde verilen işaretin temel katsayısı ve frouer serisi?

Çözüm

cos 42

j je et

4 44 41 1

cos 42 2 2

j t j tj t j te e

t e e

cos 62

j je et

6 66 61 1

cos 62 2 2

j t j tj t j te e

t e e

3 2 2 3

6 4 4 6

1 1 1 1

2 2 2 2

1 1 1 1( )

2 2 2 2

j t j t j t j t

a a a a

x t e e e e

(4,6) 2EBOB

olduğundan

0 2



Örnek 2( ) sinx t t şeklinde verilen işaretin temel katsayısı ve frouer serisi?

Çözüm

2

2

2 0 2

2 2

sin2

sin2

2

4 4 4

1 1

2 4

jt jt

jt jt

j t j t

j t j t

e et

j

e et

j

e e e

e e

yada

2

2 2

1sin 1 cos 2

2

cos 21

2 2

1 1

2 4

j t j t

t t

t

e e

0

1 1 0

2

1 1 1

4 4 2a a a

Örnek Yandaki şekle göre ?ka

Çözüm 0

0

2

T

0

0

0

0

2

0 0

2

0 0

0 0

0

1( )

1

1 1

1

T

jk t

k

T

jk t

a x t e dtT

Ae dtT

AT jk

T

0

1

2A

jkT

0

0

0

0

2

21

12

1 12

t

Tjk

T

j k

k

e

Ae

j k

A

j k

2 1j

00

0

0

22

00

0 0 00 0

1

1

0 çift

1 12

01 1

2 0 0

10

2 2

j

kj

k

k

TT

e

e

kA

a Ak tekj k

j k

Aa belirsizliği

j

TA A Aa Adt t

T T T






0 1sink

k Ta

k

0 1

1

0 1

2

sin

sin 2

2

Ta

Ta

0 1

1

0 1

2

sin

sin 2

2

Ta

Ta

0

0belirsizliği ' (k ya göre) uygulanır

0a L Hospital

0 1 0 1 0 1 0 1 1 1sin cos 22k T T k T T T T

LHospitalk T T

1

1

0

1T

T

a dtT

Örnek ( )k

x t t kT

Çözüm

)

2 2

2

(k

x t t kT

t T t T t t T t

k is

T

e

0

0

2

2

20

0

0 12

1( )

1 1( )

T

jkw t

k

T

T

jkw

T

a x t e dtT

a t e dtT T

t yerine t T seçilseydi;

0

2

2

2

0

0

1( )

1( )

T

jkw t

k

T

jkT

a x t e dtT

a t T eT

T

2

12

1

k

T

T

dtT

0

2

2

1j

T

e



Örnek

0

burayı Genlik 0 yapan

değer

2( )

k

x t kT

Örnek 0 01 1

( )jkw t jkw t

k k k

x t t kT e eT T

Ödev ( ) 1 cos 2 sin 106

x t t t



0

( )

( )

k

jkw t

k

k

x t a

x t a e

0

( )

( )

k

jkw t

k

k

y t b

y t b e

0

( ) ( ) ( )

( )

k k k

jkw t

k

k

z t Ax t By t

c Aa Bb

z t c e

Sabit

DC

FOURİER SERİES

Öteleme

0 0

0( )

( )

jkw t

k

k

x t t e a

x t a

( ) ( ) ( ) ( ) ( 1)z t x t y t x t y t

0

0

( )

1( )

k

t

k

dx tjk a

dt

x d ajk

0 sin 02

10

2

jkw

k

e k k

a

k

0 0

0

0

0( )

( 1)

( 1)

jkw t

k

k

jkw

k k

jkw

k k

x t t e a

x t b

b e a

x t b e a

1( ) ( 1)

2

0( )

0 0

k

k

g t x t

b kg t c

k




0

0 0 0 02 2

2 1 0 1 2

1( ) ( 1)

2

1

2

jk t

k

j t j t j t j t

sabitsabit

g t x t

b e

b e b e b b e b e

( )g t DC bileşeni

0

0 0 0 0 02 2

2 1 0 1 2

1( ) ( 1)

2

1

2

j t

j t j t j t j t j t

g t x t e

b e b e b b e b e e


0

0

/2

2

( ) ( )

2sin / 220

10

2

k

kk

jk

k

dg t y t c jk dk

dt

cd

jk

kdk e k

jk j kd

k

Bu durumda

b1’e etki eder

amaç c’leri bulmak

Türev alınarak kare

dalga üçgen dalgaya

dönüştürülür

Seçkin hoca tahtada bu soruyu çözerken

dk yerine ck, ek yerine dk kullandı

amaç d’leri bulmak



FOURİER SERİES

Türev Filtresi

( ) ( )* ( )

( ) ( ). ( )

y n x n h n

Y z X z H z

( ) ( )* ( )

( ) ( ). ( )

y t x t h t

Y X H

1. Alçak bant geçiren filtre

2. İdeal yüksek geçiren filtre

3. Band geçiren filtre

Türev

Filtresi

Yüksek frekanslı olanların daha baskın

Düşük frekanslı olanların 0’a yakın



FOURİER SERİES

Alçak geçiren filtre

( ) . ( )

( )

( )( ) . ( )

( )

( )( )

( )

s c

c

cs c

j t

s

c

s

V t R i V t

dV ti C

dx

dV tV t R C V t

dx

V t e

VH j

V

( ) . ( ) ( )

. ( ) ( )

. ( ) ( )

1( )

1

1( ) ( )

s c c

j t j t j t

j t j t j t

j t j t

tRC

dV t R C V t V t

dt

de R C H j e H j e

dt

e R C j H j e H j e

H j e eRCj

h t e u tRC

İşaretlerimiz periyodik değilse

FOURİER SERİES dönüşümü

0

1( ) ( )

2

( ) ( )

1

j t

j t

k

k

x t x j e d

x j x t e d

a x jT

( ) ( )

( ) ( )

Fourier dönüşümü

1( ) ( )

2

Fourier ters dönüşümü

n

jk t

jk t

X z x n z

X x t e dt

X t X e d

Zamana

göre

Frekansa

göre



Örnek ( ) ( )atx t e u t

Çözüm Periyodik olmadığı için fourier dönüşümü yapılır

0

0

0

( ) ( )

( )

1

10 1

1

at

at j t

a j t

a j t

x t e u t

X e e

e

ea j

a j

a j


Alçak geçiren şeklinde

davranan spektrum










Örnek ( ) ?x t

Çözüm

0( ) 2

1( )

2

1

2

j t

X

x t X e d

2 0

0

0

0 olması için

j t

j t

e d

e

Örnek ( ) ?x t

Çözüm

0

0

0

0 0

0( ) 2

( )

( ) ( )

( )

jk t

jk t

k

jk t

k

jk t jk t

k

X k e

x t a e

x t a e

e a e

0

0 0

0

0

Genlik

2

( ) 2

jk t

jk t jk t

k k

k

F e k

a e a e

X a k



FOURIER SERİSİ AÇILIMI (Özet-Tekrar)

0( )

( ) ( )

( ) ( )

1( ) ( )

2

jk t

k

j t

n

n

j t

x t a e

X x t e dt

X z x n z

x t X e d

Örnek

0

0

0

0

( )

( )

jk t

k

jk t

k

jk t

k

jk t

k

x t a e

F x t F a e

F a e

a F e

0

0

0

0

2

( )

( ) 2

jk t

jk t

k

k

F e k

X a F e

X a k

Örnek cos ct spektrumu

1 1

cos2

1 1

2 2

c c

c c

j t j t

c

j t j t

a a

e et

e e

1 1

1

2a a 0 0 1a k

0

00

1( )

jk t

k

T

a x t e dtT



FOURİER SERİES

DOĞRUSALLIK

1( ) ( )

2

1( ) ( )

2

j t

j t

x t X j e dt

X j x t e dt

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

F

F

F

F

x t X j

y t Y j

ax t by t aX j bY j

F ax t by t F aX j F bY j

F ax t by t aF X j bF Y j

FOURİER SERİES

ÖTELEME

0

0

( )

( )j t

x t

x t t e X

Örnek 1

2( ) sinX T

1 2

1( ) ( 2,5) ( 2,5)

2x t x t x t

1

2sin 22( ) sin

2X j

2

32sin 22 3( ) sin2

X j

0

5

21 1

2( ) sin

2

jj t

x t e X e

0

5

22 2

2 3( ) sin

2

jj t

x t e X e

1 2

5 5

2 2

5

2

1 5 5( ) ( ) ( )

2 2 2

1 2 2 3( ) sin sin

2 2 2

3sin 2sin

2 2

j j

j

x t x t x t

X e e

e



FOURİER SERİES

ÇİFT TARAFLI ÖZELLİĞİ (DUALITY)

( )x t X

( ) 2X t x

Örnek sin at

t işaretinin spektrumu (Chapter4.pdf / Example 4.4)

1( )

0

t ax t

diğer

12

sin 20

t aat

t diğer

11 2 1

sin 22 2 0

t aat

t diğer

Örnek ( )a t

x t e

0a işaretinin spektrumu (Chapter4.pdf / Example 4.2)

2 2

2( )

a t ax t e

a

Örnek 2 2

1

a t işaretinin spektrumu (bkz. Chapter4.pdf / Example 4.2)

2 2

2a t ae

a

1

2a

2a2 2

1

2a t

2

a

2 2

1

a

a

e

ea t a

sin at

t ifadesine benzetmeye çalışıyoruz

2 2

1

a tifadesine benzetmeye çalışıyoruz



FOURİER SERİES

KONVOLÜSYON

Örnek 0 0cos sint t işaretinin spektrumu nedir?

Çözüm 1 2

0 0

( ) ( )

cos sin

x t x t

t t 1 2

1( ) *

2X X X

0 0 2

2 0 2 0

*X X

X X

veya

1 0 0

1 0 1 0

*X Xj j

X Xj j

Ayrık Zamanlı Sistem

( ) ( )* ( )

( ) ( ) ( )

y t x t h t

Y X H

Sürekli Zamanlı Sistem

( ) ( )* ( )

1( ) ( ) ( )

2

r t s t p t

R S P

1 0 0X

2 0 0Xj j



1

2

1 2 1

2

( )* 2 ( 2)

( ) 1

( ) 2

( )* ( ) ( )* 2

( )* 1

x n n x n

x n n

x n n

x n x n x n n

x n n

0

1( ) sin 2

2x t

2.Yol

1

2

*

Bir işaretin 0 noktasından tutup diğer işaretin

bulunduğu tüm noktalara yerleştirme işlemi

yapıyoruz. Üst üste gelen işaretler toplanıyor.







Örnek 0( ) cos * ( )x t t s t (Bkz.Chapter4.pdf / Example 4.2)

Çözüm 1

0

( )

( ) cos * ( )

x t

x t t s t

1

1( ) *

2X X S

1

2

*

( )X

Örnek






ÖRNEKLEME

(Bkz.IS_BOLUM3.docx)

Örnek 3.1

Şekil de gösterilen kare dalga işareti için Fourier serisi açılımını bulunuz.

)(tx

t

1

0 rTrTrTP

rTP rTP rTP

P P2/P2/P

İşaretin periyodu P olmaktadır. Böylece 0

2

P

olarak bulunur. )(tx çift-simetrik bir işaret

olduğundan, integrali )2

,2

(PP

aralığında almak işlemi basitleştirecektir. İntegral sonucunu 0k ve

0k için aşağıdaki şekilde elde ederiz.

0 0 0

0 0

/2

0/2

0

0 0

1 1 1( ) . . .

2sin( )2 ( )

2

r

r

r

r

r r

TPT

jk t jk t jk t

kT

P T

jk T jk T

r

a x t e dt e dt eP P jk P

k Te e

k P j k P

, 0k için,

0

21

r

r

T

r

T

Ta dt

P P

, 0k için,

Ayrıca 0a terimini, L’Hopital kuralını kullanarak da aşağıdaki gibi bulabiliriz.

P

T

P

TkT

Pk

Tk rrrr

k

2)cos(2)sin(2lim

0

1

00

0

0

0

Böylece sonuç ifadesini genel olarak aşağıdaki gibi yazabiliriz.

0

0

2sin( )rk

k Ta

k P



Bazı önemli Fourier dönüşümleri

1 Doğrusallık )(.)(.)(.)(. YbXatybtxaF

2 Freakans kaydırma )().( 00

XetxFtj

3 Zaman kaydırma 0).()( 0

tjeXttxF

4 Zaman türevi )(.

)( Xj

dt

tdxF

5 Zaman integrali )().0(.

)().(

X

j

XdxF

t

6 Zaman domeninde konvolüsyon

dtyxtytx

YXtytxF

).().()()(

)().()()(

7 Frekans domeninde konvolüsyon

dYXYX

tytxYXF

).().()()(

)().()()(

8 Ölçekleme )(

1)]([

aX

aatxF

; a gerçel için

9 Perseval teoremi

dxdttx .)(2

1.)(

22

10 Dualite(zaman-frekans) )(2)( XtxF

11 Korelasyon

)().()()().().( YXtytxFdttytxF

12 Karmaşık eşlenik )()( XtxF

13 Genlik modülasyonu )(

2

1)(

2

1cos).( 000 XXttxF

14 Simetrik(çift-tek) )()(

)()(

tektek

çiftçift

XtxF

XtxF

15 Frekans türevi

d

dXjtxtF

)()(.

16 Gerçel )(tx

)(Im)(Im

)(Re)(Re

)()(

XX

XX

XX

)()(

)()(

XX

XX



Bazı önemli Fourier dönüşümleri

1

İmpuls

)()( tAtx

)(tx

(A)

t0

AX )(

)(XA

0

2

Sabit

Atx )(

)(txA

t0

)(2)( AX

)(X

0

)2( A

3

Kosinüs

t

)(tx

)cos()( 0ttx

0

))()(()( 00 X

)(X

0

)()(

00

4

Sinüs

t

)(tx

)sin()( 0ttx

0

))()(()( 00 X

)(jX

0

)(

)(

0

0

5

Basamak

)(tx

t0

t

dtutx ).()()(

)(jX

)(

jX

1)()(



6

Karmaşık

üstel

t0

t

)(tx

0

tjetx 0)(

)(X

)2(

0 0

)(2)( 0 X

7

Darbe

)(tx

ta-a 0

)()()( atuatutx

1

)(X

a/a/0

a

aaX

)sin(2)(

a2

8

Sınırlı

bantlı

işaret

)(tx

t

c

c

c

t

ttx

c

cc

)sin()(

)(X

0

)()()( cc uuX

cc

1

9

Üçgen

)(tx

t2a-2a

1

atta

tx 2 ; 2

11)(

0

2

2

)(

)(sin2)(

a

aaX

)(X

a/a/ 0

a2

10

Tek taraflı

üstel işaret

)(tx

t0

1

0 );( .)( atuetx at

)(X

0

jaX

1)(

a/1)2/(1 a



11

Çift taraflı

üstel işaret

)(tx

t0

0 ; )(

aetxta

1

)(X

0

22

2)(

a

aX

a/2

12

Gauss

işareti

)(tx

t0

2

)( atetx

1

)(X

0

aea

X 42

.)(

13

İmpuls

treni

)(tx

t

n

T nTttxtx )()()(

1

-2T 2TT-T 0

)(X

T

nT

Xn

2

)(2

)(

0

0

002

0 020

14

Periyodik

işaret

)(txT

tT-T 0

tjk

k

kTT eXtTxtx0

.)()(

kX :Fourier Serisi Katsayıları

)(2

1

X

T

kXk

2

)(2)(

0

0

002

0 020



2/st02/st

)(tf

t

0

)(tp

P P2 P3 t

1

P3 P2 P

0

)(tf p

P P2 P3 tP3 P2 P 2/st2/st

ÖRNEKLEME

* ( )s ax t x t s t

ax t Analog ifade

sT Örnekleme

( ) a sx n x nT

Örnek

0j t

ax t e

Analog ifade sT Örnekleme ( ) ?x n

Çözüm

0 ( )

( )

s

a s

jw nT

x n x nT

e

Periyodik midir?

0 0

0

( )

( ) ( )

s s

s

jw nT jw n N T

jw nT

x n x n N

e e

e

0 sjw nTe 0

0

02

1

s

s

s

jw NT

jw NT

jw NTj k

e

e

e e

02 sj k jw NT

jN

2 k

j

0

2

sw T

2

k

0

0

s

s

TT

kT

T

Örnek

cos 15ax t t Analog ifade

10sT s

Örnekleme

( ) ?x n ?N

Çözüm

( )

cos 15

cos 1510

3cos

2

a s

s

x n x nT

nT

n

n

0 0

2

2 10 4

15 3

10s

TN k k k k

T

3k ise Periyodu 4



Örnek t

ax t e Analog ifade sT periyotlarla örnekleniyor ( ) ?x n Elde edilen periyot?

Çözüm

t

ax t e

( ) sTn

a sx n x nT e

1

1( )

1 TsX z

e z

sT

z e

Özetle yapılan işlemler;

impuls treniAnalog işaret

( ) ( ) ( )s ax t x t x s t

( ) s

k

s t t kT

1

( ) *2

s aX X S

Bozulma olmasını istemiyorsak;

1 1

12

s

s

Bu şartı sağlaması gerekiyor

Bu şart sağlanmazsa bozulmalar başlar

0 0

2

2

0

0

1( )

1 1 1( ) ( ) ( )

2

2( )

s

s s

s

jk t jk t

k

ks

T

jk t jk t

a

Ts s s

k

s

s t a e eT

s x t e dt t e dtT T T

a k

s kT

Çarpma işlemi yapıyoruz frekans

domeninde karşılığı konvolüsyon işlemi



Örnek ( ) cos8

x n n

10sf kHz ( ) ?ax t

Çözüm

0

( ) ( )

cos cos8

a s

s

x n x nT

n nT

0

0

0

8

8

1

8

s

s

s

n nT

T

f

3

0 10.10 12508 8

( ) cos(1250 )

s

a

f

x t t

Örnek 12s bu örnekte k=-1 değeri için analog işaret bulunmuş

0

0

0

8

0

1

cos cos8

1cos 2 cos

8

2cos 2 cos

8

s

s

s

s s

nT n

f n nf

f fn kn n

f f

0

1

22

8

2

s

s s

f fn kn n

f f

n

0 s

s

f kf n

f

0

8

1

16

s

s

f kf

f

0

1 için16

16

1000010000

16

625 10000

10625

ss

ss

ff k f

ff

Hz

Amaç 0f ‘ı

bulmak

0cos 2

cos 2 10625

cos 21250

f t

t

t



Örnek ( ) cos 5004

ax t t

2000s örnekleme frekansı ile örnekleniyor ( ) ?rx t

Çözüm

( ) cos 5004

ax t t

( ) ( ) ( )s ax t x t x s t

4

12

je

a

4

12

je

a

Periyot=4

0 500

1

( ) *2

s aX X S

1( )

2sX

*

2 2 1

2000 1000s

s

T



( ) cos 5004

rX t



Örnek ( ) cos 10004

ax t t

( ) ( ) ( )

1( ) *

2

s a

s a

x t x t x s t

X X S

1( )

2sX

*

4 4 22000 2000 cos 2000 1000 2

2 4 2

j j

e e

4

12

j

ea

4

12

j

ea

( ) 2 cos 1000rx t t

?????— ———————

2 2 2

10001000 2s

s

T

4 41

20 200 10002

j j

xe e



21 Temmuz 2017 (son ders) Özet &Geçmiş Final (2016) Sorularının çözümü

Kısmi Kesirleme

Payın derecesi Paydanın derecesi

1 1 111 2

( )

1 1 11 ii

N z A B Y

Pz P z PzPz

1

1

1( )

1

1( 1)

1

u n zz

u n zz

Ayrık Zamanlı Sistem

( ) ( )* ( )

( ) ( ) ( )

( )( )

( )

y n x n h n

Y z X z H z

Y zH z

X z

1 1

1

1

1

( ) ( 1) ( ) ( 1)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) 1( )

( ) 1

2( ) 1

1

( ) ( ) 2 ( )

y n y n x n x n

Y z z Y z X z z X z

Y z zH z

X z z

H zz

h n n u n

1 1

1

1 1

11

2

z z

z

1

1

1

1 1

1( )

1

1( )

1 1

( ) ( ) ( 1)

zH z

z

zH z

z z

h n u n u n

Bölme işlemi yapılır

yada özellikler kullanılır



Fourier Serisi

Periyodik ve sürekli

0( )jk t

k

k

x t a e

0 0

0cos2

j t j te e

t

0 0

0sin2

j t j te e

tj

Periyodik ise; Periyodik değil ise;

0

00

0

1( )

( ) 2

jk t

k

T

k

k

a x t e dtT

X a k

Fourier dönüşümü yapılır

( ) ( )

1( ) ( )

2

j t

j t

X x t e

x t X e d

Örnekleme (Çarpma İşlemidir)

( ) ( ) ( )

1( ) ( )* ( )

2

r t s t x p t

R S P

( ) ( ) ( )

1( )

2( )

s

s a

jk t

s

k ks

s

ks

x t x t x s t

s t t kT eT

S kT

1 1

12

s

s

Örtüşme olmaması için bu şart sağlanmalı,

Sağlanmaz ise örtüşmeler başlıyor orijinal işaret

elde edilemez hale geliyor.



( )ax t Analog zaman işareti

sT Örnekleme

( ) ( )a sx n x nT

0

0

0

0

0 0

00

0

3

2

0

0

2

0

0

0

0

0

1( )

1

1

2

11

2

11

2

11 1

2

sjk t

k

T

T

jk t

T

jk t jk t

jk TT

jk

k

a x t e dtT

t t T e dtT

t e dt t T e dtT

eT

eT

T

0

0 0

0

0

0

0

2 2

2

31

2

22

11

1 12

0

k

Periyot T T

Tt

Tt

k tekT

Tk çift



Örnek ( ) ?X

Çözüm

0

2

2 2

2

T

T

1 0 1

1 1( ) 1 1

2 2

1 11

2 2

12

1 cos

j t

t t t

j j

j j

X t t t e d

e e

e e

Örnek 1( ) ( )

k

x t x t kT

( ) ?X

Çözüm

0

1

2

Periyot T

T

0

0 0

1 1 0 1

1

0

1

1 1 11 1

2 2

1 1 11

2 2

11 cos

jk t

k

t t t

jk jk

a t t t e dtT

e eT

kT



2016 BSM307 Final 1.Soru Temel frekansı 0 2 olarak verilen ( )x t işaretinin fourier seri katsayıları

0 1a 1 1

1

4a a

2 2

1

2a a

3 3

1

3a a ’tür

( )x t işaretini aşağıda spektrumları verilen sistemlere uyguladığımızda çıkışında elde edeceğimiz ( )y t işaretinin

temel frekansını ve fourier seri katsayılarını yazınız.

a)

b)

2016 BSM307 Final 1.Soru Çözüm

0

0

1 1

2 2

2

1

1

4

1

2

Temel Frekans

a

a a

a a

0

2 2

3 3

2

1

3

1

3

Temel Frekans

a a

a a



a.)

b.)

0

0

1 1

2 2

2

1

1

4

1

2

Temel Frekans

a

a a

a a

0

2 2

3 3

2

1

3

1

3

Temel Frekans

a a

a a



2016 BSM307 Final 2.Soru ( ) ?X

2016 BSM307 Final 2.Soru Çözüm

1

1

1

1

1 1

1 1

1 1

1 1

0

0

0

0

1

( ) 1 1

1 1

1 11 1

1 1 1 1

2 1

2 2

2

21 cos

T

j t j t

T

T

j t j t

T

j T j T

j T j T

j T j T

j T j T

X e dt e dt

e ej j

e ej j

e ej j j j

e ej j

e e

j j

Tj



2011 BSM307 Örnek Final 3.Soru ( ) cos 10002

x t t

1sT ms

2011 BSM307 Örnek Final 3.Soru Çözüm

( ) ( ) ( )

1( ) ( )* ( )

2

s a

s a

x t x t x s t

X X S

1

10001 1000s ss nT m Hz

2 22000

1

1000

s

sT

0 1000 0

2Periyot T

2 2

2 2

2 2

0

' 1000 1000

1000

2 10002

2000 cos2

2000 cos 90

0

j j

j j

j j

A A e e

e e

e e

( ) 0

( ) 0 ( ) 0

sX

Y y t



Örnek 4.Soru 2( ) j t j t

ax t e e 2

3sT s

( ) ?y t

Örnek 4.Soru. Çözüm

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1( ) ( )* ( )

2

s

s a

s a

y t x t h t

x t x t s t

X X S

2 2

32

3

s

sT

0

1

2

1

1

a

a

( ) 2 sin 2 sin 2y t j t j t 0( ) siny t t



BSM307 Örnek Final 5.Soru

Hangi k değerlerinde sistem kararlıdır? Sistem Nedensel

BSM307 Örnek Final 5.Soru Çözüm

1

1

1

( ) ( ) ( 1)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) 1

( )( )

1

y n n n

Y z W z z W z

Y z W z z

Y zW z

z

1

1

1

( ) ( ) 2 ( 1)

( ) ( ) 2 ( )

( ) ( ) 1 2

( )( )

1 2

n x n k n

W z X z kz W z

X z W z kz

X zW z

kz

1 1

1

1

1

1

( ) ( )

1 1 2

( ) 1

( ) 1 2

1( )

1 2

Y z X z

z kz

Y z z

X z kz

zH z

kz

1

2 1

2

1 2 1

1 1

2 2

YB

k

k

k

k

1

1

1( )

1 2

zH z

kz

( ) ?h n

1

4k aldığımızda koşul sağlanmış olur

1 1

11

1 1( )

1111 2

24

z zH z

zz

1

2z

1

1

1

1 1

1

1( )

11

2

1

1 11 1

2 2

1 1( ) ( ) ( 1)

2 2

n n

zH z

z

z

z z

h n u n u n




( ) ?X


0

0 0

1 1

1 1( ) 1 1

2 2

1 11 1

2 2

1 1

2 2

2

2

sin

j t

j t j t

t t

j j

j j

j j

X t t e dt

t e dt

jj

t e

e e

e e

e e

j




( ) sin 2000ax t t 2sT ms ( ) ?sX ( ) ?Y ( ) ?y t


2

10002 2000s sT ms Hz

0 2000 2 2

10002

1000

s

sT

12 2

2ka

j j

0

( ) 0

( ) 0

Xs

Y

y t



Bu döküman

Seçkin ARI hocanın | İşaretler ve Sistemler 2017 Yaz Okulu dersinde anlattığı ve tahtaya çözdüğü

örneklerden oluşturulmuştur. Dökümanı istediğiniz gibi kopyalayabilir dağıtabilirsiniz. Bazı örnekler

hocanın kendi verdiği sunularda olduğu için oradan kopyalanmıştır. Hangi dökümandan kopyalandığı

örnekte belirtilmiştir. Faydalı olması dileğiyle, doküman içerisinde hata olduğunu düşünüyorsanız

[email protected] adresine mail atarsanız sevinirim.

Sakarya Üniversitesi

Bilgisayar Mühendisliği

Bülent ALTINBAŞ

14.07.2017


mailto:[email protected]

Documents

1161 Seçkin ARI | [email protected]/Isaretler_ve_Sistemler_6NBAS_DersNotu.pdf · İşaretler ve Sistemler | 2017 - SAÜ Yaz Okulu Ders Notları/ Bilgisayar Mühendisliği