İŞARETLER - SLAYTLAR

Hafta 1:

İşaretler ve Sistemler

• Sürekli-zaman ve ayrık-zaman işaretler

• Bağımsız değişkenin dönüştürülmesi

• Üstel ve sinüzoidal işaretler

• İmpuls ve birim basamak fonksiyonları

• Sürekli-zaman ve ayrık-zaman sistemler

• Sistemlerin temel özellikleri

Ele Alınacak Ana Konular

Sürekli-zaman ve ayrık-zaman işaretler

• İşaretler bir olayın davranışı veya doğası hakkında bilgi içermektedir.

• İşaretleri çeşitli şekillerde ifade etmek mümkündür. İşaretler, matematiksel olarak

bir veya daha fazla bağımsız değişkenin fonksiyonu biçiminde temsil edilir.

• Örneğin, ses işareti zamanın fonksiyonu olarak akustik basınçla belirtilir. Benzer

şekilde, bir görüntü iki konum değişkeninin fonksiyonu olarak parlaklıkla

tanımlanır.

• Bu derste, aksi belirtilmediği sürece bir bağımsız değişkenli işaretleri inceleyecek

ve bağımsız değişkene ZAMAN diyeceğiz. Ancak, tüm fiziksel olaylarda

bağımsız değişkenin zaman olmadığı hatırda tutulmalıdır. Örneğin, meteorolojik

araştırmalarda yüksekliğe bağlı olarak hava basıncı, sıcaklık ve rüzgar hızının

değişimi hakkında bilgi önemlidir. Bu durumda bağımsız değişken yüksekliktir.

İncelenen işaretler ise hava basıncı, sıcaklık ve rüzgar hızıdır.


Bir ses kaydı. İşaret, “should we

chase” kelimlerini, zamana bağlı

olarak akustik basınç değişimleri

şeklinde temsil etmektedir. Üst satır

“should”, ikinci satır “we” ve son iki

satır “chase” kelimlerine karşılık

gelmektedir.

• Bu derste, sürekli-zaman ve ayrık-zaman şeklinde sınıflandırılan temel iki tür

işareti inceleyeceğiz. Sürekli-zaman işaret durumunda, bağımsız değişken

süreklidir ve dolayısıyla işaret bağımsız değişkenin tüm değerleri için tanımlıdır.

Diğer yandan, ayrık-zaman işartler sadece belirli zamanlarda tanımlıdır ve

bağımsız değişken ayrık değerler alır.

• Zamanın fonksiyonu olarak ses işareti ve yüksekliğin fonksiyonu olarak

atmosferik basınç sürekli-zaman işaretlere örnektir. İstanbul Menkul Kıymetler

Borsası (İMKB) haftalık endeksi ve dünyadaki ülkelere göre toplam nüfüs ayrık-

zaman işaretlere örnektir.

• Sürekli-zaman ve ayrık-zaman işaretlerini birbiriyle karıştırmamak amacıyla,

sürekli ve ayrık durumlarda bağımsız değişken için sırasıyla t ve n; işaretler için

de x(t) ve x[n] notasyonlarını kullanacağız.



(a) Sürekli-zaman ve (b) ayrık-

zaman işaretlerinin grafik

gösterilimi. 2.5 kişiden oluşan bir

aile için ortalama kazançtan söz

etmenin anlamsız olması gibi bir

ayrık-zaman işaretinin 3.5. örneği

hakkında söz etmek de anlamlı

değildir. Bu yüzden, kaynağı ne

olursa olsun, ayrık-zaman

işaretlerinin n’nin tamsayı

değerleri için tanımlı olduğuna

dikkat ediniz.

• İşaretler çeşitli fiziksel olayları temsil edebilir. Çoğu uygulamada, ilgilenilen

işaret bir fiziksel sistemdeki güç ve enerjiyi belirten fiziksel büyüklüklerle

doğrudan ilişkilidir.

• Bir sürekli-zaman işareti x(t)’de t1 ≤ t ≤ t2 aralığında ve bir ayrık-zaman işareti

x[n]’de n1 ≤ n ≤ n2 aralığındaki TOPLAM ENERJİ, |x| sayının genliğini

göstermek üzere

ilişkilerinden hesaplanır. ORTALAMA GÜÇ, sonuçlar ilgili aralıkların boyuna

bölünür (sürekli durumda t2 - t1; ayrık durumda n2 - n1 + 1) elde edilir.

• Yukarıda verilen ilişkileri sonsuz aralık durumuna genelleştirmek mümkündür.

Aralığın sonsuza gitmesi limit durumunda ilgili tanımlar elde edilir:


2

1

2

1

22 |][|,|)(|t

t

n

nn

nxdttx

N

NnN

T

TT

N

NnN

T

TT

nxN

PdttxT

P

nxEdttxE

22

22

|][|12

1lim |)(|

2

1lim

|][|lim |)(|lim


• Enerji ve güç içeriğine göre işaretler üç sınıfa ayrılabilir.

• Sonlu enerjiye sahip (E∞ < ∞) işaretlere ENERJİ İŞARETİ denir. Enerji

işaretlerinin gücü sıfır olmalıdır. Bir örnek vermek gerekirse, [0,1] aralığında 1,

diğer zamanlarda sıfıra eşit olan bir sürekli-zaman işaretinin enerji işareti

olduğunu göstermek zor değildir.

• Sonlu güce sahip işaretlere (P∞ < ∞) GÜÇ İŞARETİ denir. Güç işaretlerinin

enerjisi sonsuz olmalıdır. Değeri 4 olan sabit bir ayrık-zaman işareti (tüm n

değerleri için x[n] =4) güç işaretidir.

• Diğer bir grup işaretler için ne enerji ne de güç sonlu bir değere sahiptir. x(t) = t

şeklinde bir işaret bu gruba girmektedir.

Bağımsız değişkenin dönüşümü

• İşaret ve sistem analizindeki önemli bir kavram bir işaretin dönüştürülmesidir.

• Örneğin, bir uçak kontrol sisteminde pilotun eylemlerine karşılık işaretler

elektriksel ve mekanik sistemler aracılığıyla uçağın hız veya konumundaki

değişikliklere dönüştürülür.

• Diğer bir örnek olarak, bir ses siteminde kaset veya CD’ye kaydedilmiş müziği

temsil eden bir giriş işareti istenilen karakteristikleri iyileştirme, kaydetme

gürültüsünü gidermek amacıyla değiştirilebilir.

• Aşağıda, bağımsız değişkene yapılan basit değişikliklerden oluşan dönüşümleri

ele alacağız.

• Bu basit dönüşümler, işaretler ve sistemlerin temel özelliklerini tanımlamamıza

imkan verecektir.


• Bağımsız değişkene yapılabilecek dönüşümlerden birisine ZAMANDA

ÖTELEME denir ve sürekli durum için x(t-t0) şeklinde ifade edilir (ayrık-durumda

ifade x[n-n0]’dir). Orijinal ve ötelenmiş işaretlerin şekli aynıdır ancak işaretler

birbirlerine göre kaymıştır.

• Öteleme ile radar, sonar ve sismik işaret işleme uygulamalarında karşılaşılır. Bu

uygulamalarda, farklı konumlardaki alıcılar bir ortamdan iletilen bir işareti algılar.

İşaretin alıcılara ulaşma süreleri arasındaki farktan ötürü alıcılardaki işaretler

birbirine göre ötelenmiş olmaktadır.


• Bağımsız değişkene yapılabilecek ikinci bir dönüşüme ZAMANI TERSİNE

ÇEVİRME denir ve sürekli durumda matematiksel olarak x(-t) şeklinde ifade

edilir. Orijinal işaretin dikey eksen (t = 0) etrafında döndürülmesiyle zaman

tersine çevrilmiş işaret elde edilir.


• Bağımsız değişkene yapılabilecek üçüncü dönüşüme ÖLÇEKLEME denir ve

sürekli durumda x(αt) biçiminde temsil edilir. α’ya ölçekleme katsayısı denir.

α’nın 1’den büyük olması durumunda orijinal işaretin şeklini bozmadan işareti α

kadar daraltarak öçeklenmiş işareti elde ederiz. Aksi durumda, orijinal işaret α’nın

tersi kadar genişletilir.


• Şimdi orijinal işarete bu üç temel dönüşümün birlikte uygulanmasını ele alacağız.

Genel dönüşüm x(αt+β) şeklinde ifade edilebilir. Orijinal işaretten dönüştürülmüş

işareti bulmak için , işaret ilk önce β kadar ötelenir, daha sonra otelenmiş işaret α

ile ölçeklenir. α’nın negatif olması durumunda ayrıca zaman tersine çevrilir.

Aşağıda, bir sürekli-zaman işareti x(t) için, x(t+1), x(-t+1), x(3/2t) ve x(3/2t+1)

işaretleri çizilmiştir.


TANIM: Bir sürekli-zaman işareti t’nin değerinden bağımsız olarak x(t) = x(t+T)

eşitliğini pozitif bir T değeri için sağlıyorsa T periyodu ile periyodiktir. Eşitliğin

geçerli olduğu en küçük T değerine temel periyod (T0) denir. Periyodik olmayan

işaretlere aperiyodik denir.

TANIM: Bir ayrık-zaman işareti n’nin değerinden bağımsız olarak x[n] = x[n+N]

eşitliğini pozitif bir tamsayı N değeri için sağlıyorsa N periyodu ile periyodiktir.

Eşitliğin geçerli olduğu en küçük N değerine temel periyod (N0) denir.

T0 = T N0 = 3.


TANIM: Bir işaret zaman tersine çevrilmiş haline eşitse (x(t) = x(-t)) ÇİFT; zaman

tersine çevrilmiş halinin negatifine eşitse (x(t) = - x(-t)) TEK işarettir.

TANIM: Bir işaret ile zaman tersine çevrilmiş halinin toplamının yarısına işaretin

ÇİFT PARÇASI denir. Bener şekilde, işaret ile zaman tersine çevrilmiş halinin

farkının yarısına işaretin TEK PARÇASI denir.

çift işaret tek işaret

)()(2

1)(

)()(2

1)(

txtxtxOd

txtxtxEv


Bir ayrık-zaman işareti ile işaretin çift ve tek parçaları aşağıda verilmiştir.

Sürekli-zaman üstel ve sinüzoidal işaretler

• Sürekli-zaman karmaşık üstel işaretin genel ifadesi, C ve a karmaşık sayılar olmak

üzere x(t) = Ceat’dir. Bu iki parametrenin değerine bağlı olarak karmaşık üstel

işaret farklı davranış gösterir.

• Aşağıda gösterildiği gibi C ve a gerçel ise, iki durum vardır. a pozitif ise x(t) artar,

aksi halde azalır. Ayrıca, a = 0 olduğunda, x(t) sabit olmaktadır.

(a) a > 0, (b) a < 0.

• a gerçel kısmı sıfır olan karmaşık bir sayı (a = jw0t), yani olsun. Bu

durumda x(t) periyodiktir.

• Periyodiklik tanımından, x(t)’nin periyodik olması için eşitliğini

sağlayan pozitif bir T değeri bulunabilmelidir. Üstel sayıların özelliğinden

olduğundan, periyodiklik için olmalıdır.

• T’nin alacağı değer w0’a bağlıdır. w0 = 0 ise, x(t) =1 olup T’nin herhangi bir değeri

için periyodiktir. w0 ≠ 0 ise, en küçük pozitif T değeri (temel periyod) için

bulunur. O halde, işaretleri aynı temel periyoda sahiptir.

tjetx 0)(

tjTtjee o 0

)(

TjtjTtjeee 000

)(

10Tj

e

||

2

00T

tjtjee 00 ve


• Periyodik karmaşık üstel işaretle yakından ilişkili bir işaret

şeklinde tanımlanan sinüzoidal işarettir.

• t’nin birimi saniye ise, ve 0’ın birimleri radyan ve saniye başına radyandır.

0 = 2 f0 yazılırsa f0’ın birimi, saniye başına değişim sayısı veya hertz (Hz)’dir.

• Sinüzoidal işaret periyodik olup temel periyodu şeklindedir.

)cos()( 0tAtx

||

2

00T


• Euler ilişkisi kullanılarak, karmaşık üstel ve sinüzoidal işaretler birbiri cinsinden

yazılabilir. İlişkiler aşağıda verilmiştir:

• Eşdeğer olarak, sinüzoidal işaretler, karmaşık üstel işaretin gerçel ve sanal kısmı

şeklinde ifade edilebilir:

• Üstel işaretler atomik patlamalardaki zincir reaksiyonları, karmaşık kimyasal

işlemleri, radyoaktif bozunumu, RC devrelerinin ve sönümlü mekanik sistemlerin

yanıtını modellemede kullanılır. Benzer şekilde, sinüzoidal işaretler enerjinin

korunduğu fiziksel sistemlerde karşımıza çıkar. Örneğin, bir LC devresinin doğal

yanıtı ve bir müzik tonuna karşılık gelen akustik basınç değişimleri sinüzoidaldir.

tjjtjj

tj

eeA

eeA

tA

tjte

00

0

22)cos(

)sin()cos(

0

00

}Im{)sin(

}Re{)cos()(

0

)(0

0

0

tj

tj

eAtA

eAtA


• Bir sürekli-zaman sinüzoidal veya periyodik karmaşık üstel işaretin temel

periyodu T0, TEMEL FREKANS olarak adlandırılan | 0| ile ters orantılıdır.

• 0 = 0 ise, x(t) sabit olup herhangi bir positif T için periyodiktir. O halde, sabit

bir işaretin temel periyodu tanımsızdır. Ancak, sabit bir işaretin temel periyodunu

sıfır kabul edebiliriz (sabit bir işaretin değişim hızı sıfırdır).


• Periyodik karmaşık üstel ve sinüzoidal işaretlerin güç işareti olduğu gösterilebilir.

• Periyodik karmaşık üstel işaretlerden çoğu diğer işaret üretilebilir. Ortak bir

periyod ile periyodik olan periyodik üstel işaretler kümesine HARMONİK

İLİŞKİLİ KARMAŞIK ÜSTEL KÜMESİ denir.

• ej t işaretinin T0 ile periyodik olabilmesi için T0 = 2 k, k = 0, 1,2,... olmalıdır.

0 = 2 / T0 olarak tanımlanırsa, T0 = 2 k koşulunun sağlanması için , 0’ın

katı olmalıdır. O halde, harmonik ilişkili bir karmaşık üstel kümesi, pozitif bir 0

frekansının katlarına eşit temel frekansa sahip periyodik üstel işaretler kümesidir:

• k = 0 için k(t) sabittir, herhangi bir diğer k değeri için k(t), |k| 0 temel

frekansıyla veya

temel periyodu ile periyodiktir. k(t)’ye k. HARMONİK denir.

,...2 ,1 ,0 ,)( 0 kettjk

k

||||

2 0

0 k

T

k


• Sürekli-zaman karmaşık üstel işaretin genel ifadesi, C ve a karmaşık sayılar olmak

üzere Ceat ile verildiğini hatırlayınız. C, kutupsal koordinatlarda C = |C|ej , a ise

kartezyen koordinatlarda a = r + j 0 şeklinde ifade edilsin.

• C ve a yerine konulup Euler ilişkisi konulursa karmaşık üstel işaret

şeklinde yeniden düzenlenebilir. Bu ilişkiden aşağıdaki gözlemler yapılabilir.

• Karmaşık üstel işaretin genliği |C|ert’dir.

• r = 0 ise, karmaşık üstelin gerçel ve sanal kısımları sinüzoidaldir.

• r > 0 ise, gerçel ve sanal kısımlar artan üstel işaret, aksi halde azalan üstel işaret

ile çarpılır. Azalan üstel işaret ile çarpılan sinüzoidal işaretlere SÖNÜMLÜ

sinüzoidal denir. Sönümlü sinüzoidal işaretlerle RLC devrelerinde ve mekanik

sistemlerde karşılaşılır. Bu tür sistemler, zamanla azalan salınımlı enerji üretir.

)sin(||)cos(|| 00 teCjteCCe rtrtat


(a) Artan sinüzoidal işaret x(t) = Cert cos( 0t + ), r > 0.

(b) Azalan sinüzoidal işaret x(t) = Cert cos( 0t + ), r < 0.

Şekillerde kesikli eğriler |C|ert’fonksiyonlarına karşılık gelmektedir.


• Ayrık-zaman karmaşık üstel işaretin genel ifadesi, C ve α karmaşık sayılar olmak

üzere x[n] = Cαn’dir. α = eβ olmak üzere, üstel işaret x[n] = Ceβn şeklinde de

yazılabilir. C ve α’nın aldığı değerlere göre işaretin şekli değişir.

• C ve α gerçel ise, aşağıdaki durumlar mümkündür:

|α| > 1 ise, işaretin genliği n arttıkça üstel olarak artar.

|α| < 1 ise, işaretin genliği n arttıkça üstel olarak azalır.

α pozitif ise, işaretin tüm değerleri aynı işarete (hepsi pozitif veya negaif) sahiptir.

α negatif ise, x[n]’nin işareti örnekten örneğe değişir.

α = 1 ise, x[n] sabittir (x[n] = C).

α = -1 ise, x[n] dönüşümlü olarak C ve –C değerlerini alır.

• Ayrık-zaman gerçel üstel işaret doğum oranına bağlı olarak nüfus artışı ve zamana

(gün, ay, yıl vb) bağlı olarak yatırım sonucunda elde edilen kar gibi olayları

modellemede kullanılır.

Ayrık-zaman üstel ve sinüzoidal işaretler

Ayrık-zaman gerçel üstel işaret x[n] = Cαn

(a) α > 1

(b) 0 < α < 1.

(c) -1 < α < 0.

(d) α < -1


• Sürekli durumda olduğu gibi, karmaşık üstel işaretle yakından ilişkili bir işaret

şeklinde tanımlanan sinüzoidal işarettir.

• n boyutsuz ise, ve 0’ın birimleri radyandır.

• Euler ilişkisi kullanılarak ayrık-zaman karmaşık üstel ve sinüzoidal işaretler

birbirleri cinsinden yazılabilir:

• Ayrık-zaman karmaşık üstel ve sinüzoidal işaretlerin, sürekli durumda olduğu gibi

güç işaretleri olduğunu göstermek zor değildir.

)cos(][ 0nAnx

njjnjj

nj

eeA

eeA

nA

njne

00

0

22)cos(

)sin()cos(

0

00



• C ve α için kutupsal koordinatlarda C = |C|ej , yazılıp Cαn ifadesinde

yerine konulursa ayrık-zaman karmaşık üstel işaret aşağıdaki gibi yazılabilir:

• |α| = 1 ise, karmaşık üstel işaretin gerçel ve sanal kısımları sinüzoidaldir. |α| < 1 ise,

sinüzoidal işaretler azalan bir üstel işaretle, aksi halde ise artan bir üstel işaretle

çarpılmaktadır.

0je

)sin()cos( 00 nCjnCCnnn


• Sürekli-zaman ve ayrık-zaman işaretler arasında önemli farklar vardır. Birinci fark

olarak, aşağıda gösterildiği gibi , 2π ile periyodiktir:

• Sürekli durumda ω0’ın farklı değerleri için farklı işaretler olmasına karşın,

ayrık-durumda işaretinde ω0 yerine ω0 + 2π, ω0 + 4π, ω0 + 6π… yazıldığında

aynı sonuç elde edilmektedir. Bu yüzden, ayrık-zaman karmaşık üstel işaretleri 2π

uzunluğundaki bir frekans aralığında incelemek yeterlidir. Genelde 0 ≤ ω0 < 2π

veya -π ≤ ω0 < π seçilir.

• |ω0| arttıkça işaretinin temel freakansı artıyordu. Ayrık durumda bu geçerli

değildir. ω0, 0’dan π’ye doğru artarken işaretinin birim zamandaki salınım

sayısı artarken π’den 0’a doğru artarken salınım sayısı azalır. O halde, ayrık-zaman

karmaşık üstel işaret, ω0’ın 0 veya π’nin çift katlarına yakın değerleri için düşük

frekanslı, π’nin tek katlarına yakın değerleri içinse yüksek frekanslıdır.

nje 0

njnjnjnjeeee 000 2)2(

tje 0

nje 0

tje 0

nje 0




• işaretinin periyodik olması için veya eşitliğini

sağlayan pozitif bir tamsayı N bulunabilmeliydi. Karmaşık üstel işaretin 1 değerini

alması için üs 2π’nin katı olmalıdır. O halde, m bir tamsayı olmak üzere

periyodiklik şartı olarak ω0/2π’nin rasyonel bir sayı oması gerektiğini belirten

yazılabilir (ikinci fark: sürekli işaret ω0’ın herhangi bir değeri için periyodikti!). Bu

koşul, ayrık-zaman sinüzoidal işaretler için de geçerlidir.

• Ayrık-zaman karmaşık üstel işaretin temel periyodu N ise, temel frekansı 2π/N’dir.

O halde, işaretinin temel frekansı

olacaktır.

nje 0 njNnj

ee 00 )(10Nj

e

N

mmN

22 0

0

nje 0

mN

02


ω0’ın farklı değerleri için farklı işaretler 2π ile periyodik

ω0’ın herhangi bir değeri için periyodik N > 0 ve m tamsayıları için ω0= 2πm/N ise periyodik

Temel frekans: ω0 Temel frekans: ω0/ m

Temel periyod:

ω0=0 ise tanımsızdır

ω0≠ 0 ise 2π/ ω0

Temel periyod:

ω0=0 ise tanımsızdır

ω0≠ 0 ise m(2π/ ω0)

tje 0 nj

e 0

• Son olarak, harmonik ilişkili bir ayrık-zaman karmaşık üstel kümesi, ortak bir

periyod N’ye sahip periyodik üstel işaretler kümesidir:

• Sürekli durumdan farklı olarak, periyodiklikten ötürü kümede N adet işaret

olduğuna dikkat ediniz (sürekli durumda kümede sonsuz işaret vardı!).

1,...,1,0,][ )/2( Nken nNjk

k

Ayrık-zaman impuls ve birim basamak dizileri

TANIM: Ayrık-zaman İMPULS dizisi [n] aşağıdaki eşitlikle tanımlanır:

Dizinin grafik gösterilimi:

TANIM: Ayrık-zaman BİRİM BASAMAK dizisi u[n] aşağıdaki eşitlikle tanımlanır:

Dizinin grafik gösterilimi:

0,1

0,0][

n

nn

0,1

0,0][

n

nnu


• Ayrık-zaman impuls ve birim basamak dizileri arasında aşağıdaki ilişkiler vardır:

• Toplama işlemlerinin pozitif ve negatif n değerleri çin hesaplanması aşağıda

gösterilmiştir:

0

)gösterilim (2. ][][

)gösterilim (1. ][][

]1[][][

k

n

m

knnu

mnu

nunun

1. gösterilim, a) n < 0, b) n > 0. 2. gösterilim, a) n < 0, b) n > 0


• Ayrık-zaman impuls dizisi, bir işareti n = 0 anındaki değerini değerini örneklemede

kullanılabilir:

x[n] [n] = x[0] [n]

• Daha genel ifadeyle, n = n0 anındaki bir impuls işaretin n0 anındaki değerini

örneklemde kullanılabilir:

x[n] [n - n0 ] = x[n0] [n- n0]

• İmpuls dizisinin örnekleme özelliği, doğrusal ve zamanla değişmeyen sistemlerin

analizi ile sürekli-zaman işaretlerin ayrıklaştırıldığı örnekleme konularında sıkça

kullanılacaktır.

Sürekli-zaman impuls ve birim basamak fonksiyonları

TANIM: Sürekli-zaman birim basamak fonkiyonu u(t) aşağıdaki eşitlikle tanımlanır:

Fonksiyonun grafik gösterilimi:

TANIM: Sürekli-zaman impuls fonksiyonu (t) aşağıdaki eşitlikle tanımlanır:

Not: u(t), t = 0 anında sürekli olmayıp türevi hesaplanamayacağından (t)’nin tanımı

aslında geçerli değildir. Ancak, limit durumda birim basamak fonksiyonuna eşit olan

yumuşak geçişli işaretler kullanılırsa tanım geçerli olacaktır.

0,1

0,0)(

t

ttu

dt

tdut

)()(


• Aşağıda, Δ → 0 limit durumunda u(t)’ye eşit olan, türevi tüm noktalarda

hesaplanabilir bir fonksiyon uΔ(t) ve fonksiyonun türevi Δ(t) verilmiştir.

• Δ(t), Δ’nın değerinden bağımsız olarak altındaki alan 1 olan kısa süreli bir

darbedir. Δ, 0’a yaklaştıkça Δ(t) darlaşıp dikleşecek ancak altında kalan alan hep

1 olackatır. Δ → 0 limit durumunda darbenin süresi sıfır, yüksekliği sonsuz

olacaktır. Bu durum grafiksel olarak şöyle gösterilir:

dt

tdutt

)(lim)(lim)(

00


• Genel olarak, altındaki alan k olan ölçeklenmiş impuls fonksiyonu k (t) ile

gösterilir ve grafik gösterilimde okun yanına 1 yerine k yazılır.

• (t), u(t)’nin türevi olduğundan, u(t) (t)’nin integralidir. İntegral eşdeğer iki

şekilde yazılabilir:

• İntegrallerin pozitif ve negatif t değerleri için hesaplanması aşağıda gösterilmiştir:

0)gösterilim (2. )d-()(

)gösterilim (1. )()(

ttu

dtut

1. gösterilim, a) t < 0, b) t > 0. 2. gösterilim, a) t < 0, b) t > 0.


• Sürekli-zaman impuls fonksiyonunun da örnekleme özelliği vardır. Aşağıda, keyfi

bir x(t) için, x1(t) = x(t) Δ(t) çarpımı ve çarpımın sıfırdan farklı olduğu kısmın

büyültülmüş hali gösterilmiştir.

• Yeterince küçük Δ için 0 ≤ t ≤ Δ aralığında x(t) yaklaşık olarak sabit olduğundan

x(t) Δ(t) ≈ x(0) Δ(t) yazılabilir. Δ → 0 limit durumunda Δ(t), (t)’ye eşit

olduğundan impulsun örnekleme özelliği x(t) (t) = x(0) (t) elde edilir.

• Benzer adımları kullanarak, t = 0 yerine t = t0 anındaki bir impuls için örnekleme

özelliği x(t) (t - t0) = x(t0) (t - t0) şeklinde olur.


• Gerçek bir fiziksel sistem, eylemsizliğe sahiptir ve uygulanan girişlere aniden yanıt

veremez. Dolayısıyla, sistemin yanıtı uygulanan darbenin süresi veya şeklinden

ziyade darbenin altındaki alandan (darbenin toplam etkisinden) etkilenecektir.

• Hızlı davranış gösteren sistemler için darbenin süresi, yanıt darbenin şekli veya

süresinden etkilenmeyecek şekilde küçük olmalıdır. Herhangi bir gerçek fiziksel

sistem için süresi yeterince küçük bir darbe bulabiliriz. İmpuls fonksiyonu, bu

kavramın idealleştirilmişidir (herhangi bir sistem için yeterince küçük süreli darbe!).

• İmpuls ve ilişkli fonksiyonlara TEKİL veya GENELLEŞTİRİLMİŞ fonksiyonlar

denilmektedir. Daha fazla bilgi aşağıdaki kaynaklardan edinilebilir:

A. H. Zemanian, Distribution theory and transform analysis, NY, McGraw-Hill, 1965.

R. F. Hoskins, Generalised functions, NY, Halsted Press, 1979.

M. J. Lighthill, Fourier analysis and generalized functions, NY, Cambridge University Press, 1958.


• Süreksizlik içeren sürekli-zaman işaretlerinin türevi impuls fonksiyonu kullanılarak

hesaplanabilir. Süreksizlik noktalarındaki türev impuls fonksiyonu oluşturur ve

impulsun genliğini süreksizlik noktasındaki sıçrama miktarı belirler. Aşağıda bir

örnek verilmiştir.

Türev doğru ise, b)’deki işaretin integrali

a)’daki işareti vermelidir. c)’de herhangi

bir t değeri için integral aralığı

gösterilmiştir. Integral işleminin sonucu

t < 0 ise 0

1 ≤ t < 2 ise 2,

2 ≤ t < 4 ise -1,

t ≥ 4 ise 1

olup gerçekten de a)’daki işaret elde edilir.

Sürekli-zaman ve ayrık-zaman sistemler

• SİSTEM, girişine uygulanan bir işareti çıkışında başka bir işarete dönüştüren bir

süreç olarak değerlendirilebilir.

• Sürekli-zaman sistemlerde giriş ve çıkış işaretleri sürekliyken; ayrık-zaman

sistemlerde ayrıktır. Sistemler grafiksel olarak aşağıdaki şekilde gösterilir:

• Bir işaret, başka bir işaret haline dönüştürülmek istendiğinde bir sürekli-zaman

sistemi tasarlanabilir (analog çözüm). Ancak, işaret örneklenip ayrık-zaman haline

getirildikten sonra aynı işlem bir ayrık-zaman sistem tasarlanarak da yapılabilir

(sayısal çözüm). Sayısal çözümde elde edilen sonuçun tekrar sürekli hale

getirilmesi gerektiğine dikkat ediniz.

• Sayısal çözümün analog çözüme göre üstünlükleri oldukça fazladır. Bu konu

SAYISAL İŞARET İŞLEME dersinde ele alınmaktadır.

x(t) y(t) y[n] x[n]

x(t) → y(t) x[n] → y[n]


Örnek: Bir sürekli-zaman sistemine örnek olarak, aşağıda verilen RC devresinde giriş

işareti vs(t) ile çıkış işareti vc(t) arasındaki ilişkiyi bulalım.

Ohm yasasından, direnç üzerinden geçen akım, direnç üzerindeki gerilimin dirençin

değerine bölünmesiyle elde edilir:

Kapasitenin tanımından

Bu iki eşitlikten, giriş ile çıkış arasındaki ilişki aşağıda verilen diferansiyel denklem

olarak elde edilir:

R

tvtvti cs )()()(

dt

tdvCti c )(

)(

)(1

)(1)(

tvRC

tvRCdt

tdvsc

c


Örnek: Bir ayrık-zaman sistemine örnek olarak, ay sonunda banka hesabındaki para

miktarını ele alalım. x[n] ay boyunca net para girişi (yatırılan-çekilen) ve y[n] ay

sonunda hesaptaki para olmak üzere, y[n]’nin aşağıda verilen fark denklemiyle

belirlendiğini varsayalım:

y[n] = 1.01y[n-1] + x[n]

Modeldeki 1.01y[n-1] terimi, ilgili ayda % 1 oranında faizi modellemektedir.

• Yukarıda verilen basit iki örnek, daha karmaşık sistemlere uyarlanabilir. Genelde,

giriş ile çıkış arasındaki ilişki, sürekli-zaman sistemlerde diferansiyel

denklemlerle, ayrık-zaman sistemlerde ise fark denklemleriyle verilir.

• Bu derste, sistemleri analiz edebilmek için etkili yöntemler (Fourier dönüşümü,

z-dönüşümü vb) tanıtılacaktır.


• Çoğu gerçek sistem, birkaç alt sistemden oluşmaktadır. Diğer bir deyişle, basit

sistemler birleştirilerek karmaşık sistemler oluşturulabilir.

• Sistemleri çok değişik biçimlerde birbirleriyle bağlamak mümkündür. Ancak,

sıklıkla kullanılan bağlama biçimleri SERİ, PARALEL ve SERİ-PARALEL olup

bunlara karşılık gelen blok diyagramlar aşağıda verilmiştir.


• Diğer önemli bir sınıf, aşağıda gösterilen GERİBESLEMELİ bağlamadır.

• Geribesleme sistemleri birçok uygulamada kullanılmaktadır. Örneğin, sayısal olarak kontrol

edilen bir uçak sisteminde gerçek ve gerekli hız, yön ve yükseklik arasındaki farklar gerekli

düzeltmeleri yapmak üzere geri besleme işaretleri olarak kullanılır. Elektrik devrelerinde de

geribesleme mevcuttur. Aşağıda bir elektrik devresi ve karşılık gelen blok diyagram

verilmiştir


• Herhangi bir andaki çıkışı, sadece o andaki girişine bağlı olan sistemlere

HAFIZASIZ, aksi halde HAFIZALI denir.

• Hafızasıs sistemler:

y[n] = (2x[n] –x2[n])2

y(t) = R x(t)

• Hafızalı sistemler:

• Hafızalı sistemlerde, girişi çıkışın hesaplandığı an dışındaki zamanlarda saklayan

mekanizmalar olmalıdır. Çoğu fiziksel sistemde, hafıza enerjinin depolanması ile

doğrudan ilişkilidir. Örneğin, kondansatör elektriksel yük biriktirerek enerji saklar.

t

n

k

dxC

ty

kxny

)(1

)(

][][


• Herhangi bir andaki çıkışı, girişin geçmişteki veya o andaki değerlerine bağlı olan

sistemlere NEDENSEL denir.

• Nedensel sistemler:

• Nedensel olmayan sistemler:

• Bir sistemin nedensel olup olmadığı belirlenirken giriş-çıkış arasındaki ilişki tüm

anlarda incelenmelidir. Ayrıca, giriş-çıkış arasındaki ilişkide girişten hariç diğer

fonkiyonlar dikkate alınmamalıdır.

t

n

k

dxC

ty

kxny

)(1

)(

][][

)1()(

]1[][][

txty

nxnxny


• Sınırlı girişler için sınırlı çıkışlar oluşturan sistemlere KARARLI, aksi halde

KARARSIZ denir.

• Kararlı sistemler:

• Kararsız sistemler:

• Bir sistemin kararsız olduğunu göstermek için iyi bir yaklaşım, sonsuz bir çıkış

üreten sonlu bir giriş bulmaktır. Ancak, bu herzaman mümkün olmayabilir. Bu gibi

durumlarda, giriş işaretinden bağımsız olarak çalışan bir yöntem kullanılmalıdır.

)()(

][12

1][

tx

M

Mk

ety

knxM

ny

)()(

][][

ttxty

kxnyn

k


• Bir sistemde, giriş işaretine uygulanan bir öteleme çıkış işaretinde de aynı miktarda

ötelemeye neden oluyorsa sisteme ZAMANLA DEĞİŞMEYEN, aksi halde zamanla

değişen denir.

• Örnek: Giriş-çıkış ilişkisi

y(t) = sin[x(t)]

ile verilen sistemi ele alalım. Giriş işaretine t0 kadar bir öteleme uygulayalım, yani

x2(t) = x(t-t0) olsun. Sistemin x2(t)’ye yanıtı, y2(t) = sin [x2(t)] = sin[x(t-t0)]’dir.

Çıkışın t0 kadar ötelenmişi, y(t-t0) = sin[x(t-t0)]’dir. Giriş işaretine uygulanan

öteleme, çıkışta da aynı miktarda ötelemeye sebep olup bu sistem nedenseldir.

• Örnek: Giriş-çıkış ilişkisi

y[n] = nx[n]

olan sistemin zamanla değiştiği, benzer işlemler takip edilerek gösterilebilir.

--HAKAN--

Kalem

--HAKAN--

Daktilo

zamanla değişmeyendir

--HAKAN--

Daktilo

--HAKAN--

Daktilo

--HAKAN--

Daktilo

--HAKAN--

Daktilo

--HAKAN--

Daktilo


• İki veya daha fazla işaretin toplamından oluşan bir girişe olan yanıtı, giriş işaretini

oluşturan bileşenlere yanıtlarının toplamına eşit olan sistemlere DOĞRUSAL denir.

• Doğrusallığın matematiksel tanımı, sürekli-zaman sistemleri için aşağıda

verilmiştir. Tanım, ayrık-zaman durumunda da geçirlidir.

• Bir sisteme uygulan xk(t) girişlerine karşılık gelen çıkışlar yk(t), k = 1,2,... olsun.

ak’lar katsayı olmak üzere, sistemin

girişine yanıtı

ise, sistem doğrusaldır.

...)()()()()( 332211 txatxatxatxatxk

kk

...)()()()()( 332211 tyatyatyatyatyk

kk

--HAKAN--

Kalem

--HAKAN--

Daktilo

uygulanan


Örnek: Giriş-çıkış ilişkisi y(t) = tx(t) olan sistemin doğrusal olup olmadığını

belirleyelim. Sistemin, keyfi iki giriş işareti x1(t) ve x2(t)’ye olan yanıtı

olsun. a ve b katsayılar olmak üzere, x1(t) ve x2(t)’nin ağırlıklı toplamı x3(t) olsun:

Sistemin x3(t)’ye olan yanıtı

şeklinde olup sistem doğrusaldır.

)()()(

)()()(

222

111

ttxtytx

ttxtytx

)()()( 213 tbxtaxtx

)()(

)()(

))()((

)()(

21

21

21

33

tbytay

tbtxtatx

tbxtaxt

ttxty


Örnek: Giriş-çıkış ilişkisi y(t) = x2(t) olan sistemin doğrusal olup olmadığını

belirleyelim. Sistemin, keyfi iki giriş işareti x1(t) ve x2(t)’ye olan yanıtı

olsun. a ve b katsayılar olmak üzere, x1(t) ve x2(t)’nin ağırlıklı toplamı x3(t) olsun:

Sistemin x3(t)’ye olan yanıtı

olup sistem doğrusal değildir.

)()()(

)()()(2

222

2

111

txtytx

txtytx

)()()( 213 tbxtaxtx

)()(2)()(

)()(2)()(

))()((

)()(

2122

12

212

222

12

221

233

txtabxtybtya

txtabxtxbtxa

tbxtax

txty


Örnek: Giriş-çıkış ilişkisi y[n] = 2x[n]+3 olan sistemin doğrusal olmadığını göstermek

zor değildir. Giriş-çıkış ilişkisi doğrusal olmasına rağmen, sistemin doğrusal olmaması

ilginçtir. Bu sistemin çıkışı, aşağıda gösterildiği gibi doğrusal bir sistemin çıkışıyla

sistemin SIFIR-GİRİŞ yanıtına eşit olan bir işaretin toplamı olarak düşünülebilir:

Örneğimizde doğrusal sistem x[n] 2x[n], sıfır-giriş yanıtı y0[n] = 3’dür. Böyle

sistemlerde, iki girişe olan yanıtlar arasındaki fark, girişlerin farkının doğrusal bir

fonksiyonudur:

Bu tür sistemlere ARTIŞSAL DOĞRUSAL sistem denilmektedir.

]}[][{2}3][2{3][2][][ 212121 nxnxnxnxnyny

Hafta 10:

z-Dönüşümü

• z-dönüşümü

• z-dönüşümünün yakınsaklık bölgesi

• Ters z-dönüşümü

• z-dönüşümünün özellikleri

• z-dönüşümü kullanarak LTI sistemlerin analizi


• İmpuls yanıtı h[n] olan bir LTI sistemin, zn girişine olan yanıtının y[n] = H(z)zn

olduğunu görmüştük. H(z) aşağıdaki gibi hesaplanıyordu:

• z = ej yani |z| = 1 için, yukarıda verilen toplam h[n]’nin ayrık-zaman Fourier

dönüşümüdür. |z| = 1 olmak zorunda olmadığında, toplamaya z-dönüşümü denir.

• z karmaşık bir sayı olmak üzere, bir ayrık-zaman işaret x[n]’nin z-dönüşümü

denklemiyle tanımlanır. z-dönüşümünü belirtmek için Z{x[n]} kullanacak, işaret

ile z-dönüşümü arasındaki ilişkiyi, aşağıdaki şekilde belirteceğiz.

z-Dönüşümü

n

nznhzH ][)(

n

nznxzX ][)(

)(][ zXnx Z

• Laplace dönüşümü ile sürekli-zaman Fourier dönüşümü arasında ilişki olduğu

gibi, z-dönüşümü ile ayrık-zaman Fourier dönüşümü arasında ilişki vardır.

• z kutupsal koordinatlarda şeklinde yazılabilir. O halde,

• Görüldüğü gibi, X(rej), x[n] ile r-n dizilerinin çarpımının Fourier dönüşümüne

eşittir. Yani,

X(rej) = F{x[n]r-n }.

• |z| = 1 iken, toplama x[n] işaretinin ayrık-zaman Fourier dönüşümüne eşit olur:

z-Dönüşümü

jrez

n

njn

n

njj ernxrenxreXzX ][][)()(

][)()( nxFeXzX j

ez j

z-Dönüşümü

• Laplace dönüşümü, karmaşık s-düzleminde j-ekseni üzerinde hesaplandığında

sürekli-zaman Fourier dönüşümünü veriyordu.

• z-dönüşümü, karmaşık z-düzleminde birim çember (|z|=1) üzerinde

hesaplandığında, ayrık-zaman Fourier dönüşümüne eşit olur.

• Bir x[n] işaretinin z-dönüşümünün var olabilmesi için x[n]r-n işaretinin ayrık-

zaman Fourier dönüşümü yakınsamalıdır. Verilen bir işaret için, z-dönüşümünün

var olduğu r değerleri kümesine YAKINSAKLIK BÖLGESİ (ROC) denir. ROC,

birim çemberi içeriyorsa, işaretin Fourier dönüşümü de vardır.

ÖRNEK: işaretinin z-dönüşümünü hesaplayınız, sıfır-kutup diyagramı

ve yakınsaklık bölgesini çiziniz.

ÇÖZÜM:

Serinin yakınsaması için |az-1|<1 veya eşdeğer olarak |z|>|a| olmalıdır. O halde,

][][ nuanx n

][)(0

1

0

n

n

n

nn

n

n azzaznxzX

z-Dönüşümü

azazaz

azzXn

n

:ROC ,z

1

1 )(

10

1

ÖRNEK: işaretinin z-dönüşümünü hesaplayınız, sıfır-kutup

diyagramı ve yakınsaklık bölgesini çiziniz.

ÇÖZÜM:

Serinin yakınsaması için |a-1z|<1 veya eşdeğer olarak |z|<|a| olmalıdır. O halde,

]1[][ nuanx n

0

1

1

1

1 - ][)(n

n

n

nn

n

nn

n

n zazazaznxzX

z-Dönüşümü

azazazza

zazXn

n

:ROC ,z

1

1

1

111 )(

110

1

ÖRNEK: Aşağıda verilen işaretin z-dönüşümünü hesaplayınız, sıfır-kutup

diyagramını ve yakınsaklık bölgesini çiziniz.

ÇÖZÜM:

z-dönüşümünün var olabilmesi için iki seri de yakınsamalıdır Yani,

O halde,

z-Dönüşümü

0

1

0

1

2

16

3

17][

2

16][

3

17 )(

n

n

n

n

n

n

nn

zzznunuzX

][2

16][

3

17][ nununx

nn

2/112

1 ve3/11

3

1 11 zzzz

2

1z:ROC ,

2

1

3

1

2

3

2

11

3

11

2

31

2

11

6

3

11

7)(

11

1

11

zz

zz

zz

z

zz

zX

Aynı sonucu, önceki alıştırmaları kullanarak hesaplama yapmadan da bulabiliriz.

2

1:ROC ,

2

11

6

3

11

7][

2

16][

3

17

2

1:ROC ,

2

11

1][

2

1

3

1:ROC ,

3

11

1][

3

1

11

1

1

z

zz

nunu

z

z

nu

z

z

nu

Z

nn

Z

n

Z

n



ÇÖZÜM:

z-dönüşümünün var olabilmesi için iki seri de yakınsamalıdır Yani,

O halde,

z-Dönüşümü

][3

1

2

1

3

1

2

1][

4sin

3

1][ 4/4/ nue

je

jnunnx

n

j

n

j

n

0

14/

0

14/

0

4/4/

3

1

2

1

3

1

2

1

3

1

2

1

3

1

2

1)(

n

n

j

n

n

j

n

n

n

j

n

j zej

zej

zej

ej

zX

3/113

1 ve3/11

3

1 14/14/ zzezze jj

3

1z:ROC ,

3

1

3

1

23

1

3

11

1

2

1

3

11

1

2

1)(

4/4/14/14/

jjjj

ezez

z

zej

zej

zX

z-Dönüşümü

ÖRNEK: Aşağıda verilen işaretlerin z-dönüşümünü hesaplayınız, sıfır-kutup


(i) x[n]= δ[n], (ii) x[n]= δ[n-1], (ii) x[n]= δ[n+1]

ÇÖZÜM:

(i)

(ii)

(iii)

zzznzXn

n

:ROC ,1]0[][)( 0

zzzznzXn

n

:ROC ,]11[]1[)( 11

zzzznzXn

n

:ROC ,]11[]1[)( )1(

z-Dönüşümü



ÇÖZÜM:

Sıfırlar (pay polinomunun kökleri)

Kutuplar (payda polinomunun kökleri): z = a, z=0 (N-1) katlı

k= 0 için bulunan sıfır ile kutup birbirini götürür. Sonuç olarak,

Sıfırlar: Kutuplar: z=0 (N-1) katlı

.0 ,halde aksi,0

10,][

aNna

nxn

z

az

az

zaz

azazzazX

NN

N

nN

n

nN

n

nn

:ROC ,1

1

1)(

11

11

0

11

0

1,...,1,0 ,/2 Nkeaz Nkj

kk

1,...,1 ,/2 Nkeaz Nkj

kk

Örnek: işaretinin z-dönüşümünü hesaplayınız, sıfır-kutup diyagramını

ve yakınsaklık bölgesini çiziniz.

Çözüm: İşaret çift taraflı olup b < 1 ve b > 1 için şekli aşağıda verilmiştir.

z-Dönüşümü

0 ,][ bbnxn

]1[][][ nubnbnx nn

]1[][][ nubnbnx nn

bzb

bzbz

z

b

bzbbz

zXnubnubnx

bz

zbnub

bzbz

nub

Znn

Zn

Zn

1:ROC ,

1

,1

1

1

1)(]1[][][

1:ROC ,

1

1]1[

:ROC ,1

1][

1

2

111

11

1

z-Dönüşümünün Yakınsaklık Bölgesinin Özellikleri

1. Bir ayrık-zaman işaretini z-dönüşümünün ROC’si, z-düzleminde sıfır etrafında

bir halkadır.

2. ROC herhangi bir kutup içermez.

3. Ayrık-zaman işaret sonlu süreli ise, z-dönüşümünün ROC’si muhtemelen z = 0

ve/veya z = ∞ hariç, tüm z-düzlemidir.

4. Ayrık-zaman işaret sağ taraflı ve |z|=r0 halkası z-dönüşümünün ROC’si içinde

ise, |z| > r0 eşitsizliğini sağlayan tüm z değerleri de ROC içindedir.

5. Ayrık-zaman işaret sol taraflı ve |z|=r0 halkası z-dönüşümünün ROC’si içinde

ise, 0 < |z| < r0 eşitsizliğini sağlayan tüm z değerleri de ROC içindedir.

z-Dönüşümünün Yakınsaklık Bölgesinin Özellikleri

6. Ayrık-zaman işaret çift taraflı ve |z|=r0 halkası z-dönüşümünün ROC’si içinde

ise, ROC |z|=r0 halkasını içeren bir halkadır.

7. Ayrık-zaman işaretin z-dönüşümü rasyonel ise, ROC kutuplarla sınırlıdır veya

sonsuza kadar uzanır.

8. Ayrık-zaman işaretin z-dönüşümü rasyonel ve işaret sağ taraflı ise, ROC en

dıştaki kutbun dışındaki bölge, yani en yüsek genlikli kutbun genliğine eşit

halkanın dışıdır. İşaret aynı zamanda nedensel ise (sağ taraflı ve n < 0 için sıfıra

eşitse), z = ∞ ROC içindedir.

9. Ayrık-zaman işaretin z-dönüşümü rasyonel ve işaret sol taraflı ise, ROC en içteki

kutbun içindeki bölge, yani en küçük genlikli kutbun genliğine eşit halkanın

içidir. İşaret aynı zamanda nedensel değilse (sağ taraflı ve n > 0 için sıfıra eşitse),

z = 0 ROC içindedir.

İşaret z-Dönüşümü Yakınsaklık Bölgesi (ROC)

1 Tüm z değerleri

m > 0 için 0 veya m < 0 için ∞

hariç tüm z değerleri

][n

][nu 11

1 z

1z

]1[ nu11

1 z

1z

][ mn mz

][nun11

1 z

z

]1[ nun11

1 z

z

z-Dönüşüm Çiftleri

İşaret z-Dönüşümü Yakınsaklık Bölgesi (ROC)

][nun n 21

1

1

z

z

z

]1[ nun n 21

1

1

z

z

z

][)cos( 0 nun 21

0

1

0

)cos(21

)cos(1

zz

z

1z

][)sin( 0 nun21

0

1

0

)cos(21

)sin(

zz

z

1z

][)cos( 0 nunrn 221

0

1

0

)cos(21

)cos(1

zrzr

zr

rz

][)sin( 0 nunrn 221

0

1

0

)cos(21

)sin(

zrzr

zr

rz

z-Dönüşüm Çiftleri

Ters z-Dönüşümü

• x[n] işaretinin z-dönüşümü X(z)=X(rej) , x[n]r-n işaretinin ayrık-zaman Fourier

dönüşümü ise, x[n]r-n işareti X(rej)’nın ters Fourier dönüşümüdür. Yani,

• z = rej değişken dönüşümü yapılırsa,

• ω, 2π aralığında değişirken, z r yarıçaplı bir daire üzerinde değerler alır.

Dolayısıyla, integral z cinsinden aşağıdaki gibi olur:

• O, merkezi orijin olan, saat yönünün tersi yönde, r yarıçaplı kapalı bir eğriyi ifade

etmeketdir. Ters z-dönüşümü, karmaşık düzlemde integral alma yerine basit

kesirlere ayırma ve kuvvet serisine açma yöntemleri kullanılarak belirlenir.

22

11

))((2

1)(

2

1

)}({][)}({][}][{)(

drereXdereXr

reXFrnxreXFrnxrnxFreX

njjnjjn

jnjnnj

dzzjdjzddjredz j 1)/1(

dzzzX

jnx n 1)(

2

1][

(Ters z-dönüşümü)


Örnek (basit kesirlere ayırma): Aşağıda verilen z-dönüşümlerinin tersini bulunuz.

(i)

(ii) X(z) aynı, ROC: 1/4<|z|<1/3,

(iii) X(z) aynı, ROC: |z|<1/4,

Çözüm:

(i) bileşenler sağ taraflıdır:

(ii) 1/4 kutbundan gelen bileşen sağ taraflı, 1/3 kutbundan gelen bileşen sol taraflıdır:

(iii) bileşenler sol taraflıdır:

3

1:ROC ,

3

11

4

11

)6/5(3)(

11

1

z

zz

zzX

1111 )3/1(1

2

)4/1(1

1

)3/1(1)4/1(1)(

zzz

B

z

AzX

11 )3/1(1

2

)4/1(1

1][3/12][4/1

zznunu Znn

11 )3/1(1

2

)4/1(1

1]1[3/12][4/1

zznunu Znn

11 )3/1(1

2

)4/1(1

1]1[3/12]1[4/1

zznunu Znn


Örnek (kuvvet serisine açma): Aşağıdaki z-dönüşümünün tersini bulunuz.

Çözüm: z-dönüşümünün tanımını hatırlayalım:

Görüldüğü gibi, z-dönüşümünde z’nin kuvvetlerinin yanında gözüken sayılar işaretin

değerleridir (z0 yanındaki sayı x[0], z-1 yanındaki sayı x[1], z-2 yanındaki sayı x[2], z1

yanındaki sayı x[-1], z2 yanındaki sayı x[-2], vb). O halde,

zzzzX 0:ROC ,324)( 12

n

nznxzX ][)(

]1[3][2]2[4][

halde aksi,0

1,3

0,2

2,4

][

nnnnx

n

n

n

nx



Çözüm: Önceki örneklerden işaretin sağ taraflı ve x[n]=anu[n] olduğunu biliyoruz.

Aynı sonucu verilen rasyonel z-dönüşümünü kuvvet serisine açarak da bulabiliriz.

Polinom bölme işlemi, z’nin negatif kuvvetleri oluşacak şekilde yapılır:

O halde, n < 0 için x[n] = 0, x[1] = a, x[2] = a2 veya genel olarak x[n]=anu[n].

Not: ROC |z| < |a| olsaydı, işaret sol taraflı olacağından z’nin pozitif kuvvetleri

oluşacak şekilde polinom bölme işlemi yapılr:

Bu durumda, n≥0 için x[n]=0, x[-1]=-a-1, x[2]=-a-2 veya genel olarak x[n]=-anu[-n-1].

azaz

zX

:ROC ,1

1)(

1

...11

1 33221

1

zazaaz

az

...1

1 33221

1

zazaza

az



Çözüm: ln(1+x) için seri açılımı aşağıda verilmiştir.

ln(1+x) için seri açılımında x yerine az-1 yazılırsa soruda X(z) elde edilir:

Açılımda, z’nin kuvvetlerinin yanında gözüken sayılar işaretin değerleri olduğundan

azazzX :ROC ),1ln()( 1

1 ,)1(

)1ln(1

1

xn

xx

n

nn

1 ,)1(

)(1

1

xn

zazX

n

nnn

]1[)(

][

0,0

1,)1(][

1

nun

anx

n

nn

anx

nn

n

z-Dönüşümünün Özellikleri

• Kolaylık olması bakımından, z-dönüşümü ve tersini belirtmek için sırasıyla

Z{x[n]} ve Z-1{X(z)} kısa gösterilimini kullanacağız. Ayrıca, z-dönüşüm çiftini

belirtmek için

notasyonunu kullanacağız.

• z-dönüşümünün aşağıda verilen özellikleri aracılığıyla, z-dönüşümü bilinen

işaretlerden çoğu işaretin z-dönüşümünü elde etmek kolaylaşmaktadır.

• Aşağıda sadece en önemli özelliklerin ispatı verilecektir. Diğer özelliklerin ispatı

benzer şekilde yapılabilir.

(z) ][ Xnx Z

Zamanda öteleme:

İspat: z-dönüşüm denkleminden

n-n0 = u değişken deönüşümü yapılırsa,

X(z)’nin ROC’si R olsun. n0>0 ise, z-n0 ile çarpımdan dolayı, z = 0’da kutuplar oluşur

ve bunlar X(z)’nin z = 0’daki sıfırlarını götürebilir. Dolayısıyla, z = 0, z-n0X(z)’nin

kutbu olabilir. Bu durumda x[n-n0]’ın ROC’si orijin hariç R’dir.

n0<0 ise, z-n0 ile çarpımdan dolayı, z = 0’da sıfırlar oluşur ve bunlar X(z)’nin z =

0’daki kutuplarını götürebilir. Dolayısıyla, z = 0, z-n0X(z)’nin sıfırı olabilir. Bu

durumda x[n-n0]’ın ROC’si sonsuz hariç R’dir.

)(][ )( ][ 0

0 zXznnxzXnxnZZ

n

nznnxnnxZ ][]}[{ 00

)(][][]}[{ 000 )(

0 zXzzuxzzuxnnxZn

u

un

u

nu


z-uzayında ölçekleme:

İspat:

z, X(z)’nin yakınsaklık bölgesi içindeyse, |z0|z, X(z/z0)’ın yakınsaklık bölgesi

içindedir. O halde, X(z)’nin yakınsaklık bölgesi R ise, X(z/z0)’ın yakınsaklık bölgesi

|z0|R olur.

Özel durum:

Diğer bir deyişle, bir işareti zaman uzayında belirli frekanslı karmaşık üstel bir işaret

ile çarpmak, z-dönüşümünün üstel işaretin frekansı kadar dönmesine neden olur.

Yani, tüm sıfırlar ve kutuplar üstel işaretin frekansı kadar döner.

0

0 ][ )( ][z

zXnxzzXnx ZnZ

00

00 ][][]}[{z

zX

z

znxznxznxzZ

n

n

n

nnn

zeXnxeezjZnjj 000 ][ 0


Konvolüsyon özelliği:

İspat: Konvolüsyon denkleminden

Zamanda öteleme özelliğinden parantez içindeki terim dir. O halde,

X(z)’in ROC’si R1 ve H(z)’in ROC’si R2 olsun. Y(z) = X(z)H(z) olduğundan, Y(z)’in

var olabilmesi için X(z) ve H(z) var olmalıdır. Yani, Y(z)’in ROC’si R = R1∩R2 olur.

Ancak, çarpımda sıfır-kutup götürmesi olursa Y(z)’in ROC’si R1∩R2 kesişiminden

de büyük olabilir.

)()()( ][*][][ zHzXzYnhnxny

k

knhkxny ][][][

k n

n

n

n

k

zknhkxzknhkxnyZzY ][][][][][)(

)( zHz k

)()(][)()(][)( zHzXzkxzHzHzkxzYk

k

k

k


z-uzayında türev alma:

İspat:

Eşitliğin her iki tarafı –z ile çarpılırsa

X(z)’in ROC’si R olsun. -z ile çarpma ilave bir kutup getirmeyip, sıfır-kutup

götürmesi oluşmaması durumunda z = 0’da bir sıfır oluşturur. Bu nedenle, bir ayrık-

zaman işareti zaman-uzayında n ile çarpmak z-dönüşümünün ROC’sini etkilemez.

Yani, -z(dX(z)/dz)’in ROC’si de R’dir.


dz

zdXznnxzXnx ZZ )(

][ )( ][

n

n

n

n znnxdz

zdXznxzX 1][

)(][)(

][][)(

nnxZznnxdz

zdXz

n

n


Örnek: z-dönüşümü

X(z) =ln(1+az-1), |z| > a

olan işareti, z-uzayında türev alma özelliğinden yararlanarak hesaplayalım.

Çözüm:

]1[)(]1[)(

][

1]1[)(

1][)(

1

)(][

1

1

11

1

1

1

nun

a

n

nuaanx

az

aznuaa

az

anuaa

az

az

dz

zdXznnx

nn

Zn

Zn

Z


Örnek: z-dönüşümü

olan işareti, z-uzayında türev alma özelliğinden yararlanarak hesaplayalım.

Çözüm:

21

1

1

1

11

1][

1

1][

az

az

azdz

dznuna

aznua

Zn

Zn

az

az

azzX

,1

)(21

1

Özellik İşaret z-dönüşümü ROC

Doğrusallık En az R1 ∩ R2

Zamanda öteleme Orijin dahil veya hariç R

z-uzayında

ölçekleme

R

z0R

|a|R

Zamanda tersine

çevirme

1/R

Zamanda

ölçekleme

R1/k

][

][][

2

1

nx

nxnx

)(

)(

)(

2

1

zX

zX

zX

][][ 21 nbxnax )()( 21 zbXzaX

][ 0nnx )(0 zXz

n


2

1

R

RR

][0 nxenj

)( 0 zeXj

][0 nxzn

0z

zX

][nxan)( 1zaX

][-nx )( 1zX

rkn

rknrxnx k

,0

],[][)(

)( kzX

Özellik İşaret z-dönüşümü ROC

Eşlenik alma R

Konvolüsyon En az R1 ∩ R2

Fark alma En az R ∩ (|z| > 0)

Toplama En az R ∩ (|z| > 1)

z-uzayında türev

alma

R

İlk Değer Teoremi

n < 0 için x[n]=0 ise


][* nx )( ** zX

][*][ 21 nxnx )()( 21 zXzX

]1[][ nxnx )()1( 1 zXz

n

k

kx ][ )()1(

11

zXz

][nnxdz

zdXz

)(

)(lim]0[ zXxz

LTI Sistemlerin z-dönüşümü Kullanılarak İncelenmesi

• X(z), Y(z) ve H(z), bir LTI sistemin sırasıyla girişinin, çıkışının ve impuls yanıtının

z-dönüşümleri olmak üzere, konvolüsyon özelliğinden Y(z) = H(z) X(z) olduğunu

görmüştük. H(z)’ye sistemin TRANSFER FONKSİYONU denir.

• Bir LTI sistemin çoğu özelliği, transfer fonksiyonunun kutupları, sıfırları ve

yakınsaklık bölgesiyle ilişkilidir.

• Bir sistem nedensel ise n<0 için h[n]=0 olup impuls yanıtı sağ taraflıdır. O halde,

H(z)’nin ROC’si z-düzleminde bir çemberin dışından sonsuza doğru uzanmalıdır.

• Ayrıca, H(z) rasyonel ise, sistemin nedensel olabilmesi için H(z)’nin ROC’si en

dıştaki kutbun dışında ve sonsuzu içeren bir bölge olmalıdır. Yani, z → ∞ limit

durumunda H(z) sonlu olmalıdır. Diğer bir deyişle, H(z)’nin pay polinomunun

derecesi payda polinomunun derecesinden büyük olmamalıdır.


Bir ayrık-zaman LTI sistemin nedensel olabilmesi için gerek ve yeter koşul,

transfer fonksiyonunun yakınsaklık bölgesinin karmaşık z-düzleminde bir

çemberin dışında ve sonsuzu içeren bir bölge olmasıdır.

Rasyonel transfer fonksiyonlu bir ayrık-zaman LTI sistemin nedensel olabilmesi

için gerek ve yeter koşul (a) transfer fonksiyonunun yakınsaklık bölgesi karmaşık

z-düzleminde en dıştaki kutbun dışındaki bir bölge olmasıdır ve (b) H(z)’nin pay

polinomunun derecesinin payda polinomunun derecesinden büyük olmamasıdır.


Örnek: Transfer fonksiyonları aşağıda verilen ayrık-zaman LTI sistemlerin nedensel

olup olmadıklarını belirleyiniz.

(i) (ii)

Çözüm:

(i) ROC hakkında bilgi sahibi olmamamıza rağmen sistemin nedensel olmadığını

söyleyebiliriz çünkü pay polinomunun derecesi payda polinomunun derecesinden

büyüktür.

(ii)

z=1/2, z=2’de iki kutup vardır. Sistem nedenseldir çünkü ROC en dıştaki kutbun

dışına doğrudur ve pay polinomunun derecesi payda polinomununkinden büyük

değildir.

8

1

4

1

2)(

2

23

zz

zzzzH 2:ROC ,

21

1

2

11

1)(

11

zz

z

zH

12

52

52z

212

11

2

52

)(2

2

11

1

zz

z

zz

z

zH


• LTI bir ayrık-zaman sistemin kararlı olabilmesi için impuls yanıtı mutlak

toplanabilir olmalıdır. Bu durumda, h[n]’nin ayrık-zaman Fourier dönüşümü var

olup H(z)’nin ROC’si karmaşık z-düzleminde birim çemberi içermelidir.

• LTI bir ayrık-zaman sistemin nedensel olduğu biliniyorsa, H(z)’nin ROC’si en

dıştaki kutbun dışına doğru olmalıdır. ROC’nin aynı zamanda birim çemberi de

içermesi için, H(z)’nin kutuplarının tümü karmaşık z-düzleminde birim çemberin

içinde olmalıdır.

Bir ayrık-zaman LTI sistemin kararlı olabilmesi için gerek ve yeter koşul, H(z)’nin

ROC’sinin karmaşık z-düzleminde birim çemberi (|z|=1) içermesidir.

Rasyonel transfer fonksiyonlu nedensel bir ayrık-zaman LTI sistemin kararlı

olabilmesi gerek ve yeter koşul H(z)’nin kutuplarının tümünün birim çember

içinde (yani tümünün genliğinin birden küçük) olmasıdır.


Örnek: Transfer fonksiyonları aşağıda verilen nedensel ayrık-zaman LTI sistemlerin

kararlı olup olmadıklarını belirleyiniz.

(i) (ii)

Çözüm:

(i) H(z)’nin z = a’da bir kutbu vardır. Sistemin kararlı olabilmesi için kutup birim

çember içinde olmalıdır. Yani, |a| < 1 ise sistem kararlı, aksi halde kararsızdır.

(ii) H(z)’nin z1 = re jθ ve z2 = re -jθ’ da iki kutbu vardır. |r| < 1 ise, kutuplar birim

çember içinde, aksi halde dışındadır. O halde, sistemin kararlı olabilmesi için, r| < 1

koşulu sağlanmalıdır.

11

1)(

azzH

)cos(21

1)(

221

zrzrzH

• Girişi-çıkış ilişkisi aşağıda verilen ayrık-zaman sistemin transfer fonksiyonunu

bulalım

• Konvolüsyon özelliğinden,

• Fark denkleminin her iki tarafının z-dönüşümü alınır ve z-dönüşümünün zamanda

öteleme özelliği kullanılırsa transfer fonksiyonunu bulunabilir:

M

k

k

N

k

k knxbknya00

][][

)(

)()()()()(

zX

zYzHzHzXzY

N

k

k

k

M

k

k

kM

k

k

k

N

k

k

k

M

k

k

N

k

k

M

k

k

N

k

k

za

zb

zHZXzbzYza

knxZbknyZaknxbZknyaZ

0

0

0

0

0000

)()()(

][][][][

Doğrusal, Sabit Katsayılı Fark Denklemleriyle Tanımlanan

LTI Sistemler


LTI Sistemler

ÖRNEK: Giriş-çıkış ilişkisi aşağıda verilen sistemin transfer fonksiyonu ve impuls

yanıtını bulunuz.

ÇÖZÜM:

H(z)’nın ters z-dönüşümü alınırsa impuls yantı elde edilir.

Ters z-dönüşümü yakınsaklık bölgesine bağlıdır. İki durum vardır

(i) ROC: |z|>1/2, impuls yanıtı sağ taraflı olup

(ii) ROC: |z|<1/2, impuls yanıtı sol taraflı olup

]1[3

1][]1[

2

1][ nxnxnyny

1

1

11

2

11

3

11

)(

)()()(

3

1)()(

2

1)(

z

z

zX

zYzHzXzzXzYzzY

1

1

1

1

1

1

11

2

11

3

1

2

11

1

2

11

3

11

)(][

z

z

z

Z

z

z

ZzHZnh

]1[2

1

3

1][

2

1][

1

nununh

nn

][2

1

3

1]1[

2

1][

1

nununh

nn

Hafta 3:

Doğrusal ve Zamanla Değişmeyen Sistemler

• Ayrık-zaman işaretlerin impuls dizisi cinsinden ifade edilmesi

• Ayrık-zaman LTI sistemlerin konvolüsyon toplamı gösterilimi

• Sürekli-zaman işaretlerin impuls fonksiyonu cinsinden ifade edilmesi

• Sürekli-zaman LTI sistemlerin konvolüsyon integrali gösterilimi


Ayrık-zaman işaretlerin impuls dizisi cinsinden ifade edilmesi

• Doğrusallık ve zamanla değişmezlik özellikleri iki açıdan çok önemlidir: (i) çoğu

fiziksel sistem bu iki özelliğe sahip olup doğrusal ve zamanla değişmeyen (LTI)

sistem olarak modellenebilir, (ii) LTI sistemleri incelemek amacıyla geliştirilmiş

güçlü matematiksel yöntemler (Laplace ve z-dönüşümleri) mevcuttur.

• LTI bir sistemin girişine uygulanan herhangi bir işareti, temel bazı işaretlerin

toplamı cinsinden yazabilirsek, sistemin çıkışı temel işaretlere olan yanıtlarının

toplamına eşit olacaktır.

• Aşağıda gösterileceği gibi, sürekli-zaman işaretleri impuls fonksiyonu, ayrık-

zaman işaretleri ise impuls dizisi cinsinden ifade edilebilir. O halde, sistemin

impulsa olan yanıtı bilindiğinde herhangi bir girişe olan yanıtı hesaplanabilir.

• Sistemin impulsa olan yanıtına İMPULS YANITI denir. Giriş-çıkış ilişkisi ayrık-

zaman durumunda KONVOLÜSYON TOPLAMI, sürekli-zaman durumda ise

KONVOLÜSYON İNTEGRALİ ile verilir.

Ayrık-zaman işaretlerinin impuls cinsinden ifade edilmesi

• Bir ayrık-zaman işaret impulsların toplamı şeklinde düşünülebilir. Aşağıda bir

ayrık-zaman işaretinin [-2, 2] aralığındaki bileşenlerinin impuls dizisi karşılıkları

verilmiştir.

Ayrık-zaman işaretlerinin impuls cinsinden ifade edilmesi

• Şekilden, beş bileşenin toplamının -2 ≤ n ≤ 2 aralığında x[n]’ye eşit olduğu

görülmektedir. Genelleştirme yaparsak, bir ayrık-zaman işaret x[n] impuls dizisi

cinsinden şöyle yazılabilir:

• Yani, herhangi bir ayrık-zaman işaret ötelenmiş impulsların ağırlıklı toplamı olup

ağırlıklar işaretin değerleridir. Örnek olarak, x[n] = u[n] olsun. k < 0 için u[k] = 0

ve k ≥ 0 için u[k]=1 olduğundan, daha önce tartıştığımız ilişki elde edilir:

][][

...]3[]3[]2[]2[]1[]1[

][]0[]1[]1[]2[]2[]3[]3[...][

knkx

nxnxnx

nxnxnxnxnx

k

0

][][k

knnu

Ayrık-zaman LTI sistemlerin konvolüsyon toplamı gösterilimi

• Bir ayrık-zaman LTI sistemin keyfi bir x[n] girişine olan yanıtını bulmaya

çalışalım. Girişi,

şeklinde yazabilriz.

• Sistemin [n-k]’ya olan yanıtını hk[n] ile belirtelim. Sistem doğrusal olduğundan,

sistemin x[n]’ye yanıtı

olacaktır.

• O halde, ayrık-zaman LTI sistemin - < k < için [n-k]’ya olan yanıtları

(hk[n]’ler!) biliniyorsa, sistemin herhangi bir girişe olan yanıtı hesaplanabilir.

][][][ knkxnxk

][][][ nhkxny kk


• Sistem zamanla değişmez olduğundan, hk[n] = h0[n-k] ilişkisi geçerli olmalıdır.

• Çünkü, hk[n] sistemin [n-k]’ya; h0[n] ise [n]’ye olan yanıtıdır. Zamanla

değişmeyen bir sistemde giriş hangi miktarda ötelenmişşe çıkışda aynı miktarda

ötelenir. Girişler arasında k kadar öteleme olduğuna göre, çıkışlar arasında da k

kadar öteleme , yani hk[n] = h0[n-k] olamlıdır.

• Notasyon kolaylığı için h[n] = h0[n] yazacak ve h[n]’ye sistemin İMPULS

YANITI (sisteme [n] uygulandığında elde edilen yanıt) diyeceğiz.

• Sonuç olarak, bir ayrık-zaman LTI sistemin impuls yanıtı h[n] ve sisteme

uygulanan giriş x[n] ise, sistemin yanıtı

ilişkisinden hesaplanır. Bu ilişkiye KONVOLÜSYON TOPLAMI denir ve kısaca

y[n] = x[n] * h[n] şeklinde gösterilir.

][ ][][ knhkxnyk


ÖRNEK: Bir ayrık-zaman LTI sistemin impuls yanıtı h[n] ve sisteme uygulanan

giriş aşağıda verilmiştir. Sistemin çıkışını hesaplayınız.

ÇÖZÜM: Giriş işaretinde sadece iki terim sıfır olduğundan konvolüsyon toplamı iki

terimin toplamından oluşur:

Bu örnek için, impuls yanıtı 0.5 ile çarpılır, 1 birim sağa ötelenip 2 ile çarpılır. İki

işlemden elde edilen sonuçların toplamı çıkışa eşit olur. İlgili işlemler ve sonuç

aşağıda verilmiştir.

]1[2][5.0]1[]1[]0[]0[][ nhnhnhxnhxny



• Giriş ve/veya impuls yanıtı sonsuz değer aldığında konvolüsyon toplamı etkin bir

şekilde hesaplanmalıdır. Çıkışın herhangi bir n anındaki değerinin konvolüsyon

toplamından hesaplandığını hatırlayınız:

• İlk önce, x[k] ve h[n-k] işaretleri k’nın fonksiyonu olarak çizilir. Bu iki fonksiyon

çarpılarak g[k] = x[k] h[n-k] dizisi elde edilir.

• Daha sonra, g[k] dizisi tüm k değerleri üzerinden toplanarak y[n] bulunur.

• Çıkışı bulmak için bu işlem tüm n değerleri için tekrarlanır.

• Bu işlem yapılırken h[n-k]’nın h[k]’nın zaman tersine çevrilmiş ve n kadar

ötelenmiş hali olduğu hatırda tutulmalıdır.

][ ][][ knhkxnyk


ÖRNEK: Bir ayrık-zaman LTI sistemin impuls yanıtı h[n] = u[n] ve sisteme

uygulanan giriş, 0 < α < 1 olmak üzere x[n] = αnu[n] olarak verilmiştir. Sistemin

çıkışını hesaplayınız.


ÇÖZÜM: Aşağıda x[k] ve h[n-k] n < 0 ve n ≥ 0 için çizilmiştir.


• Şekillerden n < 0 ise, x[k] ile h[n-k] dizilerinin kesişmeyip x[k] h[n-k] çarpımının

sıfıra eşit olduğu görülmektedir. O halde, n < 0 ise y[n] = 0.

• n ≥ 0 ise, diziler 0 ≤ k ≤ n aralığında kesiştiğinden x[k] h[n-k] çarpımı şöyle olur:

• y[n]’yi belirlemek için konvolüsyon toplamı hesaplanmalıdır.

halde aksi,0

0,][][

nkknhkx

k

1

1

][][][][][

1

0

0

nn

k

k

n

kk

knhkxknhkxny


Özetle,

0,0

0,1

1][

1

n

nny

n


ÖRNEK: Bir ayrık-zaman LTI sistemin impuls yanıtı h[n] ve sisteme uygulanan

giriş x[n] aşağıda verilmiştir. Sistemin çıkışını hesaplayınız.

halde aksi,0

60,][

halde aksi,0

40,1][

nnh

nnx

n

Aralık 1: n < 0.

Aralık 2: 0 ≤ n < 4

Aralık 3: 4 < n ≤ 6

Aralık 4: 6 < n ≤ 10

Aralık 5: n > 10.

• ÇÖZÜM: x[k]h[n-k] çarpımı 5 aralıkta farklı değerler aldığından, çıkış her

aralıkta ayrı ayrı hesaplanmalıdır.

• Aralık 1 (n < 0): x[k]h[n-k] çarpımı sıfır olup y[n] = 0.

• Aralık 2 (0 ≤ n < 4):

halde aksi,0

0,][][

nkknhkx

kn

n

k

nn

r

rknny0

1

0 1

1][


• Aralık 3 (4 < n ≤ 6):

• Aralık 4 (6 < n ≤ 10):

• Aralık 5 (n ≥ 10): x[k]h[n-k] çarpımı sıfır olup y[n] = 0.

halde aksi,0

46,][][

knknhkx

kn

4

6

74

1

116

10

0

1610

0

6

11

1][

nk

nnrn

r

n

r

rknny

halde aksi,0

40,][][

kknhkx

kn

11

1 ][

14

1

514

0

4

0

1nn

n

k

k

k

nknny



Özetle,

10,0

106,1

64,1

40,1

1

0,0

][

74

14

1

n

n

n

n

n

ny

n

nn

n

Sürekli-zaman işaretlerin impuls cinsinden ifade edilmesi

Bir sürekli-zaman işareti ötelenmiş darbelerin toplamı biçiminde yaklaşık olarak

yazılabilir. Aşağıda bir sürekli-zaman işaretin -Δ ≤ t ≤ Δ aralığındaki darbe

yaklaşıklığı çizilmiştir.


• Δ(t) fonksiyonu aşağıdaki şekilde tanımlansın:

• Sürekli-zaman işaret yaklaşık olarak şöyle yazılabilir:

• Δ küçüldükçe yaklaşıklık iyileşir ve Δ 0 limit durumunda x(t) elde edilir. Yani,

halde aksi,0

0,1

)(t

t

k

ktkxtx )()()(ˆ

k

ktkx

xtx

)()(lim

(t)ˆlim)(

0

0


• Δ 0 limit durumunda toplama integrale eşit olur (Riemann integral tanımını

hatırlayınız!).

• Ayrıca, Δ 0 limit durumunda Δ(t) fonksiyonu (t)’ye eşit olur. O halde,

• Örnek olarak, x(t) = u(t) olsun. t < 0 için u(t) = 0 ve t ≥ 0 için u(t) = 1 olduğundan

u(t) ile (t) arasında daha önce verdiğimiz aşağıda verilen ilişki elde edilir:

dtxtx )()()(

0

)(

)()()(

dt

dtutu

Sürekli-zaman LTI sistemlerin konvolüsyon integrali gösterilimi

• Bir sürekli-zaman LTI sistemin keyfi bir girişine olan yanıtını bulmaya

çalışalım. Girişi,

şeklinde yazabiliriz.

• Sistemin Δ(t-kΔ) ’ya olan yanıtını ile belirtelim. Sistem doğrusal

olduğundan, ’ye yanıtı aşağıdaki eşitlikle verilir.

• Δ 0 limit durumunda ve doayısıyla olur. Yani,

)(ˆ tx

k

ktkxtx )()()(ˆ

)(ˆ thk

)(ˆ tx

kk tkxty )()()(ˆ

)(ˆ)( txtx )(ˆ)( tyty

dtxtkx

tyty

kk )()()()(lim

)(ˆlim)(

0

0


• Sistem zamanla değişmez olduğundan

h (t)= h0(t- )

ilişkisi geçerli olmalıdır.

• Notasyon kolaylığı için h(t) = h0(t) yazacak ve h(t)’ye sistemin İMPULS YANITI

(sisteme (t) uygulandığında elde edilen yanıt) diyeceğiz.

• Sonuç olarak, bir sürekli-zaman LTI sistemin impuls yanıtı h(t) ve sisteme

uygulanan giriş x(t) ise, sistemin yanıtı

ilişkisinden hesaplanır. Bu ilişkiye KONVOLÜSYON INTEGRALİ denir ve

kısaca y(n) = x(t) * h(t) şeklinde gösterilir.

dthxty )()()(


• Çıkışın herhangi bir t anındaki değerinin konvolüsyon integralinden

hesaplandığını hatırlayınız:

• İlk önce, x( ) ve h(t- ) işaretleri ’nun fonksiyonu olarak çizilir. Bu iki fonksiyon

çarpılarak g( ) = x(t)h(t- ) işareti elde edilir.

• Daha sonra, g( ) işaretinin değerleri üzerinden inetgrali alınarak y(t) bulunur.

• Çıkışı bulmak için bu işlem tüm t değerleri için tekrarlanır.

• Bu işlem yapılırken h(t- )’nın h( )’nun zaman tersine çevrilmiş ve t kadar

ötelenmiş hali olduğu hatırda tutulmalıdır.

dthxty )()()(


ÖRNEK: Bir sürekli-zaman LTI sistemin impuls yanıtı h(t) ve sisteme uygulanan

giriş x(t) aşağıda verilmiştir. Sistemin çıkışını hesaplayınız.

)()(

0 ),()(

tuth

atuetx at

ÇÖZÜM: Aşağıda x( ) ve h(t- ) işaretleri t < 0 ve t ≥ 0 için çizilmiştir.

• Şekillerden t < 0 ise, x( ) ve h(t- ) işaretlerinin kesişmeyip x( )h(t- ) çarpımının

sıfıra eşit olduğu görülmektedir. O halde, t < 0 ise y(t) = 0.

• t ≥ 0 ise, işaretler 0 ≤ ≤ t aralığında kesiştiğinden x( )h(t- ) çarpımı şöyle olur:

• y(t)’yi belirlemek için konvolüsyon integrali hesaplanmalıdır.

• Özetle,

aethx )()(

)1(11

)( |00

attt

aa ea

ea

dety

)()1(1

)( tuea

ty at


ÖRNEK: Bir sürekli-zaman LTI sistemin impuls yanıtı h(t) ve sisteme uygulanan

giriş x(t) aşağıda verilmiştir. Sistemin çıkışını hesaplayınız.

halde aksi,020,

)( halde aksi,0

0,1)(

Tttth

Tttx

Aralık 1: t < 0.

Aralık 2: 0 ≤ t < T

Aralık 3: T ≤ t < 2T

Aralık 4: 2T < 4 ≤ 3T

Aralık 5: t > 3T


• ÇÖZÜM: x( )h(t- ) çarpımı 5 aralıkta farklı değerler aldığından, çıkış her aralıkta ayrı

ayrı hesaplanmalıdır.

• Aralık 1 (t < 0): x( )h(t- ) çarpımı sıfır olup y(t) = 0.

• Aralık 5 (t > 3T): x( )h(t- ) çarpımı sıfır olup y(t) = 0.

• Diğer üç aralıkta x( )h(t- ) çarpımı aşağıda çizilmiştir.


Çıkışı bulmak için x( )h(t- ) çarpımının ilgili aralıklardaki integrali hesaplanır. Sonuç ve

çıkış işaretinin grafiği aşağıda verilmiştir.

Tt

TtTTTtt

TtTtTt

Ttt

t

ty

3,0

32,2

3

2

1

2,3

1

02

10,0

)(

22

2

2

Hafta 4:

Doğrusal ve Zamanla Değişmeyen Sistemler

1 4.Hafta

• LTI sistemlerin özellikleri

• Diferansiyel denklemlerle tanımlanmış sürekli-zaman nedensel LTI sistemler

• Fark denklemleriyle tanımlanmış ayrık-zaman nedensel nedensel LTI sistemler

• Tekil fonksiyonlar


2 4.Hafta

LTI Sistemlerin Özellikleri

• Konvolüsyon işlemi, değişme özelliğine sahiptir. Matematiksel olarak,

• Bu ilişkiler, basit değişken dönüşümleriyle ispatlanabilir. Örneğin, ayrık-zaman

durumunda r = n-k değişken dönüşümü yapılırsa

• Özetle, bir LTI sistemde giriş ve impuls yanıtının rolleri değiştirilirse çıkış aynı

kalmaktadır:

dtxhtxththtx

knxkhnxnhnhnxk

)()()(*)()(*)(

][][][*][][*][

k r

nxnhrhrnxknhkxnhnx ][*][][][][][][*][

3 4.Hafta


• Konvolüsyon işlemi, dağılma özelliğine sahiptir. Matematiksel olarak,

• Bu ilişkileri ispatlamak zor değildir. Sürekli-zaman durumu için ilişkilerin blok

diyagram yorumu aşağıda verilmiştir:

• Özetle, paralel olarak bağlanmış LTI sistemler, impuls yanıtı parelel bağlamadaki

LTI sistemlerin impuls yanıtlarının toplamına eşit olan tek bir sisteme eşdeğerdir.

)(*)()(*)()]()([*)(

][*][][*][])[][(*][

2121

2121

thtxthtxththtx

nhnxnhnxnhnhnx

4 4.Hafta


• Konvolüsyon işlemi, birleşme özelliğine sahiptir. Matematiksel olarak,

• Ayrık-zaman durumu için ilişkilerin blok diyagram yorumu aşağıda verilmiştir:

• Özetle, seri olarak bağlanmış iki LTI sistem, impuls yanıtı seri bağlamadaki

sistemlerim impuls yanıtlarının konvolüsyonuna eşit olan tek bir sisteme

eşdeğerdir.

)(*)](*)([)](*)([*)(

][*])[*][(])[*][(*][

2121

2121

ththtxththtx

nhnhnxnhnhnx

5 4.Hafta


• Konvolüsyon işlemi değişme özelliğine sahip olduğundan iki işaretin

konvolüsyonu herhangi bir sırada yapılabilir. O halde, değişme ve birleşme

özelliklerinden

• Sonuç olarak, seri olarak bağlanmış LTI sistemlerde sistemlerin sırası

değiştirildiğinde toplam yanıtın değişmeyeceği anlaşılmaktadır. Yani,

6 4.Hafta


• Hafızasız sistem tanımından, LTI sistemlerin hafızasız olabilmesi için ayrık-zaman

durumunda n ≠ 0 için h[n] = 0, sürekli-zaman durumunda ise t ≠ 0 için h(t) = 0

olmalıdır. Yani,

• K =1 durumunda konvolüsyon toplamı ve konvolüsyon integrali aşağıdaki

sonuçları verecektir:

• Toplama işleminde, herhangi bir sayının sıfır ile toplamı kendine; çarpma

işleminde herhangi bir sayının 1 ile çarpımı kendine eşittir. Konvolüsyon

işleminde ise, bir işaretin impuls ile konvolüsyonu kendine eşit olmaktadır. O

halde, konvolüsyon işleminin BİRİM OPERATÖRÜ impuls fonksiyonudur.

)()(

][][

tKth

nKnh

)()(*)( )()()(*)(

][][*][ ][][][][*][

txttxdtxttx

nxnnxnxknkxnnxk

7 4.Hafta


• Herhangi bir LTI sistemin tersinin de LTI olacağı gösterilebilir.

• Bir işaret, sisteme uygulanıp sistemin çıkışı da ters sisteme uygulandığında tekrar

işaret geri elde edilir. Bu gözlem, sürekli-durumda aşağıda özetlenmiştir:

• O halde, sistem ve tersinin seri bağlanmasından oluşan toplam sistemin impuls

yanıtı impuls fonksiyonuna eşit olmalıdır. Sistemin ve tersinin impuls yanıtları

sırasıyla h ve h1 ile gösterilsin. İmpuls yanıtları arasındaki ilişki

eşitlikleriyle verilir.

][][*][

)()(*)(

1

1

nnhnh

tthth

8 4.Hafta


ÖRNEK: Bir sürekli-zaman LTI sistemin girişi ile çıkışı arasındaki ilişki y(t) = x(t-t0)

ile verilmektedir. Ters sistemin impuls yanıtını bulunuz.

ÇÖZÜM: Sistemin impuls yanıtını bulmak için girişine δ(t) uygulanmalıdır. O halde,

Sisteme x(t) uygulandığında çıkış

y(t) = x(t) * h(t) = x(t) * δ(t-t0) = x(t-t0).

olup sistem girişi t0 kadar ötelemektedir. Çıkış, ters yönde t0 kadar ötelenirse giriş

geri elde edilecektir. Yani, ters sistemin impuls yanıtı h1(t) = δ(t+t0) olmalıdır.

Yanıtımızı kontrol edelim:

)()( 0ttth

)(

)(

)(*)()(*)(

00

001

t

ttt

ttttthth

9 4.Hafta


• Bir LTI sistemin nedensel olabilmesi (çıkışın girişin gelecekteki değerlerine bağlı

olmaması) için impuls yanıtı bağımsız değişkenin negatif değerleri için sıfır

olmalıdır. Yani,

• O halde, nedensel bir LTI sistemde giriş belirli bir ana kadar sıfır ise çıkış da o ana

kadar sıfır olacaktır.

• Nedensel LTI sistemler için konvolüsyon denklemleri aşağıdaki gibi olur:

0. t,0

0n ,0][

h(t)

nh

t

k

n

k

dtxhdthxty

knxkhknhkxny

0

0

)()()()()(

][][][][][

10 4.Hafta


• Bir LTI sistemin kararlı olabilmesi için impuls yanıtının sağlaması gereken koşulu

ayrık-zamanda çıkaralım. Sürekli-zamanda adımlar benzer olduğundan sadece

sonuç verilecektir.

• B bir sabit olmak üzere, impuls yanıtı h[n] olan sistemin girişine tüm n değerleri

için |x[n]| < B koşulunu sağlayan bir herhangi bir giriş uygulandığında çıkışın

genliği konvolüsyon toplamı kullanılarak bulunabilir:

• Sonsuz tane sayının toplamının mutlak değeri, sayıların mutlak değerlerinin

toplamından küçük (veya eşit) ve iki sayının çarpımının mutlak değeri sayıların

mutlak değerlerinin çarpımına eşit olduğundan

k

knxkhny ][][][

k

knxkhny |][| |][|][

11 4.Hafta


• En son toplamada, girişin genliği tüm anlarda B’den küçük olduğundan, girişin

genliği yerine B yazılırsa toplamanın değeri daha fazla büyüyeceğinden

• Son eşitsizlikten, çıkışın sonlu ve dolayısıyla sistemin kararlı olabilmesi için

impuls yanıtının mutlak toplanabilir olması gerektiği sonucu çıkmaktadır:

• Benzer şekilde, bir sürekli-zaman LTI sistemin kararlı olabilmesi için impuls

yanıtının mutlak integrallenebilir olması gerektiği gösterilebilir:

k

khBny ][][

k

kh ][

dtth )(

12 4.Hafta


ÖRNEK: İmpuls yanıtları aşağıda verilen sistemlerin kararlılığını belirleyiniz.

(a) h[n] = δ(n-n0), (b) h(t) = δ(t-t0), (c) h[n] = u(n), (d) h(t) = u(t).

ÇÖZÜM:

(a) Sistem kararlıdır çünkü

(b) Sistem kararlıdır çünkü

(c) Sistem kararsızdır çünkü

(d) Sistem kararsızdır çünkü

nn

nnnh 1][][ 0

1)()( 0 dtttdtth

nn

nunh ][][

dttudtth )()(

13 4.Hafta


• LTI sistemlerin davranışını belirlemek için BİRİM BASAMAK YANITI (sisteme

birim basamak uygulandığında elde edilen yanıt) da kullanılabilir. Bu nedenle,

impuls yanıtı ile birim basamak yanıtı arasındaki ilişkiyi bulmak faydalı olabilir.

• Ayrık-durumda sistemin birim basamak yanıtını s[n] ile gösterelim. h[n] ile s[n]

arasındaki ilişki konvolüsyon toplamı kullanılarak belirlenebilir:

• Yukarıdaki ilişki eşdeğer olarak , h[n] = s[n] - s[n-1] şeklinde de yazılabilir.

• Sürekli-durumda h(t) ile s(t) arasındaki ilişki konvolüsyon integralinden bulunur:

k

n

k

khknukhns ][][][][

)()(

)(

)()()()(

' tsdt

tdsth

dhdtuhtst

14 4.Hafta

Diferansiyel Denklemlerle Tanımlanmış Nedensel LTI Sistemler

• y(t) çıkış, x(t) giriş olmak üzere, bir sürekli-zaman sisteminde giriş-çıkış ilişkisi

aşağıdaki gibi olsun:

• Diferansiyel denklem giriş ile çıkış arasında bir kısıt vermektedir, ancak bu kısıt

çözüm için yeterli değildir. Çözüm için başlangıç koşulları da belirtilmelidir.

• Bu derste, nedensel sürekli-zaman LTI sistemleri tanımlamada diferansiyel

denklemler kullanacağız. Nedensel LTI sistemler için başlangıç koşulları özel bir

şekildedir.

• Diferansiyel denklemi, K gerçel bir sayı olmak üzere x(t) = K e3t u(t) girişi için

çözelim. y(t), özel (yp(t)) ve homojen çözümün (yh(t)) toplamına eşittir:

)()(2)(

txtydt

tdy

)()()( tytyty hp

15 4.Hafta


• Özel çözüm diferansiyel denklemi sağlayan bir çözüm, homojen çözüm ise giriş

sıfırken diferansiyel denklemin çözümüdür.

• Özel çözümün girişle aynı forma sahip olduğu ancak parametrelerinin bilinmediği

varsayılır. Yani, A bilinmeyen bir sabit olmak üzere yp(t) = Ae3t. Çözüm,

diferansiyel denklemde yerine konulursa:

• Homojen çözümün, B ve s sabitler olmak üzere yh(t) = Best şeklinde olduğu

varsayılır. yh(t) diferansiyel denklemde yerine konulursa, aşağıdaki sonuç bulunur:

• s = -2 olmalıdır ve homojen çözüm herhangi bir B için Be-2t’dir. Sonuç olarak,

tttt eK

tK

AtKeAeAe 3

p

333

5)(y ,

5 0 ,23

0)2(2 seBesBe ststst

.0 ,5

)()()( 32 teK

Betytyty tt

ph

16 4.Hafta


• Görüldüğü gibi, soruda verilen bilgiler B sabitinin değerini belirlemek için yeterli

değildir.

• Sistemin nedensel olduğu varsayılırsa, t < t0 için x(t) = 0 ise, t < t0 için y(t) = 0

olmalıdır. Örneğimizde t < 0 için x(t) = 0 olup t < 0 için y(t) = 0 olacaktır. Çözüm

t = 0’da hesaplanıp sıfıra eşitlenirse B hesaplanabilir:

• O halde, çözüm tam olarak aşağıdaki gibi olur.

550

KB

KB

)()(5

)( 0),(

5

0,0)( 23

23 tueeK

tytee

Kt

ty tttt

17 4.Hafta


• Genelleştirme yaparsak, N. Dereceden sabit katsayılı diferansiyel denklem

aşağıdaki şekilde verilir:

• Çıkışın en yüksek dereceden türevine diferansiyel denklemin derecesi denir.

Çözüm, homojen ve özel çözümlerin toplamına eşittir.

• Diferansiyel denklem tek başına çözüm için yeterli değildir. Başlangıç koşulları da

belirtilmelidir. Farklı başlangıç koşulları farklı çözümler verir.

• Ancak, sistem nedensel ise t < t0 için x(t) = 0 ise, t < t0 için y(t) = 0 olacağından

başlangıç koşulları bulunabilir ve t > t0 için y(t) hesaplanabilir. İlgili başlangıç

koşulları şöyledir:

M

kk

k

k

N

kk

k

kdt

txdb

dt

tyda

00

)()(

.0)(

...)()(

)(1

0

1

2

0

2

00

N

N

dt

tyd

dt

tyd

dt

tdyty

18 4.Hafta

Fark Denklemleriyle Tanımlanmış Nedensel LTI Sistemler

• N. dereceden sabit katsayılı bir fark denklemi aşağıdaki şekilde verilir:

• Çözüm, homojen ve özel çözümlerin toplamına eşittir.

• Fark denklemi tek başına çözüm için yeterli değildir. Başlangıç koşulları da

belirtilmelidir. Fark denklemi şu şekilde de düzenlenebilir:

• O halde, y[n]’nin hesaplanabilmesi için y[n-1], y[n-2], …, y[n-N] başlangıç

koşullarının bilinmesine gerek vardır.

• Sürekli durumda olduğu gibi sistemin nedensel olduğu biliniyorsa başlangıç

koşulları belirlenebilir ve fark denklemi çözülebilir.

M

k

k

N

k

k knxbknya00

][][

M

k

N

k

kk knyaknxba

ny0 10

][][1

][

19 4.Hafta


• Fark denkleminin, N’nin sıfırdan farklı olup olmamasına göre iki şekli vardır:

• N = 0 durumunda, çıkış sadece girişe bağlı olup çözüm için başlangıç koşulları

gerekli değildir. Bu tür denklemlere YİNELEMELİ OLMAYAN denklem denilir.

• Yinelemeli olmayan fark denkleminde x[n] = δ[n] yapılırsa sistemin impuls yanıtı

elde edilir:

• İmpuls yanıtı, sonlu sayıda değer aldığından yinelemeli olmayan fark

denklemleriyle tanımlanan LTI sistemlere SONLU İMPULS YANITLI (FIR)

sistem denilir.

.0 ],[y[n]

,0 ,][][1

][

0 0

0 10

Nknxa

b

Nknyaknxba

ny

M

k

k

M

k

N

k

kk

halde aksi,0

0,][

0

Mna

b

nhn

20 4.Hafta


• .N ≠ 0 durumunda, çıkış hem giriş hem çıkışa bağlı olup için başlangıç koşullarına

gerek vardır. Bu tür fark denklemlerine YİNELEMELİ fark denklemi denilir.

• ÖRNEK: Giriş-çıkış ilişkisi aşağıdaki fark denklemiyle verilen ayrık-zaman

nedensel LTI sistemi ele alalım:

• Görüldüğü gibi, çıkışın herhangi bir andaki değerinin hesaplanabilmesi için bir

önceki değeri bilinmelidir.

• x[n] = Kδ[n] olsun. n < 0 için giriş sıfır olduğundan n < 0 için y[n] = 0 olmalıdır.

Bu nedenle, n < 0 için çıkışın hesaplanmasına gerek yoktur.

• n ≥ 0 için başlangıç koşulu olarak y[-1] = 0 seçip hesaplamalara başlayabiliriz.

]1[2

1][][ nynxny

21 4.Hafta


Knynxny

Kyxy

Kyxy

Kyxy

n

2

1]1[

2

1][][

.

.

2

1]1[

2

1]2[]2[

2

1]0[

2

1]1[]1[

]1[2

1]0[]0[

2

• K = 1 için x[n] = δ[n] olup sistemin impuls yanıtı olur.

• İmpuls yanıtı, sonsuz sayıda değer aldığından yinelemeli fark denklemleriyle

tanımlanan LTI sistemlere SONSUZ İMPULS YANITLI (IIR) sistem denilir.

][2

1][ nunh

n

22 4.Hafta

Birinci DerecedenFark Denklemleriyle Tanımlanmış Ayrık-Zaman

LTI Sistemlerin Blok Diyagram Gösterilimi

• Aşağıdaki fark denklemiyle tanımlanan basit bir ayrık-zaman nedensel LTI sistemi

ele alalım:

• Bu sisteme karşılık gelen blok diyagram gösterilimini elde etmek için toplama, bir

sabitle çarpma ve birim gecikme operatörleri aşağıdaki şekilde tanımlansın.

]1[][][ naynbxny

23 4.Hafta

Birinci Dereceden Fark Denklemleriyle Tanımlanmış Ayrık-Zaman


• O halde, fark denklemi aşağıda verilen blok diyagramla temsil edilebilir.

• Blok diyagram, sistemin gerçekleştirilebilmesi için hafıza elemanına ve başlangıç

koşullarının bilinmesine gerek olduğunu göstermektedir.

• Birim gecikme elemanı hafıza görevini görüp hesaplamalar için gerekli bir önceki

çıkış değerini saklamaktadır. Sistem nedensel ise, giriş uygulanıncaya kadar hafıza

elemanında saklanan değer sıfırdır.

24 4.Hafta

Birinci Dereceden Diferansiyel Denklemlerle Tanımlanmış Sürekli-Zaman


• Aşağıdaki fark denklemiyle tanımlanan basit bir ayrık-zaman nedensel LTI sistemi

ele alalım:


sabitle çarpma ve türev alma operatörleri aşağıdaki şekilde tanımlansın.

)()(1

)()()()(

tbxdt

tdy

atytbxtay

dt

tdy

25 4.Hafta



• O halde, diferansiyel denklem aşağıda verilen blok diyagramla temsil edilebilir.

• Türevin gerçekleştirilmersi zordur ve türev işlemi gürültü ile hatalara karşı

oldukça duyarlıdır.

• İntegral işleminin gerçekleştirilmesi ise kolaydır. Bu nedenle blok diyagram

gösteriliminde integratör kullanılması tercih edilir.

26 4.Hafta



• Diferansiyel denklemin her iki tarafının integrali alınırsa eşdeğer gösterilim elde

edilir:


sabitle çarpma ve integral alma işlemleri gereklidir. İntegratör tanımı ve sistemin

blok diyagram gösterilimi aşağıda verilmiştir:

daybxtytaytbxdt

tdy t

)()()()()(

)(

27 4.Hafta



• İntegratörler, işlemsel kuvvetlendiriciler kullanılarak gerçekleştirilebilir.

• Bu nedenle, sürekli-zaman sistemlere karşılık gelen blok diyagram gösterilimi

modern analog hesaplayıcılara temel teşkil etmektedir.

• İntegratör hafıza görevini görüp hesaplamalar için gerekli başlangıç değerini

saklamaktadır. Bunu görmek için, integral işleminin aşağıdaki şekilde yeniden

düzenlenebileceğine dikkat ediniz:

• İntegratör y(t0) başlangıç değerini saklamaktadır.

• Hem ayrık hem de sürekli durumda yüksek dereceden sistemlere karşılık gelen

blok diyagramlar benzer şekilde elde edilebilir.

daybxtytydaybxtyt

t

t

0

)()()()( )()()( 0

28 4.Hafta

Hafta 5:

Periyodik İşaretlerin Fourier Serisi Gösterilimi

• LTI sistemlerin karmaşık üstel işaretlere yanıtı

• Sürekli-zaman periyodik işaretlerin Fourier serisi gösterilimi

• Fourier serisinin yakınsaklığı

• Sürekli-zaman Fourier serisinin özellikleri


LTI Sistemlerin Karmaşık Üstel İşaretlere Yanıtı

• LTI sistemlerin analizinde faydalı bir yaklaşım, işaretleri aşağıdaki iki özelliği

sağlayan temel işaretlerin doğrusal kombinasyonu şeklinde temsil etmektir:

1. Temel işaretler, geniş ve faydalı bir işaret kümesini oluşturabilmelidir.

2. Bir LTI sistemin temel bir işarete yanıtı basit olmalıdır. Böylece, LTI

sistemin bir girişe yanıtı, basit yanıtların doğrusal kombinasyonu olacaktır.

• Bu iki özelliği, hem sürekli hem de ayrık durumda karmaşık üstel işaretler

sağlamaktadır.

• LTI bir sistemin çıkışı, girişin karmaşık bir sabitle çarpımına eşitse girişe

SİSTEMİN ÖZFONKSİYONU, karmaşık sabite SİSTEMİN ÖZDEĞERİ denilir.

• s ve z karmaşık sayılar olmak üzere, aşağıda gösterildiği gibi sürekli-zamanda est,

ayrık-zamanda zn LTI sistemlerin özfonksiyonudur.

• İmpuls yanıtı h(t) olan bir sürekli-zaman LTI sistemin girişine est uygulandığında

sistemin çıkışı konvolüsyon integralinden hesaplanabilir:

• Eşitliğin sağındaki integralin yakınsadığını varsayalım. İntegralin değeri s’e

bağlıdır ve karmaşık bir sayıdır. İntegralin sonucunu H(s) ile gösterlim:

• O halde, y(t) = H(s)est (çıkış, girişin karmaşık bir sayı ile çarpımına eşittir). Yani,

karmaşık üstel est işaretinin sürekli-zaman LTI sistemlerin özfonksiyonu olduğunu

göstermiş olduk.


dehe

dehdtxhty

sst

ts

)(

)()()()( )(

dehsH s)()(

• Benzer işlemler ayrık-zamanda yapılabilir. İmpuls yanıtı h[n] olan bir ayrık-zaman

LTI sistemin zn girişine olan yanıtı konvolüsyon toplamından hesaplanır:

• Eşitliğin sağındaki toplamanın yakınsadığını varsayalım. Toplamanın değeri z’ye

bağlıdır ve karmaşık bir sayıdır. Toplamanın sonucunu H(z) ile gösterlim:

• O halde, y[n] = H(z)zn (çıkış, girişin karmaşık bir sayı ile çarpımına eşittir). Yani,

karmaşık üstel zn işaretinin ayrık-zaman LTI sistemlerin özfonksiyonu olduğunu

göstermiş olduk.


k

kn

k k

kn

zkhz

zkhknxkhny

][

][][][][

k

kzkhzH ][)(


• İmpuls yanıtı h(t) olan bir sürekli-zaman LTI sisteme üç adet karmaşık üstel

işaretin toplamına eşit olan bir giriş uygulayalım.

• Özfonksiyon özelliğinden, sistemin karmaşık üstel işaretlere yanıtı şöyledir:

• Sistem doğrusal olduğundan, karmaşık üç üstel işaretin toplamından oluşan girişe

olan yanıtı üstel işaretlere olan yanıtlarının toplamına eşittir:

tststseaeaeatx 321

321)(

tsts

tsts

tsts

esHaea

esHaea

esHaea

33

22

11

)(

)(

)(

333

222

111

tststsesHaesHaesHaty 321 )()()()( 332211


• Yukarıdaki sonucu genelleştirebiliriz. Bir sürekli-zaman LTI sistemin girişi x(t),

karmaşık üstel işaretlerin ağırlıklı toplamı (doğrusal kombinasyonu) olsun:

• Doğrusallık ve özfonksiyon özelliklerinden, sistemin çıkışı aşağıdaki gibi olur:

• Benzer şekilde, bir ayrık-zaman LTI sistemin girişi x[n], ayrık-zaman karmaşık

üstel işaretlerin doğrusal kombinasyonu olsun:

• Sistemin çıkışı aşağıdaki gibi olur:

k

tsk

keatx )(

k

tskk

kesHaty )()(

k

nkk zanx ][

k

nkkk zzHany )(][


• GÖZLEM: Bir LTI sistemin girişi karmaşık üstel işaretlerin doğrusal

kombinasyonu ise, çıkışı da aynı üstel işaretlerin doğrusal bir kombinasyonudur.

Çıkış işaretinin gösterilimindeki katsayılar, giriş işaretinin gösterilimindeki

katsayılar ile karmaşık üstel işaretlere karşılık gelen sistem özdeğerlerinin

çarpımına eşittir.

• Bu gözlem, Fourier ve kendisinden sonra gelenlerin herhangi bir işaretin

karmaşık üstel işaretlerin doğrusal kombinasyonu şeklinde nasıl yazılabileceği

hakkında araştırma yapmalarına ön ayak olmuştur.

• Bu ve önümüzdeki haftalar, soruyu sırasıyla sürekli ve ayrık-zaman periyodik

işaretler için yanıtlayacak, daha sonraki haftada periyodik olmayan işaretler

durumunu ele alacağız.

• s ve z herhangi bir karmaşık sayı olabilir. Ancak, Fourier analizinde s ve z sırasıyla

s = j ve z = e j varsayılacaktır. Laplace ve z-dönüşümü konularında s ve z

herhangi bir karmaşık sayıya genelleştirilecektir.


ÖRNEK: Bir sürekli-zaman LTI sistemin girişi ile çıkışı arasındaki ilişki y(t)=x(t-3)

ve sisteme uygulanan giriş x(t) = ej2t olsun. Sistemin çıkışı şöyledir:

Uygulanan giriş bir özfonksiyon olduğundan bu sonucu aslında bekliyorduk. Girişe

karşılık gelen özdeğeri hesaplayalım. Sistemin impuls yanıtının h(t) = (t-3) olduğu

açıktır. O halde,

Örneğimizde s = j2 olduğundan, girişe karşılık gelen özdeğer H(j2) = e-j6 olarak elde

edilir. Görüldüğü gibi çıkış, giriş ile girişe karşılık gelen ödeğerin çarpımına eşittir.

.

tjjtj eeety 26)3(2)(

sss ededehsH 3)3()()(

Sürekli-zaman Periyodik İşaretlerin Fourier Serisi Gösterilimi

• Harmonik ilişkili karmaşık üstel işaretlerin doğrusal kombinasyonu şeklinde

yazılan bir sürekli-zaman işareti ele alalım:

• Harmonik ilişkili üstel işaretlerin herbirinin T ile periyodik olduğunu görmüştük.

O halde, x(t)’de T ile periyodiktir.

• k = 0 için, toplamadaki üstel işaret sabittir. k = 1 için üstel işaretlerin temel

frekansı 0’dır ve bu terimlere TEMEL veya BİRİNCİ HARMONİK bileşenler

denir. k = 2 için üstel işaretlerin temel frekansı 20’dır ve bu terimlere ikinci

harmonik bileşenler denir. Genel olarak, k = N için toplamadaki karmaşık üstel

işaretlere N. HARMONİK bileşenler denir.

• Periyodik bir işaretin yukarıdaki gibi toplama şeklinde ifade edilmesine

FOURİER SERİSİ gösterilimi denir.

k k

tTjkk

tjkk eaeatx /20)(


ÖRNEK: Temel frekansı 2 olan bir sürekli-zaman periyodik işaretin Fourier serisi

gösterilimi aşağıda verilmiştir:

Katsayılar toplamada yerine konularak işaretin analitik ifadesi elde edilebilir:

Euler ilişkisi kullanılarak, işaret trigonometrik fonksiyonlar cinsinden de yazılabilir:

.

3

1 ,

2

1 ,

4

1 ,1

)(

3322110

3

3

2

aaaaaaa

eatxk

tjkk

tjtjtjtjtjtj eeeeeetx 664422

3

1

2

1

4

11)(

)6cos(3

2)4cos()2cos(

2

11)( ttttx

Harmonik bileşenlerin işareti nasıl olusşturduğu aşağıda gösterilmiştir.


• Sürekli-zaman gerçel periyodik işaretler için Fourier serisinin diğer bir gösterilimi

vardır. Gerçel bir işaret için x*(t) = x(t) olduğundan

• Son ifade, Fourier serisi gösterilimi ile karşılaştırılırsa ak = a*-k veya eşdeğer

olarak a*k = a-k sonucu çıkar. Bu sonuçtan yararlanılarak Fourier serisi aşağıdaki

gibi yazılabilir:

k

tjkk

k

tjkk

k

tjkk eaeaeatx 000 **

*

)(

10

1

*0

10

0

00

000

Re2

)(

k

tjkk

k

tjkk

tjkk

k k

tjkk

tjkk

tjkk

eaa

eaeaa

eaeaaeatx


• Son ifadede ak kutupsal koordinatlarda Ak ejk şeklinde yazılırsa aşağıda verilen

eşdeğer trigonometrik gösterilim elde edilir:

• ak kartezyen koordinatlarda Bk + jCk şeklinde yazılırsa aşağıda verilen diğer bir

trigonometrik gösterilim elde edilir:

100

10

)cos(2

Re2)( 0

kkk

k

tjkjk

tkAa

eeAatx k

1000

10

)sin()cos(2

Re2)( 0

kkk

k

tjkkk

tkCtkBa

ejCBatx


• Şimdi de, periyodik bir işaret için Fourier serisi katsayılarının nasıl

hesaplanabileceğini tartışacağız.

• Fourier serisi gösteriliminde, eşitliğin her iki tarafı e-jn0t ile çarpıldıktan sonra

çarpımın [0,T] aralığında integrali alınırsa aşağıdaki ifade elde edilir:

• Köşeli parantez içindeki ifade Euler formülü kullanılarak yeniden düzenlenebilir:

k

T tnkjk

tjnT T

k

tjkk

tjn

dtea

dteeadtetx

][

)(

0

][

0 0

0

000

dttnkjdttnkdteTT Ttnkj

0 00 0 0][

])sin[(])cos[(0


• k n için cos[(k-n)0t] ve sin[(k-n)0t] işaretleri T/|k-n| temel periyodu ile

periyodiktir. İntegralın alındığı aralık T uzunluğunda olup temel periyodun |k-n|

katıdır.

• Sinüs ve kosinüs işaretlerinin bir periyodunda, işaretlerin sıfırın üstünde ve altında

kalan kısımları aynı alana sahip olup bu işaretlerin bir periyod ve dolayısıyla da

bir periyodun tamsayı katı uzunluğundaki bir aralıktaki integrali sıfıra eşittir. k

n için her iki integral sıfıra eşittir.

• k = n için, integrand 1 olup integralin sonucu T’ye eşittir. Özetle,

• O halde, seri gösterilimindeki katsayılar şöyle hesaplanır:

T tnkj

nknkT

dte0

][

,0,

0

T tjn

n dtetxT

a0

0)(1


• Yukarıda bulunan sonucun, T uzunluklu herhangi bir aralık için geçerli olduğuna

dikkat ediniz. T uzunluklu herhangi bir aralık boyunca integral T notasyonu ile

gösterilmek üzere, sürekli-zaman periyodik işaretin Fourier serisine açılımı ve

açılımdaki katsayıların hesabı aşağıdaki eşitliklerde verilmiştir:

• İşaretin seri şeklinde gösterilimine SENTEZ, katsayıların nasıl hesaplanacağını

veren eşitliğe ise ANALİZ denklemi denilir. a0 katsayısı, işaretteki sabit veya DC

bileşen olup işaretin bir periyod boyunca ortalama değeridir:

dtetxT

dtetxT

a

eaeatx

tTjk

T

tjk

Tk

k k

tTjkk

tjkk

)/2(

/2

)(1

)(1

)(

0

0

T

dttxT

a )(1

0


ÖRNEK: Temel periyodu T ve temel frekansı 0 = 2/T olan periyodik kare dalganın

Fourier serisi gösterilimini elde ediniz.

ÇÖZÜM: İşaretin bir periyodunun matematiksel ifadesi şöyledir:

Fourier serisi katsayılarını bulmak için T uzunluklu herhangi bir aralık seçilebilir.

İşaret, t = 0 etrafında simetrik olduğundan aralık olarak –T/2 ≤ t ≤ T/2 seçilmesi

mantıklıdır.

2/||,0

||,1)(

1

1

TtT

Tttx


İlk önce a0’ı belirleyelim.

Diğer katsayılar (ak, k 0) benzer şekilde hesaplanır:

Katsayılar sabit bir T1 ve değişik T değerleri için aşağıda çizilmiştir. Bu örnek için

katsayılar gerçel çıktığından katsayılar için bir grafik yeterli olmuştur. Katsayıların

karmaşık sayı olması halinde, gerçel ve sanal kısımları çizmek için iki grafiğin

gerekli olacağına dikkat ediniz.

T

T

T

T

T T

Tdt

Tdt

Tdttx

Ta

2/

2/

10

1

1

211)(

1

k

Tk

Tk

Tk

j

ee

Tk

dteT

dtetxT

a

TjkTjk

T

T

T

T

tjktjkk

)sin()sin(2

2

2

1)(

1

10

0

10

0

2/

2/

1010

1

1

00



ÖRNEK: Sinüzoidal işaretler için Fourier serisi doğrudan hesaplanabilir. Aşağıda

verilen işaretin Fourier serisi gösterilimini elde edelim.

Çözüm: Euler ilişkisiden işaret karmaşık üstel işaretlerin toplamı şeklinde yazılabilir:

O halde x(t)’nin Fourier serisi katsayıları ifadeye bakılarak doğrudan yazılabilir

)4

2cos()cos(2)sin(1)( 000

ttttx

tjjtjjtjtj

tjtjtjtjtjtj

eeeeej

ej

eeeeeej

tx

0000

000000

24/24/

)4/2()4/2(

2

1

2

1

2

11

2

11

2

1

2

11)(

.3 ,0

)1(4

2 ),1(

4

2

2

11

2

11 ,

2

11

2

11 ,1

4/2

4/2

110

ka

jeajea

jj

ajj

aa

k

jj


Katsayıların genliği ve fazı, k’ya bağlı olarak aşağıda çizilmiştir.

ÖRNEK: Örnekleme bahsinde kullanılacak periyodik impuls dizisininFourier serisi

katsayılarını bulalım.

ÇÖZÜM: İşaret, analiz denkleminde yerine konularak katsayılar hesaplanabilir.

İşaret simetrik olduğundan integral aralığı olarak –T/2 ≤ t ≤ T/2 almak uygundur.

–T/2 ≤ t ≤ T/2 aralığında x(t) = (t) olduğundan,

Not: Yukarıdaki sonucu bulurken şu özelliği kullandık:

k

kTttx )()(

dtetxdtetxT

at

Tjk

T

T

T

tT

jk

k

22/

2/

2

)()(1

Te

Tdtet

Ta T

jkT

T

tT

jk

k

11)(

1 02

2/

2/

2

)0()()(2/

2/fdttft

T

T


Sürekli-zaman Fourier Serisinin Yakınsaklığı

• Kare dalgada süreksizlikler vardır. Halbuki seri gösterilimindeki harmonik ilişkili

karmaşık üstel işaretlerin hepsi süreklidir. Süreksiz bir işaretin sürekli işaretlerle

temsil edilebileceğine şüpheyle bakılmıştır.

• Fourier’in tespitleri dönemin usta matematikçisi Lagranage tarafından veto

edilmiştir. Hatta, dönemin diğer matematikçileri Lacroix, Monge ve Laplace’nin

Fourier’e desteği bile araştırmaların yayınlanması için yeterli olmamıştır.

Fourier’in araştırmaları vefatından sonra yayınlanabilmiştir.

• Fourier serisinin geçerliliğini göstermek için, bir sürekli-zaman periyodik işaretin

sonlu sayıda harmonik ilişkili karmaşık üstel işaretle temsilini ele alalım:

• eN(t) yaklaşıklık hatasını göstersin:

N

Nk

tjkkN eatx 0)(

N

Nk

tjkkNN eatxtxtxte 0)()()()(


• Farklı yaklaşıklıkları birbiriyle karşılaştırabilmek için, yaklaşıklık hatasının

boyutunu veren bir ölçüt kullanmamız gereklidir. Ölçüt olarak, bir periyot

boyunca hatanın enerjisini kullanacağız.

• Hatanın enerjisini minimum yapan katsayıların

olduğu gösterilebilir (ödevlerin birinde bu sonuç ispatlanacaktır!). Yani, hatayı

minimum yapan katsayılar Fourier serisi katsayılarına eşittir. O halde, x(t)’nin

Fourier serisi gösterilimi varsa, N büyüdükçe hata azalır ve N limit

durumunda EN sıfıra eşit olur.

• Şimdi de periyodik bir işaretin hangi koşullar altında Fourier serisi gösterilimine

sahip olacağını belirlemeye çalışalım.

T NN dtteE2

)(

T

tjkk dtetx

Ta 0)(

1


• İki durumla karşılaşmak mümkündür: (i) katsayıların hesaplanmasına imkan veren

integral yakınsamayabilir (bazı katsayılar sonsuz olabilir), (ii) katsayıların hepsi

sonlu olsa bile, bu katsayılar sentez denkleminde yerine konulduğunda elde edilen

seri orijinal işareti vermeyebilir.

• Periyodik bir işaret, bir periyod boyunca sonlu enerjiye sahi, yani

ise, Fourier serisi katsayılarının sonlu olacağı gösterilebilir. Bu durumda, işaret ile

Fourier serisi gösterilimi arasındaki hatanın enerjisi bir periyot boyunca sıfır

olacaktır.

• Bu sonuç, Fourier serisi gösteriliminin işarete eşit olduğu anlamına gelmediğini,

ancak ikisi arasındaki farkta enerji olmadığını belirtmektedir.

• Fiziksel sistemler, işaretin enerjisine yanıt verdiğinden, bu anlamda işaret ile

Fourier serisi gösterilimi eşdeğerdir. İlgilendiğimiz çoğu periyodik işaretin enerjisi

sonlu olup bu işaretler için Fourier serisi gösterilimi mevcuttur.

dttxT

2)(

k

tjkk dtteeatxte

T

20)( )()( 0


• Dirichlet, periyodik bir işaret ile Fourier serisi gösteriliminin, işaretin süreksiz

olduğu noktalar hariç eşit olabilmesi için koşulları belirlemiştir. Süreksizlik

noktalarında seri, işaretin süreksizlik noktasında soldan ve sağdan limitlerinin

ortalamasına eşit olur. Dirichlet koşulları aşağıda verilmiştir.

• Koşul 1: İşaret bir periyod boyunca mutlak integrallenebilir olmalıdır:

• Koşul 2: Bir periyot boyunca, işaretin sonlu sayıda minimum ve maksimumu

olmalıdır.

• Koşul 3: Sonlu bir aralıkta, işarette sonlu sayıda süreksizlik olmalı ve ayrıca

süreksizlik noktalarında işaretin değeri de sonlu olmalıdır.

• Dirichlet koşullarını ihlal eden işaretler örnekler aşağıda verilmiştir.

T

dttx )(

Koşul 1’i ihlal eden bir işaret

Koşul 2’yi ihlal eden bir işaret

Koşul 3’ü ihlal eden bir işaret


• Dirichlet koşullarını sağlamayan işaretlerin fiziksel sistemlerde karşımıza çıkma

olasılığının oldukça az olduğu örneklerden görülmektdir.

• 1898 yılında, Amerikan fizikçi Albert Michelson, sonlu Fourier serisini N = 80’e

kadar hesaplayan bir aygıt (modern adıyla harmonik analizör) geliştirmiştir.

• Michelson, aygıtını pek çok periyodik işaret için test etmiştir. Michelson, kare

dalga için ummadığı sonuçlar elde edince geliştirdiği aygıtın hatalı olabileceğini

düşünmüş ve konuyu matematiksel fizikçi Josiah Gibbs ile paylaşmıştır.

• Gibbs, problemi derinlemesine incelemiş ve düşüncelerini 1899 yılında Michelson

ile paylaşmıştır.

• Periyodik kare dalga, Dirichlet koşullarını sağladığından, sonlu serideki terim

sayısı sonsuza giderken süreksizlik noktalarında serinin limiti süreksizlik

değerinin ortalamasına eşit olmalıdır. Diğer noktalarda, seri işarete yakınsamalıdır.

Çeşitli N değerleri için yaklaşık işaret ve kare dalga aşağıda çizilmiştir.


• Michelson’un Gözlemi: Sonlu seri, süreksizlik noktalarında dalgalanmalar

vermektedir. Dalgalanmaların tepe genliği N’den bağımsızdır ve N arttıkça

azalmamaktadır.

• Gibbs’in Açıklaması: İşaretin süreksiz olmadığı bir t1 noktası süreksizlik noktasına

yaklaştıkça hatanın küçük olması için N büyük olmalıdır. Bu nedenle, N arttıkça

dalgalanmalar süreksizlik noktası etrafında yoğunlaşır ancak dalgalanmanın

maksimum genliği sabit kalır.

• Bu gözleme GIBBS OLAYI denir. Yani, süreksiz bir işaretin sonlu terimli Fourier

serisi yaklaşıklığı yüksek frekanslı dalgalanmalar içerir ve süreksizlik noktasında

işaretten daha yüksek değer alır.

• Sonlu terimli Fourier serisi kullanılacaksa, dalgalanmalardaki toplam enerji ihmal

edilebilecek kadar küçük olacak şekilde yeterince büyük N değeri seçilmelidir.

Limit durumunda, hatasının enerjisi sıfır olur ve Fourier serisi yakınsar.

Sürekli-zaman Fourier Serisinin Özellikleri

• Temel periyodu T ve temel frekansı ω0 = 2π/T olan periyodik bir işaretin Fourier

serisi katsayılarının ak olduğunu belirtmek için


• Sürekli-zaman Fourier serisinin aşağıda verilen özellikleri aracılığıyla, Fourier

serisi katsayıları bilinen işaretler yardımıyla çoğu işaretin Fourier serisi açılımını

elde etmek kolaylaşmaktadır.

• Fourier dönüşümü konusunda da göreceğimiz gibi, çoğu özellik Fourier

dönüşümünün özelliklerinden elde edilebilir. Bu nedenle, sadece en önemli

özellikleri sıralayacak ve yorumlayacağız.

k

FS

atx )(


Özellik 1 (Zamanda öteleme): ise,

İspat: Periyodik bir işaret, zamanda ötelenirse periyodikliği korunur ve periyodu

değişmez. Ötelenmiş y(t) = x(t-t0) işaretinin Fourier serisi katsayıları bk olsun:

İntegralde, τ = t-t0 değişken dönüşümü yapalım. t, uzunluğu T olan bir aralıkta

değişiyorsa τ’da uzunluğu T olan bir aralıkta değişecektir. O halde,

Yorum: olduğundan, .

(Periyodik bir işaret ötelendiğinde Fourier serisi katsayılarının genliği değişmez!)

k

FS

atx )( k

tTjk

k

tjkFS

aeaettx 000 )/2(

0 )(

T

tjk

T

tjk

k dtettxT

dtetyT

b 00 )(1

)(1

0

k

tTjk

k

tjk

T

jktjk

T

tjk

k

aeae

dexT

edexT

b

000

00000

)/2(

)()(

1)(

1

10)/2(

tTjke

kk ab


Özellik 2 (Zamanda tersine çevirme): ise,

İspat: Periyodik bir işaret, zamanda tersine çevrilirse periyodikliği korunur ve

periyodu değişmez. Fourier serisi açılımından x(-t) işareti

şeklinde yazılabilir. Toplamada, k = -m değişken dönüşümü yapılırsa

Son eşitlik, x(-t) işaretinin Fourier serisi açılımı olup açılımdaki katsayılar a-k’dır.

Yorum: Bir sürekli-zaman periyodik işaret zamanda tersine çevrilirse, karşılık gelen

Fourier serisi katsayıları da tersine çevrilir. O halde, çift işaretlerin (x(t)=x(-t))

Fourier serisi katsayıları çift (ak=a-k), tek işaretlerinki ise tek (ak= -a-k) olacaktır.

k

FS

atx )( k

FS

atx )(

k

Ttjk

keatx /2)(

m

Ttjm

meatx /2)(


Özellik 3 (Zamanda ölçekleme): ise,

İspat: Periyodik bir işaret, ölçeklendiğinde periyodu değişir. x(t)’nin temel periyodu

T ve temel frekansı ω0 = 2π/T ise, x(αt)’nin temel periyodu T/α ve temel frekansı

αω0’dır. x(t)’nin Fourier serisi açılımında t yerine αt yazılırsa

Son eşitlik, temel frekansı αω0 olan işaretin Fourier serisi gösterilimi olup açılımdaki

katsayılar ak’dır.

Yorum: Bir sürekli-zaman periyodik işareti zamanda ölçekleme Fourier serisi

katsayılarını değiştirmez.

k

FS

atx )( k

FS

atx )(

k

tjk

keatx)( 0)(


Özellik 4 (Zamanda türev alma): ise,

İspat: Periyodik bir işaretin türevi alınırsa yine periyodik olur ve periyodu değişmez.

x(t)’nin Fourier serisi açılımında, eşitliğin her iki tarafının t’ye göre türevi alınırsa

Son eşitlik, temel frekansı ω0 = 2π/T olan işaretin Fourier serisi gösterilimi olup

açılımdaki katsayılar jkω0ak = jk(2π/T)ak olarak görülmektedir.

Yorum: Bir sürekli-zaman periyodik işaretin türevini almak, Fourier serisi

katsayılarının hem genliğini hem de fazını değiştirmektedir.

k

FS

atx )( kk

FS

aT

jkajkdt

tdx

2

)(0

k

tjk

k

k

tjk

k

k

tjk

k

eajk

eadt

dea

dt

d

dt

tdx

0

00

0

)(


Özellik 5 (Parseval ilişkisi):

İspat: İntegralde , yazıp, x(t) ile eşleniği için Fourier serisi

gösterilimlerini kullanırsak

Köşeli parantez içindeki integrali daha önce hesaplamıştık:

O halde, son eşitlikte sonsuz tane integral olmasına rağmen integrallerin sonucu

sadece l = k için T, diğer l değerlerinde 0’a eşittir. Sonuç olarak, iki toplama bir

toplamaya indirgenir ve l = k olur:

T

k

kadttxT

22)(

1

)()()( *2txtxtx

k lT

tlkj

lk

Tl

tjl

l

k

tjk

kTT

dteT

aa

dteaeaT

dttxtxT

dttxT

0

00

)(*

**2

1

1)()(

1)(

1

T

tlkj

lk

lkTdte

,0

,0)(

k

k

k

kkT

aTT

aadttxT

2*2 1)(

1


Parseval İlişkisinin Yorumu:

• Bir işareti değişik şekillerde temsil etmek aslında ilave bir bilgi vermemektedir.

• Bir bakış açısında gizli olan bir bilgi, diğer bir bakış açısında ortaya çıkabilir.

• İşaretin enerjisi kullanılan gösterilimden bağımsıztır. Diğer bir deyişle, işaretin

enerjisini zaman veya frekans uzayında hesaplamak aynı sonucu vermelidir.

Diğer Özellikler:

• Sürekli-zaman Fourier serisinin ispatını vermediğimiz başka özellikleri de vardır.

• Diğer özelliklerin ispatı benzer şekilde yapılabilir. Özelliklerin tümü aşağıdaki

tabloda listelenmiştir.

Özellik Periyodik İşaret Fourier Serisi Katsayıları

Doğrusallık

Zamanda öteleme

Frekansta öteleme

Eşlenik alma

Zamanda tersine çevirme

Zamanda ölçekleme α>0 ( T/α ile periyodik)

Periyodik konvolüsyon

Zamanda çarpma

periyodik ileperiyodu temel

vefrekansı temel/2

)(

)( 0

T

T

ty

tx

k

k

b

a

)()( tBytAx kk BbAa

)( 0ttx 000 )/2( tTjk

k

tjk

k eaea

)()( )/2(0 txetxe tTjMtjM Mka

)(* tx *

ka

)( tx ka

)( tx ka

T

dtyx )()(kkbTa

)()( tytx

l

lklba



Zamanda türev alma

Zamanda integral alma

Gerçel işaretler için

eşlenik simetriklik

x(t) gerçel

Gerçel ve çift işaretler

Gerçel ve tek işaretler

x(t) gerçel ve çift


ak gerçel ve çift

ak saf karmaşık ve çift

Gerçel işaretlerin çift-tek

ayrıştırması

Periyodik İşaretler için Parseval İlişkisi

dt

tdx )(kk a

Tjkajk

20

t

dttx )(kk a

Tjka

jk

)/2(

11

0

kk

kk

kk

kk

kk

aa

aa

amam

aeae

aa

}{}{

}{}{

*

gerçel] )([ })({Od)(

]gerçel )([ )}({Ev)(

txtxtx

txtxtx

o

e

}{

}{

k

k

amj

ae


T

k

kadttxT

22)(

1


ÖRNEK: Sürekli-zaman Fourier serisinin özelliklerinden yararlanarak aşağıda

verilen g(t) işaretinin (T = 4 ile periyodik) Fourier serisi katsayılarını bulalım.

ÇÖZÜM: g(t) işaretini analiz denkleminde yerine koyarak, Fourier serisi

katsayılarını belirleyebiliriz. Ancak, g(t) işaretini daha önce Fourier serisini

hesapladığımız periyodik simetrik kare dalga cinsinden ifade edip sonucu bulacağız.

Kare dalga ve Fourier serisi katsayıları, hatırlatma amacıyla aşağıda verilmiştir:

T

Ta 1

0

2

0 ,)sin( 10 k

k

Tkak

Periyodik kare dalga işaretinde T = 4 ve T1 = 1 alalım. Şekillerden, g(t) ile x(t)

arasındaki ilişkinin g(t) = x(t-1) – 1/2 olduğu görülmektedir. x(t-1) işaretinin Fourier

serisi katsayıları bk olsun. Öteleme özelliğinden,

DC terimin (-1/2) Fourier serisi katsayıları ck olsun. DC işaretin sıfırdan farklı bir

Fourier serisi katsayısı vardır:

g(t) işaretinin Fourier serisi katsayıları dk olsun. Doğrusallık özelliğinden

Son ifadede ak yerine konulursa

2/jk

kk eab

0,2/1

0,0

k

kck

0,2/1

0,

0

2/

ka

keacbd

jk

k

kkk

0,0

0,)2/sin( 2/

k

kek

k

djk

k


ÖRNEK: Sürekli-zaman Fourier serisinin özelliklerinden yararlanarak aşağıda

verilen x(t) işaretinin (T = 4 ile periyodik) Fourier serisi katsayılarını bulalım.

ÇÖZÜM: Bu işaretin türevi, önceki örnekte ele alınan g(t) işaretine eşittir. g(t) ve

x(t) işaretlerinin Fourier serisi katsayılarını sırasıyla dk ve ek ile gösterelim. Türev

özelliğinden,

İfade, k ≠ 0 için geçerlidir. dk eşitlikteyerine konulursa

e0, bir periyot boyunca x(t)’nin altındaki alan periyoda bölünerek elde edilebilir:

jk

deejkd k

kkk

2)4/2(

0 ,)(

)2/sin(2 2/

2 ke

kj

ke jk

k

T

dttxdttxT

e2

20

2

1)(

4

1)(

1

--HAKAN--

Daktilo

<<<<<<<<<<<VİZE BURAYA KADAR>>>>>>>>>>>>>

--HAKAN--

Daktilo

--HAKAN--

Daktilo

Hafta 6:

Periyodik İşaretlerin Fourier Serisi Gösterilimi

• Ayrık-zaman periyodik işaretlerin Fourier serisi gösterilimi

• Ayrık-zaman Fourier serisinin özellikleri

• Fourier serisi ve LTI sistemler

• Filtreleme

• Sürekli-zaman filtre örnekleri

• Ayrık-zaman filtre örnekleri


Ayrık-zaman Periyodik İşaretlerin Fourier Serisi Gösterilimi

• Ayrık-zaman Fourier serisindeki amaç, periyodik bir ayrık-zaman işareti

harmonik ilişkili ayrık-zaman karmaşık üstel işaretler cinsinden yazmaktır.

Ancak, ile verilen harmonik ilişkili karmaşık

üstel kümesinde birbirinden farklı N adet işaret olduğunu hatırlayınız.

• N ile periyodik bir ayrık-zaman işareti, harmonik ilişkili üstel işaretlerin doğrusal

kombinasyonu şeklinde yazmaya çalışalım:

• Birbirinden farklı N adet üstel işaret olduğundan, toplama N terim içermelidir.

Toplamaya herhangi bir k değerinden başlanabilir (örneğin, k = 0,1,…, N-1 veya

k = 3,4, N+2). Bu durumu belirtmek için k = <N> notasyonu kullanılırsa

• Periyodik bir ayrık-zaman işaretin bu şekilde yazılmasına ayrık-zaman Fourier

serisi gösterilimi ve ak katsayılarına Fourier serisi katsayıları denir.

,2,1,0 ,][ )/2(0 keen nNjknjk

k

k

nNjk

keanx )/2(][

Nk

nNjk

keanx )/2(][


• Ayrık-zaman Fourier serisi katsayılarının hesaplanmasında aşağıda verilen eşitliği

kullanacağız.

• Fourier serisinin iki yanını e-jr(2π/N) n ile çarpıp, N terim üzerinden toplarsak

• İçteki toplama k = r için N, k ≠ r için 0’dır. O halde, iki toplama tek toplamaya

indirgenir ve k = r olur. Sonuç olarak,

halde aksi,0

2,,0,)/2(

NNkNe

Nn

nNjk

Nk Nn

nNrkj

k

nNjr

Nn Nk

nNjk

k

Nn

nNjr

ea

eeaenx

)/2)((

)/2()/2()/2(][

Nn

nNjr

r

Nk

r

Nn

nNjr enxN

aNaenx )/2()/2( ][1

][


• Ayrık-zaman periyodik işaretin Fourier serisine açılımı ve açılımdaki katsayıların

hesabı aşağıdaki eşitliklerde özetlenmiştir.

• k[n] = e-jk(2π/N) n olsun. Sentez denklemi, k = 0,1,…, N-1 veya k = 1,2,…, N için

yazılırsa aynı sonucu vereceğinden

• Ancak, 0[n] = N[n] olduğundan, yukarıdaki eşitliklerden a0 = aN sonucu çıkar.

Benzer işlemler, arka arakaya gelen N adet k için yapılırsa ak = ak+N elde edilir.

Yani, periyodik bir ayrık-zaman işaretin Fourier serisi katsayıları da periyodiktir!

Nk

nNjk

k

Nk

njk

k eaeanx )/2(0][

Nn

nNjk

Nn

njk

k enxN

enxN

a )/2(][1

][1

0

][][][][

][][][][

2211

111100

nanananx

nanananx

NN

NN

Sentez denklemi:

Analiz denklemi:


ÖRNEK: Sinüzoidal işaretler için Fourier serisi doğrudan hesaplanabilir. Aşağıda

verilen işaretin Fourier serisi gösterilimini elde edelim.

Çözüm: 2π/ω0 rasyonel bir sayı ise x[n] periyodiktir. Bu koşulun sağlanması halinde

iki durum vardır:

Durum 1: N bir tamsayı olmak üzere, 2π/ω0 = N

Durum 2: N ve M tamsayılar olmak üzere, 2π/ω0 = N/M

Durum1: Euler ilişkisinden

)sin(][ 0nnx

1 ,0 ,2

1 ,

2

1

2

1

2

1

2

1)sin(][

11

)/2()/2(

000

kaj

aj

aej

ej

eej

nnx

k

nNjnNj

njnj

Durum2: Euler ilişkisinden

Fourier serisi katsayıları her iki durum için aşağıda çizilmiştir. Katsayıların periyodik

olduğuna dikkat ediniz.

Mkaj

aj

aej

ej

eej

nx kMM

nNjMnNjMnjnj

,0 ,

2

1 ,

2

1

2

1

2

1

2

1][ )/2()/2(00

Durum 1: N = 5

Durum 2: M=3, N=5

ÖRNEK: Aşağıdaki işaretin ayrık-zaman Fourier serisi gösterilimini elde edelim

ÇÖZÜM: İşaret N ile periyodiktir. Euler ilişkisinden

Fourier serisi katsayıları doğrudan yazılabilir:


2

4cos

2cos3

2sin1][

n

Nn

Nn

Nnx

nNjjnNjjnNjnNj

nNjnNjnNjnNjnNjnNj

eeeeej

ej

eeeeeej

nx

)/2(22/)/2(22/)/2()/2(

)2//4()2//4()/2()/2()/2()/2(

2

1

2

1

2

1

2

3

2

1

2

31

2

1

2

3

2

11][

.2 ,1 ,0 ,0 ,2

1 ,

2

1

2

1

2

3

2

1

2

3 ,

2

1

2

3

2

1

2

3 ,1

22

110

kajaja

jj

ajj

aa

k

Fourier serisi katsayılarının gerçel ve sanal kısımları, genliği ve fazı aşağıda

çizilmiştir.


ÖRNEK: Aşağıdaki verilen periyodik ayrık-zaman kare dalganın Fourier serisi

gösterilimini elde edelim

ÇÖZÜM:

,2,,012

,2,,0,)/sin(

]/)2/1(2sin[1

1

1

11

111][

1

1

1

)2/2()2/2()2/2(

/)2/1(2/)2/1(2)2/2(

)/2(

/)12(2)/2(

2

0

)/2()/2(2

0

))(/2()/2()/2(

111

1

1

1

1

1

1

1

1

1

NNkN

N

NNkNk

NNk

N

eee

eee

Ne

ee

N

eeN

eN

eN

enxN

a

NjkNjkNjk

NNjkNNjkNjk

Njk

NNjkNNjk

N

m

mNjkNNjkN

m

NmNjkN

Nn

nNjkN

Nn

nNjk

k

Fourier serisi katsayıları 2N1+1=5 ve N = 10, 20, 40 için aşağıda çizilmiştir.

N = 10

N = 20

N = 40

Ayrık-zaman Fourier Serisinin Özellikleri

• Temel periyodu N ve temel frekansı ω0 = 2π/N olan periyodik bir ayrık-zaman

işaretin Fourier serisi katsayılarının ak olduğunu belirtmek için


• Ayrık-zaman Fourier serisinin aşağıda verilen özellikleri aracılığıyla, Fourier serisi

katsayıları bilinen işaretler yardımıyla çoğu işaretin Fourier serisi açılımını elde

etmek kolaylaşmaktadır.

• Özellikler, sürekli durumdakine benzer bir şekilde kolaylıkla ispatlanabilir.

k

FS

anx ][


Doğrusallık

Zamanda öteleme

Frekansta öteleme

Eşlenik alma


Zamanda ölçekleme

Periyodik konvolüsyon

Zamanda çarpma

periyodik ileperiyodu temel

vefrekansı temel/2

][

][ 0

N

N

ny

nx

k

k

b

a

][][ nBynAx kk BbAa

][ 0nnx 000 )/2( nNjk

k

njk

k eaea

][][ )/2(0 nxenxe tNjMtjM Mka

][* nx *

ka

][ nx ka

halde aksi0,

katı nin tam ,],/[][)(

mnmnxnx m ka

m

1

Nr

rnyrx ][][kkbNa

][][ nynx

Nl

lklba



Zamanda fark alma

Zamanda toplama



x[n] gerçel



x[n] gerçel ve çift

x[n] gerçel ve tek

ak gerçel ve çift

ak saf karmaşık ve tek


ayrıştırması

Periyodik İşaretler için Parseval İlişkisi

]1[][ nxnx k

Njk ae )/2(1

n

k

kx ][kNjk

ae

)/2(1

1

kk

kk

kk

kk

kk

aa

aa

amam

aeae

aa

}{}{

}{}{

*

gerçel] ][[ }][{Od][

]gerçel ][[ ]}[{Ev][

nxnxnx

nxnxnx

o

e

}{

}{

k

k

amj

ae


Nk

k

Nn

anxT

22][

1


ÖRNEK: Ayrık-zaman Fourier serisinin özelliklerinden yararlanarak aşağıda verilen

x[n] işaretinin (N = 5 ile periyodik) Fourier serisi katsayılarını bulalım.

ÇÖZÜM: x[n] işareti, aşağıda gösterildiği gibi x1[n] ve x2[n] işaretlerinin toplamı

olarak yazılabilir.

x[n], x1[n] ve x2[n] işaretlerinin Fourier serisi katsayıları sırasıyla ak ,bk ve ck

olsun. Doğrusallık özelliğinden kkk cba

][][][ 21 nxnxnx

bk daha önce bulunmuştu (N1=1, N = 5):

x2[n] işareti sabit (DC) olup sıfırdan farklı bir Fourier serisi katsayısına sahiptir:

Fourier serisi katsayıları 5 ile periyodik olduğundan

O halde,

0,1

0,0

k

kck

,10,5,0,5

8

,10,5,0,)5/sin(

)5/3sin(

5

1

k

kk

k

cba kkk

,10,5,05

3

,10,5,0,)5/sin(

]5/3sin[

5

1

k

kk

k

bk

,10,5,0,1

,10,5,0,0

k

kck


ÖRNEK: Hakkında aşağıdaki bilgiler bilinen bir ayrık-zaman işareti bulunuz.

1. x[n], N = 6 ile periyodiktir,

2.

3.

4. Yukarıdaki üç koşulu sağlayan işaretler arasından, periyot başına en küçük

enerjiye x[n] sahiptir.

ÇÖZÜM:

2 nolu bilgiden a0=1/3.

olduğundan, 3 nolu bilgiden a3=1/3 .

5

02][

nnx

7

21][)1(

n

n nx

njnjn ee 3)6/2()1(

İşaretteki ortalama güç Parseval ilişkisi kullanılarak hesaplanabilir:

ak katsayılarının her birinin P’ye katkısı pozitif bir sayıdır. a0 ve a3 değerleri belli

olduğundan, P’nin en küçük olabilmesi için a1 = a2 = a4 = a5 = 0 olmalıdır. Tüm

katsayılar belirlendiğinden, sentez denklemi kullanılarak işaret belirlenebilir.

Bir periyot boyunca işaretin değişimi aşağıda verilmiştir

nnj

k

njk

k

k

nNjk

k

eaa

eaeanx

)1)(6/1()3/1(

][

30

5

0

)6/2(5

0

)/2(

5

0

2

k

kaP

Fourier Serisi ve LTI Sistemler

• İmpuls yanıtı h(t) olan bir sürekli-zaman LTI sistemin girişine est uygulandığında

sistemin çıkışı H(s)

olmak üzere, y(t) = H(s)est ile veriliyordu.

• Benzer şekilde, impuls yanıtı h[n] olan bir ayrık-zaman LTI sistemin zn girişine

olan yanıtı H(z)

olmak üzere, y[n] = H(z)zn eşitliğinden hesaplanmaktaydı.

• s ve z genel karmaşık sayılar olduğunda H(s) ve H(z)’ye SİSTEM FONKSİYONU

denir.

dtethsH st)()(

k

kzkhzH ][)(


• s = jω özel durumunda (giriş ω frekanslı karmaşık üstel işaretse) sürekli-zaman

sistem fonksiyonuna sistemin FREKANS YANITI denir ve H(jω) ile gösterilir:

• Benzer şekilde, z = ejω ise, ayrık-zaman sistem fonksiyonuna frekans yanıtı denir

ve H(ejω) ile belirtilir:

• LTI bir sistemin periyodik bir işarete yanıtı, sistemin frekans yanıtından kolaylıkla

belirlenebilir. Adımlar aşağıda verilmiştir.

dtethjwH tj)()(

k

njj ekheH ][)(


• Sürekli-zaman: Periyodik x(t) işareti impuls yanıtı h(t) olan bir LTI sisteme

uygulandığında çıkışı hesaplayalım.

• x(t) periyodik olduğundan Fourier serisine açılabilir:

• Herhangi bir karmaşık üstel ( ) işarete yanıt:

• Sistem doğrusal oduğundan, sistemin karmaşık üstel işaretlerin toplamına olan

yanıtı, karmaşık üstel işaretlere tek tek yanıtlarının toplamına eşittir.

• Gözlem: Çıkış da periyodiktir. Girişin Fourier serisi katsayıları ak ise çıkışın

Fourier serisi katsayıları H(jkω0)ak’dır. Yani, giriş katsayıları frekans yanıtının

karşılık gelen frekanstaki değeriyle çarpılmaktadır.

k

tjk

keatx 0)(

tjk

kea 0tjk

k ejkHa 0)( 0

k

tjk

k

k

tjk

k ejkHatyeatx 00 )()( )( 0


• Ayrık-zaman: Periyodik x[n] işareti impuls yanıtı h[n] olan bir LTI sisteme

uygulandığında çıkışı hesaplayalım.

• x[n] periyodik olduğundan Fourier serisine açılabilir:

• Herhangi bir karmaşık üstel ( ) işarete yanıt:

• Sistem doğrusal oduğundan, sistemin karmaşık üstel işaretlerin toplamına olan

yanıtı, karmaşık üstel işaretlere tek tek yanıtlarının toplamına eşittir.

• Gözlem: Çıkış da periyodiktir. Girişin Fourier serisi katsayıları ak ise çıkışın

Fourier serisi katsayıları ’dır. Yani, giriş katsayıları frekans yanıtının

karşılık gelen frekanstaki değeriyle çarpılmaktadır.

Nk

nNjk

keanx )/2(][

nNjk

kea )/2( nNjkNkj

k eeHa )/2(/2 )(

Nk

nNjkNkj

k

Nk

nNjk

k eeHanyeanx )/2()/2)/2( )(][ ][

k

Nkj aeH )( /2


ÖRNEK: Aşağıda verilen sürekli-zaman periyodik işaret, impuls yanıtı h(t) = e-t u(t)

olan sisteme uygulandığında, çıkışın Fourier serisi katsayılarını bulunuz.

ÇÖZÜM: Giriş ve çıkışın katsayıları ak ve bk olsun. İlk önce frekans yanıtını

hesaplayalım.

Girişin temel periyodu T = 1 (ω0 = 2π) olduğundan çıkışın da temel periyodu 1’dir.

Ayrıca, girişin k ≠ 0, ±1,±2,± 3 için Fourier serisi katsayıları sıfırdır. O halde,

)6cos(3

2)4cos()2cos(

2

11)( ttttx

jdteedtethjH tjttj

1

1)()(

0

61

1

3

1 ,

61

1

3

1

41

1

2

1 ,

41

1

2

1

21

1

4

1 ,

21

1

4

1

,1 ,)2( ,)(

33

22

11

0

3

3

2

jb

jb

jb

jb

jb

jb

bjkHabebty kk

k

tjk

k


ÖRNEK: İmpuls yanıtı h[n] = α-nu[n], (-1< α < 1) olan sisteme

uygulandığında, çıkışın Fourier serisi katsayılarını bulunuz.

ÇÖZÜM: Çıkışın katsayıları bk olsun. İlk önce frekans yanıtını hesaplayalım.

Euler ilişkisinden

O halde,

Diğer bir deyişle,

jn

nj

n

njn

n

njj

eeeenheH

1

1][)(

00

)/2cos(][ Nnnx

nNjnNj eenx )/2()/2(

2

1

2

1][

nNj

Nj

nNj

Nj

nNjNjnNjNj

ee

ee

eeHeeHny

)/2(

2

)/2(

2

)/2(2)/2(2

1

1

2

1

1

1

2

1

2

1

2

1][

1 ,0 ,1

1

2

1 ,

1

1

2

12121

kbe

be

b kNjNj

Hafta 7:

Sürekli-zaman Fourier Dönüşümü

• Sürekli-zaman Fourier dönüşümü

• Sürekli-zaman periyodik işaretler için Fourier dönüşümü

• Sürekli-zaman Fourier dönüşümünün özellikleri

• Doğrusal, sabit katsayılı diferansiyel denklemlerle tanımlanan sistemler



• Periyodik olmayan (aperiyodik) bir işareti, periyodu sonsuz olan periyodik bir

işaret gibi düşünebiliriz.

• Periyodik bir işaretin periyodu büyüdükçe, temel frekans küçülür ve dolayısıyla

Fourier serisi gösterilimindeki harmonik ilişkili üstel işaretlerin frekansları

yakınlaşır.

• Periyodun sonsuz olması limit durumunda frekans bileşenleri sürekli hale gelir ve

Fourier serisi toplamı integrale eşit olur.

• Fourier serisinin, periyodun sonsuza gitmesi durumundaki limit haline FOURIER

DÖNÜŞÜMÜ denir.

• Aşağıda verilen periyodik kare dalganın Fourier serisi katsayılarını hesaplamıştık

• Sabit bir T1 ve değişik T değerleri için Fourier serisi katsayılarını çizersek,

periyodun katsayılar üzerindeki etkisini belirlemiş oluruz.

• Alternatif olarak, değerlerini çizebiliriz.

• 2sin(ωT1)/ω fonsiyonu, Tak’nın zarfını temsil etmektedir ve ak katsayıları bu zarfın

eşit aralıklı örnekleridir.


Tk

Tkak

0

10 )sin(2

0

)sin(2 1

k

TTak


• T arttıkça veya eşdeğer olarak temel frekans ω0 = 2π/T azaldıkça, zarf daha sık

örneklenmektedir. T → ∞ limit durumunda, orijinal periyodik kare dalga

dikdörtgen darbeye ve T ile çarpılmış Fourier serisi katsayıları zarfa eşit olur.

• Bu örneği genelleştirmek mümkündür. Aperiyodik bir işaret, periyodik bir işaretin

periyod sonsuza giderken limit hali gibi düşünülebilir. Periyodik işaret Fourier

serisine açılır ve periyodun sonsuza gitmesi durumunda serinin davranışı incelenir.

• Aşağıda, periyodik olmayan sonlu süreli bir işaret x(t) ile bu işaretten türetilen ve

bir periyodu sonlu süreli işarete eşit olan periyodik bir işaret verilmiştir.


)(~ tx

• Fourier serisine açılabilir. |t|<T/2 için, x(t) = ve aralığın dışında x(t) =0

olduğundan

• Tak’nın zarfı X(jω), şeklinde tanımlansın.

• O halde,

• Zarf cinsinden bulunan katsayılar, Fourier serisinde yerine konulur ve 2π/T=ω0

olduğu göz önünde bulundurulursa


)(~ tx )(~ tx

dtetxT

dtetxT

dtetxT

a

eatx

tjkT

T

tjkT

T

tjk

k

k

tjk

k

000

0

)(1

)(1

)(~1

)(~

2/

2/

2/

2/

dtetxjX tj )()(

)(1

0jkXT

ak

k

tjk

k

tjkejkXejkX

Ttx 000

00 )(2

1)(

1)(~

• ω0→ 0 iken, aşağıdaki şekilden görüldüğü gibi en son toplama integrale yakınsar.

• Toplamadaki her bir terim, yüksekliği ve genişliği ω0 olan bir

dikdörtgenin alanıdır. ω0→ 0 limit durumunda, toplama fonksiyonunun

integraline yakınsar. O halde, T→ ∞ için x(t) → gerçeğini kullanırsak,

aşağıda verilen Fourier dönüşüm çiftini elde ederiz.


tjkejkX 0)( 0

tjejX )(

)(~ tx

dtetxjX

dejXtx

tj

tj

)()(

)(2

1)(


• Şimdiye kadar yapılan tartışmadan, periyodik bir işaretin Fourier serisi

katsayılarının, işaretin bir periyodunun Fourier dönüşümü cinsinden ifade

edilebileceği anlaşılmaktadır.

• , T ile periyodik olsun ve Fourier serisi katsayıları ak ile gösterilsin. nin

bir periyoduna eşit sonlu süreli bir işaret x(t) ve Fourier dönüşümü X(jω) ile

belirtilsin. O halde,

• Tartışma, sonlu süreli işaretler için yapılmıştır. İşaret sonlu olmasa bile, analiz

denklemindeki integral yakınsayabilir ve bu tür işaretler için Fourier dönüşümü

bulunabilir.

• Fourier dönüşümünün yakınsaması için yeterli olan koşullara Dirichlet koşulları

denir ve aşağıda listelenmiştir.

)(~ tx )(~ tx

0

)(1

kjX

Tak



• Harmonik ilişkili üstel işaretlerin herbirinin T ile periyodik olduğunu görmüştük.

O halde, x(t)’de T ile periyodiktir.

• k = 0 için, toplamadaki üstel işaret sabittir. k = 1 için üstel işaretlerin temel

frekansı 0’dır ve bu terimlere TEMEL veya BİRİNCİ HARMONİK bileşen

Özetle, mutlak integrallenebilir sürekli veya sonlu sayıda süreksizliğe sahip

işaretlerin Fourier dönüşümü hesaplanabilir.

k k

tTjkk

tjkk eaeatx /20)(

Sürekli-zaman Fourier dönüşümü için Dirichlet koşulları

Koşul 1: İşaret mutlak integrallenebilir olmalıdır:

Koşul 2: Herhangi bir sonlu aralıkta, işaretin sonlu sayıda minimum ve maksimumu

olmalıdır.

Koşul 3: Herhangi bir sonlu aralıkta, işarette sonlu sayıda süreksizlik olmalı ve

ayrıca süreksizlik noktalarında işaretin değeri de sonlu olmalıdır.


dttx )(

ÖRNEK: işaretinin Fouier dönüşümünü hesaplayınız, genlik ve

faz spektrumunu çiziniz.

ÇÖZÜM: Fourier dönüşüm denkleminden

Görüldüğü gibi, işaret gerçel olmasına rağmen Fourier dönüşümü karmaşık değerli

olabilmektedir. O halde, ω’nın fonksiyonu olarak Fourier dönüşümünün genliğini

(genlik spektrumu) ve fazını (faz spektrumunu) belirleyebilir ve çizebiliriz.


0 ),()( atuetx at

0 ,1

)()(0

aja

dteedtetxjX tjattj

ajX

ajX

1

22tan)( ,

1)(

ÖRNEK: işaretinin Fouier dönüşümünü hesaplayınız ve frekansın

fonksiyonu olarak çiziniz.


Bu durumda Fourier dönüşümü gerçel çıkmıştır. İşaret ve Fourier dönüşümü aşağıda

çizilmiştir.


0 ,)(

aetxta

22

0

0

211

)()(

a

a

jaja

dteedteedteedtetxjX tjattjattjtatj

ÖRNEK: Sürekli-zaman impuls işaretinin Fouier dönüşümünü hesaplayınız

ÇÖZÜM:

İmpuls işaretinin Fourier dönüşümü tüm frekanslarda eşit bileşenlere sahiptir.

ÖRNEK: Dikdörtgen darbenin Fourier dönüşümünü hesaplayınız

ÇÖZÜM:


1)()()(

dtetdtetxjX tjtj

1

1

,0

,1)(

Tt

Tttx

)sin(

2)()( 1 1

1

TdtedtetxjX

T

T

tjtj

ÖRNEK: Fouier dönüşümü aşağıda verilen sürekli-zaman işaretini bulunuz.

ÇÖZÜM: Ters Fourier dönüşüm denkleminden


1 1 sin( )( ) ( )

2 2

Wj t j t

W

Wtx t X j e d e dw

t

W

WjX

,0

,1)(


• Sürekli-zaman Fourier dönüşümü ve LTI sistemlerin analizinde sin(aθ)/bθ

şeklinde özel bir fonksiyonla sıklıkla karşılaşılır ve böyle fonksiyonlara sinc

fonksiyonu denir.

• Sinc fonksiyonu matematiksel olarak şöyle tanımlanır:

• Sinc fonksiyonu aşağıda çizilmiştir.

)sin()(sinc

Aşağıda sinc(W) fonksiyonu ve Fourier dönüşümü, değişik W değerleri için çizilmiştir. W

arttıkça Fourier dönüşümü genişlerken, sinc fonksiyonunun ana lobunun genişliği darlaşır.

Yani, zaman uzayı ile frekans uzayı arasında ters bir ilişki vardır. Zamanda daha yer kaplayan

bir işaretin Fourier dönüşümü, daha fazla yer kaplayan bir işaretinkine göre daha geniş bir

frekans aralığında frekans bileşenlerine sahipir.

Periyodik İşaretlerin için Fourier Dönüşümü

• Sürekli-zaman periyodik işaretlerin de Fourier dönüşümünü hesaplamak

mümkündür. Göreceğimiz gibi, periyodik işaretlerin Fourier dönüşümü impuls

fonksiyonu içermek zorundadır.

• Fourier dönüşümü X(jω) = 2π(ω-ω0) olan işareti, ters Fourier dönüşümü

kullanarak rahatlıkla bulabiliriz.

• Daha genel olarak, sonsuz adet impulsun toplamından oluşan bir Fourier

dönüşümünün tersi, sonsuz adet üstel işaretin toplamı olmalıdır:

• O halde, periyodik bir işaretin Fourier dönüşümü, şiddetleri işaretin Fourier serisi

katsayıları ve konumları temel frekansın katları tarafından belirlenen impulslar

içermektedir.

tjtj edetx 0

0 )(22

1)(

k k

tjk

kk eatxkajX 0)()(2)( 0


ÖRNEK: Aşağıda verilen periyodik işaretin Fourier dönüşümünü hesaplayınız.

ÇÖZÜM:

Tk

Tkak

0

10 )sin(2

)()sin(2

)( 2)( 010

0

kk

TkkajX

kk

k


ÖRNEK: Aşağıda verilen periyodik işaretin Fourier dönüşümünü hesaplayınız.

ÇÖZÜM:

Not: Zaman uzayı ile frekans uzayı arasındaki ters ilişkiye dikkat ediniz. İmpulslar

zaman uzayında birbirinden uzaklaşırsa frekans uzayında yakınlaşmaktadır.

)2

(2

)( 2)( 0T

k

TkajX

kk

k

2/

2/

1)(

10

T

T

tjk

kT

dtetT

a


ÖRNEK: x1(t)=sin(ω0t) ve x2(t)=cos(ω0t) periyodik işaretlerinin Fourier

dönüşümlerini hesaplayınız.

ÇÖZÜM:

)()()(2)(2)(

1 ,0 ,2

1 ,

2

1)cos()(

)()()(2)(2)(

1 ,0 ,2

1 ,

2

1)sin()(

0001012

1102

0001011

1101

aajX

kaaattx

jjaajX

kaj

aj

attx

k

k


İşaret Fourier Dönüşümü Fourier Serisi Katsayıları

Periyodik kare dalga

k

tjkkea 0

k

k ka )(2 0 ka

tje 0

)(2 0 1 ,0 ,11 kaa k

)cos( 0t 00 1 ,0 ,2/111 kaaa k

)sin( 0t 00)/( j 1 ,0 ,2/111 kajaa k

1)( tx )(2 0 ,0 ,10 kaa k

2/,0

,1)(

1

1

TtT

Tttx

)()sin(2

010

k

k

Tk

k

101010 sinc)sin( TkT

k

Tk

n

nTt )( )2

(2

T

k

T k

kT

ak ,1


İşaret periyodik değil


1 İşaret periyodik değil






1

1

,0

,1)(

Tt

Tttx

)sin(2 1T

t

Wt

)sin(

W

WjX

,0

,1)(

)(t

)(tu

j

1

0tt 0tj

e

0e ),( atue at

ja

1

0e ),( atute at

21

ja

0e ),()!1(

1

atuen

t atn

nja

1

Sürekli-zaman Fourier Dönüşümünün Özellikleri

• Kolaylık olması bakımından, sürekli-zaman Fourier dönüşümü ve tersini

belirtmek için sırasıyla F{x(t)} ve F-1{X(j)} kısa gösterilimini kullanacağız.

Ayrıca, sürekli-zaman Fourier dönüşüm çiftini belirtmek için


• Sürekli-zaman Fourier dönüşümünün aşağıda verilen özellikleri aracılığıyla,

Fourier dönüşümü bilinen işaretlerden çoğu işaretin Fourier dönüşümünü elde

etmek kolaylaşmaktadır.



)( )( jXtxF


Zamanda öteleme:

İspat: Ters Fourier dönüşüm denkleminden

Eşitliğin her iki tarafında t yerine t-t0 yazılırsa

Yorum: Bir sürekli-zaman işaret ötelendiğinde, Fourier dönüşümünün genliği

değişmez, fazı ise öteleme ile doğru orantılı bir şekilde ötelenir.

)()( )( )( 0

0 jXettxjXtx

tjFF

dejXtx tj )(2

1)(

deejXdejXttx tjtjttj )(

0 )(2

1 )(

2

1)( 00

00

)(0

)(

)()()(

)()(tjXjtj

jXj

ejXjXettxF

ejXjXtxF

Zaman-frekans ölçekleme:

İspat: Fourier dönüşüm denkleminden

İntegralde, τ = at değişken dönüşümü yapılırsa

Yorum: Zaman uzayı ile frekans uzayı arasında ters bir ilişki vardır. Zamanda dar

(geniş) yer kaplayan işaretlerin Fourier dönüşümü geniş (dar) bir aralıkta frekans

bileşenlerine sahiptir. Ayrıca, a = -1 seçilirse, zamanda tersine çevrilmiş işaretin

Fourier dönüşümünün de tersine çevrileceği anlaşılmaktadır.


a

jX

aatxjXtx

FF

1)( )( )(

dteatxatxF tj )()(

0,)(1

0,)(1

)()/(

)/(

adexa

adexaatxF

aj

aj


Zamanda türev alma:


Eşitliğin her iki tarafında t’ ye göre türevi alınırsa

Yorum: Zaman uzayında türev alma, frekans uzayında j ile çarpmaya karşılık

gelmektdir. Bu özellik, sabit katsayılı difrenasiel denklemlerle tanımlanmış LTI

sistemlerin analizinde çok önemli rol oynayacaktır. Çözümü zor olan diferansiyel bir

denklem, Fourier dönüşümünün bu özelliği sayesinde çözümü çok kolay olan bir

cebirsel denklem haline getirilir, denklem istenilen değişken için çözülür ve ters

Fourier dönüşümü alınarak çözüm elde edilir.

)()(

)( )( jXjdt

tdxjXtx

FF

dejXtx tj )(2

1)(

dejXjdt

tdx tj )(2

1)(




Eşitliğin her iki tarafının Fourier dönüşümü alınırsa


Yorum: İki işaretin konvolüsyonunun Fourier dönüşümü, Fourier dönüşümlerinin

çarpımına eşittir. Yani, iki işaretin konvolüsyonunu bulmak için, Fourier dönüşümleri

çarpılır ve çarpımın ters Fourier dönüşümü alınır.

)()()( )(*)()( jHjXjYthtxty

dthxty )()()(

ddtethx

dtedthxtyFjY

tj

tj

})(){(

})()({)()(

)( jHe j

)()()()(

)()()(

jHjXdexjH

djHexjY

j

j


ÖRNEK: x(t)=e-btu(t) b>0 ve h(t)=e-atu(t) a>0 işaretlerinin konvolüsyonunu Fourier

dönüşümünden yararlanarak hesaplayınız.

ÇÖZÜM:

Y(j) basit kesirlere açılırsa

y(t)’yi elde etmek için ters Fourier dönüşümü almak yeterlidir.

))((

1)( ,

1)( ,

1)(

jbjajY

jajH

jbjX

jbjaabjb

B

ja

AjY

111)(

)()(1

111)()( 11

tuetueab

jbjaabFjYFty

btat


Çarpma (modülasyon) özelliği:

Yorumlar:

1. Zaman uzayında çarpma, frekans uzayında konvolüsyona karşılık gelmektedir.

2. Zaman uzayında konvolüsyonun frekans uzayında çarpmaya karşılık geldiğini

hatırlayınız. Zaman ve frekans uzayları arasındaki bu ilişkiye DÜALLİK denilir.

Dualliğin nedeni, Fourier ve ters Fourier dönüşüm denklemlerinin eşit

olmamakla birlikte oldukça benzer olmasıdır.

3. Verilen bir Fourier çifti için, zaman ve frekans değişkenlerinin rolleri

değiştirilerek DÜAL çift elde edilir.

4. Düallik özelliği kullanılarak, diğer pek çok özellik elde edilebilir. Örneğin,

zaman uzayında türev almak j ile çarpmaya karşılk geldiğine göre, zaman

uzayında integral alma j ile bölmeye karşılık gelmelidir.

5. Düallik özelliği, darbe ve sinc Fourier dönüşüm çifti için aşağıda verilmiştir ve

diğer fonksiyon çiftlerine uygulanabilir.

)(*)(2

1)( )()()(

jPjSjRtptstr

F



ÖRNEK: Bir s(t) işaretinin spektrumu aşağıda verilmiştir. p(t)= cos(0t) olmak

üzere, r(t) = s(t)p(t) işaretinin spektrumunu Fourier dönüşümünün

çarpma(modülasyon) özelliğinden yararlanarak bulunuz.

ÇÖZÜM:

)((

2

1)((

2

1)()(*)(

2

1)(

)()()(

0000

00

jSjSjSjR

jP


Özellik Aperiyodik İşaret Fourier dönüşümü

Doğrusallık

Zamanda öteleme

Frekansta öteleme

Eşlenik alma


Zaman ve frekans ölçek

Konvolüsyon

Zamanda çarpma

)(

)(

ty

tx)(

)(

jY

jX

)()( tbytax )()( jbYjaX

)( 0ttx )(0 jXe

tj

)(0 txetj ))(( 0 jX

)(* tx )(* jX

)( tx

)(atx

a

jX

a

1

)(*)( tytx )()( jYjX

)()( tytx )(*)(2

1

jYjX

)( jX


Zamanda türev alma

Zamanda integral alma

Frekansta türev alma



x(t) gerçel




x(t) gerçel ve tek

X(j ) gerçel ve çift

X(j ) saf karmaşık ve tek


ayrıştırması

Aperiyodik İşaretler için Parseval İlişkisi

dt

tdx )()( jXj

t

dttx )(

)()(

)()(

)}({)}({

)}({)}({

)()( *

jXjX

jXjX

jXmjXm

jXejXe

jXjX

gerçel] )([ })({Od)(

]gerçel )([ )}({Ev)(

txtxtx

txtxtx

o

e

)}({

)}({

jXmj

jXe

djXdttx2

2)(

2

1)(

)()0()(1

XjXj

)(ttx )(

jXd

dj

Doğrusal, Sabit Katsayılı Diferansiyel Denklemlerle

Tanımlanan Sistemler

• Girişi-çıkış ilişkisi aşağıda verilen sürekli-zaman sistemin frekans yanıtını bulalım


• Diferansiyel denklemin her iki tarafının Fourier dönüşümü alınır ve Fourier

dönüşümünün türev özelliği kullanılırsa frekans yanıtı bulunabilir:

M

kk

k

k

N

kk

k

kdt

txdb

dt

tyda

00

)()(

)(

)()()()()(

jX

jYjHjHjXjY

N

k

k

k

M

k

k

kM

k

k

k

N

k

k

k

M

kk

k

k

N

kk

k

k

M

kk

k

k

N

kk

k

k

ja

jb

jHjXjbjYja

dt

txdFb

dt

tydFa

dt

txdbF

dt

tydaF

0

0

00

0000

)(

)(

)()()()()(

)()()()(



ÖRNEK: Giriş-çıkış ilişkisi aşağıda verilen sistemin frekans yanıtını ve impuls


ÇÖZÜM: Her iki tarafın Fourier dönüşümü alınırsa

H(j)’nın ters Fourier dönüşümü alınırsa impuls yantı elde edilir.

)(2)(

)(3)(

4)(

2

2

txdt

tdxty

dt

tdy

dt

tyd

3)(4)(

2

)(

)()(

)(2)()()(3)()(4)()(

2

2

jj

j

jX

jYjH

jXjXjjYjYjjYj

)(2

1)(

2

1)(

3

2/1

1

2/1)()(

3

11

tuetueth

jjFjHFth

tt

Hafta 8:

Ayrık-zaman Fourier Dönüşümü

• Ayrık-zaman Fourier dönüşümü

• Ayrık-zaman periyodik işaretler için Fourier dönüşümü

• Ayrık-zaman Fourier dönüşümünün özellikleri

• Doğrusal, sabit katsayılı fark denklemleriyle tanımlanan sistemler


• Aperiyodik bir işaret, periyodik bir işaretin periyod sonsuza giderken limit hali

gibi düşünülebilir. Periyodik işaret Fourier serisine açılır ve periyodun sonsuza

gitmesi durumunda serinin davranışı incelenir.

• Aşağıda, periyodik olmayan sonlu süreli bir işaret x[n] ile bu işaretten türetilen ve

bir periyodu sonlu süreli işarete eşit olan periyodik bir işaret verilmiştir.


][~ nx

][ ][ ~lim nxnxN

• Fourier serisine açılabilir. –N1 ≤ n ≤ N2 için , x[n] = ve aralığın dışında

x[n] =0 olduğundan

• şeklinde tanımlansın.

• O halde,

• Bulunan katsayılar, Fourier serisinde yerine konulur ve 2π/N=ω0 olduğu göz

önünde bulundurulursa


][~ nx ][~ nx

n

nNjkN

Nn

nNjk

Nn

nNjk

k

Nk

nNjk

k

enxN

enxN

enxN

a

eanx

)/2()/2()/2(

)/2(

][1

][1

][ ~1

][~

2

1

n

njj enxeX ][)(

)(1

0jk

k eXN

a

Nk

njkjk

Nk

njkjkeeXeeX

Nnx 0

0000 )(2

1)(

1][~

• Son toplamadaki her bir terim, yüksekliği ve genişliği ω0 olan bir

dikdörtgenin alanıdır. ω0→ 0 limit durumunda, toplama fonksiyonunun

integraline yakınsar. O halde, N→ ∞ için → x[n] gerçeğini kullanırsak,

aşağıda verilen ayrık-zaman Fourier dönüşüm çiftini elde ederiz.


njkjkeeX 00 )(

njj eeX )(

][~ nx

n

njj

njj

enxeX

deeXnx

][)(

)(2

1][

2


• Sürekli-zaman ve ayrık-zaman Fourier dönüşümleri incelendiğinde önemli farklar

olduğu göze çarpmaktadır.

• İlk olarak, sürekli-zaman durumunda analiz ve sentez denklemlerinin ikisi de

integral olup, integral aralığı sonsuzdur. Ayrık-zaman durumunda, analiz denklemi

sonsuz bir toplama iken sentez denklemi 2 aralığında sonlu bir integraldir.

• İkinci olarak, sürekli-zaman Fourier dönüşümü periyodik değilken (özel durumlar

hariç), ayrık-zaman Fourier dönüşümü 2 ile periyodiktir.

• Bu farklılıkların nedeni, harmonik ilişkili sonlu sayıda karmaşık üstel işaret

olmasıdır.

• Ayrıca, ayrık-zamanda 0 veya 2’nın katlarına yakın frekanslar yavaş değişen

işaretlerden, ’nin katlarına yakın frekanslar ise hızlı değişen işaretlerden

kaynaklanmaktadır.


• Şimdiye kadar yapılan tartışmadan, periyodik bir ayrık-zaman işaretin Fourier

serisi katsayılarının, işaretin bir periyodunun ayrık-zaman Fourier dönüşümü

cinsinden ifade edilebileceği anlaşılmaktadır.

• , N ile periyodik olsun ve Fourier serisi katsayıları ak ile gösterilsin. nin

bir periyoduna eşit sonlu süreli bir işaret x[n] ve Fourier dönüşümü X(ejω) ile

belirtilsin. O halde,

• Tartışma, sonlu süreli işaretler için yapılmıştır. İşaret sonlu olmasa bile, analiz

denklemindeki toplama yakınsayabilir ve bu tür işaretler için ayrık-zaman Fourier

dönüşümü bulunabilir.

• Ayrık-zaman Fourier dönüşümünün yakınsaması için yeterli olan koşullar sürekli

durumdakinden farklıdır.

][~ nx ][~ nx

0

)(1

keX

Na j

k



Sentez denklemi için yakınsama problemi yoktur çünkü sentez denklemi sonlu bir

integraldir.

O halde, sentez denklemi hesaplanırken sürekli-zaman durumunda karşılaşılan Gibbs

olayı ile ayrık-zaman durumunda karşılaşılmaz.

k k

tTjkk

tjkk eaeatx /20)(

Ayrık-zaman Fourier dönüşümü için yakınsama koşulu

Koşul : İşaret mutlak toplanabilir veya sonlu enerjiye sahip olmalıdır:


][ ,][2

nn

nxnx

ÖRNEK: işaretinin Fouier dönüşümünü hesaplayınız, genlik ve

faz spektrumunu çiziniz.


Görüldüğü gibi, işaret gerçel olmasına rağmen Fourier dönüşümü karmaşık değerli

olabilmektedir. O halde, ω’nın fonksiyonu olarak Fourier dönüşümünün genliğini

(genlik spektrumu) ve fazını (faz spektrumunu) belirleyebilir ve çizebiliriz.

Pozitif ve negatif a değerleri için genlik ve faz spektrumları aşağıda çizilmiştir. Her

iki durumda da spektrumların 2 ile periyodik olduğuna dikkat ediniz.


1 ],[][ anuanx n

00

1

1 ][)(

nj

nj

n

njn

n

njj

aeaeeaenxeX

a > 0 a < 0

a > 0 için işaretin tüm değerleri pozitif olup işaret yavaş değiştiğinden Fourier

dönüşümü 0 ve 2’nin katlarında bileşenlere sahiptir. a < 0 için işaretin değeri bir

pozitif, bir negatif olup işaret hızlı değiştiğinden Fourier dönüşümü ’nin katlarında

frekans bileşenlerine sahiptir.

ÖRNEK: işaretinin Fouier dönüşümünü hesaplayınız ve frekansın

fonksiyonu olarak çiziniz.


Bu durumda Fourier dönüşümü gerçel çıkmıştır. İşaret ve Fourier dönüşümü aşağıda

0 < a < 1 için çizilmiştir.


1 ,)( aatxn

2

2

10

0

1

)cos(21

1

11

1

][)(

aa

a

ae

ae

ae

aeae

eaeaenxeX

j

j

j

n

nj

n

nj

n

njn

n

njn

n

njj

ÖRNEK: Ayrık-zaman impuls işaretinin Fouier dönüşümünü hesaplayınız

ÇÖZÜM:

İmpuls işaretinin Fourier dönüşümü tüm frekanslarda eşit bileşenlere sahiptir.

ÖRNEK: Dikdörtgen darbenin Fourier dönüşümünü hesaplayınız

ÇÖZÜM:


11][)( 0

j

n

njj eenxeX

1

1

,0

,1][

Nn

Nnnx

2/sin

2/1sin][)( 1

1

1

NeenxeX

N

Nn

nj

n

njj

Sürekli durumda olduğu gibi, darbenin Fourier dönüşümü sinc fonksiyonudur. Ancak,

sürekli-zamanda yan lobların genliği devamlı azalırken ayrık-zamanda periyodiklikten

dolayı bu durum geçerli değildir.


• Ayrık-zaman periyodik işaretlerinde Fourier dönüşümünü hesaplamak

mümkündür. periyodik işaretlerin Fourier dönüşümü impuls fonksiyonu içermek

zorundadır.

• Fourier dönüşümü olan işareti bulalım

• Periyodik bir ayrık-zaman işaret Fourirer serisine açılabilir:

• Açılımındaki karmaşık üstel terimlerin Fourier dönüşümü temel frekansın

katlarında impulslardır. Doğrusallık özelliğinden, sonsuz adet işaretin toplamının

Fourier dönüşümü, tek tek Fourier dönüşümlerinin toplamına eşittir. O halde,

njnjnj

l

ededelnx

0

00)()2(2

2

1][

l

j leX )2(2)( 0

Nk

nNjk

keanx )/2(][

k

k

k

k

j

NkakaeX

2

2)(2)( 0


ÖRNEK: ile verilen periyodik işaretin Fourier dönüşümü nedir?

ÇÖZÜM: Fourier serisi katsayıları tüm n değerleri için 1/N olarak bulunmuştu.

k

kNnnx ][][

kk

k

j

Nk

NNkaeX

222

2)(


ÖRNEK: x [n]=cos(ω0n) periyodik işaretinin Fourier dönüşümü nedir?

ÇÖZÜM:

ll

ll

j

njnj

ll

lalaeX

eennx

)2()2(

)2(2)2(2)(

2

1

2

1)cos(][

00

0101

000


Periyodik kare dalga

k

nNjkkea )/2(

kk

N

ka

22 ka

nje 0

ll)2(2 0

halde aksi,0

,...2,,,1 NmNmmkak

periyodik /20 Nm

)cos( 0n

lll

j)2()2( 00

halde aksi,0

,...2,,,2/1 NmNmmkak

periyodik /20 Nm

)sin( 0n

halde aksi,0

,...2,,,2/1

,...2,,,2/1

NmNmmkj

NmNmmkj

ak

periyodik /20 Nm

lll )2()2( 00

1][ nx

ll)2(2

halde aksi,0

,...2,,0,1 NNkak

2/,0

,1][

1

1

NnN

Nnnx

N

ka

kk

22

,...,,0,/)12(

,...,,0,)/sin(

)]2/1)(/2sin[(

1

1

NkNN

NkNkN

NNk

ak

k

kNn )( )2

(2

N

k

N k

k

Nak ,

1





1 İşaret periyodik değil





1 ],[ anuan

jae1

1

)2/sin(

)2/1(sin 1

N

1

1

,0

,1][

Nn

Nnnx

WnW

n

Wnsinc

)sin(

W

WeX j

,0

0,1)(

][n

][nu

k

jk

e

2

1

1

][ 0nn0 n

e

1 ],[)1( anuan n

21

1

jae

1 ],[

)!1(!

!1

anua

rn

rn n

rjae 1

1

Ayrık-zaman Fourier Dönüşümünün Özellikleri

• Kolaylık olması bakımından, ayrık-zaman Fourier dönüşümü ve tersini belirtmek

için sırasıyla F{x[n]} ve F-1{X(ej)} kısa gösterilimini kullanacağız. Ayrıca,

sürekli-zaman Fourier dönüşüm çiftini belirtmek için


• Ayrık-zaman Fourier dönüşümünün aşağıda verilen özellikleri aracılığıyla, Fourier

dönüşümü bilinen işaretlerden çoğu işaretin Fourier dönüşümünü elde etmek

kolaylaşmaktadır.



)(e )( jF Xtx


Zamanda öteleme:


Eşitliğin her iki tarafında n yerine n-n0 yazılırsa

Yorum: Bir sürekli-zaman işaret ötelendiğinde, Fourier dönüşümünün genliği

değişmez, fazı ise öteleme ile doğru orantılı bir şekilde ötelenir.

)e(][ )(e ][ 0

0

jnjFjF XennxXnx

deeXnx njj )(2

1][

deeeXdeeXnnx njnjjnnjj )(

0 )(2

1 )(

2

1][ 00

00 )(

0

)(

)()(][

)(][

neXjjjnj

eXjjj

j

j

eeXeXennxF

eeXeXnxF


Frekansta türev alma:


Eşitliğin her iki tarafında ’ ya göre türevi alınırsa

Son eşitliğin her iki tarafı j ile çarpılırsa sonuç elde edilmiş olur.

d

edXjnnxXnx

jFjF )(

][ )(e ][

n

njj enxeX ][)(

n

njj

enjnxd

edX ][)(




O halde,


Yorum: İki işaretin konvolüsyonunun Fourier dönüşümü, Fourier dönüşümlerinin

çarpımına eşittir. Yani, iki işaretin konvolüsyonunu bulmak için, Fourier dönüşümleri

çarpılır ve çarpımın ters Fourier dönüşümü alınır.

)()()( ][*][][ jjj eHeXeYnhnxny

k

knhkxny ][][][

k n

nj

n

nj

k

j

eknhkx

eknhkxnyFeY

][][

][][][)(

)( jkj eHe

)()(][)(

)(][)(

jj

k

kjj

k

jkj

eHeXekxeH

eHekxjY


ÖRNEK: x[n]=nu[n] ||<1 ve h[n]=nu[n] ||<1 işaretlerinin konvolüsyonunu

Fourier dönüşümünden yararlanarak hesaplayınız.

ÇÖZÜM:

Y(e j) basit kesirlere açılırsa

y[n]’yi elde etmek için ters Fourier dönüşümü almak yeterlidir.

jjjj

j

eejY

ejH

eeX

11

1)( ,

1

1)( ,

1

1)(

jjjj

j

eee

B

e

AeY

11

1

11)(

][1

][][

11

1)(][

11

11

nu

nunu

eeFeYFny

nn

nn

jj

j


Çarpma (modülasyon) özelliği:


x1[n] yerine ters Fourier dönüşüm ifadesi kullanılır ve toplama ile integralin sırası

değiştirilirse

)(*)(2

1)( ][][][ 2121

jjjF eXeXeYnxnxny

n

nj

n

njj enxnxenyeY

21

][][][)(

)(*)(2

1

)()(2

1

][)(2

1

][)(2

1)(

21

)(

22

1

2

)(

21

22

1

jj

jj

n

njj

n

njnjjj

eXeX

deXeX

denxeX

enxdeeXeY


Özellik Aperiyodik İşaret Fourier dönüşümü

Doğrusallık

Zamanda öteleme

Frekansta öteleme

Eşlenik alma


Zamanda ölçekleme

Konvolüsyon

Zamanda çarpma

][

][

ny

nx

)(

)(

ejY

eX j

][][ nbynax )()( jj ebYeaX

][ 0nnx )(0 jnjeXe

][ 0 nxenj )(

)( 0jeX

)(* tx )(* jX

][ nx

halde aksi 0,

katınıınk' n,],/[][

knxnx

k jkeX

][*][ nynx )()( jj eYeX

][][ nynx )(*)(2

1

jj eYeX

)( jeX

Özellik Aperiyodik İşaret Fourier Dönüşümü

Zamanda fark alma

Zamanda toplama

Frekansta türev alma



x[n] gerçel




x(t) gerçel ve tek

X(e j ) gerçel ve çift

X(e j ) saf karmaşık ve tek


ayrıştırması

Aperiyodik İşaretler için Parseval İlişkisi

]1[][ nxnx )()1( jj eXe

n

k

kx ][

)()(

)()(

)}({)}({

)}({)}({

)()( *

jj

jj

jj

jj

jj

eXeX

eXeX

eXmeXm

eXeeXe

eXeX

gerçel] ][[ }][{Od][

]gerçel ][[ ]}[{Ev][

nxnxnx

nxnxnx

o

e

)}({

)}({

j

j

eXmj

eXe

2

22)(

2

1][ deXnx j

n

k

jj

jkeXeX

e)2()()(

1

1 0

][nnx

d

edXj

j )(


Sistemler

• Girişi-çıkış ilişkisi aşağıda verilen ayrık-zaman sistemin frekans yanıtını bulalım


• Fark denkleminin her iki tarafının Fourier dönüşümü alınır ve Fourier

dönüşümünün öteleme özelliği kullanılırsa frekans yanıtı bulunabilir:

M

k

k

N

k

k knxbknya00

][][

)(

)()()()()(

j

jjjjj

eX

eYeHeHeXeY

N

k

kj

k

M

k

kj

kj

M

k

jkj

k

N

k

jkj

k

M

k

k

N

k

k

M

k

k

N

k

k

ea

eb

eHeXebeYea

knxFbknyFaknxbFknyaF

0

0

0

0

0000

)()()(

][][][][



ÖRNEK: Giriş-çıkış ilişkisi aşağıda verilen sistemin frekans yanıtını ve impuls


ÇÖZÜM: Her iki tarafın Fourier dönüşümü alınırsa

H(e j)’nın ters Fourier dönüşümü alınırsa impuls yantı elde edilir.

][2]2[8

1]1[

4

3][ nxnynyny

2

2

8

1

4

31

2

)(

)()(

)(2)(8

1)(

4

3)(

jjj

jj

jjjjjj

eeeX

eYeH

eXeYeeYeeY

][4

12][

2

14][

4

11

2

2

11

4)(][ 11

nununh

ee

FeHFnh

nn

jj

j

Hafta 10:

Laplace Dönüşümü

• Laplace dönüşümü

• Laplace dönüşümünün yakınsaklık bölgesi

• Ters Laplace dönüşümü

• Laplace dönüşümünün özellikleri

• Laplace dönüşümü kullanarak LTI sistemlerin analizi


• İmpuls yanıtı h(t) olan bir LTI sistemin, est girişine olan yanıtının y(t) = H(s) est

olduğunu görmüştük. H(s) aşağıdaki gibi hesaplanıyordu:

• s=jw için yukarıda verilen integral ifadesi h(t)’nin Fourier dönüşümünü verir. s’in

genel karmaşık değişken (s= +jw ) olması durumunda integral ifadesine Laplace

dönüşümü denir.

• s karmaşık bir sayı olmak üzere, bir sürekli-zaman işaret x(t)’nin Laplace

dönüşümü

denklemiyle tanımlanır. Laplace dönüşümünü belirtmek için L{x(t)} kullanacak,

işaret ile Laplace dönüşümü arasındaki ilişkiyi, aşağıdaki şekilde belirteceğiz.


( ) ( ) stH s h t e dt

( ) ( ) stX s x t e dt

( ) ( )Lx t X s

• Laplace dönüşümü ile sürekli-zaman Fourier dönüşümü arasındaki ilişki aşağıda

gösterilmiştir.

• s=jw için,

• Dolayısı ile

• s= +jw için,

Bu durumda eşitliğin sağ tarafının x(t) e- t ‘nin Fourier dönüşümüne eşit

olduğu görülür.


( ) ( ) ( ) ( )s jwst jwtX s x t e dt X jw x t e dt

( )( ) ( ) ( ) ( )s jwst jw tX s x t e dt X jw x t e dt

( ) ( )s jw

X s F x t

( ) ( ) ( )t jwt t jwtX jw x t e e dt x t e e dt


• Görüldüğü gibi Laplace dönüşümü, karmaşık s-düzleminde j-ekseni üzerinde

hesaplandığında sürekli-zaman Fourier dönüşümünü verir. !!!

• x(t)e- t işaretinin Fourier dönüşümü de x(t) işaretinin Laplace dönüşümünü verir.

• Bu durumda:

1-) Bir x(t) işaretinin Laplace dönüşümünün var olabilmesi için x(t)e- t işaretinin

Fourier dönüşümü yakınsamalıdır.Verilen bir x(t) işareti için, Laplace dönüşümünün

var olduğu değerleri kümesine YAKINSAKLIK BÖLGESİ (Region Of Converge,

ROC) denir.

2-) Eğer ROC imajiner ekseni (s=j) içeriyorsa, işaretin Fourier dönüşümü de

vardır.

3-) Bazı işaretler için Fourier dönüşümü yakınsamaz iken Laplace dönüşümü

yakınsayabilir.

( ) ( )s jw

X s F x t

ÖRNEK 1 : işaretinin Laplace dönüşümünü hesaplayınız.

ÇÖZÜM: Bu işaret için Fourier dönüşümü önceki haftalarda aşağıdaki gibi

hesaplanmıştır.

İşaretin Laplace dönüşümü ise,

veya,

( ) ( )atx t e u t


0

1( ) ( ) , 0j t at j tX j x t e dt e e dt

a ja

( )

0 0( ) ( ) s t at s t s a tX s x t e dt e e dt e dt

( )

0

1( ) , 0

( )

a t jwt

s jwX s e e dt

a jwa

1

( ) , Re s jw X ss a

s a

ÖRNEK 2: işaretinin Laplace dönüşümünü hesaplayınız.

ÇÖZÜM:


( ) ( )atx t e u t

0 ( )( ) ( )at s t s a tX s e e u t dt e dt

1

( ) ( ) , ReLate u t X sss

aa

Örnekler incelediğinde farklı iki işarete ait Laplace dönüşümlerinin cebirsel olarak

birbirine eşit olduğu görülür.

Fakat eşitliklerin geçerli olduğu tanım aralıklarının (yakınsaklık bölgesinin)

birbirinden farklı olduğuna dikkat ediniz.

Bu durumda Laplace dönüşümü için cebirsel ifadenin yanısıra tanım aralığıda

belirtilmelidir.


1

( ) ( ) , ReLate u t X sss

aa

1

( ) ( ) , ReLate u t X ss a

s a

veRe Res a s a


1

( ) ) Re ( ,Late u t X sa

ass

R1

( ) ( ) , eLate u t X s ss a

a


ÖRNEK: işaretinin Laplace dönüşümünü hesaplayınız..

2( ) 3 ( ) 2 ( )t tx t e u t e u t

2 2

0 0( ) 3 ( ) 2 ( ) 3 2t t s t t s t t s tX s e u t e u t e dt e e dt e e dt

2Re

3 2 1( )

2 1 3 21

sX s

s s ss

s

2 R1

( ) ( ) , e 22

Lte u t X s ss

1

( ) ( ) , 1

Re 1Lte u t X s ss

her iki koşulun sağlandığı bölge…


ÖRNEK: işaretinin Laplace dönüşümünü hesaplayınız..

2( ) ( ) (cos3 ) ( )t tx t e u t e t u t

2

2

1 1 1 1 1 2s 5 12( ) ,

2 2 (1 3 ) 2 (1 3 )Re

s 2 10 ( 21

)

sX s

s s j ss

s j s

2 R1

( ) ( ) , e 22

Lte u t X s ss

(1 3 ) R1

( ) ( ) , (

e 11 3 )

Lj te u t X s ss j

2 (1 3 ) (1 3 )1 1( ) ( )

2 2

t j t j tx t e e e u t

(1 3 ) R1

( ) ( ) , (

e 11 3 )

Lj te u t X s ss j

Örneklerden görüldüğü gibi reel veya karmaşık üstel işaretlerin doğrusal

kombinasyonu olarak tanımlanan işaretin Laplace dönüşümü;

yapısındadır.

Pay N(s) ve payda D(s) için tanımlanan polinomlara ait köklerin s-düzleminde

yerine yerleştirilmesi ve ROC bölgesinin tanımlanması Laplace dönüşümünün

ifadesi için alternatif bir yöntemdir.

Bu tip gösterimde N(s)’in kökleri “o”, D(s)’in kökleri ise “x” ile belirtilir.


( )( )

( )

N sX s

D s


2

1( )

3R

2e 1

sX s

s ss

2

2

2s 5 12( ) ,

s 2 10 (Re

2)1

sX s

ss

s

N(s)’in kökleri X(s)’in sıfırları olarak adlandırılır. Çünkü s’in bu değerleri için X(s) =0

değerini alır. D(s)’in kökleri ise kutup olarak adlandırılır ve X(s) = olur


Örnek: işaretinin Laplace dönüşümünü hesaplayınız.. 24 1( ) ( ) ( ) ( )

3 3

t tx t t e u t e u t

( ) ( ) 1L stt t e dt

1

( ) ( ) , 1

Re 1Lte u t X s ss

2 R1

( ) ( ) , 2

e 2Lte u t X s ss

ROC ?

24 1 1 1 ( 1)

( ) 1 = 3 1 3 2 ( 1)

R( )

e 22

sX s

s s ss

s

Soru: x(t) işaretinin Fourier dönüşümü için ne söylenebilir?


Özellik 1: Laplace dönüşümü X(s)’ e ait ROC jw eksenine paralel bir şerittir.

Daha önce belirtildiği gibi s= +jw olmak üzere x(t) nin Laplace dönüşümünün

var olabilmesi için x(t)e- t işaretinin Fourier dönüşümü yakınsamalıdır.

Dolayısı ile koşul sadece s’in gerçel kısmına bağlıdır.

Özellik 2: X(s)’ e ait ROC kutup içermez.

Kutup noktalarında X(s)= olduğundan integrali

yakınsamayacaktır.

( ) tx t e dt

( ) ( ) stX s x t e dt


Özellik 3: x(t) sonlu bir işaret ve mutlak integrallanabilir ise X(s)’e ait ROC tüm

s-düzlemidir.

x(t)e- t


Özellik 4: x(t) sağ tarafa dayalı bir işaret ise ve Re{s}= ROC bölgesinde ise

Re{s}> şartını sağlayan tüm s noktalarıda ROC alanındadır.

ise şartını sağlayan içinde

geçerli olacaktır.

Özellik 5: x(t) sol tarafa dayalı bir işaret ise ve Re{s}= ROC bölgesinde ise

Re{s} < şartını sağlayan tüm s noktalarıda ROC alanındadır.

0

1

( )t

T

x t e dt

0 1 1

1

1

( )t

T

x t e dt

0

0

0

0

Documents

İŞARETLER - SLAYTLAR