12 Dinamika Cestice Newton

Dinamika Dinamika ččesticeestice

Mirko Husnjak

Uvod

Sir Isaac Newton (1642 - 1727)

Uvod

Sir Isaac Newton (1642 - 1727)

Temelj klasične mehanikeSir Isaac Newton

(1642 - 1727)Philosophiae naturalis principia mathematica

(1686)The Mathematical Principles of Natural Philosophy

Citat

If I have been able to see further, it was onlybecause I stood on the shoulders of giants.

Sir Isaac Newton

Ako sam mogao vidjeti dalje to je zato što sam stajao na ramenima divova.

Sir Isaac Newton

Divovi

Nicolaus Copernicus1473 Torun, Poljska

1543, Frauenburg (sada Frombork), Poljska

Divovi

Galileo Galilei1564 (Pisa)-1642 (Arcetri-blizu Firence) Italija

Divovi

Johannes Kepler1571 (Weil der Stadt, Württemberg, Holy Roman Empire (sada Germany)

1630 Regensburg (sada Germany)

Newtonovi zakoni gibanja1. Tijelo će ustrajati u stanju mirovanja ili jednolikog

gibanja po pravcu sve dok neka sila ne promjeni to stanje.

2. Ubrzanje je direktno proporcionalno i istog smjera kao rezultanta sila koje djeluju na tijelo.

3. Svakoj aktivnoj sili suprotstavlja se reaktivna sila jednake veličine i suprotnoga smjera.

1

n

ii

ma F=

= ∑

12 21F F= −

Dinamika – 2. Newtonov zakonUbrzanje čestice je:a) direktno proporcionalno

rezultanti sila koje djeluju na česticu,

b) jednakog smjera kao rezultanta sila koje djeluju na česticu,

c) obrnuto proporcionalno masi čestice.

1Ra F

m=

Čestica ima dva svojstva:

• geometrijska svojstva točke

• masu m

Dinamika – 2. Newtonov zakon

1Ra F

m=

1

n

R ii

F F=

=∑

Jednadžba gibanja čestice-Descartesove koordinate

F ma=

x yF F i F j= +

x ya a i a j= +

x x

y y

ma Fma F

=

=

Jednadžba gibanja čestice-polarne koordinate

F ma=

r rF F e F eϕ ϕ= +

( ) ( )2 2ra r r e r r eϕϕ ϕ ϕ= − + +

( )( )

2

2rm r r F

m r r Fϕ

ϕ

ϕ ϕ

− =

+ =

Jednadžba gibanja čestice-cilindrične koordinate

F ma=

r r zF F e F e F kϕ ϕ= + +

( ) ( )2 2ra r r e r r e zkϕϕ ϕ ϕ= − + + +

( )( )

2

2r

z

m r r F

m r r F

mz Fϕ

ϕ

ϕ ϕ

− =

+ =

=

Jednadžba gibanja čestice-prirodne koordinate

F ma=

T T N NF F e F e= +2

T Ndv va e edt ρ

= +

2

N

Tdvm Fdtvm Fρ

=

=

Postupak riješavanja zadataka iz dinamike

1. Osloboditi tijelo veza i ucrtati aktivne sile i reakcije veza (sile ne će biti uravnotežene, jer čestica nije u statičkoj ravnoteži).

2. Izabrati pogodan referentni koordinatni sustav.3. Postaviti odgovarajuće jednadžbe gibanja za

izabrani koordinatni sustav te odrediti nepoznate sile ili ubrzanje čestice.

4. Primijeniti kinematičke jednadžbe za određivanje brzine odnosno položaja.

Jednadžbe gibanja-Descartesove koordinate

Primjer: Kosi hitac


ma F=a x i y j= +F mg j= −

( )( )( )( )

0

0

0 0

0 0

0 cos

0 sin

x

y

x v

y v

α

α

=

=

=

=

Početni uvjeti:

( )0

m xi y j mg j

xy g

+ = −

== −

Jednadžba gibanja:


1

1 2

0xx Cx C t C

=== +

3

23 42

y gy gt C

gy t C t C

= −= − +

= − + +

( )( )( )( )

0

0

0 0

0 0

0 cos

0 sin

x

y

x v

y v

α

α

=

=

=

=

2

4

1 0

3 0

00

cossin

CCC vC v

αα

===

=


0 cosx v t α=2

0 sin2gy v t tα= −

0 cosx v α=

0 siny v gtα= −

0x =

y g= −


0 cosx v t α= 20 sin

2gy v t tα= −

00

sinsin 0 vv gt tgαα − = ⇒ =

0 cosxt

v α=

22 20

tg2 cos

gy x xv

αα

= −

Tjeme:

0 cosx v t α=20 sin 2

2Tvxg

α=


00

sinsin 0 vv gt tgαα − = ⇒ =

Tjeme putanje:

0 cosx v t α=20 sin 2

2Tvxg

α=

220 sin

2Tvyg

α=

20 sin

2gy v t tα= −


20 sin 2vLg

α=20 sin 2

2Tvxg

α=

220 sin

2vhg

α=

Primjer

Lift (zajedno s vagom na kojoj stoji putnik) ima masu m1=200 kg, a putnik u liftu masu m2=80 kg. Ako je poznato da se lift ubrzava prema gore ubrzanjem a=1.2 m/s2 potrebno je odrediti:

a) kolika sila F je potrebna za takvo ubrzanje,

b) koliku će težinu pokazivati vaga na kojoj stoji putnik?

Primjera aj=

( )1 2RF F m g m g j= − −

( )1 2RF m m a= +

( ) ( )1 2 1 2m m a F m m g+ = − +

( )( )1 2F m m a g= + +

( )( )200 80 1.2 9.81 3082 NF = + + =

Primjera aj=

1 1NF m g m a− =

1 1NF m g m a= +

( ) ( )1 80 9.81 1.2 880.532 NNF m g a= + = + =

89.789 kgNFg

=

Primjer

Nosač aviona istisnine m=87000 BRT ima brzinu v0=30 čvorova u trenutku kada motori prestaju raditi. Uz pretpostavku da je otpor broda ovisan o kvadratu brzine prema jednadžbi:

potrebno je odrediti:

a) koliko je vremena potrebno da se njegova brzina smanji na v= 0.1v0,

b) koliki će put prevaliti brod za to vrijeme.1 BRT=1000 kg, 1 čvor=1.852 km/h

2

9000

wF CvkgCm

=

=

Primjer

i

j v

2

2

dv d sa ai i idt dt

= = =

( )R W UF F i F mg j= − + −

Rma F=

( )W Udvm i F i F mg jdt

= − + −

2dvm Cvdt

= −

0

20

0

1 1

v t

v

dvm C dtv

m Ctv v

= −

⎛ ⎞− − = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

∫ ∫

00

1

1v v

Cv tm

=+

( )0

00

100 0

0

910

10

vm vm v v mtvCvv CvC v

⎛ ⎞−⎜ ⎟− ⎝ ⎠= = =

Primjer

00

1

1v v

Cv tm

=+

10

9mtCv

=

0

87000000 kgkgC=9000m

m30 čvorova 15.433s

m

v

=

= =

1 5637 st =

00

1

1

ds vCvdt tm

=+

000 0

0

1

ln 1

s t dtds vCv tm

Cvms tC m

=+

= +

∫ ∫

1 22258 ms =

Jednadžbe gibanja-polarne koordinate

Čestica mase m nalazi se u glatkoj cijevi koja rotira oko vertikalne osi zkonstantnom kutnom brzinom ω. U početnom trenutku t=0 čestica se nalazi na vrlo maloj udaljenosti b≈0 od ishodišta, a kut ϕ=0 i ispuštena je bez početne brzine.

Odredite jednadžbu putanje čestice i silu između cijevi i čestice.

Jednadžba gibanja čestice-polarne

F ma=

F Feϕ=

( ) ( )2 0 2ra r r e r eϕω ω= − + +

( )( )

2 0

0 2

m r r

m r F

ω

ω

− =

+ =

2 02r rmr F

ωω

− ==


2 02r rmr F

ωω

− ==

2

2

2

dr dr rdr dt

drr rdr

rdr rdr

ω

ω

ω

=

=

=

21rdr rdr Cω= +∫ ∫

21

2 2 2 2

2 2 2 22 2 2

rdr rdr C

r r C

r r C

ω

ω

ω

= +

= +

= +

∫ ∫

( ) 2 2 20, , 0 0t r b r C b ω= = = ⇒ = −2 2 2 2 2r r bω ω= − 2 2

2 2

2 2

r r bdr r bdt

dr dtr b

ω

ω

ω

= −

= −

=−


2 2

dr dtr b

ω=−

22 2

drdt Cr b

ω = +−

∫ ∫

2Arcosh rt Cb

ω ⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

2 0C = ( )( )

( )2

cosh

sinh22 sinh

r b t

r b tF mrF mb t

ω

ω ωω

ω ω

=

=

=

=2mr Fω =

( )coshr b tω=


( )22 sinhF mb tω ω=

( )coshr b tω=


Postaviti jednadžbe gibanja satelita koji se giba oko Zemlje pod djelovanjem gravitacijske sile:

2Z

rm mF er

γ= −

311

2

m6.67 10kgs

γ −= ⋅

245.98 10 kgZm = ⋅66.371 10 mR = ⋅


Sila koja djeluje na satelit:

1 22 r

m mF er

γ= −

311

2

m6.67 10kgs

γ −= ⋅

gdje je gravitacije konstanta:

Prema općem Newtonovom zakonu gravitacije sila kojom se privlače dva tijela iznosi

245.98 10 kgZm = ⋅Ako je jedno od tijela Zemlja mase:

66.371 10 mR = ⋅i polumjera ovaj se izraz može preurediti ovako:


2Z

rmmF eR

γ= −

245.98 10 kgZm = ⋅66.371 10 mR = ⋅

Na površini Zemlje bit će:

Ova sila je jednaka težini satelita:

0 rF mg e= −

0 2Zmmmg

Rγ− = −

20

Izjednačavanjem

ZR g m γ=2

0 2 rRF mg er

= −


2

0 2 rRF mg er

= −


U polarnim koordinatama bit će:2

0 2 0rRF mg e er ϕ= − +

( ) ( )2 2ra r r e r r eϕϕ ϕ ϕ= − + +

( ) ( )2

20 2 2r r

Rmg e m r r e m r r er ϕϕ ϕ ϕ− = − + +

F ma=

Newtonov zakon:


Diferencijalne jednadžbe gibanja u polarnim koordinatama bit će:

22

0 2

2 0

Rr r gr

r r

ϕ

ϕ ϕ

− =

+ =

Documents

12 Dinamika Cestice Newton