168-474-1-PB.pdf

J. Sains MIPA, Desember 2007, Vol. 13, No. 3, Hal.: 197 - 200 ISSN 1978-1873

2007 FMIPA Universitas Lampung 197

HUBUNGAN PELABELAN GRACEFUL PADA

DIGRAF BIDIRECTIONAL G DAN GRAF UNDERLYING DARI G

Kristiana Wijaya

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Jember E-mail: [email protected]

Diterima 12 Juni 2007, perbaikan 25 Januari 2008, disetujui untuk diterbitkan 28 Januari 2008

ABSTRACT

A graceful labelling of digraph D with n vertices and e arcs is a one to one function { }eDV ,,1,0)(: L→λ such

that each arc xya = in D is labelled with )()()()( xyxya λλλλ −== mod )1( +e , the resulting arc labels

are distinct. A digraph D is called graceful if it admits any graceful labeling. In this paper we give the relation between a

graceful labeling on bidirectional digraph G and underlying graph of G , i.e GG = . Keywords: graceful labeling, bidirectional digraph and underlying graph

1. PENDAHULUAN Pelabelan graf merupakan pemberian nilai (biasanya bilangan bulat tak negatif) pada himpunan titik atau sisi graf yang memenuhi aturan tertentu. Pelabelan graf sudah dikenal sejak tahun 60-an. Sejak itu sudah lebih dari 300 tulisan yang dihasilkan mengenai pelabelan graf. Pelabelan graf menjadi topik yang banyak mendapat perhatian, karena model-model yang ada pada pelabelan graf mempunyai aplikasi yang luas, seperti dalam masalah teori koding, kristalografi sinar-X, radar, sistem alamat jaringan komunikasi dan desain sirkuit 1). Salah satu jenis pelabelan graf yang telah dikenal adalah pelabelan graceful. Pelabelan graceful diperkenalkan oleh Rosa2) pada tahun 1967 dengan

nama valuasi-β, yang didefinisikan sebagai fungsi λ yang merupakan fungsi satu-satu dari himpunan titik graf G ke himpunan bilangan bulat {0, 1, 2,…,

)(GE }, sehingga setiap sisi (x, y) di G mendapat

label |λ(x) − λ(y)| yang berbeda semua. Kemudian pada tahun 1972, Golomb menamakan pelabelan ini sebagai pelabelan graceful. Pelabelan graceful pada graf telah banyak dikaji, diantaranya adalah sebagai berikut: 1. Rosa2) membuktikan bahwa graf sikel Cn graceful

jika dan hanya jika n ≡ 0 atau 3 (mod 4), 2. Hoede dan Kuiper3) membuktikan bahwa graf roda

Wn graceful untuk setiap 3≥n , 3. Golomb4) membuktikan bahwa graf lengkap Kn

graceful jika dan hanya jika 4≤n ; dan graf bipartit lengkap Km,n adalah graceful untuk setiap m dan n.

Hasil tentang graceful pada graf, selengkapnya dapat dilihat di Galian5).

Sejalan dengan ide pelabelan graceful pada graf, Bloom dan Hsu6) memperkenalkan pelabelan graceful pada

digraf (graf berarah). Misalkan ),( enD digraf dengan

n titik dan e arc. Pelabelan graceful pada digraf D adalah fungsi satu-satu:

{ }eZDV e , 2, 1, 0,)(: 1 L=→ +λ , dengan

setiap arc ),( yx di D mendapat label

( ))1(mod)()(),( +−= exyyx λλλ

yang berbeda semua. Sebuah digraf D disebut digraf graceful jika setiap titik dan arc pada digraf D dapat diberi labell menurut aturan pelabelan graceful. Graf (tak berarah) G = |D| merupakan graf underlying

dari digraf D, jika )()( DVGV = dan sisi ),( yx

adalah sisi di G jika arc ),( yx atau arc ),( xy

adalah arc di D. Karena setiap sisi di |D| merupakan salah satu arah atau dua arah yang ada di D, maka ada 3e digraf D yang berasosiasi dengan graf underlying |D|. Jadi setiap digraf merupakan orientasi dari |D|.

Sedangkan digraf bidirectional G dari graf G adalah

graf dengan himpunan titik )()( GVGV = dan arc

simetri ),( yx dan ),( xy adalah arc di G jika sisi

),( yx adalah sisi di G. Dengan demikian jika G

adalah graf dengan n titk dan e sisi, maka digraf

bidirectional G adalah graf dengan n titik dan 2e arc.

Untuk selanjutnya, digraf bidirectional G akan disebut

digraf G saja. Selebihnya mengenai konsep graf dan digraf dapat dibaca pada buku Graphs and Digraphs7) dan Graph Theory8).

Kristiana Wijaya... Hubungan Pelabelan Graceful pada Digraf Bidirectional


Pada paper ini dibahas mengenai hubungan pelabelan graceful pada digraf bidirectional dan graf underlying-

nya, yaitu apakah pelabelan graceful pada digraf G dapat diperoleh dari pelabelan graceful pada graf

underlying dari G (yaitu || GG = ). Hubungan ini

akan diterapkan pada beberapa kelas graf, khususnya kelas graf yang telah dikaji kegracefulannya, yaitu graf sikel, graf roda, graf lengkap dan graf bipartit lengkap.

2. METODE PENELITIAN

Penulisan paper ini dilakukan dengan metode teoritis, yaitu dengan cara mempelajari dan mengkaji karya-karya ilmiah yang telah ada mengenai pelabelan graceful, baik pelabelan graceful pada graf maupun pelabelan graceful pada digraf. Langkah selanjutnya adalah menyelidiki hubungan antara pelabelan graceful pada graf dan digraf, khususnya pelabelan graceful

pada digraf bidirectional G dan graf underlying

|| GG = , yaitu apakah untuk mendapatkan pelabelan

graceful pada digraf bidirectional dapat diperoleh dari pelabelan graceful pada graf underlying-nya. Langkah terakhir, diselidiki perumusan pelabelan graceful pada kelas digraf bidirectional, yaitu digraf sikel dan digraf lengkap guna melihat hubungannya dengan pelabelan graceful pada graf sikel dan graf lengkap.

3. PEMBAHASAN

Pada bagian ini dibahas hubungan pelabelan graceful

pada digraf G dengan pelabelan graceful pada graf

|| GG = , yaitu bahwa pelabelan graceful pada digraf

G bisa didapatkan dari pelabelan graceful pada graf G. Selanjutnya akan dibahas pelabelan graceful pada beberapa kelas digraf bidirectional, yaitu kelas digraf

G dengan graf || GG = yang telah diketahui

graceful atau tidak. Kelas digraf yang dimaksud adalah

digraf sikel nC , digraf roda nW , digraf lengkap nK

dan digraf bipartit lengkap nmK , .

Teorema 1. Jika graf G graceful, maka digraf G juga graceful dengan label titik yang sama dengan graf G 6).

Bukti: Jika G adalah graf dengan n titik dan e sisi, maka

G adalah graf dengan n titik dan 2e arc. Dengan

demikian pelabelan graceful pada digraf G

menggunakan modulo )12( +e . Misalkan G graceful

dengan label titik λ(x) untuk setiap )(GVx ∈ , maka

λ(x) juga menjadi label titik di G untuk setiap

)(GVx ∈ . Dan untuk setiap sisi ),( yx di G

mendapat label λ(x, y) = |λ(y) - λ(x)|. Karena label titik

pada digraf G sama dengan label titik pada graf G,

maka kita tinggal menunjukkan bahwa label arc di G

semuanya berbeda. Berdasarkan definisi G , jika (x, y)

di E(G) maka arc ),( yx dan ),( xy di A( G ). Tanpa

mengurangi keumuman bukti, kita misalkan λ(y) > λ(x),

sehingga setiap arc di G mendapat label

( )),(

)12(mod)()(),(

yx

exyyx

λλλλ

=+−=

dan

( )( )),(12

)12(mod),(

)12(mod)()(),(

yxe

eyx

eyxxy

λλ

λλλ

−+=+−=+−=

.

Karena G graceful maka label sisi di G adalah

e,,2,1 L . Dengan demikian sebanyak e arc di G

yaitu arc ),( yx mempunyai label yang sama dengan e

sisi di G, yaitu e,,2,1 L . Sedangkan e arc selebihnya

di G yaitu arc ),( xy mempunyai label

))12((mod,,2,1 +−−− eeL yang tidak lain

adalah 1,,12,2 +− eee L secara berturut-turut.

Dengan demikian sebanyak 2e arc di G mempunyai label yang semuanya berbeda. Jadi jika setiap titik di

G diberi label sama dengan label titik di G, maka 2e

arc di G mendapat label e2,,3,2,1 L . Jadi

pelabelan pada digraf G memenuhi sifat pelabelan graceful. ■ Sebagai contoh, pada Gambar 1 diperlihatkan pelabelan graceful pada bidirectional digraf yang dihasilkan dari pelabelan graceful graf underlying-nya. Akibat 1 Berdasarkan Teorema 1 dan hasil dari garceful pada kelas graf, kita dapatkan:

1. Digraf sikel nC graceful untuk n ≡ 0 atau 3 (mod

4),

2. Digraf roda nW graceful untuk setiap n ≥ 3,

3. Digraf lengkap nK graceful untuk 4≤n ; dan

digraf bipartit lengkap nmK , graceful untuk

setiap m dan n. ■ Sebagai contoh, Gambar 2 merupakan pelabelan

graceful pada digraf lengkap 4K yang dihasilkan dari

pelabelan graceful pada graf lengkap 4K .

Kebalikan dari Teorema 1, bahwa jika digraf G graceful maka graf G graceful, belum tentu benar. Hal

J. Sains MIPA, Desember 2007, Vol. 13, No. 3


Gambar 1. Pelabelan Bidirectional Digraf Graceful Yang Dihasilkan Dari Pelabelan Graf Graceful

Gambar 2. Pelabelan Graceful Pada Graf K4 dan Digraf 4K

ini akan dibahas pada digraf sikel nC dan digraf

lengkap nK . Walaupun graf sikel Cn graceful 2) jika

dan hanya jika n ≡ 0 atau 3 (mod 4), tetapi digraf sikel

nC graceful untuk setiap n. Hal ini dibahas pada

teorema berikut.

Teorema 2 Digraf sikel nC graceful untuk setiap n 6).

Bukti: Misalkan himpunan titik dari digraf sikel nC

adalah ( ) { }nn xxxCV ,,, 21 L= dan himpunan

arcnya adalah

( ) { }nnn aaaeeeCA LL ,,,,,, 2121= dengan

1+= iii xxe , iii xxa 1+= untuk

1,,2,1 −= ni L dan 1xxe nn = , nn xxa 1= .

Berdasarkan Akibat 1 diketahui bahwa digraf sikel nC

graceful untuk 0≡n atau 3 (mod 4). Dengan demikian kita tinggal menunjukkan bahwa digraf sikel

nC graceful untuk 1≡n atau 2 )4(mod .

Definisikan pelabelan titik pada digraf nC dengan

)4(modrn ≡ untuk 1=r atau 2=r sebagai

berikut :

=+

−−+−==−−

−−==−

+−=+=

=

.untuk ,1

,2

,,4

4,

4,2untuk ,1

,4

4,,2,1,2untuk ,

,2

4,,1,0,12untuk ,

)(

nin

rnrnrnjjijn

rnjjijn

rnjjij

xi

L

L

L

λ

Dengan demikian arc di nC mendapatkan label:

( )

( )

=

−=++

−−+−=++−

−−+−−=−−

−−=+−

−−=−

=

,untuk

,1untuk 2

2

,2,,2

4,

2untuk ,)12(mod1

,1,,2

2,

2

2untuk ,1

,2

4,,4,2untuk ,)12(mod

,2

6,,3,1untuk ,

)(

nin

nirn

nrnrn

inin

nrnrn

iin

rninni

rniin

ei

L

L

L

L

λ

dan ( ))12mod()()( +−= nea ii λλ untuk setiap .,,2,1 ni L=

Kristiana Wijaya... Hubungan Pelabelan Graceful pada Digraf Bidirectional


Dapat dibuktikan dengan mudah bahwa pelabelan titik di atas memenuhi fungsi satu-satu dan setiap arc di

nC untuk 1≡n atau 2 (mod 4) mendapat label yang

berbeda semua. Dengan demikian pelabelan di atas

adalah pelabelan graceful. Jadi digraf sikel nC

graceful untuk setiap n. ■

Contoh pelabelan graceful pada digraf 5C diberikan

pada Gambar 3.

Gambar 3. Pelabelan Graceful Pada Digraf Sikel 5C

Selanjutnya dibahas pelabelan graceful pada digraf

lengkap nK . Telah diketahui bahwa graf lengkap nK

graceful 4) jika dan hanya jika 4≤n . Sehingga graf

lengkap nK tidak graceful untuk 5≥n . Menurut

Akibat 1, digraf lengkap nK graceful untuk 4≤n .

Bagaimana dengan digraf lengkap nK untuk 5≥n ?

Dalam paper ini penulis mendapatkan bahwa digraf

lengkap nK untuk 5=n dan 6=n adalah digraf

graceful. Sedangkan untuk 7≥n masih menjadi open

problem. Pelabelan graceful digraf lengkap nK untuk

5=n dan 6=n disajikan dalam bentuk matriks

( ) [ ]ijn aK =λ dengan entri ija menyatakan label

arc jivv sebagai berikut.

( )

=

027811

190569

1416014

13152003

101217180

11

9

4

3

0

11 9 4 3 0 titik label

5Kλ

( )

=

0411131419

270791015

20240238

182229016

1721283005

12162325260

19

15

8

6

5

0

19 15 8 6 5 0 titik label

6Kλ

4. KESIMPULAN DAN SARAN Dengan label titik yang sama, jika graf G graceful maka

digraf G juga graceful. Sedangkan jika digraf G graceful maka graf G belum tentu graceful. Sebagai

contoh, digraf sikel nC dengan 1≡n atau 2 (mod 4)

graceful, tetapi graf sikel Cn dengan 1≡n atau 2 (mod

4) tidak graceful. Demikian juga digraf lengkap 5K

dan 6K graceful, tetapi graf lengkap 5K dan 6K

tidak graceful. Pada paper ini masih belum ditemukan apakah ada

digraf G yang tidak graceful. Hal ini dapat diselidiki

pada digraf lengkap nK untuk 7≥n .

DAFTAR PUSTAKA 1. Bloom, G. S. and Golomb, S. W. 1977.

Applications of numbered undirected graphs. Proc. of the IEEE, 65: 562-570.

2. Rosa, A. 1967. On certain valuations of the

vertices of a graph, in Theory of Graphs (Internat. Symposium Rome, July 1966). Gordon and Breach, N. Y. and Dunod Paris, 349-355.

3. Hoede, C. and Kuiper, H. 1978. All wheels are

graceful. Utilitas Mathematica 14: 311. 4. Golomb, S. W. 1972. How to number a graph, in

Graph Theory and Computing. New York, Academic Press, 23-37.

5. Gallian, J. A. 2007. A dynamic survey of graph

labelings. Electronic J. Combinatorics 4. 6. Bloom, G. S. and Hsu, D. F. 1985. Graceful

directed graphs. SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 519-536.

7. Chartrand, G. and Lesniak, L. 1996. Graphs and Digraphs. Chapman & Hall, New York.

8. Harary, F. 1994. Graph Theory. Third Edition. Addison-Wesley Publishing Company, Inc. Philippine

J. Sains MIPA, Desember 2007, Vol. 13, No. 3


Documents

168-474-1-PB.pdf