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Apuntes UNAP
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Profesora: Corina Claro Collado
FACULTAD DE INGENIERIA Y
ARQUITECTURA
APUNTE 0 ALGEBRA INT-11
REPASO DE ALGEBRA BASICA
______________________________________________________________
ALGEBRA INT-11 INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL 2
GUIA 1: REPASO ALGEBRA BASICA
I CONJUNTOS NUMERICOS
En primer trmino se recuerdan los conjuntos numricos:
a) Conjunto de los nmeros Naturales
N = {1, 2 , 3 , 4, ...... }
b) Conjunto de los nmeros Enteros
Z = {....., -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
Enteros positivos: Z+ = {1, 2, 3, 4, 5,....}
Enteros negativos: Z - = {.... 4, -3, -2, -1}
c) Conjunto de los nmeros Racionales
Q
0bZbZab
a , ,
Ejemplos
525 ,416 ,04
0
4
5
4
5
,102
20 ,
7
1 ,
15
1 ,
4
1
Los nmeros racionales se pueden expresar como nmeros decimales infinitos peridicos, en que alguna(s) cifra(s) decimal se repite:
...0000,10102
20 ...571428571428,0
7
1
...06666,015
1 ...250000,0
4
1
d) Conjunto de los nmeros Irracionales:
Hay nmeros que tienen infinitas cifras decimales, pero, las cifras no se repiten
Ejemplos: 21,24781204290865421749...
______________________________________________________________
ALGEBRA INT-11 INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL 3
...656854249,5...414213562,142420
..141592654.3
...236067977,25
...414213562,12
e) Conjunto de los nmeros Reales
Este conjunto est formado por los nmeros racionales e irracionales.
Ejemplos: 11
2,0,21,
3
4
Los nmeros reales se pueden representar mediante los infinitos puntos de una recta. A cada nmero real le corresponde un solo punto de la recta numrica y, recprocamente, a cada punto de la recta le corresponde un solo nmero real.
-2 -1 2
1 0 1 2 2 3
Operatoria en el conjunto de los nmeros racionales Q
Amplificar una fraccin: El valor de una fraccin no se altera si se multiplican numerador y denominador por un mismo nmero distinto de cero.
i) 21
12
3
3
7
4
7
4 ii)
30
72
65
612
5
12-
iii) 0 acon 26
25
a
a
26
25 iv)
0 b)(acon )(
)(
39
123
ba
ba
39
123
Simplificar una fraccin: Cuando tanto el numerador como el denominador se dividen por un mismo nmero distinto de cero, el valor de la fraccin no vara, obtenindose una fraccin equivalente a ella.
______________________________________________________________
ALGEBRA INT-11 INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL 4
9
2
259
252
225
50)
i
Simplificar una fraccin consiste en cancelar el mismo factor en el numerador y denominador.
7
9
)1(7
)1(9
7-
9- )
21
10
)21(4
)10(4
84
40- )
iiiii
iv) Encontrar una fraccin equivalente a 12
7 cuyo denominador sea 60.
60
35
512
57
12
7
Suma de fracciones:
Definicin: Para todo Qd
c
b
a, se tiene que:
bd
bcad
d
c
b
a
Ejemplos:
4
11
8
22
8
1210
24
3425
2
3
4
5 )
15
13
15
310
53
1352
5
1
3
2 )
ii
i
O bien empleando mnimo comn mltiplo (M.C.M.)
M.C.M.
4
11
4
65
4
325
2
3
4
5
Resta de fracciones: Toda resta de fracciones se transforma en suma, de la siguiente forma:
d
c
b
a
d
c
b
a
Ejemplo:
6
1
6
43
3
2
2
1
3
2
2
1
______________________________________________________________
ALGEBRA INT-11 INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL 5
Multiplicacin de fracciones:
Definicin: Para todo Qd
c
b
a, se tiene que
bd
ac
d
c
b
a
Ejemplos:
7
8
42
48
143
68
14
6
3
8)
10
3
20
6
45
32
4
3
5
2)
ii
i
O bien simplificando previamente
7
8
71
24
143
68
Divisin de fracciones:
Toda divisin de fracciones se transforma en multiplicacin, de la siguiente forma:
c
d
b
a
d
c
b
a
Ejemplos:
27
8
3
2
9
4
2
3:
9
4 )
10
21
2
7
5
3
7
2:
5
3) iii
Propiedades de la Operatoria con nmeros reales
En el conjunto de los nmeros reales hay dos operaciones definidas: adicin y multiplicacin. Sean a, b, c nmeros reales, entonces.
ADICION MULTIPLICACION
1) Asociativa
(a + b) + c = a + (b + c) cbacba
2) Conmutativa
a + b = b + a abba
3) Elemento neutro
______________________________________________________________
ALGEBRA INT-11 INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL 6
Existe R0 tal que a + 0=0+a=a Existe R1 tal que aaa 11
Para todo Ra . Para todo Ra .
4) Elemento Opuesto Elemento Inverso
Para todo Ra , existe Ra )( Para todo Ra , siendo 0a
tal que a + (-a) = (-a) + a = 0. existe a1 tal que:111 aa
aa .
5) Distributividad de la multiplicacin sobre la suma, por la izquierda y por la derecha:
cabacba acabacb
II EXPRESIONES ALGEBRAICAS
En lgebra es comn el uso de letras, nmeros, smbolos y signos.
Ejemplos:
bax 23x b;2a ;5 22
En ,5 2x 5 representa el coeficiente numrico y 2x la parte literal del trmino.
Una expresin algebraica puede tener uno o ms trminos:
7 ax Monomio
7 ax 2a Binomio
cbaax
baax
327
357 Polinomios
Multiplicacin de expresiones algebraicas
Se recordarn la multiplicacin de potencias de igual base y la elevacin a potencia de una potencia.
NOTA 10 a 0a
______________________________________________________________
ALGEBRA INT-11 INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL 7
Multiplicar potencias de igual base
Para multiplicar potencias de igual base, se eleva la base a la suma de los exponentes.
mnmn aaa
Ejemplos:
42331587 nn xxmmaaa 1n2 x m
Elevar una potencia a potencia
Para elevar a potencia una potencia, se eleva la base al producto de los exponentes.
nmnm aa Ejemplos:
2
462221234 5
c
ba
c
bxaa nn
n
32 a 5x
VER GUIA COMPLEMENTARIA DE POTENCIAS
Multiplicacin de monomios
Se multiplican los coeficientes numricos entre si y los factores literales entre s.
Ejemplo:
4242 34 34 baaaba
= 4312 ba
Multiplicacin de monomio por polinomio
Se multiplica cada trmino del polinomio por el monomio (Propiedad distributiva).
Ejemplo:
322322 36323 abbabababaab
Multiplicacin de Polinomios
Se multiplican trmino a trmino de los polinomios (Propiedad distributiva).
Ejemplo:
______________________________________________________________
ALGEBRA INT-11 INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL 8
xyyxxyyxxy
xyyx
2222 264263
223
Productos Notables:
Son productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccin, es decir, sin efectuar la multiplicacin.
1.- Cuadrado de un Binomio
222222
2
2
bababa
bababa
Ejemplo:
222222 3352535 yyxxyx
422 93025 yxyx
2.- Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades
(a + b) (a b) = 22 ba
Ejemplo:
22
24
3
24
3
24
3
xa
xa
xa
416
9 22 xa
3.- Producto de dos binomios con un trmino comn
abxbaxbxax 2
Ejemplo:
)3(53535 2 xxxx
1522 xx
Factorizacin de expresiones algebraicas
Es el procedimiento que permite dar forma de producto a una expresin algebraica. En la descomposicin en factores de una expresin algebraica, se presentan
______________________________________________________________
ALGEBRA INT-11 INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL 9
diversos casos, los cuales estn relacionados con el desarrollo de los Productos Notables.
Sacar factor comn de un polinomio
Ejemplos:
1.- aa 22 , a es el factor comn de los dos trminos entonces
aa 22 = a ( a + 2)
2.- x(a + b) + m(a + b), el factor comn es (a + b), entonces:
x(a + b) + m(a + b) = (a + b) (x + m)
3.- (1 + 3a) (x + 1) 2a (x +1) + 3(x+1), el factor comn es (x + 1)
(1 + 3a) (x + 1) 2a (x +1) + 3(x+1) = (x + 1) (1 + 3a 2a + 3)
= (x + 1) ( a + 4)
Factor comn por agrupacin de trminos
Ejemplo: Descomponer ax + bx + ay + by
Los dos primeros trminos tienen x como factor comn y los dos ltimos tienen y como factor comn, entonces.
ax + bx + ay + by = (a + b)x + (a+b)y
Los dos trminos tienen (a + b) como factor comn entonces
ax + bx + ay + by = (a + b)x + (a+b)y
= (a + b) (x + y)
Trinomio que es Cuadrado Perfecto
Segn el desarrollo del cuadrado de un binomio tenemos que:
222
222
2
2
bababa
bababa
Ejemplos
1. Factorizar 25102 aa
22 )5(2510 aaa
22 5 a52 a
______________________________________________________________
ALGEBRA INT-11 INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL 10
2. Factorizar 162492 xx
22 4) -(3x 16 24x - 9 x
22 4 43x2 3 x
Diferencia de cuadrados
bababa 22
Ejemplo:
Factorizar 2b - 9
bbb 339 2
Trinomio de la forma x2 + bx + c
El trinomio se descompone en dos factores cuyo primer trmino es x; el producto algebraico de los segundos trminos de ambos factores es igual a c y la suma de estos dos trminos es igual a b.
Ejemplo:
Factorizar x2 + 9x + 14 = (x + 7) (x + 2)
(7 + 2) 27
Suma y Diferencia de Cubos
2233
2233
yxyxyxyx
yxyxyxyx
Ejemplo:
Factorizar 83 a
422-a 28 2333 aaaa Divisin de Expresiones Algebraicas
Potencias de exponentes negativos y divisin de potencias de igual base:
p
p
aa
1 ;
22
m
n
n
m;
n
na
a
1
; tntn xxx :
Ejemplos:
1) 23
5
xx
x 2)
2
2
9
7 1
xx
x
x 3)
24717)7(17717 : aaaaa
______________________________________________________________
ALGEBRA INT-11 INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL 11
Divisin de expresiones algebraicas:
a) Divisin de monomios:
4
3
6
2
2
5
62
25 2
2
4
2
4
b
a
b
b
a
a
ba
ba
b) Divisin de Polinomio por Monomio
22
223223
32a
3
9
3
6
3
3
3
963
bab
a
ab
a
ba
a
a
a
abbaa
c) Divisin de Polinomios
- Se ordenan el dividendo y el divisor con relacin a una misma letra.
- Se divide el primer trmino del dividendo entre el primero del divisor y tendremos el primer trmino del cuociente. Este se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, para lo cual se le cambia el signo, escribiendo cada trmino debajo de su semejante. Si algn trmino de este producto no tiene trmino semejante en el dividendo se escribe en el lugar que le corresponde de acuerdo con la ordenacin.
- Se divide el primer trmino del resto entre el primer trmino del divisor, y tendremos el segundo trmino del cuociente. Se repite el proceso.
Ejemplos:
1) Dividir 9b 2apor 54513110 3223 babbaa
______________________________________________________________
ALGEBRA INT-11 INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL 12
Cuociente
baba
Divisor
ba
Dividendo
resto
bab
bab
abba
abba
baa
babbaa 22
32
32
22
22
23
3223 67592
0
5412
5412
6314
5114
4510
54513110
:
2.- Dividir yxyx 223 342521 por 7x + 5y
Se ordena el dividendo con relacin a x
22
23
32
22
22
22
23
2223 57357:
2525
2535
2535
3549
049
1521
2503421 yxyxyx
yy
yxy
yxy
xyyx
xyyx
yxx
yxyyxx
d) Divisin Sinttica: es una regla prctica para hallar el cuociente y el resto de la divisin de un polinomio en x por (x a), sin efectuar la divisin.
Ejemplo: Esta regla se puede aplicar en:
______________________________________________________________
ALGEBRA INT-11 INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL 13
1. 2:723 35 xxx , donde a = 2
2. 5:2535 24 xxxx , donde a = -5 ya que 55 xx
El cuociente es un polinomio en x cuyo grado es uno menos que el grado del dividendo.
Se explica la regla de la divisin sinttica, mediante el siguiente ejemplo:
44573223 ax-xxx tantolopor
Divisor
pordividido
Dividendo
Se ordenan los coeficientes del dividendo y el trmino a, segn el siguiente diagrama.
a 45732
Se baja el primer trmino 2
2
45732
Se multiplica 4 por 2 y este resultado se ubica bajo el trmino 3 y se suma. Se multiplica 4 por 5 y este resultado se ubica bajo el 7 y se suma, etc.
1032752
108208
45732
cuocientepolinomiodelesCoeficient
2752 El ltimo valor es el resto =
103
Por lo tanto, el cuociente es 27522 xx con resto 103.
NOTA: Al ordenar en la tabla los coeficientes del dividendo, se debe anotar todos, si alguna potencia no aparece, significa que su coeficiente es 0.
Ejemplo: xxx 52624 dividido por x + 7
______________________________________________________________
ALGEBRA INT-11 INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL 14
a = 7, ya que x + 7 = x (7)
Ordenacin:
6
42
705206
Terminar el ejercicio!
Operaciones con Fracciones Algebraicas
Suma y Resta de fracciones algebraicas:
Antes de sumar o restar las fracciones, se recomienda:
Simplificar las fracciones dadas, si es posible.
Determinar el mnimo comn denominador.
Ejemplos:
1) 26
2
2
3
a
a
a
No se pueden simplificar las fracciones dadas.
Determinar el MCM entre 2a y 6a2
22
2263a2MCM
326
22a
aa
aa
Se suma
2222 6
210
6
29
6
233
6
2
2
3
a
a
a
aa
a
aa
a
a
a
Se simplifica
222 3
15
6
152
6
210
a
a
a
a
a
a
2) Resolver: Faa
a
aa
a
a
a
65
6
6
2
4
1222
Primero hay que encontrar el MCM de los denominadores. Para eso se factoriza cada uno.
______________________________________________________________
ALGEBRA INT-11 INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL 15
2365
236
224
2
2
2
aaaa
aaaa
aaa
322 aaaesMCMEl
Se suma:
34193
322
193
322
1284434
322
262231
2
2
2
222
aa
a
aaa
a
aaa
aaaaaa
aaa
aaaaaaF
3) Resolver Rx
x
xx
x
x
8
126
42
32
2
232
Hay que encontrar el MCM
42284242
22
23
22
xxxx
xxxx
xx
422 2 xxxesMCMel
4221434
422
1266342842
422
126232422
2
2
2
22
2
2
xxx
xx
xxx
xxxxxx
xxx
xxxxxR
______________________________________________________________
ALGEBRA INT-11 INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL 16
Multiplicacin de fracciones algebraicas
Los trminos de las fracciones que se van a multiplicar se factorizan previamente y se simplifican.
Ejemplos:
1) 4
3ab
4
6
4
2 22ndosimplifica
a
b
b
a
2) xyx
yxyx
xyx
yxy
2
222
22
2
2
Factorizando
)2(
)(
)(
)2( 2
yxx
yx
yxx
yxy
Simplificando
2
)()(
x
yxy
x
yx
x
y
Divisin de Fracciones algebraicas
La divisin se transforma en multiplicacin invirtiendo el divisor.
Ejemplos:
1) ax
b
b
a
b
ax
b
a
2
9
15
4
9
2
15
4 3
2
2
32
2
Simplificando:
x
ab
x
ba
5
63
5
2
2) 22
6
3
1
6
22:
3
1
x
xxx Factorizando
)1(2
6
3
1
x
x Simplificando
16
6
______________________________________________________________
ALGEBRA INT-11 INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL 17
3) aa
aa
aa
a
93
3413
24
23
4
doFactorizan34
931
24
3
23
4
aa
aa
aa
a
)1)(3(
)3(3
)1(
)1)(1)(1(22
2
2
2
aa
aa
aa
aaa Simplificando
a
a )1(3
4) doFactorizanx
x
x
x
x
xx
x
23
1015
2
23
1015
2
ndoSimplifica 23
)23(5
2
x
x
x
x
x
x
5
2
Raices
Toda potencia de exponente fraccionario puede expresarse como raz:
n pn
p
aa
Ejemplos:
1) 3321
2) 4 34
3
22 3) a
a1
2
1
4)
33
1
yxyx
Races semejantes
Son aquellas que tienen el mismo ndice y la misma cantidad subradical.
Ejemplo:
______________________________________________________________
ALGEBRA INT-11 INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL 18
34- ,3 ,35 ,32 son semejantes.
Las races semejantes son las nicas que se pueden sumar o restar.
Ejemplos:
1) 5655453
2) 333 542 baabba
3) 983487129452
22131056
22132831856
273347329532
24933167349592
Multiplicacin de races de igual ndice
Equivale a extraer raz del producto de las cantidades subradicales.
nnn abba
Ejemplos:
22
333
))(( )2
4 64 416 )1
bababababa
Divisin de races de igual ndice
Equivale a extraer raz del cuociente de las cantidades subradicales.
nn
n
p
a
p
a
Ejemplos:
bba
bab
b
aab
b
aab
2::)2
392
18
2
18)1
______________________________________________________________
ALGEBRA INT-11 INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL 19
Extraer raz de un producto o de un cuociente
Equivale a extraer raz a cada uno de los factores:
Ejemplos
1) 1553259259 2) nnnn cbaabc
3) xxx 2883 333 3 4) baba 2)(
5) 3 23 2
3 3
32
3
4
3
64
27
64
27
x
a
x
a
x
a
NOTA: Slo se extrae raz a los factores de una cantidad subradical, no a sumandos.
babababa
ba
222
22
)(2
. sumandos los a raz extraer puede se No
Racionalizar el denominador de una fraccin
Es convertir la fraccin, cuyo denominador sea irracional, en otra fraccin equivalente cuyo denominador sea racional.
CASO I : cuando el denominador es monomio (raz cuadrada)
Ejemplo:
20
53
54
53
54
53
554
53
54
3
2
CASOII : cuando el denominador es binomio que contiene races cuadradas.
Ejemplo:
3434
34325
34
325
316
6383520
______________________________________________________________
ALGEBRA INT-11 INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL 20
13
31326
3213
3213
III ECUACIONES
Ecuaciones Irracionales
Son ecuaciones en las cuales la incgnita aparece bajo el signo radical.
Ejemplos:
1) Resolver 1359 2 xx Se asla la raz
1
66
16959
1359
/1359
22
22
2
22
x
x
xxx
xx
xx raizlaeliminarparadosaelevase
2) Resolver 4816 xx
17
258
/58
4088
/1688816
4816
/4816
2
22
2
x
x
x
x
raizlaaislarxxx
xx
xx
3) Resolver 162 x
______________________________________________________________
ALGEBRA INT-11 INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL 21
4
16
/16
2
2
x
x
x cuadradaraizextrayendo
4) Despejar q en la ecuacin 41
3 q
Se eleva a tres para eliminar la
raz.
q
q
64
1641
641
41 3
3
3
Teorema de Pitagras:
En todo tringulo rectngulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:
. b
c
a
AC
B
c = a + b2 2 2
______________________________________________________________
ALGEBRA INT-11 INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL 22
Encontrar el valor de x, en cada ejercicio
1)
2)
3)
x
13
5
AC
B
m + 1
x2m
A B
C
2
p - q
x
2pq
AC
B
2 2
12
12
144
/144
25169
513
135
2
2
222
222
x
x
x
x
x
x
x
11
/1
12
124
12
2
22
222
242
2422
2222
mx
mx
mx
mmx
mmmx
mmx
22
22
2222
2222
42242
2242242
22222
/
2
42
2
qpx
qpx
qpx
qpx
qqppx
qpqqppx
pqqpx
______________________________________________________________
ALGEBRA INT-11 INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL 23
Ecuaciones de Segundo Grado con una incgnita
A. La ecuacin de 2 grado completa t iene la forma:
02 cbxax .
Ejemplos:
0523 2 xx 085 2 xx 01032 xx
Estas ecuaciones se resuelven mediante la frmula
a
acbbx
2
42 .
Las soluciones o races de esta ecuacin pueden ser:
a) reales y distintas si 042 acb
b) reales e iguales si 042 acb
c) imaginarias si 042 acb
Ejemplo: Resolver 0253 2 xx .
3
21
6
156
156
24255
21
xx
x
En algunos casos de ecuaciones de 2 grado completas, es fcil factorizar y no es necesario usar la frmula.
Ejemplo: Resolver 01032 xx .
Factorizando se tiene que 0251032 xxxx , de donde
______________________________________________________________
ALGEBRA INT-11 INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL 24
25
0205
21
xx
xx
B. Las ecuaciones incompletas de segundo grado tienen la forma:
a) 02 cax No tienen el trmino x
b) 02 bxax No tiene el trmino independiente.
No es necesario usar la frmula para resolver estas ecuaciones:
Ejemplos:
1.- Resolver 0483 2 x .
44
4
16
16
483
0483
21
2
2
2
xx
x
x
x
x
x
2.- Resolver 035 2 xx .
Factorizando se tiene que 03535 2 xxxx , de donde
5
30
0350
21
xx
xx
C. Las ecuaciones de grado 4 de la forma 024 cbxax se llaman bicuadradas y pueden expresarse como una ecuacin de segundo grado, usando variable auxiliar.
Ejemplo: Resolver 03613 24 xx
Sea ux 2 , entonces la ecuacin se puede escribir como:
______________________________________________________________
ALGEBRA INT-11 INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL 25
036132 uu
23
49
49
2
5132
25132
14416913
22
21
xx
xx
uu
u
Resolucin de sistemas de ecuaciones
De Primer Grado con dos incgnitas
Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas como:
seydx
cbyax
Se elimina una de las incgnitas combinando adecuadamente las ecuaciones, de modo que, resulte una ecuacin con slo una incgnita.
Se puede proceder de dos maneras.
A. Eliminacin por sustitucin:
Este mtodo consiste en despejar en una de las ecuaciones una de las incgnitas en funcin de la otra. Se sustituye el valor encontrado en la otra ecuacin.
Ejemplo:
2725
5264
yx
yx
______________________________________________________________
ALGEBRA INT-11 INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL 26
Se despeja x en la primera ecuacin *4
652 y-x , este valor se sustituye en
la segunda ecuacin.
438
15215238
1/15238
26010838
108830260
10886525
4/2724
6525
y
y
y
y
y
yy
yy
yy
Se sustituye este valor en *
74
284
46524
652
x
x
x
yx
B. Eliminacin por reduccin:
Este mtodo consiste en igualar en las dos ecuaciones, los coeficientes de la incgnita que se elige eliminar (sin considerar el signo), las ecuaciones se suman si las incgnitas a eliminar tienen signos distintos, en caso contrario se restan.
Ejemplo: Resolver
1834
2853
yx
yx
Se igualarn los coeficientes de x. La primera ecuacin se multiplica por 4 y la segunda por 3.
23/14/
1834
2853
yx
yx
______________________________________________________________
ALGEBRA INT-11 INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL 27
54912
1122012
yx
yx A la primera ecuacin se le resta la
segunda
5829 y 229
58 yy
El valor encontrado se reemplaza en 1 o en 2 , si se elige 2 , se tiene que
6
244
18234
x
x
x
Caso Especial
Es conveniente tratar en forma especial el sistema
byx
ayx
22
bay
bax
x es igual a la semisuma de a y by es igual a la semidiferencia de a y b
Ejemplos:
1. 9
19
yx
yx
52
919
142
919
y
x
2. 24
20
yx
yx
2
22
y
x
______________________________________________________________
ALGEBRA INT-11 INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL 28
GUIA 2: REPASO ALGEBRA BASICA
PRODUCTOS NOTABLES
EL CUADRADO DE UN BINOMIO 222 2)( bababa
a. b a a b b
a b
SUMA POR SU DIFERENCIA: 22 b - ))(( ababa
CUBO DE UN BINOMIO: 32233 33)( babbaaba
PRODUCTO ENTRE DOS BINOMIO DE LA FORMA:
abxbaxbxax )())((2
2). Desarrolla las expresiones:
1) (2m 4n) = 2) (a + 3b) = 3) (3n 2m) = 4)
2
4
3
2
1yx
5) ( 7 + ab)(7 ab)= 6)
8
3
5
4
8
3
5
4aa = 7) (3xy 1)=
8) (1,2m + 3,4p) = 9) (x 8)(x 12) = 10) (y + 9)( Y + 21)=
a 2
ab
______________________________________________________________
ALGEBRA INT-11 INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL 29
FACTORIZACIN Factorizar un nmero consiste en expresarlo como producto de dos de sus divisores.
Ejemplo: Factoriza 20 en dos de sus divisores: 4 5, es decir 20 = 4 5 Y en lgebra, qu ser factorizar una expresin algebraica? Cuando realizamos las multiplicaciones:
i) 2x(x2 3x + 2) = 2x3 6x2 + 4x ii) (x + 7)(x + 5) = x2 + 12x + 35
Entonces vemos que las expresiones de la izquierda son los factores y las de la derecha son las expresiones a factorizar, es decir, la factorizacin es el proceso inverso de la multiplicacin. 1. FACTOR COMUN MONOMIO: EJERCICIOS. Halla el factor comn de los siguientes ejercicios:
1. 6x - 12 =
2. 24a - 12ab = 3. 14m2n + 7mn =
4. 8a3 - 6a2 = 5. b4-b3 =
6. 4x - 8y =
7. 10x - 15x2 = 8. 4m2 -20 am =
9. ax + bx + cx = 10. 4a3bx - 4bx =
11. 3ab + 6ac - 9ad = 12. 6x4 - 30x3 + 2x2 =
13. 12m2n + 24m3n2 - 36m4n3 = 14. 10p2q3 + 14p3q2 - 18p4q3 - 16p5q4 =
2. FACTOR COMUN POLINOMIO: Es el polinomio que aparece en cada trmino de la expresin:
Ejemplo n 1. Factoriza x(a + b) + y(a + b) = Existe un factor comn que es (a + b) = x(a + b) + y(a + b) =
______________________________________________________________
ALGEBRA INT-11 INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL 30
= (a + b) (x + y) EJERCICIOS.
1. a(x + 1) + b ( x + 1 ) = 2. x2( p + q ) + y2( p + q ) = 3. ( 1 - x ) + 5c( 1 - x ) = 4. (x + y )(n + 1 ) - 3 (n + 1 ) = 5. a( a + b ) - b ( a + b ) = 6. m(2a + b ) + p ( 2a + b ) = 7. ( a + 1 ) - b (a + 1 ) = 8. a(2 + x ) - ( 2 + x ) = 9. (a + 1 )(a - 1 ) - 2 ( a - 1 ) = 10. (2x + 3 )( 3 - r ) - (2x - 5 )( 3 - r )=
3. FACTOR COMUN POR AGRUPACION DE TERMINOS. Se trata de extraer un doble factor comn.
Ejemplo n1. Factoriza ap + bp + aq + bq Se extrae factor comn p de los dos primeros trminos y q de los dos ltimos p(a + b) + q(a + b) Se saca factor comn polinomio (a + b) (p + q) EJERCICIOS:
1. a2 + ab + ax + bx = 2. ab - 2a - 5b + 10 = 3. am - bm + an - bn = 4. 3x2 - 3bx + xy - by =
5. 3a - b2 + 2b2x - 6ax =
6. ac - a - bc + b + c2 - c = 7. 6ac - 4ad - 9bc + 6bd + 15c2 - 10cd = 8. ax - ay - bx + by - cx + cy = 9. 3am - 8bp - 2bm + 12 ap = 10. 18x - 12 - 3xy + 2y + 15xz - 10z =
11. z7x5yz3
143xy
3
10xz
4
21x
4
15 2
12. bn5
16bm
5
4am
3
8am
3
2
______________________________________________________________
ALGEBRA INT-11 INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL 31
13. ab + 3a + 2b + 6 =
14. 2ab + 2a - b - 1 =
15. 3x - 9ax - x + 3a =
16. 6ab + 4a - 15b - 10 =
17. a + a + a + 1 =
4. FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c EJERCICIOS: Factoriza los siguientes trinomios en dos binomios:
1. x2 + 4x + 3 = 2. a2 + 7a + 10 =
3. b2 + 8b + 15 = 4. x2 - x - 2 =
5. r2 - 12r + 27 = 6. s2 - 14s + 33 =
7. h2 - 27h + 50 = 8. y2 - 3y - 4 =
9. x2 + 14xy + 24y2 = 10. m2 + 19m + 48 =
11. x2 + 5x + 4 = 12. x2 - 12x + 35 =
5. FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE LA FORMA AX2+ BX + C EJERCICIOS:
1. 5x2 + 11x + 2 = 2. 3a2 + 10ab + 7b2 =
3. 4x2 + 7x + 3 = 4. 4h2 + 5h + 1 =
5. 5 + 7b + 2b2 = 6. 7x2 - 15x + 2 =
7. 5c2 + 11cd + 2d2 = 8. 2x2 + 5x - 12 =
9. 6x2 + 7x - 5 = 10. 6a2 + 23ab - 4b2 =
11. 3m2 - 7m - 20 = 12. 8x2 - 14x + 3 =
13. 5x2 + 3xy - 2y2 = 14. 7p2 + 13p - 2 =
15. 6a2 - 5a - 21 = 16. 2x2 - 17xy + 15y2 =
17. 2a2 - 13a + 15 =
______________________________________________________________
ALGEBRA INT-11 INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL 32
6. FACTORIZACION DE LA DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS: EJERCICIOS:
1. 9a2 - 25b2 = 2. 16x2 - 100 =
3. 4x2 - 1 = 4. 9p2 - 49q2 =
5. 36m2n2 - 25 = 6. 49x2 - 64t2 =
7. 169m2 - 196 n2 = 8. 121 x2 - 144 k2 =
9. 22 b36
49a
25
9 10. 44 y16
9x
25
1
11. 3x2 - 12 = 12. 5 - 180f2 =
13. 8y2 - 18 = 14. 3x2 - 75y2 =
15. 45m3n - 20mn = 16. 2a5 - 162 a3 =
7. FACTORIZACION DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO: Ejemplo: Factorizar 9x2 - 30x + 25 =
1 Halla la raz cuadrada del primer trmino 9x2: 3x 3x 2 Halla la raz cuadrada del tercer trmino 25 con el signo del segundo trmino -5 -5 luego la factorizacin de 9x2 - 30x + 25 = (3x - 5 )( 3x - 5 ) = ( 3x - 5 )2 EJERCICIOS:
1. b2 - 12b + 36 = 2. 25x2 + 70xy + 49y2 =
3. m2 - 2m + 1 = 4. x2 + 10x + 25 =
5. 16m2 - 40mn + 25n2 = 6. 49x2 - 14x + 1 =
7. 36x2 - 84xy + 49y2 = 8. 4a2 + 4a + 1 =
9. 1 + 6 + 9a2 = 10. 25m2 - 70 mn + 49n2 =
11. 25a2c2 + 20acd + 4d2 = 12. 289a2 + 68abc + 4b2c2 =
13. 16x6y8 - 8 x3y4z7 + z14 =
______________________________________________________________
ALGEBRA INT-11 INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL 33
EJERCICIOS DIVERSOS:
1. 2ab + 4a2b - 6ab2 = 2. 2xy2 - 5xy + 10x2y - 5x2y2 =
3. b2 - 3b - 28 = 4. a2 + 6a + 8 =
5. 5a + 25ab = 6. bx - ab + x2 - ax =
7. 6x2 - 4ax - 9bx + 6ab = 8. ax + ay + x + y =
9. 8x2 - 128 = 10. 4 - 12y + 9y2 =
11. x4 - y2 = 12. x2 + 2x + 1 - y2 =
13. (a + b )2 - ( c + d)2 = 14. a2 + 12ab + 36b2 =
15. 36m2 - 12mn + n2 = 16. x16 - y16 =
8. OTROS CASOS DE FACTORIZACIN 1. DIFERENCIA DE CUBOS: a3 b3 = (a b) (a2 + ab + b2) Ejemplo: 8 x3 = (2 x) (4 + 2x + x2) 2. SUMA DE CUBOS: a3 + b3 = (a + b) (a2 ab + b2) Ejemplo: 27a3 + 1 = (3a + 1)(9a2 3a + 1)
1. 64 x3 = 2. 8a3b3 + 27 =
3. 27m3 + 6n6 = 4. x6 y6 =
5. 27
8
8
1 3 x = 6. 64
13 x =
______________________________________________________________
ALGEBRA INT-11 INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL 34
FRACCIONES ALGEBRAICAS Factorice y simplifique:
7) ba
ba
55
22
= 8)
yx
yx
44
22 22
=
9) 54
12
2
zz
z= 10)
22
22
94
32
yx
xyyx
=
11) 502
1522
2
x
xx= 12)
245
892
2
aa
aa=
13) 345
23
24324
4282
xxx
xxx
= 14)
254
252042
2
x
xx=
15) 224
224
96
155
bbaa
baba
= 16)
pp
ppp
6436
3248183
23
=
17) 43
1624
4
xx
x= 18)
xxx
xx
baa
ba
22 2
22
=
19) xx
xx
aa
aa
2
332
= 20) xx
xxxx
22
22
32
3232
=
21) 22
221
22
a
a
= 22) 23
3223
33
22
xyx
yyxyxx
=
23) aa
aa
254
1523
2
= 24)
22
33
yx
yx
=
OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS
25)
9 -
4 -2
2
x
xx .
23 4 -
15 5
xx
x= 26)
6 - -
2
4 -
2 -
xx
x
x
x22
=
27) 2
2
2) (
4 2
x
xx :
4 -
8 - 2
3
x
x=
______________________________________________________________
ALGEBRA INT-11 INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL 35
28) 5
2510
352
7
152
3
a
aa
aa
a
aa
a
29) 23
1
6
3
107
5
aa
a
aa
a
aa
a=
30) 2
8
245
103
x
x
xx
xx= 31)
3612
25
152
183
cc
c
cc
cc=
32)
x
xxxx
x
422
646
= 33) 100
7132
3013
3722
2
r
rr
rr
rr=
34) 2510
255
2510
1252
2
2
3
aa
aa
aa
a=
35) 32 2
24
35142zzz
z
zzz
=
36)
216
216
36
3612653
3
2
22
a
a
a
aaaa=
37)
3146632411
1833
664162
2
2
2
cccc
cc
cc
ccc=
38) 2
2
16
163
4
3
4
8
w
w
w
w
w
= 39)
8103
13
276
222
zz
z
zz
z=
40) 22
4
ba
ab
ba
ba
ba
ba
=
Resuelva las siguientes ecuaciones lineales:
1) 4
8
2
1
2
12
www
2) 3
2
45
63
9
26 x
x
xx
______________________________________________________________
ALGEBRA INT-11 INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL 36
3) 6
5
32
53
31
382
2
ww
w
ww
ww 4)
9
16
1
1
1
1
z
zz
z
z
zz
z
5) 2
11
94
273
x
x
xx
x 6)
93
2
96
3
62 2
a
a
aaa
a
Problemas: Plantee y resuelva. 1. Un padre reparte $10.000 entre sus dos hijos. Al mayor le da $2.000 ms que
al menor. Cunto dinero le corresponde a cada uno? 2. La suma de dos nmeros es 45. Si al primero se le suma 5 y al segundo se le
resta 5, se obtienen dos nmeros tales que el primero es el doble que el segundo, Cules son los nmeros?
3. Encuentra dos nmeros tales que se suma sea 42 y su diferencia 6. 4. Una persona tiene $8.000 en 200 monedas de $10 y de $50. Cuntas monedas
de $10 y de $50 tiene?
5. Uno de los lados de un tringulo mide 4
5 del lado menor, mientras que el lado
mayor mide 3 centmetros ms que el ltimo. Si el permetro del tringulo es de 45 centmetros, encuentra la magnitud de cada lado del tringulo.
6. En un colegio, hay 300 alumnos de ambos sexos. Salen de excursin 155 de
ellos. Se sabe que la excursin fueron el 60% de los alumnos y el 40% de las alumnas. Cuntos son los alumnos y cuntas las alumnas en el colegio?
Resuelva las siguientes ecuaciones cuadrticas: 1) 2z (z 6)+5(z 6)= 0 2) (2x + 3)(x 2) + 5(x 3) = ( x 3)(x + 3)
3)
497
11
x
x
x
x
4) 04
2
xm
xm
xm
xm
______________________________________________________________
ALGEBRA INT-11 INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL 37
Problemas: Plantee y resuelva. 1) Un matrimonio tiene de cada hijo tantos nietos como hijos ha tenido. Si la suma de hijos y nietos es 56, cuntos hijos y nietos tiene? R: 7 y 49 2) Encuentra dos nmeros pares consecutivos cuyo producto sea 4.224.
R: 64 y 66
3) El numerador de una fraccin es 3. Si se suman 4 unidades al denominador, el valor de la fraccin disminuye en 1. Cul es la fraccin original? 4) Durante la liquidacin de utensilios mdicos, una persona gast $231.000 en inyectables para su clnica. Si cada inyectable hubiera costado $1.250 menos, habra podido comprar 5 inyectables ms por la misma cantidad de dinero. Cuntos inyectables compr originalmente? Cul fue el precio original de cada inyectable?
______________________________________________________________
ALGEBRA INT-11 INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL 38
GUIA 3 REPASO ALGEBRA BASICA
Unidad: Ecuaciones de primer grado y segundo grado I Resuelve las siguientes ecuaciones con coeficientes enteros:
a) 8324 xx f) xxx 26632
b) 712 xx =2x g) 321312115 xxx
c) 12323 xx h) 43759072 xxxxxx
d) xxx 713 22 i) xxxxxx 2722635385
e) 246152 xxx j) 222 8242 xxx II Resuelve las siguientes ecuaciones con coeficientes fraccionarios;
a) 9
35
6
12
8
3
xxx f) 74
6
110
4
316
x
xx
b) 4
105
8
32
6
1
xxx g)
3
22
3
1
9
2
xx
xx
c) 2
73
12
3x
xxx
h)
2
253
3
325
4
525
xxx
d) 1323
112 xx i)
12
1
3
14
6
15
4
3213
x
xxx
e) 146
15
4
34
x
xx j)
21
65
10
7
14
15
20
113
xxxx
III Resuelve las siguientes ecuaciones con una incgnita en el denominador:
a) 32
7
3
5
xx f)
1
3
1
2
1
12
xxx
______________________________________________________________
ALGEBRA INT-11 INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL 39
b) 12
42
5
3
x
x
x
x g)
224
22
4
1
12
xxx
c) 023
3
13
2
x
x
x
x h)
16
24
4
4
4
42
xx
x
x
x
d) 2
1
8510
19952
2
xx
xx i) 6
1
35
275 2
xx
x
xx
e) 1
31
3
12
x
x
x
x j)
62
78
32
63
2
422
2
xx
x
x
x
x
x
IV Resuelve las siguientes ecuaciones con coeficientes literales: a) aax 2 b) 42 bxax
c) 2
a
bx
b
ax d)
e) 32
3
2
4
ba
x f)
a
a
bxb
b
ax
g) axbbabxa 22 h) mxmx 66
i) 1ab
cx
ac
bx
bc
ax
V Problemas con enunciado.
1. De qu nmero hay que restar 4
15 para obtener la sexta parte de ese nmero?
R: 63/10
2. De un estanque lleno de parafina se consumi una cantidad equivalente a los 8
7
de su capacidad. Reponiendo 38 litros, la parafina slo llega a las 5
3partes. Cul
es su capacidad? R: 80 litros
aa
x
a
x
2
11
2 2
______________________________________________________________
ALGEBRA INT-11 INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL 40
3. Un depsito de agua puede llenarse por una llave en 2 horas y por otra en 6 horas. En cunto tiempo se llenar el depsito abriendo las dos llaves a la vez?
R: 1 hr. , 30 min. 4. La suma de dos nmeros es 200. Dividiendo el primero por 16 y el segundo por
10, la diferencia de los cuocientes es 6. cules son los nmeros? R:160 y 40
5. Hallar tres nmeros enteros consecutivos tales que la suma de los 5
3 del menor
con los 6
5 del mayor exceda en 31 al nmero del medio.
R: 70,71 y 72 6. Dividir 260 en dos partes de modo que el doble de la mayor dividido por el triple
de la menor da 2 como cuociente y 40 de resto.
May: 200; men. 60
7. Jorge tiene 3
2 de lo que tiene Alicia, y Mnica tiene
5
3 de lo que tiene Jorge. Si
juntos tienen $ 24.800. Cunto tiene cada uno? J: 8.000; A: 12.000; M: 4.800
8. Marcela tiene 18 aos ms que Karla. Hace 18 aos, la edad de Marcela
equivala a los 2
5 de la edad de Karla. Hallar las edades actuales.
9. Se ha comprado un par de zapatillas, una polera y medias deportivas por $
25.900. Las zapatillas costaron 8 veces lo que las medias y la polera $ 3.000 menos que las zapatillas. Encuentra los precios de cada prenda.
10. Si me adivinas cuntas nueces tengo, dijo Lucho a Juanito, te regalo la cuarta
parte menos 2 nueces o, lo que es lo mismo, la sexta parte ms una nuez. Cuntas nueces tena Lucho?
11. En un ataque del enemigo, la mitad de los soldados de una patrulla cay
prisionera, la sexta parte quedo herida, la octava parte muri y se salvaron 25 soldados. De cuntos soldados se compona la patrulla?
______________________________________________________________
ALGEBRA INT-11 INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL 41
12. Si a un nmero se suma 5, se multiplica la suma por 3, se resta 6 del producto y se divide la diferencia por 7, se obtiene un nmero que tiene 5 unidades menos que el nmero dado. Cul es el nmero?
13. Cierto nmero de personas deben pagar una cuenta en partes iguales. Si cada
uno paga $ 435. faltan $ 20 y si cada uno paga $ 440 sobran $ 20. A cunto ascenda la cuenta y cuntas personas eran?
14. Un obrero puede hacer un trabajo en 12 das y otro en 15 das. En cunto
tiempo hacen el trabajo los dos juntos? 15. Un depsito de agua puede llenarse por una llave en 3 horas y por otra en 4
horas, pero una tercera puede vaciarlo en 6 horas. En qu tiempo se llenar el depsito abriendo las tres llaves a la vez?
16. Calcula la edad de dos personas, sabiendo que hace 8 aos, la edad de la
primera era el doble de la edad de la segunda y que 12 aos despus de la edad
actual, la edad de la segunda ser 4
3 de la edad de la primera.
17. Se debe repartir $ 1.020 entre Luis, Enrique y Luciano, de modo que Enrique
reciba 4
3 de la parte de Luciano ms $ 180. y Luis
6
5 de la parte de Enrique ms
$ 120. Cunto recibe cada uno? 18. En una reunin hay el doble de mujeres que de hombres, y el triple de nios que
de hombres y mujeres juntos. Cuntos hombres, mujeres y nios hay si en total hay 156 personas?
19. Uno de los lados de un tringulo mide 4
5 del lado menor, mientras que el lado
mayor mide 3 centmetros ms que el ltimo. Si el permetro del tringulo es de 45 centmetros, encuentra la magnitud de cada lado del tringulo.
20. Los viajeros de un avin pertenecen a cuatro nacionalidades. En total, viajan 65 personas. Colocando en orden decreciente los nmeros de los que
corresponden a cada nacionalidad, cada uno de ellos es 3
2 del anterior.
Cuntos viajeros de cada nacionalidad hay?
______________________________________________________________
ALGEBRA INT-11 INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL 42
21. La suma de dos nmeros es 240. Si se divide el nmero mayor por el menor, el cuociente es 3 y el resto es 8. Cules son los nmeros?
Despeja la letra indicada en cada ejercicio
22. a, si r1
naraS
23. f, si
1
f
25
F
LM
24. f , 21
111
fff 25. a , 2
2
1tatvd i
26. vi , vf2 vi2 = 2ad 27. F , 329
5 FC
28. vf , t
vva if
Ecuacin cuadrtica o de segundo grado en una variable
Ejercicios: Resuelva utilizando cualquier mtodo de resolucin para las siguientes ecuaciones cuadrticas:
1. (2x + 3)(x 2) + 5(x 3) = ( x 3)(x + 3) R: x 1 = 2 ; x 2 = -6
2. 9x2 = 1 R: x1 = 3
1 , x2 = -
3
1
3. xx
xx 2
3
33
2
4
R: x1 = 31 ; x 2 = 31
4. 4x - 36 = 0 R: x 1 = 3; x 2 = -3
5. 4x + 4x 15 = R: x1 = 2
3 , x2 = -
2
5
Problemas de planteo:
1. Un matrimonio tiene de cada hijo tantos nietos como hijos ha tenido. Si la suma de hijos y nietos es 56, cuntos hijos y nietos tiene? R. R: 7 y 49 2. Encuentra dos nmeros pares consecutivos cuyo producto sea 4.224.
______________________________________________________________
ALGEBRA INT-11 INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL 43
R: 64 y 66
3. El numerador de una fraccin es 3. Si se suman 4 unidades al denominador, el valor de la fraccin disminuye en 1. Cul es la fraccin original? 4. La superficie de un terreno rectangular es 360m y el largo excede al ancho en
dos unidades. Calcule el permetro del terreno. R. 75m 5. Dos nmeros estn en la razn 5:4 y su producto es 980. Calcule los nmeros. R: 28 y 35 6. Una caja rectangular mide 5cm de altura y su largo tiene 5cm ms que su
ancho. Si el volumen de la caja es 500cm, calcule el largo y el ancho de la caja. R. 20 y 15 cm 7. Se desea construir una caja de base cuadrada, y sin tapa, a partir de una pieza cuadrada de cartn. En cada esquina de esta pieza se cortarn cuadrados de 3 cm de lado, y luego se doblarn hacia arriba los rectngulos resultantes. Si se desea que la caja tenga un volumen de 432m Cuntos cm de cartn se tenan al principio? R. 324cm 8. Dos barcos abandonan el puerto al mismo tiempo y se dirigen uno hacia el Sur y el otro hacia el este. Horas mas tarde, se encuentran a 170 millas uno de otro. Si el barco que viaja hacia el Sur ha recorrido 70 millas ms que el otro Cuntas millas han viajado cada uno? (considere un tringulo rectngulo en el plano)
R. Barco al Sur 150 millas; Barco al Este 80 millas 9. Un negocio, al producir y vender x artculos, obtiene una utilidad U(en dlares) dada por la frmula: U=300x - x +5.520; para x 20Cuntos artculos hay que producir y vender para obtener una utilidad de US$ 9.795? R. 285 artculos
______________________________________________________________
ALGEBRA INT-11 INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL 44
GUIA 4 REPASO ALGEBRA BASICA
Unidad: Ecuaciones de todos los tipos
I) Resolver las siguientes ecuaciones de primer grado con coeficientes fraccionarios
1. 5x
3
1x
2
1
R. 6
2. 3x
6
5
2
1x
3
1
R. 3
3. 1x
6
52x
4
3
R. 12
4. 3
5
x2
4
x6
2
x
R. 20
5.
3
2x
9
2
12
7x
4
3
18
xx
6
5
R. 5
6.
2
3x
10
31x
5
42x
8
3
R. -20/29
7.
4
3
2
x53
3
x35
6
3x8
8
5x4
R: 1/8
8.
9
1x2
4
1x
2
1
9
4x
4
3x
R. -5
9.
8
1x5
4
3x
3
1x21
2
5x3
R. 5
10.
10
5x8
3
x4
3
x7
4
1x
5
8x3
R. 17/23
II) Resolver las siguientes ecuaciones fraccionarias de primer grado
1.
x6
x731
3
1
x4
9
x3
8
x2
7
R. 5/2
2.
x
32
x
11
R. 4
3.
x
3
2
3
x
5
R. 4/3
4. 0
72
13
x24
1
x12
1
x9
1
x8
1
R. 2
______________________________________________________________
ALGEBRA INT-11 INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL 45
5.
x14
11
4
1
x
1
x7
8
14
5
x4
3
R. -1
6. 25,1
x6,1
5
x8,0
3
R. 1/2
7.
x5,1
16
3
7
x6,0
5
R. 1
8. 2
3x
7
R.13/2
9. 0
2
5
2x
3
R. -16/5
10.
1x
3
1x
2
R. -5
11. 0
1x6
x6
1x3
2x3
R. 2/15
12. 0
3x
11
3x2
13
R. 8
13. 0
x2
5x2
3x
4x
R. -5/3
III) Resolver las siguientes ecuaciones fraccionarias
1.
xx
x
2
1
10
1
-5/2 y 2
2.
431
1
12
2
xx
x
x
0
3.
x
x
x
11
51
3/2
4. 1
3
3
x
x
3/2
5. 0
12432
xxx
2, -2 y 3
6.
xx
x
21
11
1 y -1
7.
51
1
x
x
3/2
______________________________________________________________
ALGEBRA INT-11 INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL 46
8. 0
12
3
2
2
x
x
x
x
2
739
9. 1
52
x
x
No hay sol. en R
10. 03
62
x
xx
102
11. 3
)1(4
868
)1(2
1102
2
x
xx
x
x
-1 /8
12.
8
7
7
6
5
4
4
3
x
x
x
x
x
x
x
x
6
13.
16
49
2
3
2
8
82
8
52
x
xx
x
x
No hay sol. en R
14.
1
214
11
4
1
123
2
4
2
23
xxx
x
x
x
xxxx
659
15. 0
2
6
2
332
xxxx
x
No hay sol. en R
IV) Resolver las siguientes ecuaciones irracionales
1. 0321 xx 2
2. 0321 xx No tiene solucin
3. 2 xx 4
4. 2 xx 1
5. 4732 xx 114
6. 18233 xx 10 + 46 7.
411
1
xx
xx
9/16
8. 542522 2 xxx
25/4
9. 7212 xxxx 2
10
4
5
4
2
4
xx
x
12
______________________________________________________________
ALGEBRA INT-11 INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL 47
11.
24
6
6
4
x
x
x
x
1
12. 1224 22 xxxx 3 y 5/7
13.
x
x
x
x
4
4
204
4
14. 11 24 xxx
0 y 5/4
15. 32
32
2278
x
x
xx
11
16. mmxmmm 618243
4m
17. 7411354 2 xxx 4
18. xxx 233
9
19.
x
xx
2
1
1
2
1
1/16
20. 62
1
1
1
1
2
2
2
2
xx
xx
xx
xx
4 y -4
21. xx 1352
9
22.
xa
axaxa
5
1255
4a y 3a
23. xx 215 4
24.
21311 x
2601
______________________________________________________________
ALGEBRA INT-11 INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL 48
GUIA 5 REPASO ALGEBRA BASICA
Calcular el valor de las expresiones siguientes usando propiedades de las races
y de las potencias. (Suponer todas las cantidades sub-radicales positivas)
1)
ba
baba
ba
ba 2222 2: ba 2)
2222 2
1
2
1
yxyxyxyx
3) 3
3
2
6 313 4)
27
12
5
5 325 5)
66
2
6) 3 3 33 :
9 53 7) 4 xy 121
x 8)
4
22
a
aa
9) 3 4 3x 6 x x 10) 24250 11) 5
3
6 64
13
z
zz : 60 z
12) 116 2 x siendo x = 2
3
3
2 13)
n
n
nn
1
2
1
4
1
3
399
14) 22222 15) 65618193
16) Resolver la ecuacin exponencial.
15 32 xa : 20 94 xa =
30 278 xa 24 681 xa : 4 9a
17) )1()1()1( xxx
______________________________________________________________
ALGEBRA INT-11 INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL 49
18) 4 4913
4 175
ayx
yxa
4 55
4 94
yxb
xyb 19)
4
22
2
ba
b abb
ba
xx
x
20)
5,1
3
2
3
b
a:
2
12
6 35,0
ca
ba 21)
3 21
6632
16632
yxxyxxx
yx =
22)
6
2/1
3/12
3/1
2/1
4 1
3
b
a
a
b
b
a 23) nnn 4629
24)
c
b
a
bc
b
ac
b
ca
c
ba
c
ab
464
5
4
3
32
2
: 322
bc
ba 25)
4
31
5
221
221
xy
yx
xy
yx
26)
2
4
46
13
2
ab
ba:
ab
ba
27)
3
1
43
4
3
1
3
1
2
1
:: xaxxa
28)
a
aa
n n
n
n
n2
112
=
______________________________________________________________
ALGEBRA INT-11 INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL 50
Respuestas:
1) 2 2) - 22
2
yx
y
3) 3 4) 25 5)8
6) 3 7) 24 3xy 8) a
a 9)
6 5x 10) 44 2
11) 1 12) 6 13) 27 14) 32 312 15) 9 16)
10
3
17) (x-1)7/8 18)
3
x
y 19) x16(a-b) 20) a8 c2
21) yx
1 22) b4 b 23) 3n - 2n 24) 6
22
c
ba
c
a
25) 322
1
1
xx 26)
b
a3 27) 9
1
x 28) aa nn 1