2 2 2 2 1 1 2 2 · II. Množenje vektora skalarom (brojem) Neka je vektor i a i λ realni broj. Množenje vektora sa skalarom je funkcija koja paru (a ,λ) pridružuje vektor a

Mira Mihajlović Petković 1

Formule

Jedinični vektor vektora

O T

točke T(x,y)

0 2 2 2 2

1TT

T

r xi y jr xi y j

r x y x y

Radijvektor u koordinatnoj ravnini koji

pripada točki T(x,y)Tr OT xi y j

Vektor AB

ako su:

1 1( , )A x y i 2 2( , )B x y 2 1 2 1( ) ( )ABAB r x x i y y j

Duljinom ili modulom vektora

ABAB r xi y j 2 2( , )

AB d A B x y

Skalarni produkt vektora

1 1a x i y j

i

2 2b x i y j

.

cosa b a b

1 2 1 2a b x x y y

1 1 2 2

2 2 2 21 1 2 2

cos , 0x y x y

x y x y


Pojam vektora

Da bi opisali pojam udaljenosti, površine, volumena, mase …. dovoljno je izreći broj i

mjernu jedinicu da bismo je jednoznačno i zorno opisali i zamislili, pa te veličine zovemo

skalarnim veličinama. A da bismo opisali pojmove vjetra, strujanja, ubrzanja … ubrzo

postajemo svjesni da nam uz broj nedostaje još jedno svojstvo, a to je smjer djelovanja tog

pojma, pa te veličine zovemo vektorske veličine.

Vektor kao skup (klasa) usmjerenih dužina

Neka su A i B dvije točke pravca u ravnini ili prostoru. Dužinu s krajevima A i B

označavamo sa AB , a duljinu dužine sa AB ili ( , )d A B . Ako odredimo koja je početna, a

koja krajnja točka dobili smo uređeni par točaka koji zovemo usmjerena dužina i

označavamo je sa AB

. Za usmjerene dužina AB

i CD

kažemo da su ekvivalentne ako

postoji translacija koja prevodi točku A u C i točku B u D, tj. ako je tako dobiveni četverokut

ABCD paralelogram.

a

Usmjerene dužine AB

i CD

su

reprezentanti vektora a

. Pogledaj

sliku 1.

Slika 1.


Definicija:

Skup svih međusobno ekvivalentnih usmjerenih dužina naziva se vektor.

Dakle vektor se može predočiti pomoću beskonačno mnogo različitih usmjerenih

dužina – reprezentanata ili predstavnika vektora , pa vektor možemo još zvati klasa

usmjerenih dužina. Zbog jednostavnosti ćemo bilo koju usmjerenu dužinu (reprezentantu

vektora) nazivati vektorom i označavani AB

, CD

…. ili a

,b

….

Skup svih vektora nekog prostora označavat ćemo s V. Za naše potrebe V će biti

jednodimenzionalni prostor 1V (pravac), dvodimenzionalni prostor 2V (ravnina) ili

trodimenzionalni prostor 3V

Geometrijski vektor je zadan:

o Pravcem nosiocem na kom je vektor nalazi

o Duljinom ili modulom vektora ( , )AB d A B

o Orijentacijom na pravcu nosiocu.

Ako govorimo o smjeru vektora objedinjujemo pravac nosioc i orijentaciju na njemu.

Primjer 1.

1. Koja od usmjerenih dužina na slici ne pripadaju istoj klasi?

Usmjerena dužina ________ ne

pripada u istu klasu usmjerenih dužina

kao ostale, pa se ne da prikazati kao i

ostale sa istim vektorom.

Slika 2.


2. Podjeli usmjerene dužine u dvije klase

U prvu klasu usmjerenih

dužina spadaju:

____________________

A u drugu klasu :

____________________

Slika 3.

Primjer 2.

a) Imaju li Marko i Pero isti vektor brzine? ____________

Slika 4.

b) Što je zajedničko tim vektorima? ______________________________________

c) A što je različito? __________________________________________________


Operacije s vektorima

c) Zbrajanje vektora

Neka su a i

b bilo koja dva vektora. Zbrajanje vektora je funkcija koja paru vektora

,a b

pridružuje vektor a b .

Zbrajanje vektora po pravilu trokuta: A C ACB B

a b

b Slika 5.

a

Zbrajanje vektora po pravilu paralelograma:

B D CA A A

a

b

b Slika 6.

a b

a


Svojstva operacije zbrajanja vektora:

1) Asocijativnost:

a b c a b c

2) Nul vektor je neutralni element za zbrajane:

0 0a a

3) Suprotni vektor kao inverzni element za zbrajanje:

0a a a a

4) Komutativnost

a b b a

Oduzimanje vektora

Oduzimanje vektora definira se kao operacija zbrajanja sa suprotnim vektorom:

a b a b

b

a b Slika 7.

a

b

a b


II. Množenje vektora skalarom (brojem)

Neka je vektor i a

i λ realni broj. Množenje vektora sa skalarom je funkcija koja paru

(a

,λ) pridružuje vektor a

.

Svojstva operacije množenja vektora sa skalarom:

1) Distributivnost

a b a b

( )a a a

2) Asocijativnost

( ) ( )a a a

3) Neutralni element 1 a a

4) Suprotni vektor ( 1) a a

5) Nul vektor 0 0a

Za vektor a

vrijedi:

o a

i a

su kolinearni (imaju isti ili paralelni nosač)

o a a

o 0 a

i a

su isto orijentirani

0 a

i a

su suprotno orijentirani

Primjer 3.

Točke A,B,C,D,E,F su vrhovi pravilnog šesterokuta. Ako je ,AF b AB a

:

a) Nađi i zapiši sve usmjerene dužine koje su ekvivalentne vektora a

ili b

.

b) Prikaži vektore , , , , ,AO BC AC AD AE FC

kao linearnu kombinaciju vektora a i b

,

c) Izračunaj AC AE BC

.

d) prikaži pomoću postignutih rezultata vektore , , ,BD DF CE FB

.

e) Izračunaj: FB BD DF


Rješenje:

a) Pogledaj na slici 8 i pronađi sve usmjerene dužine koje su ekvivalentne vektora a

ili b

.

a

= AB

a

= __________

a

= __________

a

= __________

b AF

b

=__________

b

=__________

b

=__________

Slika 8.

b) Iz trokuta ABO se vidi pa je po definiciji zbrajanja vektora pravilom trokuta:

a b AO

Iz trokuta ABC možemo napisati:

A kako je

BC OA a b

Dobijemo:

2AC a a b a b

Slika 9.


Za vektor AD

je jasno da se sastoji od dva vektora AO

, pa se može zapisati:

2 2 2 2AD AO a b a b

Iz trokuta AEF vidimo da je AF FE AE

Ako zamijenimo AF b

FE a b

Dobivamo: ( ) 2AE b a b a b

Za vektor FC

je jasno da se satoji od dva vektora OC a

, pa možemo napisati:

d) Ako upotrijebimo rezultate iz zadatka b) dobijemo:

(2 ) ( 2 ) ( )AC AE BC a b a b a b

2AC AE BC a b

a

2b a

b

2 2a b

e) Vektore , , ,BD DF CE FB

za vježbu odredite sami.

BD

=________________

______________DF

______________CE

______________FB

Slika 10.

f) Prije računa FB BD DF

pokušaj donijeti zaključak na osnovu slike 10..


Posebni pojmovi

Nul vektor

Vektor duljine 0

Oznaka: 0

Vrijedi: 0 ...AA BB

Duljina (modul) nul vektora: 0 0

Jedinični vektor

Vektor duljine 1

Za zadani vektor a

, duljine a

, jedinični vektor definiran je sa: 0

aa =

a

Vektor 0a

ima isti smjer kao i a

, a duljina mu je 1.

Radijvektor (radijus vektor)

Ako je T neka točka prostora, a O ishiodište koordinatnog sustava, vektor OT

nazivamo

radijvektor točke T i zapisujemo ga

Tr .

Svakom vektoru možemo izabrati njegovog predstavnika tako da početna točka bude baš točka O. Na taj se način dobiva radijvektor bilo koje točke prostora.

Kolinearni vektori

Vektori koji leže na istom ili paralelnim pravcima.

Pogledaj sliku 11.


Komplanarni vektori

Vektori koji leže u istoj ili paralelnim ravninama.

Slika 12.

Linearna kombinacija vektora

Za vektor c

kažemo da je linearna kombinacija vektora a i b

, ako vrijedi relacija:

c a b

, pri čemu su i realni brojevi. Pogledati na slici 13. i slici 14.

c

Slika 13.

OC b

OB a


c a b

Slika 14.

OE b

OF a

Projekcija vektora

Ortogonalna projekcija u ravnini na pravac p je funkcija koja svakoj točki A ravnine

pridružuje točku u kojoj okomica na pravac p, koja prolazi točkom A, siječe pravac p.

Ortogonalna projekcija u prostoru na pravac p je funkcija koja svakoj točki A prostora

pridružuje točku u kojoj ravninu koja prolazi točkom A, a okomita je na pravac p, siječe

pravac p.

Slika 15.

Na slici vidimo projekciju vektora

a

a na pravac p, koju smo nazvali

pa

pa


Dakle svaki predstavnik klase paralelnih pravaca predstavlja različiti vektorski prostor 1V

Slika 16.

Na slici 16. vidimo četiri vektorska prostora, a vektori u tim prostorima su prikazani svaki u

drugoj boji.

A svaka predstavnica klase paralelnih ravnina predstavlja različiti vektorski prostor 2V , kako

naš program obuhvaća samo prikaz vektora u koordinatnom sustavu u ravnini pogledajmo

samo tu koordinatnu ravninu:

Slika 17.


Prikaz vektora u koordinatnom sustavu

Kad smo već uveli pojam jediničnog, radijvektora i linearne kombinacije, radi bolje

orijentacije u prostoru i jednoznačnosti uvida prikažimo vektor u koordinatnom sustavu. Ako

jedinici na osi X pridružimo radijvektor i

, a jedinici na osi Y radij vektor j

dobili smo

razumljivu bazu da možemo svaki radij vektor u koordinatnoj ravnini prikazati pomoću ta dva

jedinična vektora. Pogledajmo na slici 18.

Slika 18.

Jasno se vidi na slici 18 da je OJEK pravokutnik, i da je 3OJ i

i 2OK j

. Nadalje jasno

je da je vektor OE

jednak zbroju vektora OJ

i OK

pa ga možemo zapisati kao:

3 2OE OJ OK i j

.


Dakle OE

je linearna kombinacija vektora i

i j

. Pa bez smanjenja općenitosti možemo reći

da se svaki radijvektor u koordinatnoj ravnini koji pripada točki T(x,y) može prikazati kao:

Tr OT xi y j

Pa bi ostale vektore na slici 12 mogli sami napisati kao:

2

2

2 2

OH i j

OG i j

OF i j

Slika 19.

Sad još moramo odgovoriti na pitanje kako bilo koji vektor u koordinatnoj ravnini napisati kao

linearnu kombinaciju jediničnih vektora i

i j

. Pa najprije pogledajmo sliku 19.

Ako pogledamo sliku vidimo da je: OA AB OB

Ako izrazimo AB

pomoću OA

i OB

dobijemo:

AB OB OA


Ako znamo da se radijvektor svake točke T(x,y) može napisati: TOT r xi y j

i

koordinate točke A i B napišemo 1 1( , )A x y i 2 2( , )B x y dobivamo da je:

1 1AOA r x i y j

i 2 2BOB r x i y j

Pa se vektor AB

može napisati:

2 2 1 1( ) ( )B AAB r r x i y j x i y j

Kad oduzmemo vektore dobivamo formulu sa ekvivalentni radijus vektor bilo kom vektoru u koordinatnom sustavu:

2 1 2 1( ) ( )ABAB r x x i y y j

Ako ovu formulu primijenimo na vektore na slici da se izračunati da je:

(6 ( 2)) (5 2) 8 3AB i j i j

A kako čitamo(vidimo) na slici 13. koordinate točke D(8,3), onda vidimo da je vektor

DOD r AB

, radijvektor ekvivalentan vektoru AB

.

Primjer 5.

Očitaj točke u koordinatnom sustavu i izračunaj radijvektore ekvivalentne zadanim

vektorima.

a) A(____,____),

B(____,____),

C(____,____),

D(____,____)

Slika 20.


b) AB

=__________________

CD

=__________________

CA

=__________________

DB

=__________________

c) Mogu li se pronaći dva vektora koji imaju isti radij vektor na ovoj slici? DA NE

Primjer 6.

Zadane su tri točke paralelograma A(-2,-3), B(4,-1), D(-1,2)

I. način

Znamo da su nasuprotne stranice

paralelograma paralelne i

jednake,pa iz toga proizlazi da su

vektori AB

i DC

jednaki i isto

tako AD

i BC

.

Nama je dovoljno upotrijebiti

jednu od jednakost da bi izračunali

koordinate točke D, pa

izaberimo: AB DC

Slika 21.

Da bi izračunali vektor AB

upotrijebimo formulu: 2 1 2 1( ) ( )ABAB r x x i y y j

Kad uvrstimo koordinate točki A i B dobijemo: (4 2 ) ( 1 3 ) 6 2AB i j i j


A vektor CD

, dobijemo tako da nepoznate koordinate vrha D ostavimo kao nepoznanice:

2 2 2 2( 1 ) ( 2) ( 1) ( 2)DC x i y j x i y j

Obadva vektora uvrstimo u početnu jednakost AB DC

i dobijemo:

2 26 ( 1)2 ( 2)i j i yx j

Izjednačimo komponente uz vektor i

i vektor j

jer je to uvjet da su dva vektora jednaka.

2

2

2

1 6

6 1

5

x

x

x

2

2

2

2 2

2 2

4

y

y

y

Pa su kordinate točke C(5,4)

II. način

Znamo da po definiciji zbrajanja vektora po paralelogramu vrijedi: AB AD AC

Da bi izračunali vektor AB

upotrijebimo formulu: 2 1 2 1( ) ( )ABAB r x x i y y j

Kad uvrstimo koordinate točki A i B dobijemo: (4 2 ) ( 1 3 ) 6 2AB i j i j

Da bi izračunali vektor AD

upotrijebimo formulu: 2 1 2 1( ) ( )ADAD r x x i y y j

Kad uvrstimo koordinate točki A i B dobijemo: ( 1 2 ) (2 3 ) 5AD i j i j

Uvrstimo te rezultate u: AB AD AC

i dobijemo:

6 2 5 7 7AC i j i j i j

Vektor AC

izražen pomoću koordinata točaka A i C je:

2 2 2 2( 2 ) ( 3 ) ( 2) ( 3)AC x i y j x i y j

Uspoređivanjem dvje zadnje relacije dobijemo:

2

2

2 7

5

x

x

2

2

3 7

4

y

y

Pa su kordinate točke C(5,4)


Primjer 7.

Pročitaj na slici koordinate točaka A, B i C i pomoću njih izračunaj četvrti vrh paralelograma D.

a) A(____,___)

B(____,___)

C(____,___)

b) __________AB

Slika 22..

__________BC

c) __________AD

__________DC

D(______,______)


Duljina (norma) vektora

Slika 23.

Duljina ili norma vektora Tr OT

je usaljenost od točke O do točke T, i označavamo je:

Tr OT

. Vidimo da je dužina OT hipotenuza pravokutnog trokuta OAT, pa možemo

primijeniti pitagorin poučak: 2 2 2

OT OA AT ,

a kao je OA x i AT y ,

možemo napisati da je: 2 2

2 2TOT r x y

.

Odnosno možemo zaključiti da formula za izračunavanje norme radijvektora

Tr OT xi y j

koji pripada točki T(x,y) glasi:

2 2Tr x y


Primjer 8.

Zadani su vektori 2 3a i j

i 3 4b i j

. Izračunaj a b

.

Najprije oduzmemo vektorea

i b

:

2 3 ( 3 4 )a b i j i j

2 3 3 4a b i j i j

5a b i j

Dobili smo kao što se može vidjeti

na slici vektor OC

. Duljina ili norma

vektora a b

je duljina vektora

OC

i dobije se formulom:

2 2 2 25 1 26Tr x y

Slika 25.

Primjer 9.

Neka je točka A(-2,2), odredi nepoznatu koordinatu točke M, ako je zadan modul vektora

AM

.

a) M(x,-1), 5AM

b) M(1,y), 3 5AM

.

Rješenje zadatka pod a)

Nacrtajmo u koordinatni sustav ono što je zadano: točku A i kružnicu koja je zadana

polumjerom r = 5 i središtem u točki A. Kružnicu presiječemo pravcem x = -1, jer je to


koordinata točke M. U točkama presjeka dobili smo dvije točke koje su rješenje zadatka:

1( 1,2)M i 1( 1, 6)M . Pogleda na slici ___.

Slika 26.

Kako taj rezultat dobijemo računski?

Vektor AM

dobijemo formulom: 2 1 2 1( ) ( )AMAM r x x i y y j

Uvrstio u formulu koordinate točki A i M: 1 1( 2, 2)A x y i 1 1( , 1)M x x y

( 2) ( 1 2) ( 2) 3AMAM r x i j x i j

Kako je 5AM

, a formula za 2 2Tr x y

, pa vrijedi:

2 2 2 2( 2) ( 3) 5Tr x y x

2 2

2

2

( 2) ( 3) 25

4 4 9 25 0

4 12 0

x

x x

x x

=> 22

1,2

1 2

4 4 4 1 124 4 8

2 2 1 26, 2

b b acx

ax x

Pa su koordinate točke M: 1 1( 1, 6), ( 1,2)M M

Zadatak b) riješite sami pomoću algoritma iz zadatka a).


Primjer 10.

Zadane su točke A(-2,3), B(2,-1), C(4,2). Izračunajte , ,2 3AC AB AC CB

.

Slika 27.

Vektor AC

dobijemo primjenom formule: 2 1 2 1( ) ( )ACAC r x x i y y j

(4 2) (2 3) 6ACAC r i j i j

A vektor AB

: (2 2) ( 1 3) 4 4ABAB r i j i j

,

A duljinu ili normu vektora AB

formulom: 2 2( , ) AB d A B x y

22( , ) 4 4 32 4 2 AB d A B

A vektor CB

: (2 4) ( 1 2) 2 3CBCB r i j i j

,

Pa je 2 3 2 6 3 2 3 12 2 6 9 18 7AC CB i j i j i j i j i j

Vektor 2CH AC

, 3CB CG

, 2 3AC CB OF

, pa smo time i grafom potvrdili svoj račun.


Jedinični vektor

Već smo spomenuli u prethodnom tekstu da formula za prikaz jediničnog vektora u smjeru

vektora a

glasi: 0

aa =

a

. Pogledajmo sliku 15.

Slika 28.

Na slici 15. vidljivo je da je vektor 0OT

jedinični vektor vektora OT

, pa ako to primijenimo na

formulu: 0

aa =

a

,

dobijemo:0 0 =

T

OTr OT

OT,

pa ako uvrstimo formule iz prethodnog poglavlja o normi vektora dobijemo:

0 2 2 2 2 2 2 2 2

1T

xi y j x yr xi y j i j

x y x y x y x y


Primjer 11.

Izračunaj jedinični vektor radijvektora točke A(-3,3).

Rješenje:

Radij vektor točke A izračuna se formulom: OA xi y j

Pa glasi: 3 3OA i j

A njegov jedinični vektor zadan je formulom: 2 2

1Ar xi y j

x y

Pa ga izračunamo:

2 2

1 1 1 23 3 3 3

23 2 23 3Ar i j i j i j i j

Slika 29.

Vektor 0OA

na slici 29. je jedinični vektor vektora OA


Primjer 12.

Ako su zadani vektori 3 , 2 , 7a i j b i j c i j

. Izrazi vektor c

pomoću vektora a

i

b

.

Rješenje:

Ucrtajmo najprije zadane vektore u koordinatni sustav:

Slika 30.

Sa slike 30. možemo pročitati da je 4c a b

. A kako smo to dobili?

Povukli smo pravac kroz vektor a

i b

, a zatim paralelne pravce kroz točku C na ta dva

pravca. Tamo gdje se paralele sijeku sa tim pravcima dobili smo vrhove paralelograma,

kome je vektor c

dijagonala.

A kako se to dobiva računski?

c a b

je opći zapis linearne kombinacije tri vektora.

Uvrstimo zadane vektore: 7 (3 ) ( 2 )i j i j i j

7 (3 ) ( 2 )i j i j


3 1/ 2

2 7

=>

6 2 2

2

7=>

5 5/ : 5

1

a b b c

=>

3 1

4

Pa smo i računski dobili da je: 4c a b

Primjer 13.

Ako su zadana točka A(-3,6). Odredi točku B tako da:

a) ona leži na osi x i da je 10AB

,

b) ona leži na osi y i da je 5AB

.

Prikazati u koordinatnoj ravnini.

Rješenje zadatka pod a)

Slika 31.

Koordinate točke B, ako leži na osi x možemo zapisati kao B(x,0), pa se vektor AB

može

napisati kao: ( 3) (0 6) ( 3) 6AB x i j x i j


A njegova norma kao: 2 23 6 10AB x

Kvadriranjem jednadžbe dobivamo: 2 23 6 100x

2 6 55 0x x => 22

1,2

6 6 4 1 554 6 16

2 2 1 2

b b acx

a

1 211, 5x x , pa smo dobili dva rješenja: 1 2( 11,0), (5,0)B B

Rješenje zadatka pod b)

Slika 32.

Računski dio zadatka završite sami.


Skalarni produkt vektora ( skalarni umnožak)

Definicija: Neka su a

i b

dani vektori i ,a b

kut između vektora a

i b

, skalarni

produkt (umnožak) vektora a

i b

je funkcija koja paru vektora ,a b

pridružuje broj

(skalar) a b

, a definira se sa formulom:

b

cosa b a b

Slika 33.

a

Svojstva skalarnog množenja:

1) Nenegativnost: 0a a

, a ako je 0 0a a a

2) Homogenost: ( ) ( ) ( )a b a b a b

3) Komutativnost: a b b a

4) Distributivnost: ( )a b c a b a c

Posljedice skalarnog množenja:

1)2

cos0a a a a a a a a

2) Ako je 90 cos 0 0a b a b

ili je bar jedan od vektora nulvektor

3) cos , 0a b

a b

Pomoću skalarnog produkta izračunava se i projekcija vektora na vektor..


Pogledaj slike 31. i 32..

I. skalarna projekcija

0 cosba a b a

=> skalarna projekcija vektora a

na vektorb

0 cosab b a b

=> skalarna projekcija vektora b

na vektor a

II. vektorska projekcija

0 0 0( )b ba a b a b b

=> vektorska projekcija vektora a

na vektorb

b

ba

Slika 34.

a

0 0 0( )a ab b a b a a

=> vektorska projekcija vektora b

na vektor a

b

Slika 35.

ab

a


Pogledajmo još skalarni produkt vektora prikazanih u koordinatnom sustavu:

Neka su zadana dva vektora 1 1a x i y j

i 2 2b x i y j

. Njihov skalarni produkt

izračunamo:

1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( )a b x i y j x i y j x x i i x y i j y x i j y y j j

Kako su i

i j

dva jedinična međusobno okomita vektora vrijedi po svojstvima skalarnog

produkta: 1i i j j

i , 0i j

Formula za skalarni produkt vektora 1 1a x i y j

i 2 2b x i y j

glasi:

1 2 1 2a b x x y y

A formula za kosinus kuta između ta dva vektora:

1 1 2 2

2 2 2 21 1 2 2

cos , 0x y x y

x y x y

Primjer 14.

Ako su zadani vektori: 3 , 2 , 7a i j b i j c i j

izračunaj skalarni produkt vektora

a

i b

, te skalarni produkt vektora b

i c

, te vrijednost izraza: a b b c

.

Slika 36.


I. način

Skalarni produkt dva vektora je: 1 2 1 2a b x x y y

Pa vrijedi: 3 1 1 2 5a b

1 1 2 7 15b c

I konačno, onda je: 5 15 10a b b c

ii.način

Izraz a b b c

primjenom distributivnost možemo napisati kao:

2 3 7 2 2 6 1 2 2 6 10a b b c b a c i j i j i j i j i j

Primjer 15.

Naći vektor v

za koji vrijedi da je 3a v

i 7b v

ako su zadani vektori:

2 , 3 2a i j b i j

.

Rješenje:

Neka je vektor v

zadan sa: v xi y j

, onda se može napisati:

2 1 3a v x y

3 2 7b v x y

I dobivamo sustav dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice:2 3 / 2

3 2 7

x y

x y

=>

4 2x y 6

3 2x y

7 =>

2x y

1

4 1 2 6

2 10/ : 2

5

y

y

y

=> 5v i j


Primjer 16.

Odredi parametar tako da vektori a

i b

budu okomiti ako je:

a) 2 1 2 , 3 1 2a i j b i j

,

b) 1 2 3 , 3 3 1a i j b i j

.

Potom odredi vektore a

i b

i izračunaj modul vektora a

.

Rješenje:

a) Uvjet okomitosti vektora je: 0a b a b

, pa možemo pisati:

2

2 1 3 2 1 2 0

2

a b

6 3 22 2 4 0

10 5 0

1

2

2a 1

2

1 51 2

2 2i j j

=>

22 2 25 5

02 2

a x y

13 1 2

2b i

1

2

5

2j i

Zadatak b) rješavamo po istom algoritmu.

Primjer 17.

Nađi kut između vektora a

i b

ako je zadano:

a) 4 3 , 12 5a i j b i j

,

b) 5 3 , 3 5a i j b i j

.


Rješenje:

a) Formula za kosinus kuta između ta dva vektora: 1 1 2 2

2 2 2 21 1 2 2

cosx y x y

x y x y

Pad uvrstimo komponente vektora a

i b

u nju dobijemo:

22 2 2

4 12 3 5 33cos 0,5076923

654 3 12 5

59 29 23

Slika 37.

Zašto se razlikuje veličina kuta na slici i izračunatog?

Zadatak b) se riješava istim algoritmom. Rješenje pogledaj na slici 38.

Slika 38.

U kom su odnosu vektori a

i b

?

Documents

2 2 2 2 1 1 2 2 · II. Množenje vektora skalarom (brojem) Neka je vektor i a i λ realni broj. Množenje vektora sa skalarom je funkcija koja paru (a ,λ) pridružuje vektor a